Berechnung des 95%-Konfidenzintervalls

Querschnittsfach „Epidemiologie, Med.
Biometrie und Med. Informatik“
Lösungen zu Seminar 4
Aufgabe 1: Konfidenzintervalle
X = Eisenbindungskapazität normalverteilt
Erwartungswert
µ
Standardabweichung

Studie mit n = 50 Patienten:
Mittelwert  empirische Standardabweichung
x  s = 320  30
1
(µg / 100 ml)
Was ist das 95% Konfidenzintervall?
(Aufgabe 2)
 Genauigkeitsmaß für die Schätzung
 Das 95%-Konfidenzintervall enthält den Erwartungswert µ
mit 95%-iger Sicherheit in folgendem Sinn:
 100 Stichproben aus derselben Grundgesamtheit
 100 mal ein 95%-Konfidenzintervall berechnet
 näherungsweise 95 der 100 Konfidenzintervalle
enthalten den wahren Wert µ
2
95%-Konfidenzinterv.: 20 Simulationen (n=100, p=0,07)
0,07
3
95% Konfidenzinterv.: 20 Simulationen (n=1.485, p=0,07)
0,07
4
Berechnung des 95%-Konfidenzintervalls
X
normalverteilt
Erwartungswert
µ
Standardabweichung

95%-Konfidenzintervall für µ:
[ x  1,96 

n
; x  1,96 

n
]
 Mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit liegt der
Erwartungswert µ in diesem Intervall
 zur Berechnung:
Standardabweichung  muss bekannt sein!
5
95%-Konfidenzintervall für µ bei unbekannter Standardabw.:
 statt  die empirische Standardabweichung s
 s hat zusätzliche Streuung, für die eine Korrektur vorzunehmen ist
 ersetze 97,5%-Quantil u0,975  1,96 der Standardnormalverteilung
durch 97,5%-Quant. der t-Verteilung mit (n1)=49 Freiheitsgraden
t  t49 0,975  ?? (siehe Tabelle)
s
s
; x t
[ x t
]
n
n
6
Aufgabe 1. a) 95%-Konfidenzintervall
i) bei bekannter Standardabweichung:
320  1,96  30 ; 320  1,96  30 

50
50 
= 311,68 ; 328,32
ii) bei unbekannter Standardabweichung:
t49 0,975 = 2,01
Tabelle (extrapoliert):
also:
320  2,01  30 ; 320  2,01  30 

50
50 
= 311,47 ; 328,53
7
Aufgabe 1 b):
Länge des 95%-Konfidenzintervalls aus a) i):
328,32  311,68 = 16,64
Länge des 95%-Konfidenzintervalls
bei bekannter Standardabweichung :
2  1,96 

n
Halbierung der Länge des KIs entspricht
Vervierfachung des Stichprobenumfangs !!
in Aufgabe 1:
Stichprobenumfang von 200 statt 50
 95%-Konfidenzintervall ist halb so lang
8
Aufgabe 2:
nur Antwort b) ist richtig.
Antwort a) ist falsch, Begründung:
siehe Antwort c)
Antwort c) ist falsch, Begründung:
bei grossem n kleines 95%-KI
enthält spätere Beob. m. kleiner Wahrsch.
Antwort d) ist falsch, Begründung
bei Schätzwert aus kleiner Stichprobe
ungenaue Schätzung
(Extremfall: n = 1  Antwort c))
9
Aufgabe 3. a)
Punktschätzer für die Wahrscheinlichkeit p
eines Misserfolges der Therapie:
6
p 
 0,130
46
(entsprechend dem Mittelwert)
empirische Standardabweichung von p :
s p 

p  1  p 
n
0,130  1  0,130
46
= 0,04966
(entsprechend der
empirischen Standardabw. d. Mittelwertes)
10
Aufgabe 3. b) 95%-Konfidenzintervall für
die
Misserfolgswahrscheinlichkei
t p (für n  30):
p  1  p 
p  1  p  

; p  u0,975 
 p  u0,975 

n
n



= p  1,96  s p ; p  1,96  s p

=
0,130  1,96  0,04966 ; 0,130  1,96  0,04966
= [ 0,033 ; 0,227 ]  [ 3% ; 23 % ]
11
Ergänzung zu Aufgabe 3 b):
Die dargestellte Lösung ist richtig.
Eine „andere“ Herleitung der Formel:
X = Anzahl der Misserfolge der Therapie
X ist binomialverteilt mit n = 46 und unbekannter (Misserfolgs-)wahrscheinlichkeit p
Varianz
 x2 = n * p * (1-p)
12
Bezeichne Y die zugehörige Bernoulliverteilte Zufallsvariable, also
Y=1 bei Mißerfolg, Y=0 bei Erfolg.
Varianz
 Y2 = p * (1-p)
(Das paßt zu X = Y1+Y2+...Yn)
Der Mittelwert von Y ist unser Schätzer für
die Misserfolgswahrscheinlichkeit:
Anzahl Misserfolge
y
n
13
Das 95%-Konfidenzintervall ergibt sich nach
der Formel aus Aufgabe 1 (i), wenn für x der
Mittelwert y und für  die Standardabweichung von Y eingesetzt wird, wobei p
durch den geschätzten Wert p̂ ersetzt wird:
[ x  1,96 
[ y  1,96 
[ pˆ  1,96 

n
y
n
; x  1,96 
; y  1,96 
 p(1  p 
n

n
y
n
] =
] =
; pˆ  1,96 
 p(1  p 
n
]=
pˆ  1  pˆ 
pˆ  1  pˆ 
[ pˆ  1,96 
]
; pˆ  1,96 
n
n
14
Aufgabe 3.c) 95%-Konfidenzintervall für
Misserfolgswahrscheinlichkeit der Therapie
mit Spectinomycin:
[ 0,033 ; 0,227 ]
enthält Misserfolgsrate von 0,10 der
Penicillin-G-Therapie
Beurteilung:
 etwas höhere Misserfolgsrate von 0,13 bei
Spectinomycin
gegenüber 0,10 bei Penicillin G ist als
zufällig zu beurteilen
 keine der Therapien hat eindeutigen
Vorteil
 Länge des Konfidenzintervalls hängt von
der Fallzahl ab!
15
Aufgabe 4:
Grundgesamtheit:
alle Todesfälle in Bevölkerung, Alter 55-64
Anteil Todesfälle aufgrund Tumor
0 = 0,20
Teilpopulation:
alle 13 Todesfälle in KKW, Alter 55-64
X = Anzahl Todesfälle wegen Tumor:
binomial-verteilt mit n=13 und
unbekannter Wahrscheinlichkeit 
16
Testproblem:
Nullhypothese:
H0: tumorbedingte Todesfälle in KKW
genauso häufig wie in der Bevölkerung
in Formeln:
H0:  = 0,20
Alternativhypothese:
H1:   0,20
Signifikanzniveau (Fehler 1. Art):
 = 0,05
 = P( H0 fälschlicherweise verworfen )
= P( Entscheidung für H1 | H0 ist richtig )
17
Welcher Test?
Approximation durch Normalverteilung
entfällt, da n = 13 zu geringe Fallzahl
„exakter“ Test:
Für 2 fest gewählten Konstanten c1 und c2
wird nach folgender Regel entschieden:
Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn
X < c1 oder
X > c2
c1 und c2 müssen unter der Nullhypothese
 = 0,20 folgende Bedingungen erfüllen:
PH0 ( Entscheidung für H1 ) =
PH0 ( X < c1 ) + PH0 ( X > c2 ) <  = 0.05
PH0 ( X < c1 ) <
/2
= 0,025
PH0 ( X > c2 ) <
/2
= 0,025
18
13
PH0 ( X > 7 ) =  P X  k 
k 8
13
8
5 13
=    0,2  0,8     0,2 9  0,8 4 ...
 8
 9
19
X binomialverteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,20 und n = 13
k
13
 
 k
0,2 k
0,8n  k
P(X = k)
P(X  k)
P(X < k)
P(X > k)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0
1
1,000
0,055
0,055
0,055
0,000
0,945
1
13
0,200
0,069
0,179
0,234
0,055
0,766
2
78
0,040
0,086
0,268
0,502
0,234
0,498
3
286
0,008
0,107
0,246
0,747
0,502
0,253
4
715
0,002
0,134
0,154
0,901
0,747
0,099
5
1287
0,000
0,168
0,069
0,970
0,901
0,030
6
1716
0,000
0,210
0,023
0,993
0,970
0,007
7
1716
0,000
0,262
0,006
0,999
0,993
0,001
8
1287
0,000
0,328
0,001
1,000
0,999
0,000
9
715
0,000
0,410
0,000
1,000
1,000
0,000
10
286
0,000
0,512
0,000
1,000
1,000
0,000
11
78
0,000
0,640
0,000
1,000
1,000
0,000
12
13
0,000
0,800
0,000
1,000
1,000
0,000
13
1
0,000
1,000
0,000
1,000
1,000
0,000
20
Bestimmung der Konstanten c1 und c2 aus
der Tabelle:
c1 = 0
c2 = 6
Testergebnis:
X = 5 liegt zwischen 0 und 6 
Die Nullhypothese wird beibehalten:
Die Häufung der tumorbedingten
Todesfälle ist zufällig.
(obwohl
5
   0,385 )
13
Irrtumsrisiko = ??
21
Aufgabe 4, Teil 2:
Annahme:
5
 0,385
 =
13
1   = 0,615
P( Entscheidung für H0 ) = P( 0  X  6 )
6
=  P X  k 
k 0
= 0,385  0,615
0
13
13
    0,3851  0,61512 
 1
13
2
11 13
3
10
   0,385  0,615     0,385  0,615 
 2
 3
13
4
9 13
5
8
   0,385  0,615     0,385  0,615 
 4
 5
13
6
7
   0,385  0,615
 6
22
X binomialverteilt mit Erfolgswahrscheinl. p = 0,385 und n = 13
k
13
 
 k
0,385k
0,615n  k
P(X = k)
P(X  k)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------0
1
1.000
0.002
0.002
0.002
1
13
0.385
0.003
0.015
0.017
2
78
0.148
0.005
0.055
0.072
3
286
0.057
0.008
0.127
0.199
4
715
0.022
0.013
0.198
0.397
5
1287
0.008
0.021
0.223
0.619
6
1716
0.003
0.033
0.186
0.805
7
1716
0.001
0.054
0.116
0.921
8
1287
0.000
0.088
0.054
0.976
9
715
0.000
0.143
0.019
0.994
10
286
0.000
0.233
0.005
0.999
11
78
0.000
0.379
0.001
1.000
12
13
0.000
0.615
0.000
1.000
13
1
0.000
1.000
0.000
1.000
23
Also gilt:
P( Entscheidung für H0 ) = P( 0  X  6 )
= 0,805  81 %
Irrtumsrisiko trotz  = 0,385 für die
Nullhypothese  = 0,2 zu entscheiden
(Fehler 2. Art oder -Fehler)
24
Aufgabe 5:
Nur Antwort A ist richtig!
Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art =
P( H0 wird abgelehnt | H0 ist wahr )
andere Antworten:
Antwort B: 1  Fehlerw. 2. Art
Antwort C: (Aussagefähigkeit des Tests)
Antwort D: 1  Fehlerw. 1. Art
Antwort E: Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art
25
Aufgabe 6:
Nur Antwort D ist richtig!
Ein statistischer Test dient dem
Prüfen einer Hypothese.
26
Aufgabe 7:
Nur Antwort A ist richtig!
H0:
Patient ist gesund.
H1:
Patient ist nicht gesund.
Wahrscheinlichkeit, dass Patient
irrtümlich als gesund eingestuft wird
=
Wahrsch., dass H0 angenommen wird,
obwohl die Alternativhypothese gilt
=
Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art
27
Aufgabe 7: andere Antworten:
Antwort B:
gesunder Patient
gesund eingestuft
Antwort C:
kranker Patient
krank eingestuft
Antwort D:
gesunder Patient
krank eingestuft
28