W - Physik Uni Rostock
Werbung
07a Energie 1 Neues Konzept Energie Kräfte beim Abschuss eines Pfeils mit einem Bogen Lösungsansatz für Newtonsche Gleichungen Man berechne die variierenden Kräfte Problematisch mit Kraftansatz zu behandeln Gesucht eine verlässliche physikalische Größe 2 Arbeit Arbeit verrichtet durch eine (in Größe und Richtung) Kraft z.B. Schwerkraft Definition: Arbeit ist das Produkt aus Größe der Verschiebung multipliziert mit der Komponente der Kraft entlang der Verschiebung W = F|| d Arbeit ist eine skalare Größe 1.Fall : Kraft wirkt entlang des Weges Θ = 0° → cos Θ = 1 ⇒ W = Fd Produkt zweier Vektoren rr W = Fd Skalarprodukt W = Fd cos Θ W = F|| d 2.Fall : Kraft wirkz senkrecht zur Verschiebung Θ → 90° → cos Θ → 0 ⇒ W → 0 Wichtig: Arbeit wir nicht an einer Masse verrichtet. zum Beispiel Kompensation der Gewichtskraft “Arbeit ist Kraft mal Weg” Einheit der physikalischen Größe Arbeit Einheit Nm = J (Joule) James Joule (1818-1889) Das Joule wird in der Thermodynamik als Maß für den Energietransfer (Arbeit erzeugt Wärme) eingeführt 3 Muskelkontraktion Wichtiger Unterschied zum Alltagsgebrauch des Begriffs Arbeit Arbeit wir nicht an einer Masse verrichtet. zum Beispiel: Kompensation der Gewichtskraft Myosin ist nicht statisch an das Aktin-Filament gebunden Halten eines Gewichts mit konstanter Muskelkraft verursacht Stoffwechselvorgänge 4 Aufwand aber keine Arbeit Statischer Fall Bergsteiger steht still für ein Photo. Kraft muss aufgewendet werden in der Größenordnung des Gewichts des Rucksacks aber Verschiebung d=0, geleistete Arbeit ist NULL F W=0 Hier betrachtete relevante Kraft ist die Gravitationskraft Dynamischer Fall Bergsteiger geht parallel (senkrecht zur Richtung der Gravitationskraft) d zum Berg mit konstanter Geschwindigkeit Kraft muss wieder aufgewendet werden, um den Rucksack auf der Höhe zu halten. Verschiebung d>0, aber Θ=90°, d.h. cosΘ=0 geleistete Arbeit ist NULL W=FdcosΘ=0 Gravitation 5 Arbeit an einem Rucksack Rahmenbedingungen Rucksack m=10 kg Höhenunterschied h=8m Wegstrecke d=15m Winkel Θ=58° vereinfachende Annahmen konstante Schwerebeschleunigung gleichmäßige Geschwindigkeit, d.h. keine Beschleunigung Betrachte vertikale Komponente (Newton 3) Bewegung im Gravitationsfeld FH − FG = 0 gesuchte physikalische Größen Arbeit, die der Bergsteiger verrichten muss Arbeit, die die Gravitationskraft verrichten muss FH 180°−Θ d Θ h Fg 180°−Θ 6 Arbeit an einem Rucksack FH d Θ 180°−Θ h = d cos Θ Fg 180°−Θ Arbeit, die der Bergsteiger verrichten muss Arbeit, die die Gravitationskraft verrichten muss Komponente der Gravitationskraft entlang der Verschiedung WG = FH d cos(180° − Θ ) FH − FG = 0 m = 98 N s² WH = FH d cos Θ = FH h da (180° − Θ ) = −Θ WG = − FH d cos Θ FH = mg = 10 kg ⋅ 9.8 Winkel spielt keine Rolle WH = mgh = 784 J relativer Höhenunterschied ist entscheidend WH = 98 N ⋅ 8.0 m = 784 Nm = 784 J Gravitationskraft wirkt nur vertikal WG = −mgh = −784 J Auch die Arbeit, die von der Gravitationskraft verrichtet wird, hängt nur vom Höhenunterschied ab, nicht vom Winkel Wres = WH + WG = 784 J − 784 J = 0.0 J 7 Trabant Verrichtet die Gravitationskraft der Erde Arbeit am Mond? so ist Arbeit definiert Geschwindigkeitsvektor, d.h. die Richtung der Bewegung ist senkrecht zur Kraft W = Fd cos Θ v FG Kreisbewegung des Mondes um die Erde da Θ=90 folgt cos Θ=0 d.h. heißt es wird keine Arbeit durch die Schwerkraft der Erde verrichtet W=0 8 Arbeit bei veränderlichen Kräften Beispiele A) Rakete: Arbeit ist notwendig um das Schwerefeld der Erde zu verlassen. Betrag der Schwerkraft g(R) hängt vom Abstand zur Erdoberfläche ab B) Feder: Die Rückstellkraft hängt von der Dehnung der Feder ab C) Reibung: Bei Bewegung einer Kiste über einen unebenen Boden ändern sich die Reibungskräfte parallele Komponente der Kraft s1 s2 Abstand 9 Arbeit-Energie Prinzip Simple Definition Energie ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten (stimmt allerdings nicht allgemein, z.B. Wärmeenergie) Bewegte Objekte können Arbeit an anderen Objekten verrichten z.B. Hammer auf Nagel: Die Energie der Bewegung nennt man Kinetische Energie griechisch: kinetikos v1 v2 Fres Fres d Wres = Fres d 10 Arbeit-Energie Prinzip v1 Körper wird mit konstanter Kraft über eine Strecke beschleunigt v2 Fres d Wres = Fres d Wres = (ma )d Wres Wres ⎛ v 22 − v12 ⎞ ⎟⎟d = m⎜⎜ d 2 ⎝ ⎠ 1 1 = mv 22 − mv12 2 2 Ergebnis aus Kinematik v 2 = v 02 + 2a (x − x0 ) v 2 − v 02 a= 2( x − x0 ) KE = 1 2 mv 2 Definition der translatorischen kinetischen Energie hier hergeleitet für 1D Bewegungen Wres = KE2 − KE1 = ΔKE Änderung der kinetischen Energie Die resultierende Arbeit an einem Objekt ist gleich der Änderung seiner kinetischen Energie Vorsicht: Gilt nur für die resultierende Kraft! Möglicherweise übersieht man sonst etwas vgl. Newton 2: Resultierende Kraft ist Summe aller angreifenden Kräfte 11 Arbeit-Energie Prinzip v=v1 FR v=0 Anhalteweg (Reaktionszeit + Bremsweg) für unterschiedliche Anfangsgeschwindigkeiten d Wres = Fres d cos(− 180°) Wres = − Fd 1 ΔKE = 0 − mv 2 2 v2=2*v1 geleistete Arbeit entspricht dem Unterschied in der kinetischen Energie Wres = ΔKE oder 1 2 mv 2 ⇓ Fd = d ≈ v2 v=0 FR d2=4*d1 Bremsweg vervierfacht sich bei Verdopplung der Geschwindigkeit 12 Eissegeln Bewegung auf vereistem See reibungsfrei Eine einfache Frage Welcher Eissegler hat am Ziel die höhere kinetische Energie? Vorschlag 1: Eisboot ROT, da größere Geschwindigkeit! Vorschlag 2: Eisboot BLAU, da größere Masse! 13 Eissegeln Eine einfache Frage Welcher Eissegler hat am Ziel die höhere kinetische Energie? Kraft für beide gleich Weg für beide identisch Kinetische Energie ist die Arbeit um den Segler von NULL zu beschleunigen Beide haben gleiche kinetische Energie 14 18 12.2001 Deep Space 1 Start 24 Oktober 1998 Vorbeiflug am Kometen Braille 27 km Entfernung Bahn von Deep Space 1 Startgewicht: 474 kg Anfangsgeschwindigkeit nach dem Start 275 m/s Ionentriebwerk beschleunigt Satellit über 2.42x109 m geleistete Arbeit ist Unterschied in kinetischer Energie nur geringer Schub aus Ionentriebwerk 0.056 Newton nur diesen Einfluss berücksichtigen wir WIP = (FIP cos Θ ) d WIP = (0.056 N ⋅ cos0°) ⋅ 2.42 ⋅109 m WIP = KE f − KEi WIP = 1.36 ⋅108 Nm = 1.36 ⋅108 J ⇓ KE f = WIP + KEi Die Rakete zu den Planetenräumen Dissertation abgelehnt 1929 als Buch veröffentlich 1 m⎞ ⎛ KE f = 1.36 ⋅108 J + 472 kg⎜ 275 ⎟ 2 s⎠ ⎝ 2 KE f = 1.54 ⋅108 J Berechnung der Endgeschwindigkeit vf = vf = 2 KE f m ( Ionentriebwerk ) 2 1.54 ⋅108 J m = 806 474 kg s Erhöhung der Geschwindigkeit um mehr als 500 m/s Idee von Werner von Braun übernommen 15 Arbeitsaufwand allgemeine Form in 1D ΔW j = F j ,avg Δx Verrichtete Arbeit ist das Integral unter Fläche, wenn man den Kraftaufwand gegen den Weg aufträgt. Das kommt auch von den Einheiten hin Kraft mal Weg (1 Nm=1 J) W = ∑ W j = ∑ F j ,avg Δx j j Wie viel ist ein Joule eigentlich ??? Traktor zieht Jauchewagen. Nach 500 m ist der Jauchetank leer FTraktor 10 kN W = lim ∑ F j ,avg Δx Δx → 0 j 8 kN 2 kN 500 m s F(si)=10 kN linear F(sf)=2 kN 500 m xf W = ∫ F ( x)dx xi 1 W = Fs s = 2 kN ⋅ 500 m + 8 kN ⋅ 500m = 2 MJ 2 irgendwie ist Joule eine ziemlich kleine Einheit 16 Arbeitsaufwand allgemeine Form in 3D orthogonale Einheitsvektoren r F = Fx ex + Fy e y + Fz ez infinitesimale Ortsverschiebung v dr = dx x ⋅ ex + dy ⋅ e y + dz ⋅ ez Zuwachs an Arbeit bei der Ortsveränderung v r dW = Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz dz Aufsummierte (integrierte) Arbeit W =∫ r2 r1 v r x2 y2 z2 dW = Fdr = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz x1 y1 z1 In einer Dimension reduziert sich die Formel auf einen der Terme Den rechnen wir einfach mal aus ! 17 Arbeit-Kinetische Energie Theorem Notwendige Arbeit ausrechnen xf xf xf xi xi xi W = ∫ dW = ∫ F ( x)dx = ∫ ma dx diesen Term umschreiben, Ziel: in Abhängigkeit nur von Geschwindigkeit ma dx = m mathematischer Trick ergänzen 1= dx dx dv dx dt dv dv dx dv dx dv = = = v dt dt dx dx dt dx ma dx = m dv v dx = mv dv dx viola Ergebnis einsetzen vf vf vi vi W = ∫ mv dv = m ∫ v dv = W = KE f − KEi = ΔKE 1 2 1 2 mv f − mv i 2 2 Arbeit entspricht der Änderung der kinetischen Energie des Systems Arbeit-Energie Theorem Die Einheiten sind deshalb identisch [J] Dies gilt auch für alle anderen Energieformen! 18 Energieform Potentielle Energie Potentielle Energie (PE) ist die Energie, die mit der Position, der Anordnung oder der Umgebung des Körpers oder der Körper zu tun hat. In der Mechanik wird die potentielle Energie z.B. durch die Gravitationskraft bestimmt Gravitationsenergie PE = mgh y2 PE = mgy h WH = FH d cos 0° WH = mg ( y2 − y1 ) = PE2 − PE1 = ΔPE WH = mgh = mg ( y2 − y1 ) WG = − mg ( y2 − y1 ) = −(PE2 − PE1 ) = −ΔPE y1 FH FG WG = FG d cos180° WG = − mgh = − mg ( y2 − y1 ) Gravitationsenergie ist das Produkt aus der Masse eines Körpers mal der vertikalen Höhe (in Bezug auf ein Referenzniveau!) Wichtig ist nicht der Wert der potentiellen Energie, sondern die tatsächliche Änderung. Die steht in direktem Bezug zur verrichteten Arbeit und kann gemessen werden 19 Flaschenzug eine Rolle potentielle Energie PE1R = mgh W1R = Fh zwei Rollen N Rollen potentielle Energie PE2 R = mg geleistete Arbeit W2 R = F potentielle Energie h 2 PEnR = mg h 2 WnR = F geleistete Arbeit h n h n geleistete Arbeit h m h h h/2 m bewegt man das Seil im System mit einer Rolle, lenkt man eine Kraft nur um bewegt man das Seil im System mit 2 Rollen um die Länge h, wird die Masse um h/2 angehoben bewegt man das Seil im System mit n Rollen um die Länge h, wird die Masse um h/n angehoben Bei n Rollen wird das Gewicht nur um 1/n des Weges gehoben, d,h, nur ein 1/n der Kraft ist notwendig! Reale Bedingungen: Reibung ! 20 Energieform Elastische Energie Eine Spiralfeder kann Energie (elastische potentielle Energie EE) und Arbeit verrichten, wenn sich die Feder entspannt Robert Hooke (1635-1702) Kraftgleichung für eine Feder FS = kx Hooksches Gesetz Spiralfeder entspannt gilt nur für eine geringe Auslenkung der Feder Spiralfeder wird durch äußere Kraft gedehnt. Feder zieht zurück mit der Kraft FS=-kx Spiralfeder wird durch äußere Kraft zusammengedrückt. Feder drückt mit der Kraft FS=kx Federkraft ist nicht konstant sondern ändert sich, wenn man weiter auslenkt. Die verrichtete Arbeit ist deshalb nicht Kraft mal Weg! FS Rücktreibende Kraft immer der äußeren Kraft entgegengesetzt xf x 21 Potentielle (elastische) Energie einer Feder Integration der Kraft entlang des Weges F Integration der Kraft entlang des Weges FS = kx 0 WS = ∫ kx dx 0 x kx Fläche xf WS = ∫ FS dx xf Steigung k FS = xf mittlere Federkraft 1 kx f 2 f 1 WS = kx ² 2 0 1 1 kx ² − k 0² 2 2 1 WS = kx ² 2 WS = x WS = PE = EE = Aufzuwendende Arbeit 1 kx ² 2 Potentielle (elastische) Energie einer Feder ist proportional zum Quadrat der Auslenkung 22 Worst case, aber sicher! Welche Federkonstante muss die Feder haben, damit der Fahrstuhl mit einer konstanten Reibungskraft von 17 000 Newton abgebremst wird? Energiebilanz KEi + PEi + WR = KE f + PE f 2 1 1 ⎛ m⎞ KEi = mv i2 = (2 000 kg )⎜ 4 ⎟ = 16 000 J 2 2 ⎝ s⎠ KE f = 0 J Kinetische Energie des Fahrstuhls Arbeit durch Reibungskraft WR = (17 000 N ) ⋅ (− 2 m ) = −34 000 J Berechne Federkonstante k= Festsetzung des Nullpunkts y=0 bei Punkt 1 y=-2 m bei Punkt 2 2(KEi + WR − mgy f ) Potentielle Energie der 1 PE f = mgh + ky 2 Feder am Stopppunkt 2 elastisch +Gravitation m⎞ 1 ⎛ PE f = (2 000 kg )⎜ 9.81 2 ⎟(− 2 m ) + ky 2 s ⎠ 2 ⎝ 1 PE f = 39 240 J + ky 2 2 y 2f 2(16 000 J − (34 000 J ) − (− 39 240 J )) (− 2 m )2 N k = 10 620 Designwert der Federkonstanten m k= 23 Worst case, aber sicher! Halt! Moment mal! Kinetische Energie des Fahrstuhls KEi = 16 000 J gespeicherte elastische Energie 1 2 1 N 2 ky f = 10 620 (− 2 m ) 2 2 m EE f = 21 240 J EE f = Mehr elastische Energie ist in der Feder gespeichert, als zu Beginn zur Verfügung stand ! Wo kommt die zusätzliche Energie her? Antwort Aus Abgabe von potentieller Energie in Höhe von mgy= -39 240 J Energiebilanz berechnet aus elastischer Energie und potentieller Energie 21240 J + (− 39240 J ) − 18 000 J Energiebilanz berechnet aus kinetischer Energie und Reibungsverlusten Energiebilanz stimmt ! 16 000 J − 34 000 J − 18 000 J Noch eine Frage: Rückstellkraft der Feder Was passiert nach dem abbremsen? N⎞ ⎛ Ohne Reibung bewegt sich der Fahrstuhl wieder nach oben FF = ky = ⎜10 620 ⎟(− 2 m ) = −21 240 N m⎠ ⎝ Gravitationskraft m⎞ ⎛ Fg = mg = (2000 kg )⎜ 9.81 2 ⎟ = 19 620 N s ⎠ ⎝ 24 Nicht abgeschlossene Systeme Gitarrensaite wird gespannt, d.h. Saite hat potentielle Energie gespeichert. Gitarrensaite wird losgelassen d.h. potentielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt wobei ein Teil der Energie in Schallenergie (Verluste) umgewandelt wird. Dieser Vorgang wiederholt sich viele Male. Die Lautstärke des Tons verringert sich. Beispiel für ein nicht geschlossenes System konservative Kräfte Gravitation Elastische Kräfte Elektrische Kräfte nicht-konservative Kräfte Reibung Luftwiderstand Zugkräfte Motoren Raketen Reibung zwischen Kiste und Boden bewirkt, dass die verrichtete Arbeit entlang der beiden Wege unterschiedlich ist 25 Waco Crush, Texas 1896 Abstand der beiden Lokomotiven: 6.4 km Anfangsbedingungen Masse: 122 000 kg x − x0 = 3200 m v0 = 0 Beschleunigung: 0.26 m/s vgl. 1D KInematik v² = v 02 + 2a ( x − x0 ) Geschwindigkeit beim Zusammenprall v = 40.79 m/s v = 2a ( x − x0 ) v = 2 ⋅ 0.26 m/s² ⋅ 3200 m ⎛1 ⎞ E kin = 2⎜ mv² ⎟ ⎝2 ⎠ Faktor 2 da zwei Loks E kin = 1.22 ⋅105 kg ⋅ (40.79m/s ) 2 E kin = 2.03 ⋅108 J (~ 50 kg TNT) zum Vergleich 1 t TNT = 4.184 ⋅109 J 26 Paul Anderson 1957 Umrechnung 1 kg = 2.2 lb 6270 lb= 2850 kg 28000 N 1957 Umrechnung 1 lb = 0.4536 g 6270 pounds back lift (1 cm) (1957) geleistete Arbeit der Gravitationskraft Arbeit die Paul Anderson aufwenden muss um die Last zu heben Wg = mgh cos Θ WPA = mgh cos Θ Wg = 28000 N ⋅ 0.01 m ⋅ cos180° WPA = 28000 N ⋅ 0.01 m ⋅ cos0° Wg = −280 J WPA = 280 J = −Wg 27 Wo wird welche Energiemenge freigesetzt? Primärenergieverbrauch Deutschland 2006 Big Bang Supernova Wasserstofffusionsenergie im Ozean Große Fusionsbombe 1 kg Wasserstoff (Fusion) 1 kg Uran (Spaltung) Hiroshima-Atombombe 90 kt Flugzeugträger (v=30 Knoten) täglicher Bedarf eines Erwachsenen Auto 1000kg bei 90 km/h 1 Gramm Fett (9.3 kcal) 1.0x1068 J 1.0x1044 J 1.0x1034 J 3.9x1016 J 6.4x1014 J 8.0x1013 J 4.2x1013 J 1.1x1011 J 1.2x1007 J 3.1x1005 J 3.9x1004 J Umrechnung Steinkohleeinheit SKE in Joule 1 SKT = 3 ⋅1010 J 1 J = 3.41 ⋅10 −11 J 28 Energieverbrauch Abnehmen durch Gartenarbeit Umrechnung Kilokalorien (kcal) in Joule 1 kcal = 0.2388 kJ 1 kJ = 4.188 kcal Aufgabe am Wochenende 200 m² Rasen mähen F = 75 N Θ = 35° Grundstücksgröße 500 m² Haus 100 m² Garage und Carport 50 m² Messerbreite 0.5 m s = 600 m 29 Energieverbrauch Abnehmen durch Gartenarbeit Umrechnung Kilokalorien (kcal) in Joule 1 kcal = 0.2388 kJ 1 kJ = 4.188 kcal Aufgabe am Wochenende 200 m² Rasen mähen F = 75 N Grundstücksgröße 500 m² Haus 100 m² Garage und Carport 50 m² Θ = 35° Messerbreite 0.5 m s = 600 m W = Fs cos Θ W = 75 N ⋅ 600 m ⋅ cos35° W = 36.9 ⋅103 J = 8.8 kcal Tagesverbrauch eines Menschen etwa 2500 kcal Wrel = 3.52 ⋅10 −3 Weniger als 10% unser täglichen Energieaufnahme wird in Arbeit umgesetzt. Der Hauptteil von über 90 % wird dazu verwendet die Körpertemperatur zu halten oder wird in Fett gespeichert 30 Energieverbrauch man muss wohl ergänzen in einer Stunde, siehe auch die Einheit 31 Sie können Hans-Olaf Henkel auch eine E-Mail schicken: [email protected] BILD-Kommentar Ein Teufelskreis von Nehmen und Geben Von HANS-OLAF HENKEL Immer mehr Deutsche liegen immer wenigeren auf der Tasche. Das ist eine deprimierende Nachricht, denn dadurch verlieren beide, Nehmer und Geber. 16.08.2006 Die steigende Anzahl von Leistungsempfängern verliert den Ehrgeiz, selbst etwas zu schaffen, eigene Fähigkeiten zu entwickeln, noch schlimmer: Das Selbstbewusstsein geht dahin. Schon heute leben über 41 Prozent der Deutschen von der Unterstützung ihrer Landsleute. Eine schrumpfende Zahl von Leistungsträgern verliert irgendwann die Lust angesichts dauernd steigender Steuern und Abgaben. 145 000 junge, leistungsbereite Deutsche sind im letzten Jahr ausgewandert, mehr als in jedem Jahr seit 1950. Da bei uns immer mehr von Transfer-Leistungen leben, verbünden sich viele Politiker mit ihnen – zu Lasten derjenigen, die ihren Lebensunterhalt selbst verdienen. Ein Teufelskreis entsteht. Nur mit mutigen Reformen kann dieser durchbrochen werden: Mehr Selbstverantwortung, weniger Vater Staat, und vor allem: Leistung muss sich wieder lohnen. 32 Leistung Leistung ist definiert als die Rate mit der Arbeit verrichtet wird oder als Rate mit der Energie in eine andere Energieform transformiert wird mittlere Leistung Pavg = instantane Leistung P = W = Pavg Δt 1 kWh = 103 W ⋅ 3600 s 1 kWh = 3.6 ⋅10 6 J = 3.6 MJ W Δt dx dW = F cos Θ dt dt P = Fv cos Θ vr P = Fv P = dW dt instantane Leistung SI Einheit [1 Watt] 1W =1 J s 1 W = 0.738 ft 1 PS = 550 ft Beispiel Jogger (70 kg) Δt = 9 s lb s lb = 746 W s Leistung ist die Rate, die erbracht wird, wenn eine Kraft wirkt Δh = 10 m P= W mgh = = Δt Δt (70 kg )⎛⎜ 9.81 m ⎞⎟10 m ⎝ s² ⎠ 9s = 763 W 33 Zeitfaktor 34 Leistungsträger Ergebnis des Feldversuchs 2007 WSt = FSt d 200 N ⋅ 5 m = = 250W Δt 4s Ergebnis des Feldversuchs 2008 WSt = FSt d 225 N ⋅ 5 m = = 375W Δt 3s 35 Mit dem VW Golf über das Penser Joch P = Fv ↓ v= Gewicht 1000 kg Leistung 75 PS P F Reibungskoeffizient Gummi - Beton μ R = 0.01 FR = μ R FN = μ R mg cos Θ m⎞ ⎛ = (0.01)(1000 kg )⎜ 9.81 ⎟ cos10° s² ⎠ ⎝ = 97 N Fg = mg sin Θ Fres = Fg + FR Penzer Joch km 3 bis km 15 etwa 10% Steigung im Mittel Reibung = 1700 N + 97 N ~ 1800 N m⎞ ⎛ = (1000 kg )⎜ 9.81 ⎟ sin 10° s² ⎠ ⎝ = 1700 N (75 PS)⎛⎜ 746 W ⎞⎟ P PS ⎠ ⎝ = 1800 N F m⎛ km ⎞ = 31 ⎜ = 111 ⎟ s ⎝ h ⎠ v= Dimensionskontrolle ⎡ W ⎤ ⎡ J 1 ⎤ ⎡ Nm 1 ⎤ ⎡ m ⎤ ⎢⎣ N ⎥⎦ = ⎢⎣ s N ⎥⎦ = ⎢⎣ s N ⎥⎦ = ⎢⎣ s ⎥⎦ 36
