4.¨Ubungsblatt zur Spieltheorie — Lösungsskizze

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4. Übungsblatt zur Spieltheorie —
Lösungsskizze
Besprechung, Donnerstag, 28. Juni 2007, 14:00 bis 15:30 Uhr
Aufgabe 10
In einem Extensivformspiel entspricht die Geschichte bis zum Zeitpunkt t dem Pfad, der
zu einem Knoten führt.
Bei vollkommener Information hängt die Aktion, die der Spieler, der in einem Knoten an
der Reihe ist von dem Knoten, also von dem Pfad und damit der Geschichte ab. (Genau
betrachtet, denken wir dabei an Verhaltensstrategien).
Bei unvollkommener Information gibt es allerdings Knoten, die in einer mehrelementigen Informationsmenge liegen. Wenn ein Spieler nicht weiß, in welchem Knoten er sich
befindet, heißt das, er kennt nicht die gesamte Vorgeschichte, die dazu geführt hat, dass
er am Zuge ist. Dementsprechend kann er auch seine Aktion nicht vom Pfad abhängig
machen: Die aktion in allen Knoten einer Informationsmenge muss die selbe sein.
Aufgabe 11
11.1 Werbung kann dan als Signal wirken, wenn die Konsumenten die gute Brauerei A
von der schlechten B anhand der Werbung unterscheiden können, wenn also ein
separierendes Gleichgewicht existiert.
Vorüberlegung: Im separierenen Gleichgewicht wird B niemals Geld für Werbung
ausgeben, da B ja nichts davon hat, von A unterscheidbar zu sein. Im separierenden
Gleichgewicht wird also gelten W B = 0 und W A > 0.
Die Werbeausgaben W A müssen dabei so beschaffen sein, dass zum einen A keinen
Anreiz hat, auf die Werbung zu verzichten und zum anderen B keinen Anreiz hat,
A zu imitieren und ebenfalls Werbung zu betreiben.
Die Vermutungen der Konsumenten sind, dass eine Brauerei, die keine Werbung
macht vom typ B ist, während Werbung darauf hin deutet, dass die Brauerei vom
Typ A ist.
Daher vergleichen wir jeweils die Gewinne beider Brauereien mit Werbeausgaben
W B = 0 und W A > 0. Die Konsumenten gehen dabei ohen Werbung von der
Qualität Q00 aus und mit Werbung W A von der Qualität Q = 2. Die Gewinne
setzen sich jeweils zusammen aus dem Erlös der ersten Periode plus dem Erlös der
zweiten Periode minus den Werbeausgaben.
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Für B ergibt sich ohne Werbung der Gewinn
π B (0) = (1 + 2 · 0) + 2 · 0 − 0 = 1
mit Werbung W A ergibt sich der Gewinn
π B (W A ) = (1 + 2 · 2) + 2 · 0 − W A = 5 − W A .
Damit B keinen Anreiz hat, A zu imitieren muss gelten
π B (0) = 1 ≥ 5 − W A = π B (W A ).
Daraus ergibt sich
W A ≥ 4.
Für A ergibt sich ohne Werbung der Gewinn
π A (0) = (1 + 2 · 0) + 2 · 2 − 0 = 5
mit Werbung W A ergibt sich der Gewinn
π A (W A ) = (1 + 2 · 2) + 2 · 2 − W A = 9 − W A .
Damit A keinen Anreiz hat auf Werbung zu verzichten, muss gelten
π A (0) = 5 ≤ 9 − W A = π A (W A ).
Daraus ergibt sich
W A ≤ 4.
Mit W A = 4 ergibt sich also ein separierendes Gleichgewicht.
Da dies das einzige separierende Gleichgewicht ist, ist es automatisch das least cost
equilibrium.
Die Gewinne betragen
π B (0) = 1 und π A (4) = 5.
Anmerkung: Das Signal verursacht hier zwar Kosten, die aber für beide Brauereien gleich hoch sind. Das führt auch dazu, dass das separierende Gleichgewicht in
dem Sinne nicht sehr überzeugend ist, dass beide Brauereien zwar nicht profitieren
können, inem sie auf das Werbeniveau der anderen abweichen, dadurch aber auch
nichts verlieren würden.
Dies wäre anders, wenn die bessere Brauerei auch günstiger Werbung betreiben
könnte.
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11.2 In einem Pooling Gleichgewicht wählen beide Brauereien die selbe Werbung. Da
dies dazu führt, dass die Konsumenten sie nicht unterscheiden können, gibt es
keinen Grund, Geld für Werbung auszugeben, daher wird im Pooling Gleichgewicht
gelten W A = W B = 0.
In der ersten Perode erwarten die Konsumenten dann, dass die Qualität E(Q) =
2q + (1 − q)0 = 2q beträgt. Dementsprechend ist der Erlös beider Brauereien in der
ersten Periode im Pooling Gleichgewicht 1 + 2 · 2q.
Die Vermutungen der Konsumenten, wenn sie Werbung sehen, sind beliebig (im
Pooling Glechgewicht tritt dieser Fall ja nicht auf).
Vermuten die Konsumenten, dass eine Brauerei vom Typ B ist, wenn sie Werbung
betreibt, erhalten wir jedenfalls ein Pooling Gleichgewicht.
Abzuweichen und Werbung zu betreiben würde ja zum einen Kosten verursachen
und zum anderen den Erlös in der ersten Periode senken.
Der Gewinn in diesem Pooling Gleichgewicht wäre für Brauerei A
π A (0) = 1 + 4q + 4 − 0 = 5 + 4q.
und für Brauerei B
π B (0) = 1 + 4q + 0 − 0 = 1 + 4q.
Allerdings hält dieses Pooling Gleichgewicht einer Überprüfung mit dem intuitiven
Kriterium nicht stand: Zu vermuten, Werbung spreche dafür, die Brauerei sei vom
Typ B, ergibt keinen Sinn, da kein Gleichgewicht existiert, in dem B Werbung
macht.
Ändern wir die Vermutung, so das die Konsumenten Werbung so interp retieren,
dass die Brauerei vom Typ A ist, ist kalr, dass A durch wenig Werbung gewinnen
kann: Der Erlös steigt in der ersten Periode und die Werbung kostet wenig.
Interessant ist aber, den Fall zu betrachten, dass nur zwei Niveaus der Werbung
möglich sind, nämlich 0 und 4,d.h., die be iden Werbeniveaus des separierenden
Gleichgewichts.
Hat A einen Anreiz vom Pooling Gleichgewicht anzuweichen und W A = 4 zu wählen
(mal abgesehen davon, dass es sich in diesem Fall nicht um ein Poling Gleichgewicht
handeln würde)?
Der Gewinn im Pooling Gleichgewicht ist
π A (0) = 5 + 4q,
durch das Abweichen ergäbe sich ein Gewinn
π A (4) = 1 + 4 + 4 − 4 = 5,
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der für alle Werte q > 0 kleiner ist. Somit erhalten wir für den selben Wert für W
einmal ein separierednes und einmal ein Pooling Gleichgewicht.
Der Unterschied zwischen diesen beiden liegt darin, dass die Konsu menten im
separierenden Gleichgewicht W = 0 als Signal für B interpretieren, während sie
W = 0 im Pooling Gleochgewicht keine Informationen entnehmen.
Aufgabe 12
12.1 Die Extensivform dieses Spiels sieht wie folgt aus.
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0
1
3
g
2
3
v
1
m = 100
1
m = 200
m = 200
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2
j
100
−100
2
2
n
300
−400
j
200
−200
m = 100
n
300
−400
j
200
−200
2
n
−100
0
j
100
−100
n
−100
0
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12.2 Schlägt Spielerin 1 eine Einigung von 100 vor, wenn sie weiß, dass sie einen Prozess gewinnen würde, und eine Einigung von 200, wenn sie weiß, sie würde vor
Gericht unterliegen, so folgt daraus für die Vermutungen von Spielerin 2, dass sie
in der Informationsmenge W2 (100), also wenn sie den Vorschlag 100 von Spielerin
1 sieht, mit Wahrscheinlichkeit 1 annimmt im linken Knoten zu sein, und in der
Informationsmenge W2 (200) mit Wahrscheinlichkeit 1 annimmt im rechten Knoten
zu sein. Sie würde daher den Einigungsvorschlag von 100 annehmen (um −100
statt −400 zu bekommen) und den Einigungsvorschlag von 200 ablehnen (um 0
statt −200 zu bekommen). Gegeben diese Strategie, könnte sich Spielerin 1 aber
verbessern, indem sie wenn die Natur g zieht, 200 vorschlägt. Spielerin 2 lehnt ab
und 1 bekommt 300 statt 100 beim angenommenen Vorschlag 100. Dies kann also
kein Gleichgewicht sein.
12.3 Schlägt Spielerin 1 eine Einigung von 200 vor, wenn sie weiß, dass sie einen Prozess gewinnen würde, und eine Einigung von 100, wenn sie weiß, sie würde vor
Gericht unterliegen, so folgt daraus für die Vermutungen von Spielerin 2, dass sie
in der Informationsmenge W2 (100) mit Wahrscheinlichkeit 1 annimmt, im rechten
Knoten zu sein, und in der Informationsmenge W2 (200) mit Wahrscheinlichkeit 1
annimmt, im linken Knoten zu sein. Sie würde daher den Einigungsvorschlag von
200 annehmen (um −200 statt −400 zu bekommen) und den Einigungsvorschlag
von 100 ablehnen (um 0 statt −100 zu bekommen). Gegeben diese Strategie, könnte
sich Spielerin 1 aber verbessern, indem sie wenn die Natur v zieht, 200 vorschlägt.
Spielerin 2 nimmt an und 1 bekommt 200 statt −100 beim abgelehnten Vorschlag
100. Dies kann also kein Gleichgewicht sein.
12.4 Wenn beide Typen der Spielerin 1 eine Einigung von 100 vorschlagen, werden die
Vermutungen von Spielerin 2 in ihrer Informationsmenge W2 (100) genau den a
priori Wahrscheinlichkeiten der beiden Äste g und v entsprechen. Dementsprechend
beträgt ihre erwartete Auszahlung für die Antwort j
2
1
· (−100) + · (−100) = −100
3
3
und für die Antwort n
1
2
400
· (−400) + · 0 = −
.
3
3
3
Also wird sie den Vorschlag 100 annehmen.
Da die Informationsmenge W2 (200) nicht erreicht wird, wenn beide Typen der Spielerin 1 einen Vorschlag von 100 machen, gibt es keine Einschränkung der Vermutungen, die Spielerin 2 dort haben kann (dies gilt für das perfekte Bayesianische Nash
Gleichgewicht; anders wäre es im sequentiellen Gleichgewicht). Vermutet Spielerin
2, mit höherer Wahrscheinlichkeit im linken Knoten zu sein, würde sie annehmen,
vermutet sie mit höherer Wahrscheinlichkeit im rechten zu sein, würde sie ablehnen,
bei gleicher Wahrscheinlichkeit wäre sie indifferent.
Ein Einigungsvorschlag von 100 beider Typen der Spielerin 1 kann nicht Teil eines
perfekten Bayesianischen Nash Gleichgewichts sein, da sich 1 unabhängig von der
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Entscheidung, die 2 nach einem Vorschlag von 200 trifft, im Ast g durch diesen
Vorschlag auf jeden Fall verbessern könnte (von 100 auf 200 oder 300 — oder eine
Mischung).
12.5 Machen beide Typen der Spielerin 1 einen Einigungsvorschlag von 200, werden
die Vermutungen von Spielerin 2 in ihrer Informationsmenge W2 (200) genau den a
priori Wahrscheinlichkeiten der beiden Äste g und v entsprechen. Dementsprechend
beträgt ihre erwartete Auszahlung für die Antwort j
2
1
· (−200) + · (−200) = −200
3
3
und für die Antwort n
1
2
−400
· (−400) + · 0 = −
.
3
3
3
Also wird sie den Vorschlag 200 ablehnen.
Sind nun die Vermutungen der Spielerin 2 in der Informationsmenge W2 (100) derart, dass sie sich dort ebenfalls für ablehnen entscheidet (z.B. weil sie sicher davon
ausgeht im rechten Knoten zu sein), kann sich Spielerin 1 nicht durch abweichen
verbessern (sie bekäme jeweils die selbe Auszahlung).
Somit haben wir ein perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht in reinen Strategien gefunden.
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