B Quadratwurzeln – Reelle Zahlen

B Quadratwurzeln – Reelle Zahlen
1
Quadratwurzeln
Ein Quadrat habe einen Flächeninhalt von 64 cm2. Will man wissen,
wie lang die Seiten des Quadrates sind, so muss man herausfinden,
welche positive Zahl mit sich selbst multipliziert das Ergebnis 64 liefert.
}
Es ist die Zahl 8, denn 8 · 8 = 64. Man schreibt hierfür auch Ï 64 = 8 (lies:
„Die Wurzel aus 64 ist 8.“). Das Quadrat hat also die Seitenlänge 8 cm.
Ganz allgemein gilt: Diejenige nicht negative Zahl, die mit sich selbst
multipliziert a ergibt, heißt Quadratwurzel aus a (Wurzel aus a).
}
Man schreibt hierfür Ï a . Die nichtnegative Zahl a heißt Radikand.
}
}
}
Merke: Für a $ 0 ist Ï a $ 0 und Ï a · Ï a = a.
Beispiele
}
a) Ï 25 = 5, denn 5 · 5 = 25 und 5 $ 0.
}
b) Ï 2,25 = 1,5, denn 1,5 · 1,5 = 2,25 und 1,5 $ 0.
}
c)
9
3
3
3
9
3
Ï}4 = }2 , denn }2 · }2 = }4 und }2 $ 0 .
}
d) (– 2) · (– 2) = 4, aber Ï 4 Þ – 2, denn Wurzeln sind nie negativ.
}
e) Ï –25 ist nicht definiert, denn der Radikand darf nicht negativ sein.
}
f) Ï 5 können wir nur näherungsweise ermitteln. Wir geben beim Taschenrechner BÁ ein und erhalten den Näherungswert 2,23606798.
Aufgaben
1. Ermittle die Quadratwurzel ohne Hilfe eines Taschenrechners.
}
a) Ï 9
}
e) Ï 49
2. a)
}
b) Ï 4
}
f) Ï 1
}
}
Ï
4
9
}
}
c) Ï 100
}
g) Ï 81
b)
Ï
16
25
}
}
d) Ï 144
}
h) Ï 169
}
}
c)
Ï
1
36
}
d)
121
225
Ï}}
3. Gib ohne TR an, zwischen welchen beiden natürlichen Zahlen die Quadratwurzel liegt. Bestimme anschließend mit Hilfe des TR einen auf fünf
Dezimalen gerundeten Näherungswert für die Quadratwurzel.
}
}
}
}
a) Ï 10
b) Ï 20
c) Ï 70
d) Ï 180
14
1 Quadratwurzeln
4. a) Berechne. Du darfst auch einen TR benutzen.
}
}
Ï 400 =
Ï4 =
}
}
}
Ï 0,0144 =
}
Ï 0,04 =
Ï 0,0004 =
}
}
Ï 1,44 =
Ï 144 =
Ï 14 400 =
b) Ergänze: Verschiebt man das Komma beim Radikanden
um zwei, vier, sechs, … Stellen nach rechts bzw. links,
so
5. Berechne ohne TR. Nutze die Erkenntnisse aus Aufgabe 4.
}
a)
}
Ï9 =
}
Ï 900 =
}
}
b) Ï 196 =
Ï 1,96 =
}
Ï 0,09 =
Ï 0,0009 =
}
}
Ï 19 600 =
Ï 0,0196 =
6. Ein 18 m langes und 32 m breites rechteckiges Grundstück soll gegen ein
quadratisches Grundstück mit gleichem Flächeninhalt getauscht werden.
7. Berechne im Kopf.
}
a) Ï 0
}
b) Ï 106
c)
}
}
Ï Ï 16
d)
}
}
Ï 4 · Ï 81
▲ 8. Ein Würfel hat einen Oberflächeninhalt von 384 cm2 (13,5 m2).
Berechne sein Volumen.
9. Zwei Quadrate mit je 1 cm Seitenlänge
werden entlang einer Diagonale halbiert.
Die vier entstehenden Dreiecke werden dann
zu einem neuen Quadrat zusammengesetzt.
Begründe, dass das neue Quadrat eine
}
Seitenlänge von Ï 2 cm besitzt.
▲ 10. Die Zeichnung zeigt ein Quadrat
mit der Seitenlänge 2 cm.
Welche Zahl wird durch die gezeigte
Vorgehensweise auf der Zahlengeraden
markiert? Begründe.
2 cm
1 cm
1 cm
1 cm
2
2
0
1
2
3
15
B Quadratwurzeln – Reelle Zahlen
2
Reelle Zahlen
Alle rationalen Zahlen können als Brüche dargestellt werden, wobei
Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Der Nenner darf jedoch nicht
Null sein.
Gibt man rationale Zahlen als Dezimalzahlen an, so gibt es drei mögliche Fälle, wie die folgenden Beispiele zeigen:
11
= –1,375
–}
8
ist eine abbrechende Dezimalzahl.
}
2
} = 0,6666… = 0,6
ist eine reinperiodische Dezimalzahl.
3
}
7
} = 0,583333… = 0,583
12
}
}
}
ist eine gemischt-periodische Dezimalzahl.
}
Ï 2 ; Ï 3 ; Ï 5 ; Ï 6 sind Beispiele für Zahlen, die man nicht als gewöhnliche
Brüche darstellen kann. Man nennt solche Zahlen irrationale Zahlen.
Schreibt man eine irrationale Zahl als Dezimalzahl, so ist diese weder
abbrechend noch periodisch und besitzt unendlich viele Dezimalen.
Die Menge Q der rationalen Zahlen und
die Menge I der irrationalen Zahlen ergeben
zusammen die Menge R der reellen Zahlen.
Beispiel 1
Q
I
R
}
a) Ï 8 ist eine irrationale Zahl und kann nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt
}
werden. Mit dem TR erhält man Ï 8 = 2,828427125…
}
b) Ï 9 ist keine irrationale Zahl, sondern eine rationale Zahl, denn es ist
}
Ï 9 = 3 = }31 .
}
}
}
}
c) –Ï 2 ist eine irrationale Zahl, denn – Ï 2 = – 1 · Ï 2 , und da man Ï 2 nicht
}
}
als gewöhnlichen Bruch darstellen kann, kann mann auch – 1 · Ï 2 = – Ï 2
nicht als gewöhnlichen Bruch darstellen.
Aufgaben
11. Gib drei irrationale Zahlen zwischen 1 und 10 an.
12. a) Ordne zu: Ï 7 ; Ï 25 ; –Ï 36 ; 2,3478; – 3,1010010001…; 4,578}
32
}
}
}
rationale Zahlen:
irrationale Zahlen:
b) Ordne die Zahlen nun der Größe nach.
16
2 Reelle Zahlen
}
Beispiel 2
Eine Quadratwurzel, z. B. Ï 6 , kann näherungsweise durch eine Intervallschachtelung bestimmt werden, indem man schrittweise immer kleinere Inter}
valle angibt, in denen Ï 6 liegt. Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel hierfür.
linke
Intervallgrenze
rechte
Intervallgrenze
Begründung
2
3
2 < Ï 6 < 3, denn 22 < 6 < 32
2,4
2,5
2,4 < Ï 6 < 2,5, denn 2,42 < 6 < 2,52
2,44
2,45
2,44 < Ï 6 < 2,45, denn 2,442 < 6 < 2,452
2,449
2,450
2,449 < Ï 6 < 2,450, denn 2,4492 < 6 < 2,4502
2,4494
2,4495
2,4494 < Ï 6 < 2,4495, denn 2,44942 < 6 < 2,44952
2,44948
2,44949 2,44948 < Ï 6 < 2,44949, denn 2,449482 < 6 < 2,449492
}
}
}
}
}
}
}
Mit diesen Ergebnissen können wir sicher sein, dass Ï 6 mit der Ziffernfolge
}
2,44948… beginnt, und wir können runden: Ï 6 < 2,4495.
}
13. Gib nach dem oben gezeigten Beispiel eine Intervallschachtelung für Ï 12
Aufgaben
an. Führe sie so weit aus, bis du auf drei Dezimalen runden kannst.
linke
Intervallgrenze
rechte
Intervallgrenze
Begründung
3
4
3 < Ï 12 < 4, denn
}
14. Beurteile die folgenden Aussagen.
a)
b)
c)
▲ d)
Zwischen zwei reellen Zahlen gibt es immer weitere reelle Zahlen.
Die Null ist keine reelle Zahl.
Das Produkt zweier irrationalen Zahlen ist wieder eine irrationale Zahl.
Die Summe aus einer rationalen und einer irrationale Zahl ist irrational.
17
B Quadratwurzeln – Reelle Zahlen
3
Wurzelziehen und Quadrieren
Beim Quadrieren wird eine Zahl mit sich selbst multilpiziert. Jede reelle
Zahl kann quadriert werden, das Ergebnis ist stets nicht negativ.
Quadrieren
5
Quadrieren
25
–4
Wurzelziehen
16
+4
Wurzelziehen
Das Wurzelziehen kann man nur mit nichtnegativen reellen Zahlen
durchführen. Das Ergebnis ist wieder nichtnegativ.
Ist die Ausgangszahl nichtnegativ, z. B. 5, so wird das Quadrieren der
Zahl durch das Wurzelziehen rückgängig gemacht. Man sagt für diesen
Fall auch: Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens.
Ist die Ausgangszahl hingegen negativ, z. B. – 4, so ist das Wurzelziehen
nicht die Umkehrung des Quadrierens.
}
}
a, falls a $ 0
Allgemein gilt also: Ï a2 =
oder in Kurzform: Ï a2 = | a |.
–a, falls a < 0
Beispiel 1
}
}
}
a) Ï 42 = Ï 16 = 4
c)
}
b) Ï –16 existiert nicht, denn – 16 < 0
}
Ï (–5)2 = Ï 25 = 5
}
Beispiel 2 a) Ï 1,752 = 1,75
Aufgaben
}
d) Ï –52 existiert nicht, denn – 52 = – 25
b)
}
Ï (–3,18)2 = 3,18
c)
}
}
Ï (–2)4 = Ï 16 = 4
15. Setze eines der Zeichen = oder Þ passend ein. Es sei x Þ 0.
a) (– 4)2
42
b) – 32
32
c) (– 2)8
28
d) (– x)2
x2
e) – x2
x2
f)
(– x)6
x6
c)
Ï (–1)4
f)
Ï (–10)6
16. Berechne im Kopf.
18
}
a)
Ï (–7)2
d)
Ï (–3)4
}
}
b)
Ï –2,52
e)
Ï | –16 |
}
}
}
3 Wurzelziehen und Quadrieren
Die Gleichung x2 = 4 hat zwei verschiedene Lösungen, nämlich 2 und
(– 2), denn 2 · 2 = 4 und ebenso (– 2) · (– 2) = 4. Es ist also L = {– 2; 2}.
}
}
Auch die Gleichung x2 = 2 hat zwei Lösungen. Sie lauten Ï 2 und – Ï 2 ,
}
}
}
}
}
}
denn Ï 2 · Ï 2 = 2 und 1 – Ï 2 2 · 1 – Ï 2 2 = 2. Es ist L = 5 –Ï 2 ; Ï 2 6.
Die Gleichung x2 = 0 hat nur eine Lösung, nämlich 0. Es ist L = {0}.
Die Gleichung x2 = – 4 hingegen hat keine Lösung, denn keine reelle
Zahl ergibt quadriert die Zahl – 4. Es ist also L = { }.
Ganz allgemein gilt: Die Gleichung x2 = a hat
}
}
(1) die beiden Lösungen – Ï a und Ï a , falls a > 0,
(2) die Lösung 0, falls a = 0 und
(3) keine Lösung, falls a < 0.
}
}
}
}
a) Die Gleichung x2 = 5 hat die Lösungen Ï 5 und –Ï 5 , es ist L = 5 –Ï 5 ; Ï 5 6.
b) Die Gleichung x2 – 3 =18
0 formen wir zunächst um zu x2 = 3.
}
}
Nun können wir die Lösungsmenge ablesen: L = 5 –Ï 3 ; Ï 3 6.
c) Die Gleichung x2 + 9 = 0 formen wir zunächst um zu x2 = – 9. Nun erkennen
wir, dass diese Gleichung keine Lösung hat; es ist L = { }.
Beispiel 3
Beispiel 4
}
Der Wurzelterm Ï 2x + 8 ist für solche Zahlen x definiert, für die sein Radikand
2x + 8 nicht negativ ist, also für alle Lösungen der Ungleichung 2x + 8 $ 0.
Durch Äquivalenzumformungen erhalten wir x $ – 4. Die Definitionsmenge D
des Wurzelterms lautet also D = {x * R | x $ – 4}.
Aufgaben
17. Bestimme die Lösungsmenge ohne TR.
a) x2 = 81
e) x2 = (– 4)2
18. a) x2 = 0
b) x2 = 122
f) x2 = – 72
c) x2 = – 100
d) x2 – 5 = 20
2
g) 2x – 34 = 0 h) 27 – 3x2 = 0
25
b) x2 = }
49
c) x2 = Ï 5
}
d) 3u2 – 128 = u2
19. Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms.
}
a) Ï x + 5
}
b) Ï 6 – x
}
c) Ï x2 + 1
}
}
d) Ï Ï x – 2
▲ 20. Welche reellen Zahlen lösen die folgenden Gleichungen?
}
}
}
a) Ï x2 = x
b) Ï x2 = | x |
c) Ï (–x)2 = x
d)
}
Ï (–x)2 = | – x |
19
B Quadratwurzeln – Reelle Zahlen
4
Umformen von Wurzeltermen
Alle Gesetze, die du für das Rechnen mit rationalen Zahlen kennen
gelernt hast, gelten auch für reelle Zahlen. Zusätzlich gibt es spezielle
Gesetze für das Rechnen mit Wurzeln bzw. Wurzeltermen.
Für alle folgenden Umformungen gilt: Die Radikanden dürfen nie
negativ sein. Durch Null darf man nicht teilen. Wird durch eine Wurzel
geteilt, so muss deren Radikand positiv sein.
}
}
}
(W1) Ï a · Ï b = Ï a · b
Beispiel 1
}
}
}
}
Ïa
a
(W2) Ï a : Ï b = }}
}
} =
b
}
} 2
(W3) Ï a2 = | a | = 1 Ï | a | 2
Ï
Ïb
Anwendung der Gesetze W1 bis W3
}
}
}
}
}
a) Ï 3 · Ï 12 = Ï 3 · 12 = Ï 36 = 6
}
c)
}
}
Ï 3 · Ï 24
}}}}
}
Ï8
=
Ï
3 · 24
}}}
8
b)
}
}
}
75
= Ï 25 = 5
Ï 75 : Ï 3 = }
3
d)
| –3 |
Ï (–3)2 = }}
= }33 = 1
}}}
}
|3|
Ï 32
Ï
}
}
= Ï9 = 3
Beispiel 2 Teilweises Wurzelziehen: Zerlege den Radikanden so in ein Produkt,
dass einer der beiden Faktoren eine möglichst große Quadratzahl ergibt.
}
}
}
}
}
a) Ï 50 = Ï 25 · 2 = Ï 25 · Ï 2 = 5 · Ï 2
Aufgaben
b)
}
}
}
}
}
Ï 48 = Ï 16 · 3 = Ï 16 · Ï 3 = 4 · Ï 3
21. Vereinfache mithilfe der Gesetze (W1) bis (W3).
}
}
}
}
a) Ï 2 · Ï 32
e) Ï 0 · Ï 11
}
}
22. a) Ï 18 : Ï 2
}
23. a)
}
Ï 18 · Ï 2
Ï 75 · Ï 3
}}}}
}
}
}
}
}
}
}
b) Ï 8 · Ï 2
f) Ï 8 · Ï 18
}
}
b) Ï 125 : Ï 5
}
g)
Ï 2,5
3
}
}
c)
1
}
}
}
3
h)
}
Ï 27
d) }}
}
Ï}2 · Ï}8
}
}
d) Ï 40 · Ï 10
}
27
Ï3
}
Ï}3 · Ï15 · Ï5
}
d) Ï (–2) · (–18)
24. Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen.
}
a) Ï 8
}
e)
20
5
Ï}9
}
b) Ï 300
}
f) Ï 98
}
c) Ï 72
}
g)
32
Ï}9
3
· }
20 Ï 5
Ï}
}
c) Ï 2 : Ï 0,5
}
Ï 40
b) }}
}
}
c) Ï 0,5 · Ï 8
}
d) Ï 12a2
}
h) Ï 243
4 Umformen von Wurzeltermen
Einen positiven Vorfaktor unter die Wurzel bringen: Schreibe den positiven
}
Vorfaktor v als die Wurzel Ï v2 und wende dann das Gesetz (W1) an.
}
}
}
}
a) 2 · Ï 5 = Ï 4 · Ï 5 = Ï 20
}
}
}
}
v · Ï 2 = Ï v2 · Ï 2 = Ï 2v2
b)
Beispiel 4
Wurzelterme ausmultiplizieren und ausklammern
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
Beispiel 3
}
a) 1 Ï 2 + Ï 8 2 · Ï 2 = Ï 2 · Ï 2 + Ï 8 · Ï 2 = 2 + Ï 16 = 2 + 4 = 6
}
}
}
}
2
2
2
b) 1 Ï 3 – Ï 12 2 = 1 Ï 3 2 – 2 · Ï 3 · Ï 12 + 1 Ï 12 2 = 3 – 2 · Ï 36 + 12 = 3
}
}
}
}
}
}
c) 5Ï 2 + Ï 8 = 5 · Ï 2 + Ï 4 · 2 = 5 · Ï 2 + 2 · Ï 2 = (5 + 2) · Ï 2 = 7 · Ï 2
Beispiel 5
Einen Nenner rational machen: Erweitere den Bruch mit dem Wurzelterm,
der im Nenner steht, und vereinfache Nenner und Zähler anschließend.
}
}
}
5 · Ï3
5 · Ï3
5
a) }
} = }}}
} = }}}
}
3
Ï3
Ï3 · Ï3
}
a · Ïb
a · Ïb
a
}
} = }}}
}
} = }}}
b
Ïb
Ïb · Ïb
b)
25. Bringe den Vorfaktor unter die Wurzel.
}
}
a) 2 · Ï 7
Aufgaben
}
}
d) b · }ba
c) }23 · Ï 27
b) 0,5 · Ï 20
Ï
26. Multipliziere aus und vereinfache.
}
}
}
a) Ï 3 · 1 Ï 12 + Ï 27 2
}
}
}
b) 1 Ï 5 + Ï 20 2 · Ï 5
}
}
c) 1 2 + Ï 5 2 · Ï 80
27. Wende die binomischen Formeln an.
}
}
}
2
a) 1 Ï 2 + Ï 32 2
}
2
b) 1 Ï 20 – Ï 5 2
}
}
c) 1 Ï 7 + 2 2 · 1 Ï 7 – 2 2
28. Beseitige die Wurzelterme im Nenner.
3
a) }
}
Ï5
4
b) }}
}
Ï 11
2
c) }}
}
1
d) }
}
Ïa
–Ï 3
5
e) }}
}
1
f) }}}
}
2Ï 5
2 – Ï3
}
Tipp zu f): Erweitere mit 2 + Ï 3 und wende die 3. binomische Formel an.
▲ 29. Begründe mithilfe der Gesetze (W1) bis (W3) folgende Umformungen.
}
}
a) Ï a2 · b = | a | · Ï b
}
d) Ï a2b4 = | a | · b2
}
a
b
}
}
Ïa
|b|
1 2
}
}
Ï2
b)
}2 = }}
Ï
e)
1 Ï2 – 2
}
c)
= }12
a2
|a|
Ï}b = }}
Ïb
}
}
f) Ï a2 + 2a + 1 = | a + 1|
21
Lösungen
Seite 15
‹
Seite 16
‹
▲ 10. Das Quadrat hat eine Seitenlänge von 2 cm und somit einen Flächeninhalt
von 4 cm2. Ein Vergleich mit Aufgabe 9 zeigt: Ein Quadrat, dessen Seiten
so lang sind wie die Diagonale in dem 2 cm-Quadrat, hat einen Flächeninhalt von 4 cm2 + 4 cm2 = 8 cm2. Die eingezeichnete Diagonale hat also
}
}
eine Länge von Ï 8 cm. Durch die Konstruktion wird die Zahl Ï 8 markiert.
}
}
}
}
}
}
}
}
11. z. B. Ï 2 ; Ï 3 ; Ï 5 ; Ï 6 ; Ï 7 ; Ï 8 ; Ï 10 ; Ï 11
}
}
}
12. a) rationale Zahlen: Ï 25 = 5; –Ï 36 = – 6; 2,3478; 4,57832
}
irrationale Zahlen: Ï 7 ; –3,1010010001…
}
}
}
}
b) –Ï 36 < –3,1010010001… < 2,3478 < Ï 7 < 4,57832 < Ï 25
Seite 17
‹
13.
linke
rechte
Intervall- Intervallgrenze grenze
Begründung
}
3
4
3 < Ï 12 < 4, denn 32 < 12 < 42
3,4
3,5
3,4 < Ï 12 < 3,5, denn 3,42 < 12 < 3,52
3,46
3,47
3,46 < Ï 12 < 3,47, denn 3,462 < 12 < 3,472
3,464
3,465
3,464 < Ï 12 < 3,465, denn 3,4642 < 12 < 3,4652
3,4641
3,4642 3,4641 < Ï 12 < 3,4642, denn 3,46412 < 12 < 3,46422
}
}
}
}
}
Ergebnis: Ï 12 < 3,464
14. a) Diese Aussage ist wahr. Man kann z. B. zu zwei verschiedenen reellen
Zahlen den Mittelwert berechnen. Dieser liegt stets zwischen ihnen.
b) Diese Aussage ist falsch, denn alle natürlichen Zahlen sind zugleich
auch reelle Zahlen.
c) Es gibt zwar Produkte aus zwei irrationalen Zahlen, die wieder eine
irrationale Zahl ergeben. Trotzdem ist diese Aussage falsch, denn es
gibt auch Produkte aus zwei irrationalen Zahlen, die eine rationale Zahl
}
}
}
}
ergeben, z. B. Ï 2 · Ï 2 = 2 oder Ï 3 · 1 –Ï 3 2 = –3.
▲ d) Diese Aussage ist richtig. Du kannst dir das so erklären: Eine rationale
Zahl ist entweder eine abbrechende oder eine periodische Dezimalzahl.
Addierst du hierzu eine irrationale Zahl, also eine nicht abbrechende
und nicht periodische Dezimalzahl, so wird das Ergebnis ebenfalls
wieder eine nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalzahl
ergeben, also eine irrationale Zahl.
Kurz gesagt: rationale Zahl + irrationale Zahl = irrationale Zahl.
Zu jeder rationalen Zahl kannst du also (beliebig) viele irrationale Zahlen
}
}
}
finden, indem du z. B. Ï 2 , Ï 3 , Ï 5 usw. addierst.
94
3057_093-152.indd 94
03.12.2007 15:22:57
B Quadratwurzeln – Reelle Zahlen
15. a) =
b) =/
c) =
d) =
e) =/
f) =
16. a) 7
d) 32 = 9
b) existiert nicht
e) 4
c) 1
f) 103 = 1 000
17. a) L = {–9; 9}
d) L = {–5; 5}
}
}
g) L = {–Ï 17 ; Ï 17 }
b) L = {–12; 12}
e) L = {–4; 4}
b) L = {–3; 3}
c) L = { }
f) L = { }
}
}
b) L = 5 – }57 ; }57 6
18. a) L = {0}
19. a) D = {x * R | x $ –5}
c) D = R
}
}
}
22. a)
}
f) Ï 144 = 12
}
18
}
c) Ï 4 = 2
}
e) Ï 0 = 0
}
}
c)
}
}
}
}
}
}
Seite 20
‹
Seite 21
‹
}
}
}
}
d) Ï 9 = 3
}
=5
d) Ï 36 = 6
}
}
}
}
}
}
=
9
}
10
h) 9 Ï 3
}
}
Ï 0,52 · 20 = Ï 5
b)
Ï
h)
81
}}
100
}
}
}
}
e) }13 Ï 5
g) }43 Ï 2
25. a) Ï 28
}
d) Ï 400 = 20
b) Ï 100 · 3 = Ï 100 · Ï 3 = 10 Ï 3
d) 2| a | · Ï 3
f) 7 Ï 2
1
Ï}3 · 15 · 5
}
24. a) Ï 4 · 2 = Ï 4 · Ï 2 = 2Ï 2
c) 6 Ï 2
‹
d) L = {–8; 8}
}
}
}
=
3
}
4
c) Ï 4 = 2
b) Ï 16 = 4
Ï 225
Ï
9
}
16
}
b) Ï 25 = 5
Ï 36
6
2
23. a) }}
} = } = }
15
5
}
g)
}
Ï}2 = Ï9 = 3
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b) L = R
d) wie b) : L = R
b) Ï 8 · 2 = 4
}
‹
b) D = {x * R | x # 6}
d) D = {x * R | x $ 4}
▲ 20. a) L = {x * R | x $ 0}
c) wie a): L = {x * R | x $ 0}
21. a) Ï 2 · 32 = 8
}
}
c) L = 5 – Ï Ï 5 ; Ï Ï 5 6
Seite 18
}
c)
4
}
Ï}9 · 27 = Ï12
d)
}
a
}
Ïb2 · }b = Ïab
}
26. a) Ï 3 · Ï 12 + Ï 3 · Ï 27 = Ï 36 + Ï 81 = 6 + 9 = 15
}
}
}
}
}
}
b) Ï 5 · Ï 5 + Ï 20 · Ï 5 = Ï 25 + Ï 100 = 5 + 10 = 15
}
}
}
}
}
}
}
}
c) 2 · Ï 80 + Ï 5 · Ï 80 = 2 · Ï 16 · 5 + Ï 5 · 80 = 2 · 4Ï 5 + Ï 400 = 8Ï 5 + 20
}
}
}
2
2
27. a) 1 Ï 2 2 + 2 · Ï 2 · Ï 32 + 1 Ï 32 2 = 2 + 2Ï 64 + 32 = 2 + 16 + 32 = 50
}
}
}
}
}
2
2
b) 1 Ï 20 2 – 2 · Ï 20 · Ï 5 + 1 Ï 5 2 = 20 – 2Ï 100 + 5 = 20 – 20 + 5 = 5
}
2
c) 1 Ï 7 2 – 22 = 7 – 4 = 3
95
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