1 Höhere Mathematik 1 /Stochastik 1 Master KI/PI WS 14/15 17.2

Höhere Mathematik 1 /Stochastik 1 Master KI/PI
(23.3.15)
WS 14/15
17.2.2015
Prof. Dr. B. Grabowski
Dauer: 120 Minuten,
Name:
Matr. Nr.:
Lösen Sie 5 (beliebige) Aufgaben der folgenden 9 Aufgaben!
(Wenn Sie mehr Aufgaben lösen, werden die 5 in die Bewertung einbezogen, für die
Sie die meisten Punkte erhalten haben.)
Aufgabe 1 (20 Punkte)
a) Welche der folgenden 4 Aussagen sind äquivalent zur Aussage:
„ Wenn m ein Quadrat ist, so ist m ein Viereck“
(Mehrfachnennung möglich!)
1. M ist ein Viereck oder kein Quadrat
2. Wenn m ein Viereck ist, so ist m kein Quadrat
3. Wenn m kein Quadrat ist, so ist m kein Viereck
4. Wenn m kein Viereck ist, so ist m kein Quadrat
b) Schreiben Sie in der Darstellung der Prädikatenlogik auf:
(d.h. die o.g. Prädikate, ∀x, ∃x,∧,∨, ¬, ⇒, verwenden):
„Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine dritte reelle Zahl!“
c) Seien A,B,C Teilmengen der Menge M={n ϵ N| 1≤n≤10},
A ∩ C = {7,8,9,10}, B ∪ C = {2,3,4,10} . Komplemente von A,B,C werden bezüglich M
berechnet ! Geben Sie folgende Menge an: ( A ∩ B ) ∪ C
d) Seinen |A∪B∪C∪D|=10, |A|=2, |B|=3, |C| = 7, |D| = 4,
|A∩B|=|A∩C|=|B∩C|=|A∩ B∩ C|=1. Wie groß ist |(A∪B∪C)∩D| ?
Aufgabe 2 (20 Punkte)
Sei V der zufällige Versuch „ Würfeln mit 4 gleichmäßigen Würfeln (einem roten, einem
blauen, einem gelben und einem grünen)“.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a)
A1 = „Alle 4 Augenzahlen sind verschieden voneinander“
b)
A2 = „ Mindestens drei Sechsen sind dabei“
c)
A3 = „ Die Summe der Augenzahlen ist 6“
d)
A4 = „ Genau eine 1 und genau eine 6 ist dabei“
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Aufgabe 3 (20 Punkte)
Ein bestimmtes Bauteil wird auf seine Zuverlässigkeit untersucht. Die technische Prüfung
erfolgt dabei so: Das Bauteil Gerät wird als defekt eingestuft, wenn eine Lampe bei Eingabe
eines bestimmten Stromsignals aufleuchtet (Ereignis B). In jedem anderen Fall wird das
Bauteil als O.K. eingestuft. Es soll die Zuverlässigkeit dieses Prüfverfahrens untersucht
werden. Aus vorhergehenden Untersuchungen sei bekannt, dass 1 % aller Bauteile defekt
sind. Es sei weiterhin bekannt, dass bei 95 % aller Bauteile, die defekt sind, die Lampe
tatsächlich aufleuchtet, aber leider auch bei 1% aller Bauteile, die O.K. sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil, welches als defekt
eingestuft wurde auch wirklich defekt ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein als nicht defekt eingestuftes
Bauteil wirklich O.K. ist?
Aufgabe 4 (20 Punkte)
Ein Spam-Filter unterscheidet 3 verschiedene spamverdächtige Worte: F1 =„Viagra“ ,
F2=“Rolex“, F3=“crown“. Diese Worte treten mit folgenden Wahrscheinlichkeiten beim
e-mail-Verkehr auf:
P(F1)
P(F2)
P(F3)
0,04
0,05
0,06
P(F1∩F2)
P(F1∩F3)
P(F2∩F3)
P(F1∩F2∩F3)
0,01
0,02
0,03
0,005
a) Der Spam-Filter lässt eine e-mail nur dann durch, wenn sie keines der 3 Worte enthält!
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Filter die e-mail durchlässt?
(D.h., wieviel % aller e-mails werden als O.K. eingestuft?)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine e-mail, die Wort „Rolex“ enthält auch
noch das Wort „Viagra“ enthält?
Aufgabe 5 (20 Punkte)
Gegeben Sie folgendes Gerät, welches aus 3 Teilsystemen besteht.
Dieses Gerät arbeitet wie eine Reihen- Parallelschaltung:
Das Gerät ist OK, wenn E1 oder E2 OK sind, und wenn E3 OK ist.
Alle 3 Teilsysteme E1, E2 und E3 arbeiten stochastisch unabhängig voneinander, bzw.
fallen unabhängig voneinander aus. E1 und E2 fallen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
q=0.01 aus. Das Gerät selbst fällt mit 2 % iger Wahrscheinlichkeit aus.
Wie groß ist dann die Ausfallwahrscheinlichkeit von E3?
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Aufgabe 6 (20 Punkte)
a) Ein Student wirft 4 Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mehr
als 1 mal Wappen wirft?
b) Eine Nachrichtenquelle sendet 4 Zeichen a, b, c, d mit unterschiedlichen
Wahrscheinlichkeiten. Das Zeichen „a“ wird in 10% aller Fälle, „b“ in 15 % aller Fälle,
„c“ mit der Wahrscheinlichkeit 0,45 und „d“ mit der Wahrscheinlichkeit 0,30 gesendet.
Die Übertragung von „a“ und „b“ dauert stets 3 Sekunden, von „c“ 4 Sekunden und
von „d“ 5 Sekunden.
Berechnen Sie die mittlere (erwartete) Übertragungszeit bei Sendung eines Zeichens!
Aufgabe 7 (20 Punkte)
Geben Sie einen Algorithmus an (Pseudosprache) mit welchem Sie mittels Zufallszahlen
(Monte-Carlo-Simulation) folgendes Integral ausrechnen können:
12
I=
∫
x + 4dx
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Aufgabe 8 (20 Punkte)
Zwei Baugruppen a1, a2 eines Gerätesystems können voneinander unabhängig in einem
vorgegebenen Zeitintervall der Länge T mit den Wahrscheinlichkeiten 0,04 bzw. 0,02
ausfallen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zufälligen Anzahl X der
ausgefallenen Baugruppen in einem Zeitintervall der Länge T!
b) Berechnen Sie die durchschnittliche (erwartete) Anzahl der ausgefallenen Baugruppen in
einem Zeitintervall der Länge T!
Aufgabe 9 (20 Punkte)
Ein gleichmäßiger Würfel wird mehrfach mal geworfen.
a) Der Würfel wird 6 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
mindestens eine 6 gewürfelt wird?
b) Der Würfel wird solange geworfen, bis zum ersten Mal eine 6 auftritt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass schon beim 3. Wurf eine 6 gewürfelt wird?
c) Wie viele Würfelversuche benötigt man im Schnitt bis zum ersten Mal eine 6
gewürfelt wird?
Hinweis: Beschreiben Sie den Würfelversuch als 2-Punkt-verteilten Veruch. Überlegen Sie
sich dann, welche Zufallsgröße X in a) –c) betrachtet wird und welche Verteilung sie besitzt !
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