Klassische und Relativistische Mechanik

Klassische und Relativistische Mechanik
Othmar Marti | 12. 12. 2007 | Institut für Experimentelle Physik
Physik, Wirtschaftsphysik und
Lehramt Physik
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Lösen von Aufgaben
Ab 14. 12. 2007 jeweils am
Freitag, 14:00- 16:00
im H1
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Weltlinie
Ein Körper ist also eine Folge von Punktereignissen.
Man nennt diese Linie die Weltlinie des Körpers.
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Rückdatierung
Rückdatierung der Beobachtung eines Ereignisses auf die
wahre Zeit und den wahren Ort.
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Rückdatierung
Um die Lage eines Punktereignisses in einer für alle
möglichen Beobachter nachvollziehbaren Weise anzugeben, muss das Hilfsmittel der Rückdatierung angewandt werden.
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Raum-Zeit für eine Raumdimension
Die Zeitachse wird mit ct bezeichnet, um die gleiche Einheit wie die x-Achse zu haben. Die x-Achse
fasst alles zusammen, was jetzt geschieht. Die ct-Achse fasst alles zusammen, was am Ort des
Beobachters, hier geschieht. Zum dargestellten Zeitpunkt hat der Beobachter bei x = 0 und ct = 0
Kenntnis über alles was im zeitartigen Gebiet unterhalb der x-Achse liegt. Alles was im zeitartigen
Gebiet über der x-Achse liegt, kann beeinflusst werden. Zum dargestellten Zeitpunkt gibt es keine
gegenseitige Beeinflussung von Punkten im raumartigen Gebiet.
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Relativistisches Mass
Wir definieren als Mass (verallgemeinerte Längenmessung)
2
2
2
2
2
2
s1,
2 = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) − c (t2 − t1 )
Dies ist analog zum Euklidischen Mass
2
2
2
2
s1,
2, Euklid = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) + (z2 − z1 )
Zwei Ereignisse heissen zeitartig, wenn
2
s1,
2 < 0
Zwei Ereignisse heissen raumartig, wenn
2
s1,
2 > 0
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Gleichzeitigkeit
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Gleichzeitigkeit
I
Licht breitet sich mit c in jedem Inertialsystem aus. Ich kann
also, auch wenn ich nicht weiss, wie die Geschwindigkeiten in
B’s System zu transformieren sind, die Weltlinie des Lichtes
angeben.
I
Die Zeitachse von B ist seine Geschwindigkeit u. Die beiden
Weltlinien des Lichtes aus jedem der beiden Ereignisse müssen
sich auf B’s Weltlinie, seiner ct 0 -Achse, schneiden.
I
Der Winkel PRQ ist ein rechter Winkel, da beide Lichtgeraden
die x-Achse von A unter π/4 schneiden. Also ist PQR ein
rechtwinkliges Dreieck.
I
Da B die beiden Novae gleichzeitig sieht, muss der Abstand
gleich zur Zeitachse von B (ct 0 ) gleich sein. Also ist der
Schnittpunkt der Orts- und der Zeitachse in B’s System der
Mittelpunkt des Thaleskreises des rechtwinkligen Dreiecks RPQ.
Deshalb sind die Strecken 0P = 0Q = 0R gleich.
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Gleichzeitigkeit
Zwischenbeobachtung: Die beiden roten Linien unter π/4
stellen die Ausbreitung des Lichtes dar, die Lichtgeraden: die
Lichtgeschwindigkeit bei unserer Wahl der Koordinaten ist 1.
Die beiden roten Linien durch die beiden Ereignisse zeigen,
dass B beide Novae gleichzeitig wahrnimmt. A hingegen sieht
zuerst die Nova 1, dann die Nova 2, da der Schnittpunkt der
ersten roten Linie mit der ct-Achse unter dem der zweiten Linie
liegt.
Der Begriff der Gleichzeitigkeit hängt vom betrachteten
Inertialsystem ab.
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Gleichzeitigkeit
I
I
B’s Geschwindigkeit gegenüber A legt den Winkel α fest. Gesucht ist der Winkel β
Aus dem Winkel PRQ liest man ab:
π/2 = φ + γ.
I
Da das Dreieck Q0R gleichschenklig ist, ist auch
=γ
I
Aus dem Dreieck 0RT und dem Winkel der beiden Lichtgeraden zur ct-Achse beziehungsweise zur r -Achse
von π/4 folgt
α + 3π/4 + φ = π
oder
α = π/4 − φ.
I
Aus dem Dreieck 0SQ und dem Winkel der beiden Lichtgeraden zur ct-Achse beziehungsweise zur r -Achse
von π/4 folgt
β + π/4 + [π − ] = π
und mit = γ = π/2 − φ folgt
β = − π/4 = π/4 − φ.
Also ist
α=β
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Beschreibung aus der Sicht des zweiten Bezugssystems
Die beiden Novae aus der Sicht von B.
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Gleichzeitigkeit
Relationen zwischen Ereignissen sind nur dann sinnvoll
zu beschreiben, wenn gleichzeitig auch das Bezugssystem angegeben wird.
In jedem Inertialsystem gibt es konsistente Masseinheiten, die aber von Inertialsystem zu Inertialsystem verschieden sind.
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Längenkontraktion
Massstabsvergleich
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Lorentz-Kontraktion
Lorentz-Kontraktion
r
f =
1−
v2
c2
In jedem gegen das Inertialsystem des Beobachters mit
v bewegten Inertialsystem erscheinen dieqin Richtung
der Bewegung zeigenden Längen um f =
kürzt.
1−
v2
c2
ver-
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Längenkontraktion
Als Beispiel betrachten wir eine Länge. a sei die Länge
gemessen im ruhenden System. a0 sei die Länge gemessen im
bewegten System. Dann ist
r
v2
0
0
a=f ·a =a 1− 2
c
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Uhrenvergleich
.
Darstellung des Uhrenvergleichs
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Uhrenvergleich
Vergrösserte Darstellung aus der vorherigen Abbildung.
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Longitudinaler relativistischer Dopplereffekt
Der longitudinale relativistische Dopplereffekt. Links ist mein
Standpunkt, rechts der von B.
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Addition von Geschwindigkeiten