Vorlesungen: Übung:

5.7.2010
Theorie für Biophysik II
Vorlesungen:
Dienstag, 6.7.:
Wiederholung. Rotation und Drehimpuls.
Donnerstag, 8.7.: Orbitaler Drehimpuls und radiale Potentiale.
Übung:
Einzureichen am Übungstermin 10:00, 12.7.2010 in 46-387.
Alle Aufgaben sind gleich gewichtet.
11a.) Berechne das Skalarprodukt zwischen zwei beliebigen kohärenten
Zuständen α β eines Quantenoszillators. Wann sind zwei kohärente
Zustände orthogonal?
b) Welche Auf- und Absteigeoperatoren gibt es für den harmonischen Oszillator
in zwei Dimensionen? Was sind die Energieeigenwerte für den isotropen Fall
( ω x = ω y )? Was ist die jeweilige Entartung?
c) Drücke den Operator Lz = XPy − YPx mit Hilfe der Auf- und Absteigeoperatoren
von b) aus. Berechne [L z , H ] .
d) Finde geeignete Linearkombinationen von Eigenzuständen in den jeweiligen
entarteten Unterräumen von b) für die drei niedrigsten Energien, die
gleichzeitig Eigenzustände zu Lz sind, und bestimme die Eigenwerte lz.
e) Was sind alle möglichen normierten Eigenzustände für drei Bosonen bzw. drei
Fermionen, wenn nur die drei niedrigsten Einteilchenenergien in einem
eindimensionalen Oszillator besetzt werden?
Kontrollfragen
87.) Zeige, dass eine Gaussfunktion ψ 0 die Differentialgleichung für das harmonische Potential
erfüllt. Was gilt für die Energie? Zeige, dass a ∫ψ 0 ( x) x dx = 0 .
88.) Finde einen geeigneten Differentialoperatorausdruck für angeregte Wellenfunktionen
ψ n ( x) = x n des harmonischen Oszillators. Was versteht man unter Hermite-Polynomen?
89.) Beschreibe eine Auslenkung und Beschleunigung aus dem Grundzustand eines
Quantenoszillators mit Hilfe von Auf- und Absteigeoperatoren. Zeige dass der resultierende
Zustand als kohärenter Zustand
α = e− α
2
/ 2 αa †
e
0
geschrieben werden kann durch
geeignete Wahl von α.
90.) Zeige, dass der kohärente Zustand ein Eigenzustand vom Absteigeoperator a ist.
91.) Berechne die Zeitentwicklung eines kohärenten Zustands α = e
−α
2
/ 2 αa †
e
0 in einem
Quantenoszillator.
Berechne die Zeitentwicklung des entsprechenden Orts- und
Impulserwartungswertes.
92.) Berechne die Orts- und Impulserwartungswerte eines kohärenten Zustands.
93.) Was versteht man unter einem Produktzustand? Wann ist eine solche Konstruktion
sinnvoll/notwendig in der Quantenmechanik? Wann nennt man einen Zustand verschränkt?
94.) Was muss man bei einem Produktzustand von zwei identischen Teilchen beachten?
Warum?
95.) Was versteht man unter Bosonen und Fermionen? Stelle die jeweilige normierte Basis von
Produktzuständen für zwei Teilchen auf, für den Fall eines drei-dimensionalen
Einteilchenvektorraums. Wie viele Basiszustände gibt es jeweils bei einem N-dimensionalen
Einteilchenvektorraum?
96.) Erkläre das Konzept von Besetzungszahlen zur Beschreibung der Vielteilchenbasiszustände von Fermionen und Bosonen.
97.) Welchen Effekt hat eine Drehung um die z-Achse als unitäre Operatortransformation auf
die Orts- und Impulsoperatoren? Welche Kommutatorrelationen gelten dementsprechend für
den Drehimpuls?
98.) Wie sind die Auf- und Absteigeoperatoren für den Drehimpuls definiert? Zeige mit Hilfe
der Drehimpuls-Kommutatoren, dass sie den Drehimpuls ändern.
99.) Berechne [L2, Lz]. Was bedeutet dies?
100.) Beschreibe das Eigenwertproblem von L2 und Lz. Zeige, dass es einen höchsten und
niedrigesten Zustand von Lz geben muss.
101.) Leite einen Ausdruck für Normierung c+ her in der Gleichung L+ l, l z = c + l, l z + h .
102.) Beschreibe die Matrixdarstellung der orbitalen Drehimpulsoperatoren. Gib ein Beispiel.
103.) Was ist die Differentialgleichung für die Radialkomponente der Wellenfunktion im
Wasserstoffatom?
104.) Was sind ein Rydberg Ry und der Bohrsche Radius a0 in Elementarkonstanten bzw.
Einheiten?
Wie hängen im Allgemeinen in der Quantenmechanik Energie und
Lokalisierungslänge zusammen?
105.) Beschreibe das Spektrum und die zugehörigen Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms
(Quantenzahlen, Energieeigenwerte, Form der Wellenfunktionen).