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Vorlesung: Naturwissenschaftliche und technische Grundlagen
I
I2
Aus Knotenregel:
I1
UQ1
R1
+
_
Datum: 25.11.2013
I
R2
= I1 + I2
(1)
Aus Maschenregel:
UQ1
= I1R1 + IR3
UQ1 – UQ2 = I2R2 + IR3
– UQ2 = I2R2 – IR1
+
_ UQ2
R3
(2)
(3)
(4)
3 Unbekannte, 4 Gleichungen
Auflösung: (1) in (2) einsetzen:
UQ1 = I1R1 + (I1 + I2)R3
(5)
(1) in (3) einsetzen
UQ1 – UQ2 = I2R2 + (I1 + I2)R3
(6)
(5) und (6) bilden ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten (I, I1, I2 sind gesucht, UQ1, UQ2, R1, R2, R3
gegeben) Gleichung (5) nach I1 auflösen.
UQ1
= I1R1 + I1R3 + I2R3
UQ1 – I2R3
= I1(R1 + R3)
(UQ1 – I2R3) / (R1 + R3) = I1
(7)
Einsetzen in (6), auflösen nach I2:
I1
UQ1 – UQ2
= I2R2 + I2R3 + R3 (UQ1 – I2R3) / (R1 + R3)
(UQ1 – UQ2) (R1 + R3)
= I2(R2 + R3) (R1 + R3) + UQ1R3 – I2(R3)²
(UQ1 – UQ2) (R1 + R3) – UQ1R3 = I2[(R2 + R3) (R1 + R3) – (R3)²]
= [UQ1R1 – UQ2(R1 + R3)] / [R1R2 + R1R3 + R2R3]
I2
(8)
I2 kann berechnet werden, danach mit (6) oder (7) I1 ausrechnen mit (1) I berechnen.
Zahlenbeispiel: UQ1 = 12V, UQ2 = 5V, R1 = 4Ω, R2 = 2Ω, R3 = 3Ω
Mit (8) ergibt sich I2 = 0,5A
I1 = (UQ1 – I2R3) / (R1 + R3) = 1,5A
I = I1 + I2 =2A
Tests:
M2
M1 =
R1
+
UQ1 _
M1
R3
Folie: Tafel
R2
M3
+
_ UQ2
UQ1
12V
= I1R1 + IR3
(2)
= 1,5A 4Ω + 2A 3Ω
= 6V + 6V
M2 = UQ1 – UQ2 = I2R2 + IR3
(3)
12V – 5V = 0,5A 2Ω + 2A 3Ω
M3 =
– UQ2 = I2R2 – I1R1
– 5V = 0,5A 2Ω – 1,5A 4Ω
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Vorlesung: Naturwissenschaftliche und technische Grundlagen
Datum: 25.11.2013
Der Spannungsteiler: Teilspannungen bei seriell geschalteten Widerständen
Beispiel:
a
U1
R1 = 40Ω
200V
U2
b
R2 = 60Ω
c
Teilspannungen sind ohmsche Spannungsabfälle.
RGes = R1 + R2 = 100Ω
I
U
R2R
=Ges
60Ω
I = U / RGes =
U1 = R1 I = 40Ω 2A = 80V
U2 = R2 I = 60Ω 2A = 120V
Wir beobachten:
U = U1 + U2 = 80V + 120V = 200V (Spannung wurde geteilt)
U1 / U2 = R1 / R2 =
(
)
Allgemein:
-
Die Summe der Teilspannungen ist gleich der Gesamtspannung
Due Teilspannungen stehen im gleichen Verhältnis wie die dortigen Widerstände
-
Das Verhältnis
(gleich I) hat auf jedem Teilabschnitt den gleichen Wert
Gilt für beliebig viele seriell geschaltete Widerstände!
U+
_
R1
U = U1 + U2 + U3 + U4
(1)
U1 / U2 = R1 / R2, U1 / U3 = R1 / R3,
(U3 + U4) / (U1 + U2) = (R3 + R4) / (R1 + R2), usw.
(2)
U1 / R1 = U2 / R2 = U3 / R3 = U4 / R4 = UGes / RGes = I
(3)
R2
Beweisidee für die 3 Regeln:
R3
Maschenregel
(1)
U1 / U2 = (I R1) / (I R2)
(2)
U1 / R1 = I, U2 / R2 = I, UGes / RGes = I
(3)
R4
Folie: Tafel
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Vorlesung: Naturwissenschaftliche und technische Grundlagen
Datum: 25.11.2013
Beispiel:
24V +
_
6V
R1 3kΩ
4V
R2 Rx
14V
R3 7kΩ
= 2kΩ
(2)
Wie groß ist Rx?
Anwendungsbeispiel: Resistiver Touchscreen
Folie: Tafel
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