Aufgabe ¨UD1 Ein Fahrzeug der Masse m bewegt sich mit der

Aufgabe ÜD1
Ein Fahrzeug der Masse m bewegt sich mit der geschwindigkeitsabhängigen Beschleuni√
gung a = v/k entlang der s-Achse. Zur Zeit t = 0 passiert der Wagen den Ort s0 mit
der Geschwindigkeit v0 .
√
v
Geg.: m , s0 , t1 , v0 , a =
mit k = const
k
g
v0
0
s0
s1
Ges.:
a) die Dimension der Konstanten k,
b) die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit: v = v(t),
√
c) die Stelle s = s1 , die der Wagen zur Zeit t = t1 = 2k v0 erreicht,
d) seine Beschleunigung an der Stelle s = s1 ,
e) die Leistung des Motor an der Stelle s = s1 !
s
Aufgabe ÜD2
Eine quadratische Scheibe mit Masse m1 und Trägheitsmoment JS1 ist im Gelenk C
mit einem Balken mit Masse m2 und Trägheitsmoment JS2 verbunden. Der Balken ist
seinerseits bei D gelenkig mit der Decke verbunden. Zum Zeitpunkt t = 0 wird das
System aus der skizzierten Ruhelage losgelassen.
Annahmen: Die Bauteile 1 und 2 besitzen eine homogene Masseverteilung und seien
starr. Alle Gelenke seien reibungsfrei.
3
m1 , JS2 , ⃗g
2
Geg.: b , m1 , JS1 , m2 mit m2 =
D
b
g
m2, JS2
S2
m1, JS1
b/2
s
s
S1
b/2
C
b
Ges.:
Bestimmen Sie für den Zeitpunkt unmittelbar nach dem Loslassen (Zeitpunkt t = 0+ )
a) den kinematischen Zusammenhang zwischen der Schwerpunktsbeschleunigung ⃗as1
der Scheibe und den Winkelbeschleunigungen von Scheibe und Balken,
b) Freischnitte für Scheibe 1 und Balken 2,
c) das Verhältnis der Winkelbeschleunigungen von Scheibe und Balken,
d) die Schnittreaktionen im Balken bei S: S!
Aufgabe ÜD3
Der in der Ruhelage dargestellte Schwinger besteht aus einer schweren Kreisscheibe der
Masse M , die an einer Feder der Federsteifigkeit c drehbar hängt. Über die Scheibe ist
ein Seil gelegt, welches eine zweite Masse m trägt.
Annahmen: Die Massenverteilung der Kreisscheibe ist homogen. Gelenke seien reibungsfrei. Das Seil sei dehnsteif, Seil und Feder seien masselos. Zwischen Seil und Rolle sei
kein Schlupf.
Geg.: M , JS , r , m , c
c
M
JS
A
r
m
v0
B
Ges.:
Bestimmen Sie
a) die Kompatibilitätsbedingung zwischen den Beschleunigungen der Masse m und des
Aufhängepunktes A als Funktion der Winkelbeschleunigung der Scheibe,
b) die Differentialgleichung der Bewegung für die Masse m,
c) die Lagerreaktion am Lager B als Funktion der Winkelstellung der Scheibe,
d) die Lösung der Bewegungsgleichung, wenn die Masse m in der gezeichneten Ruhelage
die Anfangsgeschwindigkeit ⃗v0 erhält!
Musterlösung Übungsklausur Mechanik II SS11
Aufgabe D1
a)
dv
=a
dt
dv
dt = k 1/2
v
⇒
C0 aus Anfangsbedingung: t = 0 :
⇒
v = v0
(
v=
∫
t=k
1/2
⇒
√
t
+ v0
2k
dv
= 2kv 1/2 + C0
1/2
v
C0 = −2kv0
)2
b)
ds
=v
dt
⇒
ds = vdt
∫ (
s=
√
t
+ v0
2k
C1 aus Anfangsbedingung: t = 0 :
2k
s = s0 +
3
⇒
)2
s=
vdt =
(
√
2
t
dt = k
+ v0
3
2k
s = s0
[(
⇒
√
t
+ v0
2k
s1 = s(t1 ) = s0 +
c)
∫ (
∫
√
t
+ v0
2k
)2
)3
+ C1
3/2
C1 = s0 − 2/3 k v0
)3
−
√
]
v0
3
2k √ 3
7 v0
3
√
v1 = v(t1 ) = 4 v0 2 = 4v0
√
√
2 v0
v1
a1 = a(t1 ) =
=
= 2a(0)
k
k
d)
Leistung:
P = F⃗ · ⃗v
⇒
√
√
√
P1 = ma1 v1 = m2 v0 /k 4( v0 )2 = 8m/k v0 3
dt
Aufgabe D2
a) Euler:
⃗aA = ⃗aB + ⃗aA,B ,
⃗aC = ⃗aB + ⃗aC,B
Komponenten in y-Richtung:
0
FF
aAy = aBy + rφ̈
0
aCy = aBy + 2rφ̈
⇒
A
C
aCy = 2aAy
aCy
ϕ
aAy
B
aBy
SB
b)
m am
= −SC
M aM
= SC + SB − F F =
JS φ̈
⇒
(
mit
SC
am = aCy
statische Ruhelage
bei y = 0
M
am ,
2
yC
mit FF = c yA = c
2
am
= (SC − SB ) r = JS
2r
JS
M
ym
+ 2m + 2 ) am = −FF = −c
2
2r
2
√
Eigenkreisfrequenz: ω0 =
y
m
am=aCy
mit am = ÿm
c
JS /r2 + M + 4m
c) Lösungsansatz: ym = y0 cos(ω0 t − ψ)
Anfangsbedingungen:
⇒
t=0:
ym = 0
t=0:
ẏm = v0 = −y0 ω0 sin(−π/2) = y0 ω0 ,
SC
ψ = π/2
⇒
y0 = v0 /ω0
Die Lösung lautet:
ym = v0 /ω0 cos(ω0 t − π/2) = v0 /ω0 sin(ω0 t)
Aufgabe D3
a)
Dy
Dx
⃗aS1 = ⃗aC + ⃗aS1 ,C
ϕ1, ϕ1
G1
√
Geometrie: sin φ1 = cos φ1 = 1/2 2
Momentane Lage: φ̇1 = φ̇2 = 0
aS1n
aS1t
aCn ϕ
1 aS,C
n aS,Ct
a
ϕ2, ϕ2
Ct
Tangentialkomponente:
Cx
G2
Cy
0
aS1t = −
aCn sin φ1 − aCt cos φ1 + aS1,Ct =
= −2bφ̈2
√ φ̈1
1√
b√
2+
2φ̈1 = b 2 (
− φ̈2 )
2
2
2
Normalkomponente:
aCn
Cx
s
aCt
0
0
aS1n = −
aCn cos φ1 + aCt sin φ1 + aS1,Cn =
√
= b 2φ̈2
L
Mb
Cy
Q
s
aS’n
aS’t
Cx
G‘
Cy
b) Kinetische Beziehungen
Scheibe: Drallsatz um S1 und Schwerpunktsatz in tangentiale und normale Richtung
Balken: Drallsatz um D
JS1 φ̈1 = (Cx − Cy ) b/2
m1 aS1t
(1)
√
√
= (−Cx + Cy + G1 ) 2/2 = m1 b 2 (φ̈1 /2 − φ̈2 )
√
√
m1 b 2 φ̈2 = (Cx + Cy + G1 ) 2/2
(2)
(3)
JD φ̈2 = −Cx 2b
(4)
Dies sind vier Gleichungen für vier Unbekannte.
Aus (2) und (3) lässt sich Cy eliminieren. Mit der erhaltenen Gleichung und Gleichung
(4) folgt für das Verhältnis der Winkelbeschleunigungen:
JD + 4m1 b2
1/3m2 b2 + m2 b2 + 4m1 b2
φ̈1
=
=
φ̈2
m 1 b2
m1 b2
m2 =3/2m1
=
6
c) Aus Unterpunkt b) seien Cx , Cy sowie φ̈1 , φ̈2 gegeben. Dann folgt für den Freischnitt
des Balkenabschnitts von S : S bis C:
0 = L − G′ + Cy
⇒
1
L = m 2 g − Cy
4
=
− (JS ′ 2 +
3 1
1
m2 ( + )b φ̈2 = −Q − Cx
4
2 4
JS ′ 2 φ̈2 = −Cx
⇒
b
b
+ Q − Mb
2
2
b
Mb = (Q − Cx ) − JS ′ 2 φ̈2
2
7
m2 b2 ) φ̈2 − Cx b
32
mit JS ′ 2 = 1/48 m2 b2
Hinweis: Die Lösung lautet für Cx , Cy sowie φ̈1 , φ̈2 :
Cx = −
φ̈1
=
g
b
m1 g
6
, Cy = −
, φ̈2
=
m1 g
2
1g
6b