Quantenmechanik eines Teilchens

Quantenmechanik eines Teilchens
☞ Hamilton–Operator
H = T+V
T = −
~2
2m △
V = V(~r)
Quantenmechanik eines Teilchens
☞ Hamilton–Operator
H = T+V
☞ Schrödinger–Gleichung
i~
∂ψ(~r, t)
= H ψ(~r, t)
∂t
Quantenmechanik eines Teilchens
☞ Hamilton–Operator
H = T+V
☞ Schrödinger–Gleichung
i~
∂ψ(~r, t)
= H ψ(~r, t)
∂t
☞ Lösungen (Energie–Eigenzustände)
H ψα (~r) = εα ψα (~r)
Quantenmechanik eines Teilchens
☞ Hamilton–Operator
H = T+V
☞ Schrödinger–Gleichung
i~
∂ψ(~r, t)
= H ψ(~r, t)
∂t
☞ Lösungen (Energie–Eigenzustände)
H ψα (~r) = εα ψα (~r)
☞ Zeitliche Entwicklung
ψα (~r, t) = e−i εα t/~ ψα (~r)
Quantenmechanik zweier (nicht
wechselwirkender) Teilchen
☞ Hamilton–Operator
H =
2
X
h(i) =
i=1
i=1
t(i) = −
2
X
~2 (i)
2m △
t(i) + v(i)
v(i) = v(i) (~ri )
Quantenmechanik zweier (nicht
wechselwirkender) Teilchen
☞ Hamilton–Operator
H =
2
X
h(i) =
i=1
2
X
t(i) + v(i)
i=1
☞ Lösungen
i~
∂ψ(i) (~ri , t)
= h(i) ψ(i) (~ri , t)
∂t
Quantenmechanik zweier (nicht
wechselwirkender) Teilchen
☞ Hamilton–Operator
H =
2
X
h(i) =
i=1
2
X
t(i) + v(i)
i=1
☞ Lösungen
i~
∂ψ(i) (~ri , t)
= h(i) ψ(i) (~ri , t)
∂t
☞ Zwei–Teilchen–Wellenfunktion
Ψ(~r1 ,~r2 , t) = ψ(1) (~r1 , t) ψ(2) (~r2 , t)
Quantenmechanik zweier (nicht
wechselwirkender) Teilchen
☞ Hamilton–Operator
H =
2
X
h(i) =
i=1
2
X
t(i) + v(i)
i=1
☞ Lösungen
i~
∂ψ(i) (~ri , t)
= h(i) ψ(i) (~ri , t)
∂t
☞ Zwei–Teilchen–Wellenfunktion
Ψ(~r1 ,~r2 , t) = ψ(1) (~r1 , t) ψ(2) (~r2 , t)
☞ Interpretation: Teilchen i im Zustand |ψ(i) i
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (I)
☞ Hamilton–Operator
H = −
~2 ~ (2) 2
~2 ~ (1) 2
∇
−
∇
+ V(|~r1 − ~r2 |)
2 m1
2 m2
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (I)
☞ Hamilton–Operator
H = −
~2 ~ (2) 2
~2 ~ (1) 2
∇
−
∇
+ V(|~r1 − ~r2 |)
2 m1
2 m2
☞ Definitionen:
• Relativkoordinate ~r := ~r1 − ~r2
~ := m1 ~r1 + m2 ~r2
• Schwerpunktskoordinate R
m1 m2
m1 + m2
• Gesamtmasse M = m1 + m2
• Reduzierte Masse m :=
m1 + m2
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (I)
☞ Hamilton–Operator
H = −
~2 ~ (2) 2
~2 ~ (1) 2
∇
−
∇
+ V(|~r1 − ~r2 |)
2 m1
2 m2
☞ Definitionen:
• Relativkoordinate ~r := ~r1 − ~r2
~ := m1 ~r1 + m2 ~r2
• Schwerpunktskoordinate R
m1 m2
m1 + m2
• Gesamtmasse M = m1 + m2
• Reduzierte Masse m :=
☞ Separationsansatz
~ · ϕ(~r)
Ψ(~r1 ,~r2 ) = Φ(R)
m1 + m2
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (I)
☞ Hamilton–Operator
H = −
~2 ~ (2) 2
~2 ~ (1) 2
∇
−
∇
+ V(|~r1 − ~r2 |)
2 m1
2 m2
☞ Definitionen:
• Relativkoordinate ~r := ~r1 − ~r2
~ := m1 ~r1 + m2 ~r2
• Schwerpunktskoordinate R
m1 m2
m1 + m2
• Gesamtmasse M = m1 + m2
m1 + m2
• Reduzierte Masse m :=
☞ Separationsansatz
~ · ϕ(~r)
Ψ(~r1 ,~r2 ) = Φ(R)
➥ Zwei Schrödinger–Gleichungen
−
~2 ~ 2 ~
~
∇ Φ(R) = ER Φ(R)
und
2M R
−
~2 ~ 2
∇ ϕ(~r) + V(|~r|) ϕ(~r) = Er ϕ(~r)
2m r
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (II)
☞ Erste Schrödinger–Gleichungen
−
~2 ~ 2 ~
~
∇ Φ(R) = ER Φ(R)
2M R
➥ Lösung
~ ∝ exp
Φ(R)
i ~ ~
P·R
~
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (II)
☞ Erste Schrödinger–Gleichungen
−
~2 ~ 2 ~
~
∇ Φ(R) = ER Φ(R)
2M R
➥ Lösung
~ ∝ exp
Φ(R)
i ~ ~
P·R
~
☞ Zweite Schrödinger–Gleichungen
−
~2 ~ 2
∇ ϕ(~r) + V(|~r|) ϕ(~r) = Er ϕ(~r)
2m r
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (II)
☞ Erste Schrödinger–Gleichungen
−
~2 ~ 2 ~
~
∇ Φ(R) = ER Φ(R)
2M R
➥ Lösung
~ ∝ exp
Φ(R)
i ~ ~
P·R
~
☞ Zweite Schrödinger–Gleichungen
−
~2 ~ 2
∇ ϕ(~r) + V(|~r|) ϕ(~r) = Er ϕ(~r)
2m r
☞ Gesamt–Energie E = ER + Er
Zweikörperproblem mit Wechselwirkung (II)
☞ Erste Schrödinger–Gleichungen
−
~2 ~ 2 ~
~
∇ Φ(R) = ER Φ(R)
2M R
➥ Lösung
~ ∝ exp
Φ(R)
i ~ ~
P·R
~
☞ Zweite Schrödinger–Gleichungen
−
~2 ~ 2
∇ ϕ(~r) + V(|~r|) ϕ(~r) = Er ϕ(~r)
2m r
☞ Gesamt–Energie E = ER + Er
☞ Fazit: Assoziation Teilchen ←→ Koordinate subtil
Ununterscheidbare Teilchen
☞ Hamilton–Operator
H =
2
X
h
(i)
=
i=1
t(i) = −
2
X
i=1
~2 (i)
2m △
t(i) + v(i)
v(i) = V(~ri )
Ununterscheidbare Teilchen
☞ Hamilton–Operator
H =
2
X
h
(i)
=
i=1
2
X
t(i) + v(i)
i=1
☞ Naiver Ansatz
Ψnaiv
r1 ,~r2 ) = ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 )
α1 α2 (~
Ununterscheidbare Teilchen
☞ Hamilton–Operator
H =
2
X
h
(i)
=
i=1
2
X
t(i) + v(i)
i=1
☞ Naiver Ansatz
Ψnaiv
r1 ,~r2 ) = ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 )
α1 α2 (~
☞ Vertauschen von Teilchen:
1. Möglichkeit: Vertauschen der Koordinaten ~r1 ↔ ~r2
ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 ) → ψα1 (~r2 ) ψα2 (~r1 )
Ununterscheidbare Teilchen
☞ Hamilton–Operator
H =
2
X
h
(i)
=
i=1
2
X
t(i) + v(i)
i=1
☞ Naiver Ansatz
Ψnaiv
r1 ,~r2 ) = ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 )
α1 α2 (~
☞ Vertauschen von Teilchen:
1. Möglichkeit: Vertauschen der Koordinaten ~r1 ↔ ~r2
ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 ) → ψα1 (~r2 ) ψα2 (~r1 )
2. Möglichkeit: Vertauschen der Zustände α1 ↔ α2
ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 ) → ψα2 (~r1 ) ψα1 (~r2 )
Ununterscheidbare Teilchen
☞ Hamilton–Operator
H =
2
X
h
(i)
=
i=1
2
X
t(i) + v(i)
i=1
☞ Naiver Ansatz
Ψnaiv
r1 ,~r2 ) = ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 )
α1 α2 (~
☞ Vertauschen von Teilchen:
1. Möglichkeit: Vertauschen der Koordinaten ~r1 ↔ ~r2
ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 ) → ψα1 (~r2 ) ψα2 (~r1 )
2. Möglichkeit: Vertauschen der Zustände α1 ↔ α2
ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 ) → ψα2 (~r1 ) ψα1 (~r2 )
➥ Anforderungen an Ψnaiv
r1 ,~r2 )
α1 α2 (~
. . . werden i.A. nicht erfüllt von Ψnaiv
α1 α2
Permutationsoperatoren und
Permutationsgruppe
☞ Permutations–Operator (Transposition)
Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . ) = Ψ(. . . ξj . . . ξi . . . )
Permutationsoperatoren und
Permutationsgruppe
☞ Permutations–Operator (Transposition)
Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . ) = Ψ(. . . ξj . . . ξi . . . )
☞ Permutations–Gruppe SN : Transpositionen, zyklische
Vertauschungen und komplizierteter Operationen
Permutationsoperatoren und
Permutationsgruppe
☞ Permutations–Operator (Transposition)
Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . ) = Ψ(. . . ξj . . . ξi . . . )
☞ Permutations–Gruppe SN : Transpositionen, zyklische
Vertauschungen und komplizierteter Operationen
☞ Elemente der SN lassen sich als Produkte von
Transpositionen schreiben
Permutationsoperatoren und
Permutationsgruppe
☞ Permutations–Operator (Transposition)
Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . ) = Ψ(. . . ξj . . . ξi . . . )
☞ Permutations–Gruppe SN : Transpositionen, zyklische
Vertauschungen und komplizierteter Operationen
☞ Elemente der SN lassen sich als Produkte von
Transpositionen schreiben
☞ Gerade bzw. ungerade Permutationen schreiben sich als
Produkt einer geraden bzw. ungeraden Anzahl an
Transpositionen
Beispiel: S3
☞ Elemente der S3 wirken auf 3–Teilchen–Zustand Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 )
Beispiel: S3
☞ Elemente der S3 wirken auf 3–Teilchen–Zustand Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 )
☞ Transpositionen
P12 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =
Ψ(ξ2 , ξ1 , ξ3 )
P13 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =
P23 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =
Ψ(ξ3 , ξ2 , ξ1 )
Ψ(ξ1 , ξ3 , ξ2 )
Beispiel: S3
☞ Elemente der S3 wirken auf 3–Teilchen–Zustand Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 )
☞ Transpositionen
P12 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =
Ψ(ξ2 , ξ1 , ξ3 )
P13 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =
P23 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =
Ψ(ξ3 , ξ2 , ξ1 )
Ψ(ξ1 , ξ3 , ξ2 )
☞ Gerade Permutationen
P123 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 )
P132 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 )
=
=
P13 Ψ(ξ2 , ξ1 , ξ3 ) = Ψ(ξ2 , ξ3 , ξ1 )
P12 Ψ(ξ3 , ξ2 , ξ1 ) = Ψ(ξ3 , ξ1 , ξ2 )
Beispiel: S3
☞ Elemente der S3 wirken auf 3–Teilchen–Zustand Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 )
☞ Transpositionen
P12 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =
Ψ(ξ2 , ξ1 , ξ3 )
P13 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =
P23 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =
Ψ(ξ3 , ξ2 , ξ1 )
Ψ(ξ1 , ξ3 , ξ2 )
☞ Gerade Permutationen
P123 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 )
P132 Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 )
=
=
P13 Ψ(ξ2 , ξ1 , ξ3 ) = Ψ(ξ2 , ξ3 , ξ1 )
P12 Ψ(ξ3 , ξ2 , ξ1 ) = Ψ(ξ3 , ξ1 , ξ2 )
☞ S3 = {1, P12 , P13 , P23 , P123 , P132 }
gerade
ungerade
(Un-)Unterscheidbarkeit und Observable
☞ Eigenzustand zu einer Observablen O
O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . ) = O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
(Un-)Unterscheidbarkeit und Observable
☞ Eigenzustand zu einer Observablen O
O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . ) = O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
☞ Vertauschen von Teilchen soll nicht beobachtbar sein
O Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
!
=
O Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
(Un-)Unterscheidbarkeit und Observable
☞ Eigenzustand zu einer Observablen O
O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . ) = O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
☞ Vertauschen von Teilchen soll nicht beobachtbar sein
O Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
=
!
O Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
=
Pij O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
(Un-)Unterscheidbarkeit und Observable
☞ Eigenzustand zu einer Observablen O
O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . ) = O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
☞ Vertauschen von Teilchen soll nicht beobachtbar sein
O Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
=
!
O Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
=
Pij O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
➥ Observable müssen mit Transpositionen vertauschen
Pij , O = 0
(Un-)Unterscheidbarkeit und Observable
☞ Eigenzustand zu einer Observablen O
O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . ) = O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
☞ Vertauschen von Teilchen soll nicht beobachtbar sein
O Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
=
!
O Pij Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
=
Pij O Ψ(. . . ξi . . . ξj . . . )
➥ Observable müssen mit Transpositionen vertauschen
Pij , O = 0
➥ Observable müssen mit allen Permutationen vertauschen
P, O = 0
∀ P ∈ SN
Bosonen und Fermionen
☞ Pij vertauscht mit Hamilton–Operator H
Bosonen und Fermionen
☞ Pij vertauscht mit Hamilton–Operator H
➥ H und Pij simultan diagonalisierbar
Bosonen und Fermionen
☞ Pij vertauscht mit Hamilton–Operator H
➥ H und Pij simultan diagonalisierbar
☞ P2ij =
1 y Eigenwerte ±1
Bosonen und Fermionen
☞ Pij vertauscht mit Hamilton–Operator H
➥ H und Pij simultan diagonalisierbar
☞ P2ij =
1 y Eigenwerte ±1
➥ Zwei Klassen von simultanen Eigenzuständen von H und Pij
Pij ΨS (. . . ξi . . . ξj . . . )
Pij ΨA (. . . ξi . . . ξj . . . )
=
=
+ ΨS (. . . ξi . . . ξj . . . )
− ΨA (. . . ξi . . . ξj . . . )
(Bosonen)
(Fermionen)
Bosonen und Fermionen
☞ Pij vertauscht mit Hamilton–Operator H
➥ H und Pij simultan diagonalisierbar
☞ P2ij =
1 y Eigenwerte ±1
➥ Zwei Klassen von simultanen Eigenzuständen von H und Pij
Pij ΨS (. . . ξi . . . ξj . . . )
Pij ΨA (. . . ξi . . . ξj . . . )
=
=
+ ΨS (. . . ξi . . . ξj . . . )
− ΨA (. . . ξi . . . ξj . . . )
☞ Spin–Statistik–Theorem:
Bosonen
Fermionen
↔ ganzzahliger Spin
↔ halbzahliger Spin
(Bosonen)
(Fermionen)
Beispiel: Zwei Bosonen bzw. Fermionen
☞ Bosonen: symmetrische bzw. die symmetrisierte
Wellenfunktion
ΨS (ξ1 , ξ2 )
=
=
1 √ Ψ(ξ1 , ξ2 ) + P12 Ψ(ξ1 , ξ2 )
2
1 √ Ψ(ξ1 , ξ2 ) + Ψ(ξ2 , ξ1 )
2
Beispiel: Zwei Bosonen bzw. Fermionen
☞ Bosonen: symmetrische bzw. die symmetrisierte
Wellenfunktion
ΨS (ξ1 , ξ2 )
=
=
1 √ Ψ(ξ1 , ξ2 ) + P12 Ψ(ξ1 , ξ2 )
2
1 √ Ψ(ξ1 , ξ2 ) + Ψ(ξ2 , ξ1 )
2
☞ Fermionen: antisymmetrische bzw. antisymmetrisierte
Wellenfunktion
ψA (ξ1 , ξ2 )
=
=
1 √ Ψ(ξ1 , ξ2 ) − P12 Ψ(ξ1 , ξ2 )
2
1 √ Ψ(ξ1 , ξ2 ) − Ψ(ξ2 , ξ1 )
2
Weitere Eigenschaften der
Permutations–Operatoren
1
Für jede Permutation P gilt
hΦ | Ψi = hP Φ | P Ψi
Weitere Eigenschaften der
Permutations–Operatoren
1
2
Für jede Permutation P gilt
hΦ | Ψi = hP Φ | P Ψi
Adjungierter Permutationsoperator P†
hΦ | P Ψi = P† Φ Ψ
Weitere Eigenschaften der
Permutations–Operatoren
1
2
Für jede Permutation P gilt
hΦ | Ψi = hP Φ | P Ψi
Adjungierter Permutationsoperator P†
hΦ | P Ψi = P† Φ Ψ
y hΦ | P Ψi =
−1 −1
P ΦP PΨ
Weitere Eigenschaften der
Permutations–Operatoren
1
2
Für jede Permutation P gilt
hΦ | Ψi = hP Φ | P Ψi
Adjungierter Permutationsoperator P†
hΦ | P Ψi = P† Φ Ψ
y hΦ | P Ψi =
=
−1 −1
P ΦP PΨ
−1 P ΦΨ
Weitere Eigenschaften der
Permutations–Operatoren
1
2
Für jede Permutation P gilt
hΦ | Ψi = hP Φ | P Ψi
Adjungierter Permutationsoperator P†
hΦ | P Ψi = P† Φ Ψ
y hΦ | P Ψi =
=
−1
y P
=
−1 −1
P ΦP PΨ
−1 P ΦΨ
P†
Permutationsoperatoren sind unitär
Allgemeine Viel–Teilchen–Zustände
☞ Hamilton–Operator
H =
N
X
i=1
h(i)
Allgemeine Viel–Teilchen–Zustände
☞ Hamilton–Operator
H =
N
X
h(i)
i=1
☞ Ein–Teilchen-Eigenzustände der h(i)
h(i) ψα (ξi ) = εα ψα (ξi )
Allgemeine Viel–Teilchen–Zustände
☞ Hamilton–Operator
H =
N
X
h(i)
i=1
☞ Ein–Teilchen-Eigenzustände der h(i)
h(i) ψα (ξi ) = εα ψα (ξi )
☞ Allgemeiner Viel–Teilchen–Zustand
X
Ψ(ξ1 , . . . ξN ) =
cα1 ...αN Ψα1 ...αN (ξ1 , . . . ξN )
α1 ...αN
Koeffizienten
Ψα1 ...αN (ξ1 , . . . ξN ) = ψα1 (ξ1 ) · · · ψαN (ξN )
☞ Basis des Produktraumes von N Teilchen
{Ψα~ (ξ1 , . . . ξN )} = {ψα1 (ξ1 ) · ψα2 (ξ2 ) . . . ψαN (ξN )}
Nn0 ∋ α~ = (α1 , . . . αN )
Vollständig (anti–)symmetrische Zustände
☞ Ununterscheidbare Teilchen: Basiszustände können als
Eigenzustände der Permutationsgruppe gewählt werden
P Ψ(ξ1 , . . . ξN ) = λ Ψ(ξ1 , . . . ξN )
Vollständig (anti–)symmetrische Zustände
☞ Ununterscheidbare Teilchen: Basiszustände können als
Eigenzustände der Permutationsgruppe gewählt werden
P Ψ(ξ1 , . . . ξN ) = λ Ψ(ξ1 , . . . ξN )
☞ In der Natur realisiert:
• Vollständig symmetrischen Zustände (Bosonen)
P ΨS (ξ1 , . . . ξN ) = ΨS (ξ1 , . . . ξN )
∀P ∈ SN
• Vollständig antisymmetrischen Zustände (Fermionen)
P ΨA (ξ1 , . . . ξN ) = sign(P) ΨA (ξ1 , . . . ξN )
∀P ∈ SN
Bosonen
☞ Symmetrisierungsoperator
X
1
Pπ
S = √
√
N! N0 ! · N1 ! · · · π
Zahl der
Teilchen in
Zustand α = 0
Summe
über alle
Permutationen
Bosonen
☞ Symmetrisierungsoperator
X
1
Pπ
S = √
√
N! N0 ! · N1 ! · · · π
☞ Alternative Darstellung
√
N0 ! · N1 ! · · · X
′
√
Pπ′
S =
N!
π′
Summe
über alle
verschiedenen
Permutationen
Bosonen
☞ Symmetrisierungsoperator
X
1
Pπ
S = √
√
N! N0 ! · N1 ! · · · π
☞ Alternative Darstellung
√
N0 ! · N1 ! · · · X
′
√
Pπ′
S =
N!
π′
☞ Bosonischer Produktzustand
ΨαB~ (ξ1 , . . . ξN )
=
=
S ψα1 (ξ1 ) · ψα2 (ξ2 ) · · · ψαN (ξN )
X
1
√ √
ψπ1 (~α) (ξ1 ) · · · ψπN (~α) (ξN )
N! N0 ! · N1 ! · · · π
Fermionen
☞ Antisymmetrisierungsoperator
1 X
A = √
sign π Pπ
N! π
Fermionen
☞ Antisymmetrisierungsoperator
1 X
A = √
sign π Pπ
N! π
☞ Fermionischer Produktzustand
ΨαF~ (ξ1 , . . . ξN )
= A ψα1 (ξ1 ) · ψα2 (ξ2 ) · · · ψαN (ξN )
Fermionen
☞ Antisymmetrisierungsoperator
1 X
A = √
sign π Pπ
N! π
☞ Fermionischer Produktzustand
ΨαF~ (ξ1 , . . . ξN )
= A ψα1 (ξ1 ) · ψα2 (ξ2 ) · · · ψαN (ξN )
1 X
sign π ψπ1 (~α) (ξ1 ) · · · ψπN (~α) (ξN )
= √
N! π
Fermionen
☞ Antisymmetrisierungsoperator
1 X
A = √
sign π Pπ
N! π
☞ Fermionischer Produktzustand
ΨαF~ (ξ1 , . . . ξN )
= A ψα1 (ξ1 ) · ψα2 (ξ2 ) · · · ψαN (ξN )
1 X
sign π ψπ1 (~α) (ξ1 ) · · · ψπN (~α) (ξN )
= √
N! π
ψα1 (ξ1 ) ψα1 (ξ2 ) · · · ψα1 (ξN )
..
1 ψα2 (ξ1 )
.
= √ .
..
..
N! .
ψα (ξ1 )
·
·
·
·
·
·
ψ
(ξN )
α
N
N
Slater–Determinante
Fermionen–Systeme & Slater–Determinanten
ψα1 (ξ1 ) ψα1 (ξ2 ) · · ·
1 ψ (ξ )
ΨαF~ (ξ1 , . . . ξN ) = √ α2 . 1
..
N! ψα (ξ1 )
···
···
N
ψα1 (ξN )
..
.
..
.
ψαN (ξN )
☞ Slaterdeterminanten beschreiben Systeme unabhängiger
Teilchen, d.h. (a priori) keine Wechselwirkungen
Fermionen–Systeme & Slater–Determinanten
ψα1 (ξ1 ) ψα1 (ξ2 ) · · ·
1 ψ (ξ )
ΨαF~ (ξ1 , . . . ξN ) = √ α2 . 1
..
N! ψα (ξ1 )
···
···
N
ψα1 (ξN )
..
.
..
.
ψαN (ξN )
☞ Slaterdeterminanten beschreiben Systeme unabhängiger
Teilchen, d.h. (a priori) keine Wechselwirkungen
☞ Slater–Determinante verschwinden, falls zwei
Einteilchenwellenfunktionen gleich sind, d.h. αi = αj .
Fermionen–Systeme & Slater–Determinanten
ψα1 (ξ1 ) ψα1 (ξ2 ) · · ·
1 ψ (ξ )
ΨαF~ (ξ1 , . . . ξN ) = √ α2 . 1
..
N! ψα (ξ1 )
···
···
N
ψα1 (ξN )
..
.
..
.
ψαN (ξN )
☞ Slaterdeterminanten beschreiben Systeme unabhängiger
Teilchen, d.h. (a priori) keine Wechselwirkungen
☞ Slater–Determinante verschwinden, falls zwei
Einteilchenwellenfunktionen gleich sind, d.h. αi = αj .
➥ Pauli–Prinzip: In einem Fermionensystem können sich
niemals zwei Teilchen im selben Zustand befinden!
Beispiel (Ortho- und Para–Helium)
☞ Ortho–Zustand: Ortswellenfunktion antisymmetrisch &
Spinwellenfunktion symmetrisch
ΨOrtho (ξ1 , ξ2 ) =
1 = √ φn1 ℓ1 m1 (~r1 ) φn2 ℓ2 m2 (~r2 ) − φn1 ℓ1 m1 (~r2 ) φn2 ℓ2 m2 (~r1 ) χS=1,MS (~s1 ,~s2 )
2
Beispiel (Ortho- und Para–Helium)
☞ Ortho–Zustand: Ortswellenfunktion antisymmetrisch &
Spinwellenfunktion symmetrisch
☞ Para–Zustand: Ortswellenfunktion symmetrisch &
Spinwellenfunktion antisymmetrisch
ΨPara (ξ1 , ξ2 ) =
1 = √ φn1 ℓ1 m1 (~r1 ) φn2 ℓ2 m2 (~r2 ) + φn1 ℓ1 m1 (~r2 ) φn2 ℓ2 m2 (~r1 ) χS=0,MS =0 (~s1 ,~s2 )
2
Beispiel (Ortho- und Para–Helium)
☞ Ortho–Zustand: Ortswellenfunktion antisymmetrisch &
Spinwellenfunktion symmetrisch
☞ Para–Zustand: Ortswellenfunktion symmetrisch &
Spinwellenfunktion antisymmetrisch
E Singlett Triplett
↑
↑ ↓
„Para“
↑
„Ortho“
Harmonischer Oszillator: Leiteroperatoren
☞ Hamilton–Operator
1
†
H = ~ω a a+
2
Harmonischer Oszillator: Leiteroperatoren
☞ Hamilton–Operator
1
†
H = ~ω a a+
2
☞ Interpretation
a† erzeugt
a vernichtet
ein Quant mit Energie ~ ω
Harmonischer Oszillator: Leiteroperatoren
☞ Hamilton–Operator
1
†
H = ~ω a a+
2
☞ Interpretation
a† erzeugt
a vernichtet
ein Quant mit Energie ~ ω
☞ Kommutator–Relationen
[a, a† ] =
[a, a] = [a† , a† ] =
1
0
Quantisierung des Strahlungsfeldes I
☞ Operator des Photon–Feldes
r
X ~ 2π c ~
~
~
~
~
A =
aλ (~k) ~ελ (~k)ei k·~r−i ω(k) t + a†λ (~k) ~ε∗λ (~k)e−i k·~r+i ω(k) t
kV
~k,λ
Quantisierung des Strahlungsfeldes I
☞ Operator des Photon–Feldes
r
X ~ 2π c ~
~
~
~
~
A =
aλ (~k) ~ελ (~k)ei k·~r−i ω(k) t + a†λ (~k) ~ε∗λ (~k)e−i k·~r+i ω(k) t
kV
~k,λ
☞ Interpretation
a†λ (~k) erzeugt
aλ (~k) vernichtet
)
ein Photon mit
Wellenvektor ~k und
Polarisation λ
Quantisierung des Strahlungsfeldes I
☞ Operator des Photon–Feldes
r
X ~ 2π c ~
~
~
~
~
A =
aλ (~k) ~ελ (~k)ei k·~r−i ω(k) t + a†λ (~k) ~ε∗λ (~k)e−i k·~r+i ω(k) t
kV
~k,λ
☞ Interpretation
a†λ (~k) erzeugt
aλ (~k) vernichtet
)
ein Photon mit
☞ Kommutator–Relationen
† ~′
~
h[aλ (k), aλ′ (k )]i =
a†λ (~k), a†λ′ (~k′ ) =
δλλ′ δ~k~k′
[aλ (~k), aλ′ (~k′ )] = 0
Wellenvektor ~k und
Polarisation λ
Quantisierung des Strahlungsfeldes II
☞ Hamilton–Operator
H Photon =
X
~k,λ
~ c |~k|
1
† ~
~
aλ (k) aλ (k) +
2
Quantisierung des Strahlungsfeldes II
☞ Hamilton–Operator
H Photon =
X
~k,λ
~ c |~k|
1
† ~
~
aλ (k) aλ (k) +
2
☞ 1–Photon–Zustand
|Photon mit ~k und λi = a†λ (~k) |−i
Quantisierung des Strahlungsfeldes II
☞ Hamilton–Operator
H Photon =
X
~k,λ
~ c |~k|
1
† ~
~
aλ (k) aλ (k) +
2
☞ 1–Photon–Zustand
|Photon mit ~k und λi = a†λ (~k) |−i
☞ Zustände mit mehreren Photonen
YY
|nλi (~ki )i
|. . . , nλ (~k), . . .i =
~ki
λi
Quantisierung des Strahlungsfeldes II
☞ Hamilton–Operator
H Photon =
X
~k,λ
~ c |~k|
1
† ~
~
aλ (k) aλ (k) +
2
☞ 1–Photon–Zustand
|Photon mit ~k und λi = a†λ (~k) |−i
☞ Zustände mit mehreren Photonen
YY
|nλi (~ki )i
|. . . , nλ (~k), . . .i =
~ki
λi
☞ Teilchenzahl–Operator
nλ (~k) = a†λ (~k) aλ (~k)
Fock–Raum und Besetzungszahldarstellung
☞ Fock–Raum
H = H0 ⊕ H1 ⊕ H2 ⊕ . . .
Hilbert–Raum für kein Teilchen
Fock–Raum und Besetzungszahldarstellung
☞ Fock–Raum
H = H0 ⊕ H1 ⊕ H2 ⊕ . . .
Hilbert–Raum für ein Teilchen
Fock–Raum und Besetzungszahldarstellung
☞ Fock–Raum
H = H0 ⊕ H1 ⊕ H2 ⊕ . . .
Hilbert–Raum für zwei Teilchen
Fock–Raum und Besetzungszahldarstellung
☞ Fock–Raum
H = H0 ⊕ H1 ⊕ H2 ⊕ . . .
☞ Basis des Fock–Raums: Produktzustände
Fock–Raum und Besetzungszahldarstellung
☞ Fock–Raum
H = H0 ⊕ H1 ⊕ H2 ⊕ . . .
☞ Basis des Fock–Raums: Produktzustände
☞ z.B. Basis des H2
|φα1 α2 i = |α1 i · |α2 i =: |α1 , α2 i
(α1 , α2 = 1, 2, . . . )
Fock–Raum und Besetzungszahldarstellung
☞ Fock–Raum
H = H0 ⊕ H1 ⊕ H2 ⊕ . . .
☞ Basis des Fock–Raums: Produktzustände
☞ z.B. Basis des H2
|φα1 α2 i = |α1 i · |α2 i =: |α1 , α2 i
(α1 , α2 = 1, 2, . . . )
☞ Vakuum |−i: Zustand ohne Teilchen/Anregung
Fock–Raum und Besetzungszahldarstellung
☞ Fock–Raum
H = H0 ⊕ H1 ⊕ H2 ⊕ . . .
☞ Basis des Fock–Raums: Produktzustände
☞ z.B. Basis des H2
|φα1 α2 i = |α1 i · |α2 i =: |α1 , α2 i
(α1 , α2 = 1, 2, . . . )
☞ Vakuum |−i: Zustand ohne Teilchen/Anregung
☞ Besetzungszahldarstellung:
|Φ~n i =
=
|n1 , n2 , . . .i
S
|1i · · · |1i · |2i · · · |2i . . .
A | {z } | {z }
n1 mal
n2 mal
für Bosonen
für Fermionen
Erzeuger und Vernichter
☞ Vernichtungsoperator aα : „vernichtet“ ein Teilchen im
Zustand (bzw. ‘Orbital’) α
√
aα |n1 , n2 , . . . nα , . . .i = nα · |n1 , n2 , . . . nα − 1, . . .i
Erzeuger und Vernichter
☞ Vernichtungsoperator aα : „vernichtet“ ein Teilchen im
Zustand (bzw. ‘Orbital’) α
√
aα |n1 , n2 , . . . nα , . . .i = nα · |n1 , n2 , . . . nα − 1, . . .i
☞ Erzeugungsoperator aα † : „erzeugt“ ein Teilchen im Zustand
(bzw. ‘Orbital’) α
p
nα + 1 |n1 , n2 , . . . nα + 1, . . .i
a†α |n1 , n2 , . . . nα , . . .i =
Kommutator
☞ Für α , β
aβ , a†α |. . . nβ , . . . , nα , . . .i =
Kommutator
☞ Für α , β
aβ , a†α |. . . nβ , . . . , nα , . . .i =
= aβ a†α − a†α aβ |. . . nβ , . . . , nα , . . .i
Kommutator
☞ Für α , β
aβ , a†α |. . . nβ , . . . , nα , . . .i =
= aβ a†α − a†α aβ |. . . nβ , . . . , nα , . . .i
p
√
= aβ nα + 1 |. . . nβ , . . . , nα + 1, . . .i − a†α nβ |. . . nβ − 1, . . . , nα , . . .i
Kommutator
☞ Für α , β
aβ , a†α |. . . nβ , . . . , nα , . . .i =
= aβ a†α − a†α aβ |. . . nβ , . . . , nα , . . .i
p
√
= aβ nα + 1 |. . . nβ , . . . , nα + 1, . . .i − a†α nβ |. . . nβ − 1, . . . , nα , . . .i
p
√
√ p
=
nα + 1 nβ − nβ nα + 1 |. . . nβ , . . . , nα , . . .i = 0
Kommutator
☞ Für α , β
aβ , a†α |. . . nβ , . . . , nα , . . .i =
= aβ a†α − a†α aβ |. . . nβ , . . . , nα , . . .i
p
√
= aβ nα + 1 |. . . nβ , . . . , nα + 1, . . .i − a†α nβ |. . . nβ − 1, . . . , nα , . . .i
p
√
√ p
=
nα + 1 nβ − nβ nα + 1 |. . . nβ , . . . , nα , . . .i = 0
➥ Operatoridentität
aβ , a†α = 0
Kommutator
☞ Für α , β
aβ , a†α |. . . nβ , . . . , nα , . . .i =
= aβ a†α − a†α aβ |. . . nβ , . . . , nα , . . .i
p
√
= aβ nα + 1 |. . . nβ , . . . , nα + 1, . . .i − a†α nβ |. . . nβ − 1, . . . , nα , . . .i
p
√
√ p
=
nα + 1 nβ − nβ nα + 1 |. . . nβ , . . . , nα , . . .i = 0
➥ Operatoridentität
aβ , a†α = 0
➥ Analog (auch für β = α)
[aβ , aα ] = [a†β , a†α ] = 0
(Anti–)Vertauschungsrelationen
☞ Bosonen
[aβ , a†α ]
[aβ , aα ] = [a†β , a†α ]
=
=
δβα
0
(Anti–)Vertauschungsrelationen
☞ Bosonen
[aβ , a†α ]
[aβ , aα ] = [a†β , a†α ]
|ΨBosonen i =
X
~
n
C~n
=
=
δβα
0
Y
a†α
nα
nα
|−i
(Anti–)Vertauschungsrelationen
☞ Bosonen
[aβ , a†α ]
[aβ , aα ] = [a†β , a†α ]
|ΨBosonen i =
X
~
n
C~n
=
=
δβα
0
Y
a†α
nα
nα
|−i
☞ Fermionen
n
o
bβ , b†α
=
n
o
†
†
bβ , bα = bβ , bα
=
δβα
0
(Anti–)Vertauschungsrelationen
☞ Bosonen
[aβ , a†α ]
[aβ , aα ] = [a†β , a†α ]
|ΨBosonen i =
X
C~n
~
n
=
=
δβα
0
Y
a†α
nα
nα
|−i
☞ Fermionen
n
o
bβ , b†α
=
n
o
†
†
bβ , bα = bβ , bα
=
|ΨFermionen i =
X
~n
C~n
Y
nα
δβα
0
b†α
nα
|−i
Feldoperatoren im Koordinatenraum
☞ Zustand vs. Wellenfunktion
XZ
|αi =
d3 r ϕα (~r, s) |~r, si
s
Zustand
Wellenfunktion
Feldoperatoren im Koordinatenraum
☞ Zustand vs. Wellenfunktion
XZ
|αi =
d3 r ϕα (~r, s) |~r, si
s
☞ Operator, der ein Fermion mit Spin s am Ort ~r vernichtet
X
b(~r, s) =
ϕα (~r, s) bα
α
Feldoperatoren im Koordinatenraum
☞ Zustand vs. Wellenfunktion
XZ
|αi =
d3 r ϕα (~r, s) |~r, si
s
☞ Operator, der ein Fermion mit Spin s am Ort ~r vernichtet
X
b(~r, s) =
ϕα (~r, s) bα
α
☞ Umkehrung
bα
=
XZ
d3 r ϕ∗α (~r, s) b(~r, s)
s
b†α
=
XZ
s
d3 r ϕα (~r, s) b† (~r, s)
Feldoperatoren im Koordinatenraum
☞ Zustand vs. Wellenfunktion
XZ
|αi =
d3 r ϕα (~r, s) |~r, si
s
☞ Operator, der ein Fermion mit Spin s am Ort ~r vernichtet
X
b(~r, s) =
ϕα (~r, s) bα
α
☞ Umkehrung
bα
=
XZ
d3 r ϕ∗α (~r, s) b(~r, s)
s
b†α
=
XZ
d3 r ϕα (~r, s) b† (~r, s)
s
☞ Analoge Operatoren können für Bosonen erklärt werden
“Zweite Quantisierung”
Teilchen ↔ ψ(~r, s)
Wellenfunktion
“Zweite Quantisierung”
Teilchen ↔ ψ(~r, s) ↔ ψ† (~r, s) ≡ b† (~r, s)
Wellenfunktion
Feldoperator
“Zweite Quantisierung”
Teilchen ↔ ψ(~r, s) ↔ ψ† (~r, s) ≡ b† (~r, s)
Wellenfunktion
Feldoperator
☞ Besser: Besetzungszahldarstellung
Feldoperatoren im Koordinatenraum:
(Anti–)Kommutationsrelationen
☞ b & b† : Fermionen
a & a† : Bosonen
n
o
b(~r, s), b† (~r ′ , s′ )
=
n
o
b(~r, s), b(~r ′ , s′ ) = b† (~r, s), b† (~r ′ , s′ )
=
[a(~r, s), a† (~r ′ , s′ )] =
[a(~r, s), a(~r ′ , s′ )] = [a† (~r, s), a† (~r ′ , s′ )] =
δss′ · δ(~r ′ − ~r)
0
δss′ · δ(~r ′ − ~r)
0
Ein–Teilchen–Operatoren
☞ Spin–Ort–Darstellung
f (i) = f (ξi ) = f (~ri , si )
Ein–Teilchen–Operatoren
☞ Spin–Ort–Darstellung
f (i) = f (ξi ) = f (~ri , si )
☞ N–Teilchen–System
F =
N
X
i=1
f (i)
Ein–Teilchen–Operatoren
☞ Spin–Ort–Darstellung
f (i) = f (ξi ) = f (~ri , si )
☞ N–Teilchen–System
F =
N
X
f (i)
i=1
☞ Matrixelemente
fαα′
=
z.B.
=
hα| f |α′ i
XZ
d3 r ϕ∗α (~r, s) f (~r, s) ϕα′ (~r, s)
s
Ein–Teilchen–Operatoren
☞ Spin–Ort–Darstellung
f (i) = f (ξi ) = f (~ri , si )
☞ N–Teilchen–System
F =
N
X
f (i)
i=1
☞ Matrixelemente
fαα′
= hα| f |α′ i
☞ Einteilchenoperatoren im Besetzungszahlformalismus
F =
N
X
i=1
f (i) =
X
αα′
fαα′ b†α bα′
Beispiele für Ein–Teilchen–Operatoren
☞ Kinetische Energie
T
=
X ~2 ∆(i)
−
2m
i
Beispiele für Ein–Teilchen–Operatoren
☞ Kinetische Energie
T
=
X
X ~2 ∆(i) =
hα| t(α) |α′ i b†α bα′
−
2m
αα′
i
t(α) : kinetische
Energie im System
der Zustände |αi
Beispiele für Ein–Teilchen–Operatoren
☞ Kinetische Energie
T
=
=
X
X ~2 ∆(i) =
hα| t(α) |α′ i b†α bα′
−
2m
αα′
i
Z
~2
dξ ψ† (ξ) −
∆ ψ(ξ)
2m
Beispiele für Ein–Teilchen–Operatoren
☞ Kinetische Energie
T
=
=
X
X ~2 ∆(i) =
hα| t(α) |α′ i b†α bα′
−
2m
αα′
i
Z
~2
dξ ψ† (ξ) −
∆ ψ(ξ)
2m
☞ Operator der Teilchendichte
ρ(~r) =
N
X
i=1
δ ~r − ~ri
=
X
s
ψ† (~r, s) ψ(~r, s)
Beispiele für Ein–Teilchen–Operatoren
☞ Kinetische Energie
T
=
=
X
X ~2 ∆(i) =
hα| t(α) |α′ i b†α bα′
−
2m
αα′
i
Z
~2
dξ ψ† (ξ) −
∆ ψ(ξ)
2m
☞ Operator der Teilchendichte
ρ(~r) =
N
X
i=1
δ ~r − ~ri
=
X
ψ† (~r, s) ψ(~r, s)
s
☞ Teilchenzahloperator
N
=
X
α
b†α bα =
Z
dξ b† (ξ) b(ξ) =
Z
d3 r ρ(~r)
Zwei–Teilchen–Operatoren
☞ Zwei–Teilchen–Operator
W =
1 X (ij)
V
2
i,j
Zwei–Teilchen–Operatoren
☞ Zwei–Teilchen–Operator
W =
1 X (ij)
V
2
i,j
☞ Matrixelemente
Vβαβ′ α′ = hβα| V |β′ α′ i
Z
=
dξ1 dξ2 hβ|ξ1 i hα|ξ2 i hβα| V |β′ α′ i ξ1 |β′ ξ2 |α′
Zwei–Teilchen–Operatoren
☞ Zwei–Teilchen–Operator
W =
1 X (ij)
V
2
i,j
☞ Matrixelemente
Vβαβ′ α′ = hβα| V |β′ α′ i
Z
=
dξ1 dξ2 hβ|ξ1 i hα|ξ2 i hβα| V |β′ α′ i ξ1 |β′ ξ2 |α′
Z
=
dξ1 dξ2 ϕ∗β (ξ1 ) ϕ∗α (ξ2 ) V(ξ1 , ξ2 ) ϕβ′ (ξ1 ) ϕα′ (ξ2 )
Zwei–Teilchen–Operatoren
☞ Zwei–Teilchen–Operator
W =
1 X (ij)
V
2
i,j
☞ Matrixelemente
Vβαβ′ α′ = hβα| V |β′ α′ i
Z
=
dξ1 dξ2 hβ|ξ1 i hα|ξ2 i hβα| V |β′ α′ i ξ1 |β′ ξ2 |α′
Z
=
dξ1 dξ2 ϕ∗β (ξ1 ) ϕ∗α (ξ2 ) V(ξ1 , ξ2 ) ϕβ′ (ξ1 ) ϕα′ (ξ2 )
☞ Zwei–Teilchen–Operatoren in „zweiter Quantisierung“
W =
1 X
Vβαβ′ α′ b†β b†α bα′ bβ′
2 β,α,β′ ,α′
Diskreter k–Raum
(2π)−1 ki L ∈
∆ki =
Z für i = x, y, z
2π
L
x
5∆k
Fermi–Kugel
☞ Grundzustand
YY †
|Φ0 i =
bs (~p) |−i
~p
|~p|≤pF
s
☞ Fermi–Impuls: pF = maximaler Impuls der besetzten
Zustände
pF
Feldoperatoren im Impuls–Raum
☞ Impuls–Eigenfunktionen
1
ϕ~p (~x) = √ ei ~p·~x/~
V
Feldoperatoren im Impuls–Raum
☞ Impuls–Eigenfunktionen
1
ϕ~p (~x) = √ ei ~p·~x/~
V
☞ Feldoperatoren
X
b(~r, s) =
ϕα (~r, s) bα
α
bzw. b† (~r, s) =
X
α
ϕ∗α (~r, s) b†α
Feldoperatoren im Impuls–Raum
☞ Impuls–Eigenfunktionen
1
ϕ~p (~x) = √ ei ~p·~x/~
V
☞ Feldoperatoren
X
b(~r, s) =
ϕα (~r, s) bα
bzw. b† (~r, s) =
α
X
ϕ∗α (~r, s) b†α
α
☞ Speziell für α = (~p, s)
ψs (~r) =
ψ†s (~r) =
1 X i ~p·~r/~
√
e
bs (~p)
V ~p
1 X −i ~p·~r/~ †
√
bs (~p)
e
V ~p
Vernichtet Teilchen
im Zustand |~p, si
Ezeugt Teilchen
im Zustand |~p, si
Feldoperatoren im Koordinatenraum:
(Anti–)Kommutationsrelationen
☞ b & b† : Fermionen
a & a† : Bosonen
n
o
b(~r, s), b† (~r ′ , s′ )
=
n
o
b(~r, s), b(~r ′ , s′ ) = b† (~r, s), b† (~r ′ , s′ )
=
[a(~r, s), a† (~r ′ , s′ )] =
[a(~r, s), a(~r ′ , s′ )] = [a† (~r, s), a† (~r ′ , s′ )] =
δss′ · δ(~r ′ − ~r)
0
δss′ · δ(~r ′ − ~r)
0
Fermi–Verteilung
☞ Operator der Teilchendichte
ρs (~r) = ψ†s (~r) ψs (~r)
Fermi–Verteilung
☞ Operator der Teilchendichte
ρs (~r) = ψ†s (~r) ψs (~r)
ns (~p)
ns (~p) =
=
hΦ0 | ρs (~p) |Φ0 i
1,
|~p| ≤ pF
0,
|~p| > pF
1
pF
|~p|
Fermi–Verteilung: Anregungen
☞ Elementare Anregung
′
Φ = b†s′ (~p ′ ) bs (~p) |Φ0 i
Fermi–Verteilung: Anregungen
☞ Elementare Anregung
′
Φ = b†s′ (~p ′ ) bs (~p) |Φ0 i
☞ Interpretation
Fermi–Verteilung: Anregungen
☞ Elementare Anregung
′
Φ = b†s′ (~p ′ ) bs (~p) |Φ0 i
☞ Interpretation
Fermi–Verteilung: Anregungen
☞ Elementare Anregung
′
Φ = b†s′ (~p ′ ) bs (~p) |Φ0 i
☞ Interpretation
☞ Weitere Anregungen analog durch sukzessives Anwenden
von b†s′ (~p ′ ) bs (~p)
Ein–Teilchen–Korrelationsfunktionen
Gs (~r,~r ′ ) = hΦ0 | ψ†s (~r) ψs (~r ′ ) |Φ0 i
Gs (r)
n
2
−
|
π
kF r
Zwei–Teilchen–Korrelationsfunktion
gss (ρ) = 1 −
9
(sin ρ − ρ cos ρ)2
ρ6
gss (ρ)
1−
|
π
ρ = kF r
Mean–Field Theorie (I)
☞ Ausgangspunkt: Hamilton–Operator
N X
P (ij)
~2
(i)
V
△
H =
−
+ 21
2m
i,j
i=1 |
{z
}
(i)
=:H 0
kinetische Energie
Wechselwirkung
Mean–Field Theorie (I)
☞ Ausgangspunkt: Hamilton–Operator
N X
P (ij)
~2
(i)
V
△
H =
−
+ 21
2m
i,j
i=1 |
{z
}
(i)
=:H 0
☞ Gesucht: Ein–Teilchen Potential U H so dass
H =
N X
i=1
|
−
~2 (i)
+V Rest
△ + U (i)
H
2m
{z
}
N
P
=:H H =: h(i)
H
mit V Rest “klein”
i=1
Mean–Field Theorie (II)
☞ Hartree–Potential
XZ
U (i)
(~
r
)
=
d3 r2 ψ∗j (~r2 ) V (ij) (~r,~r2 ) ψj (~r2 )
H
j,i
Ansatz–Funktionen
Mean–Field Theorie (II)
☞ Hartree–Potential
XZ
U (i)
(~
r
)
=
d3 r2 ψ∗j (~r2 ) V (ij) (~r,~r2 ) ψj (~r2 )
H
j,i
☞ Wechselwirkungsenergie des i–ten Teilchens mit dem Rest
Z
Wi =
d3 r ψ∗i (~r) U H (~r) ψi (~r)
Mean–Field Theorie (II)
☞ Hartree–Potential
XZ
U (i)
(~
r
)
=
d3 r2 ψ∗j (~r2 ) V (ij) (~r,~r2 ) ψj (~r2 )
H
j,i
☞ Wechselwirkungsenergie des i–ten Teilchens mit dem Rest
Z
Wi =
d3 r ψ∗i (~r) U H (~r) ψi (~r)
☞ Gesucht: Selbstkonsistente Lösung der
Ein–Teilchen–Schrödinger–Gleichungen
(i)
H (i)
+
U
ψi (~r) = εi ψi (~r)
0
H
Mean–Field Theorie (II)
☞ Hartree–Potential
XZ
U (i)
(~
r
)
=
d3 r2 ψ∗j (~r2 ) V (ij) (~r,~r2 ) ψj (~r2 )
H
j,i
☞ Wechselwirkungsenergie des i–ten Teilchens mit dem Rest
Z
Wi =
d3 r ψ∗i (~r) U H (~r) ψi (~r)
☞ Gesucht: Selbstkonsistente Lösung der
Ein–Teilchen–Schrödinger–Gleichungen
(i)
H (i)
+
U
ψi (~r) = εi ψi (~r)
0
H
☞ Iterative Bestimmung der ψi
Mean–Field Theorie (II)
☞ Hartree–Potential
XZ
U (i)
(~
r
)
=
d3 r2 ψ∗j (~r2 ) V (ij) (~r,~r2 ) ψj (~r2 )
H
j,i
☞ Wechselwirkungsenergie des i–ten Teilchens mit dem Rest
Z
Wi =
d3 r ψ∗i (~r) U H (~r) ψi (~r)
☞ Gesucht: Selbstkonsistente Lösung der
Ein–Teilchen–Schrödinger–Gleichungen
(i)
H (i)
+
U
ψi (~r) = εi ψi (~r)
0
H
☞ Iterative Bestimmung der ψi
☞ Problem: Fermi–Charakter nicht berücksichtigt
Hartree–Fock–Verfahren (I)
☞ Ausgangspunkt: Hamilton–Operator
N X
P (ij)
~2
(i)
V
△
H =
−
+ 21
2m
i,j
i=1 |
{z
}
(i)
=:H 0
kinetische Energie
Wechselwirkung
Hartree–Fock–Verfahren (I)
☞ Ausgangspunkt: Hamilton–Operator
N X
P (ij)
~2
(i)
V
△
H =
−
+ 21
2m
i,j
i=1 |
{z
}
(i)
=:H 0
☞ Gesucht: Ein–Teilchen Potential U HF so dass
H =
N X
i=1
|
−
~2 (i)
△ + U (i)
HF +V Rest
2m
{z
}
N
P
=:H HF =: h(i)
HF
i=1
mit V Rest “klein”
und Berücksichtigung des Fermi–Charakters
Variationsprinzip
☞ Energiefunktional (Mittelwert der Energie)
E[Ψ] =
hΨ| H |Ψi
hΨ|Ψi
Variationsprinzip
☞ Energiefunktional (Mittelwert der Energie)
E[Ψ] =
hΨ| H |Ψi
hΨ|Ψi
☞ Satz


 Zustand |Ψi 
läßt E[Ψ]


stationär
⇐⇒




Zustand |Ψi
ist Lösung der
Schrödinger–Gleichung



H |Ψi = E[Ψ] |Ψi







Hartree–Fock–Verfahren (II)
☞ Ansatz: Produktzustand
|Ψi =
N
Y
i=1
b†i |−i
Hartree–Fock–Verfahren (II)
☞ Ansatz: Produktzustand
|Ψi =
N
Y
i=1
b†i |−i
☞ Fermi–See (Grundzustand im Raum der Produktzustände)
Energie
•
•
•
•
•
•
•
•


 FermiSee

 F
Hartree–Fock–Verfahren (III)
☞ Notation
i, j, . . . ↔ besetzter Zustand (α ≤ N)
α =
m, n, . . . ↔ unbesetzter Zustand (α > N)
Hartree–Fock–Verfahren (III)
☞ Notation
i, j, . . . ↔ besetzter Zustand (α ≤ N)
α =
m, n, . . . ↔ unbesetzter Zustand (α > N)
☞ Eingeschränkte Variation
|Ψi → |Ψi + |δΨi
mit
|δΨi =
X
α,β
ηαβ b†α bβ |Ψi
infinitesimale Parameter
Hartree–Fock–Verfahren (III)
☞ Notation
i, j, . . . ↔ besetzter Zustand (α ≤ N)
α =
m, n, . . . ↔ unbesetzter Zustand (α > N)
☞ Eingeschränkte Variation
|Ψi → |Ψi + |δΨi
mit
☞ Pauli–Prinzip impliziert
X
|δΨi =
ηmi b†m bi |Ψi
i∈F
m<F
|δΨi =
X
α,β
ηαβ b†α bβ |Ψi
Hartree–Fock–Verfahren (IV)
☞ Hamilton–Operator in “zweiter Quantisierung”
H =
X
αβ
|
1X
hαβ| V |γδi b†α b†β bδ bγ
2 αβγδ
} |
{z
}
=: W
hα| t |βi b†α bβ +
{z
=: T
Hartree–Fock–Verfahren (IV)
☞ Hamilton–Operator in “zweiter Quantisierung”
H =
X
αβ
|
1X
hαβ| V |γδi b†α b†β bδ bγ
2 αβγδ
} |
{z
}
=: W
hα| t |βi b†α bβ +
{z
=: T
☞ Variationsprinzip impliziert
hδΨ| H − E |ψi = 0
Hartree–Fock–Verfahren (IV)
☞ Hamilton–Operator in “zweiter Quantisierung”
H =
X
αβ
|
1X
hαβ| V |γδi b†α b†β bδ bγ
2 αβγδ
} |
{z
}
=: W
hα| t |βi b†α bβ +
{z
=: T
☞ Variationsprinzip impliziert
hδΨ| H − E |ψi = 0
☞ Für eingeschränkte Variationen
X
hδΨ| E |Ψi = E ·
ηmi hΨ| b†i bm |Ψi = 0
i∈F
m<F
Hartree–Fock–Verfahren (IV)
☞ Hamilton–Operator in “zweiter Quantisierung”
H =
X
αβ
|
1X
hαβ| V |γδi b†α b†β bδ bγ
2 αβγδ
} |
{z
}
=: W
hα| t |βi b†α bβ +
{z
=: T
☞ Variationsprinzip impliziert
hδΨ| H − E |ψi = 0
☞ Für eingeschränkte Variationen
X
hδΨ| E |Ψi = E ·
ηmi hΨ| b†i bm |Ψi = 0
i∈F
m<F
☞ Fazit: Für eingeschränkte Variationen muss gelten
hδΨ| H |Ψi = 0
Hartree–Fock–Verfahren (V)
☞ Kinetischer Anteil
hΨ| b†i bm b†α bβ |Ψi =
=
=
o
n
bβ |Ψi
hΨ| b†i −b†α bm + bm , b†α
hΨ| b†i b†α bβ bm |Ψi + δmα hΨ| b†i bβ |Ψi
0 + δmα δβi
Hartree–Fock–Verfahren (V)
☞ Kinetischer Anteil
hΨ| b†i bm b†α bβ |Ψi =
=
=
o
n
bβ |Ψi
hΨ| b†i −b†α bm + bm , b†α
hΨ| b†i b†α bβ bm |Ψi + δmα hΨ| b†i bβ |Ψi
0 + δmα δβi
☞ Wechselwirkungs–Anteil
hδΨ| W |Ψi =
N X
X
j=1
i∈F
m<F
ηmi (hjm| V |jii − hjm| V |iji)
Hartree–Fock–Verfahren (V)
☞ Kinetischer Anteil
hΨ| b†i bm b†α bβ |Ψi =
=
=
o
n
bβ |Ψi
hΨ| b†i −b†α bm + bm , b†α
hΨ| b†i b†α bβ bm |Ψi + δmα hΨ| b†i bβ |Ψi
0 + δmα δβi
☞ Wechselwirkungs–Anteil
hδΨ| W |Ψi =
N X
X
j=1
i∈F
m<F
ηmi (hjm| V |jii − hjm| V |iji)
☞ Insgesamt
hδΨ| H |Ψi =
X
i∈F
m<F

ηmi hm| t |ii +
N
X
j=1

!
(hjm| V |jii − hjm| V |iji) = 0
Hartree–Fock–Verfahren (VI)
☞ Hartree–Fock–Hamilton–Operator
H HF :=

X
αβ

hα| t |βi +
N
X
j=1
(hjα| V |jβi − hjα| V |βji)



b†α bβ
Hartree–Fock–Verfahren (VI)
☞ Hartree–Fock–Hamilton–Operator
H HF :=

X
αβ

hα| t |βi +
☞ Energie–Funktional
EHF [Ψ] =
hΨ| H HF |Ψi
hΨ|Ψi
N
X
j=1
(hjα| V |jβi − hjα| V |βji)



b†α bβ
Hartree–Fock–Verfahren (VII)
☞ Gleichungen aus dem Variationsprinzip für H und H HF
identisch
hm| t |ii +
N
X
j=1
(hjm| V |jii − hjm| V |iji) = 0
Hartree–Fock–Verfahren (VII)
☞ Gleichungen aus dem Variationsprinzip für H und H HF
identisch
hm| t |ii +
N
X
j=1
(hjm| V |jii − hjm| V |iji) = 0
Schrödinger–Gleichung mit
2–Teilchen–Wechselwirkung
Schrödinger–Gleichung mit
1–Teilchen–Wechselwirkung
⇐⇒
⇐⇒
Variationsproblem
↓
eingeschränktes
Variationsproblem
Hartree–Fock–Verfahren (VIII)
☞ Gleichungen aus dem Variationsprinzip
(∗)
0 = hm| t |ii +
N
X
j=1
(hjm| V |jii − hjm| V |iji)
Hartree–Fock–Verfahren (VIII)
☞ Gleichungen aus dem Variationsprinzip
(∗)
0 = hm| t |ii +
N
X
j=1
(hjm| V |jii − hjm| V |iji)
☞ Hartree–Fock–Hamilton–Operator
H HF :=

X
αβ

hα| t |βi +
N
X
j=1
(hjα| V |jβi − hjα| V |βji)



b†α bβ
Hartree–Fock–Verfahren (VIII)
☞ Gleichungen aus dem Variationsprinzip
(∗)
0 = hm| t |ii +
N
X
j=1
(hjm| V |jii − hjm| V |iji) = hm| H HF |ii
☞ (*) ⇐= Matrix–Elemente von H HF





hk| H HF |ℓi = 




∗
..
.
···
∗ ···
0 ···
..
.
0 ···
∗
..
.
0 ···
..
.
∗ 0 ···
0 ∗ ···
.. ..
. .
0 ∗ ···

0
.. 
. 

0 

∗ 

.. 
. 
∗




besetzte
Zustände







unbesetzte
Zustände



Hartree–Fock–Verfahren (VIII)
☞ Gleichungen aus dem Variationsprinzip
(∗)
0 = hm| t |ii +
N
X
j=1
(hjm| V |jii − hjm| V |iji) = hm| H HF |ii
☞ (*) ⇐= Matrix–Elemente von H HF blockdiagonal
☞ (∗) insbesondere erfüllt falls H HF –Matrix diagonal
hα| t |βi +
N
X
λ=1
hλα| V |λβ − βλi = εα δαβ
Hartree–Fock–Verfahren (IX)
➥ Grundzustand: |ΨHF i =
N
Y
α=1
b†α |−i
Hartree–Fock–Verfahren (IX)
➥ Grundzustand: |ΨHF i =
➥ Energie: EHF =
N
X
α=1
εα
N
Y
α=1
b†α |−i
Hartree–Fock–Verfahren (IX)
➥ Grundzustand: |ΨHF i =
➥ Energie: EHF =
N
X
N
Y
α=1
b†α |−i
εα
α=1
☞ Einfache Darstellung: H HF =
N
X
α=1
εα b†α bα
Hartree–Fock–Verfahren (IX)
➥ Grundzustand: |ΨHF i =
➥ Energie: EHF =
N
X
N
Y
α=1
b†α |−i
εα
α=1
☞ Einfache Darstellung: H HF =
N
X
α=1
☞ Hartree–Fock–Potential
hα| U HF |βi :=
N
X
λ=1
hλα| V |λβ − βλi
εα b†α bα
Hartree–Fock–Verfahren (X)
☞ Matrix–Elemente der kinetischen Energie
Z
~2 ~ 2
3
∗
hα| t |βi =
d r ψα (~r) −
∇
ψβ (~r)
2m
Hartree–Fock–Verfahren (X)
☞ Matrix–Elemente der kinetischen Energie
Z
~2 ~ 2
3
∗
hα| t |βi =
d r ψα (~r) −
∇
ψβ (~r)
2m
☞ Matrix–Elemente der Wechselwirkung
hλα| V |λβ − βλi =
Z
Z
3
d r1 d3 r2 ψ∗λ (~r1 ) ψ∗β (~r2 ) V(~r1 ,~r2 ) ψλ (~r1 ) ψβ (~r2 ) − ψβ (~r1 ) ψλ (~r2 )
Hartree–Fock–Verfahren (XI)
☞ Hartree–Fock–Gleichungen
Z
~2 ~ 2
−
∇ + U H (~r) ψα − d3 r′ U F (~r,~r ′ ) ψα (~r ′ ) = εα ψα (~r)
2m
Hartree–Fock–Verfahren (XI)
☞ Hartree–Fock–Gleichungen
Z
~2 ~ 2
−
∇ + U H (~r) ψα − d3 r′ U F (~r,~r ′ ) ψα (~r ′ ) = εα ψα (~r)
2m
☞ Hartree–Potential
U H (~r) =
N Z
X
λ=1
d3 r′ ψ∗λ (~r ′ ) V(~r,~r ′ ) ψλ (~r ′ )
Hartree–Fock–Verfahren (XI)
☞ Hartree–Fock–Gleichungen
Z
~2 ~ 2
−
∇ + U H (~r) ψα − d3 r′ U F (~r,~r ′ ) ψα (~r ′ ) = εα ψα (~r)
2m
☞ Hartree–Potential
U H (~r) =
N Z
X
d3 r′ ψ∗λ (~r ′ ) V(~r,~r ′ ) ψλ (~r ′ )
λ=1
☞ Fock–Potential
U F (~r,~r ′ ) =
N
X
λ=1
ψ∗λ (~r ′ ) V(~r,~r ′ ) ψλ (~r)
Hartree–Fock–Verfahren (XI)
☞ Hartree–Fock–Gleichungen
Z
~2 ~ 2
−
∇ + U H (~r) ψα − d3 r′ U F (~r,~r ′ ) ψα (~r ′ ) = εα ψα (~r)
2m
☞ Hartree–Potential
U H (~r) =
N Z
X
d3 r′ ψ∗λ (~r ′ ) V(~r,~r ′ ) ψλ (~r ′ )
X
λ
λ=1
α
λ
V
α
λ
☞ Fock–Potential
U F (~r,~r ′ ) =
N
X
λ=1
ψ∗λ (~r ′ ) V(~r,~r ′ ) ψλ (~r)
X
λ
λ
α
α
V
λ
Hartree–Fock–Verfahren (XI)
1
Ansatzfunktionen ψ(n)
i (setze n = 0)
Hartree–Fock–Verfahren (XI)
1
2
Ansatzfunktionen ψ(n)
i (setze n = 0)
Berechne U H und U F
Hartree–Fock–Verfahren (XI)
1
2
3
Ansatzfunktionen ψ(n)
i (setze n = 0)
Berechne U H und U F
Löse Hartree–Fock–Schrödinger–Gleichung y neue
Einteilchenwellenfunktionen ψi(n+1)
Hartree–Fock–Verfahren (XI)
1
2
3
4
Ansatzfunktionen ψ(n)
i (setze n = 0)
Berechne U H und U F
Löse Hartree–Fock–Schrödinger–Gleichung y neue
Einteilchenwellenfunktionen ψi(n+1)
Falls ψi(n+1) = ψi(n) beende Verfahren, sonst wiederhole
Schritte 2–4 mit ψi(n+1) statt ψ(n)
i
Hartree–Fock–Verfahren (XI)
1
2
3
4
5
Ansatzfunktionen ψ(n)
i (setze n = 0)
Berechne U H und U F
Löse Hartree–Fock–Schrödinger–Gleichung y neue
Einteilchenwellenfunktionen ψi(n+1)
Falls ψi(n+1) = ψi(n) beende Verfahren, sonst wiederhole
Schritte 2–4 mit ψi(n+1) statt ψ(n)
i
Slaterderminante aus den ψi bildet den
Hartree–Fock–Grundzustand
ψ1 (x1 ) · · · ψN (x1 ) ..
..
ΨHF (x1 , . . . xN ) = .
.
ψ1 (xN ) · · · ψN (xN ) Grundzustandsenergie in HF–Näherung
☞ Hamilton–Operator
H = H HF + V Rest
V Rest =
1 X (i,j) X (i)
V −
U HF
2
i,j
i
Grundzustandsenergie in HF–Näherung
☞ Hamilton–Operator
H = H HF + V Rest
☞ Energie des Grundzustands in erster Näherung
E0
≈
=
=
hΨHF | H |ΨHF i
X
1 X
hαβ| V |αβ − βαi
hα| t |αi +
2
α∈F
α,β∈F
X
1 X
εα −
hαβ| V |αβ − βαi
2
α∈F
,
X
α∈F
α,β∈F
εα = EHF
Grundzustandsenergie in HF–Näherung
☞ Hamilton–Operator
H = H HF + V Rest
☞ Energie des Grundzustands in erster Näherung
E0
≈
=
=
hΨHF | H |ΨHF i
X
1 X
hαβ| V |αβ − βαi
hα| t |αi +
2
α∈F
α,β∈F
X
1 X
εα −
hαβ| V |αβ − βαi
2
α∈F
,
X
α,β∈F
εα = EHF
α∈F
☞ Doppelt–Zählen
Fermi–Gas mit Yukawa–Wechselwirkung (I)
☞ Yukawa–Wechselwirkung
e−|~ri −~rj |/a
e−r/a
V Yukawa (~ri ,~rj ) = V0 = V0
r/a
~ri − ~rj /a
mit r = ~ri − ~rj Fermi–Gas mit Yukawa–Wechselwirkung (I)
☞ Yukawa–Wechselwirkung
e−|~ri −~rj |/a
e−r/a
V Yukawa (~ri ,~rj ) = V0 = V0
r/a
~ri − ~rj /a
☞ Hamilton–Operator
H =
N X
i=1
|
1 X (i,j)
~2 (i)
+
△
−
V
2m
2
i,j
{z
} | {z }
=H 0
H1
mit r = ~ri − ~rj Fermi–Gas mit Yukawa–Wechselwirkung (I)
☞ Yukawa–Wechselwirkung
e−|~ri −~rj |/a
e−r/a
V Yukawa (~ri ,~rj ) = V0 = V0
r/a
~ri − ~rj /a
☞ Hamilton–Operator
H =
N X
i=1
|
1 X (i,j)
~2 (i)
+
△
−
V
2m
2
i,j
{z
} | {z }
=H 0
☞ Ausgangszustände
D E
1
~
~r|~k = ψ~k (~r) = √ ei k·~r
|V|
H1
mit r = ~ri − ~rj Fermi–Gas mit Yukawa–Wechselwirkung (II)
☞ Grundzustand
Y †
|Ψi =
b~ |−i
k
|~k|≤kF
Fermi–Gas mit Yukawa–Wechselwirkung (II)
☞ Grundzustand
Y †
|Ψi =
b~ |−i
k
|~k|≤kF
☞ Energiekorrektur erster Ordnung
∆E
= hΨ| H 1 |Ψi
1 X ~~ ′
=
hkk | V |~k~k ′ i − h~k~k ′ | V |~k ′ ~ki
|
{z
}
|
{z
}
2
~k,~k ′ ∈F
Austauschdirektes
Matrixelement Matrixelement
Fermi–Gas mit Yukawa–Wechselwirkung (II)
☞ Grundzustand
Y †
|Ψi =
b~ |−i
k
|~k|≤kF
☞ Energiekorrektur erster Ordnung
∆E
= hΨ| H 1 |Ψi
1 X ~~ ′
=
hkk | V |~k~k ′ i − h~k~k ′ | V |~k ′ ~ki
|
{z
}
|
{z
}
2
~k,~k ′ ∈F
Austauschdirektes
Matrixelement Matrixelement
a3
☞ Direktes Matrixelement: h~k~k ′ | V |~k~k ′ i = 4π V0
|V|
☞ Austausch–Matrixelement: h~k~k ′ | V |~k ′~ki = 4π V0
1
a3
|V| 1 + q2 a2