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160407Ph4-Jg12MechanischeSchwingungen.TEX
. April 
Mechanische Schwingungen
Dorn-Bader 12/13 S. 97 ff
Metzler S. 108 ff
1. Beschreibung von Schwingungsvorgängen
Versuch: Federpendel
Ein einfaches Federpendel zeigt die typischen Merkmale einer Schwingung:
An das untere Ende einer elastischen Schraubenfeder wird ein geeigneter Körper angehängt.
Durch die Gewichtskraft G = m g des Körpers dehnt sich die Feder, bis die Gleichgewichtsbzw. Ruhelage erreicht ist. Zieht man den Körper in vertikaler Richtung aus der Ruhelage nach
unten und lässt ihn los, so führt er eine periodische Bewegung um die Ruhelage aus
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0
unbelastete
Feder
Ruhelage
~Fs
~Fs
~
G
~F
~Fs
~
G
~F
~
G
A BB . 1
Durch die zusätzliche Dehnung der Feder über die Gleichgewichtslage hinaus wird die Federkraft Fs größer als die Gewichtskraft des Körpers G. Beim Loslassen zieht die Feder den Körper
beschleunigt nach oben. Die beschleunigende Kraft nimmt wie die Federdehnung stetig ab, bis
die Gleichgewichtslage erreicht ist. Dabei nimmt die Geschwindigkeit nach oben ständig zu
und erreicht in der Gleichgewichtslage ihren größten Wert. Durch die Trägheit bewegt sich der
Körper weiter nach oben. Oberhalb der Gleichgewichtslage ist die Gewichtskraft G größer als
die Federkraft Fs und der Körper wird bis zur Ruhe im oberen Umkehrpunkt abgebremst. Dort
hat die rücktreibende Kraft F = G − Fs ihren größten Betrag. Sie beschleunigt den Körper nach
unten und der Bewegungsvorgang wiederholt sich in umgekehrter Richtung, bis der untere
Umkehrpunkt wieder erreicht ist. Dann setzt die zweite Periode der Schwingung ein.
Definition: Führt ein Körper periodische Hin- und Herbewegungen durch eine Ruhelage aus,
so nennt man diesen Bewegungsvorgang eine Schwingung.

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Charakteristische Größen:
1. Die Schwingungs- oder Periodendauer T ist die Zeit für einen vollen Hin- und Hergang.
Sie ist die Zeitdauer zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichen Schwingungszuständen.
2. Die Frequenz f ist der Quotient aus der Anzahl der n Schwingungen und der dazu benötigten Zeit t
f =
n
1
= .
t
T
Einheit [ f ] = 1 s−1 = 1 Hz
3. Die momentane Auslenkung oder Elongation s = s(t) gibt den Weg an, um den sich
der schwingende Massenpunkt aus der Ruhelage entfernt hat. Für die Ruhelage ist die
Elongation Null, sie heißt daher auch Nullage. Da die Auslenkungen nach beiden Seiten
von der Nullage erfolgen, unterscheidet man sie im Vorzeichen voneinander.
4. Die Amplitude b
s ist die größte Elongation einer Schwingung. Sie wird immer positiv
angegeben. Sie ist die Entfernung zwischen Nullage und einem Umkehrpunkt.
Hinweis: Bleibt die Amplitude einer Schwingung konstant, so heißt die Schwingung ungedämpft. Nimmt die Amplitude mit der Zeit ab, so heißt die Schwingung gedämpft.
2. Harmonische Schwingung
Im Folgenden sollen die Schwingungen ungedämpft sein.
Versuch:

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An einem langen Faden wird ein Massestück (MS) zwischen zwei Schraubenfedern aufgehängt. Der Faden ist sehr lang, so dass bei kleinen Auslenkungen das MS sich nur horizontal
bewegt. Man lenkt das MS aus und lässt es anschließend los: Das MS führt eine (gedämpfte)
mechanische Schwingung aus.
Vor diesem Oszillator lässt man mit Hilfe eines Motors ein Korkenstück eine gleichförmige
Kreisbewegung ausführen und regelt die Drehzahl des Motors, die Amplitude und die Federspannung des Schwingers so, dass in der Projektion beide Schatten zu gleicher Zeit die gleiche
Endlage erreichen. Im Schattenwurf erkennt man, dass sich die Bewegungen des schwingenden MS und des auf einem Kreis umlaufenden Korkens decken.
Hinweis zum Experiment: Durch Veränderung der Federlängen kann die Schwingungsdauer
des Pendels empfindlich verändert werden.
Es besteht offensichtlich eine eindeutige Zuordnung zwischen der gleichförmigen Kreisbewegung und der betrachteten mechanischen Schwingung.
Definition
Eine mechanische Schwingung, die mit der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung
übereinstimmt, heißt harmonische Schwingung.
Durch Parallelprojektion der gleichförmigen Kreisbewegung können die Bewegungsgesetze
der harmonischen Schwingung abgeleitet und mathematisch beschrieben werden (Dorn-Bader
Abb. B1-B4 S. 100/101). Zu einer bestimmten Zeit t entspricht ein Bewegungszustand der Kreisbewegung einer Elongation s der Schwingung.
y
y
s
r
s=y
ϕ
b
s=r
x
O
A BB . 2
Die Phase ϕ einer Schwingung zu einem bestimmten Zeitpunkt t ist der Winkel, den der Radiuspfeil in der zugehörigen Kreisbewegung mit der positiven x-Achse einschließt.
Der Radius r der Kreisbewegung entspricht der Amplitude b
s der Schwingung. Umlaufzeit T
und Frequenz f der Kreisbewegung entsprechen Periodendauer T und Frequenz f der Schwingung und die Winkelgeschwindigkeit ω = 2π f der Kreisbewegung der (sogenannten) Kreisfrequenz ω = 2π f der Schwingung.

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Die Projektion des Radiuspfeils r liefert bei der Anfangsbedingung t = 0 s, s = 0 m die Elongation s = b
s sin ϕ = b
s sin ω t.
Ist zum Zeitpunkt t = 0 s die Auslenkung s maximal, dann gilt s = b
s cos(ω t).
Allgemein
Ist für t = 0 s die Phase ϕ0 , d. h. s(0) = b
s sin ϕ0 , dann gilt für die Elongation s = b
s sin(ω t + ϕ0 )
Ergebnis: Die harmonische Schwingung ist eine Sinus-Schwingung!
Da man die Kreisbewegung nach dem Überlagerungsprinzip der Mechanik z.B. in zwei unabhängige Bewegungen längs der x- und y-Achse zerlegen kann, lassen sich auch Geschwindigkeit und Beschleunigung des schwingenden Massenpunktes aus der Projektion ableiten.
y
~vt
~r
s,v,a
~vy
~v
~ar ~ay
ωt
~a
ωt
~s
ωt
x
A BB . 3
Sei o.B.d.A. bei t = 0 s die Elongation s = 0 m, also s = b
s sin ω t. Dann gilt für die Geschwindigkeit v des harmonisch schwingenden Körpers: vy = v(t) = ωb
s cos ωt und für die Beschleu2
s sin ωt.
nigung a des schwingenden Körpers ay = a(t) = −ω b
Hinweis: Die Bewegungsgesetze der ungedämpften harmonischen Schwingung lassen sich nach
den bekannten Regeln (Geschwindigkeit v(t) = ṡ(t) und Beschleunigung a(t) =
v̇(t) = s̈(t)) aufstellen (!beachte die Kettenregel beim Ableiten!)
Für die Bewegungsgesetze der ungedämpften harmonischen Schwingung mit der Anfangsbedingung t = 0 s, s = 0 m gilt:
1. Zeit-Weg-Funktion
s=b
s sin(ω t)
2. Zeit-Geschwindigkeit-Funktion
v = ṡ(t) = ω b
s cos(ω t)
3. Zeit-Beschleunigung-Funktion
s sin(ω t) = −ω 2 s(t)
a = v̇(t) = s̈(t) = −ω 2 b

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3. Die rücktreibende Kraft bei der harmonischen Schwingung
Bei harmonischen Schwingungen ist die Beschleunigung und somit nach dem newtonschen
Grundgesetz F = m · a auch die Rückstellkraft proportional zur Elongation und stets auf die
Ruhelage hin gerichtet.
a = −ω 2 s =⇒ F = m a = −m ω 2 s = − D s
Der Proportionalitätsfaktor D heißt Richtgröße des schwingenden Systems.
Dieses einfache Elongations-Kraftgesetz kann auch zur Definition der harmonischen Schwingung benutzt werden. (vgl. 4)
Die Richtgröße D des schwingenden Systems und die Masse m bestimmen als charakteristische
Größen des harmonischen Oszillators die Kreisfrequenz ω bzw. die Frequenz f und damit die
Periodendauer T folgendermaßen:
r
r
r
1
ω
1
D
D
m
2
mω = D ⇒ ω =
⇒ f =
=
⇒ T = = 2π
m
2π
2π m
f
D
Definition
Eine Schwingung ist genau dann harmonisch, wenn sie das lineare Elongations-Kraftgesetz
F = − D s erfüllt.
DierPeriodendauer T eines Schwingers der Masse m und der Richtgröße D beträgt T =
m
2π
D
Merke: Der Zusammenhang zwischen harmonischer Schwingung und gleichförmiger Kreisbewegung wird zur Zeigerdarstellung von Schwingungen verwendet. Man lässt einen
Pfeil der Länge r (=Zeiger) mit der Winkelgeschwindigkeit ω um den Ursprung des
Koordinatensystems rotieren und erhält aus seiner Projektion auf die s-Achse die Elongation s.
4. Die Schwingungsgleichung
Bei der Herleitung der Gesetze der harmonischen Schwingung geht man vom ElongationsKraftgesetz F = − D s aus. Mit der Newtonschen Grundgleichung der Mechanik F = m a folgt:
m a = − D s oder
D
s( t)
m
:= Differentialgleichung (DGl) zweiter Ordnung!
m s̈(t) = − D s(t) =⇒ s̈(t) = −
←− Schwingungsgleichung
Die allgemeine Sinusfunktion s(t) = b
s sin(ω t + ϕ0 ) ist eine Lösung.

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Begründung:
2
s sin(ωt + ϕ0 ) = −ω
s̈(t) = −ω 2b
r s(t). Durch Einsetzen in die DGl
D
D
D
erhält man −ω 2 s(t) = − s(t) =⇒ ω 2 =
=⇒ ω =
. Mit diesem ω ist die DGl für
m
m
m
alle t erfüllt. b
s, ϕ0 werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Ist zum Zeitpunkt t = 0 s
die Elongation s = 0 m, dann ist die Lösung s(t) = b
s sin(ω t). Ist zum Zeitpunkt t = 0 s die
Elongation s = b
s, dann ist die Lösung s(t) = b
s sin(ω t + π2 ) = b
s cos(ω t).
ṡ(t) = ωb
s cos(ωt + ϕ0 )
5. Der Energiesatz bei Schwingungen
Wird ein Körper bei einer mechanischen Schwingung aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt, so muss an ihm Arbeit gegen die Rückstellkraft verrichtet werden. Das System gewinnt
Elongationsenergie. Nach dem Loslassen des Körpers nimmt die Elongationsenergie WElong ab
und die kinetische Energie Wkin zu. Ist keine Dämpfung vorhanden, so wandeln sich die beiden
Energieformen periodisch ineinander um. Ihre Summe bleibt nach dem Energiesatz erhalten.
Für die ungedämpfte harmonische Schwingung lässt sich dies beweisen:
1 2
1
1
1
Ds = D ŝ2 sin2 ωt
Wkin = mv2 = m ω 2 ŝ2 cos2 ωt
2
2
2
2
1
1
D
ist, folgt Wkin = D ŝ2 cos2 ωt und somit WElong + Wkin = D ŝ2 (sin2 ωt + cos2 ωt) =
Da ω 2 =
m
2
2
1 2
D ŝ = konstant.
2
1
Hinweis: Mit D = m ω 2 wird die Konstante zu mω 2 ŝ2 . Die Gesamtenergie des harmonischen
2
Schwingers ist also den Quadraten der Amplitude und der Frequenz (ω = 2π f ) proportional.
WElong =
Beispiele harmonischer Schwingungen
Das Feder-Schwere-Pendel
Nach dem Hookeschen Gesetz ist die Dehnung einer Schraubenfeder der dehnenden Kraft
proportional. Wählt man die positive Richtung der Auslenkung nach unten, so gilt:
• In der Gleichgewichtslage hebt die nach oben gerichtete Spannkraft Fs = − D y0 die nach
unten gerichtete Gewichtskraft G auf: G = − Fs
• Wird der Körper um die Strecke s > 0 nach unten ausgelenkt, dann vergrößert sich die
Zugkraft Fs = − D (y0 + s) der Feder. Es ergibt sich eine resultierende Kraft F = − D (y0 +
s) + G = − D y0 − D s + D y0 = − D s nach oben.
• Wird der Körper um die Strecke s < 0 nach oben ausgelenkt, dann verkleinert sich die
Zugkraft Fs = − D (y0 + s) (s < 0) der Feder. Es ergibt sich eine resultierende Kraft F =
− D (y0 + s) + G = − D y0 − D s + D y0 = − D s nach unten.

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0
~Fs
~s
~Fs
y0
~
G
~s
~Fs
~F
~
G
s<0
0
s>0
~F
y
~
G
s = y − y0
A BB . 4
Für die Rückstellkraft F ergibt sich in beiden Elongationsrichtungen dasselbe lineare ElongationsKraftgesetz: F = − D s. Das Feder-Schwere-Pendel schwingt also harmonisch.
Das Fadenpendel
Eine kleine Kugel ist an einem dünnen Faden aufgehängt (=Fadenpendel). Als Elongation
der schwingenden Kugel misst man die Länge s des Bogens, auf dem sich die Kugel bewegt.
O.B.d.A. kann sie links vom Nullpunkt positiv, rechts davon negativ gerechnet werden. Diese
Vorzeichenregelung kann auch für Geschwindigkeiten und Kräfte getroffen werden. Die rücktreibende Kraft liefert die auf den Pendelkörper der Masse m wirkende Gewichtskraft G = m g.
Die Gewichtskraft G wird in zwei Komponenten zerlegt. Die Komponente Fr in Richtung
des Fadens wird durch seine Spannkraft kompensiert. Die Komponente Ft tangential an den
Kreisbogen ist der Elongation entgegengerichtet, sie ist die rücktreibende Kraft. Für sie gilt:
mg sin ϕ
Ft
=−
.
Ft = −mg sin ϕ. Mit s = ℓ ϕ (ϕ im Bogenmaß) wird
s
ℓ ϕ
Ft
Schwingt ein Fadenpendel harmonisch? Dazu müsste der Quotient
konstant sein. Da sich
s
sin ϕ
sin ϕ
nicht kürzen lässt, liegt keine Konstante vor. Für kleine Winkel ϕ ist jedoch
≈ 1
ϕ
ϕ
(für ϕ < 10◦ ist der Unterschied zwischen sin ϕ und ϕ kleiner als 0,5%). In diesem Bereich ist
Ft
mg
≈
=konstant. Man kann in diesem Winkelbereich das Fadenpendel als harmonischen
s
ℓ
s
Schwinger der Richtgröße D =
mg
betrachten. Für die Periodendauer gilt dann T = 2π
ℓ

ℓ
.
g
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ϕ
ℓ
x
ϕ
~Fr
~Ft
s
~
G
A BB . 5
Hinweise:
• Um bei einem schwingungsfähigen System zu überprüfen, ob es harmonisch schwingt,
F
genügt es - ohne Rücksicht auf Vorzeichen - zu untersuchen, ob =konstant ist.
s
• Für kleine Auslenkungen ist s ≈ x, d. h. gleich der horizontalen Auslenkung. Somit
kann auch beim Fadenpendel für kleine Auslenkungen die Elongationsenergie mit W =
1
1 mg 2
2
2 Dx = 2 · ℓ x ausgedrückt werden.
Übungen
Beispiel:
• Dorn-Bader S. 102 Berechnungen am Federpendel
• Dorn-Bader S. 103-V1 Schwingende Flüssigkeit im U-Rohr.
• Dorn-Bader S. 105 Der horizontale Federschwinger (Musteraufgabe: Dorn-Bader S. 106)
Aufgaben S. 102 A1, A2; S. 104 A2/A3; S. 107 A2, A6 bis A8
Reihenschaltung und Parallelschaltung von Federn

Fs . April 
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10
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D
1
D
1
D
2
s
D
2
D
2
D
1
D
2
D
1
F
F
s
F
A BB . 6
Reihenschaltung
s1 + s2 = s ⇒
F
1
1
1
F
F
+
⇒
=
+
=
D1
D2
D
D
D1
D2
Parallelschaltung
F = F1 + F2 ⇒ D · s = D1 · s + D2 · s ⇒ D = D1 + D2
6. Gedämpfte Schwingungen
vgl. Dorn-Bader S. 112/113
Experimente dazu können im Praktikum durchgeführt werden.
Wird eine harmonische Schwingung durch eine konstante Reibungskraft gedämpft, so nehmen die Amplituden linear ab. Bei einer zur Geschwindigkeit proportionalen Reibungskraft, nehmen die Amplituden exponentiell ab.
Übungen Dorn-Bader S. 113 A1 und A2
7. Rückkopplungsschaltung
vgl. Dorn-Bader S. 114 V1 und V2
Experimente dazu können im Praktikum durchgeführt werden.

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8. Erzwungene Schwingungen
vgl. Dorn-Bader S. 116 V1
Experimente dazu können im Praktikum durchgeführt werden.
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