§ 3. ggT und kgV

Chr.Nelius : Zahlentheorie (WS 2006/07)
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§ 3. ggT und kgV
Wir erinnern uns hoffentlich an die folgenden Definitionen des ggT’s und des kgV’s zweier
ganzer Zahlen.
(3.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggT) zweier ganzer
Zahlen a und b , wenn gilt:
GGT1 ) g ≥ 0
GGT2 ) g | a und g | b
GGT3 ) Für alle t ∈ Z mit t | a und t | b folgt t | g .
Bezeichnung: g = ggT(a, b) .
GGT1 ) hat die Eindeutigkeit des ggT’s zur Folge (s. Bem. (3.2)).
GGT2 ) besagt, daß g ein gemeinsamer Teiler von a und b ist.
GGT3 ) bedeutet, daß g von jedem gemeinsamen Teiler von a und b geteilt wird.
(3.2) BEM: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b gibt es höchstens einen ggT .
(3.3) DEF: Eine ganze Zahl k heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) zweier
ganzer Zahlen a und b , wenn gilt:
KGV1 ) k ≥ 0
KGV2 ) a | k und b | k
KGV3 ) Für alle v ∈ Z mit a | v und b | v folgt k | v .
Bezeichnung: k = kgV(a, b) .
KGV1 ) hat die Eindeutigkeit des kgV’s zur Folge (s. Bem. (3.4)).
KGV2 ) besagt, daß k ein gemeinsames Vielfaches von a und b ist.
KGV3 ) bedeutet, daß k Teiler eines jeden gemeinsamen Vielfachen von a und b ist.
(3.4) BEM: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b gibt es höchstens ein kgV .
Als nächstes werden wir uns Gedanken über die Existenz von ggT und kgV machen.
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(3.5) Der euklidische Algorithmus (EA)
Seien a, b ∈
. Die Folgen (rk )k≥0 , (qk )k≥1
seien rekursiv definiert durch:
r0 := a , r1 := b. Für k ∈ 0 sei qk+1 der Quotient und rk+2 der Rest bei
Division von rk durch rk+1 , falls rk+1 6= 0 , d.h.
(?)
rk = qk+1 · rk+1 + rk+2
Dann gibt es eine Zahl n ∈
mit
0 ≤ rk+2 < rk+1
mit rn 6= 0 und rn+1 = 0 , wobei gilt
rn = ggT(a, b)
Bew: Wir führen wiederholte Division mit Rest aus. Dies ist solange möglich, wie die Zahl,
durch die geteilt ist, von 0 verschieden ist.
r0
r0
r1
r2
=
=
=
=
..
.
a , r1 =
q1 · r1 + r2
q2 · r2 + r3
q3 · r3 + r4
b
mit
mit
mit
0 ≤ r 2 < r1
0 ≤ r 3 < r2
0 ≤ r 4 < r3
rk = qk+1 · rk+1 + rk+2
..
.
Annahme: rk > 0 für alle k ≥ 2.
mit
0 ≤ rk+2 < rk+1
Dann folgt b = r1 > r2 > r3 > r4 > . . . > rk > . . . > 0,
d.h. es gibt unendlich viele natürliche Zahlen < b. Widerspruch!
mit rn+1 = 0 und rn 6= 0 . Zu zeigen bleibt, daß rn wirklich der
Folglich gibt es ein n ∈
ggT von a und b ist. Dazu schreiben wir noch einmal das Divisionsschema auf:
(1)
(2)
(3)
r0
r0
r1
r2
=
=
=
=
..
.
a , r1 =
q1 · r1 + r2
q2 · r2 + r3
q3 · r3 + r4
b
mit
mit
mit
(n − 1) rn−2 = qn−1 · rn−1 + rn
(n)
rn−1 = qn · rn + rn+1
0 < r2 < r1
0 < r3 < r2
0 < r4 < r3
mit
0 < rn < rn−1
| {z }
=0
Aus der letzten Gleichung folgt rn | rn−1 , so daß sich aus der (n − 1)–ten Gleichung wegen
rn | rn mit (2.3g) rn | rn−2 ergibt, aus der Gleichung davor dann rn | rn−3 usw. Bei der zweiten
Gleichung gilt dann rn | r3 und rn | r2 , so daß rn ein Teiler von r1 = b ist. Schließlich ist rn eine
Teiler von r1 und r2 , und damit ein Teiler von r0 = a . Folglich ist rn ein gemeinsamer Teiler
von a und b .
Sei nun t ∈ ein beliebiger gemeinsamer Teiler von a und b . Zu zeigen ist: t | rn .
Zum Beweis durchlaufen wir die Gleichungskette von oben nach unten.
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Wenn t die Zahlen a = r0 und b = r1 teilt, dann teilt t nach (2.3g) auch r2 = r0 − q1 · r1 . Aus
(2) folgt damit t | r3 , aus (3) t | r4 usw. Aus der (n − 1)–ten Gleichung folgt dann t | rn .
Da auch rn ≥ 0 gilt, sind also alle drei Bedingungen aus der Definition (3.1) erfüllt. Damit ist
rn der ggT von a und b .
•
(3.6) BEM: a) Nach (3.5) existiert zu je zwei positiven ganzen Zahlen ein ggT .
b) Der ggT zweier positiver ganzer Zahlen läßt sich mit dem EA berechnen.
(3.7) SATZ: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b existiert der eindeutig bestimmte ggT .
(3.8) BEM: Für a, b ∈
c) ggT(a, 0) = | a |
gilt:
a) ggT(a, b) = ggT(b, a)
d) ggT(0, 0) = 0
b) ggT(a, b) = | a | ⇐⇒ a | b
e) ggT(a, b) = ggT(| a |, | b |)
(3.9) BEM: Seien a und b zwei ganze Zahlen, die nicht beide 0 sind.
Nach GGT2 ) ist g ein gemeinsamer Teiler von a und b , d.h. g ∈ T (a) ∩ T (b) .Ist nun t ∈
T (a) ∩ T (b) ein beliebiger gemeinsamer Teiler von a und b , so folgt mit GGT3 ) t | g , also
t ≤ | t | ≤ | g | = g nach (2.3e), da g 6= 0 .. Damit gilt
g = max(T (a) ∩ T (b)) ,
d.h. g ist unter allen gemeinsamen Teilern von a und b der größte. Dies gilt nicht für
ggT(0, 0) = 0 !!!
(3.10)
Der erweiterte euklidische Algorithmus (EEA)
Seien a, b ∈
. Die Zahlen rk und qk seien wie in (3.5) definiert, dh.
(?)
rk = qk+1 · rk+1 + rk+2 (0 ≤ rk+2 < rk+1 )
Die Folgen (xk )k≥0 und (yk )k≥0 seien rekursiv definiert durch
x0 := 1 , x1 := 0
(??)
xk+1 := xk−1 − qk · xk
(k ≥ 1)
y0 := 0 , y1 := 1
(? ? ?)
a) Es gilt
yk+1 := yk−1 − qk · yk
rk = xk · a + yk · b
b) Für die Zahl n ∈
insbesondere
für alle k ∈
0
(k ≥ 1)
.
mit rn 6= 0 und rn+1 = 0 , die nach (3.5) existiert, gilt
ggT(a, b) = rn = xn · a + yn · b ,
d.h. ggT(a, b) ist eine ganzzahlige Linearkombination von a und b.
(3.11) SATZ: Der ggT g zweier ganzer Zahlen a und b läßt sich als ganzzahlige Linearkombination oder als Vielfachensumme von a und b darstellen, d.h. es gibt x, y ∈ mit
g = xa + yb .
Diese Koeffizienten x und y sind nicht eindeutig bestimmt.
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(3.12) DEF: a1 , a2 , . . . , an (n ≥ 2) seien ganze Zahlen. Eine ganze Zahl g heißt größter
gemeinsamer Teiler (ggT) von a1 , a2 , . . . , an , wenn gilt:
GGT1 ) g ≥ 0
GGT2 ) g | a1 , g | a2 , . . . , g | an
GGT3 ) Für alle t ∈
mit
t | a1 , t | a2 , . . . , t | an folgt t | g .
Bezeichnung: g = ggT(a1 , a2 , . . . , an)
(3.13) BEM: a) Für n = 2 ist die alte Definition (3.1) des ggT’s zweier ganzer Zahlen ein
Spezialfall von (3.12) .
b) Die Existenz von ggT(a, b, c) wird in Aufgabe 12 bewiesen. Es gilt allgemein: Zu je n
ganzen Zahlen existiert ein eindeutig bestimmter ggT .
c) Beispiel: ggT(6, 9, 15) = 3 .
T (6) = {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}
T (9) = {−9, −3, −1, 1, 3, 9}
T (15) = {−15, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 15}
T (6) ∩ T (9) ∩ T (15) = {−3, −1, 1, 3} = T (3)
Also ggT(6, 9, 15) = 3 .
(3.14) DEF: a) Zwei ganze Zahlen a und b heißen teilerfremd , wenn ihr ggT gleich 1 ist.
b) Die ganzen Zahlen a1 , a2 , . . . , an (n ≥ 2) heißen
– teilerfremd, wenn ggT(a1 , a2 , . . . , an ) = 1 gilt
– paarweise teilerfremd , wenn je 2 Zahlen ai und ak mit i 6= k teilerfremd sind.
(3.15) BEM: a) 4 und 21 sind teilerfremd, ebenso −50 und 221 .
Die Zahlen 2, 3, 4 sind teilerfremd (ggT(2, 4, 3) = 1), aber nicht paarweise teilerfremd, da
ggT(2, 4) = 2 6= 1 .
Die Zahlen 1, 4, 7, 9 sind paarweise teilerfremd und auch teilerfremd.
b) Sind die Zahlen a1 , a2 , . . . , an (n ≥ 2) paarweise teilerfremd, so sind sie auch teilerfremd.
c) Die Umkehrung von b) gilt i.a. nicht, d.h. teilerfremde Zahlen müssen nicht paarweise
teilerfremd sein. Gegenbeispiel: s. a) .
(3.16) SATZ: Zwei ganze Zahlen a und b sind genau dann teilerfremd, wenn es Zahlen
x, y ∈ gibt mit
xa + yb = 1 .
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(3.17) SATZ: Für a, b, c ∈
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gelten die folgenden Aussagen:
a) a | c und b | c und ggT(a, b) = 1
b) a | (b · c) und ggT(a, b) = 1
=⇒
=⇒
(a · b) | c
a|c.
BEM: Ohne die Voraussetzung, daß die Zahlen a und b teilerfremd sind, gelten die obigen
Aussagen i.a. nicht:
Gegenbeispiel zu a) : 4 | 12 und 6 | 12 , aber 4 · 6 = 24 ist kein Teiler von 12 .
b) 6 | (4 · 9) , aber 6 6 | 4 und 6 6 | 9 .
(3.18) SATZ: Jede rationale Zahl r ∈ läßt sich eindeutig in gekürzter Form dartstellen,
d.h. es gibt eindeutig bestimmte ganze Zahlen a und b mit
r =
a
, b > 0 , ggT(a, b) = 1 .
b
Wir wollen uns nun noch kurz Gedanken zum kgV zweier ganzer Zahlen machen. Die Definition
hatten wir schon in (3.3) gegeben. Wir wollen jetzt zeigen, daß ein kgV immer existiert. Die
Eindeutigkeit ergibt sich dann aus (3.4) . Wir gehen wieder schrittweise vor:
(3.19) SATZ: Zu je zwei natürlichen Zahlen a, b ∈
(3.20) BEM: Für a, b ∈
a) kgV(a, 0) = 0
existiert ein eindeutig bestimmtes kgV .
gilt:
b) kgV(0, b) = 0
c) kgV(0, 0) = 0 .
(3.21) SATZ: Zu je zwei ganzen Zahlen existiert ein eindeutig bestimmtes kgV .
(3.22) BEM: Für a, b ∈
gilt:
a) kgV(a, b) = kgV(b, a)
b) kgV(a, b) = | a | ⇐⇒ b | a
c) kgV(a, b) = kgV(| a |, | b |) .
(3.23) BEM: Seien a, b zwei ganze Zahlen, die beide ungleich 0 sind.
Nach KGV2 ) ist k ein gemeinsames positives Vielfaches von a und b , d.h.
k ∈ V (a) ∩ V (b) ∩
.
Ist nun v ∈ V (a) ∩ V (b) ∩ ein beliebiges gemeinsames positives Vielfaches von a und b , so
folgt k | v nach KGV3 ) , also k = | k | ≤ | v | = v nach (2.3e). Damit gilt
k = min(V (a) ∩ V (b) ∩
),
d.h. k ist unter allen gemeinsamen positiven Vielfachen von a und b das kleinste.
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(3.24) DEF: a1 , a2 , . . . , an (n ≥ 2) seien ganze Zahlen. Eine ganze Zahl k heißt kleinstes
gemeinsames Vielfaches (kgV) von a1 , a2 , . . . , an , wenn gilt:
KGV1 ) k ≥ 0
KGV2 ) a1 | k , a2 | k , . . . , an | k
KGV3 ) Für alle v ∈
mit
a1 | v , a2 | v , . . . , an | v folgt k | v .
Bezeichnung: k = kgV(a1 , a2 , . . . , an)
(3.25) BEM: a) Zu je n ganzen Zahlen existiert immer ein eindeutig bestimmtes kgV .
a2
an
a1
rationale Zahlen, so ist ihr Hauptnenner gerade das
b) Sind r1 = , r2 = , . . . , rn =
b1
b2
bn
kgV der einzelnen Nenner b1 , b2 , . . . , bn . Diese Bildung ist wichtig für die Addition rationaler
Zahlen. Ist k = kgV(b1 , b2 , . . . , bn ) und gilt bi · ci = k für alle k = 1, 2, . . . , n , so folgt
r1 + r2 + . . . + rn =
a1 a2
an
a1 · c1 + a2 · c2 + . . . + an · cn
+
+ ...+
=
.
b1
b2
bn
k
Zum Abschluß untersuchen wir den Zusammenhang zwischen dem ggT und dem kgV zweier
ganzer Zahlen:
(3.26) SATZ: Für ganze Zahlen a und b gilt
ggT(a, b) · kgV(a, b) = | a · b | .
(3.27) BEM: Berechnungsverfahren für das kgV
Sind a und b ganze Zahlen , für die ggT(a, b) 6= 0 gilt, so folgt
kgV(a, b) =
|a ·b|
,
ggT(a, b)
wobei sich ggT(a, b) (leicht!) mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnen läßt .