Testatklausur Analysis I - WWW-Docs for TU

æ BTU Cottbus, Institut für Mathematik
Prof. Dr. S. Pickenhain
Cottbus, den 03. 02. 2004
Testatklausur Analysis I
(Studiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik, Informatik und Physik)
Name:
Matrikel-Nr.
Aufgabe
Punkte (Soll)
Punkte (Ist)
Vorname:
Geburtsdatum:
1
2
2
4
3
4
4
2
5
4
6
4
Z
2
Summe
20 + 2
best.
8
Zugelassene Hilfsmittel: 2 A4-Seiten mit persönlichen Aufzeichnungen.
Alle Lösungen sind zu begründen! Der Rechenweg muß ersichtlich sein.
Aufgabe 1
³ n ´n
Richtig oder falsch? “Für alle n ∈ N gilt: n ! 6 2 ·
”. Begründe die Antwort.
2
Aufgabe 2
¡
¢
a) Berechne Im (1 − 13 i)k (1 + 13 i)k zu beliebigem k ∈ N0 .
b) Bestimme alle komplexen Lösungen der Gleichung z 3 = 27.
Aufgabe 3
P∞
Sei { ak } eine beliebige Zahlenfolge. Beweise: Wenn die Reihe k=1 | ak | konvergiert, so konvergiert auch
P∞
2
k=1 ( ak ) . Begründe, daß die Umkehrung dieser Aussage falsch ist.
Aufgabe 4
Zeige, daß die unendliche Reihe
∞
X
n=3
1
konvergiert.
( ln n )n
Aufgabe 5
Bestimme folgende Grenzwerte (der erste komplex, die anderen beiden reell):
lim
n→∞
2n
,
n + 3i
³ 3n3 − 10n
2n+1 ´
+ Pn ¡n¢ ,
2
3
n→∞ 4 n − 4 n
k=1 k
lim
h √
n
¢n i
n−1 ¡
· sin(π + n)
.
n
n→∞
lim
Aufgabe 6
Zeige, daß die Gleichung x2 2x = 1 mindestens eine positive Lösung besitzt. Bestimme ein Intervall der
Länge 1/4, das eine Lösung einschließt.
Zusatzaufgabe
Beweise, daß die Menge J aller irrationalen Zahlen im R1 weder offen noch abgeschlossen ist.
BTU Cottbus, Institut für Mathematik
Prof. Dr. S. Pickenhain
Cottbus, den 03. 02. 2004
Testatklausur Analysis I
(Studiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik, Informatik und Physik)
Name:
Matrikel-Nr.
Aufgabe
Punkte (Soll)
Punkte (Ist)
Vorname:
Geburtsdatum:
1
2
2
4
3
4
4
2
5
4
6
4
Z
2
Summe
20 + 2
best.
8
Zugelassene Hilfsmittel: 2 A4-Seiten mit persönlichen Aufzeichnungen.
Alle Lösungen sind zu begründen! Der Rechenweg muß ersichtlich sein.
Aufgabe 1
³
Richtig oder falsch? “Für alle n ∈ N gilt: 3 6
1+
2 ´n
”. Begründe die Antwort.
n
Aufgabe 2
¡
¢
a) Berechne Im (1 + 17 i)k (1 − 17 i)k zu beliebigem k ∈ N0 .
b) Bestimme alle komplexen Lösungen der Gleichung z 3 = 27.
Aufgabe 3
P∞
Sei { ak } eine beliebige Zahlenfolge. Beweise: Wenn die Reihe k=1 | ak | konvergiert, so konvergiert auch
P∞
2
k=1 ( ak ) . Begründe, daß die Umkehrung dieser Aussage falsch ist.
Aufgabe 4
Zeige, daß die unendliche Reihe
∞
X
n=2
1
konvergiert.
( ln(n + 1) )n+1
Aufgabe 5
Bestimme folgende Grenzwerte (der erste komplex, die anderen beiden reell):
2n
lim
,
n
+ 5i
n→∞
³ 3n3 − 10n
2n+1 ´
¡n¢ ,
P
lim
+
n
2
3
n→∞ 4 n − 4 n
k=1 k
h √
n
¢n i
n−1 ¡
lim
· cos(π + n)
.
n
n→∞
Aufgabe 6
Zeige, daß die Gleichung x2 2x = 2 mindestens eine positive Lösung besitzt. Bestimme ein Intervall der
Länge 1/4, das eine Lösung einschließt.
Zusatzaufgabe
Beweise, daß die Menge J aller rationalen Zahlen im R1 weder offen noch abgeschlossen ist.