STR

Hochfrequenztechnik I
Streumatrix
STR/1
In den letzten Abschnitten wurden die Hochfrequenzsignale mit Strom- und Spannungsamplituden
beschrieben. Da diese Signale elektromagnetische Wellen darstellen, die sich auf Leitungen ausbreiten,
kann man sie auch allgemeiner mit Wellenamplituden beschreiben. In dieser Darstellung ist es dann
sinnvoller, die Wellenamplituden nicht auf Strom oder Spannung, sondern auf die von der Welle geführte Leistung zu beziehen. Bauelemente lassen sich dann in Form von Streumatrizen charakterisieren,
die durch die hinein- und herauslaufenden Wellenamplituden deniert werden, die relativ einfach zu
messen sind.
1 Normierte Wellenamplituden
Zuerst wollen wir, ausgehend von Strom- und Spannungsamplituden, das Konzept der normierten
Wellenamplituden einführen. Diese normierten Wellenamplituden sollen auf die transportierte Leistung
bezogen werden. Um die transportierte Leistung auf einer Leitung berechnen zu können, gehen wir
von Strom und Spannung auf der Leitung aus:
U (z )
I (z )
=
=
U (z ) + U (z )
U (z ) U (z )
;
Z
h
r
h
r
(1)
(2)
L
mit U h (z ) = U 1 exp( z ) und U r (z ) = U 2 exp(z ) für die hin- bzw. rücklaufende Welle. Im
Folgenden wollen wir eine verlustfreie Leitung annehmen, so dass der Leitungswellenwiderstand ZL
reell wird:
)
=0
Z
L
=
Z
L
Abb. 1: Beschreibung einer Leitung mit Strom- und Spannungszeigern
Aus den Gl. (1) und (2) lässt sich die transportierte Leitung
berechnen:
P (z )
=
=
) P (z )
=
1
2
2
P
in
z -Richtung
+
an der Stelle
z
<fU (z )I (z )g
2
2
Z <fjU (z )j jU (z )j + U| U {z U U }g
1
h
r
r
L
jU (z )j2
h
Z
{z
2
L
|
}
hinlaufende Leistung
jU (z )j2
r
h
Z
{z
2
h
r
2j =fU r U h g
L
|
}
rücklaufende Leistung
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(3)
Hochfrequenztechnik I
Streumatrix
STR/2
Solange der Leitungswellenwiderstand reell ist, besteht die auf der Leitung geführte Leistung also
aus einem hinlaufenden Teil, der proportional zu jU h j2 ist, und einem rücklaufenden Teil proportional
zu jU r j2 . Daher ist es sinnvoll, normierte, leistungsbezogene Wellenamplituden einzuführen, die die
hinlaufende und rücklaufende Welle repräsentieren:
U (z )
a(z ) = p ;
Z
U (z )
b(z ) = p :
Z
h
r
L
L
Die Beschreibung der Leistung vereinfacht sich dann folgendermaÿen:
P (z ) = 2 fja(z )j2 jb(z )j2 g:
1
(4)
Spannung und Strom ergeben sich dann aus den Überlagerungen der hin- und rücklaufenden Wellen:
U (z )
I (z )
=
=
Z fa(z ) + b(z )g
pZ fa(z ) b(z )g
(5)
p
L
1
(6)
L
Die Gröÿen ja(z )j und jb(z )j lassen sich einfach aus Leistungsmessungen bestimmen.
Der Reexionsfaktor ergibt sich wie gehabt als Verhältnis der rück- zur hinlaufenden Welle:
U (z ) b (z )
r (z ) = U (z ) = a(z )
(7)
r
h
2 Beschreibung eines Zweitores mit der Streumatrix
Wir wollen nun basierend auf den normierten Wellenamplituden ein lineares Netzwerk in Form eines
Zweitors mit der sog. Streumatrix beschreiben.
Abb. 2: Beschreibung eines Zweitors.
Die in Abb. 2 dargestellten Gröÿen sind wie folgt deniert:
a1 ; a2
b1 ; b2
Wellenamplituden, die in das Netzwerk hineinlaufen
Wellenamplituden, die aus dem Netzwerk herauslaufen
Die herauslaufenden Wellenamplituden b1 und b2 lassen sich durch die Streumatrix S mit den hineinlaufenden Wellenamplituden a1 und a2 verknüpfen:


b1
b2


=
|
S 11 S 12
S 21 S 22
 
 
a1
a2


{z
}
Streumatrix S
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(8)
Hochfrequenztechnik I
Streumatrix
STR/3
Hierbei entsprechen die beiden Komponenten S 11 und S 22 den Reexionsfaktoren bei ausgangs- bzw.
eingangsseitiger Anpassung. Die beiden anderen Komponenten S 21 und S 12 beschreiben die Transmission in Hin- bzw. in Rückrichtung.
2.1 Beispiele
Zwei Beispiele sollen die Eigenschaften von Streumatrizen verdeutlichen.
1.
Leitung mit Wellenwiderstand
Z
L
und Länge
L:
Wenn wir die hin- und rücklaufenden Wellen betrachten, ergibt sich eine Phasendrehung (und
Dämpfung) gemäÿ der Länge der Leitung:
b2 = a1 exp( L)
b1 = a2 exp( L)
(9)
(10)
Damit ergibt sich die Streumatrix zu:

)S=
2.
0
exp(
L)
exp(
L)

:
0
(11)
Serienwiderstand in einer Leitung:
Abb. 3: Serienwiderstand in einer Leitung.
Zuerst betrachten wir den Streuparameter S 11 : Bei reexionsfreiem Abschluss am Tor 2 ergibt
sich dort ein Ausgangswiderstand ZL , womit sich in Abb. 3 ein Eingangswiderstand Z 0 + ZL
ergibt. Gemäÿ Gl. (8) lässt sich schreiben:
S 11 =
b1 a1 =
a2
=0
Z
Z
( 0+
( 0+
Z
Z
L
L
Z
)+Z
)
L
L
=
Z
2
Z0
L
+
Z0
Die Schaltung weist eine Symmetrie auf: Sie ist spiegelsymmetrisch, so dass das Verhalten
der Schaltung unabhängig davon ist, ob sich die Welle von links nach rechts oder umgekehrt
ausbreitet. Der Reexionsfaktor muss also an beiden Toren gleich sein:
S 11 = S 22 :
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Streumatrix
Nun betrachten wir die Transmission:
S 21 =
STR/4
b2 a1 a2
=0
Dei reexionsfreiem Abschluss am Tor 2 (ausgedrückt durch
Spannungsteiler:
U2
U1
a2 = 0) ergibt sich in Abb. 3 ein
Z
(12)
L
=
Z0 + Z
mit a1 und
L
beinhaltet dabei die hinlaufende Welle
die rücklaufende Welle mit b1 , so dass
sich U 1 = U h;1 (1 + S 11 ) schreiben lässt (U h1 Spannung der hinlaufenden Welle am Tor 1). Es
ergibt sich damit
U1
S 21 =
b2 a1 =
a2
=0
U2
U1
h
=
U2 U1
U1 U 1
h
=
Z
L
Z0 + Z
L
(1 +
S 11 ) = Z
2
Z
0+2
L
Z
(13)
L
Auÿerdem gilt Reziprozität: Die Richtung der Ausbreitung hat keine Auswirkung auf die Ausbreitungseigenschaften. Eine Welle, die sich von Tor 1 nach 2 ausbreitet, erfährt die gleiche
Übertragung, wie eine Welle, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreitet. Für die Streumatrix ergibt sich somit:
S 21 = S 12 :
Die Beziehung
S 21 = S 12 gilt bei allen reziproken, auch unsymmetrischen Netzwerken!
3 Signalussdiagramm
Eine einfache Beschreibung der Wellen ist mit dem Signalussdiagramm möglich. Darin stellt jeder
Knoten die Summe der in ihn hineinlaufenden Wellenamplituden dar. Jeder Pfad fordert die Multiplikation mit dem Wert, der dem Pfad zugeordnet ist. Solch ein Signalussdiagramm ist in Abb. 4 dargestellt.
Wir stellen einen Vierpol mit bekannten Streuparametern im Signalussdiagramm dar:
Abb. 4: Signalussdiagramm eines Zweitors.
Für die beiden herauslaufenden Wellenamplituden des Zweitors bzw. Vierpols ergeben sich demnach
folgende Beziehungen:
b2 = S 21 a1 + S 22 a2 ;
b1 = S 11 a1 + S 12 a2
Das Signalussdiagramm für zwei hintereinandergeschaltete Vierpole ist in Abb. 5 dargestellt.
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Streumatrix
3.1 Beispiel: Beschreibung der Transmission
S 0021
STR/5
durch zwei Vierpole
b Wir betrachten beispielhaft die Transmission S 0021 = a2 in Abb. 5. Als Hilfsgröÿe führen wir hier
1 a2 =0
die Wellenamplitude
b
x
b
Es ergibt sich dann für
woraus dann für
S 0021 =
ein:
x
a S 21 + b S 011 S 22
= 1
b2 :
b2
a1
b2 = S 021 b
a2
=0
)
x
x
a
= 1
b
x
a
= 1
1
S 21
S 011 S 22
S 21 S 021
;
1 S 011 S 22
folgt:
S S0
S 0021 = 1 21S 0 21S
11 22
Abb. 5: Signalussdiagramm zwei hinter einander geschalteter Zweitore.
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