B Rechnen mit Dezimalzahlen

B Rechnen mit Dezimalzahlen
1
Dezimalschreibweise
Brüche mit dem Nenner 10; 100; 1000; ... kann man als Dezimalzahlen
(Kommazahlen) schreiben.
Bei der Dezimalschreibweise (Kommaschreibweise) bedeutet die 1. (2.,
3., …) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel, …).
Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen.
Nach dem Komma dürfen am Ende einer Dezimalzahl beliebig viele
Nullen angehängt oder weggelassen werden. Ihr Wert bleibt gleich.
Beispiele
10
100
1
1. 0,1 = }
= }}
= }}
= …;
10
100
1000
23
2. 2,3 = }
;
10
11
0,011 = }}
;
1000
70
7
0,07 = }}
= }}
= …;
100
1000
25
0,25 = }}
= }14 ;
100
3
0,003 = }}
=…
1000
3
12
0,0012 = }}}
= }}
10 000
2500
9
19
17
3. }
= 0,9 = 0,90 = 0,900 = …; }}
= 0,17 = 0,170 = …; }}
= 0,019 = …
10
100
1000
4. Auch viele Brüche, die nicht den Nenner 10; 100; 1000; … haben, kann man
als Dezimalzahl schreiben. Dazu muss man sie zuvor durch Kürzen und/oder
Erweitern auf einen der Nenner 10; 100; 1000; ... bringen.
125
9
3
15
175
2
4
1
7
} = } = 0,4;
} = }} = 0,125;
} = } = }} = 0,15;
} = }} = 1,75
5
4
10
8
1000
60
20
100
100
5. }13 kann man nicht auf einen der Nenner 10; 100; 1000; ... erweitern.
Aufgaben
1. Trage die Zahlen in die Stellenwerttafel ein. Orientiere dich dabei an der
bereits ausgefüllten Zeile: 14,8; 0,86; 200,05; 0,018.
H
Z
E
z
h
t
Schreibweise als Summe
6
3
2
0
0
5
2
5 63,205 = 63 + }
+ }}
+ }}
10
100
1000
20
3011_K_B_020_027.indd 20
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1 Dezimalschreibweise
2. Schreibe als Bruch. Kürze, falls dies möglich ist.
a) 0,5; 0,03; 0,005; 0,850; 0,024
b) 0,102; 1,25; 1,05; 2,5; 3,8
3. Schreibe als Dezimalzahl.
35
3
7
1
7
a) }
; }}
; }14 ; }
; }
; }
10
1000
25
20
40
9
13
9
14
7
b) }
; }
; }
; }32 ; 1 }
; 2}
35
30
10
10
20
4. Wandle im Kopf in die andere Schreibweise um.
3
1
a) }12 ; }34; }45; }52; }
; }
; 1 }15
20
50
b) 0,2; 0,40; 0,02; 1,6; 2,25
5. a) Gib an, welche Dezimalzahlen durch die Buchstaben A bis F auf dem
Zahlenstrahl markiert wurden.
A=
B=
C=
D=
E=
F=
b) Markiere nun auf dem Zahlenstrahl durch die Buchstaben G bis K die
folgenden Zahlen: 6,9; 7,6; 9,4; 10,0; 10,35.
6. Zeige durch Umwandlungen in Brüche, dass gilt: 0,4 = 0,400.
7. Schreibe die Zahlen ab und lass dabei alle überflüssigen Nullen weg.
0,300; 1,020; 0,003; 200,0; 0,4050; 70,080010; 0,000
8. Schreibe ohne Komma. Wandle dazu in eine kleinere Einheit um.
a) 1,4 dm
e) 3,5 t
i) 0,5 h
b) 2,04 m
f) 1,8 kg
j) 0,1 min
c) 0,8 cm
g) 0,045 kg
k) 0,2 h
d) 1,03 km
h) 0,0001 t
l) 0,25 min
9. Wandle in die nächst größere Einheit um und schreibe mit Komma.
a) 18 cm
e) 3100 g
i) 30 s
b) 320 m
f) 800 kg
j) 15 min
c) 222 mm
g) 72 g
k) 36 h
d) 8 m
h) 5 }12 kg
j) 24 s
21
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B Rechnen mit Dezimalzahlen
2
Dezimalzahlen ordnen und runden
Von zwei verschiedenen Dezimalzahlen ist diejenige größer, die von
links gelesen an derselben Stelle als erste eine größere Ziffer hat.
Wird eine Dezimalzahl auf Zehntel (Hundertstel, Tausendstel, …) gerundet, so entscheidet die 2. (3., 4., …) Dezimale darüber, ob auf- oder
abgerundet wird. Ist die erste wegzulassende Dezimale eine 0, 1, 2, 3
oder 4, wird abgerundet, ansonsten wird aufgerundet.
Beispiele
1. 2,517 < 2,523, denn 1 < 2
3. 3,4 < 3,47, denn 3,40 < 3,47
5. Runden der Zahl 3,5382 auf Ganze:
auf Zehntel:
auf Hundertstel:
auf Tausendstel:
Aufgaben
10. Ordne der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl.
a) 12,35; 8,43; 12,788
c) 0,843; 0,483; 0,834; 0,384
2. 67,21 > 64,88, denn 7 > 4
4. 326,04 < 2 133,06
3,5382 ≈ 4
Aufgerundet.
3,5382 ≈ 3,5
Abgerundet.
3,5382 ≈ 3,54
Aufgerundet.
3,5382 ≈ 3,538 Abgerundet.
b) 3,420; 3,402; 3,204; 3,240
d) 0,04; 0,038; 0,040; 0,3779
11. Schreibe alle Zahlen dezimal und ordne sie dann der Größe nach.
451
a) }12 ; 0,45; }38; 0,38; }}
1000
23
b) 2,33; 2 }14; 2,251; }
; 2,2499
10
12. Vervollständige die Tabelle zum Runden von Dezimalzahlen.
Zahl
gerundet
auf
5,4632
Ganze
5
Zehntel
Hundertstel
Tausendstel
(= 1 Dezimale) (= 2 Dezimalen) (= 3 Dezimalen)
5,5
0,6289
1,5017
0,0029
0,0
1,4568
13. Die folgenden Zahlen wurden gerundet. Gib an, zwischen welchen beiden
Zahlen der genaue Wert lag und wie groß der Rundungsfehler maximal ist.
a) 7
b) 2,4
c) 6,43
d) 0,007
14. Wie viele mm hoch ist ein rund 1,92 m hoher Schrank mindestens?
22
3011_K_B_020_027.indd 22
13.07.2006 09:06:58
3 Addieren und subtrahieren
3
Addieren und subtrahieren
Für das Addieren / Subtrahieren von Dezimalzahlen schreiben wir die
Zahlen so untereinander, dass Komma unter Komma steht. Unbesetzte
Dezimalstellen dürfen wir dabei mit Nullen auffüllen.
Dann addieren / subtrahieren wir die Zahlen wie üblich und setzen im
Ergebnis das Komma so, dass es unter den anderen steht.
1. 13,5 + 7,82 + 8,4
Überschlag: 14 + 8 + 8 = 30
Rechnung:
1 3, 5 0
+
7, 8 2
+
8, 4 0
1
Beispiele
2. 9,437 – 5,62
Überschlag: 9,4 – 5,6 = 3,8
Rechnung:
9, 4 3 7
– 5, 6 2 0
1
1
3, 8 1 7
2 9, 7 2
Aufgaben
15. Setze die Folge um weitere fünf Zahlen fort.
a) 0,8; 1,5; 2,2; 2,9
b) 21,5; 19,9; 18,3; 16,7
16. Rechne im Kopf.
a) 1,5 + 1,8
e) 5,7 – 2,3
b) 5,7 + 4,3
f) 2,5 – 1,8
c) 0,85 + 2,71 d) 8,43 + 4,37
g) 10,4 – 8,5
h) 2,35 – 1,21
17. Berechne die Summe (die Differenz) der Zahlen.
a) 4,56 und 1,97
c) 3,356 und 0,7734
e) 8,03 und 4,579
b) 250 und 147,073
d) 7,34596 und 2,31522
f) 0,0028 und 0,000382
Tipp
Für Überschlagsrechnungen solltest du die Zahlen stets so runden, dass du
den kompletten Überschlag im Kopf rechnen kannst.
18. Mache zuerst eine Überschlagsrechnung. Berechne danach schriftlich.
a) 4,83 + 2,74 + 9,326
c) 18,87 – 5,4 – 1,69
19. a) 2,674 + 3,05 + 8,933 + 89,2
b) 16,5 + 33,983 + 402,0307
d) 12,346 – 9,77 – 0,8752
b) 100 – 24,308 – 36,055 – 0,78
23
3011_K_B_020_027.indd 23
13.07.2006 09:06:59
Lösungen
B
Seite 20
‹
1.
Rechnen mit Dezimalzahlen
H
2
Seite 21
‹
Z
E
z
1
4
8
0
8
6
8
6
0,86 = 0 + }
+ }}
10
100
0
0
5
0
5
200,05 = 200 + }
+ }}
10
100
0
0
1
0
8
1
8 0,018 = 0 + }
+ }}
+ }}
10
100
1000
0
h
t
Schreibweise als Summe
8
14,8 = 14 + }
10
5
3
5
850
3
1
17
24
2. a) }
= }12 ; }}
; }}
= }}
; }}
=}
; }}
= }}
10
100
1000
200
1000
20
1000
125
102
51 125
105
38
19
21
1 25
b) }}
= }}
; }} = }54 = 1 }14; }}
=}
= 1}
; } = }52 = 2 }12 ; }
=}
= 3 }45
5
1000
500 100
100
20
20 10
10
35
25
7
1
4
3. a) }
= 0,7; }}
= 0,035; }14 = }}
= 0,25; }
= }}
= 0,04;
10
1000
100
25
100
35
100
7
} = }} = 0,35;
20
3
40
75
1000
} = }} = 0,075
40
9
3
13
14
b) }
= }25 = }}
= 0,40 = 0,4; }
=}
= 0,3; }
= 1,3;
35
100
30
10
10
3
2
15
10
} = } = 1,5;
9
35
7
1}
= 1,9; 2 }
= 2 }}
= 2,35
10
20
100
4. a) 0,5; 0,75; 0,8; 2,5; 0,05; 0,06; 1,2
40
16
225
2
1
b) }15 ; }}
= }25 ; }}
=}
; }
= }85 = 1 }35; }}
= }94 = 2 }14
100
100
50
10
100
5. a) A = 0,3 B = 1,6
C = 2,9
b)
A
B
C
D
0
6.
1
2
3
4
D = 4,2
E F
5
6
E = 5,5
G
7
F = 5,95
H
J K
I
8
9
10
400
4
0,4 = }
= }}
= 0,400
10
1000
7. 0,3; 1,02; 0,003; 200; 0,405; 70,08001; 0
8. a) 14 cm
e) 3500 kg
i) 30 min
b) 204 cm
f) 1800 g
j) 6 s
c) 8 mm
g) 45 g
k) 12 min
d) 1030 m
h) 100 g
l) 15 s
98
3011_K_L_091_118.indd 98
13.07.2006 09:34:03
B Rechnen mit Dezimalzahlen
9. a) 1,8 dm
e) 3,100 kg
i) 0,5 min
b) 0,320 km
f) 0,800 t
j) 0,25 h
c) 22,2 cm
g) 0,072 kg
k) 1,5 d
› Seite 21
d) 0,008 km
h) 0,0055 t
j) 0,4 min
10. a) 8,43 < 12,35 < 12,788
b) 3,204 < 3,240 < 3,402 < 3,420
c) 0,384 < 0,483 < 0,834 < 0,843 d) 0,038 < 0,04 = 0,040 < 0,3779
› Seite 22
451
11. a) Es sind }12 = 0,5; }38 = 0,375 und }}
= 0,451.
1000
Somit ergibt sich 0,375 < 0,38 < 0,45 < 0,451 < 0,5.
23
3
b) Es sind 2 }14 = 2,25 und }
= 2}
= 2,3.
10
10
Somit ergibt sich 2,2499 < 2,25 < 2,251 < 2,3 < 2,33
12.
Zahl
gerundet
auf
Ganze
Zehntel
Hundertstel
Tausendstel
(= 1 Dezimale) (= 2 Dezimalen) (= 3 Dezimalen)
5,4632
5
5,5
5,46
5,463
0,6289
1
0,6
0,63
0,629
1,5017
2
1,5
1,50
1,502
0,0029
0
0,0
0,00
0,003
1,4568
1
1,5
1,46
1,457
13. a) 6,5 ª genauer Wert < 7,5
maximaler Fehler = 0,5
c) 6,425 ª genauer Wert < 6,435
maximaler Fehler = 0,005
b) 2,35 ª genauer Wert < 2,45
maximaler Fehler = 0,05
d) 0,0065 ª genauer Wert < 0,0075
maximaler Fehler = 0,0005
14. 1,915 m ª genauer Wert < 1,925 m
Der Schrank ist mindestens 1915 mm hoch.
› Seite 23
15. a) 0,8; 1,5; 2,2; 2,9; 3,6; 4,3; 5,0; 5,7; 6,4
b) 21,5; 19,9; 18,3; 16,7; 15,1; 13,5; 11,9; 10,3; 8,7
16. a) 3,3
e) 3,4
b) 10
f) 0,7
17. a) 6,53 (2,59)
c) 4,1294 (2,5826)
e) 12,609 (3,451)
c) 3,56
g) 1,9
d) 12,8
h) 1,14
b) 397,073 (102,927)
d) 9,66118 (5,03074)
f) 0,003182 (0,002418)
99
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