m g h gesamtenergie
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y Ph i r nt Uh e ev e 20 r ltu eut u K dh n ta s in e er k i s m u a M 07a Arbeit, Energie, Leistung 1 Arbeit Arbeit verrichtet durch eine (in Größe und Richtung) konstante Kraft z.B. Schwerkraft Definition: Arbeit ist das Produkt aus Größe der Verschiebung multipliziert mit der Komponente der Kraft entlang der Verschiebung W = F|| d Arbeit ist eine skalare Größe W = Fd cos Θ Θ = 0° → cos Θ = 1 ⇒ W = Fd Θ → 90° → cos Θ → 0 ⇒ W → 0 Einheit der physikalischen Größe Arbeit Einheit Nm = J (Joule) James Joule (1818-1889) 2 Aufwand aber keine Arbeit 1 Fall Bergsteiger steht still für ein Photo. Kraft muss aufgewendet werden in der Größenordnung des Gewichts des Rucksacks aber Verschiebung d=0, d.h Arbeit W=0 F d 2 Fall Bergsteiger geht parallel zum Berg mit konstanter Geschwindigkeit. Kraft muss wieder aufgewendet werden, um den Rucksack auf der Höhe zu halten. Verschiebung d>0, aber Θ=90°, d.h. cosΘ=0 wieder ist die Arbeit W=FdcosΘ=0 Es ist wichtig zu spezifizieren, ob sich die Arbeit als Ursache der Wirkung einer bestimmten Kraft auf ein Objekt oder in Bezug auf die Wirkung der resultierenden Kraft auf das Objekt bezieht. 3 Arbeit an einem Rucksack Rahmenbedingungen Rucksack m=10kg Höhenunterschied h=8m Wegstrecke d=15m Winkel Θ=58° Θ FH d 180°−Θ 180°−Θ Fg vereinfachende Annahmen konstante Schwerebeschleunigung gleichmäßige Geschwindigkeit, d.h. keine Beschleunigung Θ h Arbeit, die der Bergsteiger verrichten muss Vertikale Komponenten (Newton 3) Arbeit, die die Gravitationskraft verrichten muss FH − FG = 0 4 Arbeit an einem Rucksack Rahmenbedingungen Rucksack m=10kg Höhenunterschied h=8m Wegstrecke d=15m Winkel Θ=58° Θ FH d 180°−Θ 180°−Θ Fg vereinfachende Annahmen konstante Schwerebeschleunigung gleichmäßige Geschwindigkeit, d.h. keine Beschleunigung Θ h Arbeit, die der Bergsteiger verrichten muss FH − FG = 0 m = 98 N s² WH = FH d cos Θ = FH h Vertikale Komponenten (Newton 3) Arbeit, die die Gravitationskraft verrichten muss WG = FH d cos(180° − Θ ) da (180° − Θ ) = −Θ WG = − FH d cos Θ FH = mg = 10kg ⋅ 9.8 Winkel spielt keine Rolle WH = mgh = 784 J Gravitationskraft wirkt nur vertikal WG = −mgh = −784 J Auch die Arbeit, die von der Gravitationskraft verrichtet wird, hängt nur vom Höhenunterschied ab, nicht vom Winkel WH = 98 N ⋅ 8.0 m = 784 Nm = 784 J Wres = WH + WG = 784 J − 784 J = 0.0 J 5 Verrichtet die Gravitationskraft der Erde Arbeit am Mond? W = Fd cos Θ v FG da Θ=90 folgt cos Θ=0 d.h. heißt es wird keine Arbeit durch die Schwerkraft der Erde verrichtet W=0 6 Arbeit bei veränderlichen Kräften Beispiele A) Rakete: Arbeit ist notwendig um das Schwerefeld der Erde zu verlassen. Betrag der Schwerkraft hängt vom Abstand zur Erdoberfläche ab B) Feder: Die Rückstellkraft hängt von der Dehnung der Feder ab C) Bewegung einer Kiste über einen unebenen Boden ändern sich die Reibungskräfte parallele Komponente der Kraft s1 s2 Abstand 7 Arbeit-Energie Prinzip Simple Definition Energie ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten Bewegte Objekte können Arbeit an anderen Objekten verrichten z.B. Hammer auf Nagel: (stimmt allerdings nicht allgemein, z.B. Wärmeenergie) Die Energie der Bewegung nennt man Kinetische Energie v1 griechisch: kinetikos v2 Fres Fres d Wres = Fres d 8 Arbeit-Energie Prinzip Simple Definition Energie ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten Bewegte Objekte können Arbeit an anderen Objekten verrichten z.B. Hammer auf Nagel: (stimmt allerdings nicht allgemein, z.B. Wärmeenergie) Die Energie der Bewegung nennt man Kinetische Energie v1 griechisch: kinetikos v2 Fres d Wres = Fres d Wres = (ma )d Wres Wres Fres Ergebnis aus Kinematik ⎛v −v ⎞ ⎟⎟d = m⎜⎜ d 2 ⎝ ⎠ 1 1 = mv 22 − mv12 2 2 2 2 2 1 v 2 = v 02 + 2a (x − x0 ) v 2 − v 02 a= 2( x − x0 ) 1 KE = mv 2 2 Definition der translatorischen kinetischen Energie hier hergeleitet für 1D Bewegungen Wres = KE1 − KE2 = ΔKE Die resultierende Arbeit an einem Objekt ist gleich der Änderung seiner kinetischen Energie Vorsicht: Gilt nur für die resultierende Kraft! vgl. Newton 2: Summe aller angreifenden Kräfte 9 Arbeit-Energie Prinzip v=v1 v=0 Wres = Fres d cos(− 180°) Wres = − Fd FR 1 ΔKE = 0 − mv 2 2 d ≈ v2 d v2=2*v1 FR v=0 d2=4*d1 Bremsweg vervierfacht sich bei Verdopplung der Geschwindigkeit 10 Potentielle Energie Potentielle Energie (PE) ist die Energie, die mit der Position, der Anordnung oder der Umgebung des Körpers oder der Körper zu tun hat. In der Mechanik wird die potentielle Energie z.B. durch die Gravitationskraft bestimmt Gravitationsenergie PE = mgh y2 PE = mgy h WH = FH d cos 0° WH = mg ( y2 − y1 ) = PE2 − PE1 = ΔPE WH = mgh = mg ( y2 − y1 ) WG = − mg ( y2 − y1 ) = −(PE2 − PE1 ) = −ΔPE y1 FH FG WG = FG d cos180° WG = − mgh = − mg ( y2 − y1 ) Gravitationsenergie ist das Produkt aus der Masse eines Körpers mal der vertikalen Höhe (in Bezug auf ein Referenzniveau!) Wichtig ist nicht der Wert der potentiellen Energie, sondern die tatsächliche Änderung. Die steht in direktem Bezug zur verrichteten Arbeit und kann gemessen werden 11 Arbeitsaufwand allgemeine Form in 1D ΔW j = F j ,avg Δx Verrichtete Arbeit ist das Integral unter Fläche, wenn man den Kraftaufwand gegen den Weg aufträgt. Das kommt auch von den Einheiten hin Kraft mal Weg (1 Nm=1 J) W = ∑ W j = ∑ F j ,avg Δx j j Wie viel ist ein Joule eigentlich ??? Traktor zieht Jauchewagen. Nach 500 m ist der Jauchetank leer FTraktor 10 kN W = lim ∑ F j ,avg Δx Δx → 0 j 2 kN 500 m s F(si)=10 kN linear F(sf)=2 kN 500 m xf W = ∫ F ( x)dx xi 1 W = Fs s = 2 kN ⋅ 500 m + 8 kN ⋅ 500m = 2 MJ 2 irgendwie ist Joule eine ziemlich kleine Einheit 12 Elastische Materialien Eine Spiralfeder kann Energie (elastische potentielle Energie ES und Arbeit verrichten, wenn sich die Feder entspannt Kraftgleichung für eine Feder FS = kx Hooksches Gesetz Robert Hooke (1635-1702) gilt nur für eine geringe Auslenkung der Feder Spiralfeder entspannt Spiralfeder wird durch äußere Kraft gedehnt. Feder zieht zurück mit der Kraft FS=-kx Spiralfeder wird durch äußere Kraft zusammengedrückt. Feder drückt mit der Kraft FS=kx Federkraft ist nicht konstant sondern ändert sich, wenn man weiter auslenkt. Die verrichtete Arbeit ist deshalb nicht Kraft mal Weg! FS Rücktreibende Kraft immer der externen Kraft entgegengesetzt xf x 13 Potentielle Energie einer Feder Integration der Kraft entlang des Weges xf F WS = ∫ FS dx 0 FS = kx xf WS = ∫ kx dx Steigung k 0 x kx Fläche FS = xf mittlere Federkraft 1 kx f 2 f 1 WS = kx ² 2 0 1 1 kx ² − k 0² 2 2 1 WS = kx ² 2 WS = x 1 WS = PE = kx ² 2 Potentielle Energie einer Feder ist proportional zum Quadrat der Auslenkung 14 Nicht abgeschlossene Systeme Gitarrensaite wird gespannt, d.h. Saite hat potentielle Energie gespeichert. Gitarrensaite wird losgelassen d.h. potentielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt wobei ein Teil der Energie in Schallenergie (Verluste) umgewandelt wird. Dieser Vorgang wiederholt sich viele Male. Die Lautstärke des Tons verringert sich. Beispiel für ein nicht geschlossenes System Konservative Kräfte Gravitation Elatische Kräfte Elektrische Kräfte nicht-konservative Kräfte Reibung Luftwiderstand Zugkräfte Motoren Raketen Reibung zwischen Kiste und Boden bewirkt, dass die verrichtete Arbeit entlang der beiden Wege unterschiedlich ist 15 Arbeitsaufwand allgemeine Form in 3D orthogonale Einheitsvektoren r F = Fx iˆ + Fx ˆj + Fx kˆ infinitesimale Ortsverschiebung v dr = dx x ⋅ iˆ + dy ⋅ ˆj + dz ⋅ kˆ Zuwachs an Arbeit bei der Ortsveränderung v r dW = Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz dz Aufsummierte (integrierte) Arbeit W =∫ r2 r1 v r x2 y2 z2 dW = Fdr = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz x1 y1 z1 In einer Dimension reduziert sich die Formel auf einen Term 16 Arbeit-Kinetische Energie Theorem xf xf xf xi xi xi W = ∫ dW = ∫ F ( x)dx = ∫ ma dx ma dx = m ergänzen 1= dx dx dv dx dt d dv dx dv v= = v dt dx dt dx ma dx = m vf vf vi vi W = ∫ mv dv = m ∫ v dv = dv vdx = mv dv dx 1 2 1 2 mv f − mv i 2 2 W = KE f − KEi = ΔKE Arbeit entspricht der Änderung der Arbeit-Energie Theorem kinetischen Energie des Systems Die Einheiten sind deshalb identisch [J] 17 Waco Crush, Texas 1896 Abstand der Lokomotiven beim Start 6.4 km v0 = 0 Gewicht: 122000 kg x − x0 = 3200 m Beschleunigung: 0.26 m/s vgl. 1D KInematik 2 0 v² = v + 2a ( x − x0 ) v = 40.79 m/s v = 2a ( x − x0 ) v = 2 ⋅ 0.26 m/s² ⋅ 3200 m ⎞ ⎛1 E kin = 2⎜ mv² ⎟ ⎝2 ⎠ v = 2 ⋅ 0.23 m/s² ⋅ 3200 m E kin = 1.22 ⋅105 kg ⋅ (40.79m/s ) 2 E kin = 2.03 ⋅108 J (~ 50 kg TNT) zum Vergleich 1 t TNT = 4.184 ⋅109 J 18 Paul Anderson 1957 Umrechnung 1 kg = 2.2 lb 6270 lb= 2850 kg 28000 N 1957 Umrechnung 1 lb = 453,6 g 6270 pounds back lift (1 cm) (1957) Arbeit der Gravitationskraft Arbeit die Paul Anderson aufwenden muss um die Last zu heben Wg = mgh cos Θ WPA = mgh cos Θ Wg = 28000 N ⋅ 0.01 m ⋅ cos180° WPA = 28000 N ⋅ 0.01 m ⋅ cos0° Wg = −280 J WPA = 280 J = −Wg 19 Wo Energiemenge wird welche freigesetzt? Primärenergieverbrauch Deutschland 2006 Big Bang Supernova Wasserstofffusionsenergie im Ozean Große Fusionsbombe 1 kg Wasserstoff (Fusion) 1 kg Uran (Spaltung) Hiroshima-Atombombe 90 kt Flugzeugträger (v=30 Knoten) täglicher Bedarf eines Erwachsenen Auto 1000kg bei 90 km/h 1 Gramm Fett (9.3 kcal) 1.0x1068 J 1.0x1044 J 1.0x1034 J 3.9x1016 J 6.4x1014 J 8.0x1013 J 4.2x1013 J 1.1x1011 J 1.2x1007 J 3.1x1005 J 3.9x1004 J Umrechnung Steinkohleeinheit SKE in Joule 1 SKT = 3 ⋅1010 J 1 J = 3.41 ⋅10 −11 J 20 Energieverbrauch Umrechnung Kilokalorien (kcal) in Joule 1 kcal = 0.2388 kJ 1 kJ = 4.188 kcal Aufgabe am Wochenende 200 m² Rasen mähen F = 75 N Θ = 35° Grundstücksgröße 500 m² Haus 100 m² Garage und Carport 50 m² Messerbreite 0.5 m s = 600 m 21 Energieverbrauch Umrechnung Kilokalorien (kcal) in Joule 1 kcal = 0.2388 kJ 1 kJ = 4.188 kcal Aufgabe am Wochenende 200 m² Rasen mähen F = 75 N Θ = 35° Grundstücksgröße 500 m² Haus 100 m² Garage und Carport 50 m² Messerbreite 0.5 m s = 600 m W = Fs cos Θ W = 75 N ⋅ 600 m ⋅ cos35° W = 36.9 ⋅103 J = 8.8 kcal Tagesverbrauch eines Menschen etwa 2500 kcal Wrel = 3.52 ⋅10 −3 Weniger als 10% unser täglichen Energieaufnahme wird in Arbeit umgesetzt. Der Hauptteil von über 90 % wird dazu verwendet die Körpertemperatur zu halten oder wird in Fett gespeichert 22 Energieverbrauch 23 Sie können Hans-Olaf Henkel auch eine E-Mail schicken: [email protected] BILD-Kommentar Ein Teufelskreis von Nehmen und Geben Von HANS-OLAF HENKEL Immer mehr Deutsche liegen immer wenigeren auf der Tasche. Das ist eine deprimierende Nachricht, denn dadurch verlieren beide, Nehmer und Geber. 16.08.2006 Die steigende Anzahl von Leistungsempfängern verliert den Ehrgeiz, selbst etwas zu schaffen, eigene Fähigkeiten zu entwickeln, noch schlimmer: Das Selbstbewusstsein geht dahin. Schon heute leben über 41 Prozent der Deutschen von der Unterstützung ihrer Landsleute. Eine schrumpfende Zahl von Leistungsträgern verliert irgendwann die Lust angesichts dauernd steigender Steuern und Abgaben. 145 000 junge, leistungsbereite Deutsche sind im letzten Jahr ausgewandert, mehr als in jedem Jahr seit 1950. Da bei uns immer mehr von Transfer-Leistungen leben, verbünden sich viele Politiker mit ihnen – zu Lasten derjenigen, die ihren Lebensunterhalt selbst verdienen. Ein Teufelskreis entsteht. Nur mit mutigen Reformen kann dieser durchbrochen werden: Mehr Selbstverantwortung, weniger Vater Staat, und vor allem: Leistung muss sich wieder lohnen. 24 Leistung Leistung ist definiert als die Rate mit der Arbeit verrichtet wird oder als Rate mit der Energie transformiert wird mittlere Leistung Pavg = instantane Leistung P = W = Pavg Δt 1 kWh = 103 W ⋅ 3600 s 1 kWh = 3.6 ⋅10 6 J = 3.6 MJ W Δt dx dW = F cos Θ dt dt P = Fv cos Θ vr P = Fv P = dW dt instantane Leistung SI Einheit [1 Watt] 1W =1 J s lb 1 W = 0.738 ft s lb 1 PS = 550 ft = 746 W s Beispiel Jogger (70 kg) Δt = 9 s Leistung ist die Rate, die erbracht wird, wenn eine Kraft wirkt Δh = 10 m P= W mgh = = Δt Δt (70 kg )⎛⎜ 9.81 m ⎞⎟10 m ⎝ s² ⎠ 9s = 763 W 25 Leistungsträger Ergebnis des Feldversuchs 2007 WSt = FSt d 200 N ⋅ 5 m = = 250W Δt 4s 26 Mit dem VW Golf über das Penser Joch P = Fv ↓ v= Gewicht 1000 kg Leistung 75 PS P F Reibungskoeffizient Gummi - Beton μ R = 0.01 FR = μ R FN = μ R mg cos Θ m⎞ ⎛ = (0.01)(1000 kg )⎜ 9.81 ⎟ cos10° s² ⎠ ⎝ = 97 N Fg = mg sin Θ Fres = Fg + FR Penzer Joch km 3 bis km 15 etwa 10% Steigung im Mittel Reibung = 1700 N + 97 N ~ 1800 N m⎞ ⎛ = (1000 kg )⎜ 9.81 ⎟ sin 10° s² ⎠ ⎝ = 1700 N (75 PS)⎛⎜ 746 W ⎞⎟ P PS ⎠ ⎝ = F 1800 N m⎛ km ⎞ = 31 ⎜ = 111 ⎟ s ⎝ h ⎠ v= Dimensionskontrolle ⎡ W ⎤ ⎡ J 1 ⎤ ⎡ Nm 1 ⎤ ⎡ m ⎤ ⎢⎣ N ⎥⎦ = ⎢⎣ s N ⎥⎦ = ⎢⎣ s N ⎥⎦ = ⎢⎣ s ⎥⎦ 27 Leistungswerte Geiseltierchen Glühlampe (Lichtausbeute) Glühlampe (Elektrische Leistung) 100 fW 1-5 W 25-100W Menschliche Arbeitskraft 8h 100 W Pferd (8h) 300 W Eddie Mercks (1h) 500 W Pferdestärke (1 PS) (J. Watt: 1.5*500 W) 746 W Motorrad Kraftwerk 100 kW 0.1-6 GW Weltweite Energieproduktion im 2000 450 GW Einstrahlung der Sonne auf die Erde 0.17 EW Thermische Einstrahlung aus dem Erdinnern Stärkstes Lasersystem Leistungsabgabe der Sonne Maximale Leistung in der Natur 32 TW 1 PW 384.6 YW 9.1x1051 W 28 Konservative und nichtkonservative Kräfte vgl. offene und abgeschlossene Systeme Die notwendige Arbeit um einen Körper gegen die Schwerkraft von A nach B zu bewegen hängt nicht vom gewählten Weg ab, d.h. vertikal oder über eine schiefe Ebene oder eines anderen beliebigen Weges. Ähnliches gilt auch für eine Spiralfeder. Man nennt solche Kräfte konservativ Die Reibungskraft ist immer entgegensetzt der angreifenden Kraft. Bei der Bewegung wird thermische Energie freigesetzt. Dies sind nichtkonservative Kräfte Beispiele für Konservative Kräfte Gravitationskräfte Elastizitätkräfte Elektrische Kräfte Beispiele für Nichtkonservative Kräfte Reibung Luftwiderstand Raketenantrieb 29 Konservative Kräfte ∫ B Weg1 A r r Fds = ∫ B Weg 2 A r r Fds B Weg 1 Physikalisch entspricht Arbeit nicht unbedingt der Erfahrung im Alltag Weg 2 A Weg 3 Mathematisch: Das Integral entlang eines geschlossenen Weges verschwindet. Durch mehrmaliges Durchlaufen des Weges ist es nicht möglich Energie zu gewinnen! 30 Verallgemeinertes Arbeit-Energie Prinzip Betrachte translatorische Bewegung Wres = WC + WNC WNC = 0 Wres = KE2 − KE1 = ΔKE WC + WNC = ΔKE ΔKE + ΔPE = 0 (KE2 − KE1 ) + (PE2 − PE1 ) = 0 (KE2 + PE2 ) − (KE1 + PE1 ) = 0 Definition WNC = ΔKE − WC E = KE + PE Totale mechanische Energie des Systems WC = −ΔPE WNC = ΔKE + ΔPE Spezialfall nur konservative Kräfte KE1 + PE1 = KE2 + PE2 Allgemeine Form des Arbeit-Energie Prinzips Die Arbeit WNC die durch nichtkonservative Kräfte auf einen Körper einwirken ist gleich der Summe aus totalen Änderungen aus kinetischer und potentieller Energie E1 = E2 = const. gilt nur für konservativen Kräfte Die totale Energie eines Systems bleibt erhalten, solange keine nichtkonservativen Kräfte wirken oder Wenn nur konservative Kräfte wirken, erhöht und erniedrigt sich die Gesamtenergie eines Systems nicht, egal welchen Prozess man betrachtet! Prinzip der mechanischen Energieerhaltung 31 Energieformen Lageenergie: Energie aufgrund der Position innerhalb des Gravitationsfeldes Kinetische Energie: Bewegungsenergie von Körpern und Teilchen Wärmeenergie: ungeordnete Bewegung von Atomen und Molekülen Elektrische Energie: Energie eines Körpers in einem elektrischen Feld Magnetische Energie: Energie eines Körpers in einem magnetischen Feld Chemische Energie: Energie gespeichert in Molekülbindungen Kernenergie: Energie durch Bindung der Nukleonen im Atomkern Fusionsenergie: Energie, die bei der Kernverschmelzung frei wird Die wohl berühmteste Energiegleichung E = mc ² In der Originalarbeit von Einstein stand es etwas anders „Gibt ein Körper die Energie L ab, so verkleinert sich seine Masse um L/c²“ Bei vollständiger Umwandlung der Masse in Energie Streichholzkopf (10mg)~9x1011 J 553 MW Das entspricht der Laufzeit von 0.5 h des Kohlekraftwerks Rostock Allgemeiner Energieerhaltungssatz Rostock In abgeschlossenen Systemen ist die Gesamtenergie konstant 32 Energiefluss Masse Fusion Kinetische Elektromagnetische Strahlung Chemische Energie Energie 33 Energietransfer Kuckucksuhr Gravitationsenergie ist in den Zapfen gespeichert. Wenn sich die Masse nach unten bewegt wird potentielle Energie verwendet, um die Uhr anzutreiben m PE = mgh = 0.5 kg ⋅ 9,81 ⋅ 0.5m = 2.45 J s² Der Fluss von Energie ist vergleichbar dem Transfer von Geld. Wenn Vermögen von einem Konto abgehoben wird, taucht es an anderer Stelle wieder auf. Erhaltung der Energie 34
