Script - Fürst-Johann-Ludwig

Taschenrechner im Landesabitur
TI nSpire vs. Casio fx 991
Fürst-Johann-Ludwig-Schule Hadamar
Mittwoch, den 6. März 2013; 15:00 Uhr - 18:00 Uhr
Matthias Grasse, FJLS Hadamar
[email protected]
Bisher von mir an der FJLS durchgeführte Fortbildungen:
09.02.2004
30.03.2004
20.04.2004
11.05.2004
27.05.2004
03.05.2005
05.12.2005
21.02.2006
23.04.2007
19.06.2011
09.01.2012
06.03.2013
Einführung in den CAS-Rechner TI Voyage 200
Euklid
Erstellung von Arbeitsblättern mit MS WORD für den Mathematikunterricht
Arbeiten mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive in der Sekundarstufe II
Arbeiten mit dem Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel im MU
Funktionen darstellen und untersuchen mit DERIVE, EXCEL/OpenOffice Calc,
EUKLID und TI INTERACTIVE – ein Vergleich
Stationenlernen im Mathematikunterricht
Einsatz von DERIVE in der SI
Einsatz einer Tabellenkalkulation in Stochastik
Euklid vs. Geogebra zur Funktionsdarstellung
CAS-Einsatz im Mathematikunterricht der SII
Taschenrechner im Landesabitur: Ti nSpire vs. Casio fx 991
(bisher 12 Fortbildungen)
0. Ablauf/Inhalt
1. Übersicht: verfügbare CAS-Technik/Software
1.1 Rechner
1.2 Software
1.3 Apps
2. nSpire (Schulmodell)
2.1 Schnelleinstieg
2.2 Vollständige Funktionsuntersuchung
3. Lösung von zwei Abituraufgaben
3.1 Lösung der Aufgabe: Landesabitur Hessen, 2012, LK B1
3.2 Lösung der Aufgabe: Landesabitur Hessen, 2011, GK A2
1. Verfügbare CAS-Technik/Software
1.1 Rechner
a) An unserer Schule ist ein Klassensatz
(25 Exemplare) des ersten nSpire
vorhanden.
Preis: 90 €
b) aktuelles Modell: TI-NSpireCX-CAS
inkl. Farbdisplay und Software für den PC.
Preis: 130 €
1.2 Software
a) Für den Computer gibt es passend eine Software mit der
vollen Funktionalität des Rechners, inkl.
Dokumentenverwaltung und Import-/Exportfunktion.
Preis: 30 €
b) Mittlerweile ganz stark aufgeholt hat GEOGEBRA CAS.
Preis: kostenlos
1.3 APPs
Die APP ist bisher nur für das Betriebssystem iOS verfügbar. In
Kürze auch für Android.
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2. nSpire (Schulmodell)
2.1 Schnelleinstieg
Schalten Sie das Gerät ein.
Sie sehen den Startbildschirm.
Wählen Sie 1 (Neues) und dann wieder 1
(Calculator hinzufügen).
Sie können den nSpire wie einen normalen
Taschenrechner benutzen.
Berechnen Sie:
2,45 · 1,85 (Abschluss mit der Taste ENTER )
Berechnen Sie weiter:
1 2
a)

2 3
b) 18
Die Brüche erhalten Sie mit der Taste mit einem
weißen Buch drauf. Dann 5 und dann mit dem
Cursor den Bruch auswählen.
Wahlweise auch mit der Taste mit dem
abgebildeten blauen Bruch. (In Kombination mit
ctrl).
Mit enter erhalten Sie einen gerundeten Wert.
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Der nSpire rechnet auch mit Variablen:
x
x
a)

2
3
b) Als nächstes sind die Nullstellen des Terms:
x4-1 zu bestimmen.
Dazu dient der Befehl
solve(Gleichung, Variable)
Sie erhalten den Befehl auch über menü – 3 – 1.
Es werden alle reellen NST ermittelt.
Speichern Sie den Term als Funktion f(x) ab.
Wir werden später diesen Term weiter verwenden.
Befehl: f(x):=x4-1
Sie können die Funktion f(x) jetzt bequem
verwenden.
a) Berechnen Sie f(3,75).
b) Berechnen Sie die erste Ableitung und
speichern Sie das Ergebnis in f1(x).
Das Ableitungssymbol erhalten Sie wieder mit der
Taste mit dem weißen Buch und 5.
Sie können sich die erste Ableitung durch f1(x)
auch ausgeben.
Bestimmen Sie die Nullstellen der ersten
Ableitung. (menü-3-1)
Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) mit
x .
Hinweis: Das Grenzwertsymbol erhalten Sie wieder
mit der Taste mit dem weißen Buch und 5.
Das Zeichen  erhlten Sie mit ctrl und Taste mit
dem weißen Buch.
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Berechnen Sie den Flächeninhalt im
Intervall [0 | 2].
usw.
Graphische Dartsellung der Funktion:
Gehen Sie auf die Home-Taste (Haus). Wählöen
Sie unten „Graphs hinzufügen“.
Tragen Sie unter f(x)=f(x) ein.
Die Funktion wird gezeichnet.
Gehen Sie mit dem Cursor auf z.B. die Achse, bis
diese markiert wird. Drücken Sie etwas länger auf
die Taste im Cursorrad, bis die Hand sich schließt.
Sie können jetzt den Achsmaßstab verändern.
Führen Sie jetzt zur Übung eine vollständige Fkt.-untersuchung von
1
f(x) =
· x2 · (x-4)2
4
durch.
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2.2 Vollständige Fkt.-untersuchung der Fkt. f(x) =
1
· x2 · (x-4)2
4
mit dem nSpire.
Festlegen der Funktion
Berechnung der Nullstellen
(an den Stellen x=0 und x=4)
Bestimmung der ersten Ableitung
Bestimmung der NST der ersten Ableitung
Bestimmung der 2. Ableitung
Überprüfung auf Minima und Maxima
(Minima bei x=4 und x=0; Maxima bei
x=2)
Bestimmung der Extrempunkte
(Bei (4|0) und (0|0) befinden sich Minima,
bei (2|4) Maxima)
Bestimmung der Wendestellen
Überprüfung mit 3. Ableitung
Berechnung der Wendepunkte
(Bsp. für einen Punkt, genau und
gerundet.)
Graphische Darstellung
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3. Lösung von zwei Abituraufgaben
3.1 Lösung mit TI nSpire und Casio fx 991 – Beispiel 1 – Lineare Algebra
In den letzten Jahren wurden im Bereich B und C für alle 3 Rechnertechnologien die gleichen
Abituraufgaben gestellt.
Hessisches Kultusministerium Landesabitur 2012
Leistungskurs (TR / GTR / CAS) Vorschlag B1
Gegeben sind drei jeweils von dem Parameter t, t IR\{0}, abhängige Punkte At (t|0|0), Bt(0|2t|0)
und Ct(0|0|3t).
1.1 Begründen Sie, warum durch die drei Punkte für jeden Wert von t genau eine Ebene Ht aufgespannt
wird.
Rechnereinsatz bei beiden Technologien nicht sinnvoll.
Der Punkt At liegt auf der x-Achse, Bt liegt auf der y-Achse und Ct liegt auf der z-Achse.
Daher sind die drei Punkte kollinear und spannen eine Ebene auf.
Leiten Sie eine Koordinatengleichung für die Ebenen schar her und beschreiben Sie die Lage der
Ebenen zueinander.
[mögliche Lösung: 6x + 3y + 2z = 6t]
(TI nSpire)
Man stellt ein LGS auf und löst dieses:
Erklärung: Mit dem Befehl linSolve kann man LGS lösen. Man setzt in die Gleichung
ax+by+cz=d die drei Punkte A, B und C ein.
Als Lösung {a,b,c,d} erhält man (c1=Parameter) {c1/t, c1/2t, c1/3t,c1}. Diesen
Lösungsvektor multipliziert man mit 6t/c1 und erhält: {6,3,2,6t} und als
Koordinatengleichung: 6x+3y+z=6t.
(Lösungsdokumentation nächste Seite)
(Casio)
Kein sinnvoller Einsatz möglich. (siehe handschriftliche Lösung)
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1.2 In einer dieser Ebenen Ht liegt der Punkt P(2|–2|3). Berechnen Sie den zugehörigen Wert von t.
Zeichnen Sie die Punkte At, Bt und Ct für diesen Wert von t in ein Koordinatensystem und verbinden
Sie diese zu einem Dreieck.
Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz
1.3 Berechnen Sie den Parameter t so, dass die Ebene Ht den Abstand d = 6 vom Koordinatenursprung
hat.
(TI nSpire)
Die Lösung ist mit einer Zeile möglich. Man
verwendet die Abstandsformel Punkt-Ebene: 𝑑 =
|𝑟⃗ − 𝑝⃗| · ⃗⃗⃗⃗⃗.
𝑛0
Der Rechner kann diese Formel nach t auflösen
und gibt auch beide Lösungen an.
solve  löst die Gleichung
dotp Skalarprodukt
unitV normiert den Normalenvektor
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2. Für den Flächeninhalt F eines Dreiecks ABC mit dem Innenwinkel α an der Ecke A kann man
̅̅̅̅| · |𝐴𝐶
̅̅̅̅ | · 𝑠𝑖𝑛 ∝.
in Formelsammlungen folgende Formel finden: 𝐹 = 0,5 · |𝐴𝐵
2.1 Leiten Sie die Formel F(t) = 3,5t2 für den Flächeninhalt F(t) des Dreiecks AtBtCt aus Aufgabe 1 (für
beliebiges t) her.
Durch den Operator „Herleiten“ ist kein sinnvoller Rechnereinsatz möglich.
2.2 Bestimmen Sie die Gerade durch den Punkt Ct, die das Dreieck AtBtCt in zwei gleich große Teilflächen
zerlegt.
̅̅̅̅̅̅
Der Mittelpunkt der Strecke |𝐴
𝑡 𝐵𝑡 | ist Mt(t/2|t|0). Die gesuchte Gerade gt ist durch die Punkte
Ct und Mt bestimmt.
Zunächst werden die drei Ortsvektoren zu den gegebenen Punkten festgelgt. Im rechten
Fenster wird dann noch der Winkel zwischen ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 und ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 bestimmt.
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Nach der Festlegung von Mt wird mit der
angegebenen Formel und unter Verwendung
des berechneten Winkels der Flächeninhalt
berechnet werden, der genau dem halben
Flächeninhalt des Dreiecks AtBtCt entspricht.
norm  Berechnet die Länge eines Vektors
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3.1 Bestimmen Sie die Matrix M der linearen Abbildung des IR3 in sich, die den Punkt A1 auf den
Punkt A2, den Punkt B1 auf den Punkt B2 und den Punkt C1 auf den Punkt C2 abbildet.
A1(1|0|0)A2(2|0|0)
B1(0|2|0)B2(0|4|0)
C1(0|0|3)C2(0|0|6)
Nach der Regel, dass die Bilder der
Einheitsvektoren die Spalten der
Abbildungsmatrix sind, lautet die Matrix:
2 0 0
𝑀 = [0 2 0]
0 0 2
Zumindest ist eine Überprüfung mit dem
Rechner möglich.
𝑢
3.2 Mit E sei die 3x3-Einheitsmatrix bezeichnet. Begründen Sie, dass die Matrix 𝑁 = 𝑡 · 𝐸die
Ebene Ht auf die Ebene Hu abbildet.
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3.2 Lösung mit TI nSpire und Casio fx 991 – Beispiel 1 – Lineare Algebra
In den letzten Jahren wurden im Bereich A oft sehr ähnliche Aufgaben für den Einsatz des
Taschenrechners bzw. GTR/CAS gestellt.
Beispiel: GK Mathematik – 2011 – Vorschlag A2
TR
GTR/CAS
1. Die nachträgliche Auswertung der
Aufzeichnungen des Höhenbarometers eines
Heißluftballons ergab, dass sich die Höhe des
Ballons über dem Startpunkt der Ballonfahrt durch
die Funktion h mit der Gleichung:
h(t) = –0,5t3 + 2t2 + t
beschreiben lässt. t: Zeit in Stunden h(t): Höhe in
100 Metern
Der Ballon startet zum Zeitpunkt t = 0 in der Höhe
h = 0.
1.1 Berechnen Sie die Dauer der Ballonfahrt
sowie die größte erreichte Höhe unter der Annahme,
dass der Ballon eine ebene Landschaft überfliegt.
Geben Sie einen für den Sachzusammenhang
sinnvollen Definitionsbereich an.
1. Die nachträgliche Auswertung der
Aufzeichnungen des Höhenbarometers eines
Heißluftballons ergab, dass sich die Höhe des
Ballons über dem Startpunkt der Ballonfahrt durch
die Funktion h mit der Gleichung:
h(t) = –0,5t3 + 2t2 + t
beschreiben lässt. t: Zeit in Stunden h(t): Höhe in
100 Metern
Der Ballon startet zum Zeitpunkt t = 0 in der Höhe
h = 0.
1.1 Skizzieren Sie den Graphen von h (Höhenprofil
der Ballonfahrt) in Ihrer Lösungsdokumentation.
Berechnen Sie die Dauer der Ballonfahrt sowie
die größte erreichte Höhe unter der Annahme, dass
der Ballon eine ebene Landschaft überfliegt.
Geben Sie einen für den Sachzusammenhang
sinnvollen Definitionsbereich an.
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TR
GTR/CAS
1.2 Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen
von h und deuten Sie diesen im Sachzusammenhang
1.2 Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen
von h und deuten Sie diesen im Sachzusammenhang.
Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ballon am
schnellsten sinkt.
Bestimmen Sie die größte Sinkgeschwindigkeit.
Ab dieser Stelle laufen die Aufgaben zu weit auseinander.
TR
1.3 Skizzieren Sie den Graphen von h (Höhenprofil der Ballonfahrt).
Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz
2. Die Ballonhülle eines Heißluftballons wird durch
horizontale und vertikale Lastbänder, die in die Hülle
eingenäht sind, stabilisiert. Die horizontalen Lastbänder
verlaufen wie Fassringe rund um die Hülle. Die vertikalen
Lastbänder laufen vom höchsten Punkt des Ballons
seitlich herab bis zum runden Brennerrahmen, der
oberhalb der Austrittsdüse des Brenners sitzt (siehe
Material 1). Am Ballonäquator ist der Umfang des
Ballons maximal.
2.1 Die Funktionen f1 mit der Gleichung
1
1
1
3
𝑓1 (𝑥) =
· 𝑥4 −
· 𝑥3 −
· 𝑥2 +
·𝑥−1
2000
100
1000
100
1
1
und f2 mit der Gleichung 𝑓2 (𝑥) = − 2000 · 𝑥 4 + 100 ·
1
Ordnen Sie die Graphen in Material 2 den
Funktionsgleichungen f1(x) und f2(x) zu.
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
3
𝑥 3 + 1000 · 𝑥 2 − 100 · 𝑥 + 1 stellen den Umriss des
Heißluftballons hinreichend genau dar.
Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz
2.2 Begründen Sie an einem wesentlichen Gesichtspunkt, warum die Graphen von f1(x) und f2(x) die reale
Ballonhülle nicht optimal beschreiben.
Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz
2.3 Bestimmen Sie die Ableitung von f1(x) und zeigen Sie, das auch
1
𝑓 ′ (𝑥) =
· (𝑥 − 1) · (𝑥 + 1) · (𝑥 − 15) gilt.
500
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Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz
2.4 Berechnen Sie die Länge des horizontalen Lastbandes am Ballonäquator.
2.5 Erläutern Sie die Bedeutung der folgenden Gleichung im Sachzusammenhang und
beschreiben Sie die zur Berechnung notwendigen Schritte.
20
2
1
1
1
3
𝜋·∫ (
· 𝑥4 −
· 𝑥3 −
· 𝑥2 +
· 𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 2033,9
2000
100
1000
100
1
Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz
GTR/CAS
2. Die Ballonhülle eines Heißluftballons wird durch horizontale und vertikale Lastbänder, die
in die Hülle eingenäht sind, stabilisiert. Die horizontalen Lastbänder verlaufen wie Fassringe
rund um die Hülle. Die vertikalen Lastbänderlaufen vom höchsten Punkt des Ballons seitlich
herab bis zum runden Brennerrahmen, der oberhalb der Austrittsdüse des Brenners sitzt
(siehe Abbildung 1 und 2). Am Ballonäquator ist der Umfang des Ballons maximal.
Die vertikalen Lastbänder werden durch die Funktion f:
𝑥
𝑓(𝑥) = √𝑎 − 𝑥; 𝑎 > 0 beschrieben, wobei sich der Ursprung des KOS an der Austrittsdüse des
4
Brenners befindet und die x-Achse der vertikalen Rotationssymmetrieachse des Ballons
entspricht.
2.1 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der vertikalen Laufbänder, wenn sich der
Ballonäquator 13 1/3m über der Austrittdüse des Brenners befindet. Erklären Sie Ihren
Lösungsansatz. [Kontrollergebnis: a = 20]
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2.2 Berechnen Sie die Höhe des Ballons (Austrittsdüse des Brenners bis Ballonspitze), die
Länge des horizontalen Lastbandes am Ballonäquator sowie den Durchmesser des
Brennerrahmens, der 1 Meter über der Austrittsdüse des Brenners angebracht ist.
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3. Bestimmen Sie das Volumen des Ballons (vom Brennerrahmen bis zur Ballonspitze) über
das Rotationsvolumen des Graphen von f.
Erläutern Sie wie man mit Hilfe von Zylindern die Formel für das Volumen eines
Rotationskörpers bestimmt.
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