Ein Kinderspiel …? – Manchmal steckt viel mehr

Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit:
Vermischte Aufgaben
C. 6. 17
Ein Kinderspiel …? – Manchmal steckt viel mehr dahinter!
Lucian glaubt Irene nicht, dass auch Kinderspiele mathematisch anspruchsvoll
sein können. Was meinen Sie dazu? Glauben Sie es auch nicht? Mal schauen,
wie Ihre Meinung nach dem Bearbeiten der folgenden Aufgaben aussieht …
1
Betrachten Sie das Spiel auf der Farbfolie. Es handelt sich um das Spiel
„Blumenwürfeln“ aus einer Spielesammlung für Kinder ab 3 Jahren.
Spielregeln
Jeder Spieler wählt eines der vier Blumenbeete. Mit dem Farbwürfel
wird reihum gewürfelt. Auf dem Würfel sind die fünf Farben der Blumen
und die Farbe Grün. Bei Grün passiert nichts. Würfelt man eine
Blumenfarbe, so darf man eine gleichfarbige Blume in sein Beet legen.
Liegt dort schon so eine, darf man nichts nehmen und der Nächste ist
an der Reihe. Gewonnen hat der, der zuerst alle fünf Blumen besitzt.
Klingt einfach, oder?
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1
C. 6. 17
Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit:
Vermischte Aufgaben
Finden Sie sich in kleinen Gruppen zusammen und bearbeiten Sie die nachfolgenden Aufgaben. Hierzu haben Sie 2 Möglichkeiten:
• Entweder Sie probieren es zusammen mit Ihrer Gruppe ohne zusätzliche Hilfestellungen.
• Oder Sie nutzen eine oder mehrere Karten, die Tipps zum Lösen der Aufgabe
bereitstellen und vorne bei Ihrer Lehrkraft bereitliegen (Reihenfolge 1 bis 6).
2
Betrachten Sie das Spiel für eine Person. Hier sucht sich der Spieler eines
der vier Beete aus. Die Zufallsvariable X gibt an, wie viele Würfe dieser
Spieler durchführt, bis er fünf verschiedenfarbige Blumen auf seinem Beet
hat.
Für jedes X = n, n ∈ {5; 6; 7}, ist die Anzahl der Möglichkeiten gesucht, die
X = n erfüllen. Listen Sie alle Kombinationen auf und unterscheiden Sie
hierbei nur zwischen
Treffer: „Blumenfarbe, die noch nicht im Beet liegt, wird gewürfelt“
und
Niete: „Würfelfarbe, die bereits im Beet liegt, oder Grün wird gewürfelt“.
3
Jetzt wissen Sie, wie viele Möglichkeiten es jeweils gibt, wenn das Spiel 5,
6 oder 7 Würfe lang dauert. Die Frage ist natürlich, wie wahrscheinlich diese Wurfanzahlen sind. Bestimmen Sie daher nun P(X = n) für n ∈ {5; 6; 7}.
4
Versuchen Sie aus den Ergebnissen aus Aufgabe 3 ein Berechnungssystem
zu entwickeln und so eine Vermutung für P(X = 8) abzugeben.
5
Besprechen Sie die Ergebnisse in der Klasse, z. B. auch im Hinblick auf die
Berechnung von P(X = 9) und /oder die wahrscheinlichste Wurfanzahl.
2
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3
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Kopiervorlage: Lösungstipps
Lösungstipp 1
Das Spiel endet mit einem Treffer,
d. h., man würfelt zuletzt die Farbe,
die noch auf dem Beet gefehlt hat.
Lösungstipp 2
Zu Beginn ist die Trefferwahrscheinlichkeit 5 , da noch alle fünf
6
Blumenfarben im Beet fehlen.
Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete (Farbe Grün) ist zu Beginn 1 .
6
Lösungstipp 3
Die Wahrscheinlichkeit für einen
Treffer (Blumenfarbe würfeln, die
noch nicht auf dem Beet liegt) und
die Wahrscheinlichkeit für eine
Niete (Blumenfarbe würfeln, die
entweder grün ist oder schon auf
dem Beet liegt) ändern sich immer
nach Würfen, die einen Treffer
bringen.
Lösungstipp 4
Berechnen Sie für jede Kombination (siehe Aufgabe 2) einzeln die
zugehörige Wahrscheinlichkeit und
addieren Sie sie für die Berechnung von P(X = n).
Lösungstipp 5
Beispiel für eine mögliche Kombination für X = 6:
Zuerst würfelt man eine Niete
(Grün) und danach nur noch Treffer
(nacheinander alle fünf benötigten
Farben).
P(N T T T T T) =
=
4
1 5 4 3 2 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
6 6 6 6 6 6
Lösungstipp 6
Entwickeln Sie für das Berechnen
der Wahrscheinlichkeiten der
einzelnen Kombinationen eine
Systematik.
Aufbau in der Form:
5!
⋅…
6n
n ∈ { 5; 6; 7 }
5!
⋅1
66
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Kompetenzprofil
I
I
I
I
I
I
I
I
Niveau: vertiefend
Fachlicher Bezug: –
Kommunikation: argumentieren; diskutieren; begründen
Problemlösen: Probleme erkunden und zerlegen; Lösungsstrategie entwickeln
Modellierung: Modell entwickeln
Medien: Farbfolie
Methode: Gruppenarbeit
Inhalt in Stichworten: Zufallsgröße; Kombination; Fakultät; Laplace-Wahrscheinlichkeit
Autor: Peter Bunzel
Bildnachweis: 2 Jugendliche: © Valua Vitaly / Dreamstime.com; Spieleschachtel: © Ravensburger
Lösung
2
X=5
Wenn nur fünfmal gewürfelt werden soll, dann muss jeder Wurf ein Treffer
(T) sein. Daher gibt es nur die Kombination:
TTTTT
X=6
Wenn sechsmal gewürfelt wird, dann muss unter den ersten fünf Würfen
eine Niete (N) sein, da jede Kombination mit einem Treffer (T) endet.
Es gibt also ⎛⎜ 15 ⎞⎟ = 5 Kombinationen:
⎝ ⎠
N T T T T T; T N T T T T; T T N T T T; T T T N T T; T T T T N T
X=7
Wenn siebenmal gewürfelt wird, dann müssen unter den ersten sechs Würfen zwei Nieten (N) sein, da jede Kombination mit einem Treffer (T) endet.
Es gibt also ⎛⎜ 62 ⎞⎟ = 15 Kombinationen:
⎝ ⎠
N N T T T T T; N T N T T T T; N T T N T T T; N T T T N T T; N T T T T N T;
T N N T T T T; T N T N T T T; T N T T N T T; T N T T T N T
T T N N T T T; T T N T N T T; T T N T T N T;
T T T N N T T; T T T N T N T;
TTTTNNT
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3
Vorbemerkungen:
• Für den Einzelspieler geht die Wurfserie mit einem Treffer zu Ende.
• Zu Beginn ist die Trefferwahrscheinlichkeit 56 , da noch alle fünf Blumenfarben im Beet fehlen.
Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete (Farbe Grün) ist zu Beginn 16 .
• Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (Blumenfarbe würfeln, die
noch nicht auf dem Beet liegt) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete
(Blumenfarbe würfeln, die entweder grün ist oder schon auf dem Beet
liegt) ändern sich immer nach Würfen, die einen Treffer bringen. Denn
die Farbe, die ein Treffer war, wird zu einer Niete.
Die Wahrscheinlichkeiten für Treffer sind hervorgehoben, um die Struktur
der Produkte deutlich zu machen.
P(X = 5)
P(X = 5) = P(T T T T T) =
5 4 3 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
≈ 1,54 %
6 6 6 6 6 65
P(X = 6)
6
P(N T T T T T) =
1 5 4 3 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅1
6 6 6 6 6 6 66
P(T N T T T T) =
5 2 4 3 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅2
6 6 6 6 6 6 66
P(T T N T T T) =
5 4 3 3 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅3
6 6 6 6 6 6 66
P(T T T N T T) =
5 4 3 4 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅4
6 6 6 6 6 6 66
P(T T T T N T) =
5 4 3 2 5 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅5
6 6 6 6 6 6 66
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P(X = 6) =
=
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5!
5!
5!
5!
5!
⋅1 +
⋅2+
⋅3+
⋅4+
⋅5
66
66
66
66
66
5!
5!
⋅(1 + 2 + 3 + 4 + 5) =
⋅15 ≈ 3,86 %
66
66
P(X = 7)
P(N N T T T T T) =
1 1 5 4 3 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅1 ⋅1
6 6 6 6 6 6 6 67
P(N T N T T T T) =
1 5 2 4 3 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅1⋅ 2
6 6 6 6 6 6 6 67
P(N T T N T T T) =
1 5 4 3 3 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅1⋅ 3
6 6 6 6 6 6 6 67
P(N T T T N T T) =
1 5 4 3 4 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅1⋅ 4
6 6 6 6 6 6 6 67
P(N T T T T N T) =
1 5 4 3 2 5 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅1⋅ 5
6 6 6 6 6 6 6 67
P(T N N T T T T) =
5 2 2 4 3 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅2⋅2
6 6 6 6 6 6 6 67
P(T N T N T T T) =
5 2 4 3 3 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅2⋅3
6 6 6 6 6 6 6 67
P(T N T T N T T) =
5 2 4 3 4 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅2⋅4
6 6 6 6 6 6 6 67
P(T N T T T N T) =
5 2 4 3 2 5 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ 2⋅5
6 6 6 6 6 6 6 67
P(T T N N T T T) =
5 4 3 3 3 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅3⋅3
6 6 6 6 6 6 6 67
P(T T N T N T T) =
5 4 3 3 4 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅3⋅ 4
6 6 6 6 6 6 6 67
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P(T T N T T N T) =
5 4 3 3 2 5 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅3⋅5
6 6 6 6 6 6 6 67
P(T T T N N T T) =
5 4 3 4 4 2 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅4⋅4
6 6 6 6 6 6 6 67
P(T T T N T N T) =
5 4 3 4 2 5 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ 4⋅5
6 6 6 6 6 6 6 67
P(T T T T N N T) =
5 4 3 2 5 5 1
5!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅5⋅5
6 6 6 6 6 6 6 67
P(X = 7) =
5!
⋅[1⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 2 ⋅( 2 + 3 + 4 + 5) + 3⋅( 3 + 4 + 5)
67
+ 4 ⋅ ( 4 + 5) + 5⋅ ( 5)]
=
4
5!
⋅140 ≈ 6, 00 %
67
Betrachtet werden zunächst die Ergebnisse aus Aufgabe 3:
P(X = 5)
5!
65
P(X = 6)
5!
⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
66
P(X = 7)
5!
⋅ [1 ⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 2 ⋅ (2 + 3 + 4 + 5) + 3 ⋅ (3 + 4 + 5)
67
+ 4 ⋅ (4 + 5) + 5 ⋅ (5)]
Im Grunde sind die Wahrscheinlichkeiten Laplace-Wahrscheinlichkeiten.
Im Zähler steht die Anzahl der günstigen Möglichkeiten und im Nenner die
Anzahl aller Möglichkeiten, wie man die entsprechenden Anzahlen von
Treffern und Nieten auf n Positionen verteilen kann.
Die Anzahl aller Möglichkeiten ist 6n, denn pro Wurf sind alle 6 Farben des
Würfels möglich. Bei X = 5 hat man 5 Würfe, daher 65 usw.
8
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Im Zähler gibt 5! die Verteilung der 5 Blumenfarben auf die 5 Positionen
an, wenn man zuvor die Positionen der Nieten festgelegt hat.
Der Term in den Klammern gibt die Möglichkeiten der Nieten an. Am Beispiel X = 6 lässt sich dies schön erklären:
• Niete auf Position 1
⇒ Summand 1 (nur Farbe Grün)
• Niete auf Position 2
⇒ Summand 2 (Farbe Grün und Trefferfarbe der Position 1)
• Niete auf Position 3
⇒ Summand 3 (Farbe Grün und Trefferfarben der Positionen 1 bis 2)
• Niete auf Position 4
⇒ Summand 4 (Farbe Grün und Trefferfarben der Positionen 1 bis 3)
• Niete auf Position 5
⇒ Summand 5 (Farbe Grün und Trefferfarben der Positionen 1 bis 4)
Am Beispiel X = 7 ist dies schon komplizierter, da man hier 2 Nieten auf
ihre Plätze verteilen muss:
• Nieten auf den Positionen 1 und 2
⇒ Summand 1 ⋅ 1 (beide Male nur Farbe Grün)
• Nieten auf den Positionen 1 und 3
⇒ Summand 1 ⋅ 2 (anfangs nur Farbe Grün, später auch die Trefferfarbe der Position 2)
• Nieten auf den Positionen 1 und 4
⇒ Summand 1 ⋅ 3 (anfangs nur Farbe Grün, später auch die Trefferfarben der Positionen 2 bis 3)
• Nieten auf den Positionen 1 und 5
⇒ Summand 1 ⋅ 4 (anfangs nur Farbe Grün, später auch die Trefferfarben der Positionen 2 bis 4)
• Nieten auf den Positionen 1 und 6
⇒ Summand 1 ⋅ 5 (anfangs nur Farbe Grün, später auch die Trefferfarben der Positionen 2 bis 5)
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Diese Überlegung kann man analog für alle Kombinationen von Treffer
und Niete weiterführen.
X=8
Wenn achtmal gewürfelt wird, dann müssen unter den ersten sieben Würfen
drei Nieten sein, da jede Kombination mit einem Treffer endet.
Es gibt also ⎛⎜ 73 ⎞⎟ = 35 Kombinationen:
⎝ ⎠
Aus den bisherigen Ergebnissen lässt sich folgende Vermutung für P(X = 8)
formulieren:
P(X = 8) =
5!
⋅ [1 ⋅1 ⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 1 ⋅ 2 ⋅ (2 + 3 + 4 + 5) + 1 ⋅ 3 ⋅ (3 + 4 + 5)
68
+ 1 ⋅ 4 ⋅ (4 + 5) + 1 ⋅ 5 ⋅ (5) + 2 ⋅ 2 ⋅ (2 + 3 + 4 + 5) + 2 ⋅ 3 ⋅ (3 + 4 + 5)
+ 2 ⋅ 4 ⋅ (4 + 5) + 2 ⋅ 5 ⋅ (5) + 3 ⋅ 3 ⋅ (3 + 4 + 5) + 3 ⋅ 4 ⋅ (4 + 5) + 3 ⋅ 5 ⋅ (5)
+ 4 ⋅ 4 ⋅ (4 + 5) + 4 ⋅ 5 ⋅ (5) + 5 ⋅ 5 ⋅ (5)]
=
5
5!
⋅1050 ≈ 7,50 %
68
Schlussbemerkung (z. B. für Klassendiskussion):
()
Für X = 9 gibt es 84 = 70 Kombinationen und für X = 10 gibt es ⎛⎜ 95 ⎞⎟ = 126
⎝ ⎠
Kombinationen.
An der Größenordnung der Zahlen sieht man schnell, dass eine Auflistung
aller Kombinationen nicht mehr zielführend ist. Berechnet man aber nach
dem Prinzip aus Aufgabe 4 die Wahrscheinlichkeit P(X = 9), so erhält man:
5!
P(X = 9) =
⋅ 6551 ≈ 7,80 %
69
Diese Wahrscheinlichkeit ist etwas größer als P(X = 8). D. h., man weiß
immer noch nicht, welche Wurfanzahl, die man benötigt, um das Beet mit
allen Farben zu füllen, am wahrscheinlichsten ist.
Mit der Faktorisierung der Faktoren 15, 140, 1 050 und 6 551 kommt man
auch nicht weiter, denn 6 551 ist im Gegensatz zu den anderen 3 Zahlen
prim. Somit kann man hierüber leider kein „einfacheres“ Berechnungssystem für die Wahrscheinlichkeiten P(X = 10), P(X = 11), P(X = 12) usw.
gewinnen.
10
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