Übungsblatt 5 - Universität Bonn

Universität Bonn
Physikalisches Institut
Prof. Dr. J. Kroha
www.uni-bonn.de/kroha/teaching/lectures-and-seminars/ss2012/quantenmechanik
02.05.2012
Theoretische Physik III — SoSe 2012
Übungsblatt 5
(Abgabe am 08. Mai, Besprechung am 11. Mai)
5.1 Hilbertraum: Orts- und Impulsdarstellung
Diese Aufgabe soll den Umgang mit Koordinatendarstellungen in überabzählbar unendlichdimensionalen Hilberträumen einüben. Der Orts(eigen)zustand |~y i ist definiert als der Zustand
eines Teilchens, in dem sich das Teilchen
genau am Ort ~y befindet (vgl. Vorlesung). Die Menge
¯
aller Ortseigenzustände, Bx = {|~y i¯~y ∈ R3 }, bildet dann eine vollständige, orthonormierte Basis
des Hilbertraums H des Teilchens (“Ortsbasis”), d.h. es gilt
h~x|~y i = δ (3) (~x − ~y )
Z
d3 y |~y ih~y | = 1
(Orthonormiertheit)
(1)
(Vollständigkeit).
(2)
Die Koordinatendarstellung eines Vektors des Hilbertraums bezüglich der Ortsbasis heißt Ortsdarstellung. Der Ortsoperator ~xˆ ist der Operator, der bei Anwendung auf einen Ortszustand
den Ort des Teilchens ergibt, d.h.
~xˆ |~y i = ~y |~y i .
Der Impuls(eigen)zustand |~qi ist analog der Zustand eines Teilchens, in dem es genau den
Impuls ~q hat.
(a) Gib den Ortseigenzustand |~xi in der Ortsdarstellung an, d.h. entwickle diesen formal in
die Basis Bx der Ortseigenzustände und gib die Entwicklungskoeffizienten an. Gib dann
den Ortsoperator ebenfalls in der Ortsdarstellung an.
(b) Verifiziere die Vollständigkeit und Orthonormiertheit der Ortsbasis in der Ortsdarstellung.
(c) Bestimme den Impulseigenzustand |~qi und den Impulsoperator in der Ortsdarstellung.
(d) Zeige die Vollständigkeit und Orthonormiertheit der Menge aller Impulseigenzustände,
indem du die entsprechenden Beziehungen in der Ortsdarstellung nachweist.
Die Impulszustände bilden somit eine Orthonormalbasis des Hilbertraums H. Die Koordinatendarstellung eines Vektors des Hilbertraums heißt Impulsdarstellung.
(e) Bestimme nun die Orts- und Impulseigenzustände sowie den Impuls- und den Ortsoperator in der Impulsdarstellung.
5.2 Heisenbergsche Unschärferelation
Ein freies Teilchen sei zur Zeit t = 0 durch die eindimensionale Wellenfunktion
³ α ´ 41
x2
Ψ(x) =
eik0 x−α 2
π
beschrieben, wobei α > 0 und k0 reelle Parameter sind.
(3)
(a) Zeige durch explizite Berechnung, dass dieses Teilchen der Heisenbergschen Unschärferelation für Ort und Impuls,
~
(4)
(∆x)(∆p) ≥ ,
2
genügt.
Hinweis: Berechne zunächst (∆k)2 und daraus über die Beziehung zwischen k und p dann
(∆p)2 .
(b) Skizziere den Realteil der Wellenfunktion Ψ(x) sowie deren Fouriertransformierte Ψ(k).
5.3 Cauchy-Schwarz-Ungleichung
In der Vorlesung wurde die Cauchy-Schwarz-Ungleichung benutzt. Diese besagt, dass für zwei
Vektoren |v1 i und |v2 i eines Vektorraums V über C mit innerem Produkt (Skalarprodukt)
Folgendes gilt:
|hv1 |v2 i| ≤ ||v1 i| · ||v2 i|
(5)
(a) Beweise die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
(b) Wann gilt Gleichheit?
5.4 Endlicher Potentialtopf (Teil 1)
Wir betrachten die stationäre Schrödingergleichung in einer Dimension in Anwesenheit eines
endlichen symmetrischen Kastenpotentials:
·
¸
½
~2 d2
−V0 für − L ≤ x ≤ L
(6)
−
+ V (x) Ψ(x) = E Ψ(x) mit V (x) =
2
0 sonst
2m dx
(a) Leite allgemein aus der Schrödingergleichung die Stetigkeitsbedingungen her, d.h. zeige,
dass an den Stellen, an denen das Potential einen endlichen Sprung besitzt, die Wellenfunktion und ihre Ableitung stetig sind.
Hinweis: Führe die Annahme, die Wellenfunktion bzw. ihre Ableitung besitze einen Sprung,
zu einem Widerspruch.
(b) Wir betrachten zunächst Teilchen mit Energien E > 0, die von x = −∞ kommend auf das
Potential treffen. Begründe, dass sich die Wellenfunktion wie folgt zusammensetzt:
 1 ikx
√ e
+ √r2π e−ikx für x < −L

2π


√A eikv x + √B e−ikv x für − L ≤ x ≤ L
Ψ(x) =
(7)
2π
2π



√t eikx
für L < x
2π
Bestimme k und kv und leite anschließend aus den Stetigkeitsbedingungen die Koeffizienten
r, A, B, t her.
(k2 −kv2 )(e−2ikv L −e2ikv L )e−2ikL
4kkv e−2ikL
Ergebnisse: t = (k+kv )2 e−2ik
v L −(k−kv )2 e2ikv L und r = (k+kv )2 e−2ikv L −(k−kv )2 e2ikv L
(c) Bestimme den Transmissionskoeffizienten T = jT /jI , wobei jT die transmittierte und jI die
~
[Ψ∗α Ψ0α − (Ψ∗α )0 Ψα ]
einfallende Teilchenstromdichte ist. Wie in der Vorlesung gezeigt, gilt jα = 2mi
1
Ergebnis: T =
Vo2
2
1+ 4E(E+V
0)
sin (2kv L)
(d) Gibt es speziell positive Werte für die Energie, für die T = 1 wird? Verifiziere explizit, dass
für diese Werte die Reflektionsamplitude den Wert Null annimmt. Was ist die physikalische
Bedeutung dieser Situation?