Kapitel 2

2.
Optische Abbildungen
Nachdem wir die Eigenschaften des Lichts jetzt im wesentlichen kennen gelernt haben,
werden wir im folgenden uns mit der sog. geometrischen Optik beschäftigen, die mit
geradlinigen Lichtstrahlen, die senkrecht zu den Wellenfronten stehen, arbeitet. Dabei ist
entscheidend, dass die Lichtwellenlänge kleiner ist als die Dimensionen der Hindernisse bzw.
Öffnungen.
2.1 Abbildungen an Spiegeln
2.1.1 Ebene Spiegel
Wir kennen alle Spiegelbilder, und wissen, dass die Hände zum Beispiel spiegelbildlich sind,
d. h. an der einen Hand ist der Daumen auf der linken, an der anderen auf der rechten Seite.
Wenn wir eine Hand in einem Spiegel spiegeln, so ist das Spiegelbild identisch mit der
anderen Hand. Daher hat man den Eindruck, dass ein Spiegel eben links und rechts vertauscht.
Schaut man es sich einmal genauer an, dann stellt man fest, dass ein Spiegel in Wirklichkeit
links und rechts beibehält, ebenso oben und unten. Tatsächlich vertauscht ein Spiegel vorn
und hinten.
Konstruktion eines Punktes bei Abbildung am ebenen Spiegel:
Vom Punkt P geht ein Lichtstrahlenbündel aus und wird am Spiegel reflektiert.
Nach der Reflexion gehen die Strahlen so auseinander, als würden sie von einem
Punkt P' hinter dem Spiegel ausgesandt werden.
P' nennt man das Bild des Gegenstandes P.
Das Auge (besser: Gehirn) kann nicht unterscheiden, ob die Lichtstrahlen von P oder
von P' ausgehen.
Da von P' nicht wirklich Lichtstrahlen ausgehen, nennt man P' ein virtuelles Bild.
-
-
-
Größen- und Längenverhältnisse bei der Reflexion am ebenen Spiegel:
-
Bildgröße B ist gleich der Gegenstandsgröße G
Bild steht aufrecht
Bildweite b ist gleich der Gegenstandsweite g
Mehrfachabbildungen entstehen, wenn mehrere Spiegel gegeneinander geneigt sind.
-
-
-
Von der Punktquelle P werden Lichtstrahlen an Spiegel 1 reflektiert. Virtuelles Bild ist
hierzu P1'.
Ebenso werden Lichtstrahlen am Spiegel 2 reflektiert mit virtuellem Bild P2'.
Nun kann es auch Mehrfachreflexionen geben, bei denen das virtuelle Bild P1' zum
Gegenstand bei der zweiten Reflexion wird. Es entsteht ein weiteres virtuelles Bild
P1,2''.
Anzahl der Mehrfachbilder hängt vom Winkel der Spiegel und der Position des
Beobachters ab.
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2.1.2 Sphärische Spiegel
Von einem Punkt P geht ein Strahlenbündel aus nahezu parallel zur optischen Achse A auf
einen kugelförmigen (=sphärischen Spiegel).
Die Strahlen treffen sich nach der Reflexion in einem Brennpunkt P’ und breiten sich von dort
aus weiter aus, als würden sie von dem Punkt P’ ausgehen. Der Punkt P’ ist demnach ein
reelles Bild.
Fügt man zu diesen achsennahen Strahlen noch weiter außenliegende dazu, dann sieht man,
dass die Strahlen desto weiter vom Punkt P’ abweichen, je weiter sie von der Achse A
entfernt sind. Sie machen das Bild unscharf. Diesen Abbildungsfehler nennt man sphärische
Aberration.
Man kann sie beheben, indem man die Randstrahlen durch Blenden ausblendet.
Konstruktion des Bildpunktes:
− Ein Strahl läuft durch den Krümmungsmittelpunkt M des Spiegels
− Ein Strahl läuft einen beliebigen Weg und wird nach dem Reflexionsgesetz reflektiert.
− Der Schnittpunkt der beiden Strahlen bildet den Bildpunkt P’.
− β ist Außenwinkel im Dreieck PMA, deshalb ist β = α + θ.
− Im Dreieck PP’A ist γ = α + 2θ .
− Einsetzen von θ liefert: α + γ = 2β.
d
d
d
− Annahme: Achsennahe Strahlen: α ≈ , β ≈ und γ ≈ .
g
r
b
− Damit erhält man einen Zusammenhang zwischen Gegenstandsweite, Bildweite und
1 1 2
Krümmungsradius: + = .
g b r
− d und damit A ist in der Gleichung nicht mehr enthalten, so dass die Gleichung für
beliebige achsennahen Punkte A gilt.
Größenverhältnisse:
− Reflexion am Scheitelpunkt (A war ja beliebig).
− Es entstehen zwei ähnliche Dreiecke wegen Reflexionsgesetz.
B
b
− Damit gilt:
= − = Vlateral . (Minuszeichen, weil Bild auf dem Kopf steht).
G
g
Ist g >> r, dann fallen die Strahlen parallel auf den sphärischen Spiegel. In diesem Fall gilt:
1
2
r
<< , weswegen der Term vernachlässigt werden kann. Für g → ∞ gilt also: b = .
g
r
2
Dieser Abstand wird Brennweite f des Spiegels genannt. Die Ebene, in der parallel
einlaufende Strahlen fokussiert werden, heißt Brennebene. Der Schnittpunkt mit der
optischen Achse heißt Brennpunkt F.
Die Brennweite ist also gegeben durch: f =
r
2
Damit ergibt sich die Abbildungsgleichung für sphärische Spiegel:
1 1 1
+ =
g b f
18
Konstruktion des Bildes am sphärischen Spiegel:
Man verwendet besonders ausgezeichnete Strahlen, die sog. Hauptstrahlen:
− Der achsenparallele Strahl wird in den Brennpunkt reflektiert.
− Der Brennpunktstrahl wird achsenparallel reflektiert.
− Der Mittelpunktstrahl wird in sich selber reflektiert.
2.2 Abbildungen durch Linsen
2.2.1 Erzeugung von Bildern durch Brechung
Konvexe, sphärische Oberfläche am Ende eines langen, durchsichtigen Zylinders.
Gesucht: Zusammenhang zwischen Gegenstandsweite g, Bildweite b und Krümmungsradius r.
Nährung: Kleine Einfallswinkel, so dass sin θ1 ≈ θ1 und sin θ 2 ≈ θ 2 .
Snellius’sches Brechungsgesetz: n1 ⋅ sin θ1 = n2 ⋅ sin θ 2
⇔
Im Dreieck AMP’ gilt für den Außenwinkel β = θ 2 + γ =
n1θ1 = n2θ 2 .
n1
θ1 + γ .
n2
Im Dreieck PMA ist θ 1 = α + β .
Einsetzen liefert: n1α + n1 β + n2γ = n2 β ⇔ n1α + n2γ = (n2 − n1 )β .
Näherung kleiner Winkel: α ≈
⇒
d
d
d
, β = ,γ = .
g
r
b
n1 n2 n2 − n1
+
=
.
g b
r
Zur Ermittlung der Vergrößerung:
G
−B
≈ θ1 , tan θ 2 =
≈ θ2
g
b
B wird hier wieder negativ angesetzt, weil das Bild auf dem Kopf steht.
tan θ1 =
Snellius’sches Brechungsgesetz: n1θ1 = n2θ 2
G
−B
= n2
g
b
nb
B
⇒ V = =− 1
G
n2 g
⇒ n1
19
2.2.2 Dünne Linsen
Eine sehr wichtige Anwendung ist die Abbildung durch dünne Linsen.
Auch hier sollen die Zusammenhänge der relevanten Abstände und Größenverhältnisse
erläutert werden.
Wir betrachten eine dünne Linse mit Brechungsindex n, die auf beiden Seiten von Luft
umgeben ist. Die Linse hat vom Gegenstand den Abstand g (und damit auch die Oberfläche,
weil die Linse dünn ist). Der Krümmungsradius der ersten Oberfläche ist r1 , der der zweiten
Oberfläche r2 .
Mit dem obigen Ausdruck erhält man an der ersten sphärischen Oberfläche:
nLuft n n − nLuft
, und man bekommt ein virtuelles Bild P1 ' .
+ =
g
b1
r1
Das Licht wird nun an der zweiten Oberfläche erneut gebrochen. Die Lichtstrahlen verlaufen
nun aber so, als würden sie von dem virtuellen Bild P1 ' ausgehen. Es dient quasi als virtueller
Gegenstand für die Brechung an der zweiten Oberfläche. Gegenstandsweiten auf der
Einfallsseite sind positiv, Bildweiten auf der Gegenstandsseite (also auf der "falschen" Seite)
sind negativ. Deshalb ist g1 = −b1 .
Es ergibt sich für das Endbild:
n
n −n
n
.
+ Luft = Luft
−b1
b
r2
Addition der beiden Ausdrücke liefert:
 1 1
1 1  n
+ =
− 1 −
g b  nLuft
  r1 r2

.

In dieser Gleichung werden Gegenstands- und Bildweite mit den beiden Krümmungsradien
verknüpft. Genau wie bei den sphärischen Spiegeln kann man eine Brennweite f definieren,
wenn man parallele Lichtstrahlen von einem unendlich weit entfernten Gegenstand einstrahlt:
g → ∞ : b = f , womit einfach gilt:
 1 1 
1  n
=
− 1 −  .
f  nLuft
  r1 r2 
Genauso gibt es eine Brennebene, in der alle parallel einfallenden Strahlen fokussiert werden
und einen Brennpunkt F als Schnittpunkt der Brennebene mit der optischen Achse.
Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt sich die Abbildungsgleichung für dünne Linsen
oder auch Linsengleichung:
1 1 1
+ =
g b f
Sie gleicht formal der Abbildungsgleichung für sphärische Spiegel. Zu beachten ist aber die
Vorzeichenkonvention:
Bei Linsen ... ist die Bildweite b positiv, wenn das Bild auf der Transmissionsseite liegt.
... ist der Krümmungsradius r positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der
Transmissionsseite liegt.
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Bei Spiegeln ... ist die Bildweite b positiv, wenn das Bild auf der Reflexionsseite liegt.
... ist der Krümmungsradius r positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der
Reflexionsseite liegt.
Achtung! Bei bikonvexen Linsen ist der Mittelpunkt zur Fläche 2 auf der Gegenstandsseite
und damit r2 negativ!
Den Kehrwert der Brennweite f einer Linse nennt man Brechkraft D, die in Dioptrien ( =
1
)
m
angegeben wird:
D=
1
.
f
Je kürzer die Brennweite ist, desto höher die Brechkraft. Bei Sammellinsen ist die Brechkraft
positiv, bei Zerstreuungslinsen ist sie negativ.
Konstruktion des Bildes am dünnen Linsen:
Man verwendet genau wie beim sphärischen Spiegel wieder besonders ausgezeichnete
Strahlen, die sog. Hauptstrahlen:
− Der achsenparallele Strahl wird so gebrochen, dass er durch den zweiten Brennpunkt
verläuft.
− Der Brennpunktstrahl verläuft durch den ersten Brennpunkt und tritt achsenparallel
aus.
− Der Mittelpunktstrahl verläuft durch den Mittelpunkt der Linse und wird nicht
gebrochen.
Durch eine Sammellinse laufen die drei Hauptstrahlen im Bildpunkt zusammen. Das Bild ist
reell und umgekehrt.
Die Vergrößerung geht aus der Abbildung hervor: tan θ =
⇒ V=
G −B
=
g
b
B −b
=
.
G g
Das negative Vorzeichen zeigt, dass das Bild auf dem Kopf steht.
2.2.3 Dicke Linsen
Bei dünnen Linsen ist die brechende Oberfläche dicht an der Hauptebene der Linse, so dass
man die Brechung an beiden Oberflächen durch eine einzige an der Hauptebene ersetzen
konnte.
Bei dicken Linsen ist diese Näherung aber nicht mehr zulässig. Man muss stattdessen mit
zwei Hauptebenen arbeiten.
Für eine symmetrische dicke Linse gilt die Linsengleichung unverändert, aber man muss die
Gegenstands-, Bild- und Brennweite auf die jeweils nächstgelegene Hauptebene beziehen.
21
2.2.4 Abbildungsfehler
Wir haben bereits bei sphärischen Spiegeln gesehen, dass nicht alle von einem Punkt
ausgehenden Strahlen in genau einem Punkt fokussiert werden, insbesondere dann nicht,
wenn die einfallenden Lichtstrahlen weit von der optischen Achse entfernt sind.
Man spricht dann von Abbildungsfehlern, insbesondere hier von einer sphärischen
Aberration.
Das Bild eines Gegenstandspunktes ist dann nicht punktförmig, sondern erscheint als
kreisförmige Scheibe.
Gleiches hat man auch bei Linsen. Man kann den Unschärfekreis verkleinern, indem man die
achsenfernen Strahlen ausblendet. Nachteil: Bild wird lichtschwächer.
Der Grund für die sphärische Aberration ist nicht die Imperfektion der Spiegel/Linsen,
sondern die Näherung für kleine Winkel.
Die sphärische Aberration kann beseitigt werden durch parabolische Spiegel bzw. Linsen.
(Anwendung bei Teleskopspiegeln, Satellitenschüsseln oder Suchscheinwerfern).
Nachteil: aufwändig und daher teuer in der Herstellung.
Ein weiterer Abbildungsfehler ist der Astigmatismus schiefer Bündel:
Er tritt auf, wenn die Strahlen schräg zur optischen Achse einfallen und zu den Rändern hin
unscharf abgebildet werden (→ "Verzeichnung").
Ein häufiger Abbildungsfehler ist die chromatische Aberration. Sie rührt von der Dispersion,
also der Abhängigkeit des Brechungsindex von der Frequenz her (blaues Licht wird stärker
gebrochen als rotes Licht). Man bekommt einen Farbsaum an den Rändern der Bilder.
Abhilfe schaffen Linsensysteme aus Sammel- und Zerstreuungslinsen, die diesen Effekt
gerade kompensieren (achromatische Systeme).
2.3 Optische Instrumente
2.3.1 Das Auge
Das wichtigste optische Instrument ist das Auge.
Licht fällt durch die Pupille ein (Apertur variabel je nach Lichtintensität).
System Hornhaut-Linse fokussiert das Licht auf die Netzhaut.
Netzhaut besteht aus Stäbchen und Zäpfchen (= lichtempfindliche Nervenzellen).
Sinnesreize werden über den Sehnerv an das Gehirn weitergeleitet.
Linse kann durch Ziliarmuskel verformt werden:
Fokussierung auf weit entfernten Gegenstand: Ziliarmuskel entspannt (fmax ca. 2.5 cm)
Fokussierung auf nahen Gegenstand: Ziliarmuskel angespannt (f verringert sich)
-> Akkomodation
Gegenstand zu nahe am Auge: Linse kann das Licht nicht mehr auf der Netzhaut bündeln, das
Bild wird unscharf.
Nahpunkt: Bild wird gerade noch scharf auf der Netzhaut abgebildet (= deutliche Sehweite).
Er ändert sich im Laufe des Lebens (10-jähriger: ca. 7 cm, 65-jähriger: bis zu 200 cm!).
Standardwert der deutlichen Sehweite: s0 = 25 cm.
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Linsensystem zu schwach: Bild liegt hinter der Netzhaut: Weitsichtigkeit
(entfernte Gegenstände werden gut erkannt, nahe Gegenstände nicht.)
Die Weitsichtigkeit kann mit einer Sammellinse (konvex) korrigiert werden.
Licht wird zu stark fokussiert: Bild liegt vor der Netzhaut: Kurzsichtigkeit
(nahe Gegenstände werden scharf abgebildet, entfernte Gegenstände nicht.)
Kurzsichtigkeit wird mit einer Zerstreuungslinse (konkav) korrigiert.
Linsensystem nicht rotationssymmetrisch: Astigmatismus (durch Hornhautverkrümmung)
(punktförmige Gegenstände werden als kurze Linie abgebildet)
Korrektur durch zylinderförmige Linsen.
Die Größe, in der uns ein Bild erscheint, ist die Bildgröße auf der Netzhaut.
Nahe Objekte ergeben ein großes Bild auf der Netzhaut, weit entfernte Objekte ein kleines
Bild.
Die Bildgröße hängt vom Sehwinkel ε ab, unter dem der Gegenstand dem Auge erscheint:
tan φ ≈ sin φ ≈ φ ≈
B
B
=
b 2,5 cm
tan ε ≈ sin ε ≈ ε ≈
G
g
Nach dem Brechungsgesetz gilt:
nLuft ⋅ sin ε = nLinse ⋅ sin φ
Also gilt:
⇔
sin ε = nLinse ⋅ sin φ
⇒
ε ≈ nLinse ⋅ φ
G
B
2,5 cm G
.
≈ nLinse
und damit B ≈
g
nLinse g
2,5 cm
Die Bildhöhe ist umgekehrt proportional zur Entfernung des Gegenstandes. Je näher der
Gegenstand ist, desto größer ist das Bild. Der minimale Abstand ist der Nahpunkt, also die
deutliche Sehweite.
2.3.2 Die Lupe
Angenommen, ein Gegenstand ist sehr klein, so dass man ihn nahe an das Auge heranbringen
muss, um ihn zu erkennen. Wenn man aber unter dem Nahpunkt des Auges kommt, kann man
nicht mehr akkomodieren, d. h. das Bild des Gegenstandes auf der Netzhaut ist zwar groß,
aber unscharf.
Mit einer Lupe kann man die scheinbare Größe eines Objektes vergrößern.
Der Gegenstand befindet sich innerhalb der Brennweite einer Sammellinse.
Dann erzeugt die Lupe ein virtuelles Bild auf Gegenstandsseite (Bildweite ist hier negativ!).
Der Betrag der Bildweite ist dabei deutlich größer als die Gegenstandsweite, so dass das
virtuelle Bild mindestens am Nahpunkt, wenn nicht sogar weiter entfernt entsteht.
Die Lateralvergrößerung ist wieder: Vlateral =
B
b
=− .
G
g
Der Winkel β, unter dem das virtuelle Bild gesehen wird, ist jedoch genau derselbe, unter
dem der Gegenstand ohne Lupe gesehen würde. Der Unterschied ist aber, dass man mit dem
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Auge nicht mehr auf den nahen Gegenstand akkomodieren muss, sondern auf das etwas
weiter entfernte Bild.
Die Lupe vergrößert jedoch den scheinbaren Sehwinkel, unter dem das Auge den
Gegenstand sähe, wenn es genauso weit entfernt wäre wie das Bild.
Die Winkelvergrößerung (= Angularvergrößerung) ist dann:
Vangular
B
tan β b B
=
=
= = Vlateral
tan α G G
b
Ein kleiner Gegenstand soll sich genau im Nahpunkt vor dem Auge befinden, d. h. der Winkel,
unter dem man den Gegenstand ohne Lupe sieht, beträgt:
tan α =
G
.
s0
Eine Lupe soll nun eine Brennweite f haben, die kleiner ist als s0, und der Gegenstand soll
genau in dem Brennpunkt liegen (also näher am Auge als der Nahpunkt). Dann entsteht das
virtuelle Bild im Unendlichen. Entsprechend muss das Auge auf unendlich akkomodiert sein.
Die parallelen Lichtstrahlen werden von der entspannten Linse auf der Netzhaut fokussiert.
Der Gegenstand mit Lupe erscheint im Unendlichen unter dem Winkel
tan β =
G
f
Für diesen Fall bezeichnet man die Angularvergrößerung als Normalvergrößerung:
Vangular
G
s
tan β
f
=
=
= 0 =: Vnormal
tan α G
f
s0
2.3.3 Das Mikroskop
Ein Mikroskop besteht im einfachsten Fall aus zwei Sammellinsen.
Die dem Gegenstand zugewandte Linse ist das Objektiv, die dem Auge zugewandte Linse
das Okular.
Das Objektiv erzeugt ein reelles, vergrößertes Zwischenbild innerhalb der Brennweite des
Okulars. Das Okular dient als Lupe und vergrößert den Sehwinkel, so dass ein virtuelles Bild
des Zwischenbildes entsteht.
Die Vergrößerung ist das Produkt aus den Einzelvergrößerungen der beiden Linsen:
VMikroskop = VOkular ⋅ VObjektiv =
B −B '
B
⋅
= − (negativ, da B auf dem Kopf steht).
B' G
G
Oftmals lässt man das Zwischenbild direkt am Brennpunkt des Okulars entstehen, so dass das
Bild durch die Lupe "im Unendlichen" entsteht. So entsteht also das Zwischenbild bei f1 + d .
Ferner gilt: tan β =
G −B '
.
=
f1
d
24
Die Vergrößerung des Objektivs ist damit: VObjektiv =
Die Normalvergrößerung des Okulars ist: VOkular =
B'
d
=−
G
f1
s0
.
f2
Damit ist Vergrößerung des Mikroskops das Produkt aus beiden Vergrößerungen:
VMikroskop = VOkular ⋅ VObjektiv = −
d ⋅ s0
f1 ⋅ f 2
2.3.4 Das Teleskop
Mit dem Teleskop werden Dinge betrachtet, die in der Regel weit weg, aber dennoch groß
sind. Die Wirkung eines Teleskops besteht darin, ein reelles Bild eines Gegenstandes zu
erzeugen, das dem Betrachter näher erscheint als der Gegenstand in Wirklichkeit ist.
Da der Gegenstand weit entfernt ist, fallen dessen Lichtstrahlen quasi parallel in die
Objektivlinse, so dass das Zwischenbild in der Brennebene des Objektivs entsteht. Die
Bildweite ist also gleich der Brennweite f1.
Im Gegensatz zum Mikroskop ist das Zwischenbild also nicht größer, sondern kleiner. Das
Zwischenbild ist dem Betrachter aber näher und kann nun mit dem Okular als Lupe betrachtet
werden.
Das Okular ist jetzt so angeordnet, dass dessen Brennpunkt mit demjenigen des Objektivs
zusammenfällt. Wieder erscheint das Endbild im Unendlichen.
Der Abstand Objektiv-Okular beträgt also f1 + f 2 .
Die Angularvergrößerung beträgt also: VTeleskop
B'
B'
f
f
f
tan β
=
= 2 = 2 =− 1
G
B
'
tan α
f2
−
g
f1
Man erhält also bei Teleskopen eine starke Vergrößerung, wenn das Objektiv eine große und
das Okular eine kleine Brennweite besitzt.
Beispiel:
Yerkes-40 inch-Refraktor:
Durchmesser: 1,02 m,
f1 = 19,5 m,
⇒ VTeleskop = −
f1
= −195
f2
f2 = 10 cm
Bei den astronomischen Teleskopen ist es in der Regel nicht so entscheidend, wie hoch die
Vergrößerung ist, sondern die Lichtstärke, die von der Apertur abhängig ist. So große Linsen
sind in hoher Qualität aber nur schwer herzustellen.
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Daher sind die großen Teleskope fast immer Spiegelteleskope mit Konkavspiegeln als
Objektiv. Diese sind leichter als vergleichbare Linsen und auf der ganzen Auflagefläche
unter-stützbar.
Weiterer Vorteil: Keine chromatische Aberration!
Neuere Entwicklungen: Mehrere kleinere Spiegel, die individuell verstellbar sind, um Verzerrungen, thermische Verspannungen und sogar atmosphärische Turbulenzen auszugleichen.
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