Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik

Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und
Elektrodynamik
Fachschaft Physik
Stand: Mai 2007
Liebe Physik-Studis,
hier haltet ihr die Klausursammlung für das Modul Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik in den Händen.
Wir übernehmen keine Haftung für die Richtigkeit der Aufgaben und Lösungen, nur mal so nebenbei.
Wir hoen, dass euch diese Zusammenstellung weiterhilft. Damit wir diese Sammlung auch in Zukunft aktualisieren können, bringt uns bitte, nachdem ihr eine Klausur in diesem Fach geschrieben
habt, eine Kopie eurer Klausur vorbei.
Viel Erfolg beim weiteren Studium!
Eure Fachschaft Physik
Inhaltsverzeichnis
1
2
Klausuren
2
Lösungen
5
1.1 SoSe 2006, PD H. Fichtner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 SoSe 2006, PD H. Fichtner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
5
1
Klausuren
1.1
SoSe 2006, PD H. Fichtner
1. Teilklausur: Mechanik
Aufgabe 1 (18 Punkte)
a) Gegeben sei ein Kraftfeld mit den Konstanten a und b
F~ (~r) = (ay, ax, b)
Zeigen Sie, dass dieses konservativ ist.
b) Berechnen Sie nun die Arbeit, die jeweils entlang der in der Abbildung gezeigten Wege
(Gerade, bzw Viertelkreis von P0 = (1, 0, 0) nach P1 = (0, 1, 0)) benötigt wird, um den
Körper von P0 nach P1 zu verschieben, und interpretieren Sie jeweils das Ergebnis.
c) Berechnen Sie nun das zu F~ (~r) gehörige Potential.
Aufgabe 2 (24 Punkte)
Es werde eine Masse m an einer Feder untersucht, die in nur einer Koordinatenrichtung um die
Ruhelage x0 schwingen kann. Die durch die Feder bewirkte Kraft sei dabei als
FF (x) = −k(x − x0 )
mit
k = const.
gegeben. Auf die Masse wirke dabei keine weitere Kraft. Dieses Problem soll mit Hilfe des LagrangeFormalismus untersucht werden.
a) Leiten Sie zunächst das zur Kraft FF gehörige Potential V = 12 k(x − x0 )2 her.
b) Berechnen Sie nun die zugehörige Lagrangefunktion und zeigen Sie, dass sich aus dieser mit
Hilfe der Lagrangegleichung die Bewegungsgleichung ẍ = −(k/m)(x − x0 ) ergibt und lösen
Sie diese vermöge eines geeigneten Ansatzes.
c) Nun soll der allgemeine Fall betrachtet werden, bei dem drei Raumrichtungen zu berücksichtigen sind. Hier wirkt die Kraft in radiale Richtung und liefert das Potential V = 21 k(r −r0 )2 .
Deshalb arbeitet man hier in Kugelkoordinaten (r, θ, φ). Leite Sie dafür zuerst folgenden
Ausdruck
T =
1
m(ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 φ̇2 sin 2 θ)
2
für die kinetische Energie her.
d) Bestimmen Sie daraus die radiale Bewegungsgleichung ohne diese zu lösen.
Aufgabe 3 (8 Punkte)
Beantworten Sie die folgenden Fragen mit 'Ja' oder 'Nein'. Punkte ab 4 korrekten Antworten.
1. Kommt es bei Oszillationen mit treibender Kraft zur Resonanzkatastrophe, wenn die Frequenz der äuÿeren Kraft ein Vielfaches der Eigenfrequenz ist?
2. Sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit stets parallel?
3. Ist die reduzierte Masse beim 2-Körper-Problem durch µ =
m1 +m2
m1 m2
gegeben?
4. Benden sich Teilchen mit negativer Energie im Gravitationspotential immer auf einer gebundenen Bahn?
2
5. Sind Arbeit und Potential identisch?
6. Ist der Trägheitstensor für eine sich um ihren Mittelpunkt drehende homogene Kugel diagonal?
7. Gilt in Systemen ohne äuÿeres Drehmoment stets die Impulserhaltung?
2. Teilklausur Elektrodynamik
Aufgabe 1 (22 Punkte)
Anmerkung: Bei dieser Aufgabe gabs das eine oder andere Problem in der Klausur. Die Lösungen/Lösungswege sind dementsprechend mit Vorsicht zu genieÿen, bzw. genauer zu überprüfen! Sie
sind soweit wie möglich korrigiert, aber man weiÿ ja nie...
a) Wie lauten die Maxwell-Gleichungen für das Vakuum?
b) Bestimmen Sie das elektrische Feld einer leitenden Kugel mit Radius a und Gesamtladung
Q in ihrem Innen- und Auÿenraum und skizzieren Sie den Verlauf des Feldbetrages.
c) Die Gesamtladung Q einer nichtleitenden Kugel mit Radius a sei gemäÿ der kugelsymmea n
mit n ≤ 2 verteilt. Zeigen Sie zuerst, dass die
trischen Ladungsdichte ρ(~r) = (3−n)Q
4πa3
r
Gesamtladung der Kugel sich daraus zu Q ergibt und dann, dass das zugehörige elektrostatische Feld
n−3
Q 1−n
~ r) = a
E(~
r
e~r
4π0
~ r) = Q 1 e~r
E(~
4π0 r2
;r≤a
;r>a
lautet. Skizzieren Sie die Feldbeträge, die sich für die Wahl n=-2 und n=2 ergeben.
d) Leiten Sie die zu den elektrischen Feldern aus c) für n = ±2 gehörigen Potentiale so her,
dass diese im Unendlichen verschwinden.
Aufgabe 2 (20 Punkte)
Bild1: Ein quadratischer Leiter mit Mittelpunkt im Ursprung P wird von einem Strom entgegen
des Uhrzeigersinns durchossen. Der Abstand einer Kante (achsenparallel) zur Achse sei R.
Bild2: Als Beispiel eines n-Ecks ist ein regelmäÿiges 6-Eck dargestellt, das von einem Strom entgegen des Uhrzeigersinns durchossen wird. Die Kantenlänge sei L. Der Mittelpunkt einer Kante hat
den Abstand R vom Ursprung P. Die Gerade vom Ursprung zum Mittelpunkt der Kante schlieÿt
mit der Gerade vom Mittelpunkt zu einem Endpunkt der Kante den Winkel π/n ein.
a) Berechnen Sie das Magnetfeld im Zentrum P des abgebildeten quadratischen Leiters, der
von einem Strom I durchossen ist. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem für das Zentrum
einer Kreisschleife mit Radius R (siehe b) und begründen Sie den Unterschied.
b) Wie lautet das Magnetfeld im entsprechenden Punkt eines symmetrischen n-Ecks mit n
gleich langen Seiten? (Hinweis: eine einzelne Kante L eines n-Ecks erfüllt die Gleichung
L = 2R tan (π/n), siehe Skizze für n=6.)
~ = µ0 I e~z
Zeigen Sie, dass sich im Grenzfall n → ∞ das Feld im Zentrum einer Kreisschleife B
2R
ergibt. (Der Einheitsvektor e~z zeigt aus der Zeichenebene.)
3
Aufgabe 3 (8 Punkte)
Beantworten Sie die folgenden Fragen mit 'Ja' oder 'Nein'. Punkte ab 4 korrekten Antworten.
1. Ist die Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung äquivalent zur Ladungserhaltung?
2. Entkoppeln die Gleichungen für das elektrische und das magnetische Feld in der Elektround Magnetostatik?
3. Kann die Normalkomponente des elektrischen Feldes an geladenen Grenzächen unstetig
sein?
4. Ist ein statisches Magnetfeld prinzipiell mit dem Faraday-Gesetz berechenbar?
5. Stehen der elektrische und der magnetische Feldvektor einer elektromagnetischen Welle immer senkrecht zueinander?
6. Verschwindet für ein Magnetfeld immer der Monopolbeitrag?
7. Ist das elektrische Feld im allgemeinen Fall auch eine Funktion des magnetischen Vektorpotentials?
4
2
Lösungen
2.1
SoSe 2006, PD H. Fichtner
1. Teilklausur: Mechanik
Aufgabe 1 (18 Punkte)
a) Zu zeigen: ∇ × F~ = 0.
∇ × (ay,ax,b) = (
∂ax ∂ay
∂b ∂ax ∂ay
∂b
−
,
−
,
−
) = ~0
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
b) 1.Weg: Viertelkreis
Polarkoordinaten: ~r = re~r ,
r = 1,
⇒ ~r = e~r = cos ϕe~x + sin ϕe~y
Setze Parameter: ϕ
⇒ ~r = cos ϕe~x + sin ϕe~y
d~
r
Bilde: dϕ
= − sin ϕe~x + cos ϕe~y
Drücke F~ (~r(ϕ)) aus, als: F~ (~r(ϕ)) = ay e~x + axe~y + be~z = a sin ϕe~x + a cos ϕe~y + be~z
d~r
F~ (~r(ϕ)) ·
dϕ
=
(a sin ϕe~x + a cos ϕe~y + be~z ) · (− sin ϕe~x + cos ϕe~y )
= −a sin 2 ϕ + a cos 2 ϕ = −a sin 2 ϕ + a(1 − cos 2 ϕ)
= a(1 − 2 sin 2 ϕ)


Zπ/2
Zπ/2
Zπ/2
hπ
πi


−2
sin 2 ϕdϕ = a
=0
⇒
a(1 − 2 sin 2 ϕ)dϕ = a  1dϕ − 2
2
4
0
0
0
2.Weg: Gerade
Kartesische Koordinaten.
Wähle Parameter: x := t
⇒
⇒ y = −t + 1
d~y
= −1e~y
dt
d~x
= 1e~x
dt
d~r
⇒
= e~x − e~y + 0e~z
dt
Drücke F~ (~r(t)) aus, als: F~ (~r(ϕ)) = a(−t + 1)e~x + ate~y + be~z = (−at + a)e~x + ate~y + be~z
d~r
= −at + a − 2at + 0 = −2at + a
F~ (~r(t)) ·
dt
Z0
⇒
(−2at + a)dt = [−at2 + at]01 = 0 − [−a + a] = 0
1
Schlussfolgerung
Wie zu erwarten ist die Arbeit wegunabhängig, da es sich um ein konservatives Kraftfeld
handelt.
Die Punkte P0 und P1 liegen auf Äquipotentialächen, was an der Symmetrie des Kraftfeldes
liegt.
5
c)
Z
Vx = −
ay dx
∂Vx
∂y
∂Vx
⇒−
∂z
⇒−
=
−axy + c(y, z)
=
ax −
∂c(y, x)
∂c(y, x)
⇒
= 0 ⇒ c 6= c(y)
∂y
∂y
∂c(z)
∂c(z)
0−
⇒−
= b ⇒ − dc(z) = b dz
∂z
∂z
−c(z) = bz ⇒ c(z) = −bz
=
⇒
⇒ V = −axy − bz + c0
, mit c0 = const
Aufgabe 2 (24 Punkte)
a)
Z
V (x)
= −
0
Z
0
0
FF (x ) dx = −
0
−k(x − x0 ) dx = k
Z
0
:=∆x
Z
= k
1
1
2
∆x d∆x = k (∆x) + c = k(x − x0 )2 + c
2
2
Wegen V (x0 ) = 0 folgt c = 0 und damit:
V (x) =
1
k(x − x0 )2
2
b) generalisierte Koordinate ist x.
1
1
mv 2 = mẋ2
2
2
1
1
2
⇒ L = T − V = mẋ − k(x − x0 )2
2 2
d ∂L
∂L
⇒
−
=0
dt ∂ ẋ
∂x
k
⇔ ẍ + (x − x0 )2 = 0
m
k
k
⇒ ẍ + x = x0
m
m
T =
Diese DGL wird gelöst durch den Ansatz:
x(t) = A sin (ωt) + B cos (ωt) + x0 mit ω 2 =
k
m
.
c)
~r˙ = ṙe~r + re~˙r = ṙe~r + r(θ̇e~θ + sin θφ̇e~φ )
2
⇒ ~r˙ = ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 sin 2 θφ̇2
1
1 2
1
⇒ T = m~v 2 = m~r˙ = m(ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 φ̇2 sin 2 θ)
2
2
2
6
0
(x − x0 ) dx
| {z }
d)
1
1
m(ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 φ̇2 sin 2 θ) − k(r − r0 )2
2
2
d ∂L
∂L
⇒
−
=0
ql = r ⇒ q˙l = ṙ
dt ∂ q˙l
∂ql
1
d
(mṙ) − m(2rθ̇2 + 2r sin 2 θφ̇2 ) + k(r − r0 ) = 0
⇔
dt
2
⇔ mr̈ − [m(θ̇2 + sin 2 θφ̇2 ) − k]r − kr0 = 0
k
k
⇔ r̈ − (θ̇2 + sin 2 θφ̇2 − )r = r0
m
m
k
k
2
2
2
⇒ r̈ = (θ̇ + sin θφ̇ − )r + r0
m
m
L=T −V =T =
Aufgabe 3 (8 Punkte)
1. Kommt es bei Oszillationen mit treibender Kraft zur Resonanzkatastrophe, wenn die Frequenz der äuÿeren Kraft ein Vielfaches der Eigenfrequenz ist? Nein
2. Sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit stets parallel? Nein
3. Ist die reduzierte Masse beim 2-Körper-Problem durch µ =
m1 +m2
m1 m2
gegeben? Nein
4. Benden sich Teilchen mit negativer Energie im Gravitationspotential immer auf einer gebundenen Bahn? Ja
5. Sind Arbeit und Potential identisch? Nein
6. Ist der Trägheitstensor für eine sich um ihren Mittelpunkt drehende homogene Kugel diagonal? Ja
7. Gilt in Systemen ohne äuÿeres Drehmoment stets die Impulserhaltung? Nein
2. Teilklausur Elektrodynamik
Aufgabe 1 (22 Punkte)
a)
ρ
0
~
divE
=
~
rotE
= −
~
divB
=
~
rotB
~
∂E
= µ0~j + 0 µ0
∂t
~
∂B
∂t
0
b)
Z
~ · dO~V =
E
OV
Z
ρ(~r) 3
d ~r
0
V
~ · dO~V = E · dOV , mit
Da das Feld radialsymmetrisch ist, ist das Skalarprodukt aus E
~
E = |E| = const..
7
Innenfeld:
Z
E
Z
dOV
ρ(~r) 3
d ~r
0
=
OV
V
Rr Rπ 2π
R
⇒E
=
ρ
0
r02 sin θ dφ dθ dr0
0 0 0
Rπ 2π
R
=
r2 sin θ dφ dθ
ρ 13 r3 · 2 · 2π
=
0 r2 · 2 · 2π
0 0
=
ρ
r
30
,0 ≤ r < a
(Das Ergebnis stammt vom Betreuer. Allerding: Ist das Innen-Feld einer metallischen, geladenen Kugel nicht einfach 0? (Vermutlich ja: weil ρ müsste ja 0 sein! Dann stimmt beides
irgendwie.))
Auÿenfeld:
E=
R
0
Q
Q
=
4π0 r2
dOV
,r > a
OV
c)
Z
Q =
Za Zπ Z2π
3
ρ(~r) d ~r =
0
V
0
Za
(3 − n)Q a n 2
r sin θ dφ dθ dr =
4πa3
r
0
Z2π
Zπ
=
(3 − n)Q n−3
a
4π
=
(3 − n)Q n−3
1
3−n
a
4π
a
=Q
4π
3−n
r
2−n
dr
0
sin θ dθ
0
dφ =
0
(qed)
für r ≤ a folgt:
Ra Rπ 2π
R h (3−n)Q
E
=
1
0
0 0 0
4πa3
Rπ 2π
R
a n
r
i
r2 sin θ dφ dθ dr
=
r2 sin θ dφ dθ
0 0
=
~ r)
⇒ E e~r = E(~
=
1
3−n
· 4π
(3 − n)Q n−3 3−n r
Qan−3 1−n
=
r
a
4π0 r2
4π
4π0
Qan−3 1−n
r
e~r
4π0
für r>a folgt:
Da hier Q wieder vollständig eingeschlossen ist, folgt eine Rechnung wie in b). Daher kann
man einfach schreiben:
~ r) =
E(~
8
Q
e~r
4π0 r2
d) n=2
Das Innenpotential ergibt sich zu:
Z
Q
Q
dr = −
ln r + c1
4π0 ar
4π0 a
Φi = −
Im Auÿenraum:
Z
ΦA = −
Q4π0 r2 dr =
Q
+ c2
4π0 r
Da φ und damit auch φa im ∞ verschwindet, ist c2 ≡ 0. Damit bleibt noch die Anschlussbedingung bei r=a:
⇔−
Φi (a)
=
Q
ln a + c1
4π0 a
=
⇔ c1
=
ΦA (a)
Q
4π0 a
Q
(1 + ln a)
4π0 a
n=-2
Innenraum:
Z
Φi = −
Q
Q
r3 dr = −
r4 + c1
5
4π0 a
16π0 a
Auÿenraum:
Z
ΦA = −
Q4π0 r2 dr =
Q
+ c2
4π0 r
Wieder ist c2 wie oben 0. Damit folgt mit der Anschlussbedingung:
Φi (a) =
Q
⇔−
a4 + c1 =
16π0 a
⇔ c1
Aufgabe 2 (20 Punkte)
a) Für alle 4 Wege gilt: ~r = ~0.
Weg1 (untere Seite)
r~0
= −Re~y + te~x
9
=
ΦA (a)
Q
4π0 a
Q
1 + a4
4π0 a
dr~0
=
⇒ B~1
=
dte~x
Z
Z
µ0 I
µ0 I
dr~0 × (~r − r~0 )
dte~x × (Re~y − te~x )
=
=
0
3
~
4π
4π
|Re~y + te~x |3
|~r − r |
C
C
Z+R
=
µ0 I
R
4π
=
2µ0 I
√ e~z
4π 2R
−R
Weg2
(rechte Seite)
r~0
dr~0
=
dte~y
⇒ B~2
=
µ0 I
4π
= Re~x + te~y
Z
µ0 I
dr~0 × (~r − r~0 )
dte~y × (−Re~x − te~y )
=
=
0
3
~
4π
| − Re~x + te~y |3
|~r − r |
Z
C
=
C
µ0 I
R
4π
Z+R
−R
=
Weg3
R
µ0 IR
t
√
dt √
=
3 e~z = 4π e~z
R2 R2 + t2 −R
R 2 + t2
1
R
µ0 IR
t
√
dt √
=
3 e~z = 4π e~z
R2 R2 + t2 −R
R 2 + t2
1
2µ0 I
√ e~z
4π 2R
(obere Seite)
r~0
dr~0
=
⇒ B~3
=
= Re~y + te~x
dte~x
Z
Z
dr~0 × (~r − r~0 )
dte~x × (−Re~y − te~x )
µ0 I
µ0 I
=
=
0
3
~
4π
4π
|Re~y + te~x |3
|~r − r |
C
=
C
µ0 I
R
4π
ZR
dt √
−R
=
Weg4
1
R 2 + t2
3 e~z =
R
µ0 IR
t
√
e~z
=
4π
R2 R2 + t2 −R
2µ0 I
√ e~z
4π 2R
(linke Seite)
r~0
dr~0
⇒ B~4
= −Re~x + te~y
=
dte~y
=
µ0 I
4π
Z
C
µ0 I
= −
R
4π
Z
dr~0 × (~r − r~0 )
dte~y × (Re~x − te~y )
µ0 I
=
=
0
3
~
4π
| − Re~x + te~y |3
|~r − r |
C
Z−R
R
R
µ0 IR
t
√
dt √
=
3 e~z = 4π e~z
R2 R2 + t2 −R
R 2 + t2
1
10
2µ0 I
√ e~z
4π 2R
=
⇒ Das gesamte Magnetfeld im Punkt P ist also:
~ = B~1 + B~2 + B~3 + B~4 = √2µ0 I e~z
B
2πR
√
Im Vergleich zur Kreisschleife ergibt sich ein Faktor 1/( 2π). Das hat hauptsächlich was
mit der Symmetrie zu tun, also das nicht alle Punkte des Leiters den gleichen Abstand zum
Punkt P haben.
b) Da die Seiten alle den gleichen Beitrag zum Gesamtfeld liefern (vgl a) ist es nur notwendig
eine Seite zu berechnen und das Ergebnis mit n zu multiplizieren.
Berechne daher nur die rechte Seite (Ursprung bei P, kartesisches Koordinatensystem). Die
Grenzen sind -L/2 und +L/2. Durch Einsetzen der gegeben Formel ändern sich die Grenzen
zu: −R tan (π/n), bzw R tan (π/n).
~r
r~0
dr~0
~
⇒B
= ~0
= Re~x + te~y
=
=
=
=
=
dte~y
R tan
Z (π/n)
µ0 I
e~z
e~y × (−Re~x − te~y )
=
dt √
dt
R
√
3
3 =
4π
2 + t2
2 + t2
R
R
C
−R tan (π/n)
"
#
2
µ0 I
R2 tan (π/n)
R tan (π/n)
p
p
e~z
+
4π
R2 R2 + R2 tan 2 (π/n) R2 R2 + R2 tan 2 (π/n)
#
#
"
"
µ0 I
2 tan (π/n)
µ0 I
2(π/n)
p
p
e~z
=
e~z
=
|{z}
4π
4π
R 1 + tan 2 (π/n)
R 1 + (π/n)2
n>>1⇒tan φ≈φ


µ0 I 
1

q
e~z
2
2R
n 1 + nπ
µ0 I
4π
Z
Das Gesamtfeld ergibt sich damit zu:
~ =n·
B~G = nB
µ0 I
2R e~z
pµ0 I 2 e~z
π
1+( n
)
2
Im Grenzübergang n → ∞ geht (π/n) → 0. Damit ergibt sich die Formel für den Kreis.
1
n
p
2
π
1+( n
)
=
2R
Aufgabe 3 (8 Punkte)
1. Ist die Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung äquivalent zur Ladungserhaltung? Ja
2. Entkoppeln die Gleichungen für das elektrische und das magnetische Feld in der Elektround Magnetostatik? Ja
3. Kann die Normalkomponente des elektrischen Feldes an geladenen Grenzächen unstetig
sein? Ja
4. Ist ein statisches Magnetfeld prinzipiell mit dem Faraday-Gesetz berechenbar? Nein
5. Stehen der elektrische und der magnetische Feldvektor einer elektromagnetischen Welle immer senkrecht zueinander? Ja
11
6. Verschwindet für ein Magnetfeld immer der Monopolbeitrag? Ja
7. Ist das elektrische Feld im allgemeinen Fall auch eine Funktion des magnetischen Vektorpotentials? Ja
12