Allgemeine Optik II

Allgemeine Optik II
Geometrische Optik
Prismen – torische Elemente Blendenfunktionen
Studiengang Optometrie 2007-2010
Frühlingssemester 2008
Skriptum für den Unterricht an der FHNW
Fachbereich Optometrie
erstellt von
Dr. R. E. Joos
Skriptum Allgemeine Optik II – Prismen, Zylinder, Blendenfunktionen
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Skriptum Allgemeine Optik II
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Inhaltsverzeichnis
1
PRISMATISCHE ABLENKUNG BEI SCHIEF GEKREUZTEN PRISMEN /
KEILEN ...................................................................................................................... 5
1.1
Prismatische Ablenkung beim Keil ...........................................................................................5
1.2
Schief gekreuzte Prismen ..........................................................................................................7
1.2.1
Schiefwinkliges Dreieck ......................................................................................................7
1.2.2
Komponentenzerlegung......................................................................................................8
2
ZYLINDRISCHE ELEMENTE UND SPHÄROZYLINDRISCHE
KOMBINATIONEN................................................................................................... 10
2.1
Zylindrische Elemente ..............................................................................................................10
2.1.1
Wirkung des Planzylinders in den Hauptschnitten ...........................................................11
2.2
Sphärozylindrische Elemente ..................................................................................................16
2.3
Wirkung schief gekreuzter Zylinder ........................................................................................18
3
INSTRUMENTE ............................................................................................... 22
3.1
Arten der Vergrösserung..........................................................................................................22
3.1.1
Funktionsweise von Instrumenten ....................................................................................22
3.1.2
Definitionen der Vergrösserung ........................................................................................22
3.2
Lupen..........................................................................................................................................25
3.2.1
Die Lupenvergrösserung...................................................................................................25
3.2.2
Blendenfunktionen im System „Lupe-Auge" .....................................................................28
3.3
Mikroskop ..................................................................................................................................30
3.3.1
Einfaches und zusammengesetztes Mikroskop ...............................................................30
3.3.2
Funktionsweise des zusammengesetzten Mikroskops.....................................................31
3.3.3
Vergrösserung des Mikroskops ........................................................................................31
3.3.4
Blendenfunktionen beim Mikroskop..................................................................................33
3.3.5
Köhlersche Beleuchtung ...................................................................................................35
3.4
Fernrohre ...................................................................................................................................36
3.4.1
Das Kepler-Fernrohr .........................................................................................................36
3.4.2
Das Galilei-Fernrohr..........................................................................................................39
3.5
Feldlinsen und Okulare ............................................................................................................40
3.5.1
Einleitung ..........................................................................................................................40
3.5.2
Konzept der Feldlinse .......................................................................................................40
3.5.3
Klassifizierung von Okularen ............................................................................................44
3.5.4
Beispiele............................................................................................................................46
3.5.5
Kompliziertere Okulare .....................................................................................................48
3.5.6
Aufgaben Okulare .............................................................................................................50
3.6
Photoapparat .............................................................................................................................51
3.6.1
Einige optische Zusammenhänge beim Photoapparat.....................................................52
3.6.2
Zoomobjektive...................................................................................................................57
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STRAHLENBEGRENZUNG ............................................................................ 64
4.1
Aperturblende - Ein- und Austrittspupille ..............................................................................64
4.1.1
Kombinationen von einer Linse und einer Blende ............................................................64
4.1.2
Kombination Linse - Blende - Linse ..................................................................................66
4.1.3
Systeme aus mehreren Linsen und Blenden....................................................................67
4.1.4
Definitionen .......................................................................................................................67
4.1.5
Symbole für Konstruktionen..............................................................................................69
4.2
Gesichtsfeldblende - Hauptstrahlen - Luken .........................................................................70
4.3
Skizze - Übersicht .....................................................................................................................72
4.4
Systematik der Analyse der für die Strahlenbegrenzung wirksamen Blenden..................73
4.5
Einige Beispiele.........................................................................................................................73
5
SCHÄRFENTIEFE ........................................................................................... 74
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
*Formeln zur Berechnung der Schärfentiefe ....................................................................76
Herleitung der Formeln zur Schärfentiefe.........................................................................76
Einstellung auf "Nahunendlich".........................................................................................79
Schärfentiefebreite ............................................................................................................79
5.2
Übersicht Zerstreuungskreis und Schärfentiefe ...................................................................81
5.3
Zerstreuungskreis.....................................................................................................................81
5.3.1
Schärfentiefe .....................................................................................................................82
5.3.2
Übersicht "Kreis kleinster Verwirrung" ..............................................................................83
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1 Prismatische Ablenkung bei schief gekreuzten Prismen / Keilen
1.1 Prismatische Ablenkung beim Keil
Vorerst rufen wir uns in Erinnerung, wie die Abbildung an einem dünnen Prisma oder
Keil beschrieben werden kann. Bei einem dünnen Prisma (in Luft!) hängen der brechende Winkel ϕ , die Brechzahl n und die Strahlablenkung δ (alle Grössen sind in
der unten stehenden Skizze dargestellt) wie folgt zusammen:
δ ≈ (1 − n ) .ϕ
Schirm
Prisma /
Keil
ϕ
JG
p
δ
Abbildung: Verhältnisse und Grössen (Bezeichnungen) bei der Abbildung an dünnen
Prismen / Keilen.
Diese Formel entstammt der paraxialen Optik und ist recht brauchbar für brechende
Winkel bis ca. 20°. Es ist eher üblich, statt der Strahlablenkung δ in Grad die prismatische Ablenkung p in cm/m anzugeben:
p = tan (δ ) = tan ( (1 − n ) .ϕ ) = tan ( (1 − n ) .ϕ ) ⋅
100 cm
m
Die Masseinheit für die prismatische Ablenkung ist cm/m; gelegentlich findet sich
noch die veraltete Einheit pdpt (Prismendioptrien) für die prismatische Ablenkung.
Prismatische Ablenkung, schief gekreuzte Prismen
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Rechenbeispiel:
Wir nehmen an, ein Keil habe einen brechenden Winkel von ϕ = 8.00° und sei aus
einem Material mit Brechzahl n=1.6 gefertigt. Es sind der Ablenkwinkel δ und die
prismatische Ablenkung p zu bestimmen.
Lösung:
δ ≈ − 4.8°
p ≈ − 8.40 cm / m
In der Brillenoptik kann ein Keil oder dünnes Prisma zur Korrektion der Winkelfehlsichtigkeit eingesetzt werden. Die Strahlablenkung bei einem Keil (in Luft) erfolgt immer zur Basis hin; soll also eine horizontale Strahlablenkung erzielt werden, muss die
Basis des Prismas vertikal orientiert werden; für vertikale Strahlablenkung muss die
Basis horizontal gerichtet werden etc. Dies ist in der untenstehenden Grafik versinnbildlicht.
Abbilung: Orientierung von Prismen und deren prismatische Ablenkung. Die Basis
der Prismen sind jeweils mit einer fetten Linie im Rechteck angedeutet. Die Pfeile
stellen die prismatischen Ablenkungen inklusive deren Richtungen an.
Daraus geht nun hervor, dass für die vollständige Charakterisierung der Wirkung von
Prismen (Keilen) der Betrag der prismatischen Ablenkung und die Richtung im Raum
(Winkel im Bereich von 0° bis 360° nach Tabo-Schema) bekannt sein müssen.
Prismatische Ablenkung, schief gekreuzte Prismen
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1.2 Schief gekreuzte Prismen
Gelegentlich befinden sich mehrere Prismen (nacheinander) im Strahlengang; dabei
können die prismatischen Wirkungen unterschiedliche Richtungen aufweisen. An
dieser Stelle wollen wir untersuchen, wie solche Kombinationen von schief gekreuzten Prismen optisch und mathematisch gehandhabt werden können.
Abbildung: Kombination von senkrecht zueinander angeordneten Prismen (links im
Bild) und schief angeordneten Prismen (rechts im Bild). Man beachte, dass die Wirkungen in die einzelnen Richtungen, je nach prismatischer Ablenkung der eingesetzten Keile, unterschiedlich gross gezeichnet wurden.
In der Folge werden die Keilumrandung und die Keilbasis in den Skizzen nicht mehr
angedeutet. Die Kombination der schief gekreuzten Prismen kann nun einfach als
Vektoraddition durchgeführt werden. Dies kann im einfachsten Fall grafisch gemacht
werden (ist als Kontrolle immer zu empfehlen). Wie in der Vektormathematik haben
wir grundsätzlich zwei Möglichkeiten:
1.2.1 Schiefwinkliges Dreieck
JJG
Wir betrachten gemäss Skizze zwei schief gekreuzte Prismen mit Wirkungen p1 und
JJG
p2 . Zur Berechnung müssen nur der Winkel α zwischen den beiden prismatischen
Wirkungen und die Beträge p1 und p2 bekannt sein, gemäss unten stehender Skizze.
JJG
p2
α
JJG
p1
Abbildung: Prismatische Wirkungen der einzelnen Keile und eingeschlossener Winkel α .
Das Resultat soll in der Form ( p; β ) angegeben werden, das heisst die Stärke p der
Prismatische Ablenkung, schief gekreuzte Prismen
7
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resultierenden prismatischen Ablenkung und die Richtung β der resultierenden AbJJG
lenkung bezogen auf die prismatische Wirkung des ersten Prismas p1 .
JG
p
JJG
p2
β
JJG
p1
Abbildung: Gesuchte Grössen bei der Kombination von schief gekreuzten Prismen.
Zur konkreten Berechnung gehen wir wie folgt vor:
1. Berechne α ' = 180° − α
2. p berechnen: p =
p12 + p22 − 2 ⋅ p1 ⋅ p2 ⋅ cos α ' =
p12 + p22 + 2 ⋅ p1 ⋅ p2 ⋅ cos α
3. β berechnen (entweder über den Sinussatz (a.) oder den Cosinussatz (b.)):
p
p
p
a. sin β = 2 ⋅ sin α ' = 2 ⋅ sin (180° − α ) = 2 ⋅ sin α
p
p
p
2
2
2
p + p − p2
b. cos β = 1
2 ⋅ p1 ⋅ p
Wir fügen ein Rechenbeispiel an:
Prisma 1:
5.0 cm/m in 30°;
Prisma 2: 3.0 cm/m in 120°.
Lösung: p ≈ 5.83 cm / m ; β ≈ 31.0° , also Wirkung in 61.0°.
1.2.2 Komponentenzerlegung
Bei dieser Variante werden einfach beide in Polarform gegebenen prismatischen
Wirkungen in kartesische Koordinaten transformiert, addiert und dann wieder in Polarform umgerechnet, wie in der untenstehenden Skizze angedeutet:
p1, x = p1 ⋅ cos ϕ1
p2, x = p2 ⋅ cos ϕ2
p1, y = p1 ⋅ sin ϕ1
p2, y = p2 ⋅ sin ϕ2
JG
JJG JJG ⎛ p1, x ⎞ ⎛ p2, x ⎞ ⎛ p1 cos ϕ1 ⎞ ⎛ p2 cos ϕ 2 ⎞ ⎛ p1 cos ϕ1 + p2 cos ϕ 2 ⎞
⎛ px ⎞
p = ⎜ ⎟ = p1 + p2 = ⎜
⎟+⎜
⎟= ⎜
⎟+⎜
⎟= ⎜
⎟
⎝ py ⎠
⎝ p1, y ⎠ ⎝ p2, y ⎠ ⎝ p1 ⋅ sin ϕ1 ⎠ ⎝ p2 ⋅ sin ϕ 2 ⎠ ⎝ p1 ⋅ sin ϕ1 + p2 ⋅ sin ϕ 2 ⎠
p =
px2 + p y2
⎧
⎛ py ⎞
falls px ≥ 0
⎪ arcsin ⎜ ⎟ + k ⋅ 360°,
⎪
⎝ p ⎠
ϕ = ⎨
⎪180° − arcsin ⎛ p y ⎞ + k ⋅ 360°,
falls px < 0
⎜ ⎟
⎪
⎝ p ⎠
⎩
Ist as rechnerische Resultat für ϕ im Bereich 0° bis 360°, so ist k=0 u setzen; ist
Prismatische Ablenkung, schief gekreuzte Prismen
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Skriptum Allgemeine Optik II
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ϕ < 0 , so müssen 360° hinzuaddiert werden, also k=1.
y
p
py
ϕ
px
x
Abbildung: Zerlegung der prismatischen Wirkung (Vektor!) in seine Komponenten
Rechenbeispiel:
Als Rechenbeispiel wiederholen wir das obige Beispiel.
px ≈ 2.83 cm/m
Lösung:
p = 5.83 m/m; ϕ = 61.0°
p y ≈ 5.10 cm/m
Prismatische Ablenkung, schief gekreuzte Prismen
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Skriptum Allgemeine Optik II
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2 Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
2.1 Zylindrische Elemente
Das einfachste zylindrische oder torische Element ist der Planzylinder. Man kann
sich diese vorstellen als einen Abschnitt eines Glaszylinders (Pluszylinder) oder eines Hohlzylinders (Minuszylinder). Beispiele dafür sind in der untenstehenden Abbildung wiedergegeben. In diesen Beispielen ist jeweils eine plane Ebene der Objektseite zugewandt, was natürlich nicht zwingend so der Fall zu sein braucht. Dieser hat
einen planen und einen sphärischen Hauptschnitt.
Abbildung: Planplus- und Planminuszylinder; nach Roth.
Abbildung: Schnitt der Planzylinder gemäss obiger Abbildung; wiederum aus Roth.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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2.1.1 Wirkung des Planzylinders in den Hauptschnitten
Beim Planzylinder ist logischerweise im planen Hauptschnitt die Wirkung 0 vorhanden. Im anderen Hauptschnitt ist die Wirkung genau gleich wie bei einer brechenden
Kugelfläche durch
D plan = 0
D =
1− n
r
gegeben.
Die damit bewirkte astigmatische Abbildung hat nur in der Richtung senkrecht zur Zylinderachse eine Wirkung. Achsenparallel einfallende Strahlenbündel ergeben paraxial anstelle eines Brennpunktes eine Brennlinie, die parallel zur Zylinderachse liegt. Dies ist in der folgenden Abbildung wiedergegeben:
Abbildung: Astigmatische Abbildung beim Planpluszylinder.
Damit ist die optische Wirkung des Planzylinders in seinen Hauptschnitten beschrieben. Wie ist aber dessen Wirkung in einer Ebene, die die optische Achse enthält,
jedoch keinen seiner Hauptschnitte? Um dieser Frage nachzugehen denken wir uns,
ein Glaszylinder werde mit einer scharfen Klinge geteilt, jedoch sei die Schnittebene
nicht senkrecht zur Zylinderachse.
Wäre die Schnittfläche exakt senkrecht zur Zylinderachse, so entstünde als
Schnittfläche eine Kreisscheibe; in allen anderen Fällen entsteht eine Ellipse als
Schnittfläche.
Dies ist in den folgenden Grafiken dargestellt:
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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Abbildung: Schnitt eines Zylinders mit nicht senkrecht zur Zylinderachse stehender
Schnittebene. Es entsteht eine elliptische Schnittfläche.
Abbildung: Verlauf der Schnittlinie auf dem Zylindermantel
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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Abbildung: Senkrecht stehende Ellipse mit eingezeichneten Scheitelkreisen. Für unsere Betrachtungen ist der grosse Scheitelkreis beziehungsweise dessen Krümmungsradius von Bedeutung
Damit kann nun zumindest mathematisch die Wirkung in einer beliebigen
Ebene dargestellt werden:
Es sei α der Winkel zwischen der Schnittebenennormalen und und der Zylinderachse. Ist dieser Winkel α = 0 , dann entsteht wie gesagt eine Kreisfläche mit Radius r gleich dem Krümmungsradius des Zylinders. Je grösser der Winkel α wird,
desto mehr wird die Ellipse in die Länge gezogen. Dabei nimmt die grosse Halbachse a der Ellipse zu, während die kleine Halbachse b immer gleich gross bleibt, nämlich gleich dem Radius r des Zylinders. Dies ist schematisch in der folgenden Abbildung wiedergegeben:
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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Zylinderachse
Normale
a
α
b=r
Abbildung: Geometrie beim Schnitt durch einen Zylinder; der Winkel α zwischen der
Zylinderachse und der Normalen der Schnittebene ist zugleich auch der Winkel zwischen den beiden Halbachsen a und b.
Die Grösse der grossen Halbachse a kann nun einfach bestimmt werden:
a =
b
r
=
.
cos α
cos α
Um die Optische Wirkung in dieser Ebene zu bestimmen, muss der Scheitelkrümmungsradius im flacheren Scheitel der Ellipse berechnet werden. Für die Scheitelkrümmungsradien haben wir die Formeln:
a2
r0, flach =
b
b2
r0,steil =
a
Setzen wir die bekannten Werte für a und b ein, so erhalten wir:
b2
2
2
a
b
= cos α =
r0, flach =
b
b
cos 2 α
b2
b2
r0,steil =
=
= b ⋅ cos α
b
a
cos α
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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Für unsere Betrachtung ist weiter nur der Krümmungsradius „flach“ von Bedeutung.
Damit erhalten wir für die optische Wirkung:
n −1
n −1
n −1
Dα =
=
=
⋅ cos 2 α
b
ro , flach
r
2
cos α
n −1
Setzen wir noch voraus, dass D0 = Dα =0 =
die Wirkung in der Ebene senkrecht
r
zur Zylinderachse bedeutet, so vereinfacht sich die Formel weiter zu:
Dα = D0 ⋅ cos 2 α
Dies ist das sogenannte „Eulersche Gesetz“ für die optische Wirkung von Zylinderelementen.
In der untenstehenden Grafik ist die Wirkung als Funktion des Winkels α dargestellt.
0.0
0.2
0.4
y
0.6
0.8
1.0
Zylinderwirkung
0
50
100
150
200
250
300
350
x
Abbildung: Optische Wirkung eines (Plan-) Zylinders in Abhängigkeit vom Winkel α .
Betrachten wir die obige Abbildung oder auch die Formel, so stellen wir fest, dass die
Periodizität nur 180°, nicht etwa 360° beträgt. Die „mittlere Wirkung ist gerade die
Hälfte der Wirkung in der Ebene, welche eine Wirkung aufweist.
Rechenbeispiel:
Ein Planzylinder habe eine Stärke von +4.0 dpt. Wie gross ist die Wirkung in einer
Ebene, die 45° zur Zylinderachse gedreht steht?
Lösung: Dα =45° = 4.0 dpt ⋅ cos 2 45° = + 2.0 dpt
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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2.2 Sphärozylindrische Elemente
Im Allgemeinen haben wir es nicht bloss mit Planzylindern, sondern mit astigmatischen oder torischen Elementen zu tun, die für alle Richtungen eine Wirkung verschieden von Null aufweisen. Die Erweiterung auf diesen Sachverhalt dürfte hinreichend bekannt sein; wir beschränken uns deshalb darauf, die wesentlichen Elemente
aufzuzählen:
ƒ
Man hat die beiden Hauptschnitte (bzw. deren Brechwerte) DI und DII zu unterscheiden.
ƒ
Diese beiden Brechwerte unterscheiden sich um den Zylinder C :
DII = DI + C
ƒ
ƒ
DI ist die Wirkung parallel zur Zylinderachse, DII die Wirkung senkrecht zur
Zylinderachse.
In einer beliebigen Ebene, die den Winkel α zum Hauptschnitt II aufweist, haben wir die Wirkung
Dα = DI + C ⋅ cos 2 α
ƒ
Bezieht man den Winkel α auf den Hauptschnitt I, so ist anstelle des Cosinus
der Sinus einzusetzen:
Dα = DI + C ⋅ sin 2 α
ƒ
Bei der Abbildung an einem sphärozylindrischen Element entsteht das sogenannte „Sturmsche Konoid“.
ƒ
Wir fügen Abbildungen des Sturmschen Konoids an für die Abbildung eines
unendlich fernen Achsenobjektpunktes beziehungsweise eines nahen Achsenobjektpunktes durch ein sphärozylindrisches Element, das in beiden Hauptschnitten Pluswirkung entfaltet.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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Abbildung: Sturmsches Konoid bei der Abbildung eines unendlich fernen Achsenobjektpunktes; es entstehen anstelle eines (paraxialen) Brennpunktes zwei (paraxiale)
Bildlinien.
Abbildungen: Sturmsche Konoide für verschiedene Bedingungen.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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2.3 Wirkung schief gekreuzter Zylinder
Wie bei den Prismen ist es auch bei den Sphärozylindern möglich, sie mit beliebiger
Achslage zu kombinieren. Dies soll in diesem Abschnitt untersucht werden. Vorerst
einmal wollen wir dies auf eine experimentelle Mathematische Art tun. Wir nehmen
an, wir haben zwei sphärozylindrische Wirkungen, beschreiben durch
Sphärozylinder 1:
S1 , C1 , A1 = α1 :
D1 (ϕ ) = S1 + C1 ⋅ sin 2 (ϕ − α1 )
Sphärozylinder 2:
S 2 , C2 , A2 = α 2 :
D2 (ϕ ) = S 2 + C2 ⋅ sin 2 (ϕ − α 2 )
Die resultierende Wirkung beider sphärozylindrischer Wirkungen ist nun einfach die
Summe, falls der Abstand zwischen den beiden Elementen genügend klein gehalten
wird:
D (ϕ ) = D1 (ϕ ) + D2 (ϕ ) = S1 + C1 ⋅ sin 2 (ϕ − α1 ) + S 2 + C2 ⋅ sin 2 (ϕ − α 2 )
Nach Umstellen von einigen Termen:
D (ϕ ) = D1 (ϕ ) + D2 (ϕ ) = S1 + S 2 + C1 ⋅ sin 2 (ϕ − α1 ) + C2 ⋅ sin 2 (ϕ − α 2 )
Diese Vorgehensweise ist sehr einfach, nur kommen dabei nicht sehr überschaubare
Formeln heraus. Die Frage stellt sich, ob es nicht möglich ist, für die obige gleichung
etwas Einfacheres zu finden.
Dies wollen wir in einem einfachen Beispiel anschauen:
Nehmen wir an, wir haben
S1 = + 1.0 dpt
C1 = + 1.0 dpt
A1 = α1 = 30°
S 2 = + 1.0 dpt
und
C2 = + 0.5 dpt
A2 = α1 = 60°
Um einzusehen, in welcher Richtung eine Lösung zu suchen ist, betrachten wir die
Angelegenheit zuerst einmal grafisch. In der folgenden Abbildung sind zuerst die
Wirkungen der beiden Einzelelemente und dann von deren Kombination dargestellt.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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1.8
1.4
1.0
Wirkung [dpt]
Zylinderwirkung Element 1
0
50
100
150
200
250
300
350
250
300
350
300
350
Winkel [°]
1.4
1.2
1.0
Wirkung [dpt]
Zylinderwirkung Element 2
0
50
100
150
200
Winkel [°]
3.0
2.6
2.2
Wirkung [dpt]
3.4
Zylinderwirkung beide Elemente
0
50
100
150
200
250
Winkel [°]
Abbildung: Wirkungen der einzelnen sphärozylindrischen Elemente und deren Kombination; eingezeichnet sind als horizontale Geraden jeweils die mittleren Wirkungen
der Einzelelemente und der Kombination.
Wir stellen fest, dass die Wirkung der Kombination wiederum sinusoidales Verhalten
aufweist mit der gleichen Periodizität. Es sollte daher möglich sein, die resultierende
Wirkung der Kombination darzustellen in der Art:
D (ϕ ) = D1 (ϕ ) + D2 (ϕ ) = S + C ⋅ sin 2 (ϕ − α )
Zu bestimmen sind also die Werte für S, C und α, die die sphärozylindrische Kombination adäquat beschreibt.
Mit einiger Trigonometrie (Additionstheoreme etc.) kann man zeigen, dass die Wirkung der sphärozylindrischen Kombination gegeben ist durch:
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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Skriptum Allgemeine Optik II
S = S1 + S 2 +
C =
α =
Seite 20
C1 + C2 − C
2
C12 + C22 + 2 ⋅ C1 ⋅ C2 ⋅ cos ( 2 ⋅ (α1 − α 2 ) )
⎛ C ⋅ sin ( 2 ⋅ α1 ) + C2 ⋅ sin ( 2 ⋅ α 2 ) ⎞
1
⋅ arctan ⎜⎜ 1
⎟⎟
⋅
⋅
+
⋅
⋅
α
α
2
cos
2
cos
2
C
C
(
)
(
)
1
2
2 ⎠
⎝ 1
Auf den ersten Blick scheinen diese Formeln sehr kompliziert zu sein. Sie können
aber (z.B. für einen Taschenrechner) sehr einfach programmiert werden.
Wir verfolgen unser Rechenbeispiel von der vorangehenden Seite weiter und errechnen:
S = + 2.09 dpt
C = + 1.32 dpt
α = 39.6°
Mit diesen Werten zeichnen wir in der Grafik die resultierende Wirkung der Sphärozylinderkombination ein und stellen fest, dass die neu berechnete Kurve die alte vollständig überdeckt.
Dies belegt, dass der Formelsatz für die sphärozylindrische Kombination stimmt.
Im Unterricht betrachten wir noch grafische und vektormathematische Alternativen zu
der rein rechnerischen Lösung, die oben wiedergegeben wurde.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
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1.8
1.4
1.0
Wirkung [dpt]
Zylinderwirkung Element 1
0
50
100
150
200
250
300
350
250
300
350
300
350
Winkel [°]
1.4
1.2
1.0
Wirkung [dpt]
Zylinderwirkung Element 2
0
50
100
150
200
Winkel [°]
3.0
2.6
2.2
Wirkung [dpt]
3.4
Zylinderwirkung beide Elemente
0
50
100
150
200
250
Winkel [°]
Abbildung: Gleiche sphärozylindrische Kombination wie im vorangehenden Beispiel,
allerdings jetzt mit der gerechneten Resultierenden (rot).
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
21
3 Instrumente
3.1 Arten der Vergrösserung
3.1.1 Funktionsweise von Instrumenten
Vergrössernde Sehhilfen und Instrumente haben zum Zweck, die mit ihrer Hilfe erzeugten Netzhautbilder zu vergrössern. Anhand der untenstehenden Figur erkennen wir, dass ein enger Zusammenhang zwischen der Netzhautbildgrösse und dem Sehwinkel σ besteht. Man beachte ferner, dass die
Tatsache, dass ein Gegenstand gross ist, nicht automatisch ein grosses Netzhautbild zur Folge hat.
Abbildung: Grösse der Netzhautbilder
Werden Instrumente (Lupen, Mikroskope, Fernrohre) verwendet, so werden nicht die
Gegenstände selber, sondern die von den Instrumenten erzeugten Zwischenbilder
betrachtet (Vielfach liegen diese Zwischenbilder im Unendlichen). Entscheidend für
die Wirkung eines Instrumentes ist nun, unter welchem Sehwinkel σ' dieses Zwischenbild erscheint. Der Sehwinkel σ' bestimmt schliesslich, wie gross das Netzhautbild ausfällt. Man könnte deshalb die Vergrösserung eines Instrumentes wie folgt definieren:
Vergrösserung Γ' =
Sehwinkel σ ' mit Instrument
Sehwinkel σ ohne Instrument
3.1.2 Definitionen der Vergrösserung
Leider hat man bei den Definitionen im Zusammenhang mit der Vergrösserung nicht
diesen einfachen Weg beschritten, sondern hat weiter differenziert. Man hat demnach zu unterscheiden, ob ein Instrument primär für die Nähe oder für die Ferne
verwendet werden soll; dies bringt zwei verschiedene Definitionen der Vergrösserung
mit sich: Die oben dargestellte Vergrösserung ist die Vergrösserung eines Instrumentes für die Ferne:
Vergrösserung eines Instrumentes für die Ferne (FernopZylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
22
tik):
Γ' Fernoptik =
Sehwinkel σ ' mit Instrument
Sehwinkel σ ohne Instrument
Die Vergrösserung eines Instrumentes für die Ferne ist das Verhältnis der Sehwinkel
mit und ohne Instrument.
Vergrösserung eines Instrumentes für die Nähe:
Abbildung:
Vergrösserung eines Instrumentes für die Nähe: verglichen werden die Netzhautbild
mit Instrument und ohne Instrument; im Falle ohne Instrument befindet sich das Objekt in der Bezugssehweite.
In der Nahoptik muss man sich vorstellen, dass der Beobachter ohne Instrument automatisch den Gegenstand in jene Entfernung (vom Auge) bringt, in der optimale Bedingungen herrschen. Dies ist per definitionem dann der Fall, wenn er den
Gegenstand in die Entfernung des besten natürlichen Sehens, d.h. in die sogenannte
Bezugssehweite bringt. Üblicherweise nimmt man für die Bezugssehweite eine Distanz von 25cm an. Für die Bezugssehweite verwendet man das Symbol a 0 :
a 0 : Bezugssehweite, üblicherweise a 0 = -25cm
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
23
Mit σ 0 bezeichnet man den Sehwinkel, unter dem der Gegenstand dem unbewaffneten Auge in der Bezugssehweite erscheint. Wir bezeichnen diesen Winkel
als Bezugssehwinkel (diese Bezeichnung hat allerdings keinen offiziellen Charakter).
Mit den eben definierten Grössen a 0 und σ 0 können wir nun die Vergrösserung der
Instrumente der Nahoptik wie folgt definieren:
Γ 'Nahoptik =
Sehwinkel σ ' mit Instrument
Sehwinkel σ 0 ohne Instrument , Objekt in Bezugssehweite
Es ist zu beachten und streng zu unterscheiden, dass die beiden Definitionen der Vergrösserung völlig unterschiedlich sind und nur dann die gleichen Resultate ergeben, wenn sich der Gegenstand gerade in der Bezugssehweite befindet.
Gelegentlich wird die Definition der Vergrösserung für die Ferne auch für die
Nahoptik angewendet. Man spricht dann von der sogenannten Vergrösserung für den
subjektiven Gebrauch:
Γ' subj = Γ' Fernoptik
Für die Herleitung der Formeln und für Berechnungen wäre es
ziemlich mühsam, immer wieder Winkel (in Grad oder Minuten) berechnen zu müssen. Man darf aber i.a. voraussetzen, dass die Winkel σ' etc.
in der Regel klein sind. Dann ist das Verhältnis der Winkel etwa gleich
dem Verhältnis der entsprechenden Sinus und Tangens:
sin(σ ' )
tan(σ ' )
σ'
≈
≈
σ
sin(σ )
tan(σ )
Für einen Gegenstand y in der Bezugssehweite a0 ergibt sich somit:
y
tan(σ 0 ) = − .
a0
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
24
3.2 Lupen
3.2.1 Die Lupenvergrösserung
Anhand der untenstehenden Figur stellen wir die notwendigen
Überlegungen zur Berechnung der Lupenvergrösserung an. Es ist vorerst einmal klar, dass die Lupe ein Instrument für die Nähe darstellt. Die
weiteren Bezeichnungen lauten:
y:
Gegenstandsgrösse [m]
y':
Grösse des Zwischenbildes [m]
a:
Entfernung des Gegenstandes y von der Lupe [m]
a':
Entfernung des Zwischenbildes y' von der Lupe [m]
aE :
Akkommodationsentfernung, Entfernung des Zwischenbildes y' vom
Auge [m] (objektseitige Hauptebene H ).
e:
Entfernung Lupe - Auge (immer positiv) [m]
Abbildung: Bezeichnungen und Abbildungsverhältnisse bei der Lupe
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
25
Die Berechnung der Vergrösserung läuft nun nach folgendem Rezept ab:
1. Berechnung des Tangens des Bezugssehwinkels σ 0 .
y
tan (σ 0 ) = −
a0
2. Berechnung der Grösse und der Lage des Zwischenbildes. Dazu verwendet man
am besten Gauss- und Bildgrössenformel.
3. Mit dem Ergebnis aus 2. berechnet man die Enmtfernung des Zwischenbildes vom
Auge, d.h. die Akkommodationsentfernung a :
a E = a '−e
4. Berechnung des Tangens des Sehwinkels σ':
y'
tan (σ ' ) = −
aE
5. Berechnung der Vergrösserung Γ':
tan(σ ' )
Γ' =
tan (σ 0 )
Bemerkung:
Mit ß' = y'/y erkennt man, dass die Lupenvergrösserung auch einfach mit der Formel
y'
−
a
aE
y' a0
=
⋅
= β '⋅ 0 berechnet werden kann, d.h. mit
Γ' =
y
y aE
aE
−
a0
a0
a0
Γ' = β '⋅
= β '⋅
aE
a '−e
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
26
Rechenbeispiele
1. Eine Lupe mit +18 dpt Brechwert befindet sich 4cm vor dem Auge. 5cm vor der Lupe befindet sich
ein 2mm grosser Gegenstand. Bestimmen Sie die Grösse und die Lage des Zwischenbildes, den
Abbildungsmaßstab,die Akkommodationsentfernung und die Lupenvergrösserung. Man bestimme
auch die Vergrösserung für den subjektiven Gebrauch.
2. Eine Lupe von 10 dpt Brechwert befindet sich 20 cm vom Auge entfernt. Ein Gegenstand (unbekannter Grösse) befindet sich 10 cm vor der Lupe. Man berechne (wo möglich) die gleichen Grössen wie in Aufgabe 1.
3. Eine Lupe von 12.5dpt befinde sich 8 cm vor dem Auge. Ein Gegenstand (unbekannter Grösse)
befindet sich 6 cm vor der Lupe. Man berechne (wo möglich) die gleichen Grössen wie in Aufgabe
1.
4. Eine Lupe von 20 dpt ist 15 cm vom Auge entfernt. Der betrachtete Gegenstand befindet sich in
einer Entfernung von 2.5 cm vor der Lupe. Berechnen Sie die gleichen Grössen wie in Aufgabe 1.
Aufgaben "Lupe I"
1. Definieren Sie die Vergrösserung eines Instrumentes für die Nähe.
2. Definieren Sie den Begriff "Abbildungsmaßstab".
3. Unterscheiden Sie "Vergrösserung" und "Abbildungsmaßstab".
4. Eine Lupe hat einen Brechwert von 12.5 dpt. Ein 2cm grosser Gegenstand befindet sich 7cm vor
der Lupe; das Beobachterauge befindet sich 12cm hinter der Lupe.
a) Berechnen Sie die Lage und die Grösse des Zwischenbildes.
b)
Berechnen Sie den Abbildungsmaßstab und die Vergrösserung in dieser Situation.
5. Eine Briefmarke befindet sich 0.87cm vor der dingseitigen Hauptebene einer starken Lupe mit 68.6
dpt Brechwert. Das Beobachterauge befinde sich 1.2cm hinter der Lupe.
a) Berechnen Sie die Lage des Zwischenbildes und den Abbildungsmaßstab.
b) Berechnen Sie die Vergrösserung in dieser Konstellation.
6. Die Vergrösserung einer Lupe ist 8x. Der Abstand Auge-Lupe ist 4cm. Der Brechwert der Lupe ist
mit 18dpt angegeben.
a)
Bestimmen Sie die Gegenstandsweite.
b)
Wie gross ist der Abbildungsmassstab?
7. Auf der Innenseite eines mit Wasser gefüllten, kugelrunden Weinglases (als mit unendlich dünnen
Wänden ausgestattet aufzufassen, Durchmesser 5.5cm) befindet sich ein Luftbläschen (Durchmesser 1.5mm). Ein weiteres Luftbläschen (Durchmesser 1.8mm) befindet sich 1cm von der (vom
Beobachter weiter entfernten) Wand des Glases entfernt. Die Beobachtung erfolgt durch das Glas
hindurch. Das Beobachterauge befinde sich 3cm hinter dem Glas.
a)
Wie gross sind die Zwischenbilder der beiden Luftbläschen und wo befinden sie sich ?
b)
Bestimmen Sie die Abbildungsmaßstäbe und Vergrösserungen.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
27
Aufgaben "Lupen I" ff
1. Eine Visolett-Lupe hat einen Brechwert von 15 dpt und ist aus Kronglas (n=1.523) gefertigt.
a)
Berechnen Sie den Krümmungsradius r und die Dicke d dieser Lupe.
b)
Das Auge ist 15cm von der Lupe entfernt. Bestimmen Sie die Lupenvergrösserung und die
Vergrösserung für den subjektiven Gebrauch.
2. Eine modifizierte Visolett-Lupe hat einen Krümmungsradius von (betragsmässig) 4cm und ist 8cm
dick. Das Lupenglas hat einen Brechungsindex von 1.62.
a)
Bestimmen Sie den Brechwert der Lupe, die Lage des Zwischenbildes, die Akkommodationsentfernung und den Abbildungsmaßstab.
b)
Bestimmen Sie die Lupenvergrösserung und die Vergrösserung für den subjektiven
Gebrauch, vorausgesetzt, die Lupe befindet sich in einer Entfernung von 8cm vom Auge.
3. Ein modifizierter Lesestab aus Acryl-Glas wird aus einem runden Stab gefertigt, indem ein Viertel
der Dicke des Stabes weggeschliffen wird. Der ursprüngliche Durchmesser des Stabes betrug 2cm
und der Brechungsindex ist mit 1.49 angegeben.
a)
Bestimmen Sie den Abbildungsmassstab für diesen Lesestab.
b)
Wie gross sind die Akkommodationsentfernung, die "Lupenvergrösserung" und die Vergrösserung für den subjektiven Gebrauch in vertikaler und horizontaler Richtung, wenn die Entfernung Text-Auge 20 cm beträgt?
3.2.2 Blendenfunktionen im System „Lupe-Auge"
Wir untersuchen die Blendenfunktionen beim System "Lupe-Auge anhand der
Konstruktionsvorlage auf der folgenden Seite. Das Ergebnis unserer Untersuchung
kann wie folgt zusammengefasst werden:
1.
Die Aperturblende des Systems ist die Augenpupille. Sie definiert also, wieviel
Licht vom Gegenstand auf die Netzhaut gelangt.
2.
Die Gesichtsfeldblende des Systems ist die Lupenfassung. Die Grösse des
Gesichtsfeldes ist durch die Grösse der Lupenfassung und den Abstand "Lupe-Auge" definiert.
3.
Stark vergrössernde Lupen weisen oft erhebliche Abbildungsfehler auf. Diese
werden bekanntlich gegen den Rand hin immer störender. In diesem Zusammenhang spricht man von einer sogenannten effektiven Gesichtsfeldblende,
d.h. derjenige Bereich einer Lupe, in der die Abbildungsfehler erträglich klein
sind.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
28
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
29
3.3 Mikroskop
3.3.1 Einfaches und zusammengesetztes Mikroskop
Das Mikroskop ist - wie die Lupe - ein Instrument für die Nähe. Es kommt
demnach beim Mikroskop die Definition der Vergrösserung eines Instrumentes für die
Nähe zur Anwendung. Bei den Lupen haben wir gesehen, dass die (Normal-) Vergrösserung eines Instrumentes um so grösser ist, desto grösser der (Gesamt-)
Brechwert der Lupe ist. Das einfache Mikroskop ist nichts anderes als die Fortsetzung dieser Gesetzmässigkeit in grössere Bereiche des "Lupenbrechwertes". Einfache Mikroskope sind also Plusgläser mit grossem Brechwert. Die Mikroskopvergrösserung berechnet sich also nach der Formel:
Γ' =
DM
− A0
Dabei ist folgendes zu bemerken:
•
DM bezeichnet den Gesamtbrechwert des Mikroskops. Wie bei den Lupen
ist die Vergrösserung beim einfachen Mikroskop positiv, d.h. das vom Auge
wahrgenommene Bild hat die gleiche Orientierung wie das Objekt (Bild aufrecht). Mit A0 bezeichnen wir wie bisher die Vergenz der Bezugssehweite
a0 . Diese wird wie üblich mit -25cm angenommen, sofern nichts anderes
vermerkt wird.
•
Weiter muss man feststellen, dass man beim einfachen Mikroskop nur die
Normalvergrösserung angibt; dies rührt daher, dass man davon ausgeht,
der Gegenstand befinde sich für alle praktischen Anwendungen in der
dingseitigen Brennebene des einfachen Mikroskops.
Wie wir wissen, hat man mit nur einer Linse nur wenig Möglichkeiten, die Abbildungsfehler unter Kontrolle zu halten; dies gilt insbesondere für die chromatische
Aberration. Die einfachen Mikroskope gehören deshalb zum untersten Preissegment.
Da aber der Aufbau sehr einfach ist, kann man zumindest die einzige wirksame Linse
asphärisch gestalten und so wenigstens die monochromatischen Abbildungsfehler in
vernünftigen Grenzen halten. Im weiteren beschränken wir unsere Diskussion auf
das zusammengesetzte Mikroskop.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
30
3.3.2 Funktionsweise des zusammengesetzten Mikroskops
Die Funktionsweise des zusammengesetzten Mikroskops können wir anhand
der untenstehenden Skizze erkennen. Das zusammengesetzte Mikroskop demnach
besteht aus zwei funktionellen Einheiten:
a)
Das Objektiv. Dessen Aufgabe besteht darin, ein in der Regel stark vergrössertes reelles Zwischenbild zu erzeugen.
b)
Das Okular. Seine Funktion besteht darin, das Zwischenbild nach Unendlich abzubilden; es
dient dem Beobachterauge als Lupe zur genaueren Betrachtung des Zwischenbildes.
Abbildung: Funktionsweise des zusammengesetzten Mikroskops
Die Strecke zwischen dem bildseitigen Brennpunkt des Objektivs und dem
dingseitigen Brennpunkt des Okulars heisst „optische Tubuslänge t“ des Mikroskops. Inzwischen hat man diese Strecke praktisch bei allen Mikroskopen auf
160mm genormt. Wenn bei einem Mikroskop die Tubuslänge nicht speziell angegeben wird, darf man annehmen, diese sei 160mm lang.
Damit auch wirklich eine Vergrösserung zustande kommt, muss der Abbildungsmassstab des Objektivs (betragsmässig) grösser als 1 sein. Dies bedeutet,
dass der Gegenstand in der Regel sehr nahe am dingseitigen Brennpunkt des Objektivs sein muss und dass der Brechwert des Objektivs recht gross sein muss. Ausnahmen von dieser Regel bilden Mikroskope mit geringer Vergrösserung, bei denen
ein hoher Arbeitsabstand erwünscht ist wie z.B. bei Binokularen oder beim Ophthalmometer und Spaltlampenmikroskop. Bei diesen wird eine allfällige Vergrösserung
vorwiegend durch das Okular erreicht.
3.3.3 Vergrösserung des Mikroskops
Die Vergrösserung des zusammengesetzten Mikroskops berechnet sich nach
der Formel
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
31
Γ ' M = β 'Obj Γ 'Ok
d.h. in Worten:
Vergrösserung des Mikroskops = Abbildungsmassstab des Objektivs
x Lupenvergrösserung des Okulars
Herleitung dieser Formel:
Gegeben sei die wahre Grösse y des Gegenstandes. Die Grösse des Zwischenbildes berechnet sich als Gegenstandsgrösse mal Abbildungsmassstab des Objektivs, d.h. als
y ' = β 'Obj ⋅ y .
Der Sehwinkel, unter dem das im dingseitigen Brennpunkt des Okulars stehende Zwischenbild dem Auge erscheint, ist gegeben durch
tan σ ' = −
y'
f Ok
.
Ohne Instrument würde der Gegenstand in der Bezugssehweite a0 unter einem Winkel σ0 erscheinen:
tan σ 0 =
y
.
− a0
Die Vergrösserung des Mikroskops ergibt sich daraus als:
−
y'
y ⋅ β 'Obj a 0
f Ok
a
D
y' a0
=
⋅
=
⋅
= β 'Obj ⋅ 0 = β '⋅ Ok = β '⋅Γ'Ok .
y
y
− A0
f Ok y
f Ok
f Ok
− a0
Die Lupenvergrösserung des Okulars ist in der Regel positiv, der Abbildungsmassstab des Objektivs negativ. Die Gesamtvergrösserung des Mikroskops ist demnach negativ. Dies bedeutet nicht, wie vielfach fälschlicherweise angenommen wird,
dass das Mikroskop verkleinert, sondern dass das durch das Mikroskop wahrgenommene Bild auf dem Kopf steht.
Im Praktikum diskutieren wir den Aufbau eines Mikroskops mit Minusokular.
Wir stellen fest, dass mit einem solchen Okular recht viele Vorteile verbunden sind;
so fallen insbesondere das aufrechte Bild und die kompaktere Bauweise positiv auf.
Andererseits stellen wir fest, dass durch die Unmöglichkeit, die Gesichtsfeldblende
ideal zu plazieren, starke Vignettierung und Distorsion auftreten. Damit verbunden
sind auch weitere Abbildungsfehler schon bei relativ geringen Vergrösserungen. Da
Mikroskope für die meisten Fälle mit grösseren Vergrösserungen zum Einsatz kommen, ist es nicht üblich, Minusokulare zu bauen - dementsprechend besteht für diese
Okulare kein Markt. Wir schliessen daraus, dass zwar für Anwendungen im LowVision Bereich Mikroskope mit Minusokularen (bei geringer Vergrösserung) sehr
sinnvoll wären, der dafür fehlende Markt aber eine Entwicklung von brauchbaren
Okularen weitgehend verhindert hat.
Der Abbildungsmassstab des Objektivs kann mit Hilfe der Brennweite des
Okulars und der Tubuslänge ausgedrückt werden. Dazu stellen wir vorerst einmal
fest, dass die Tubuslänge in der Newtonformel mit dem z' identifiziert werden kann.
Andererseits wissen wir, dass der (Transversal-) Abbildungsmassstab bei den Newton-Formeln durch
z'
β' = −
f'
gegeben ist. Wir schliessen daraus
Γ' =
tan σ '
=
tan σ 0
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
32
t
f 'Obj
Die Lupenvergrösserung des Okulars schreiben wir als
− a0
Γ'Ok =
.
f 'Ok
Damit wird die Mikroskopvergrösserung:
− a0
a
t
t
Γ' M = β 'Obj ⋅Γ'Ok = −
⋅
=
⋅ 0 .
f 'Obj f 'Ok
f 'Obj f ' Ok
Aus dieser Formel wird ersichtlich, dass die Mikroskopvergrösserung um so
grösser wird, desto kürzer die Brennweiten von Objektiv und Okular sind. Im übrigen
ist aber die eben hergeleitete Formel wenig sinnvoll, da bei den meisten Objektiven
nicht die Brennweite, sondern direkt der Abbildungsmassstab gegeben ist.
β 'Obj = −
3.3.4 Blendenfunktionen beim Mikroskop
Die Blendenfunktionen untersuchen wir anhand der Konstruktionsgrundlage
auf dem zweiten Teil der Seite. Wir betrachten ein Mikroskop, bei dem vereinfachend
das Objektiv und das Okular als dünne Linsen mit Linsenfassungen angenommen
werden. Ausser der Linsenfassungen befinden sich keine strahlbegrenzenden Objekte wie Blenden und Feldlinsen etc. im System. Daraus folgt:
1.
Die Fassung des Objektivs wirkt als Aperturblende und somit auch als Eintrittspupille. Die
Austrittspupille ist reell etwas hinter dem Bildbrennpunkt des Okulars. Damit ist ein einwandfreies
Beobachten möglich, da die Augenpupille an den Ort der AP gebracht werden kann.
1. Die Fassung des Okulars wirkt als Gesichtsfeldblende und somit auch als Austrittsluke. Die Eintrittsluke ist etwas rechts von der zu beobachtenden Dingebene
und ebenfalls reell.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
33
Abbildung:
Zur Bestimmung der Blendenfunktionen beim zusammengesetzten Mikroskop
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
34
3.3.5 Köhlersche Beleuchtung
Das am meisten angewandte Prinzip für die Durchlichtbeobachtung ist die sogenannte Köhlersche Beleuchtung. Sie ist in der folgenden Figur dargestellt.
Figur: Köhlersche Beleuchtung - Prinzipschema
Beschreibung der Funktionsweise der Köhlerschen Beleuchtung
Die Glühlampenwendel wird durch den Kollektor vergrössert in eine Ebene
abgebildet, in der sich sich die Aperturblende der Beleuchtungsvorrichtung befindet.
Wird diese Blende mehr oder weniger geöffnet, kann natürlich entsprechend mehr
oder Licht durch das System gelangen.
Der hinter der Aperturblende folgende Kondensor bildet das Glühwendelbild
nach Unendlich ab. Mit diesem nach Unendlich Abbilden wird dafür gesorgt, dass
das Präparat gleichmässig ausgeleuchtet wird. Verfolgen wir den Strahlengang weiter, so erkennen wir, dass die Glühwendel in die bildseitige Brennebene des Mikroskopobjektives abgebildet wird. Wird die Öffnung der Aperturblende der Beleuchtungsvorrichtung zu gross gewählt, dann wirkt die Aperturblende des Mikroskopobjektivs strahlbegrenzend (als Systemaperturblende), sonst diejenige der Beleuchtungsvorrichtung (gilt nur für ungebeugtes Licht !)
Dicht hinter dem Kollektor befindet sich die Leuchtfeldblende. Sie stellt die
Gesichtsfeldblende des Beleuchtungsstrahlenganges dar. Sie ist mit der beobachteten Objektebene konjugiert. Demzufolge bestimmt die Leuchtfeldblende den ausgeleuchteten Objektbereich. Bei normalen Mikroskopen ist die Leuchtfeldblende kreisförmig. Beim Spaltlampenmikroskop hingegen ist diese Blende - wie der Name erkennen lässt - spaltförmig.
Durch Dezentrieren der Aperturblende oder des Kondensors wie auch durch
Verkippen der ganzen Beleuchtungsvorrichtung kann eine Dunkelfeldbeobachtung
auf einfachste Weise realisiert werden.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
35
3.4 Fernrohre
3.4.1 Das Kepler-Fernrohr
3.4.1.1 Vergrösserung des Kepler-Fernrohres
Das Kepler-Fernrohr ist aus zwei Plus-Linsen aufgebaut; die Linsen sind - wie
bei jedem Fernrohr - zu einem afokalen System angeordnet. Wir müssen nun lediglich untersuchen, wie sich die Eigenschaften eines afokalen Systems auf die Sehwinkel und damit auf die Vergrösserung eines Instrumentes auswirken. Ein Fernrohr wird
grundsätzlich für die Betrachtung weit entfernter Gegenstände verwendet. Für solche
Instrumente und Beobachtungssituationen kommt die Vergrösserung für Instrumente
der Fernoptik zur Anwendung:
Γ' Fern =
σ'
Sehwinkel σ ' mit Instrument
=
σ
Sehwinkel σ ohne Instrument
Wir betrachten nun die Funktionsweise des Kepler-Fernrohres anhand der
untenstehenden Skizze. Von einem sehr weit entfernten Gegenstand gelangen die
Lichtstrahlen quasiparallel, unter einem bestimmten Winkel σ zur optischen Achse, in
das Fernrohr-Objektiv. Die Wirkung des afokalen Systems besteht in einer Winkelübersetzung. Zur Anwendung kommt das eben kennengelernte Prinzip des Winkelabbildungsmaßstabes γ'. Der Sehwinkel σ wird also durch das Instrument in den
Winkel σ' abgebildet:
D1
σ
D2
σ' F'2
F'1 = F2
y'1
F1
Abbildung: Funktionsweise des Keplerfernrohres
Die Vergrösserung des afokalen Systemes wird dadurch zu:
Γ' =
σ'
γ '⋅σ
=
= γ'
σ
σ
.
Die Vergrösserung eines afokalen (Kepler-) Systems ist gleich dem Winkelabbildungsmaßstab.
Es gibt noch eine weitere nützliche Betrachungsweise für die Vergrösserung
des Keplerfernrohres. Wir stellen uns vor, die Strahlen eines weit entfernten Gegenstandspunktes gelangen (parallel zueinander) unter einem Sehwinkel σ zur optischen
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
36
Achse auf das Objektiv. Durch dieses werden sie in einen Punkt in der bildseitigen
Brennebene abgebildet. Es gilt:
y ' = f 1 ⋅ tan (σ ) .
Das Okular des Fernrohres dient nun dazu, das Zwischenbild vergrössert zu betrachten. Dazu bildet das Okular das Zwischenbild nach Unendlich ab. Der Winkel, unter
dem die parallelen Strahlen das Okular verlassen, bilden einen Winkel σ' zur optischen Achse:
y ' = f ' 2 ⋅ tan (σ ' ) .
Nun berechnen wir aus den beiden eben hergeleiteten Gleichungen das Verhältnis
y'
f1
f '2
tan (σ ' )
.
Γ' =
=
=
y'
tan (σ )
f '2
f1
Setzen wir
n'
n
f '1 = 1
f1 = −
D1
D1
und
n
n'
f2 = − 2
f '2 =
D2
D2
so wird daraus
Γ' =
f1
n f '1
n 1
=
⋅
=
⋅
= γ'
f '2
n' f 2
n' β '
Für den besonders wichtigen Fall eines afolalen Systems in Luft (n=n’=1) können wir also schreiben:
Γ' =
f1
f '1
1
=
=
= γ'
f '2
β'
f2
3.4.1.2 Blendenfunktionen beim Kepler-Fernrohr
Wir untersuchen die Blendenfunktionen beim Keplerfernrohr anhand der untenstehenden Konstruktionsgrundlage. Vorausgesetzt ist, dass das Objektiv die Aperturblende darstellt. Wir stellen fest, dass i.a. gilt:
1.
EP = ApBl = Fassung des Objektivs
AP = reelles Bild der Objektivfassung, durch Okular erzeugt.
2.
AL = GfBl = Fassung des Okulars.
3.
EL = reelles dingseitiges Bild der Okularfassung, durch Objektiv erzeugt.
Gesichtsfeldwinkel:
tan (w ) =
∅(Okular )
2 ⋅ ( f 'Obj + f ' Ok )
(ohne Gesichtsfeldblende)
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
37
tan (w ) =
∅(GfBl )
2 ⋅ f ' Obj
(mit GfBl in Brennebene)
4.
Ist die Fassung des Okulars oder die Augenpupille sehr klein, so können diese zur ApBl werden, was das ganze umkehrt.
5.
Die AP ist das Systembild der EP = ApBl. Für Systeme in Luft gilt, dass der
Abbildungsmaßstab gleich der reziproken Vergrösserung ist. Dies bedeutet,
dass die Vergrösserung auch aus dem Verhältnis von EP und AP bestimmt
werden kann:
Γ' =
∅(EP )
∅( AP )
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
38
3.4.2 Das Galilei-Fernrohr
Das Galilei-Fernrohr ist ein aus einer Plus und einer Minus-Linse zusammengesetztes afokales System. Was die Formeln für die Vergrösserung anbelangt, so
gibt es dazu nichts neues dazuzufügen; die Formeln für die Vergrösserung sind für
beide Arten, d.h. sowohl für Kepler- als auch für Galilei-Fernrohre gültig. Wir müssen
uns aber mit den Strahlengängen und Blendenfunktionen noch etwas auseinandersetzen. Dazu betrachten und vervollständigen wir die untenstehende Konstruktionsgrundlage. Wir stellen fest:
1.
Die Okularfassung (Augenpupille) ist die ApBl und AP des Systems.
Die EP ist das virtuelle dingseitige Blendenbild der Okularfassung (Augenpupille), erzeugt
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
39
2.
durch die Objektivfassung.
Die Objektivfassung ist die Gesichtsfeldblende und damit auch die Eintrittsluke des Systems.
Die Austrittsluke ist das bildseitige Blendenbild der Objektivfassung.
3.
Der halbe Gesichtsfeldwinkel berechnet sich nach
tan (w ) =
4.
5.
6.
∅(Objektiv )
2 ⋅ Γ'⋅d
wobei mit d der Abstand zwischen Objektiv und Okular bezeichnet ist.
Wird der Durchmesser des Objektivs zu klein gewählt, kann dieses auch zur Aperturblende
des Systems werden (Inversion der Blendenfunktionen). Achtung: Die obenstehende Formel
für den halben Gesichtsfeldwinkel w stimmt dann nicht mehr !
Da es nicht möglich ist, eine Gesichtsfeldblende ideal zu plazieren, hat es in Galilei-Systemen
immer recht viel Vignettierung. Ob dies aber immer als negativ zu beurteilen ist, möge als
fraglich bezeichnet werden.
Gegenüber den Kepler-Systemen fallen bei den Galilei-Systemen die kürzere
Bauweise und die Tatsache, dass keine Bildumkehrsysteme benötigt werden,
positiv auf.
3.5 Feldlinsen und Okulare
3.5.1 Einleitung
Wenn es darum geht, die Funktionsweise von Fernrohren und Mikroskopen verständlich zu machen, wird meist nur eine einzelne Linse als Okular verwendet. Dies ist für
das bessere Verständnis sicher sinnvoll, kann aber optisch wenig überzeugen.
In diesem Abschnitt wollen wir darstellen, wie die optisch schlechte Lösung
eines Okulars aus nur einer Linse verbessert werden kann und welche Folgen diese
Verbesserungen mit sich bringen.
3.5.2 Konzept der Feldlinse
Eine erste wesentliche Verbesserung bringt die Verwendung einer Feldlinse. Grundsätzlich wird die Feldlinse (theoretisch und nach Möglichkeit, siehe Erläuterungen
weiter unten) in der Ebene des Zwischenbildes angebracht. Weil die Feldlinse die
Funktion des Okulars erleichtert und ergänzt, wird sie zum Okular "gezählt".
Die Einzellinse, die vorher das Okular darstellte, wird nun als Augenlinse bezeichnet.
Unter der Voraussetzung, dass das Zwischenbild tatsächlich in der dingseitigen Hauptebene H der Feldlinse entsteht, geschieht in der Feldlinse nichts anderes
als eine Abbildung im Massstab 1:1 auf die bildseitige Hauptebene H' der Feldlinse,
also scheinbar nichts. Was kann nun der Sinn der Feldlinse sein ? Um dieser Frage
nachzugehen untersuchen wir im unten gezeichneten Beispiel den Strahlengang
(willkürlich wurde der Fall eines auf ∞ gestellten Fernrohres gewählt).
Mit 1 ist der zentrale Öffnungsstrahlengang gezeichnet. 2 stellt den Hauptstrahlengang und den schiefen Öffnungsstrahlengang am Rand des Gesichtsfeldes
dar und 3 ist ein Strahlenbüschel, das durch die Okularlinse vollständig ausgeblendet
wird. Bereits bei Strahlenbüscheln, die nur ganz wenige Grad gegen die optische
Achse geneigt sind, entsteht Vignettierung. Die Vignettierung und das Ausblenden
von Strahlenbüscheln kann ohne weitere optische Elemente nur verhindert werden,
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
40
indem die Öffnung der Augenlinse (Okularlinse) vergrössert wird. Eine Alternative zu
dieser wenig attraktiven Lösung (Vergrösserung der sphärischen Aberration bei
grösseren Okularlinsen !) stellt das Verwenden einer Feldlinse dar.
Abbildung: Strahlengang in einem Fernrohr ohne Feldlinse
Am besten können wir die Funktion der Feldlinse verstehen, wenn wir von der vorerst
extremen Annahme ausgehen, dass die Feldlinse das Objektiv und das Okular optisch konjugiert, d.h. dass das Objektiv durch die Feldlinse in die Augenlinse abgebildet wird und umgekehrt. Der Sinn und der prinzipielle Strahlenverlauf sollen anhand
der unstenstehenden Konstruktion erläutert werden.
Abbildung: Strahlengang in einem Fernrohr mit Feldlinse
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
41
Die Erkenntnisse, die sich aus und anhand dieser Konstruktion ergeben, seien
in den folgenden Punkten erläutert.
1) Der Brechwert der Feldlinse kann so gewählt werden, dass die bildseitige Hauptebene der Objektivlinse (des Objektivsystems) H' auf die dingseitige Hauptebene
der Augenlinse (diejenige Linse, die am nächsten beim Auge liegt; genauer: Augenlinsensystems). Dies ist eine extreme Wahl des Brechwertes der Feldlinse,
erläutert aber den Sinn der Feldlinse am besten. Weiter unten werden wir dann
diskutieren, wie reale Feldlinsen wirken können. Mit dieser Wahl des Brechwertes der Feldlinse sind drei weitere Fälle verbunden:
1.1) Der Durchmesser des Bildes des Objektives ist grösser als der Durchmesser der Augenlinse. Die Objektivöffnung verliert in diesem Falle die Funktion
der Aperturblende; die ApBl ist nun die Augenlinse (Geldverschwendung in
der Instrumentenkonstruktion).
1.2) Das Bild des Objektives ist kleiner als die Öffnung der Augenlinse. Die Funktion der Aperturblende bleibt beim Objektiv, die Grösse der Augenlinse ist
jedoch zu gross wenn ökonomische Gründe beim Design von Instrumenten
geltend gemacht werden sollen.
1.3) Das Bild des Objektives passt genau in die Öffnung der Augenlinse. Ideale
Wahl.
2) Die Strahlen, die ohne Feldlinse ausgeblendet wurden oder zu Vignettierung
führten, können nun mühelos durch das Fernrohr gelangen. Die Feldlinse bewirkt
also, dass mehr Licht durch das System gelangen kann, ohne dass die einzelnen
Komponenten grösser gemacht werden müssen. Genauer: Die Feldlinse verhindert weitgehend Vignettierung und „verbessert“ den Hauptstrahlengang. Die
Feldlinse lenkt Öffnungs- und Hauptstrahlengang in die Augenlinse. Eine
sinnvoll eingesetzte Feldlinse vergrössert das Gesichtsfeld.
Die Funktionen EP und ApBl sind beim Objektiv, die AP ist die Augenlinse.
Gesichtsfeldblende GfBl ist somit die Feldlinse. Daher rührt auch ihr Name: Feldlinse. Die Feldlinse wirkt also gesichtsfeldbegrenzend.
3) Ohne Feldlinse müsste die Augenlinse um einiges grösser gemacht werden, damit das gleiche Gesichtsfeld erreicht werden könnte. Allerdings wird dieser Vorteil damit erkauft, dass die Lage der Austrittspupille von ausserhalb der Augenlinse in die Augenlinse verlegt wird. Dies wirkt sich besonders bei Brillenträgern
negativ aus (eingeschränktes Gesichtsfeld bei Verwendung des Instrumentes mit
Brille).
4) Die Vergrösserung des Instrumentes und die Grösse der Austrittspupille bleiben
unverändert. Mit der Feldlinse werden also die charakteristischen Grössen eines
Instrumentes nicht verändert. Direkt beeinflusst werden durch die Feldlinse nur
die Strahlengänge, das Gesichtsfeld und die Lage der Austrittspupille.
5) Die sphärischen Aberrationen nehmen mit der Stärke der Augenlinse und der
Öffnung der Augenlinse zu. Will man ein bestimmtes Gerät kompakter bauen, so
muss man Bauteile mit grösserem Brechwert verwenden. Dabei nehmen i.a. die
sphärischen Aberrationen zu, will man nicht die Lichtstärke eines Instrumentes
vermindern (indem man die Öffnungen kleiner wählt). Verwendet man eine Feldlinse, so kann man bei gleichbleibender Vergrösserung des Instrumentes das
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
42
Okular mit einem grösseren Brechwert versehen, das gesamte Instrument also
kompakter bauen.
6) Bisher sind wir immer davon ausgegangen, dass der Brechwert der Feldlinse so
gross ist, dass das Objektiv in die Augenlinse abgebildet wird. Diese Annahme ist
sinnvoll, um die Arbeitsweise der Feldlinse im Prinzip zu verstehen; für konkrete
Anwendungen wählt man aber die Feldlinse mit einem geringeren Brechwert. Die
meisten Vorteile der Feldlinse bleiben dabei im wesentlichen erhalten, gewichtige
Nachteile werden entschärft. Wir zählen hier die wesentlichen Folgen des Verwendens einer Feldlinse noch einmal auf:
• Vergrösserung des Gesichtsfeldes.
• Verringern der erforderlichen Grösse der Augenlinse.
• Reduktion der Vignettierung
• Verkürzen der Distanz Austrittspupille - Augenlinse
7) Welche Eigenschaften weist das System aus Feldlinse und Augenlinse auf ? Interessant ist in diesem Zusammenhang vielleicht, dass die Lage der dingseitigen
Hauptebene und des dingseitigen Brennpunktes gegenüber einem einlinsigen
Okular nicht verändert werden. Dies können wir verstehen, wenn wir den Gesamtbrechwert des Systems berechnen:
D = DFL + D AL − d ⋅ DFL ⋅ D AL
d.h. wegen d = − f
AL
:
D = DFL + D AL + f
AL
⋅ DFL ⋅ D AL
d.h.
D = D AL
Die Lage der Hauptebene H berechnen wir nach
D
D
h = d ⋅ AL = d ⋅ AL = d
D
D AL
Somit ist die Hauptebene H des Systems um h von der Feldlinse entfernt, liegt
also in der Hauptebene H der Augenlinse. Die Brennweite des Systems ist gleich
der Brennweite der Augenlinse selber.
8) Erstaunlicherweise werden trotzdem nur billige Instrumente mit einer Feldlinse in
der oben beschriebenen Weise ausgestattet. Dafür gibt es zwei Gründe:
a) Die Augenlinse wirkt wie eine Lupe, die ihre dingseitige Brennebene in der
Hauptebene der Feldlinse hat. Befinden sich irgendwelche Staubteile oder
Kratzer auf der Feldlinse, so stechen diese förmlich ins Auge und stören
sehr.
b) Will man das Okular mit einem Fadenkreuz oder einer Strichplatte für Messzwecke versehen, so ist die ideale Lage dafür der Ort des Zwischenbildes.
Befindet sich dort eine Feldlinse, so ist dies natürlich nicht möglich.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
43
3.5.3 Klassifizierung von Okularen
Im vorangehenden Abschnitt wurde dargelegt, dass es nicht ohne Nachteil ist,
die Feldlinse direkt in der Ebene des Zwischenbildes anzubringen. Je nachdem ob
nun die Feldlinse vor oder hinter der "Feldlinse" liegt, unterscheidet man zwischen
den sogenannten Ramsden- oder Huygens-Okularen. Es ist klar, dass durch das
Verschieben der Lage der Feldlinse die Funktion der Feldlinse etwas verändert wird.
Trotzdem betrachtet man weiterhin die erste Linse des Okulars als Feldlinse.
Definition Ramsden-Okular:
Ein Okular vom Typ Ramsden liegt dann vor, wenn der dingseitige
Brennpunkt eines zweilinsigen Systems aus Feld- und Augenlinse vor
oder gerade in der Feldlinse liegt.
Definition Huygens-Okular:
Ein Okular vom Typ Huygens liegt dann vor, wenn der dingseitige
Brennpunkt eines zweilinsigen Systems aus Feld- und Augenlinse hinter
der Feldlinse liegt.
Weitere Merkmale zur Unterscheidung der beiden "elementaren" Okulartypen:
• Beim Ramsden-Typ entsteht das Zwischenbild vor der Feldlinse, d.h. vor dem
Okular. Dieses Zwischenbild ist also reell und kann grundsätzlich durch ein reelles
Objekt ersetzt werden. Dies bedeutet, dass Ramsden-Okulare als Lupen verwendet werden können.
• Beim Huygens-Okular entsteht das Zwischenbild hinter der Feldlinse und ist virtuell. (Merkregel: Huygens → hinten)
• In der Regel ist bei den Ramsden-Okularen der Brechwert der einzelnen Linsen
geringer als der Brechwert des Okulars.
• Bei den Huygens-Okularen ist der Brechwert der einzelnen Linsen (insbesondere
der Augenlinse) grösser als derjenige des Systems.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
44
3.5.3.1 Bezeichnung von Okularen
Okulare werden gelegentlich mit drei Zahlen charakterisiert. Beispiele:
•
•
•
•
•
•
3-2-1 Huygens-Okular
Ramsden-Okular
2-1-2 Ramsden-Okular
2-1-1-Ramsden-Okular
3-2-3-Ramsden-Okular
10-7-4-Huygens-Okular
Diese drei Zahlen bezeichnen das Verhältnis der bildseitigen Brennweite der Feldlinse, des Abstandes zwischen Feldlinse und Augenlinse und der bildseitigen Brennweite der Augenlinse. Also allgemein:
x-y-z-uvw-Okular: → f ' FL :d : f ' AL
= x: y:z
Berechnungsbeispiele folgen weiter unten.
Allgemein
DOk: vorgegeben
f ' +f '
d = 1 2
3
f '1 = k ⋅ f ' 2
Zusammenstellung Ramsden-Okular
Standard-Ramsden-Okular
DOk: vorgegeben
f ' +f '
d = 1 2
3
f '1 = f ' 2
(k = 1)
Allgemein
DOk: vorgegeben
f ' +f '
d = 1 2
2
f '1 = k ⋅ f ' 2
Zusammenstellung Huygens-Okular
Standard-Huygens-Okular
DOk: vorgegeben
f ' +f '
d = 1 2
2
f '1 = 2.5 ⋅ f ' 2
(k = 2.5)
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
45
3.5.4 Beispiele
Schliesslich wollen wir noch je ein Beispiel eines Ramsden- und eines Huygens-Standard-Okulars
ansehen (berechnen):
3.5.4.1 Standard-Ramsden-Okular (10x)
Das Standard-Ramsden-Okular soll eine Vergrösserung von 10 aufweisen. Wie gross sind die Linsen
und deren Abstand zu wählen? Wie lautet die Bezeichnung mit den drei Zahlen ? Wo liegen die Systembrennpunkte und die Systemhauptebenen in Bezug auf die einzelnen Linsen (Konstruktion!) ?
Wir halten vorerst einmal fest, dass die Vergrösserung den Brechwert des Systems festlegt:
Γ'Ok =
DOk
− A0
d.h.:
DOk = − A0 ⋅ Γ'Ok
Aus den weiteren Bedingungen
f '1 = f ' 2 ≡ f '
und
d =
f '1 + f ' 2
3
folgern wir
D1 = D2 ≡ D
und
d =
f '+ f '
2 1
2
f' = ⋅
=
3 D
3
3
Die Gullstrandformel ergibt:
2 1
4
DOk = D1 + D2 − d ⋅ D1 ⋅ D2 = 2 D − ⋅ ⋅ D 2 = D
3 D
3
In diesem Falle ist nach dem Brechwert der Augen- oder Feldlinse aufzulösen:
D =
3
3
DOk = 40dpt = 30dpt
4
4
Die Brennweiten sind also mit
1
f ' FL = f ' AL = 3 cm
3
gegeben. Für den Abstand d der beiden Linsen schliesslich berechnen wir:
d =
2
2
f ' = 2 cm = 2.222cm
9
3
Die Brennweiten der Einzellinsen und der Systemabstand stehen im Verhältnis
1
10 20 10
2
1
: :
f ' FL :d : f ' AL = 3 cm : 2 cm : 3 cm =
= 3: 2 : 3
3
3 9 3
9
3
zueinander, d.h. die Bezeichnung für das Standard-Ramsden-Okular heisst: 3-2-3-Ramsden-Okular.
Um eine Kontrolle für die Konstruktion zu haben, berechnen wir auch die Systemgrössen h
und h':
h = d
D AL
20
30dpt
5
=
cm ⋅
= cm = 1.67cm
9
40dpt
3
DOk
Aus Symmetriegründen ergibt sich sofort
h' = -h = -5/3cm = -1.67cm.
Die Konstruktion führen wir im Maßstab 2:1 durch:
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
46
3.5.4.2 Standard-Huygens-Okular (5x)
Das Standard-Huygens-Okular soll eine Vergrösserung von 5 aufweisen. Wie gross sind die Linsen
und deren Abstand zu wählen? Wie lautet die Bezeichnung mit den drei Zahlen ? Wo liegen die Systembrennpunkte und die Systemhauptebenen in Bezug auf die einzelnen Linsen (Konstruktion !) ?
Wie schon im ersten Beispiel schliessen wir:
DOk = − A0 ⋅ Γ'Ok = 20.0 dpt.
Aus den weiteren Bedingungen
f'1 = 2.5f'2 = 2.5f'
und
d =
f '1 + f ' 2
7
=
f'
2
4
folgern wir mit der Gullstrandformel:
DOk = D1 + D2 −
7
7
f ' 2 ⋅D1 ⋅ D2 = 1.4 ⋅ D2 − 0.7 ⋅ D2 =
D2
10
4
Also ist der Brechwert der Augenlinse gegeben durch:
D AL =
10
DOk
7
In diesem Falle erweist es sich als die einfachste Lösung, die Brennweite der Augenlinse zu berechnen:
f ' AL =
1
7 1
=
⋅
= 3.50cm
10 DOk
D AL
Weiter ergibt sich für die Feldlinse:
f ' FL = 2.5 ⋅ f ' AL = 2.5 ⋅ 3.5cm = 8.75cm.
und für den Systemabstand d aus der Achromasiebedingung:
5
f ' AL + f ' AL
f ' FL + f ' AL
1
24.5cm
7
2
d =
=
= f ' AL =
= 6 cm
8
4
2
2
4
Das Verhältnis der Brennweiten und des Systemabstandes ergibt bestimmen wir wie folgt:
f ' FL : d : f ' AL =
7
5
f ' AL : f ' AL : f ' AL = 10 : 7 : 4
4
2
Es handelt sich also um ein Okular vom Typ Huygens 10-7-4.
Wiederum im Sinne einer Kontrolle berechnen wir die Lage der Hauptebenen in Bezug auf die
Einzellinsen:
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
47
10
DOk
D AL
49
10
h = d
cm ⋅
= d 7
=
= 8.75cm.
DOk
DOk
8
7
Entsprechend berechnen wir h':
D AL
10 DOk
DFL
49
4
h' = − d
= − d 2.5 = − d 7 2.5 = − cm ⋅ = − 3.5cm.
DOk
DOk
DOk
8
7
Die Konstruktion fügen wir unten im Maßstab 1:1 an.
3.5.5 Kompliziertere Okulare
Insbesondere bei den Okularen vom Typ Ramsden, die ja ideal für die Verwendung
von Fadenkreuzen oder Messplatten ist, stört es sehr, dass die Achromasiebedingung nicht erfüllt ist. Ein erster einfacher Schritt besteht darin, die Augenlinse durch
ein Doublet zu ersetzen, das die chromatischen Aberrationen des ganzen Okulars
korrigiert. Ein solches Okular wird dann Kellner-Okular genannt. Wir fügen unten ein
Schema eines solchen Okulars an.
Aus den beiden Grundtypen von Okularen ist im Laufe der Geschichte eine
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
48
Unzahl von weiteren Okularen hervorgegangen, so z.B. die Okulare nach HuygensMittenzwei und die orthoskopischen Okulare.
Wir fügen Skizzen zu einigen gebräuchlichen Okularen an.
Abbildung: Einige verbreitete komplexere Okulare
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
49
3.5.6 Aufgaben Okulare
1. (HFP ?) Ein Kepler-Fernrohr hat ein Objektiv mit 50 cm Brennweite und ein 4-3-2
Okular von 75 dpt.
a) Welches ist die Vergrösserung des Fernrohres ?
b) Berechnen Sie die Distanz zwischen den beiden Linsen des Okulars (Feldlinse Augenlinse).
c) Berechnen Sie die Distanz zwischen dem dingseitigen Brennpunkt des Okulars
und der Feldlinse sowie den Abstand des bildseitigen Brennpunktes von der Augenlinse.
d) Zusatzfrage 1: Um welchen Okular-Typ handelt es sich ?
e) Zusatzfrage 2: Ist das Okular achromatisch ?
2. (HFP 1990) Man will ein 3-2-1-Huygens-Okular von 35 dpt realisieren (Brennweite der Feldlinse 3a, Abstand Feldlinse - Augenlinse 2a, Brennweite der Augenlinse a).
a) Man berechne die Brennweiten der beiden Linsen und deren Abstand.
b) Man bestimme durch Konstruktion die Brennpunkte und die Hauptebenen des
Okulars (des Systems).
3. Ein Kepler-Fernrohr mit einer Vergrösserung von 10x wird aus einem achromatischen Objektiv von 40cm Brennweite und einer Einzellinse aufgebaut. Der
Durchmesser des Objektivs beträgt 4cm und derjenige des Okulars 6mm.
a) Wie gross ist die Brennweite der Okularlinse ?
b) Man berechne die Lage der Austrittspupille (Abstand von der Augenlinse).
c) Wie gross ist das Gesichtsfeld auf 1000 m ? Gesichtsfeldwinkel ?
Die einfache Okularlinse wird nun durch ein Okular vom Typ 2-1-2 ersetzt
(Durchmesser der Augenlinse bleibt gleich, der Durchmesser der Feldlinse beträgt 2.00cm).
d) Man bestimme die Brennweiten der Linsen des Okulars sowie deren Abstand.
Typ des Okulars ? Wie muss die Durchbiegung der Linsen zur Verminderung der
sphärischen Aberration gewählt werden ? Ist das Okular achromatisch ?
e) Wo liegt nun die Austrittpupille des Fernrohrs ?
f) Wie gross sind nun der Gesichtsfeldwinkel und das Gesichtsfeld auf 1000m?
4. Was ist unter dem Begriff Brillenträgerokular zu verstehen ?
5. In der Instrumentenoptik gilt der Grundsatz, dass die Austrittspupille eines Instrumentes mit der Eintrittspupille des Auges identisch sein muss für optimale
Beobachtungsbedingungen. Erläutern Sie, was geschieht, wenn diese Bedingung nicht eingehalten wird.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
50
3.6 Photoapparat
In diesem Abschnitt machen wir uns vertraut mit dem Aufbau und der Arbeitsweise eines Photoapparates. Dabei verwenden wir den Begriff "Photoapparat" nicht
in der strengeren Bedeutung als Gerät für die Erzeugung photographischer Bilder;
vom Prinzip her sind nämlich Filmkameras und Videokameras gleich aufgebaut.
Die untenstehende Kamera zeigt einen Photoapparat im Querschnitt. Als erste
funktionelle Einheit erkennen wir das Photoobjektiv, welches in diesem Falle aus sieben z.T. verkitteten Linsen in drei Gruppen besteht. Im Innern des Objektivs befindet
sich die verstellbare Irisblende. Nachdem das Licht das Objektiv passiert hat, trifft es
auf den Spiegel, welcher nur bei den sogenannten Spiegelreflexkameras vorhanden
ist. Durch diesen Spiegel wird das Licht in eine Mattscheibe abgelenkt. Mittels eines
Pentaprismas (eine reflektierende Fläche des Pentaprismas muss als Dachkante
aufgebaut sein!) und einem Okular kann man das auf der Mattscheibe entworfene
Bild beobachten. Unmittelbar beim Pentaprisma befindet sich auch der Belichtungsmesser. Für die eigentliche Aufnahme wird der Spiegel hochgeklappt und das Licht
kann durch den Verschlussmechanismus für eine kurze und definierte Zeitspanne auf
das Negativ fallen.
Abbildung: 50mm-Photoobjektiv
Die Spiegelreflexkamera hat den Vorteil, dass die Beobachtung durch das Objektiv
erfolgt und dass daher weitgehend eine exakte Beurteilung des erzeugten Bildes und
der Belichtung möglich ist. Ein Nachteil ist sicher darin zu erkennen, dass der Spiegelmechanismus i.a. recht laut ist und - besonders bei längeren Ver-schlusszeiten zu einer Erschütterung der Kamera führen kann (Verwackeln des Bildes). In einigen
Reflexkameras hat man diesem Nachteil so Abhilfe verschafft, indem ein halbdurchlässiger Spiegel das Licht gleichmässig auf die Mattscheibe und den Film verteilt;
damit verbunden ist jedoch ein beträchtlicher Lichtverlust - sowohl für die BeobachZylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
51
tung wie auch für die eigentliche Aufnahme.
Im Gegensatz dazu sind bei Messucherkameras die Optiken für die Beobachtung und die Bildaufnahme getrennt. Dies hat Vorteile für die Lautstärke des Auslösevorganges und erlaubt einen einfacheren Verschlussmechanismus. Hingegen sind
Aufnahmen unter speziellen Bedingungen wie z.B. Nahaufnahmen erschwert.
3.6.1 Einige optische Zusammenhänge beim Photoapparat
Wir untersuchen in diesem Abschnitt einige Zusammenhänge aus der photographischen Optik. Vereinfachend wollen wir uns vorerst das Photoobjektiv als einfache Linse vorstellen. I.a. sind die durch das Objektiv abgebildeten Gegenstände sehr
weit entfernt verglichen mit der Brennweite des Objektivs. Eine Ausnahme davon
stellen die extremen Makroaufnahmen bzw. Makroobjektive dar, bei denen die Gegenstandsweite durchaus mit der Brennweite vergleichbare Werte annehmen kann.
Ist ein Gegenstand "sehr" weit entfernt, so hängt die Bildgrösse nur von der Brennweite des Objektivs ab:
y ' = f Obj ⋅ tan σ
Soll bei einem gegebenen Winkel σ, unter dem ein weit entfernter Gegenstand
erscheint, die vorhandene Fläche des Negatives möglichst gut durch das Bild
ausgefüllt werden, so ist dies nur durch geeignete Wahl der Brennweite des
Objektivs möglich. Wir skizzieren dies kurz in den beiden folgenden Schemen:
Abbildung: Objektiv mit kurzer Brennweite
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
52
Abbildung: Objektiv mit grosser Brennweite
Kehren wir die eben besprochene Situation um und betrachten wir die folgende Fragestellung:
Wie gross ist bei gegebener Brennweite das Gesichtsfeld, bzw. der Gesichtsfeldwinkel 2w ?
Bezeichnen wir mit d die Diagonale des Negatives und mit w den halben Gesichtsfeldwinkel, so lautet der Zusammenhang:
d
.
tan w =
2 ⋅ f 'Obj
Dieser Zusammenhang geht auch aus der untenstehenden Skizze nochmals
hervor. Er kommt auch besonders bei den als Weitwinkelobjektiven bezeichneten
Objektiven kurzer Brennweite zum Ausdruck.
Abbildung: Zur Bestimmung des Gesichtsfeldwinkels
Die Irisblende hat eine doppelte Funktion; einerseits steuert sie die Menge des
auf das Negativ fallenden Lichtes (zusammen mit der Verschlusszeit), was wir weiter
unter besprechen werden. Anhand der folgenden Skizzen rufen wir uns die wichtige
Funktion der Irisblende im Zusammenhang mit der Schärfentiefe in Erinnerung.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
53
Demnach ist die Schärfentiefe um so grösser, je kleiner die Blende eingestellt ist.
Abbildung: Irisblende und Schärfentiefe
In der photographischen Optik werden aus den bereits dargelegten Gründen
Objektive mit sehr unterschiedlichen Brennweiten eingesetzt:
18 mm:
21 mm:
24 mm-50mm
50mm-55mm
>50mm
80mm-105mm
>300mm
Fischauge
Semi-Fischauge
Weitwinkelobjektive
Normalobjektive
Teleobjektive
Portrait-Objektive
Super-Teleobjektive
Nun wäre es sehr unhandlich, z.B. mit einem 200mm-Objektiv zu arbeiten, das effektiv 200mm lang ist. Deshalb hat man durch die geeignete Wahl einer Plus- und einer
Minuslinse versucht, die Baulänge der langbrennweitigen Objektive zu verkürzen,
diejenige von Weitwinkelobjektiven zu verlängern (man beachte z.B., dass bei einem
extremen Weitwinkelobjektiv von 22mm Brennweite ohne diesen Trick der Spiegel
gar nicht mehr hochgeklappt werden könnte !). In den beiden folgenden Skizzen wird
gezeigt, wie man sich die Verkürzung oder Verlängerung der effektiven Baulänge
vorzustellen hat.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
54
Abbildung: effektive Baulänge
Die Bildhelligkeit ergibt sich beim Photoapparat aus der Öffnung der Blende
und aus der Brennweite:
1. Je grösser die Irisblende eingestellt wird, desto mehr Licht gelangt durch das Objektiv auf das Negativ. Für die durchgelassene Menge Licht ist die Fläche entscheidend, die Licht durch das Objektiv lässt. Diese Fläche aber ist proportional
zum Quadrat des Blendendurchmessers.
2. Die Bildhelligkeit ist um so kleiner, je grösser die Fläche ist, auf die das Licht abgebildet wird. Da die Bildgrösse proportional zur Brennweite des Objektives ist
(vgl. weiter oben!), nimmt die Bildfläche mit dem Quadrat der Brennweite zu.
Fassen wir die Punkte 1 und 2 zusammen, so können wir feststellen, dass die BilddE
ist, wobei wir mit dE
helligkeit E proportional zum Quadrat des Verhältnisses
f ' Obj
den Durchmesser der Eintrittspupille des Objektives bezeichnen:
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
55
⎛ d
E ∝ ⎜ E
⎜ f'
⎝ Obj
Dieses Verhältnis
⎞
⎟
⎟
⎠
2
dE
wird in der Photographie als relative Öffnung oder als Öfff ' Obj
nungsverhältnis bezeichnet. Der Kehrwert davon wird als Blendenzahl oder einfach
Blende bezeichnet:
f 'Obj
k =
.
dE
Gängige Blendenzahlen sind:
1.4 2.0 2.8 3.5 4 5.6 8 11 16 22 32
Diese Zahlen finden sich üblicherweise am Blendenring, d.h. am Ring mit dem
die Blende eingestellt wird, angeschrieben. Mit der Lichtstärke eines Objektives meint man die kleinste einstellbare Blendenzahl. Will man die Schärfentiefe
erhöhen, so muss eine kleinere Blende (=grössere Blendenzahl!) eingestellt
werden; damit dennoch genügend Licht auf das Negativ fällt, muss entsprechend länger belichtet werden (oder ein empfindlicherer Film verwendet werden). Was heisst "entsprechend" ? Da die Bildhelligkeit mit dem Quadrat der
Blendenzahl abnimmt, muss die Belichtungszeit mit dem Quadrat der Blendenzahl multipliziert werden. Beispiel: Die eingestellte Blendenzahl ist 2.8. Nun
wird statt dessen die grössere Blendenzahl 4 (5.6) gewählt. Dies bedeutet eine
Verlängerung der Belichtungszeit um den Faktor
2
⎛ ⎛ 5.6 ⎞ 2
⎞
⎛ 4 ⎞
⎜⎜
≈ 4⎟ .
⎜
⎟ ≈ 2
⎟
⎜ ⎝ 2.8 ⎠
⎟
⎝ 2.8 ⎠
⎝
⎠
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
56
3.6.2 Zoomobjektive
Ein Zoomsystem ist ein System mit veränderlicher Brennweite. Verschiedene Elemente können in optischen Instrumenten als Zoomkomponenten realisiert werden, so
z.B. Objektive, Okulare oder Umkehrsysteme. Mit Zoomelementen soll praktisch immer eine variable Vergrößerung oder ein variabler Bildausschnitt erreicht werden. Wir
beschränken uns in diesem Abschnitt auf die Besprechung von Zoomobjektiven, obwohl kein grundsätzlicher Unterschied zwischen Objektiven, Umkehrsystemen und
Okularen besteht ausser den mit diesen Systemen verbundenen Abbildungsfehlern,
die aber hier nicht diskutiert werden.
Grundsätzlich wird bei Zoomobjektiven zwischen zwei Typen unterschieden:
• Mechanisch kompensiertes Zoomsystem
• Optisch kompensiertes Zoomsystem.
In der Regel sind mechanisch kompensierte Zoomobjektive als Drehzoom kompensiert (zur Veränderung der Brennweite wird an einem Ring gedreht), dagegen werden
optisch kompensierte Zoomobjektive meist als Schiebezoom gebaut (zur Veränderung der Brennweite wird eine Linsengruppe verschoben.
3.6.2.1 Mechanisch kompensiertes Zoomsystem
Die Funktionsweise des mechanisch kompensierten Zoomsystems können wir wie
folgt verstehen (vgl. Skizze):
P1
M
P2
P3
Bildebene
Abbildung: Aufbau eines mechanisch kompensierten Zoomobjektives
Die Abbildung im mechanisch kompensierten Zoomobjektiv geht in folgenden Schritten vonstatten:
1. Eine Pluslinse (P1) bildet die von sehr weit parallel einfallenden Strahlen in die
doppelte Brennweite einer Minuslinse (M) ab.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
57
2. Die Minuslinslinse (M) bildet mit Abbildungsmassstab –1 in die doppelte bildseitige Brennweite ab, wo die objektseitige Brennebene einer weiteren Pluslinse (P2)
liegt.
3. Die Pluslinse P2 bildet nach Unendlich ab.
4. Die Pluslinse P3 bildet in die Brennebene ab, wo sich das Negativ befindet.
P1
M
P2
P3
Bildebene
Abbildung: Bewegliche Komponenten im Zoomsystem
Wie kommt nun eine variable Brennweite und damit eine variable Bildgrösse Zustande ? Dazu ist die Minuslinse verschiebbar entlang der optischen Achse angeordnet.
Wenn z.B. die Minuslinse nach rechts verschoben wird, wird sie mit einem betragsmässig grösserem Abbildungsmassstab abbilden. Damit verbunden ist eine geringfügige Veränderung der Lage des Bildes, welches die Minuslinse entwirft. Genau um
diese Strecke muss die Linse P2 verschoben werden. Dabei ist durch die Verschiebung der Minuslinse diejenige der Pluslinse exakt vorgegeben. Konkret wird diese
Verschiebung durch eine mechanische Vorrichtung realisiert; deshalb spricht man
von mechanisch kompensiertem Zoom.
Als Beispiel betrachten wir einen Aufbau, den man auch auf der optischen
Bank realisieren könnte:
Wir wählen: f‘1 = 50 cm, f‘2 = -10 cm, f‘3 = 30 cm und f‘4 = 20 cm.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
58
Die Minuslinse muss in einer Entfernung von 30 cm von der ersten Pluslinse angebracht werden, falls sie den symmetrische Abbildung realisieren soll. In den folgenden Grafiken ist dargestellt, um vieviel die zweite Pluslinse verschoben werden muss
und wie sehr sich dabei die Brennweite des Objektives verändert.
Abbildung:
Verschiebung der Pluslinse P2 in Abhängigkeit von der Verschiebung der Minuslinse
Abbildung:
Veränderung der Brennweite bei Verschiebung der Minuslinse, bezogen auf den
symmetrischen Abbildungsfall der Minuslinse (Zoomfaktor = 1)
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
59
3.6.2.2 Optisch kompensiertes Zoomsystem
Grundsätzlich wird bei einem optisch kompensierten Zoomsystem folgende Überlegung angestellt:
Schirm
Linse 1
Linse 3
Linse 2
(fest)
starr verbunden verschiebbar
Die Linse 2 ist fest montiert; die Linsen 1 und 3 sind fest miteinander verbunden, jedoch in Längsrichtung (axial) verschiebbar. Der Abstand von der Linse 3 zum Schirm
ist die fokale Schnittweite s’ des Systems. Eine weitere Kenngrösse des Systems ist
die Brennweite f’ des Systems. Diese Brennweite ist, wie auch die fokale Schnittweite, von der Position der Linsen 1 und 3 abhängig. Im folgenden führen wir die folgenden Strecken ein:
Schirm
Linse 1
Linse 3
Linse 2
(fest)
s'
d1
1
d
2
Nun wird die „Linsengruppe Linse 1 und Linse 3“ erst um einen Betrag x und dann
um 2x nach rechts verschoben:
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
60
Linse 1
Schirm
Linse 3
Linse 2
(fest)
s'
d1
2
d2
x
x
Linse 1
Schirm
Linse 3
Linse 2
(fest)
s'
d1
3
d2
2x
2x
Es muss nun verlangt werden, dass die fokalen Schnittweiten s’1, s’2 und s’3 gerade
so gross sind, dass jeweils das Bild exakt auf dem Schirm zustande kommt. Dies ist
mathematisch recht anspruchsvoll, da eine Gleichung achten Grades heraus kommt.
Dieses Problem kann man z.B. mit Computer-Algebra lösen. In weiteren wurde angenommen, es stehen für das Zoom-System auf der optischen Bank Linsen mit
Brennweiten f’1=+50 cm, f’2=-10cm und f’3=+20cm zur Verfügung. Weiter werde verlangt, dass das maximale Zoom-Verhältnis 3 betrage. Das Computer-Algebra System
Maple V, Release 4 liefert nun folgende Werte für d1, d2 und x:
d1 = 28.59 cm
d 2 = 1385
. cm
x = 5.49 cm
Dabei kommen Systembrennweiten von 69.51 cm, 38.81 cm und 23.16 cm für Verschiebungen um 0 cm, 5.49 cm und 10.98 cm heraus. In der untenstehenden Grafik
ist der Restfehler des Zoom-Systems dargestellt. Im Versuch auf der optischen Bank
ist dieser Restfehler kaum wahrzunehmen; hingegen bei einem fotografischen Objektiv wäre er viel zu gross. In der darauf folgenden Grafik ist das Zoom-Verhältnis in
Abhängigkeit von der Verschiebung x dargestellt.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
61
Wie aus der Grafik zu ersehen ist, sind die Restfehler um 3.0 mm doch recht gross.
Bessere Resultate erhält man, wenn man sich bezüglich des Zoomfaktors etwas bescheidener gibt. Die gleiche Rechnung mit denselben Linsen ergibt, wenn man einen
maximalen Zoomfaktor von 2 verlangt:
d1 = 27.03 cm
d 2 = 15.97 cm
x = 344
. cm
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
62
Anhand der folgenden Grafiken ist zu ersehen, dass der Restfehler nun erheblich
geringer ausfällt; dies natürlich zu Lasten des Zoom-Faktors.
Es ist noch zu Bemerken, dass die vorliegenden Beispiele wegen der viel zu
grossen Baulänge nur exemplarischen Charakter aufweisen.
Zylindrische Elemente und sphärozylindrische Kombinationen
63
4 Strahlenbegrenzung
(Blenden, Pupillen, Luken, Zerstreuungskreis,
Schärfentiefe)
In den bisherigen Überlegungen haben wir implizit immer angenommen, die optischen Elemente seien in der Dimension senkrecht zur optischen Achse unendlich
ausgedehnt. Dies hätte z.B. zur Folge, dass eine Sammellinse alles Licht, das parallel zur optischen Achse eintrifft, in einen Punkt zu sammeln vermöchte. Betrachtet
man dies von der physikalischen Seite, so müsste man zum Schluss kommen, dass
es möglich sein müsste, mit einer Sammellinse unendlich viel Energie in einem
Punkt zu konzentrieren. Aus der Physik wissen wir aber, dass damit auch ein Ansteigen der Temperatur in diesem Punkte verbunden wäre. Ein zentrales Gesetz aus
der Physik besagt nun aber, dass Wärme immer nur von einem heissen zu einem
kälteren Ort fliessen kann. Dies bedeutet, dass von einem bestimmten Grad der Erhitzung an die Wärme in Form von Wärme- oder Lichtstrahlung durch die Linse zurückfliessen müsste.
Es ist aber gar nicht nötig, die Physik mit ihren z.T. recht schwierigen Begriffen, Konzepten und Gesetzen für dieses Problem heranzuziehen. Die in der Praxis
verwendeten optischen Elemente wie Linsen, Spiegel etc. sind in ihrer Ausdehnung
immer begrenzt - wie auch der auf diese Elemente auftreffende Strahl ohnehin nur
von endlicher Breite ist. Für uns bleibt somit die Frage, welche Auswirkungen diese
Tatsachen auf die optischen Abbildungen zur Folge haben.
Man kann die Wirkung der Begrenzung der Ausdehnung der verschiedenen
optischen Elemente und allfälliger zusätzlicher absichtlich hinzugefügter Blenden in
den beiden folgenden Punkten zusammenfassen:
1)
2)
Reduktion der Menge des Lichtes, das durch ein optisches System hindurchtreten kann.
Begrenzung des Gesichtfeldes, das durch ein optisches System noch erfasst
werden kann.
4.1 Aperturblende - Ein- und Austrittspupille
Wir untersuchen nun die verschiedenen Arten, in denen die Wirkung von Blenden
zur Geltung kommen kann. Um die Angelegenheit einigermassen übersichtlich zu
halten und die Logik systematisch darstellun zu können verfolgen wir einen Weg von
ganz einfachen Systemen zu komplizierteren.
4.1.1 Kombinationen von einer Linse und einer
Blende
Vorerst betrachten wir nur eine einzelne Blende, die mit einer (vorläufig noch) unbegrenzten Linse kombiniert wird.
Fall 1: Pluslinse, Blende vor der Linse
Es ist unmittelbar klar, dass die Blende die Menge des auf die Linse und damit durch sie hindurchtretenden Lichtes begrenzt. Wir müssen aber bereits in diesem
einfachen Fall zur Kenntnis nehmen, dass die Wirkung der Blende (in jeder Hinsicht)
von der Lage des Objektpunktes abhängig ist. Man vergleiche dazu die beiden un-
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
64
tenstehenden Skizzen.
Figur 1: Kombination Blende und Pluslinse, ferner Dingpunkt
Figur 2: Kombination Blende und Pluslinse, naher Dingpunkt
Figur 3: Kombination Blende und Pluslinse, Wirkung im Bildraum
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
65
Es ist nun noch interessant, die Frage zu untersuchen, wie die Strahlbegrenzung auf der Bildseite wirkt. Wie äussert sich dort die Tatsache, dass das Licht in
seiner seitlichen Ausdehnung begrenzt ist ? Hat man Möglichkeiten, eine quantitative Aussage zu machen ? Um in dieser Frage zu einer Antwort zu kommen, verfolgen wir einen Strahl, der die Blende auf der Objektseite streift. Dieser Strahl wird
den Lichtkegel auf der Bildseite begrenzen. Wir können dies auch anders formulieren. Bilden wir nämlich die Blende durch die Linse ab, so finden wir, dass ein Strahl,
der die Blende im Objektbereich streift, auch das Bild der Blende im Bildbereich
streifen wird. D.h. der Lichtkegel erscheint im Bildbereich durch das Bild der Blende
begrenzt zu sein.
Fall 2: Pluslinse, Blende hinter der Linse
Auch hier ist klar, dass die Blende die Menge des Lichtes, das durch das System hindurchtreten kann, begrenzt. Welche Strahlen können nun durch diese Kombination hindurchtreten und welche nicht ? Wir lösen dieses Problem mit einer Gedankenkonstruktion. Dazu fassen wir die (physikalisch) wirkliche Blende hinter der
Linse als Bild eines Gegenstandes, der durch die Linse abgebildet wird, auf. Ein
Strahl, der die physikalisch wirkliche Blende gerade noch berührt muss offensichtlich
auch dieses imaginäre Objekt berühren. Damit lautet die Antwort auf unsere eingangs gestellte Frage:
Das durch die Kombination "Pluslinse + Blende" hindurchtretende Licht wird
durch den imaginären Gegenstand, welcher die physikalisch wirkliche Blende als
Bild besitzt, begrenzt. Auch hier stellen wir fest, dass die Menge des durch das System durchtretenden Lichtes von der Lage des ausgewählten Objektpunktes abhängig ist.
Figur 4: Kombination Pluslinse und Blende
4.1.2 Kombination Linse - Blende - Linse
Als nächstkomplizierteren Fall müssen wir betrachten, wie die Verhältnisse
aussehen, wenn eine Blende zwischen zwei - immer noch unendlich ausgedehnten Linsen liegt. Die Überlegungen, die wir im vorangehenden Abschnitt angestellt haben, können wir ziemlich unverändert übernehmen. Dies bedeutet für die erste Linse:
Wir müssen die physikalisch reelle Linse als Bild einer imaginären Blende im
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
66
Objektbereich der ersten Linse auffassen. Die Lichtmenge, die in das System eintreten kann, scheint durch diese Blende begrenzt zu sein.
Für die zweite Linse bedeutet dies:
Wir können uns auf der Bildseite des Systems das Licht durch das Bild der
Blende begrenzt denken.
Die eben geschilderten Verhältnisse sind wiederum anhand der untenstehenden Skizze veranschaulicht.
Figur 5: Kombination Linse, Blende und Linse
4.1.3 Systeme aus mehreren Linsen und Blenden
Ist ein System komplizierter als die eben geschilderten Fälle, so muss man
jede als Blende wirkende Öffnung (auch die physische Begrenzung einer Linse) auf
ihre Funktion in Hinsicht auf die Begrenzung der Menge des durchgelassenen Lichtes hin untersuchen. Dies tut man am besten systematisch, indem man jede Öffnung
durch das ganze System hindurch rückwärts abbildet, und untersucht, welche der
sich daraus ergebenden "imaginären Blenden" im Objektbereich der ersten Linse die
geringste Öffnung aufweist. Ebenso wird man, nachdem man so die "wirksame"
Blende gefunden hat, diese Öffnung systematisch in den Bildbereich der letzten Linse des Systems abbilden; die Lichtmenge, die das System verlassen kann, scheint
durch dieses "Blendenbild" begrenzt zu sein.
Es ist auch möglich, die Blendenfunktionen in einem bestimmten Teilraum zu
bestimmen. Anstelle des Objektpunktes betrachtet man dann ein Bild von diesem
Objektpunkt und bestimmt die Blendenfunktionen im Teilraum bezogen auf den Bildpunkt.
4.1.4 Definitionen
Es sind nun noch die gängigen Begriffe - soweit wie wir sie uns eben erarbeitet haben, also vorläufig - zu definieren.
Die für die Begrenzung der Lichtmenge, die durch ein optisches System gelangen kann, wirksame reale Blende heisst Aperturblende oder Öffnungsblende. Die übliche Bezeichnung für die Aperturblende in Zeichnungen und Konstruktionen ist "ApBl".
Die imaginäre Blende im Objektbereich der ersten Linse eines Systems, die
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
67
durch den Teil des Systems von der ersten Linse bis zur Linse vor der Aperturblende hindurch abgebildet die Aperturblende ergibt, heisst Eintrittspupille.
Die verwendetete Abkürzung ist "EP" .
Noch einfacher:
Die Eintrittspupille ist das objektseitige Blendenbild der Aperturblende (oder
diese selbst).
Das Bild der Aperturblende, das durch das fortgesetzte Abbilden der Aperturblende durch die nach der Aperturblende im System befindlichen Linsen im
Bildbereich der letzten Linse entsteht, wird als Austrittspupille bezeichnet. Die
verwendete Abkürzung ist "AP".
Noch einfacher:
Die Austrittspupille ist das bildseitige Blendenbild der Aperturblende (oder
diese selbst).
Ein Strahl, der die Aperturblende berührt (oder die Ein- oder Austrittspupille,
was ja das gleiche bedeutet), wird als Öffnungsstrahl bezeichnet.
Ein Randstrahl ist ein Strahl, der durch den Rand einer Blende verläuft. Der
Öffnungsstrahl ist also ein besonderer Randstrahl, nämlich ein Randstrahl der Öffnungs- oder Aperturblende.
Bemerkungen:
Wir haben schon mehrfach darauf hingewiesen, dass die Funktion der Aperturblendeneigenschaft von der Lage des untersuchten Punktes abhängig ist. Wir können
z.B. den unendlich weit entfernten Punkt auf der optischen Achse betrachten, was
der am häufigsten untersuchte Fall ist. Wir können aber auch einen Punkt in endlicher Entfernung auf der optischen Achse oder sogar einen Punkt, der nicht auf der
optischen Achse des Systems liegt, untersuchen. Die Eigenschaft "Aperturblende"
einer Blende kann empfindlich von der Lage des untersuchten Punktes abhängig
sein. Wir können deshalb weiter einschränken und definieren:
Ein Randstrahl der Eintrittspupille, der vom untersuchten Objektpunkt ausgeht, heisst Öffnungsstrahl.
Der Winkel u, den ein Öffnungsstrahl im Objektbereich zur optischen Achse
einschliesst, heisst halber Öffnungswinkel.
Der Winkel u', den ein Öffnungsstrahl in Bildbereich zur optischen Achse einschliesst, heisst bildseitiger halber Öffnungswinkel oder scheinbarer halber
Öffnungswinkel.
Der Verlauf der Öffnungsstrahlen vom untersuchten Punkt durch das System
heisst Öffnungsstrahlengang.
Liegt der untersuchte Dingpunkt auf der optischen Achse, so spricht man vom
"zentralen Öffnungsstrahlengang", ansonsten vom "schiefen Öffnungsstrahlengang".
Da der zentrale Öffnungsstrahlengang nacheinander durch EP, ApBl und AP verläuft, definiert man:
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
68
Die Aperturblende ist diejenige körperliche Blende, welche den zentralen Öffnungsstrahlengang begrenzt.
4.1.5 Symbole für Konstruktionen
Es ist üblich, in Konstruktionen die nach DIN genormten Symbole für körperliche
Blenden, Linsenfassungen, Blendenbilder etc. zu verwenden. Diese seien nachfolgend dargestellt:
körperliche
Blende
reelles
Blendenbild
dicke Linse
mit Fassung
virtuelles
Blendenbild
dünne Linse
mit Fassung
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
69
4.2 Gesichtsfeldblende - Hauptstrahlen - Luken
Neben der Funktion der Einschränkung der durch ein System hindurch gelassenen Lichtmenge können Blenden auch noch die Funktion der Begrenzung des
Gesichtsfeldes annehmen. Dies ist wie folgt zu verstehen:
Mit der Aperturblende wird nur die Menge des durchgelassenen Lichtes "reguliert"; wir nehmen deshalb - vorübergehend - eine sehr geringe Aperturblende an,
was bedeutet, dass nur sehr wenig Licht durch das System hindurchtreten kann. Wir
denken uns also, dass das Licht nur durch den Mittelpunkt der Aperturblende hindurchtreten kann.
Strahlen, die durch den Mittelpunkt der ApBl hindurchgehen, heissen Hauptstrahlen.
Haben wir in einem System neben der Aperturblende noch weitere Blenden,
so wird in der Regel eine dieser Blenden die Menge der durch das System durchgelassenen Hauptstrahlen begrenzen. Die entsprechende Situation ist in der untenstehenden Figur dargestellt.Die so begrenzte Menge der Hauptstrahlen bildet einen
Kegel, der seine Spitze in der Mitte der Aperturblende hat und durch die erwähnte
weitere Blende begrenzt ist.
Die den Kegel der Hauptstrahlen begrenzende Blende heisst Gesichtsfeldblende.
Die Randstrahlen, die, ausgehend von der Mitte der Aperturblende, die Gesichtsfeldblende berühren, bilden im Objektbereich der ersten Linse ebenfalls einen
Kegel, dessen Spitze in der Mitte der Eintrittspupille liegt. In der untenstehenden Figur ist dieser Sachverhalt wiederum dargestellt. Dieser Kegel definiert das vom System erfasste Gesichtsfeld. Bilden wir die Gesichtsfeldblende rückwärts durch das
System ab, so erhalten wir im Dingbereich der ersten Linse eine "imaginäre Blende",
die das Gesichtsfeld begrenzt. Ebenso können wir die Gesichtsfeldblende in Lichtrichtung durch das System abbilden und erhalten im Bildbereich der letzten Linse
des Systems ein Blendenbild, das im Bildbereich den Kegel der Hauptstrahlen, dessen Spitze in der Mitte der Auswtrittspupille liegt, begrenzt.
Wir können nun feststellen und definieren:
Die körperliche Blende, die für die Begrenzung des durch ein System abbildbaren
Objektbereiches verantwortlich ist, heisst Gesichtsfeldblende. Die üblicherweise
verwendete Abkürzung heisst GfBl.
Manchmal spricht man auch einfach nur von der Feldblende, oft auch von der Sehfeldblende.
Variante: Die Gesichtsfeldblende ist diejenige körperliche Blende, die für die Begrenzung des durch ein Instrument hindurch sichtbaren Objektbereiches verantwortlich
ist.
Die körperliche Blende, welche den Hauptstrahlengang begrenzt, heisst Gesichtsfeldblende.
Die dingseitige "imaginäre Blende", die als imaginäres Objekt der Gesichtsfeldblende
aufgefasst werden kann, heisst Eintrittsluke. Die übliche Bezeichnung dafür in
Zeichnungen und Konstruktionen ist EL.
Das dingseitige Belendenbild der Gesichtsfeldblende heisst Eintrittsluke.
Das Bild der Gesichtsfeldblende heisst Austrittsluke. Die üblicherweise in
Zeichnungen und Konstruktionen verwendete Bezeichnung ist AL.
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
70
Der Bereich, der durch ein optisches System wahrgenommen oder abgebildet
werden kann, heisst (wahres) Gesichtsfeld oder (wahres) Sehfeld. Die offizielle
Abkürzung lautet Gf.
Strahlen, die durch den Mittelpunkt der Eintrittspupille und durch den Rand
des Gesichtsfeldes gehen, heissen Hauptstrahlen.
Der Öffnungswinkel 2w des Kegels der Hauptstrahlen im Dingbereich heisst
wahrer Gesichtsfeldwinkel.
Der Öffnungswinkel 2w' des Kegels der Hauptstrahlen im Bildbereich heisst
scheinbarer Gesichtsfeldwinkel.
Der vom Kegel der Hauptstrahlen im Dingbereich der ersten Linse herausgeschnittene Teil der Ebene, die den untersuchten Dingpunkt P enthält, heisst
"wahres Gesichtsfeld".
Der vom Kegel der Hauptstrahlen im Bildbereich der letzten Linse herausgeschnittene Teil der Ebene, die den Systembildpunkt P' enthält, heisst "scheinbares Gesichtsfeld".
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
71
4.3 Skizze - Übersicht
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
72
4.4 Systematik der Analyse der für die Strahlenbegrenzung wirksamen Blenden
Wir schliessen eine Art Rezept an, mit dem man systematisch die Aperturblende, die
Gesichtsfeldblende, die Pupillen, die Luken sowie Öffnungs- und Gesichtsfeldwinkel
bestimmen kann.
Schritt 1:
Man bilde den Achsenobjektpunkt P, für den die Blendenfunktionen zu bestimmen
sind, durch das System ab. Nun wähle man jenen Raum, in dem die Blendenfunktionen am einfachsten bestimmt werden können. Alle Blenden sind entweder bild- oder
objektseitig in diesen Raum abzubilden.
Schritt 2:
Vom Bild P’ des Punktes P in diesem Raum wähle man dasjenige Blendenbild, das
den geringsten Öffnungswinkel ergibt. Dieses Blendenbild „BlB1“ definiert die Aperturblende, d.h. diejenige körperliche Blende, welche mit diesem Blendenbild BlB1
optisch konjugiert ist. Die Eintrittspupille EP und die Austrittspupille AP ergeben sich
als objekt- bzw. bildseitiges Bild der Aperturblende.
Schritt 3:
Man wiederhole Schritt 2, wähle nun aber die Mitte M des Blendenbildes BlB1 als
Achsendingpunkt. Dasjenige Blendenbild „BlB2“, das von M aus gesehen unter dem
kleinsten Winkel erscheint definiert die Gesichtsfeldblende GfBl, d.h. diejenige Blende, welche mit dem Blendenbild Blb2 optisch konjugiert ist. Eintrittsluke EL und Austrittsluke AL ergeben sich als objekt- bzw. bildseitiges Blendenbild der Gesichtsfeldblende.
4.5 Einige Beispiele
1. 2 cm vor einer Linse in Luft mit der Brennweite f' = 5 cm befindet sich eine Blende mit Durchmesser 3 cm. Man identifiziere die verschiedenen Grössen (EP, ApBl, AP) und ermittle sie mittels Konstruktion und Rechnung.
2. 5 cm hinter einer Linse in Luft mit Brennweite f' = 2 cm befindet sich eine Blende mit Durchmesser
4 cm. Man identifiziere die verschiedenen Grössen (EP, ApBl, AP) und ermittle sie mittels Konstruktion und Rechnung.
3. Zwei Pluslinsen von 20 dpt und 25 dpt befinden sich im Abstand d= 3cm. Die Linse mit 20 dpt
weist einen Durchmesser von 6cm, diejenige von 25 dpt einen solchen von 3cm auf. 1cm hinter
der ersten Linse befindet sich eine Blende von 4cm Durchmesser.
Man bestimme die Aperturblende sowie Eintritts- und Austrittspupille für den unendlich weit entfernten Achsendingpunkt.
4. Zwischen einer 12.5 dpt-Pluslinse (Durchmesser: 8cm) und einer 50 dpt-Pluslinse (Durchmesser:
sehr gross) befinden sich zwei Blenden. Die erste dieser Blenden befindet sich 2 cm hinter der
ersten Linse und hat eine Öffnung von 4cm, die zweite befindet sich 1cm vor der zweiten Linse
und hat eine Öffnung von 2.4cm (in beiden Fällen ist unter Öffnung der Durchmesser der Blende
zu verstehen.
a) Man bestimme die Aperturblende für den unendlich fernen Achsendingpunkt und den sich in 5cm
vor der ersten Linse befindlichen Dingpunkt.
b) Man bestimme die Eintritts- und die Austrittspupillen für beide Achsendingpunkte.
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
73
5 Schärfentiefe
Die Schärfentiefe (sehr oft hört man auch den Begriff Tiefenschärfe in diesem Zusammenhang. Dies ist aber eher umgangssprachlich und nicht völlig klar definiert) ist
ein Begriff, der die Beurteilung der Qualität von abbildenden Systemen erlaubt. Die
Fragestellung könnte etwa wie folgt lauten:
1. Gegeben ist ein optisches System mit definierter Aperturblende (und somit Ein-
tritts- und Austrittspupille). In welchem Entfernungsbereich dürfen sich die Gegenstände im Objektraum befinden, damit z.B. unser Auge bei einer Betrachtung
des Bildes aus einer bestimmten Entfernung das Bild als scharf empfindet ?
2. Wiederum ist ein optisches System mit Aperturblende und Ein- und Austrittspupil-
le gegeben. In welchem Gegenstandsentfernungsbereich dürfen Objekte hingebracht werden, damit auf einem Film mit definiertem Auflösungsvermögen oder
auf dem CCD-Chip einer Videokamera die erwähnten Gegenstände noch getrennt
wahrgenommen werden können ?
Die Beantwortung dieser Fragen ist mit zwei weiteren Begriffen gekoppelt. Zum einen müssen wir uns daran erinnern, dass der physiologische Grenzwinkel, unter
dem unser Auge zwei Punkte oder Linien getrennt wahrnimmt, immer dann eine Rolle spielt, wenn ein Auge das Bild einer optischen Vorrichtung wahrnimmt und somit
die Beurteilung des Bildes also durch das menschliche Auge geschieht. Der physiologische Grenzwinkel beträgt im Normalfall etwa eine Bogenminute (1') für statische
(ruhende) Bilder bei optimalen Beleuchtungsverhältnissen. Sind bewegte Bilder vorhanden (Film, Video) und/oder die Leuchtdichten der Bilder gering, so steigt der
physiologische Grenzwinkel stark an (5' -10').
Bei einem idealen optischen abbildenden System wird aus einem Dingpunkt
genau ein Bildpunkt entstehen. Dies ist nur gerade dann der Fall, wenn sich ein Gegenstand genau in der Dingebene und das Bild genau in der zugehörigen Bildweite
befindet.Wird z.B. bei einem Photoapparat die Entfernung zwischen Linse und Film
fest eingestellt, so gibt es nur gerade eine Entfernung, für die ein unendlich scharfes
Bild entsteht. Wird ein Dingpunkt aus dieser bestimmten Gegenstandsentfernung
entfernt, so wird aus dem (unendlich scharfen) Bildpunkt ein kleiner Kreis entstehen.
Diesen Punkt nennt man den Zerstreuungskreis. Je weiter der Gegenstandvon der
"optimalen" Gegenstandsentfernung abweicht, umso grösser wird der Zerstreuungskreis.
Das visuelle System oder das die Bildqualität beurteilende System wird dann
ein Bild als scharf bewerten, wenn die Zerstreuungskreise der "Bildpunkte" dem Auge unter einem Winkel, der kleiner als der physiologische Grenzwinkel ist, erscheinen. Dann also wird das Auge den Eindruck haben, es handle sich um Bildpunkte,
obwohl es sich genau genommen um kleine (Zerstreuungs-) Kreise handelt.
Zur Veranschaulichung untersuchen wir noch ein Beispiel. Wir nehmen an,
mit einem Photoapparat sei ein Diapositiv aufgenommen worden. Dieses Diapositiv
wird mit einem Projektor auf eine Leinwand abgebildet. Letztere wiederum wird aus
einer bestimmten Distanz betrachtet. Wird nun einerseits die Distanz Projektor Leinwand verändert, so erhöht sich der Durchmesser der Zerstreuungskreise. Bleibt
dabei die Distanz Beobachter - Leinwand konstant (nur der Projektor wird von der
Leinwand entfernt, die Zuschauer bleiben sitzen), so werden die Zuschauer eine
Vergrösserung der Zerstruungskreise als Herabminderung der Bildqualität empfinden. Wird aber zugleich die Projektionsdistanz und die Beobachtungsdistanz verändert (nur die Leinwand wird verschoben, der Projektionsapparat und die Zuschauer
bleiben unverändert), so wird der Beobachter keine wesentlichen Veränderungen in
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
74
der Bildqualität wahrnehmen können.
Definition Schärfentiefe
Unter Schärfentiefe versteht man den Bereich im Gegenstandsraum, für den die
Zerstreuungskreise im Bildbereich unter einem Winkel, der kleiner als der entsprechende (physiologische) Grenzwinkel ist, erscheinen.
Bevor wir uns der mathematischen Untersuchung der oben geschilderten Verhältnisse zuwenden, wollen wir rein qualitativ erfassen, welche Grössen für die Schärfentiefe von ausschlaggebender Bedeutung sind. Es sind dies:
a) der (physiologische) Grenzwinkel (situationsabhängig !)
b) Durchmesser der Aperturblende (oder Blendenzahl)
c) Brennweite des verwendeten optischen Systems (Blendenzahl) Einstellentfernung des optischen Systems (optimale Gegenstandsentfernung).
d) Lage der Aperturblende
Die Abhängigkeit der Schärfentiefe von der Blendenöffnung und von der Brennweite
kann man - wie unten gezeigt wird - in der sogenannten Blendenzahl zusammenfassen.
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
75
5.1.1 *Formeln zur Berechnung der Schärfentiefe
In diesem Abschnitt wollen wir die Formeln zur Berechnung der Schärfentiefe herleiten. In der Herleitung halten wir uns eng an die Vorlage von Jachnow ("Optische Grundlagen der Optometrie", median-verlag, Heidelberg, 7. Auflage 1988).
Höchstzulässiger Zerstreuungskreisdurchmesser
Wir stellen uns ein optisches System vor, das ein reelles Bild auf einer Leinwand entwirft. Dieses Bild
wird von einem Auge aus einer Distanz a (Gegenstandsweite für das Auge) betrachtet. Die Grösse
des Radius des Zerstreuungskreises wird mit r' bezeichnet. Den Grenzwinkel bezeichnen wir mit .
Zwischen den drei Grössen σ g , r' und a haben wir den Zusammenhang
σ g ≈sin(σ g )≈tan (σ g )=−
2 ⋅ r'
a
Wird z.B. ein Bild aus einer Entfernung von 25 cm betrachtet und vom physiologischen Grenzwinkel
σ g = 1' ausgegangen, so haben wir für den Durchmesser d des Zerstreuungskreises:
d = 2 ⋅ r ' = − a ⋅ tan(σ g ) ≈ 73 μm
Betrachtet man hingegen ein Bild aus einer Entfernung von 10m (Projektionsleinwand), so ergibt sich
für die Grösse des maximal zulässigen Zerstreuungskreises:
d = 2.9 mm.
5.1.2 Herleitung der Formeln zur Schärfentiefe
Vorausgesetzt wird bei der folgenden Herleitung, dass die Grösse des Durchmessers des maximal
zulässigen Zerstreuungskreises in der im vorangehenden Abschnitt beschriebenen Weise bestimmt
wurde, also als bekannt vorausgesetzt werden kann. Im folgenden beziehen wir uns auf die untenstehende Skizze. Wir stellen vorerst einmal fest, dass der Zerstreuungskreis im Dingbereich eine
Entsprechung findet. Dieser Kreis im Dingbereich ist durch die Strahlen begrenzt, die von den
Achsendingpunkten O1 und O2 ausgehen, welche wiederum die am meisten entfernten Punkte sind,
für die die Grösse des Zerstreuungskreises gerade derjenigen des maximal zulässigen
Zerstreuungskreises entspricht. Der zwischen O1 und O2 liegende Gegenstandsbereich wird also
"scharf" abgebildet. Der Punkt O ist derjenige Dingpunkt, der in jedem Fall durch die gegebene
Einstellung des Systems scharf abgebildet wird.
Im weiteren verwenden wir folgende Grössen:
a:
a1 :
a2 :
2R:
2R':
r:
r':
Gegenstandsentfernung von O
Gegenstandsentfernung von O1
Gegenstandsentfernung von O2
Durchmesser der Eintrittspupille
Durchmesser der Austrittspupille
Radius des Zerstreuungskreises im Dingraum
Radius des Zerstreuungskreises im Bildraum
D, f ,f': Brechwert bzw. Brennweiten des Systems
H,H': Hauptebenen des Systems
e:
Abstand Hauptebene H - Eintrittspupille EP
e':
Abstand Hauptebene H'- Austrittspupille AP
Aus der Skizze entnehmen wir mit Hilfe der Strahlensätze aus der Mathematik:
r a − a2
=
R e − a2
und
a − a1
r
=−
.
R
e − a1
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
76
In den beiden oben aufgestellten Formeln sind r (indirekt), R, a, und e gegeben. Somit kann nach
und
a1
a2 aufgelöst werden (jede der beiden Gleichungen einzeln):
r
r
a − e⋅
a + e⋅
R.
R , a =
a1 =
2
r
r
1+
1−
R
R
Störend wirkt nun aber, dass nach den bisherigen Ausführungen ja nicht der Radius r des Zerstreuungskreises im Objektraum sondern der Radius r' des Zerstreuungskreises im Bildraum gegeben ist.
Wir müssen also die Bildgrössenformel verwenden, um die Grösse r durch r' zu ersetzen. Vorerst
einmal stellen wir fest:
y'A' = yA,
d.h.
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
77
y '⋅
n'
n
= y⋅
a'
a
oder
y' = y ⋅
n a'
n a'
⋅
= y⋅ ⋅ .
n' a
a n'
Bei den vorliegenden Verhältnissen wird ein reeller Gegenstand vor dem Brennpunkt F (praktisch
immer gegeben) ein umgekehrtes reelles Bild erzeugen. Dies kommt in der Vorzeichenumkehr in der
Bildgrössenformel automatisch zum Ausdruck. Dies bedeutet, dass wir für ein positives r ein negatives r' in der obigen Formel erhalten würden. Da aber sowohl r als auch r' positive Grössen sind, müssen wir die Bildgrössenformel etwas abwandeln:
r' = − r ⋅
n a'
⋅ .
n' a
r = −r⋅
n' a
⋅ .
n a'
oder nach r aufgelöst:
Wir haben nun zwar die Möglichkeit, r durch r' auszudrücken, dafür aber den Nachteil, dass in die
Gleichung für r die Grösse a' hineingerutscht ist. Also müssen wir mit der Gaussformel a' ausdrücken:
A' = A + D
oder
n'
n n
= − .
a'
a f
Dies setzen wir in den Ausdruck für r ein und erhalten:
⎛
a⎞
r = − r '⋅⎜ 1 − ⎟ .
f⎠
⎝
Diesen Ausdruck für r müssen wir nun in die Gleichungen für
r' ⎛
a⎞
⋅ ⎜1 − ⎟
R ⎝
f⎠
r' ⎛
a⎞
1 − ⋅ ⎜1 − ⎟
R ⎝
f⎠
a − e⋅
a1 =
a1 und a2 einsetzen:
r' ⎛
a⎞
⋅ ⎜1 − ⎟
R ⎝
f⎠
r' ⎛
a⎞
1 + ⋅ ⎜1 − ⎟
R ⎝
f⎠
a + e⋅
a2 =
Um die Bedeutung der beiden Formeln noch etwas besser zu verstehen, formen wir den Ausdruck
r'/R noch etwas um:
r'
2 ⋅ r' f
.
=
⋅
R
f EP
2 ⋅ r'
Wir können nun feststellen, dass der erste Faktor
verbunden ist:
direkt mit dem (pysiologischen) Grenzwinkel
f
( )
tan σ g
=
2 ⋅ r'
f
.
Der zweite Faktor, in dem EP den Durchmesser der Eintrittspupille darstellt, entspricht der üblichen
Definition der Blendenzahl k:
k=
f
EP
Damit können wir die oben gegebenen Formeln für
.
a1 und a2 nochmals schreiben, indem wir also
( )
r'
= k ⋅ tan σ g
R
verwenden:
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
78
⎛
a⎞
a − e ⋅ k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟
f⎠
⎝
a1 =
⎛
a⎞
1 − k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟
f⎠
⎝
⎛
a⎞
a + e ⋅ k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟
f⎠
⎝
=
.
⎛
a⎞
1 + k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟
f⎠
⎝
( )
( )
a2
( )
( )
Es liegt auf der Hand, dass in den beiden obenstehenden Formeln beträchtliche Vereinfachungen
möglich sind, falls man annimmt, dass die Eintrittspupille nur sehr wenig von der Hauptebene H entfernt ist, bzw. wenn man e ≈ 0 setzen kann (dieser Fall ist glücklicherweise für etliche optische Systeme recht gut erfüllt, so z.B. für den Photoapparat oder das Auge):
a
a1 =
( )
1 − k ⋅ tan σ g
a
a2 =
⎛
a⎞
⋅ ⎜1 − ⎟
f⎠
⎝
( )
1 + k ⋅ tan σ g
⎛
a⎞
⋅ ⎜1 − ⎟
f⎠
⎝
.
.
5.1.3 Einstellung auf "Nahunendlich"
Sehr oft hat man - besonders bei Photoapparaten - das Problem, von unendlich weit entfernten bis
möglichst nahen Gegenständen ein scharfes Bild zu erzeugen. Die optimale Ausnützung des Schärfentiefebereiches ist bei gegebener Blendenzahl offensichtlich dann realisiert, wenn a = -∞ ist. Dies
wiederum ist dann der Fall, wenn der Nenner im Ausdruck für averschwindet. Wir folgern also:
⎛
a⎞
1 + k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟ = 0
f⎠
⎝
( )
oder
⎛
1
a = f ⋅ ⎜⎜ 1 +
⎝ k ⋅ tan σ g
( )
⎞
⎟.
⎟
⎠
Dies ist also die Entfernung, die am Objektiv des Photoapparates einzustellen ist. Bis wie weit zum
Objektiv reicht nun der Schärfentiefebereich heran ? Verwenden wir
⎛
a⎞
k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟ = − 1 ,
f⎠
⎝
( )
so wird aus der Formel für a1 :
a1 =
a+e
.
2
In der Regel ist (bei der gegebenen Fragestellung "Einstellung auf Nahunendlich" sowieso) e gegenüber a vernachlässigbar und man findet:
a1 =
a
.
2
Bei der Einstellung auf Nahunendlich reicht also die Schärfentiefe vom Horizont bis zur halben Entfernungseinstellung.
5.1.4 Schärfentiefebreite
Sehr oft wird die Schärfentiefe nicht in Metern, sondern in dpt erfasst. Man spricht dann von Schärfentiefebreite - ähnlich wie von Akkomodationsbreite beim Auge. Für unsere weiteren Überlegungen
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
79
wollen wir voraussetzen, dass der Abstand e zwischen Hauptebene H und Eintrittspupille EP vernachlässigt werden könne. Aus den entsprechenden Formeln für a1 und a2 finden wir dann:
⎛
⎛
a ⎞⎞
n ⋅ ⎜ 1 − k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟ ⎟
⎛
f ⎠⎠
⎝
⎛
⎝
a ⎞⎞
n
A1 =
=
= A ⋅ ⎜ 1 − k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟ ⎟
a1
a
f ⎠⎠
⎝
⎝
( )
( )
⎛
⎛
a ⎞⎞
n ⋅ ⎜ 1 + k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟ ⎟
⎛
f ⎠⎠
⎝
⎛
⎝
a ⎞⎞
n
= A ⋅ ⎜ 1 + k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟ ⎟ .
A2 =
=
a
a2
f ⎠⎠
⎝
⎝
( )
Durch Addition finden wir:
( )
A1 + A2 = A
(
und durch Subtraktion von A + A2
) auf beiden Seiten der Gleichung:
A1 − A = A − A2
Dies bedeutet, dass der entfernteste und der nächste Punkt, die noch in den Schärfentiefebereich
gehören, gemessen in dpt gleich weit von der Einstellentfernung entfernt sind.
Zusammenfassung der Formeln:
⎛
⎛ a⎞ ⎞
A 1 = A ⋅ ⎜ 1 − k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1− ⎟ ⎟
⎝
⎝
f ⎠⎠
( )
⎛
⎛ a⎞ ⎞
A 2 = A ⋅ ⎜ 1 + k ⋅ tan σ g ⋅ ⎜ 1 − ⎟ ⎟
⎝
⎝
f ⎠⎠
( )
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
80
5.2 Übersicht Zerstreuungskreis und Schärfentiefe
5.3 Zerstreuungskreis
Ein Photoapparat sei auf eine Entfernung a eingestellt, d.h. ein Punkt P, der in einer
Entfernung von a auf der optischen Achse vom Objektiv liegt, wird in einen scharfen
Punkt P' in der Bildebene oder Negativebene abgebildet. Ein Punkt Q, der in der Entfernung a1 vor dem Objektiv liegt, wird auf der gleichen Bild- oder Negativebene einen Zerstreuungskreis erzeugen. Der Durchmesser des Zerstreuungskreises ist um
so grösser je grösser der Durchmesser der Eintrittspupille und je weiter der Punkt Q
vom Punkt P entfernt ist.
Für die Berechnung beziehen wir uns auf die untenstehende Skizze. Man erhält unter Anwendung der Strahlensätze:
dZ = dEP
a1 ' − a'
a'
Ein negatives Vorzeichen von d bedeutet, dass der Bildpunkt Q' vor dem Punkt P'
liegt.
Beim Auge ist a' immer durch die Länge des Auges gegeben. a' ist mit Hilfe der Gegenstandsweite a E und dem Gesamtbrechwert des Auges zu bestimmen (GaussFormel). Akkommodationsaufwand und Refraktionsdefizit nicht vergessen !
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
81
5.3.1 Schärfentiefe
Es sind nun d Z , d EP , a, und damit a' gegeben. Löst man die oben stehende Formel
nach a' auf so erhält man je nach Vorzeichen von d Z zwei Lösungen:
a1 ' = a '⋅
d EP
d EP + d Z
a2 '=a '⋅
d EP
d EP − d Z
Rechnet man a1 ' und a' nach a1 und a' um (Gauss-Formel rückwärts) so hat man
die Grenzen des scharf abgebildeten Bereichs ermittelt (Schärfentiefenbereich).
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
82
5.3.2 Übersicht "Kreis kleinster Verwirrung"
Wir beziehen uns auf die untenstehende Skizze. Das von einem Gegenstandspunkt
P ausgehende Licht wird, bedingt durch die unterschiedlichen Brechwerte in den
beiden Hauptschnitten I und II, in zwei verschiedene Bildlinien abgebildet. Zwischen
den beiden Bildlinien befindet sich der Kreis kleinster Verwirrung.
Die Lage der Bildlinien kann wie folgt berechnet werden:
AI ' = A + DI
AII ' = A + DII
A:
Vergenz der Gegenstandsweite [dpt]
DI , DII
Brechwerte in den Hauptschnitten I, II [dpt]
A' I , A' II :
Vergenzen der Bildweiten in den beiden Hauptschnitten [dpt]
Berechnung der Lage des Kreises kleinster Verwirrung:
A'V =
1
1
A' I + A' II ) = A + ( DI + DII )
(
2
2
Die Grösse dV des Kreises kleinster Verwirrung berechnet man wie diejeinige des
Zerstreuungskreises (a' durch a 'V ersetzen):
dV = d EP
a ' II − a 'V
a ' II
Beim Auge ist a' in der Regel mit der Augenlänge gleichzusetzen. (Wenn das Auge
auf den Kreis kleinster Verwirrung fokussiert.)
Strahlenbegrenzung – Blenden – Zerstreuungskreis - Schärfentiefe
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