Brechung und Linsen (BLI)

Brechung und Linsen (BLI)
Fakultät für Physik der Ludwig-Maximilians-Universität München – Grundpraktika
(5. APRIL 2017)
MOTIVATION UND VERSUCHSZIELE
Die geometrische Optik beschreibt die Ausbreitung des Lichts unter Vernachlässigung seiner Wellennatur, d.h. in Form von Lichtstrahlen. Voraussetzung für die Anwendung der geometrischen Optik
ist, dass die optischen Elemente (Linsen oder Spiegel) groß im Vergleich zur Wellenlänge des Lichts
sind. Dann ändern diese Elemente allein die Ausbreitungsrichtung des Lichts. Das grundlegende
Phänomen dabei ist das der Lichtbrechung, welches als erstes in diesem Versuch untersucht wird.
Linsen sind die Grundbausteine vieler optischer Instrumente, z.B. Lupe, Mikroskop oder Fotoapparat. Im Versuch wird die Brennweite von verschiedenen Linsen in Luft bestimmt, sowie die sphärische
Aberration und der Astigmatismus. Im letzten Teilversuch wird der Abbildungsvorgang in einem
optischen Wannenmodell des menschlichen Auges untersucht.
Teilversuche/Stichwortliste
1. Lichtwellen, Versuchsaufbau.
Licht als elektromagnetische, transversale Welle. Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und in einem Medium. Brechungsindex. Beschreibung der
Apparatur zur Messung von Lichtreflexion und
-brechung. Einfallslot, Reflexions- und Brechungsgesetz.
2. Optische Linsen, Abbildung I.
Hauptebene. Optische Achse, Brennpunkt, -weite
und -ebene. Bildkonstruktion bei Sammel- und
Zerstreuungslinse, reelles bzw. virtuelles Bild. Abbildungsmaßstab und -gleichung.
3. Abbildung II, sphärische Grenzfläche.
Verkleinerte und vergrößerte Abbildung, experimentelle Bestimmung der Brennweite, Messunsicherheit der Berennweite. Brechkraft: Definition,
Einheit, Gesamtbrechkraft eines Linsensystems.
Gln. (10), (11) ohne Herleitung: Brechkraft einer
sphärischen Fläche zwischen zwei Medien in Abhängigkeit vom Krümmungsradius. Brechkraft einer Linse zwischen zwei Medien.
4. Auge, Linsenfehler.
Optischer Aufbau des menschlichen Auges. Würde ohne die Augenlinse eine Abbildung zustandekommen? Augenmodell. Sphärische Aberration:
Entstehung (Skizze), experimentelle Bestimmung.
Astigmatismus: astigmatische Linse, Brennlinien
(Skizze), experimentelle Bestimmung, Korrektur.
I.
zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Ein Spezialfall einer solchen Welle ist in Abb. 1 dargestellt. Bei einer
elektromagnetischen Welle schwingt keine Materie, wie
bei Wasser- oder Schallwellen, weshalb elektromagnetische Wellen kein Medium zur Ausbreitung benötigen.
Licht von den Sternen gelangt auch durch das Vakuum
des Weltraums ungehindert zur Erde.
Allgemein gilt für jede Art von Wellen:
v =λ·f
(1)
v = Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, λ = Wellenlänge, f = Frequenz.
Speziell für eine elektromagnetische Welle ist f eine charakteristische Konstante, welche die Energie – die „Farbe“ des Lichtes – angibt. Für ein bestimmtes Wellenpaket, nämlich für ein Photon ist die Energie W = h · f,
wobei h das Planck’sche Wirkungsquantum ist.
Im Vakuum bewegt sich eine elektromagnetische Welle
unabhängig von f mit der Lichtgeschwindigkeit c0 ≈
3 · 108 m/s. Bewegt sich die Welle in einem Medium
fort, sind ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit v und ihre Wellenlänge λ jedoch abhängig vom Medium. Beschreibt man eine elektromagnetische Welle durch λ,
so geht man vom Ausbreitungsmedium Vakuum oder
Luft (c0 ≈ vLuft ) aus. Der sichtbare Wellenlängenbe-
PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
I.1.
Elektromagnetische Wellen
Licht ist eine elektromagnetische Welle. Eine solche Welle besteht aus einem elektrischen und einem magnetischen Wechselfeld gleicher Frequenz, die stets senkrecht aufeinander stehen. Elektromagnetische Wellen
sind transversal, d.h. die Felder stehen immer senkrecht
Abbildung 1: Der einfachste Spezialfall einer transversalen
~ bezeichnet das elekWelle ist die linear polarisierte Welle. E
~ das magnetische Analogon.
trische Feld und B
2
reich reicht etwa von 400 nm bis 800 nm (Abb. 2). Auch
die angrenzenden Bereiche werden als Licht bezeichnet.
Abbildung 2: Das Spektrum der elektromagnetischen Strahlung. Die Wellenlängen sind für die Ausbreitung der Strahlung im Vakuum angegeben.
Der Brechungsindex n eines Mediums x – auch Brechzahl genannt – ist definitionsgemäß das Verhältnis der
Ausbreitungsgeschwindigkeiten:
nx =
Ausbreitungsgeschw. im Vakuum
c0
.
=
Ausbreitungsgeschw. im Medium
vx
(2)
Brechungsindizes optischer Medien sind wellenlängenabhängig – für blaues Licht im Normalfall einige Prozent größer als für rotes. Man nennt dies Dispersion1 .
In der Refraktometrie (vgl. I.3) wird der Brechungsindex gemessen und analytisch ausgewertet. Der Ursprung des Namens „Brechungsindex“ wird im nächsten Abschnitt klar.
I.2.
Reflexion und Brechung
Trifft ein Lichtstrahl auf eine ebene Grenzfläche zwischen zwei transparenten Medien, so wird er teilweise
reflektiert und teilweise gebrochen (vgl. Abb. 3).
Das Reflexionsgesetz lautet:
Einfallswinkel = Reflexionswinkel
Dabei werden die Winkel relativ zur Flächennormale
und nicht zur Fläche selbst gemessen, weil das Reflexionsgesetz damit auch für gekrümmte Flächen (z.B.
Linsen oder Augenspiegel) sinnvoll formuliert ist.
Ferner gilt das von Snellius (1580-1626) empirisch gefundene Brechungsgesetz:
n1 · sin α = n2 · sin β .
(3)
Snellius stellte fest, dass das Verhältnis der Sinuswerte
von Einfalls- und Brechungswinkel an einer gegebenen
1
Meist verwendet man die D-Linie des Natriums mit der Wellenlänge λ = 589,3 nm und macht dies durch den Zusatz D
deutlich. Da der Brechungsindex auch von der Temperatur abhängt, gibt man meist den Wert für 20◦ C an und schreibt n20
D.
Abbildung 3: Reflexions- und Brechungsgesetz.
Grenzfläche stets dieselbe Zahl liefert:
sin α
n2
.
= const =
sin β
n1
Gilt n2 > n1 , so nennt man Medium 2 optisch dichter
als Medium 1. Wasser ist optisch dichter als Luft, und
Glas optisch dichter als Wasser. Der Brechungsindex für
Luft weicht (unter normalen Bedingungen) nur sehr wenig von dem des Vakuums ab und wird deshalb diesem
oft näherungsweise gleichgesetzt:
nLuft = 1, 0003 ≈ 1 .
(4)
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer
Wellen in optisch dichteren Medien ist nach Gl. (2) also stets kleiner als in optisch dünneren. Die Frequenz
ändert sich bei Lichtbrechung nicht. Dies ist eine Folge
des Energieerhaltungssatzes, denn eine Frequenzänderung wäre gleichbedeutend mit einer Energieänderung.
I.3.
Optische Linsen
Im allgemeinen sind optische Linsen durchsichtige Körper aus einer lichtbrechenden Substanz, die von gekrümmten Flächen begrenzt werden. Einfache Linsen
sind durch die Oberflächen zweier Kugelabschnitte begrenzt. Die grundlegenden optischen Elemente einer solchen Linse sind also meist eine sphärische Grenzfläche
zwischen Luft und Glas und eine zweite zwischen Glas
und Luft. Abb. 4 illustriert für einen einfachen Fall,
wie zwei Lichtstrahlen senkrecht auf eine Linse einfallen. Der Strahl (1) durch die Mitte der Linse erfährt keinerlei Ablenkung – er trifft tatsächlich senkrecht auf die
gekrümmte Oberfläche. Der parallele Strahl (2) trifft allerdings schräg auf die Linsenoberfläche und wird beim
3
(2)
(1)
F
Hauptebene
Abbildung 4: Konstruktion der Hauptebene bei einer symmetrischen bikonvexen Linse.
Ein- und Austritt an den Grenzflächen der Linse gebrochen. Diese beiden Brechungen lassen sich vereinfacht
durch eine Brechung an einer gedachten Ebene beschreiben, die senkrecht zum Strahl (1) durch die Linsenmitte
ist. Dies ist die sogenannte Hauptebene der Linse.
In Abb. 5 sind verschiedene Linsenformen skizziert. Dabei unterscheidet man konvexe (nach außen gewölbte)
und konkave (nach innen gewölbte) Linsen. Nur bei
symmetrischen bikonvexen und bikonkaven Linsen kann
man auf Grund der Symmetrie leicht die Hauptebene
finden.
Abbildung 6: Brechung von Parallelstrahlen an einer Sammellinse (a) und einer Zerstreuungslinse (b).
Linse. Bei Zerstreuungslinsen ist f per Konvention negativ.
Wichtig ist weiterhin die sogenannte Brennebene. Sie
verläuft durch den Brennpunkt und senkrecht zur optischen Achse. Verläuft ein Bündel paralleler Strahlen
Abbildung 5: Schnittbilder von einfachen Linsenformen.
I.4.
Strahlengang und Bildkonstruktion
Für die Konstruktion des Strahlengangs an einem optischen Element sind die folgenden Größen hilfreich.
• Die optische Achse (OA) ist die Verbindungslinie
der Mittelpunkte der beiden sphärischen Flächen,
die die (einfache) Linse begrenzen.
• Bei einer konvexen Linse werden Strahlen, die
parallel zur optischen Achse einfallen, hinter der
Linse im Brennpunkt F (Fokus) vereinigt – man
spricht von einer Sammellinse (Abb. 6a). Bei einer konkaven Linse verlaufen die parallel zur optischen Achse einfallenden Strahlen hinter der Linse derart divergent auseinander, als würden sie
vom Brennpunkt F herkommen (Zerstreuungslinse, Abb. 6b).
• Unter der Brennweite f versteht man den Abstand des Brennpunktes von der Hauptebene der
Abbildung 7: Brechung schräg einfallender paralleler Strahlen an einer Sammel- (a) und einer Zerstreuungslinse (b).
4
a)
b)
Parallelstrahl
Abbildung 8:
Skizze für eine Sammellinse (a)
und eine Zerstreuungslinse (b).
G
Mittel−
punktsstrahl
B
F
nicht mehr parallel zur optischen Achse, sondern trifft
es schräg auf die Linse auf, so werden die Strahlen bei
einer Sammellinse nicht mehr im Brennpunkt, sondern
in einem Punkt auf der Brennebene vereinigt, Abb. 7a.
Bei einer Zerstreuungslinse verlaufen sie entsprechend
divergent auseinander, als würden sie von einem Punkt
in der Brennebene herkommen, Abb. 7b.
Linsen, deren Eigendicke in Richtung der optischen
Achse im Vergleich zur Brennweite vernachlässigt werden kann, werden als dünne Linsen bezeichnet. Die Eigendicke bewirkt dann einen Messfehler z.B. bei der direkten Messung der Brennweite f , da die Hauptebene
im Inneren der Linse liegt.
Bei der Bildkonstruktion malt man nicht – wie in den
bisherigen Abbildungen – eine Linse, sondern man repräsentiert wie in Abb. 8 eine dünne Linse durch einen
langen senkrechten Strich an der Stelle der Hauptebene mit Pfeilspitzen an beiden Enden nach außen bzw.
innen.
Abb. 9 zeigt exemplarisch den Verlauf der Strahlen, die
man für eine Bildkonstruktion benötigt.
• Der Mittelpunktsstrahl geht von der Spitze des
Gegenstandes G aus zum Mittelpunkt der Linse,
d.h. zum Schnittpunkt von optischer Achse und
Hauptebene, und ohne Richtungsänderung durch
die Linse hindurch.
In der Linsenmitte sind die begrenzenden Glasflächen der Linse fast parallel wie bei einer Fensterscheibe. Dadurch wird der Strahl nur ein wenig
parallel versetzt, was bei dünnen Linsen vernachlässigt werden kann.
• Der Parallelstrahl, der vom Gegenstand aus parallel zur optischen Achse einfällt, wird bei Sammellinsen stets zum Brennpunkt hin gebrochen.
Bei Zerstreuungslinsen (Abb. 10) wird er so gebrochen, als käme er vom rückwärtigen Brennpunkt.
Parallelstrahl
G
Mittelpunkts−
strahl
OA
F
B
Abbildung 9: Bildkonstruktion an einer dünnen Sammellinse. Der Strahlengang ist umkehrbar (s. Text).
OA
Abbildung 10: Bildkonstruktion an einer dünnen Zerstreuungslinse. Der Parallelstrahl wird rückwärtig verlängert (gestrichelt).
Der Schnittpunkt von Mittelpunkts- und Parallelstrahl
ist der Bildpunkt, auf den der Ausgangspunkt – die Spitze von G – optisch abgebildet wird. Entsprechend werden alle Lichtstrahlen, die vom Ausgangspunkt kommen
und das optische Element passieren, im Bildpunkt – der
Spitze von B – vereint.
Im Falle von Abb. 9 entsteht das resultierende Bild B
tatsächlich auf Grund von Lichtstrahlen, die am Ort des
Bildes gebündelt werden. Es ist also ein reelles Bild, welches auf einem Schirm sichtbar gemacht werden kann.
Im Gegensatz dazu kann die Zerstreuungslinse kein reelles Bild liefern. Schaut ein Betrachter in Abb. 10 von
rechts auf die Linse, so scheinen alle Lichtstrahlen von
einem verkleinerten virtuellen Bild links von der Linse zu kommen, wo sich der Mittelpunktsstrahl und der
rückwärts verlängerte Parallelstrahl schneiden.
In beiden Abbildungen ist noch ein dritter Strahl gepunktet eingezeichnet – der sog. Brennpunktsstrahl. In
Abb. 9 kommt er zustande, wenn man bei der Bildkonstruktion an der Sammellinse die Rollen von G
und B vertauscht. Dann ist klar, dass auf der anderen Seite der Linse ein zweiter Brennpunkt liegt. Jede
dünne Linse hat also zwei Brennpunkte, die symmetrisch zur Hauptebene liegen. Der Brennpunktsstrahl
verläuft von G direkt zum zweiten Brennpunkt, und
sein Schnittpunkt mit der Hauptebene definiert die Höhe des abgebildeten Punktes von B. Bei Zerstreuungslinsen muss der Brennpunktsstrahl – wie der Parallelstrahl – rückwärts verlängert werden, um das Bild zu
erreichen (Abb. 10).
Das Vertauschen der Rollen von G und B in Abb. 9
zeigt außerdem, dass Lichtwege umkehrbar sind. Deshalb gibt es bei der Sammellinse zwei Positionen, die
ein scharfes Bild liefern. Ist die Linse weit entfernt vom
Gegenstand, d.h. ist die sog. Gegenstandsweite g > 2f ,
so wird das Bild verkleinert. Im umgekehrten Fall wird
das Bild vergrößert. Abb. 11 illustriert den Spezialfall
2f > g > f . Der Fall f > g entspricht der Verwendung der Sammellinse als Lupe, was den Strahlengang
deutlich verändert (ohne Abb., vgl. Versuch OIN).
In der Praxis treffen Parallel- und Brennpunktsstrahl oft außerhalb der Linse auf die Hauptebene. Beide Strahlen dienen
5
Auch die beiden Dreiecke (III) und (IV) sind ähnlich:
G
B
=
,
f
b−f
G
OA
F
g
B
woraus mit Gl. (5) folgt:
G
f
g
=
=
.
b
B
b−f
b
Diese Formel stellt einen einen direkten Zusammenhang
zwischen Gegenstandsweite g, Bildweite b und Brennweite f her. Einige algebraische Umformungen ergeben
die Abbildungsgleichung
G
OA
F
g’
B’
b’
Abbildung 11: Verkleinerte (oben) und vergrößerte Abbildung (unten) mit zugehörigen Gegenstands- und Bildweiten.
dann lediglich als Hilfsmittel zur Bildkonstruktion. Dies tut
der realen Bildentstehung jedoch prinzipiell keinen Abbruch,
da alle Strahlen, die vom Gegenstandspunkt kommen und
die Linse passieren, im Bildpunkt abgebildet werden.
I.5.
Die Abbildungsgleichung für eine Linse
Reduziert man die Bildkonstruktion aus Abb. 9 o. 11
auf ihr geometrisches Gerippe, so bleibt Abb. 12 übrig,
wobei G nun die Gegenstandsgröße und B die Bildgröße
bezeichnet. Aus ihr lässt sich wegen der Ähnlichkeit2
der Dreiecke (I) und (II + III) unmittelbar die Formel
für den Abbildungsmaßstab β ablesen:
β=
B
b
= ,
G
g
1 1
1
+ = .
g
b
f
(6)
Die Herleitung dieser Gleichung wurde hier für eine
Sammellinse durchgeführt; sie gilt aber auch für Zerstreuungslinsen, wobei dann die Brennweite und die
Bildweite negativ sind.
I.6.
Optische Systeme und Brechkraft
Stellt man zwei Linsen der Brennweite f1 und f2 mit
gemeinsamer optischer Achse direkt hintereinander auf,
so erhält man ein Linsensystem. Um die Gesamtbrennweite dieses Systems anzugeben, hilft Abb. 13, die zwei
verschiedene dünne Sammellinsen mit kleinem Abstand
zueinander zeigt. Ein Gegenstand G, der sich im Brenn-
(5)
d.h. Bildgröße zu Gegenstandsgröße verhält sich wie
Bildweite zu Gegenstandsweite. Der Abbildungsmaßstab ist eng verwandt mit der Vergrößerung einer Linse
oder eines optischen Instrumentes (vgl. Versuch OIN).
Abbildung 13: Verlauf der Brennpunktsstrahlen eines Linsensystem.
punkt der ersten Linse befindet, wird in den Brennpunkt der zweiten Linse abgebildet – dort entsteht das
Bild B. Also ist f1 = g und f2 = b, womit die Gesamtbrennweite f des Systems direkt aus Gl. (6) abgelesen
werden kann:
1
1
1
+
= .
f1
f2
f
Abbildung 12: Zur Herleitung der Abbildungsgleichung.
2
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie z.B. in zwei
(und damit in allen) Winkeln übereinstimmen.
(7)
Das Rechnen mit den Reziprokwerten in Gl. (7) ist
in der Praxis aber recht umständlich. Man definiert
deswegen die Brechkraft als den Quotienten aus dem
Brechungsindex n des umgebenden Mediums und der
Brennweite der Linse:
D=
n
f
mit
[D] =
1
= dpt (Dioptrie) .
m
(8)
6
1
2
r
Abbildung 14: Zur Abbildung an einer sphärischen Grenzfläche zwischen zwei Medien. Der Krümmungsradius der Sphäre
ist r, und M ist der Mittelpunkt der Kugel – jede von ihm ausgehende Gerade steht senkrecht auf der sphärischen Fläche,
d.h. sie bildet ein Lot darauf.
Im Vakuum ist n = 1, ähnlich wie in Luft (nLuft ≈ 1,0),
so dass praktischerweise meist mit D = 1/f gerechnet
werden kann. Eine Brillenlinse von 1 m Brennweite hat
demnach die Brechkraft 1 dpt und eine Linse von 0,25 m
Brennweite 4 dpt.
Gemäß Gl. (7) kann man also die Brechkräfte zweier in
kleinem Abstand hintereinander gestellter Linsen direkt
addieren. Dies gilt auch für mehrere Linsen hintereinander:
D = D1 + D2 + D3 + . . . ,
(9)
denn jede Einzellinse in Abb. 13 könnte man von vorne
herein auch als Linsensystem (mit bekannter Brennweite) auffassen, für das seinerseits Gl. (7) auch wieder gilt.
Gl. (9) für die Addition der Brechkräfte gilt nicht nur
für Linsen, sondern generell für Systeme aus optischen
Elementen, was der folgende Abschnitt verdeutlicht.
die drei rechtwinkligen Dreiecke, in denen diese Strecke als
Kathete auftaucht:
tan ϕ =
l
,
g
tan δ =
l
r
und
tan ϑ =
l
.
b
Wegen der Achsennähe sind die Winkel ϕ, δ und θ klein,
d.h. unter 10◦ . Für jeden beliebigen kleinen Winkel γ kann
man
sin γ ≈ γ ≈ tan γ
nähern, wenn der Winkel im Bogenmaß ausgedrückt wird.
Das Brechungsgesetz (3) reduziert sich dann auf
n1 · α = n2 · β .
Setzt man hier die obigen Hilfswinkel – auch entsprechend
genähert – ein, folgt
l
l
l
l
+
−
= n2
.
n1
g
r
r
b
Einige Umformungen ergeben daraus schließlich die
nützliche Formel
I.7.
Brechung an einer sphärischen Grenzfläche
In diesem Abschnitt wird eine Formel zur Berechnung
der Brechkraft einer sphärischen Fläche an der Grenze
zweier Medien hergeleitet. Das Ergebnis führt zu einem
tieferen Verständnis der optischen Abbildung durch eine
Linse und ermöglicht es, im Anschluss das Abbildungsverhalten des menschlichen Auges zu analysieren.
Abb. 14 zeigt zwei optische Medien mit den Brechungsindices n1 und n2 , die durch eine sphärische Fläche voneinander
getrennt sind. Vom Gegenstandspunkt G auf der optische
Achse geht ein Strahl aus, der nach der Brechung an der
Grenzfläche die optische Achse im Bildpunkt B wieder trifft
– dies impliziert n2 > n1 . Der Einfallswinkel α und der
Brechungswinkel β lassen sich durch drei Hilfswinkel ausdrücken:
α=ϕ+δ
und
β =δ−ϑ .
Bei der weiteren Herleitung ist es wesentlich, dass man sich
auf achsennahe Strahlen beschränkt. Dadurch bleiben die
auftretenden Winkel klein, und das Bogenstück l lässt sich
(näherungsweise) als gerade Strecke behandeln, die senkrecht zur optischen Achse verläuft. In Abb. 14 gilt also für
n2
n2 − n1
n1
+
=
.
g
b
r
(10)
Rückt der Gegenstandspunkt G in Abb. 14 nach links
ins Unendliche, so geht hier n0 /g gegen Null und damit
fällt b mit der bildseitigen Brennweite fB zusammen.
Auf der linken Seite von Gl. (10) steht dann die Brechkraft einer sphärischen Grenzfläche
Dsph. =
n2
n2 − n1
=
.
fB
r
(11)
Die analoge Überlegung für den umgekehrten Lichtweg
ergibt gegenstandsseitig die Brennweite fG und dieselbe
Brechkraft
Dsph. =
n2 − n1
n1
=
.
fG
r
Diese Formeln gelten auch für Flächen, die zur anderen
Seite hin gekrümmt sind, jedoch ist dann der Krümmungsradius negativ – ebenso wie die Brennweite und
die Brechkraft.
7
Schliesslich kann man damit die Brechkraft einer Linse
berechnen, die links und rechts von verschiedenen optischen Medien begrenzt ist. Dazu betrachten wir den in
Abb. 15 schematisch dargestellten Abbildungsvorgang,
n1
G
M2
11111
00
000
00111
11
000
00111
11
000
00111
11
000
00
11
000
00111
11
000
111
nL
00111
11
000
00111
11
000
00111
11
000
00
11
000
111
00111
11
000
00111
11
000
00111
11
000
00111
11
000
00
11
000
00111
11
000
111
00111
11
000
00111
11
000
r2 11
00111
000
00
11
000
00111
11
000
111
00111
11
000
00111
11
000
g
n2
B
M1
r1
Abbildung 16: Optischer Aufbau eines menschlichen Auges.
b
Abbildung 15: Abbildungsvorgang durch eine Linse mit
Brechungsindex nL zwischen zwei verschiedenen Medien.
wobei zu beachten ist, dass der Krümmungsradius r1
positiv ist und r2 dagegen negativ. Die hierfür gültige
Abbildungsgleichung ist
n1
n2 − nL
n2
nL − n1
+
+
=
g
b
r1
r2
mit r2 < 0 . (12)
Diese Formel enthält Gl. (10) als Spezialfall, der sich
ergibt, falls nL = n2 ist. Man kann sie analog zu Gl.
(10) herleiten (nur langwieriger).
Die rechte Seite von Gl. (12) entspricht der Summe
zweier Brechkräfte. Diese ergibt die Gesamtbrechkraft
der Linse
DL = Dsph.,1 + Dsph.,2 =
n2 − nL
nL − n1
+
. (13)
r1
r2
Dieses Ergebnis kann auch aus Gl. (12) gefolgert werden, wenn man wieder die Gegenstandsweite(n) unendlich groß werden lässt.
Die Formeln (12) und (13) bleiben gültig, falls (anders
als in Abb. 15) eine oder beide Linsenflächen nach innen gekrümmt sind – man muss lediglich jeweils das
korrekte Vorzeichen für den Krümmungsradius wählen.
I.8.
Das Auge
Der Aufbau des Auges ist in Abb. 16 skizziert. Für den
Abbildungsvorgang auf die Netzhaut (Retina) sind drei
Elemente mit unterschiedlichen Brechungsindizes verantwortlich: die Hornhaut (Cornea), die das Kammerwasser von der Außenluft trennt, die Linse und der Glaskörper. Das Auge kann sowohl nahe gelegene, wie auch
entfernte Gegenstände scharf auf die Retina abbilden,
obwohl die Bildweite (Entfernung zwischen Augenlinse
und Retina) immer gleich bleibt. Die Linse kann nämlich durch Kontraktion bzw. Dehnung des Ziliarmuskels ihre Krümmungsradien verändern und damit die
Brennweite, was die Akkomodation ermöglicht. (Beim
Projektor regelt man bei starrer Glasoptik die Gegenstandsweite, bei der Kamera die Bildweite zum Zweck
einer guten Abbildung.) Die Iris begrenzt das einfallende Lichtbündel – also die auf die Retina einfallende
Menge an Strahlungsenergie (Helligkeit).
Die Kenngrößen des Auges haben ungefähr die folgenden Mittelwerte:
• Krümmungsradius der Cornea r = 7,8 mm,
• Krümmungradien der Linse r1 = 10 mm und r2 =
−6,0 mm,
• Brechungsindex des Linsenmaterials nLinse = 1,4 ,
• Brechungsindex des Kammerwassers und des
Glaskörpers n1 = n2 = 1, 336.
• Die Brechkraft der Cornea, Gl. (11), ergibt sich zu
DC = 1,336−1,0
0,0078 m ≈ 43 dpt.
• Die Brechkraft der Linse, Gl. (13), ergibt sich zu
1,4−1,336
DL = 1,4−1,336
0,010 m + 0,0060 m ≈ 17 dpt.
• Also ist die Gesamtbrechkraft DC +DL ≈ 60 dpt.
Dies zeigt den großen Beitrag der Cornea. Andererseits
sieht man auch, dass jene Sehfehler, die man durch
Brillen einiger Dioptrien korrigiert, nur einen kleinen
Bruchteil der Gesamtbrechkraft des Auges betreffen.
Die Bilder, die das Auge erzeugt, sind für uns nur dann
wertvoll, wenn sie naturgetreu und scharf sind. Unsere Augen dürfen daher möglichst keine Fehler haben, oder müssen
mit einer passenden Brille korrigiert werden.
Ist die Brennweite eines Auges zu groß, d.h. seine Brechkraft
zu klein, so entstehen die Bilder erst hinter der Retina. Man
bezeichnet ein solches Auge als weit- oder übersichtig (hyperop). Zur Beseitung dieses Augenfehlers verwendet man
Sammellinsen als Brillengläser. Gerade umgekehrt ist es bei
der Kurzsichtigkeit (Myopie), die durch Vorschaltung einer
Zerstreuungslinse korrigiert werden kann (Abb. 17).
Abbildung 17: Vereinfachte Darstellung der Korrektur von
Weit- (links) bzw. Kurzsichtigkeit (rechts) des Auges mit einer Sammel- bzw. Zerstreuungslinse (gestrichelt: Abbildung
eines unendlich entfernten Gegenstandes ohne Korrektur).
8
g
G
B1Z
δ
Blende
b1Z
Abbildung 19: Entstehung des Astigmatismus.
G
B2R
Blende
b2R
Hauptebene
Abbildung 18: Sphärische Aberration: Randstrahlen (R)
werden stärker gebrochen als zentrale Strahlen (Z).
I.9.
1.
Linsenfehler
Sphärische Aberration
In den Abschnitten I.3 bis I.8 wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass die Lichstrahlen achsennah auf die Linsen einfallen. Dies ist aber nicht immer der Fall. Bei
sphärischen Linsen werden die achsenfernen Strahlen
stärker gebrochen, d.h. sie schneiden in kürzerem Abstand die optische Achse. Bei gleicher Gegenstandsweite
g wird also die Bildweite im Fall der Strahlen am Rand
kleiner (Abb. 18). Diese Erscheinung bezeichnet man als
sphärische Aberration. Ihre Größe wird durch die Differenz der Brennweiten von zentralen Strahlen (nahe der
Achse) und Randstrahlen (fern der Achse) beschrieben:
df = fZ − fR .
(14)
Nach Messung von bZ und bR ergibt Gl. (6) direkt df .
Die sphärische Aberration tritt bei allen Linsen mit Kugelflächen auf. Sie spielt bei Helligkeit (kleine Irisblende) so gut
wie keine Rolle, jedoch tragen bei Dunkelheit (weit geöffnete
Iris) auch die Randstrahlen zur Abbildung bei. Dies beeinträchtigt aber die Bildschärfe im Auge, was das Erkennen
mühsamer macht: Schlechtes Dunkelsehen. Das schärfere Sehen bei guter Beleuchtung liegt also primär an der geringen
sphärischen Aberration, nicht an der größeren Helligkeit, die
das Auge ja gerade über die Iris nachregelt.
2.
Astigmatismus
Wir sind bisher von der Vorstellung ausgegangen, dass
die Augenlinse durch Kugelflächen begrenzt wird. In
der Realität sind jedoch oft die Krümmungsradien in
zwei senkrecht zueinander verlaufenden Schnittebenen
mehr oder weniger verschieden. Das hat zur Folge, dass
ein achsenparalleles Lichtbündel nicht mehr durch einen
einzigen Brennpunkt verläuft, vgl. Abb. 19. Die unterschiedlichen Krümmungsradien entsprechen zwei verschiedenen Brennweiten – einer in der Horizontalebene (f1 ) und einer in der Vertikalebene (f2 ). In Abb. 19
ist f1 kleiner als f2 , d.h. während das Horizontalbündel schon maximal eingeschnürt ist, hat das Vertikalbündel dort noch eine endliche Höhe. Man beobachtet
eine senkrechte „Brennlinie“ statt eines Brennpunktes.
In etwas größerem Abstand von der Linse entsteht entsprechend eine waagrechte Linie. Durch die Brennweitendifferenz δf = |f2 − f1 | kann man die Größe des
Astigmatismus kennzeichnen.
In der Praxis auf der optischen Bank kann man den
Astigmatismus eines Brillenglases dadurch messen, dass
man eine punktförmige Lichtquelle (Lochblende) im
Endlichen auf einen Schirm abbildet. Die beiden Positionen der orthogonalen Bildlinien legen zwei Wertepaare g1 und b1 , bzw. g2 und b2 fest, die mit Hilfe von
Gl. (6) entsprechend f1 und f2 ergeben.
Korrigiert wird der Astigmatismus des Auges durch eine Zylinderlinse – ein Glas mit derselben astigmatischen Eigenschaft, das zur Kompensation des Fehlers um 90◦ verdreht
in das Brillengestell montiert wird. Ist der Astigmatismus
gering (f2 ≫ δf ≪ f1 ), so wählt das Gehirn eine zwischen
f1 und f2 liegende Distanz für das Sehen im Unendlichen.
Die Sehschärfe ist aber herabgesetzt. Ist der astigmatische
Fehler größer, dann pendelt die Augenlinse zwischen den
beiden Brennlinien hin und her, um verwertbare Daten weiterliefern zu können, während das Gehirn permanent mittelt. Das ist jedoch ermüdend und verursacht typischerweise
Kopfschmerzen.
II.
TECHNISCHE GRUNDLAGEN
II.1.
Zubehör
Apparatur zur Messung von Lichtreflexion und
-brechung (Abb. 22).
Optische Bank mit Reitern Lichtquelle, Justiernadel,
Schirm, drei verschiedene Dias, Positionierhilfe, Brillenglas ohne Astigmatismus (L1 oder L2 oder...), Brillenglas mit Astigmatismus (LA1 oder LA2 oder...); Starbrillenglas (LS1 oder LS2 oder...);
Sphärometer;
große Konvexlinse mit Loch- und Kreisblenden und
9
Abbildung 20:
Versuchsaufbau zur Messung
von Reflexion und Brechung.
Haftmagnete (in Styroporbebehälter);
Augenmodell (Plexiglasgefäß mit sphärischer Fläche),
dazu Linse, Schirm (Modell-Netzhaut); Rollbandmaß,
Probegläser mit Halterung (beim Betreuer erhältlich).
man 2α ab. α + β erhält man danach, indem man den
Winkel von der gegenüberliegenden Hauptmarkierung
bis zum Punkt des gebrochenen Strahls ermittelt.
II.3.
II.2.
Versuchsaufbau zur Lichtreflexion und
-brechung
Der verwendete Laser liefert unpolarisiertes Licht. Der
Versuchsaufbau enthält eine runde Glasküvette. In ihrer
Mitte ist eine Halbzylinderlinse fixiert. An sämtlichen
Zylinderflächen wird der (schwach fokussierte) Laserstrahl in keiner Stellung der Küvette abgelenkt – abgesehen von kleinen Fehlern z.B. bei der Justierung. Die
zu untersuchenden Reflexionen und Brechungen finden
alle an der ebenen Glasfläche in der Mitte der Küvette
statt. Der Laser hinterlässt am äußeren ebenfalls zylinderförmigen Mattscheibenring Lichtpunkte, von denen
man auch die schwächeren problemlos lokalisieren kann,
wenn man von außen senkrecht auf den Mattscheibenring schaut.
Winkelmessung
Der 360◦-Messring aus Plexiglas ist drehbar und enthält
vier rote Hauptmarkierungen in 90◦ -Abständen. Weitere Unterteilungen sind im 10◦ - und 5◦ -Rhythmus zu finden. Der Ring enthält keine Zahlenangaben. Alle Winkel müssen durch Abzählen ermittelt werden und sollen
nur auf ganze Grad-Werte abgelesen werden!
In Abb. 22 ist eine typische Messsituation dargestellt,
in der man den einfallenden Strahl (von links), den reflektierten und den gebrochenen Strahl erkennen kann,
sowie die direkt messbaren Winkel: Der einfallende und
der reflektierte Strahl bilden den Winkel 2α. Die rückwärtige Verlängerung des reflektierten Strahls und der
gebrochene Strahl schließen den Winkel α + β ein. Zum
Ablesen der Winkel dreht man zuerst eine der vier roten Hauptmarkierungen des Messkreises auf die Position des Laserpunktes des reflektierten Strahls. Von dieser Hauptmarkierung bis zum einfallenden Strahl liest
Brennweitenbestimmung mit Hilfe der
Abbildungsgleichung
Zwischen einem Gegenstand, der von einer Lichtquelle beleuchtet wird, und einem Schirm lässt sich eine
verschiebbare Linse anbringen (vgl. Abb. 21). Wird ein
beleuchteter
Gegenstand (Dia)
Licht−
quelle
xD
g
Schirm
Linse
x
b
xS
Abbildung 21: Schematischer Versuchsaufbau mit verschiebbarer Linse.
scharfes Bild auf dem Schirm erzeugt, so gilt die Abbildungsgleichung. In diesem Fall lassen sich aus der Linsenposition x die Gegenstandsweite g und die Bildweite
b berechnen und damit schließlich auch f .
Während des Versuchs bleibt der Abstand zwischen der
Lichtquelle und dem Schirm fest. Da jedoch Lichtwege umkehrbar sind, kann man durch Verschieben der
Linse gemäß Abb. 22 zwei (symmetrische) Positionen
finden, die ein scharfes Bild liefern. Ist die Linse näher
am Gegenstand (g < b), so wird das Bild wegen Gl. (5)
vergrößert und im umgekehrten Fall verkleinert.
Bestimmung der Messunsicherheit
Die eigentliche Messgröße bei diesem Versuchsaufbau
ist die Linsenposition x mit einer gewissen Unsicherheit ∆x. Es ist rechnerisch ein wenig mühsam, daraus
die Unsicherheit ∆f für die Brennweite zu bestimmen.
10
g1
Strahl trifft dabei auf die ebene Grenzfläche aus dem
optisch dünneren Medium (Luft) kommend und wird
ins optisch dichtere (Glas) gebrochen. Drehen Sie die
Küvette langsam und beobachten Sie dabei am Mattscheibenring den Lichtpunkt des gebrochenen und den
des reflektierten Strahls.
b1
G
B1
G
B2
g2
Beachten Sie, dass Sie nur 2α und α + β direkt am
Messkreis ablesen können. Für Einfallswinkel größer als
70◦ steigt die Messungenauigkeit rapide. Legen Sie für
die Auswertung eine Tabelle folgender Art an:
2α
α
α+β
b2
β
sin α
sin β
...
Abbildung 22: Vergrößerte und verkleinerte Abbildung.
III.2.
Erfreulicherweise liefert die Formel
∆f ≈ ∆x
(15)
eine einfache und realistische Abschätzung dafür.
II.4.
Sphärometer
Brillenglas
Teilversuch
Bestimmung der Brennweite eines Brillenglases (ohne
Astigmatismus) mit Hilfe der Abbildungsgleichung und
durch Verwendung des Sphärometers.
Messgrößen
• Position von Dia xD und Schirm xS
Das Sphärometer dient zur Bestimmung des Krümmungsradius einer Linse. Bitte lassen Sie sich die Funktionsweise von Ihrer Betreuerin oder Ihrem Betreuer erklären.
• Buchstabenkennzeichnung (L mit Zahl dahinter)
der verwendten Linse
• Linsenposition x1 für die vergrößerte Abbildung
• Linsenposition x2 für die verkleinerte Abbildung
III.
VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
III.1. Überprüfung des Snelliusschen
Brechungsgesetzes an der Grenzfläche Luft/Glas
Teilversuch
Bestimmen Sie den Brechungsindex des Küvettenglases
durch Lichtbrechung an der Grenzfläche Luft/Glas.
Messgrößen
• Messreihe: mindestens sechs Brechungswinkel β
für Einfallswinkel α im Bereich 10◦ < α < 50◦
Durchführung
Setzen Sie die Messküvette gemäß Abb. 23 ein. Der
• geschätzte Messunsicherheiten ∆x1 bzw. ∆x2 der
Linsenpositionen
• Sphärometerwerte für die ebene Fläche und beide
Linsenoberflächen; reultierende Brechraft D
Durchführung
Die Lichtquelle und der Schirm werden in möglichst
großem Abstand voneinander auf der optischen Bank
aufgestellt, die matte Fläche des Schirms der Lichtquelle zugewandt (Bildentstehung auf der matten Fläche,
Beobachtung von der glatten aus). Beides bleibt im folgenden so stehen. Das Dia (Kaiser Maximilian) wird in
die Halterung an der Lichtquelle eingeklemmt. Nehmen
Sie die Halterung, die von der Lampe am weitesten weg
ist – weiße Seite des Diarahmens zur Lampe hin. Mit
Hilfe der Justiernadel wird die Linse auf die gleiche Höhe wie das Dia gebracht.
Protokollieren Sie die Messung in Tabellenform, z.B.
Abbildung xi /cm
vergrößert
verkleinert
Abbildung 23: Zur Überprüfung des Brechungsgesetzes.
∆xi /cm
gi /cm
bi /cm
Zur Abschätzung von ∆x drehen Sie die Linse um 180◦,
wechseln sich beim Beobachten des Schirms ab und bestimmen die Positionen der Linse für die vergrößerte
und verkleinerte Abbildung erneut.
11
- Vermessen Sie das Brillenglas mit dem Sphärometer, und bestimmen Sie aus diesen Werten direkt
am Arbeitsplatz die Brechkraft (ohne Messunsicherheit). Der Brechungsindex des Brillenglases
ist nG = 1,5. Liegt Ihr Wert nicht zwischen 1 dpt
und 10 dpt, sollten Sie die Messung wiederholen.
III.5.
Astigmatisches Brillenglas
Teilversuch
Bestimmung des Astigmatismus eines Brillenglases.
Messgrößen
• Buchstabenkennzeichnung (LA mit Zahl dahinter) der verwendten Linse
Hinweis zu den folgenden Teilversuchen
Notieren Sie weiterhin immer die Messunsicherheit der
Linsenposition (bzw. bei III.6. die der Bildweite). Sie ist
entscheidend für die Messunsicherheit des Endergebnisses; allerdings variiert sie von Versuch zu Versuch, da es
unterschiedlich schwer zu sagen ist, bei welcher Position
die Abbildung auf dem Schirm am schärfsten ist.
III.3.
Starbrillenglas
Teilversuch
Bestimmung der Brennweite eines Starbrillenglases mit
Hilfe der Abbildungsgleichung und durch Verwendung
des Sphärometers.
Messgrößen
• Buchstabenkennzeichnung (LS mit Zahl dahinter,
nicht LS7) der verwendten Linse
• Linsenpositionen für die vergrößerte und die verkleinerte Abbildung
• Sphärometerwerte für beide Linsenoberflächen
Durchführung
Der Messvorgang läuft wie bei dem einfachen Brillenglas ab, nur ist er in der Praxis schwieriger durchzuführen. Beim Abschätzen der Unsicherheit ∆x ist die
Unsicherheit beim Scharfstellen und die große Linsendicke besonders zu berücksichtigen.
Vermessen Sie auch diese Linse mit dem Sphärometer.
III.4.
Sphärische Aberration
• Linsenpositionen für die vergrößerte Abbildung
durch die Strahlen in der Waagerechten und durch
die Strahlen in der Senkrechten
Durchführung
Verwenden Sie die kleine kreisförmige Blende vor der
Lichtquelle anstelle des Dias. Betrachten Sie nur die
vergrößerte Abbildung. Schieben Sie die Linse von der
Lochblende weg, bis Sie eine der Bildlinien der Blende
möglichst scharf auf dem Schirm beobachten. Danach
schieben Sie die Linse weiter von der Blende weg, bis
die dazu senkrechte Bildlinie auf dem Schirm möglichst
gut zu beobachten ist.
III.6.
Untersuchungen am Augenmodell
Teilversuch
Bestimmung der Brechkraft des Augenmodells vor und
nach „Staroperation“, Ausprobieren einer „Starbrille“.
Messgrößen
• Gegenstands- und Bildweite beim Augenmodell
mit Linse
• Beobachtung der Abbildung nach „Staroperation“
• Brechkraft des Probeglases („postoperativ“)
• Bildweite beim Augenmodell ohne Linse
Durchführung
1. Aufbau des Augenmodells
Als Gegenstand wird die gerahmte, mit Löchern versehene Alufolie verwendet. Die Plexiglaswanne wird mit
zwei Reitern auf der optischen Bank fest aufgestellt, so
dass die sphärische Fläche ca. 25 cm vom Gegenstand
entfernt ist (s. Abb. 24). Die Höhe der Wanne wird mit
Hilfe der Justiernadel so eingestellt, dass die Mitte der
Teilversuch
Bestimmung der sphärischen Aberration der großen
Linse.
Plexiglaswanne
Gegenstand
Messgrößen
• Linsenpositionen für vergrößerte Abbildung durch
die Zentralstrahlen und durch die mittleren Randstrahlen
Durchführung
Verwenden Sie die große Linse im Styroporbehälter mit
den entsprechenden Blenden und Magneten.
Abbildung 24: Optisches Augenmodell.
12
sphärischen Fläche genauso hoch ist wie die Mitte des
Gegenstandes. Füllen Sie die Wanne mit vollentsalztem
Wasser, und hängen Sie die Linse direkt hinter der sphärischen Fläche ein.
Positionieren Sie die kleine Mattscheibe im Wasser hinter der Linse dort, wo die Abbildung am besten erscheint – das entspricht der Position der Netzhaut. Die
Mitte zwischen der sphärischen Fläche und der Linse
dient als Bezugspunkt zur Messung der Gegenstandsweite g und der Bildweite b1 mit dem Metermaß.
2. Ausführung einer „Staroperation“
IV.2.
Brillenglas
Berechnen Sie gemäß Gl. (6) aus Ihren Werten für das
vergrößerte bzw. für das verkleinerte Bild zwei Mal die
Brennweite Ihrer Linse. Stimmen beide Brennweiten innerhalb der Messunsicherheiten überein? Bilden Sie den
Mittelwert f¯ und die zugehörige Schwankung. Diskutieren Sie die Schwankung im Vergleich zur geschätzten
Messunsicherheit der Linsenpositionen.
Berechnen Sie f aus der Brechkraft der Spärometermessung, und vergleichen Sie dies mit f¯. Welche Messung
ist die bessere? Begründen Sie Ihre Antwort.
Entfernen Sie die Linse aus der Plexiglaswanne.
- Wie verändert sich das Bild?
Verpassen Sie nun dem Modellauge eine „Starbrille“:
Suchen Sie aus dem Sortiment von Probegläsern eines
heraus, das – vor die sphärische Fläche gehalten – die
Wirkung der entnommenen Linse in etwa ersetzt. Notieren Sie den Dioptrienwert (er steht am Griff), bevor
Sie das Probeglas in den Kasten zurücklegen.
IV.3.
Starbrillenglas
Bestimmen Sie die Brennweite wie in IV.2. aus der Messung an der optischen Bank und der Spärometermessung. Vergleichen Sie beide Werte.
Geben Sie auch die Dioptrienzahl der Starbrille an.
3. Brechkraft der sphärischen Grenzfläche
Verschieben Sie die kleine Mattscheibe im Modell weiter
nach hinten, bis die Abbildung wieder möglichst optimal ist. Notieren Sie die neue Bildweite b2 – die Gegenstandsweite ist unverändert.
Beachten Sie, dass die sphärische Fläche allein ein
scharfes Bild in unserer Wanne erzeugen kann. Bitte
entleeren Sie das Augenmodell vor dem Abbau.
IV.4.
Bestimmen Sie die Brennweite fZ für das zentrale Bündel und fR für die Randstrahlen, und berechnen Sie die
sphärische Aberration.
IV.5.
IV.
Astigmatisches Brillenglas
Ermitteln Sie die Brennweiten für die beiden Lichtbündel in den zueinander senkrechten Ebenen, und bestimmen Sie den Astigmatismus des Brillenglases.
AUSWERTUNG
Mit Ausnahme der Sphärometermessungen müssen Sie
alle quantitativen Ergebnisse mitsamt Messunsicherheit
angeben (s. Merkblatt)!
IV.1.
Sphärischen Aberration
IV.6.
Untersuchungen am Augenmodell
Nach Gln. (10) und (11) kann man die Brechkraft der
sphärischen Fläche (mit oder ohne Linse) gemäß
Überprüfung des Snelliusschen
Brechungsgesetzes
D=
Tragen Sie die sin β-Werte (y-Achse) gegen die sin αWerte (x-Achse) graphisch auf. Beide Koordinatenachsen müssen nur Werte von 0 bis 1 abdecken. Gl. (3)
stellt in der Form
n1
· sin α analog zu y = a · x
sin β =
n2
eine Gerade dar. Bestimmen Sie aus der Steigung
n2
n1
+
g
b
(17)
mit n1 = 1 für Luft und n2 = 1,33 für Wasser berechnen:
1. für das vollständige Augenmodell, also das optische System aus sphärischer Fläche und Linse in
Wasser unter Verwendung von g und b1 und
2. für das „staroperierte Auge“ mit g und b2 .
(16)
Welcher Anteil der Gesamtbrechkraft entfällt im Modell
also allein auf die Glaslinse im Wasser? War demnach
die Auswahl Ihrer Probebrille sinvoll?
mit Hilfe eines möglichst großen Steigungsdreiecks den
Brechungsindex von Glas nGlas = n2 .
3. Berechnen Sie den Krümmungsradius der sphärischen Fläche im Modell mit Hilfe von Gl. (11).
a = n1 /n2