AUFGABEN ZUR MATHEMATIK FÜR BIOLOG(INN)EN

AUFGABEN ZUR MATHEMATIK FÜR BIOLOG(INN)EN
von
Bernd Beyerstedt und Jörg Jahnel
1. Ableitung.
Bestimme für die folgenden Funktionen jeweils die Ableitung.
1
a) f (x) = ,
x
b) f (x) = xex cos x,
cos x
,
c) f (x) =
2 + ex + sin x
d) f (x) = xx .
2. Differentiation.
Zieht sich ein Muskel gegen eine Kraft F zusammen, zum Beispiel beim Heben eines
Gewichtes, so verringert sich die Geschwindigkeit v der Muskelkontraktion mit zunehmender
Kraft F . Für den Zusammenhang gilt das Hillsche Gesetz
(F + a)(v + b) = c,
wobei a, b und c positive Konstanten sind, die bestimmte Eigenschaften des Muskels wiederspiegeln.
a) Formuliere v = v(F ) als Funktion von F .
b) Wie ändert sich v bei einer kleinen Änderung von F ? Das heißt, bestimme die Ableitung
von v nach F .
3. Extremwert.
Es seien v die Geschwindigkeit eines Vogels gegen den Wind, m seine Masse und % die
Dichte der Luft. Im Jahre 1969 fand C. J. Pennycuick die folgende Formel für die Leistung,
die der Vogel während des Fluges aufrechterhalten muß:
1
m2
+ %Av3 .
P=
2%Sv 2
Hierbei sind A und S positive Konstanten, die mit der Größe und der Form des Vogels
zusammenhängen.
Berechne jene Geschwindigkeit v0 , welche die minimale Leistung erfordert.
4. Ableitung.
Bestimme für die folgenden Funktionen jeweils die Ableitung.
1
a) f (x) = 3 ,
x
b) f (x) = e−3x ,
7
,
+ 4x2 + 8
cos x
d) f (x) = cot x =
.
sin x
c) f (x) =
x5
5. Extremwert.
Es seien a1 , . . . , an ∈ R gegebene Meßwerte.
Bestimme eine reelle Zahl x derart, daß
n
X
Q(x) :=
(x − ai )2
i=1
ein Minimum erreicht. Entspricht das Resultat der Anschauung?
6. Noch ein Extremwert.
Der Energieverbrauch einiger fliegender Vögel kann gemessen werden. Bei dem australiJ
schen Sittich Melopsittacus undulatus wird der Energieverbrauch, angegeben in g km
, gut
beschrieben mit der Formel
1
E = [0,31(v − 35)2 + 92].
v
Hierbei ist v die Geschwindigkeit des Vogels in km
gegenüber der Luft.
h
Bei welcher Geschwindigkeit wird der Energieverbrauch pro Kilometer am niedrigsten?
Die Angaben wurden übrigens aus einer Arbeit von V. A. Tucker und K. Schmidt-Koenig
aus dem Jahre 1971 übernommen.
7. Zusatz. Der Zuwachs.
Es sei f : R → R die Funktion mit f (x) = aqx , wobei a und q feste reelle Zahlen seien. q
werde als positiv angenommen. Ferner sei h > 0 eine reelle Zahl.
Bestimme den Zuwachs
∆f (x) = f (x + h) − f (x)
der Funktion f . Ist ∆f ebenfalls von der Form ∆f (x) = bqx mit einem festem b ∈ R?
Zehntes Blatt, Wintersemester 2001/2002, Ausgabe am 8. Januar 2002
Abgabetermin für die Aufgaben 4 bis 6: Dienstag, 15. Januar 2002, vor der Vorlesung
Bernd Beyerstedt und Jörg Jahnel • Url : http://www.uni-math.gwdg.de/jahnel