§ 4 In a nutshell: Elektrodynamik § 5 Optik § 6 Atomphysik und

§4
In a nutshell: Elektrodynamik
1. Elektromagnetische Kräfte
§5
§6
2. Die Maxwellschen Gleichungen
3
3. Elektromagnetischer Felder in Materie
7
Optik
1. Geometrische Optik
1.1 Brechung und Reflexion
1.2 Dispersion
1.4 Reflexions- und Transmissionskoeffizienten, Fresnelformeln
1.4.1. Optische Abbildungen
1.4.2 Geometrische Bildkonstruktion
1.5. Optische Instrumente
1.6
Abbildungsfehler (die wichtigsten)
11
12
16
17
18
20
22
24
2. Absorption, Streuung, Extinktion
25
3. Interferenz und Beugung
3.1. Beugung an periodischen Strukturen
3.2. Beugung an allgemeinen Strukturen
3.3. Beugung und Auflösungsvermögen optischer Instrumente
28
30
39
4. Schwarze Strahler und Pyrometrie
41
Atomphysik und Quantenmechanik
1. Physik von Gallileo Galilei (* 1564) bis James Clerk Maxwell (+ 1879)
49
2 Welle-Teilchen Dualismus
50
3. Spektrallinien und Atommodelle
50
4. Wellenmechanik
4.1. Die Schrödinger-Gleichung
4.2. Wellenfunktionen
4.3. Die Unschärferelation
4.4. Zeitabhängige Quantenphänomene
55
59
61
66
5.
6.
Quantenmechanik in einer Dimension
5.1. Kastenpotentiale („eingesperrte Quantenteilchen“)
5.2. Der Tunneleffekt
5.3. Der harmonische Oszillator
67
70
71
Atomaufbau und chemische Elemente
6.1
Entartung
6.2
Das Pauli-Prinzip
6.3
Der Zeeman-Effekt
6.4. Spinresonanz-Analytik
6.5. Röntgenstrahlung
73
76
79
81
84
1
§7
§8
Kernphysik und Radioaktivität
1.
Der Aufbau der Atomkerne
86
2.
Radioaktiver Zerfall und Strahlungsmessgrößen
87
3.
Masse – Energie – Äquivalenz und Kernenergie
90
4.
Kurzausflug Relativitätstheorie
92
5.
Vernichtungsstrahlung
95
Festkörperphysik
1. Elektronen im periodischen Potential
1.1. Der k - Raum
1.2 Röntgenbeugung
1.3. Das reziproke Gitter
1.4. Bloch-Wellen und Bandstruktur
96
97
100
101
102
2. Halbleiter und Isolatoren
2.1. Fermistatistik und Eigenleitung
2.2. Das Drude-Modell
2.3. Dotierung und Elektronik
2.4. Der p-n-Übergang
106
107
111
113
115
3. Festkörper-Optik
3.1. Der photovoltaische Effekt
3.2. Leuchtdioden und Halbleiterlaser
116
117
119
2
§ 4 In a nutshell: Elektrodynamik
Elektrizität:
Ladung:
Kräfte zwischen (ruhenden oder relativ zueinander bewegten) elektrischen
Ladungen
1) quantisierte, bipolare ( ± e ) Kenngröße der Materie
2) neben Masse allein entscheidend für alle Dynamik
(außer im Inneren der Atomkerne ! )
Beachte:
Anders als bei Gravitation, sind für die Dynamik der geladenen Materie die
Quelle der Kraft (Ladungen) und die Trägheit (Masse) nicht dasselbe!
Ursprung der Ladung, Aufbau der Atome
1.)
Atomkern:
d ≈ 10−15 m
Größenvergleich:
Z Protonen mit
q = + e = 1, 602 ⋅10−19 As
Fußball
m p = 1, 0073u = 1,6727 ⋅10−27 kg
N Neutronen mit
q=0
m N = 1, 0087 u = 1, 6750 ⋅10−27 kg
A = Z + N ist die “Massenzahl“ des Kerns
2.)
Elektronenhülle:
d ≈ 10−10 m
Großraum Nürnberg/
z Elektronen mit
q =−e
me =
Fürth/Erlangen
1
u = 9,109 ⋅10−31 kg
1823
Zwei Wege zu geladener Materie
1.)
Elektronen „befreien“ →
freie Elektronen & positiv geladene Restatome
= Kationen
2.)
Elektronen zwischen Atomen / Molekülen übertragen → Ionen, +
−
speziell wichtig in E-Technik:
Elektronen zwischen Festkörpern übertragen
→ geladene Grenzflächen
1
1.
Elektromagnetische Kräfte
1.)
Ladung allein bewirkt elektrisches Feld E =
1
⋅D
ε0
E wirkt auf andere (Probe-) Ladung q mit Kraft FC = q ⋅ E : Coulomb-Kraft
(alles wie Gravitation, aber „bipolar“)
V
As
−12 As
E  =
D  = 2
ε
=
8,854
⋅
10
Feldkonstante
0
  m
  m
Vm
Kausalkette der Elektrostatik:
Ladungsdichte ρ ( r )
Dielektr. Verschiebung (Flussdichte) D ( r ) = 41π
∫
ρ ( r ' ) ⋅ ( r − r ')
r−r'
3
dV '
E ( r ) durch zusätzliche Berücksichtigung mikroskopischer induzierter Dipole (s.u.)
FC = q ⋅ E Kraftwirkung auf (andere) Ladungen.
2.)
bewegte Ladung bewirkt Magnetfeld B = µ 0 ⋅ H
(Achtung: Aus historischen Gründen heißt B „magnetische Induktion oder
Flussdichte“ und H „Magnetfeld“)
B wirkt auf mit v bewegte Ladung durch die Lorentz-Kraft
FL = q ⋅ v × B
A
H  =
  m
Vs
B = 2
  m
µ 0 = 4π ⋅10−7
Vs
Feldkonstante
Am
Kausalkette der Magnetostatik:
Stromdichte j ( r )
Magnetische Feldstärke H ( r ) =
1
4π
∫
j ( r ') × ( r − r ')
r−r'
3
dV '
B ( r ) durch zusätzliche Berücksichtigung mikroskopischer ausgerichteter Dipole (s.u.)
FL = q ⋅ v × B Kraftwirkung auf (andere) Ströme = bewegte Ladungen.
Beachte:
Analogie der Einheiten mit A ↔ V Vertauschung, wobei dafür
allerdings E ↔ H und D ↔ B korrespondieren!
2
2.
Die Maxwellschen Gleichungen
1.)
Die Quellen des elektrischen Feldes
Das aus einem von der Fläche A umschlossenen Volumen V heraustretende
Feld der dielektrischen Verschiebung ε0 E = D
ist gleich der Ladung in V.
∫ D ⋅ dA = Q
V
A
= ∫ ρ ( r ) dV
V
Ladungsdichte in V
→ Gaußsches Gesetz der Elektrostatik
2.)
Die Quellen des magnetischen Feldes (der magnetischen Flussdichte)…..…
……… existieren nicht !
∫ B ⋅ dA = µ ∫ H ⋅ dA = 0
0
A
A
→ magnetische Feldlinien entspringen nirgendwo, sie können nur in Wirbeln
auftreten.
3
3.)
Die Wirbel des elektrischen Feldes
Das längs einer (orientierten) Schleife integrierte elektrische Feld
( E ⋅ ds , Feldkomponenten in Schleifenrichtung, also Skalarprodukt!)
ist gleich
dem negativen der Änderungsrate des die Schleife durchsetzenden magnetischen Flusses:
für feste Schleife
∫ E ⋅ ds = −
S
d
∂B
B
t
i
dA
=
i dA
−
(
)
∫
∫
dt A
∂t
A
→ sich ändernde Magnetfelder erzeugen stets elektrische Wirbelfelder
→ Faradaysches Induktionsgesetz
4.)
Die Wirbel des magnetischen Feldes
Das längs einer (orientierten) Schleife integrierte magnetische Feld ist gleich
der Summe aus dem die Schleife durchsetzendem Strom und der die Schleife
durchsetzenden elektrischen Flussänderungsrate (Verschiebungsstrom):

∂D 
H
⋅
ds
=
j
+
∫S
∫A  el ∂t  ⋅ dA
→ Ampere’sches Gesetz mit Maxwellscher Ergänzung
→ Ströme und sich ändernde elektrische Felder erzeugen stets magnetische
Wirbelfelder !
4
Differentielle Form der Maxwell’schen Gleichungen
Mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes (s.u.) können 1.) und 2.) und mit Hilfe des
Stokesschen Integralsatzes (s.u.) können 3.) und 4.) durch Anwendung auf
infinitesimale Volumina / Schleifen umgeformt werden zu:
1.)
∇ i D = div D = ρ
2.)
∇ i B = div B = 0
3.)
ɺ
∇× E = rot E = −B
4.)
ɺ
∇× H = rot H = j + D
Dabei ist
 ∂A z ∂A y 
 ∂ 
−


 
y
∂
∂z 
x
∂



A
r
(
)
 
x
  ∂A
∂A 
 ∂  
∇× A ( r ) =   ×  A y ( r )  =  x − z 
∂y
∂z
∂x 
  A (r) 
  ∂A y ∂A x 
 ∂   z
−
 


∂
x
∂y 
 ∂z 

die so genannte Rotation (Wirbelstärke) des Vektorfeldes A ( r ) und selbst wieder ein
Vektorfeld und
 ∂ 
 
 ∂x 
 ∂ 
∇iA =  
∂y
 
 ∂ 
 
 ∂z 
 Ax 
  ∂A x ∂A y ∂A z
i  Ay  =
+
+
∂
x
∂
y
∂z
A 
 z
die so genannte Divergenz (Quellstärke) des Vektorfeldes A ( r ) und selbst ein
Skalarfeld.
5
Mathematischer Einschub: zwei wichtige Integralsätze
__________________________________________________________________________
1.)
Der Gaußsche Integralsatz (ganz wichtig in Elektrostatik)
Sei D ( r ) ein beliebiges (stetig differenzierbares) Vektorfeld und V ein von
einer geschlossenen Fläche A umschlossenes Volumen. dA bezeichne die nach
außen gerichteten und mit der Größe der Flächenelemente dA gewichteten
Flächennormalen der Flächenelemente von A. Dann gilt folgender
Zusammenhang zwischen dem Oberflächenintegral über A
und dem Volumenintegral über V:
∫ D i dA = ∫ ( ∇ i D ) dV
A
Vektorfeld !
2.)
V
Skalarfeld !
Der Stokessche Integralsatz
Sei H ( r ) ein beliebiges (stetig differenzierbares) Vektorfeld und A eine
beliebige, von einer orientierten Schleife S umrandete Fläche. dA bezeichne
die gemäß dem Umlaufsinn von S gerichteten Flächennormalen der
Flächenelemente dA .
Dann gilt folgender Zusammenhang zwischen dem Kurvenintegral längs der
Schleife S und dem Flächenintegral über A:
∫ H ( r ) i ds = ∫ ( ∇× H ) i dA
A
Ende des mathematischen Einschubes
__________________________________________________________________________
6
3.
Elektromagnetische Felder in Materie
1.)
E - Felder:
Erzeugung oder Ausrichtung mikroskopischer, kompensierender
( ε > 0 ) Dipole (Polarisation):
E=
1
D
εε0
ε Dielektrizitätskonstante
2.)
B - Felder:
Ausrichtung vorhandener magnetischer, feldverstärkender (µ>1)
Dipole (nur bei magnetischen Materialien):
B = µµ 0 H
µ magnetische Permeabilität
Elektromagnetische Wellen
Betrachte:
Maxwell irgendwo im Raum, wo keine Ladungen und Ströme sind:
ɺ
ɺ
Maxwell 4: ∇ × H = D = εε 0 E
ɺ
ɺ
∇ × E = −B = −µµ 0 H
Maxwell 3:
A
Bilde ∇ × … in Maxwell 3, vertausche Zeit- und Ortsableitung:
∂
ɺ
∇ × ∇ × E = −µµ 0∇ × H = −µµ 0
∇×H
∂t
(
B
)
(
)
)
Setze Maxwell 4 für ∇ × H ein:
(
)
∇ × ∇ × E = −µµ 0
C
(
∂
∂ 
 εε0 E 
∂t 
∂t 
Benutze aus Vektoranalysis:
7
 ∂ 2 Vx ∂ 2 Vx ∂ 2 Vx 
+
+


2
∂y 2
∂z 2 
 ∂x
 ∂ 2 Vy ∂ 2 Vy ∂ 2 Vy 

∇ × ∇ × V = grad div V − 
+
+
2
∂y 2
∂z 2 
 ∂x
 2

2
2
 ∂ Vz + ∂ Vz + ∂ Vz 
 ∂x 2
∂y 2
∂z 2 

(
)
 ∆Vx 


∆V =  ∆Vy 
 ∆V 
 z
(durch Kettenregel direkt, wenn auch länglich nachrechenbar! ∆ ... ,
angewandt auf eine Vektorfeld, heißt auch „Vektor-Laplace-Operator“)
Setze E ( r ) =
1
D ( r ) für V und bekenke dass
εε 0
 1

→ grad div E = grad 
div D 
 εε 0 ρ( r )= 0 


(
)
Also bleibt:
 ∂2Ex
 2
 ∂t
 ∆E x 
 ∂2E y


∆E ( r, t ) =  ∆E y  ( r, t ) = εε 0µµ 0  2
 ∂t
 ∆E 
 z
 ∂2Ez
 2
 ∂t









(*)
Ein völlig analoges Ergebnis (vertausche Maxwell 3 / Maxwell 4) folgt für H ( r, t ) !
Zur Interpretation: Betrachte ein (speziell präpariertes) elektrisches Feld, für das
E ( r, t ) = E y ( x, t ) ⋅ ey überall in ± y-Richtung zeigt und nur längs x variiert. Dafür
kann man (*) dann vereinfachen zu:
∂ 2E y
∂x 2
= εµε 0µ 0
1
∂2Ey
∂t 2
c2
Das ist die von früher bekannte eindimensionale Wellengleichung!
8
Elektrische und magnetische Felder (alle Komponenten!) breiten sich wie Wellen aus!
Im leeren Raum mit der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit:
c=
1
m
= 2, 998 ⋅108 = c0
s
ε 0µ 0
In Materie langsamer, weil die Polarisation „mitgenommen“ werden muss:
c
1
c=
c0 ≈ 0
εµ meist ε
Allerdings:
Elektromagnetische Wellen müssen irgendwo im Raum lokal durch
Ladungsbewegung angeregt werden (wie Seilwellen!).
Wichtigste Art der Anregung:
Harmonisch oszillierende elektrische Dipole
p ( t ) = p0 ⋅ cos ( ωt )
d
mit p = q ⋅ d
Materialien / Hertz’sche Dipolstrahlung
Experiment: Hertzscher Dipol
1.)
wie früher wird die Wellenausbreitung durch die Dispersionsrelation
ω
2π
= c = λ⋅ν ;
ω = 2πν , k =
bestimmt.
k
λ
2.)
λ, ν variieren dabei in der Natur über mehr als 20 Größenordnungen !
Materialien / Das Elektromagnetische Spektrum
Demonstrationsversuch: Polarisator vor LCD-Bildschirm
9
Energie- und Impulstransport durch elektromagnetische Wellen
Bei Hertzschen Wellen und allgemein e-m-Wellen ist mit der Energiestromdichte S = S ( t )
t
stets eine eine Impulsstromdichte p / A = S / c befunden. Dieser Zusammenhang kann
vereinfacht aus einer Betrachtung von Energie- und Impulsübertrag auf eine der Welle
ausgesetzte Probeladeung q gewonnen werden. Wir wollen für diese vereinfachte Ableitung
das elektrische und magnetische Feld einer Hertzschen Welle als statisch betrachten, d.h. die
Wechselwirkung zwischen einer zunächst ruhenden Ladung und der Welle für eine Zeit t1
betrachten, die kurz gegenüber der Periodendauer 1/ν der Feldschwingung ist. Die Ladung
wird dann gleichmäßig beschleunigt und es gilt für die in E -Feldrichtung aufgenommene
geschwindigkeit: v ( t ) = a ⋅ t = F / m ⋅ t = q E / m ⋅ t . Damit verbunden ist eine kinetische
E ( t1 ) =
Energie E (ohne Vektorpfeil) zur Zeit t1 von
1
2
v 2 ( t1 ) =
1
2
2
q 2 / m E t12 .
Mit zunahme der Geschwindigkeit in E -Feldrichtung wirkt auf die Ladung aber auch die mit
dem Magnetfeld verbundenen Lorentzkraft. Die Richtung dieser Kraft ist parallel zu v × B ,
also auch zu E × H = S . Die Kraft wirkt also in Richtung der Wellenausbreitung. Für den
Betrag gilt nach der bekannten Formel für die Lorentzkraft F ( t ) = q ⋅ v ( t ) ⋅ B und damit für
den nach der Zeit t1 aufgenommenen Impuls p der Ladung in Richtung E × H = S der Welle:
t1
t1
0
0
p ( t1 ) = ∫ F ( t ) dt = q ⋅ B ⋅ q E / m ⋅ ∫ tdt = q 2 ⋅ B E / m ⋅ 1 2 t12 .
Mit der generell gültigen Beziehung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern von em-Wellen, B = E / c0 wird daraus
t1
p ( t1 ) = ∫ F ( t ) dt = q 2 ⋅ E / m ⋅ 1 2 t12 / c0 .
2
0
Der Vergleich zeigt ein Ergebnis, das generell für das Verhältnis von Energie- und
Impulsübertrag durch elektromagnetische Wellen gilt:
p = E / c0 .
Diese Gleichung kann sogar vektoriell gelesen werden, wenn man Energie- und
Impulstransport der Welle auf eine Fläche normiert: Absorptions- und Reflexionsprozesse
von Licht, die mit einer Änderung der Energieflussdichte der e-m-Welle von ∆S = S2 − S1
verbunden sind, übertragen auf eine Fläche mit Flächennormale A stets eine Leistung
(Energie pro Zeit) von P = S1 ⋅ A − S2 ⋅ A und üben eine Kraft (Impuls pro Zeit) auf diese
Fläche von F =
1
c0
(S − S ) ⋅ A e
1
2
S1 −S2
= − c10 ∆S ⋅ A e∆S Aus. Bei senkrechtem Lichteinfall auf
eine Fläche der Größe A = A und einem Reflexionskoeffizienten R (s.u.) ist S2 = − R ⋅ S1
und also ∆S = − (1 + R ) S1 . Die Kraft wirkt dann in Richtung der einfallenden Welle mit
10
einem Betrag F =
pS =
1
c0
(1 + R ) S1
1
c0
(1 + R ) S1A , was einem ‚Strahlungsdruck’ (Kraft pro Fläche) von
entspricht.
Zusammenfassung Elektromagnetische Wellen
1.)
Elektromagnetische Wellen werden allgemein durch beschleunigte Ladung
erzeugt und breiten sich als Wellen aus.
2.)
Die „Wellenauslenkung“ betrifft zueinander und zur Ausbreitungsrichtung
ek senkrecht stehende elektrische und magnetische Felder
(„Transversalwellen“).
3.)
Wichtigste Ausbreitungsform ist Hertz’sche Dipolstrahlung:
c
Monochromatisch ( ω = 2π 0 fest), S k = k ⋅ er , H 0 ( r ) , E 0 ( r ) festgelegt
λ
durch schwingende elektrischen Dipole mit Dipolmomentamplitude p 0 .
→ Polarisation und Richtungscharakteristik
4.)
Für λ >1cm / ν < 3 ⋅1010 Hz = 30 GHz (Radio, Fernsehen, Mobilfunk, Radar)
elektronisch (als reine Dipolstrahlung) generierbar (s.o.).
5.)
Für λ < 1cm / ν > 30 GHz nur pauschal durch Anregung der Materie
generierbar (Infrarot = Wärmestrahlung / Licht / UV, Röntgen, γ - Strahlung)
→
→
6.)
statistische Überlagerung strahlender Dipole (Superpositionsprinzip)
Richtungscharakteristik und Polarisation durch Mittelung
verschwunden aber ggf. durch geeignete Filter („Polarisatoren“) oder
Art der Anregung (Laser) wieder erreichbar!
Ab λ < 200 nm / ν > 1, 5 ⋅1015 Hz
→
Ionisation von Molekülen, genetisch wirksam, Krebsrisiko
(„ionisierende Strahlung“, neben α, β - Strahlung; s.u.)
11
§5
Optik
1.
Geometrische Optik
1.)
Jede E-M-Welle ist als Überlagerung einfach-harmonischer Wellen
darstellbar:
(i) gleiches ω , gleiches k , aber verschiedene ek
(allgemeine) harmonische
Welle.
(ii) verschiedene ω , verschiedene k
Wellenpaket = allgemeinste Lösung
der Wellengleichung. (Vgl. §2, Abschnitt 6.2. ‚Superpositionsprinzip und
Interferenz’)
→ ab jetzt: k , ω also λ, ν fest!
2.)
Allgemein gilt für Anregung der Welle bei r = 0 für Ausbreitung im Raum:
1
S0 ∼ 2 „Kugelwelle“, aber in begrenztem Bereich und genügender
r
Entfernung ( ∆x, ∆y, ∆z ≪ r ) stets als ebene Welle beschreibbar.
( S0 = konst., k = konst. )
3.)
Beschreibung der Ausbreitung durch Lichtstrahlen = Normalen der
Wellenfronten.
Materialien / Typen der Wellenausbreitung
Für die Lichtstrahlen im Rahmen der geometrischen Optik gilt:
• geradlinige Ausbreitung in einem homogenen Medium
• durch Grenzflächen zwischen optisch unterschiedlichen Medien wegen
c
c
c
c
c1 = 0 ≈ 0 ≠ c 2 = 0 ≈ 0 und damit λ1 ≠ λ 2
manipulierbar.
n1
n2
ε1
ε2
n = ε heißt „Brechungsindex“ des jeweilingen Mediums
Beachte:
Für harmonische („monochromatische“) Wellen ist ν = ν 0 , ω = ω0
überall gleich, aber
c c0 n c0 1 λ 0
λ=
=
= ⋅ =
kürzer in optisch dichten (n > 1) Medien!
ν0
ν0
ν0 n n
(Zur Erinnerung: Versuch „Detektion Hertzscher Wellen mit
Lämpchen in Wasser“!)
12
1.1.
Brechung und Reflexion
Das Huygenssche Prinzip
Wellenausbreitung durch „Elementarwellenüberlagerung“ beschreibbar:
1.)
Jeder Punkt einer Wellenfront emittiert im Takt der Wellenanregung
sekundäre Kugelwellen („Huygenssche Elementarwellen“).
2.)
Die Einhüllende der Elementarwellen erzeugt eine neue Wellenfront.
⇒ ungestörte Ausbreitung
für homogenes Medium!
Demonstrationsversuch: Beugung an Spalt / Doppelspalt / Halbebene in Wellenwanne;
stroboskopische Beleuchtung
Wellenfronten an Grenzflächen
13
A
Brechung
Frage:
Wie muss Winkel β passend zu α gewählt werden, damit WF 2
Einhüllende (= Tangente) für alle Huygensschen Elementarwellen
(HEW) ist, die durch WF 1 an der Grenzfläche angeregt werden?
Vorgabe:
Vorgabe: L und s zu β passend, sonst beliebig.
Betrachte:
Anregung in beliebigen Punkt x zwischen 0 und L = s sin β .
Laufzeit t1 für WF 1, bis x erreicht wird:
t1 =
ℓ1 x ⋅ sin α
=
c1
c1
Laufzeit t 2 für HEW bis WF 2 erreicht wird:
t2 =
ℓ 2 ( L − x ) ⋅ sin β L ⋅ sin β x ⋅ sin β s x ⋅ sin β
x ⋅ sin β
=
=
−
= −
= Ts −
c2
c2
c2
c2
c2
c2
c2
14
Forderung für konstruktive Interferenz aller HEW:
t1 ( x ) + t 2 ( x ) muss für alle Elementarwellen gleich sein, also unabhängig von x.
⇔
 sin α sin β 
x ⋅ sin α x ⋅ sin β
−
+ Ts = x ⋅ 
−
 + Ts unabhängig von x
c1
c2
c2 
 c1
 sin α sin β 
⇔ 
−
 + Ts = 0
c2 
 c1
⇔
sin α c1 n 2
= =
sin β c 2 n1
oder auch:
n1 ⋅ sin α = n 2 ⋅ sin β
Beachte:
1.)
Merkregel:
Snelliussches Brechungsgesetz
Eintritt ins optisch dichtere Medium ( n 2 > n1 )
→ Brechung zum Einfallslot hin
2.)
α = 0° → β = 0° keine Brechung
3.)
Lichtweg umkehrbar n1 ↔ n 2 ⇔ α ↔ β
4.)
Nur Quotient
n2
wichtig:
n1
z.B. Brechung 1 → 1,5 ⇔ 1,5 → 2, 25 !
Das gilt auch für die Aufteilung des Energieflusses in
reflektierte ‚Intensität’ und transmittierte ‚Intensität’
(s.u. Fresnelformeln)
B
Reflexion
Reflexionsgesetz
15
C
Totalreflexion
Betrachte Brechung am optisch dünneren Medium
Aber: β kann höchstens 90° werden (streifender Lichtausfall)
!
!
⇒ β < 90° ⇔ sin β < 1
⇒ Snellius:
!
⇒ sin α <
sin α ⋅
n1 !
<1
n2
n2
n1
!
n 
⇒ α < arcsin  2 
 n1 
n 
Der gerade noch mit einem Lichtaustritt verträgliche Einfallswinkel α G < arcsin  2  heißt
 n1 
Grenzwinkel der Totalreflexion.
Für α > α G wird alles Licht reflektiert, also tritt kein Licht in das optisch dünnere
Medium ein!
Beispiele:
n 2 = n Luft = 1
Medium 1 H 2 O , n1 = 1, 33 =
Medium 1 Glas, n1 ≈ 1, 5 =
4
3
, α G = arcsin   = 48, 6°
3
4
3
2
, α G = arcsin   = 41,8°
2
3
Anwendung z.B.: gleichschenkliges Umlenkprisma im Feldstecher
16
Denn für typische Gläser ist α = 45° > α G !
→ viel besser als Spiegel !
Experiment: Brechung und Reflexion mit Plexiglas-Halbzylinder
1.2.
Dispersion
c
c
c
wegen Änderung von c = 0 ≈ 0
ν
n
ε
→ mikroskopisch: Polarisation des Mediums muss vom Licht „mitgeschleppt“
werden.
Aber:
Polarisation durch schwingende Dipole im Medium ist i.a. ein
Resonanzphänomen:
Ursache für Brechung: Änderung von λ =
Amplitude A ( ω) folgt einer Resonanzkurve (siehe Oszillator, §2 Kap. 5.3)
Regelfall:
A ( ω) im aufsteigenden Bereich der Resonanzkurve
→ n ( ω) steigend, n ( λ ) fallend
→ Brechung für rot ( λ >) schwächer als Brechung blau ( λ <)
„normale Dispersion“
Ausnahmefall:
A ( ω) im fallenden Bereich der Resonanzkurve
→ Brechung rot stärker als blau
„anomale Dispersion“ (selten, stets mit starker Dämpfung der Wellen
verbunden!)
Anwendung: Übereinander liegende Lichtstrahlen unterschiedlicher Wellenlänge
(z.B. „weißes“ Licht) durch Brechung trennen:
17
Prisma, Ablenkung blau > rot ! Prismen-Spektrometer
später: auch möglich durch Beugung, dann Ablenkung rot > blau !
(s.u.)
Experiment: Lichtzerlegung mit Prisma
1.3.
Reflexions- und Transmissionskoeffizienten, Fresnelformeln
Welcher Bruchteil T der einfallenden Energiestromdichte S0 gebrochen transmittiert
wird ( ST = T ⋅ S0 ) und welcher reflektiert wird ( SR = R ⋅ S0 ), hängt ab von:
n1 , n 2 , α, Polarisation
→ folgt alles aus den Maxwell-Gleichungen für E, H, D, B
→ beliebige Polarisation stets zerlegbar in E 0 in Einfallsebene
(„parallele Polarisation“ mit R p , Tp ) und E 0 ⊥ zur Einfallsebene („senkrechte
Polarisation“ mit R s , Ts ).
Die Einfallsebene ist dabei die von S0 und dem Einfallslot aufgespannte Ebene.
→ Immer gilt wegen Energieerhaltung R + T = 1 !
⇒ Das Resultat wird in den vier Fresnelformeln zusammengefasst.
Materialien / Zusammenfassung Brechung und Reflexion
Experiment: Reflexion Laserlicht an Glasplatte
Außenversuch: Polarisierte Fensterreflexionen.
18
1.4.
Optische Abbildungen
Reale Lichtquellen
Mikroskopische Dipole erzeugen Hertz’sche Wellen und sind
1.) sehr klein ( ≪ λ Licht ≈ 0,5 µm )
2.) (meist) „orientierungslos“
⇒
Jeder Punkt einer realen, ausgedehnten Lichtquelle (z.B. Glühdraht, oder auch
fremd-beleuchtetes Objekt) emittiert unabhängig Kugelwellen
≙ Lichtstrahlen in alle Richtungen
→ Lichtstrahlen von Pfeilspitze
→ Lichtstrahlen von Pfeilende
Definition „Abbildung“:
Alle von einem Punkt P (Gegenstandspunkt ) ausgehenden Lichtstrahlen werden
durch Grenzflächen so gebrochen und / oder reflektiert, dass sie
• entweder alle wieder in einem Punkt P′ (Bildpunkt) zusammenlaufen (und
dann weiterlaufen) → reelles Bild
• oder nach Ablenkung aus einem von P verschiedenem Punkt P′ zu kommen
scheinen. → virtuelles Bild
19
Beachte:
1.)
Abbildungen sind iterierbar:
Gegenstand 1 → Bild 1
=
Gegenstand 2 → Bild 2
=
Gegenstand … → Bild
2.)
Wenn Bilder „weiterverarbeitet“ werden,
ist der Unterschied reell / virtuell unerheblich !
1.4.1 Abbildung durch sphärische Grenzflächen
Materialien / Abbildung durch sphärische Grenzflächen
Fazit (merke):
1.)
Abbildungssysteme = n Linsen + m Spiegel auf gemeinsamer
Symmetrieachse = optische Achse (O.A.)
2.)
Zuordnung Gegenstandsebene ↔ Bildebene (beide ⊥ O.A.)
3.)
Bildweite a ′ in Medium mit n ′ und Gegenstandsweite a in Medium mit n
sind durch eine Abbildungsgleichung verknüpft:
n n′
+ =D
a a′
D heißt Brechkraft des Abbildungssystems
[ D] =
1
= dpt „Dioptrie“
m
D > 0 → Ablenkung erfolgt hin zur O.A. → Lichtsammlung
D < 0 → Ablenkung erfolgt weg von O.A. → Lichtzerstreuung
4.)
Für symmetrische Abbildungssysteme ( n = n ′ ) vereinfacht sich die
Abbildungsgleichung zu:
1 1 1
+ =
a a′ f
mit f =
n
1
; Luft → Luft: f =
D
D
Versuch: Linsen / Spiegel / Aberration
Das wichtigste Beispiel für ein asymmetrisches Abbildungssystem ( n ≠ n ′ )
ist das menschliche Auge:
Materialien / Aufbau und Funktion des Auges : physiologischer Aufbau
20
1.4.2 Geometrische Bildkonstruktion
1.)
Anstelle aller gebrochenen Lichtstrahlen von P werden nur zwei (oder drei)
ausgezeichnete benutzt, um P′ zu finden.
2.)
Ersatzweise erfolgt die Brechung der Lichtsstrahlen an zwei Hauptebenen H
und H′ , die durch Lage und Art des Abbildungssystems bestimmt sind.
3.)
Zur Konstruktion von P’ sind dann nur noch Brennpunkte F und F′ nötig, die
sich im Abstand der charakteristischen Brennweiten f=n/D bzw. f’=n’/D von
den Hauptebenen befinden..
Diese Konstruktion erfüllt genau die Abbildungsgleichung (s. o.); denn
Betrachte:
ähnliche Dreiecke
gegenstandsseitig:
(I)
s + s′ s′
1 1 s′
n n s′
=
⇒
= ⋅
⇒ = ⋅
a
f
a f s + s′
a f s + s′
D
bildseitig:
(II)
s + s′ s
1 1 s
n′ n′ s
=
⇒
= ⋅
⇒
= ⋅
a′
f′
a ′ f ′ s + s′
a ′ f ′ s + s′
D
(I) + (II)
n n′
s 
 s′
+ = D⋅
+
a a′
 s + s′ s + s′ 
Abbildungsgleichung
1
(I) : (II)
n
s′ a a ′ n
=
= ⋅ =β
s n′ a n′
a′
Lateralvergrößerung
21
Vorzeichenkonvention:
a′ n
⋅
a n′
Zur Berücksichtigung der Bildorientierung:
umgekehrt ⇔ β < 0
β=−
aufrecht ⇔ β > 0
(später)!
Allgemeine Bildkonstruktion relevant für Auge;
Materialien / Aufbau und Funktion des Auges : optischer Aufbau
Sehwinkel und Bildgröße
Ziel vieler optischer Instrumente ist die Vergrößerung des Netzhautbildes eines
Gegenstandes. Frage also: Was bestimmt Netzhautbildgröße s′ ?
Materialien / Sehwinkel und Bildgröße
Fazit: s′ = f ⋅ tan ( ε ) mit Sehwinkel ε (in F verankert), wobei f die gegenstandsseitige
Brennweite des Auges ( ≈ 16 mm ) ist.
Spezialfälle abbildender Systeme
1.)
Dünne Linsen h ≪ f , f ′
⇒ H ≈ H′ fallen zu einer Hauptebene (in der „Mitte der Linse“) zusammen.
2.)
Symmetrische Abbildungssysteme, n = n ′ ⇒ f = f ′ ;
zusätzlich ist der ungebrochene Hauptstrahl zur Bildkonstruktion nutzbar
Materialien / Bildkonstruktion für dünne Sammellinse
Materialien / Bildkonstruktion für dünne Zerstreuungslinse
Materialien / Bildkonstruktion für Abbildungsspiegel
22
1.5.
Optische Instrumente
Ziel meist (s. o.): Sehwinkelvergrößerung
A Lupe oder Okular
a′
→ +∞
a
⇒ Bild wird ∞ groß und rückt ∞ weit weg !
⇒ a ′ → −∞ für a → f und β = −
Aber: Bildpunkt bleibt auf rückwärtiger Verlängerung des gebrochenen Parallelstrahls!
⇒ Für den Sehwinkel ε (in F′ verankert) gilt:
tan ( ε ) =
s
f
so als befände sich der Gegenstand im Abstand f vor dem Auge
(genauer: dem gegenstandsseitigen Brennpunkt F des Auges)
⇒
Definition der Sehwinkelvergrößerung VOK erfordert Festlegung einer
„Referenzsehweite“. Sie wird auf aR=25cm gesetzt
s
⇒ tan ( ε R ) =
ohne Okular (Lupe)
25cm
⇒ VOK
s
25 cm
=
= f =
s
tan ( ε R )
f
25cm
tan ( ε )
z.B. Juwelier-Lupe: f = 2,5cm ⇒ VOK = 10
23
B Teleskop
Sehwinkelvergrößerung:
s′
tan ε f Ok f Ob
V =
=
=
s′
tan ε 0
f Ok
f Ob
Beachte:
- (für a → ∞ ) nur Hauptstrahl für Konstruktion nötig
- reelles Zwischenbild in Brennebene des Objektivs
- virtuelles Bild bei a ′ → −∞ ist umgekehrt:
→
Keplersches oder astronomisches Fernrohr (1611).
Ersetze Okular durch Zerstreuungslinse ( f Ok < 0 ) mit Position der Hauptebene
um f Ok vor dem Zwischenbild
→ Gleiche Sehwinkelvergrößerung V (Hausaufgabe), aber virtuelles Bild
bei a → −∞ aufrecht
→
Gallileisches (1609) oder holländisches (Hans Lipperhey, 1608) Fernrohr.
Modifiziere Kepler-Fernrohr durch Zwischenabbildung oder Umlenkprismen
(Feldstecher) zwecks Bildumkehr
→
Terrestrisches Fernrohr.
Versuch: Teleskop
24
C Mikroskop
Wie Keppler’sches Fernrohr, aber mit kleinem Objekt (fast) in der Brennweite des
Objektivs, a = f Ob + δ ≈ f Ob
→
→
vergrößertes, reelles Zwischenbild in fest definierter Ebene am Okularende des
Mikroskoptubus (Zwischenbildebene)
Betrachtung des Zwischenbildes mit Okular als Lupe.
Materialien / Strahlengang im Mikroskop
typisch:
optische Tubuslänge = Abstand
H Ok ↔ Zwischenbildebene
= a ' = 25cm
βOb = −5 ... − 100 ; denn a ≈ f Ob = 5cm ... 2, 5 mm
VOk = 5 ... 10
;denn f Ok = 5cm ... 2,5cm
⇒ βOb ⋅ VOk = 25 ... 1000 ist die Gesamtvergrößerung eines
Lichtmikroskops, zu verstehen als Sehwinkelvergrößerung gegenüber der
Objektpositionierung in 25 cm Entfernung vom Auge des Betrachters
1.6
Abbildungsfehler (die wichtigsten)
1.)
Sphärische Aberration:
→ Exakte Abbildung nur mit sin α ≈ tan α ≈ α : achsennahe Strahlen
→ Real: Brennweiten / Bildweiten für achsenferne Strahlen kürzer
(„verwaschenes“ Bild)
2.)
Chromatische Aberration (Farbfehler)
Bei Abbildungen durch Brechung wg. n blau > n rot :
→ a’, f kürzer für blau als für rot; β
blau
< β
rot
→ Farbverzerrung an Bildrändern. Beachte: abwesend bei Spiegeloptik!
3.)
Astigmatismus (häufiger Sehfehler!)
Abbildungssystem nicht zylindersymmetrisch
→ Flächenkrümmung unterschiedlich je nach Schnitt durch Linse
→ kein Bildpunkt mehr, sondern „Fokuslinien“
→ Korrektur durch Zylinderlinsen
Beachte:
1.) und 2.) und generell die Tiefenschärfe einer Abbildung ist
beeinflussbar durch Blenden
Materialien / Bildkonstruktion … und dort bildgebendes Strahlenbündel
Versuch: Abbildungsfehler
25
2.
Absorption, Streuung, Extinktion
Licht erfährt: - Brechung und Reflexion an Grenzflächen → optische Abbildung
- Streuung und Absorption innerhalb von Materie
dS
der Energieflussdichte pro Lichtweglänge dx ist für
S
monochromatisches Licht :
Relative Abschwächung
1.)
2.)
konstant und charakteristisch für das optische Medium
zusammengesetzt aus Verlust durch Streuung ( → Ablenkung, σ ( λ ) )
und Absorption ( → Umwandlung in Wärme, α ( λ ) )
⇒ −
1 dS
= α (λ) + σ (λ) = κ (λ)
S dx
„Absorptions- Streukonstante“
koeffizient
Schwächungskoeffizient
Licht durch homogene Schicht
(
)
S ( x ) = S0 ⋅ 1 − R ( n ( λ ) ) ⋅ e
−κ ( λ )⋅x
für 0 < x < d .
In Schicht bei x pro Fläche und Schichtdicke dx absorbierte Lichtleistung
dS
−
= α ⋅ S ( x ) = α ⋅ S0 ⋅ (1 − R ) ⋅ e −κ( λ )⋅x
erzeugte Wärme pro Volumen und Zeit.
dx α
26
In Schicht bei x pro Fläche und Schichtdicke dx gestreute Lichtleistung
dS
−
= σ ⋅ S ( x ) = σ ⋅ S0 ⋅ (1 − R ) ⋅ e− κ( λ )⋅x
keine Wärmeerzeugung.
dx σ
Geamtabnahme der (ungestreuten) Lichtleistung (pro Fläche und dx):
−
dS
dS
dS
=−
−
= κ ⋅ S ( x ) = κ ⋅ S0 ⋅ (1 − R ) ⋅ e −κ( λ )⋅x
dx
dx α dx σ
Energieflussdichte für Lichtaustritt aus Schicht d:
S ( d ) = S0 ⋅ (1 − R ) ⋅ e
2
Beachte:
− κ ( λ )⋅d
„Lambert’sches Gesetz“
1.) Mehrfachreflexionen in der Schicht dabei Vernachlässigt!
2.) gilt nur für monochromatisches Licht!
Versuch: Lichtabsorption in Plexiglaszylindern; (Demostration Lumineszens mit Hinweis
auf §8, Festkörperphysik)
Anwendungen
1.)
Sichtbarer und IR-Bereich; α ≫ σ , also κ = α ; Absorptionsspektroskopie
e
κ ( λ )⋅ d
=
S0 (1 − R 2 )
S(d )
⇒ κ (λ) ≈ α (λ) =
S
1
2
⋅ ln 0 ⋅ (1 − R )
d
S(d)
materialspezifisches Absorptionsspektrum mit der wellenlängenabhängigen
Absorptionsskonstante α.
z.B.:
Organische Moleküle im IR-Bereich ( λ ≈ 2,5 µm...10 µm ):
Absorptionslinien zu typischen Molekülschwingungen mit
charakteristischen Frequenzen
→ Routine-Methode in analytischer Chemie zur Identifizierung
organischer Verbindungen
Materialien /Beispiel für Absorptionsspektroskopie
27
2.)
Quantitative Analytik
Für verdünnte Lösungen ( H 2 O transparent!) ist die Extinktionskonstante oft
in bestimmten Spektralbereichen proportional zur Konzentration
(=Stoffmengendichte) der absorbierenden Moleküle:
ν
ν
κ ( λ ) = E n ( λ ) ⋅   = ln (10 ) ⋅ E d ( λ ) ⋅   .
V
V
Das ist das
Beersche Gesetz mit der natürlichen ( E n ) bzw. dekadischen ( E d ) molaren
Extinktionskonstante
Messung von S ( d ) und S ( d = 0 ) mit monochromatischem Licht und
⇒
daraus Bestimmung von K ( λ ) (Lambert)
⇒
Bestimmung der Stoffmengenkonzentration mit Hilfe des Beerschen
Gesetzes (u. U. nach Bestimmung von E n / d ( λ ) durch Kalibrierung mit
Hilfe einer Referenzlösung mit bekannter Konzentration)
Versuch: Absorption und Reflexion an farbigem Plexiglas
Versuchsdurchführung: Messung der durch Plexiglasquader unterschiedlicher Länge
transmittierten Lichtintensität (Laser, 530 nm) mit einer Si-Photodiode; Wertetabelle
Kurzschlussstrom I der Si-Diode vs. Quaderlänge d.
Auswertung:
I ( d ) = I0 (1 − R ) exp ( −κd )
| :µA
I (d)
| ln
2
ln
µA
=
I0
1 − R ) ⋅ exp ( −κd )
µA (
2
( ( ) ) = ln ( ) + 2 ⋅ ln (1 − R ) − κd
I d
Auftragung von ln
µA
I0
µA
( ( ) ) vs. d, Auswertung von κ und R aus Steigung und Achsenabschnitt
I d
µA
der Ausgleichsgereaden.
28