Masterarbeit Oliver Stahn Levitron

Fakultät 5
Institut für Mechanik
Masterarbeit
«Analytische Berechnung des magn. Flussfeldes einer mit
Helmholtz-Spulen erweiterten Levitronbasis»
vorgelegt von:
Oliver Stahn
325469
Hochschullehrer:
Prof. Dr. rer. nat. W. H. Müller
Betreuer:
Dr. Ralf Wille
Felix Reich, M.Sc.
Technische Universität Berlin, Fakultät 5 – Institut für Mechanik,
Fachgebiet für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie
Berlin, 19. Dezember 2014
Eidesstattliche Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig und eigenhändig
sowie ohne unerlaubte fremde Hilfe und ausschließlich unter Verwendung der
aufgeführten Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe.
Ort, Datum
Oliver Stahn
IV
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
1. Theorie des Elektromagentismus
1.1. Mischungstheorie . . . . . . . . . .
1.2. Die Massenbilanz und ihre Folgen .
1.3. Die Bilanz der elektrischen Ladung
1.4. Erhalt des magnetischen Flusses .
2
2
3
5
7
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2. Helmholtzspulen
2.1. Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Das Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Der Ringstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Das magn. Flussfeld durch Nutzung des Biot-Savart-Gesetz
2.3.2. Das magn. Flussfeld durch Berechnung des Vektorpotentials
2.3.3. Berechnung des magn. Flussfeld in Zylinderkoordinaten
unter Verwendung des Vektorpotentials . . . . . . . . . .
2.3.4. Vektorpotential und Flussfeld eines zeit-harmonischen
Ringstroms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Die Helmholtz-Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
11
12
16
3. Die permantentmagnetische Levitronbasis
3.1. Direkte Berechnung des magn. Flussfelds . . . . . . . . . . . . .
3.2. Berechnung des magnetischen Flussfelds mit Hilfe des Vektorpo­
tentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
4. Gesamtfeld
4.1. Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Beschreibung des magnetischen Flussfelds der Helm­
holtz-Spulen im 𝜉-System . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Beschreibung des magnetischen Flussfelds der Levitronba­
sis im 𝜉-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Das zusammengesetzte Feld aus Helmholtz-Spulen und Levi­
tronbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Betrachtung der Sprungbilanzen am Rand der Levitronbasis . . .
42
42
Zusammenfassung
61
19
21
26
39
43
45
46
56
Inhaltsverzeichnis
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
Abbildungsverzeichnis
Literaturverzeichnis
A. Mathematica-Routinen
Inhaltsverzeichnis
V
VI
VIII
i
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
1
Einleitung
Auslösend für den Beginn dieser Arbeit war die in [Pérez u. García-Sánchez
2013] vorgestellte Methode zur Berechnung des magnetischen Flussfeldes einer
mit Helmholtz-Spulen erweiterten Levitronbasis. Die dortige Vorgehensweise
warf viele Fragen auf, sodass eine genauere Untersuchung erstrebenswert schien.
In dieser Arbeit sollen nun die Maxwellschen Gleichungen als hier relevante
Bilanzen eingeführt und zur Berechnung des magnetischen Flussfeldes genutzt
werden. Dabei sollen verschiedene Methoden zur Berechnung des magnetischen
Flussfeldes der Helmholtz-Spulen sowie der Levitronbasis vorgestellt werden.
Genauer sollen die Helmholtz-Spulen durch zwei einzelne Ringströme model­
lierten werden, mit deren Hilfe man das eigentliche gesuchte Feld angeben können
wird. Die Berechnung des magnetischen Flussfeldes eines Ringstroms wird dabei
sowohl statisch, als auch dynamisch erfolgen. Mit Hilfe dieser Ergebnisse wird
durch Superposition der beiden Felder das magnetische Flussfeld der hier interes­
sierenden Anordnung erhalten und anschließend diskutiert. Bei der Auswahl der
Ergebnisse, die zur Superposition des Gesamtfeldes genutzt werden sollen, muss
besonderes Augenmerk auf gute rechentechnische Auswertbarkeit gelegt werden.
Inhaltsverzeichnis
2
1. Theorie des Elektromagentismus
Im folgenden Kapitel werden die Maxwellschen Gleichungen in materieller
Form hergeleitet. Die hier genutzte Vorgehensweise ist in Grundzügen in [Dreyer
2013, S. 68 ff.] dargestellt und ist in dieser Arbeit detailliert aufgearbeitet und
ergänzt worden.
1.1. Mischungstheorie
Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass Materie eine Mischung aus 𝑁 Kom­
ponenten 𝐴𝛼 , 𝛼 ∈ {1, 2, . . . , 𝑁 } ist. Jede dieser Komponenten besteht aus masseund ladungsbehafteten Teilchen. Die Ladung eines Teilchens 𝑒𝛼 = 𝑧𝛼 𝑒0 , 𝑧𝛼 ∈ Z
kann nur ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung 𝑒0 sein. Des Weiteren
besitzt jedes Teilchen eine Masse 𝑚𝛼 =
̸ 0. In einer Mischung können zu jedem
Zeitpunkt 𝑁𝑅 verschiedenen Reaktionen ablaufen. Für die 𝑖-te Reaktion gilt:
𝑁
∑︁
𝑎𝑖𝛼 𝐴𝛼 𝛼=1
𝑁
∑︁
𝑏𝑖𝛼 𝐴𝛼 ,
𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑁R } .
𝛼=1
Hier sind 𝑎𝑖𝛼 , 𝑏𝑖𝛼 ∈ Z Teilchenanzahlen der 𝑖-ten Reaktion bzgl. der Komponente
𝐴𝛼 vor bzw. nach der Reaktion, aus denen sich die stöchiometrischen Koeffizienten
𝛾𝛼𝑖 = 𝑏𝑖𝛼 − 𝑎𝑖𝛼 definieren lassen.
Postulat 1. Die Masse und die freie elektrische Ladung einer jeden
chemischen Reaktion und Komponente sind erhalten:
𝑁
∑︁
𝛼=1
𝑚𝛼 𝛾𝛼𝑖 = 0
und
𝑁
∑︁
𝑒𝛼 𝛾𝛼𝑖 = 0 .
𝛼=1
Um den Übergang von der Betrachtung von einzelnen Teilchen zu Kontinua zu
bewältigen, werden die Teilchenzahldichten 𝑛𝛼 eingeführt und mit deren Hilfe
die Massendichte 𝜌𝛼 = 𝑚𝛼 𝑛𝛼 und die freie elektrische Ladungsdichte 𝑞𝛼f = 𝑒𝛼 𝑛𝛼
definiert. Hier und im Weiteren wird die Einsteinsche Summenkonvention nur
auf Indizes bzgl. der Komponenten eines Tensors angewandt. Mithilfe der Massen-
Kapitel 1. Theorie des Elektromagentismus
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
3
und freien elektrischen Ladungsdichte kann man die Massen- und freie elektrische
Stromdichte für jede Komponente 𝐴𝛼 angeben:
𝜇𝛼 = 𝜌𝛼 𝑣 𝛼
𝑗 f𝛼 = 𝑞𝛼f 𝑣 𝛼 .
und
Somit ergibt sich für die gesamte Mischung:
𝜌=
𝑁
∑︁
𝑞f =
𝜌𝛼 ,
𝛼=1
𝑁
∑︁
𝑞𝛼f ,
𝜇=
𝛼=1
𝑁
∑︁
𝜇𝛼
und 𝑗 f =
𝛼=1
𝑁
∑︁
𝑗 f𝛼 .
𝛼=1
Nun können die baryzentrische Geschwindigkeit und die Massendiffusionsströme
als:
^ 𝛼 = 𝜇𝛼 − 𝜌𝛼 𝑣
𝜌𝑣 = 𝜇
und
𝜇
definiert werden. Eine wichtige Folge der Definition der Massendiffusionsströme
ist, dass:
𝑁
∑︁
^𝛼 =
𝜇
𝛼=1
𝑁
∑︁
(𝜇𝛼 − 𝜌𝛼 𝑣) = 𝜇 − 𝜌𝑣 = 0 .
𝛼=1
Die Massendiffusionsströme bzgl. aller Komponenten sind erhalten. Mit Hilfe
der obigen Definition kann die Geschwindigkeit einer Komponente 𝑣 𝛼 wie folgt
angegeben werden:
^ 𝛼 = 𝜇𝛼 − 𝜌𝛼 𝑣 = 𝜌𝛼 (𝑣 𝛼 − 𝑣)
𝜇
⇔
𝑣𝛼 = 𝑣 +
^𝛼
𝜇
.
𝜌𝛼
Dieses Ergebnis ist nützlich, um die freien elektrischen Ströme der Mischung
durch die Diffusionsströme auszudrücken:
𝐽f =
𝑁
∑︁
𝛼=1
𝑗 f𝛼 =
𝑁
∑︁
𝑞𝛼f 𝑣 𝛼 = 𝑞 f 𝑣 +
𝛼=1
𝑁
∑︁
𝑞f
𝛼
𝛼=1
𝜌𝛼
^ 𝛼 = 𝑞f 𝑣 +
𝜇
𝑁
∑︁
𝑒𝛼
𝛼=1
𝑚𝛼
^𝛼 .
𝜇
Postulat 2. Die gesamte elektrische Ladungs- und Stromdichte, 𝑞
und 𝐽 , sind in freie und gebundene Anteile zerlegbar:
𝑞 = 𝑞f + 𝑞r
und
𝐽 = 𝐽f + 𝐽r .
1.2. Die Massenbilanz und ihre Folgen
Die globale Massenbilanz eines materiellen Volumens mit einer singulären Fläche
lässt sich wie folgt angeben:
Die Massenbilanz und ihre Folgen
4
ˆ
ˆ
⎡
d ⎢
⎣
d𝑡
𝜌𝛼 d𝑉 +
𝛺
ˆ
⎤
⎥
𝜌I𝛼 d𝐴⎦ =
𝛺∩𝐼
𝑟𝛼 d𝑉 +
𝛺
˛
−
ˆ
𝑟I𝛼 d𝐴 −
𝛺∩𝐼
˛
𝜌𝛼 (𝑣 𝛼 − 𝑣) · 𝑛 d𝐴 −
𝜕𝛺
𝜌I𝛼 (𝑣 I𝛼 − 𝑤) · 𝜈 dℓ . (1.1)
𝜕𝛺∩𝐼
Hierbei wird allgemein angenommen, dass die Teilchenzahldichte 𝑛𝛼 auf der
singulären Fläche 𝐼 nicht stetig ist. Daher wird im Folgenden die Teilchenzahl­
dichte auf der singulären Fläche mit 𝑛I𝛼 bezeichnet. Analog zur Massendichte
kann nun die Massendichte auf der singulären Fläche 𝜌I𝛼 = 𝑚𝛼 𝑛I𝛼 definiert
werden. In Gleichung (1.1) ist 𝑟𝛼 die Massenproduktionsdichte einer Kompo­
nente 𝐴𝛼 auf Grund chemischer Reaktionen. Analog hierzu bezeichnet 𝑟I𝛼 die
Massenproduktionsdichte einer Komponente aufgrund chemischer Reaktion auf
der singulären Fläche. 𝑣 I𝛼 ist die Geschwindigkeit der Teilchen der Komponente
𝐴𝛼 auf der singulären Fläche 𝐼 und 𝑤 die Geschwindigkeit der singulären Fläche.
Multipliziert man Gleichung (1.1) mit der Konstanten 𝑒𝛼/𝑚𝛼 , erhält man die
Bilanz der freien elektrischen Ladung einer Komponente 𝐴𝛼 :
ˆ
ˆ
⎡
d ⎢
⎣
d𝑡
𝑞𝛼f d𝑉
𝛺
+
ˆ
⎤
⎥
𝑞If𝛼 d𝐴⎦
𝛺∩𝐼
˛
=
𝑒𝛼
d𝑉 +
𝑟𝛼
𝑚𝛼
𝛺
𝑞𝛼f (𝑣 𝛼
−
ˆ
𝑟I𝛼
𝛺∩𝐼
− 𝑣) · 𝑛 d𝐴 −
𝜕𝛺
𝑒𝛼
d𝐴 −
𝑚𝛼
˛
𝑞If𝛼 (𝑣 I𝛼 − 𝑤) · 𝜈 dℓ . (1.2)
𝜕𝛺∩𝐼
Postulat 3. Die Massenproduktionsdichte einer Komponente ist
darstellbar über:
𝑟𝛼 =
𝑁R
∑︁
𝑚𝛼 𝛾𝛼𝑖 (𝑅f𝑖 − 𝑅b𝑖 ) ,
𝑖=1
wobei 𝑅f𝑖 und 𝑅b𝑖 die Vorwärts- und Rückwärtsraten der 𝑖-ten Reak­
tion sind. Analoges gilt für singuläre Flächen.
Um die Bilanz der gesamten freien Ladung zu erhalten, muss Gleichung (1.2)
über alle Komponenten 𝐴𝛼 summiert werden. Hier sieht man leicht, dass:
𝑁
∑︁
𝛼=1
𝑁
𝑟𝛼
𝑁
𝑁 ∑︁
𝑁
R
R
∑︁
∑︁
∑︁
𝑒𝛼
=
𝑒𝛼 𝛾𝛼𝑖 (𝑅f𝑖 − 𝑅b𝑖 ) =
(𝑅f𝑖 − 𝑅b𝑖 )
𝑒𝛼 𝛾𝛼𝑖 = 0 .
𝑚𝛼 𝛼=1 𝑖=1
𝛼=1
𝑖=1
Kapitel 1. Theorie des Elektromagentismus
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
5
Die Gültigkeit dieser Aussage folgt direkt aus den Postulaten 1 und 3. Eine
analoge Aussage kann auch für die Massenproduktionsdichte auf der singulären
Fläche getroffen werden. Somit folgt die Bilanz der freien elektrischen Ladung
eines Kontinuums:
ˆ
ˆ
⎡
d ⎢
⎣
d𝑡
𝑞 f d𝑉 +
𝛺
˛
⎤
𝑞If d𝐴⎦ = −
(𝐽 f − 𝑞 f 𝑣) · 𝑛 d𝐴 −
⎥
𝛺∩𝐼
𝜕𝛺
˛
(𝐽 fI − 𝑞If 𝑤) · 𝜈 dℓ . (1.3)
−
𝜕𝛺∩𝐼
Diese Gleichung ist eine direkte Folge der Massenbilanz für materielle Volumina.
1.3. Die Bilanz der elektrischen Ladung
Postulat 4. Analog zu Gleichung (1.3) wird davon ausgegangen,
dass die Gesamtladung der Bilanz
ˆ
ˆ
⎡
d ⎢
⎣
d𝑡
⎥
𝑞I d𝐴⎦ = −
𝑞 d𝑉 +
𝛺
˛
⎤
𝛺∩𝐼
(𝐽 − 𝑞𝑣) · 𝑛 d𝐴 −
𝜕𝛺
˛
−
(𝐽 I − 𝑞I 𝑤) · 𝜈 dℓ (1.4)
𝜕𝛺∩𝐼
in materiellen Volumina genügt.
Bildet man die Differenz der Gleichungen (1.4) und (1.3), so erhält man die
Bilanz der gebundenen elektrischen Ladung:
ˆ
ˆ
⎡
d ⎢
⎣
d𝑡
𝛺
𝑞 r d𝑉 +
˛
⎤
𝑞Ir d𝐴⎦ = −
⎥
𝛺∩𝐼
(𝐽 r − 𝑞 r 𝑣) · 𝑛 d𝐴 −
𝜕𝛺
˛
−
(𝐽 rI − 𝑞Ir 𝑤) · 𝜈 dℓ . (1.5)
𝜕𝛺∩𝐼
Um die Gleichungen (1.3) und (1.5) lösen zu können, werden Potentiale für die
Gesamtladung (𝐷) und die Polarisationsladung (𝑃 ) eingeführt:
˛
ˆ
ˆ
𝐷 · 𝑛 d𝐴 = 𝑞 d𝑉 + 𝑞I d𝐴
𝜕𝛺
Die Bilanz der elektrischen Ladung
𝛺
𝛺∩𝐼
6
und
ˆ
˛
ˆ
r
𝑃 · 𝑛 d𝐴 =
−
𝛺
𝜕𝛺
𝑞Ir d𝐴 .
𝑞 d𝑉 +
𝛺∩𝐼
Unter Verwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satzes folgt:
ˆ
ˆ
˛
ˆ
ˆ
𝑞 d𝑉 + 𝑞I d𝐴 =
𝐷 · 𝑛 d𝐴 = ∇ · 𝐷 d𝑉 + J𝐷K · 𝑒 d𝐴 .
𝛺
𝛺∩𝐼
𝛺
𝜕𝛺
𝛺∩𝐼
Ein Koeffizientenvergleich beider Seiten der Gleichung liefert:
∇·𝐷 =𝑞
J𝐷K · 𝑒 = 𝑞I .
und
(1.6)
Dies ist eine Maxwell-Gleichung und wird auch Gaußsches Gesetz genannt.
Entsprechend folgt für die Polarisationsladung:
∇ · 𝑃 = −𝑞 r
J𝑃 K · 𝑒 = −𝑞Ir .
und
(1.7)
Ein weiterer Schritt zur Lösung der Gleichungen (1.3) und (1.5) besteht darin,
Potentiale für den Gesamtstrom (𝐻) und den Polarisationstrom (𝑀 ) einzuführen.
Dazu werden Flächenbilanzen genutzt, die den Erhalt der elektrischen Gesamtund Polarisationsladung gewährleisten sollen:
d
d𝑡
ˆ
ˆ
𝐷 · 𝑛 d𝐴 = −
𝐴
˛
(𝐽 − 𝑞𝑣) · 𝑛 d𝐴 −
𝐴
(𝐽 I − 𝑞I 𝑤) · 𝜈 dℓ +
𝐴∩𝐼
˛
(𝐻 + 𝐷 × 𝑣) · 𝜏 dℓ (1.8)
+
𝜕𝐴
und
d
−
d𝑡
ˆ
ˆ
𝑃 · 𝑛 d𝐴 = −
𝐴
˛
r
r
(𝐽 rI − 𝑞Ir 𝑤) · 𝜈 dℓ +
(𝐽 − 𝑞 𝑣) · 𝑛 d𝐴 −
𝐴
𝐴∩𝐼
˛
+
(𝑀 − 𝑃 × 𝑣) · 𝜏 dℓ . (1.9)
𝜕𝐴
Rein formell erfüllen diese Gleichungen die Gleichungen (1.3) und (1.5), da die
Anwendung 𝐴 → 𝜕𝛺 und somit 𝜕𝐴 = 𝜕𝜕𝛺 = ∅ liefert. Unter Anwendung der
allgemeinen Flächenflussbilanz [Müller 2014, S. 346] folgt:
𝜕𝐷
=∇×𝐻 −𝐽
𝜕𝑡
und
J𝐷K𝑤⊥ + 𝑒 × J𝐻K = 𝐽 I .
(1.10)
Kapitel 1. Theorie des Elektromagentismus
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
7
Dies ist eine weitere Maxwell-Gleichung und wird Durchflutungsgesetz genannt.
Äquivalent ergibt sich für die Polarisationsladungserhaltung:
𝜕𝑃
= −∇ × 𝑀 + 𝐽 r
𝜕𝑡
− J𝑃 K𝑤⊥ + 𝑒 × J𝑀 K = 𝐽 rI .
und
(1.11)
Durch Addition der Gleichungen (1.10) und (1.11) erhält man:
𝜕(𝐷 + 𝑃 )
= ∇×(𝐻 −𝑀 )−𝐽 f
𝜕𝑡
und J𝐷+𝑃 K𝑤⊥ +𝑒×J𝐻 −𝑀 K = 𝐽 fI . (1.12)
Definiert man nun Potentiale für die freie elektrische Ladung D = 𝐷 + 𝑃 und
den freien elektrischen Strom H = 𝐻 − 𝑀 lauten diese Gleichungen kurz:
−
𝜕D
+ ∇ × H = 𝐽f
𝜕𝑡
und JDK𝑤⊥ + 𝑒 × JHK = 𝐽 fI .
(1.13)
Übereinstimmend findet man durch Addition der Gleichungen (1.6) und (1.7):
∇ · D = 𝑞f
JDK · 𝑒 = 𝑞If .
und
(1.14)
1.4. Erhalt des magnetischen Flusses
Postulat 5. Das Fardaysche Gesetz
ˆ
˛
d
𝐵 · 𝑛 d𝐴 = − (𝐸 + 𝑣 × 𝐵) · 𝜏 dℓ
d𝑡
𝐴
𝜕𝐴
beschreibt den Erhalt des magnetischen Flusses. Man gehe davon
aus, dass zu einem vergangenen Zeitpunkt für jeden Raumpunkt
zumindest einmal 𝐵 = 0 galt (Anschaltargumentation).
Wendet man dieses Postulat auf die geschlossene Oberfläche eines materiellen
Volumens 𝜕𝛺 folgt aufgrund 𝜕𝜕𝛺 = ∅, dass:
ˆ
ˆ
d
𝐵 · 𝑛 d𝐴 = 0 ⇒
𝐵 · 𝑛 d𝐴 = konst.|𝑡 .
d𝑡
𝐴
𝐴
Durch die Anschaltargumentation ist klar, dass diese Konstante gleich null sein
muss. Wird nun der verallgemeinerte Satz von Gauß angewendet, folgt:
ˆ
ˆ
∇ · 𝐵 d𝑉 + J𝐵K · 𝑒 d𝐴 = 0
𝛺
Erhalt des magnetischen Flusses
𝐼
8
Analog zu vorherigen Überlegungen liefert ein Koeffizientenvergleich:
∇·𝐵 =0
und
J𝐵K · 𝑒 = 0 .
(1.15)
Für eine materielle Fläche, die durch eine singuläre Fläche 𝐼 geschnitten werden
kann, gilt mithilfe der allgemeinen Flächenflussbilanz:
𝜕𝐵
+∇×𝐸 =0
𝜕𝑡
und
𝑒 × J𝐸K − J𝐵K𝑤⊥ = 0 .
(1.16)
Kapitel 1. Theorie des Elektromagentismus
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
9
2. Helmholtzspulen
Das folgende Kapitel widmet sich der Berechnung des magnetischen Flussfeldes
von Helmholtz-Spulen. Dazu wird zunächst das Feld eines Ringstroms im
statischen und dynamischen Fall berechnet. Anschließend wird das Feld zweier
Ringströme überlagert, um das Feld von Helmholtz-Spulen angeben zu können.
2.1. Magnetostatik
In stationären Prozessen mit 𝜕/𝜕𝑡 = 0 zerfallen die Maxwell-Gleichungen (1.13),
(1.14), (1.15) und (1.16) zu:
∇ × H = 𝐽f,
∇ · 𝐵 = 0, ∇ × 𝐸 = 0
und ∇ · D = 𝑞 f .
Mit den konstitutiven Beziehungen
D = 𝐷 + 𝑃 = 𝜀0 𝐸 + 𝑃
H=𝐻 −𝑀 =
und
1
𝐵−𝑀
𝜇0
^ (𝐵) und 𝑀 =
^ (𝐸), die Gleichungen entkop­
ist ersichtlich, dass wenn 𝑃 ̸= 𝑃
̸ 𝑀
peln und die Probleme in 𝐵 und 𝐸 separat betrachtet werden können. Nach
[Bronstein u. a. 2008, S. 732] lässt sich jedes Vektorfeld 𝐹 , dass quellenfrei ist
(∇ · 𝐹 = 0), durch ein Vektorpotential 𝐴 über 𝐹 = ∇ × 𝐴 darstellen. Die
Gleichung (1.15) garantiert also, dass ein Vektorpotential 𝐴 mit 𝐵 = ∇ × 𝐴
existiert. Es folgt:
(︂
∇×H=∇×
1
∇×𝐴−𝑀
𝜇0
)︂
= 𝐽f
⇔
∇ × ∇ × 𝐴 = 𝜇0 (𝐽 f + ∇ × 𝑀 ) .
Die linke Seite dieser Gleichung ist ∇ × ∇ × 𝐴 = ∇(∇ · 𝐴) − Δ𝐴. Eine übliche
Wahl ist nun ∇ · 𝐴 = 0. Diese Wahl wird Coulomb-Eichung genannt. Somit
ergibt sich die folgende Gleichung zur Bestimmung des Vektorpotentials:
− Δ𝐴 = 𝜇0 𝐽
mit
𝐽 = 𝐽f + ∇ × 𝑀 .
(2.1)
10
2.2. Das Biot-Savart-Gesetz
Nun soll Gleichung (2.1) gelöst werden. Dazu wird ausgenutzt, dass der Vek­
tor-Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten entkoppelt und daher anstelle
der Vektordifferentialgleichung drei skalare Differentialgleichungen gelöst werden
können. Diese lauten:
−Δ𝐴 𝑖 = 𝜇0 𝐽 𝑖
(𝑥)
𝑖 ∈ {1, 2, 3} .
mit
(𝑥)
Dabei weißt das 𝑥 unter den Vektorkomponenten auf die verwendeten kartesischen
Koordinaten hin. Um die Differentialgleichungen zu lösen, wird die Methode der
Greenschen Funktion genutzt. Nach [Großmann u. Roos 2005, S. 24] lautet die
Greensche Funktion des dreidimensionalen Laplace-Operators:
𝐺(𝑥) =
1
.
4𝜋 |𝑥|
Hier muss gefordert werden, dass das Vektorpotential im Unendlichen verschwin­
det. Da dies der Natur der betrachteten Felder entspricht, kann diese Methode
trotzdem genutzt werden. Damit können die Lösungen der Gleichung (2.2) als
Faltung der Greenschen Funktion und der rechten Seite der Differentialgleichung
berechnet werden:
˚
𝜇0
𝜇0 𝐽 𝑖 (𝑥 )𝐺(𝑥 − 𝑥 ) d𝑉 =
(𝑥)
4𝜋
′
𝐴 𝑖 (𝑥) =
(𝑥)
′
˚
𝐽 𝑖 (𝑥′ )
(𝑥)
′
|𝑥 − 𝑥′ |
d𝑉 ′ .
(2.2)
𝑉′
𝑉′
Nun kann das magnetische Flussfeld berechnet werden:
𝜇0
𝐵 = ∇ × 𝐴 𝑖 (𝑥)𝑒𝑖 = ∇ ×
(𝑥)
4𝜋
˚ 𝐽 𝑖 (𝑥′ )𝑒𝑖
𝜇0
d𝑉 =
′
|𝑥 − 𝑥 |
4𝜋
(𝑥)
˚
′
𝑉′
𝐽 𝑖 (𝑥′ )𝑒𝑖
∇×
(𝑥)
|𝑥 − 𝑥′ |
d𝑉 ′ .
𝑉′
(2.3)
Die Rotation konnte hier unter das Integral gezogen werden, da ∇ = 𝑒𝑗 𝜕/𝜕𝑥𝑗
nicht auf d𝑉 ′ (𝑥′𝑘 ) wirkt. Bevor dieses Integral weiter bearbeitet wird, werden
zunächst einige Hilfsbetrachtungen herangezogen. Sei 𝜉 = 𝜉(𝑥𝑗 ) und 𝜂 = 𝜂(𝑥𝑗 ),
dann ist:
(∇ × 𝜉𝜂)𝑠 = 𝜀𝑠𝑡𝑜
𝜕
𝜕𝜉
𝜕𝜂𝑜
(𝜉𝜂𝑜 ) = 𝜀𝑠𝑡𝑜
𝜂𝑜 + 𝜀𝑠𝑡𝑜 𝜉
= (∇𝜉 × 𝜂 + 𝜉∇ × 𝜂)𝑠 .
𝜕𝑥𝑡
𝜕𝑥𝑡
𝜕𝑥𝑡
Im hier vorliegenden Fall ist:
𝜉=
1
|𝑥 − 𝑥′ |
und
𝜂 = 𝐽 𝑖 (𝑥′ )𝑒𝑖 .
(𝑥)
Kapitel 2. Helmholtzspulen
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
11
Des Weiteren wird:
(︂
1
∇
|𝑥 − 𝑥′ |
)︂
𝑗
)︀ (︀
)︀)︀− 1
𝜕 (︀(︀
2 =
𝑥𝑖 − 𝑥′𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥′𝑖
=
𝜕𝑥𝑗
(︃
𝑥 − 𝑥′
−
|𝑥 − 𝑥′ |3
)︃
,
𝑗
benötigt. Wird berücksichtigt, dass 𝜂 im vorliegenden Fall keine Funktion von 𝑥
ist, so kann Gleichung (2.3) zu:
𝜇0
𝐵=
4𝜋
˚
−
𝑉′
𝑥 − 𝑥′
× 𝐽 𝑖 (𝑥′ )𝑒𝑖 d𝑉 ′ =
|𝑥 − 𝑥′ |3 (𝑥)
𝜇0
=
4𝜋
˚ 𝐽 𝑖 (𝑥′ )𝑒𝑖 × (𝑥 − 𝑥′ )
(𝑥)
𝑉′
|𝑥 − 𝑥′ |3
d𝑉 ′ (2.4)
vereinfacht werden. Diese Gleichung wird Biot-Savart-Gesetz genannt.
2.3. Der Ringstrom
Betrachtet wird ein Ringstrom, der rotationssymmetrisch um die 𝑧-Achse in
der 𝑥-𝑦-Ebene liegt und den Radius 𝑅 hat. Aufgrund der Symmetrie genügt
es, eine beliebige Rotationsebene um die 𝑧-Achse zu betrachten. So genügt es
beispielsweise die 𝑥-𝑧-Ebene zu betrachten (s. Abb. 2.1).
𝑧
𝑥
𝑥′
𝑥
𝑅
𝑦
𝑥-𝑧-Ebene
Abb. 2.1.: Ringstrom, rotationssymmetrisch bzgl. der 𝑧-Achse
Der Ringstrom
12
2.3.1. Das magn. Flussfeld durch Nutzung des Biot-Savart-Gesetz
Zunächst soll das Biot-Savart-Gesetz genutzt werden, um das magnetische
Flussfeld des Ringstroms zu berechnen. Hierzu werden die einige Größen benötigt:
𝑥 = 𝜌𝑒𝜌 + 𝑧𝑒𝑧 = 𝜌(cos 𝜙𝑒𝑥 + sin 𝜙𝑒𝑦 ) + 𝑧𝑒𝑧 ,
𝑥′ = 𝑅𝑒′𝜌 = 𝑅(cos 𝜙′ 𝑒𝑥 + sin 𝜙′ 𝑒𝑦 ) .
Wird die Symmetrie des Problems beachtet, kann 𝜙 = 0 gewählt werden. Somit
ist 𝑥 = 𝜌𝑒𝑥 + 𝑧𝑒𝑧 . Geht man nun zu den dimensionslosen Zylinderkoordinaten
𝜌˜ = 𝜌/𝑅 und 𝑧˜ = 𝑧/𝑅 über ist 𝑥 = 𝑅(˜
𝜌𝑒𝑥 + 𝑧˜𝑒𝑧 ). Nun kann die Differenz der
beiden Vektoren, sowie der Betrag berechnet werden:
𝑥 − 𝑥′ = 𝑅 (˜
𝜌 − cos 𝜙′ )𝑒𝑥 − sin 𝜙′ 𝑒𝑦 + 𝑧˜𝑒𝑧 ,
[︀
]︀
(︁
)︁
⃒
⃒
⃒𝑥 − 𝑥′ ⃒2 = 𝑅2 1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜2 − 2˜
𝜌 cos 𝜙′ .
Es wird des Weiteren davon ausgegangen, dass die Stromdichte als
𝐽 (𝑥′ ) =
𝐼
𝐼 ′
𝑒𝜙 =
(− sin 𝜙′ 𝑒𝑥 + cos 𝜙′ 𝑒𝑦 )
𝐴q
𝐴q
beschrieben werden kann. Dabei ist 𝐴q die Querschnittfläche des Leiters und 𝐼
die Stromstärke. Somit kann der Nenner des Integranten berechnet werden.
𝐽 (𝑥′ ) × (𝑥 − 𝑥′ )
]︀ [︀
]︀
𝐼 [︀
=𝑅
− sin 𝜙′ 𝑒𝑥 + cos 𝜙′ 𝑒𝑦 × (˜
𝜌 − cos 𝜙′ )𝑒𝑥 − sin 𝜙′ 𝑒𝑦 + 𝑧˜𝑒𝑧
𝐴q
]︀
𝐼 [︀
=𝑅
𝑧˜ cos 𝜙′ 𝑒𝑥 + 𝑧˜ sin 𝜙′ 𝑒𝑦 + (1 − 𝜌˜ cos 𝜙′ )𝑒𝑧
𝐴q
Wird das Volumenelement durch d𝑉 ′ = 𝑅𝐴q d𝜙′ genähert, kann das Biot-Sa­
vart-Gesetz für dieses Problem angegeben werden als
1 𝜇0 𝐼
𝐵=
𝑅 4𝜋
ˆ2𝜋
𝜙′ =0
𝑧˜ cos 𝜙′ 𝑒𝑥 + 𝑧˜ sin 𝜙′ 𝑒𝑦 + (1 − 𝜌˜ cos 𝜙′ )𝑒𝑧
√︀
d𝜙′ .
(1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜2 − 2˜
𝜌 cos 𝜙′ ) 1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜2 − 2˜
𝜌 cos 𝜙′
Nun wird 𝜙′ = 𝜋 − 2𝜙^ substituiert. Wird beachtet, dass d𝜙′ = −2 d𝜙,
^ cos(𝜋 −
2
^ = 2 sin 𝜙^ − 1 und sin(𝜋 − 2𝜙)
^ = sin(2𝜙),
^ so folgt mit den veränderten
2𝜙)
Kapitel 2. Helmholtzspulen
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
13
Integrationsgrenzen:
1 𝜇0 𝐼
𝑅 2𝜋
𝐵=
𝜋
ˆ2
𝑧˜(2 sin2 𝜙^ − 1)𝑒𝑥 + 𝑧˜ sin(2𝜙)𝑒
^ 𝑦 + (1 − 𝜌˜(2 sin2 𝜙^ − 1))𝑒𝑧
√︁
𝜋
𝜙=−
^
2
d𝜙^ .
(1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜2 − 2˜
𝜌(2 sin2 𝜙^ − 1)) 1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜2 − 2˜
𝜌(2 sin2 𝜙^ − 1)
Betrachtet man dieses Integral, so fällt auf, dass die 𝑦-Komponente eine ungerade
Funktion in 𝜙^ ist. Zusammen mit den um null symmetrischen Integrationsgrenzen
ist offensichtlich, dass das Integral dieser Komponente verschwindet. Definiert
man nun noch
4˜
𝜌
,
𝑘2 =
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
so kann die magnetische Flussdichte des Ringstroms mit
𝐵=
𝜇0 𝐼 1
1
2𝜋 𝑅 [(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2 ] 32
𝜋
ˆ2
𝑧˜(2 sin2 𝜙^ − 1)𝑒𝑥 + (1 + 𝜌˜ − 2˜
𝜌 sin2 𝜙)𝑒
^ 𝑧
√︀
d𝜙^
2
2
2
2
(1 − 𝑘 sin 𝜙)
^ 1 − 𝑘 sin 𝜙^
𝜋
𝜙=−
^
2
=
1
𝜇0 𝐼 1
[X(𝑘)𝑒𝑥 + Z(𝑘)𝑒𝑧 ]
2𝜋 𝑅 [(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2 ] 32
berechnet werden. Der Übersicht halber werden nun die Integrale X(𝑘) und Z(𝑘)
einzeln gelöst. Zunächst X(𝑘):
𝜋
ˆ2
X(𝑘) =
𝜋
𝜙=−
^
2
𝑧˜(2 sin2 𝜙^ − 1)
√︀
d𝜙^
^ 1 − 𝑘 2 sin2 𝜙^
(1 − 𝑘 2 sin2 𝜙)
𝜋
ˆ2
sin2 𝜙^
√︀
d𝜙^ − 2˜
𝑧 Π(𝑘 2 , 𝑘)
2
2
2
2
(1 − 𝑘 sin 𝜙)
^ 1 − 𝑘 sin 𝜙^
= 2˜
𝑧
𝜋
𝜙=−
^
2
𝜋
2˜
𝑧
=− 2
𝑘
ˆ2
𝜋
𝜙=−
^
2
−1 + 1 − 𝑘 2 sin2 𝜙^
2˜
𝑧
√︀
d
𝜙
^
−
E(𝑘)
1 − 𝑘2
(1 − 𝑘 2 sin2 𝜙)
^ 1 − 𝑘 2 sin2 𝜙^
]︁
2˜
𝑧 [︁
2˜
𝑧
2
−2Π(𝑘
,
𝑘)
+
2
K(𝑘)
−
E(𝑘)
2
𝑘[︃
1 − 𝑘2
]︃
(︂
)︂
𝑘2
4˜
𝑧
2˜
𝑧
4˜
𝑧
= 2 − K(𝑘) +
−
E(𝑘) .
𝑘
4˜
𝑧 𝑘 2 (1 − 𝑘 2 ) 1 − 𝑘 2
=−
Der Ringstrom
14
Dabei sind K(𝑘), E(𝑘) und Π(𝑛2 , 𝑘) die vollständigen elliptischen Integrale erster,
zweiter und dritter Art, mit
𝜋
K(𝑘) =
1
2
1
E(𝑘) =
2
ˆ2
√
𝜃=− 𝜋2
𝜋
2
1
1 − 𝑘 2 sin2 𝜃
d𝜃 ,
ˆ
√︀
1 − 𝑘 2 sin2 𝜃 d𝜃 ,
𝜃=− 𝜋2
und
𝜋
1
Π(𝑛2 , 𝑘) =
2
ˆ2
1
√
d𝜃 .
(1 − 𝑛2 sin2 𝜃) 1 − 𝑘 2 sin2 𝜃
𝜃=− 𝜋2
Außerdem wurde benutzt, dass
Π(𝑘 2 , 𝑘) =
E(𝑘)
1 − 𝑘2
ist. Nun kann das zweite Integral berechnet werden:
𝜋
ˆ2
Z(𝑘) =
𝜋
𝜙=−
^
2
1 + 𝜌˜ − 2˜
𝜌 sin2 𝜙^
√︀
d𝜙^
(1 − 𝑘 2 sin2 𝜙)
^ 1 − 𝑘 2 sin2 𝜙^
𝜋
ˆ2
= 2(1 + 𝜌˜)Π(𝑘 2 , 𝑘) + 2˜
𝜌
𝜋
𝜙=−
^
2
− sin2 𝜙^
√︀
d𝜙^
(1 − 𝑘 2 sin2 𝜙)
^ 1 − 𝑘 2 sin2 𝜙^
𝜋
2˜
𝜌
1 + 𝜌˜
=2
E(𝑘) + 2
2
1−𝑘
𝑘
ˆ2
𝜋
𝜙=−
^
2
−1 + 1 − 𝑘 2 sin2 𝜙^
√︀
d𝜙^
(1 − 𝑘 2 sin2 𝜙)
^ 1 − 𝑘 2 sin2 𝜙^
]︁
1 + 𝜌˜
2˜
𝜌 [︁
2
E(𝑘)
+
−2Π(𝑘
,
𝑘)
+
2
K(𝑘)
1−
𝑘2
𝑘2
[︃
]︃
(︂
)︂
4˜
𝜌
𝑘 2 2(1 + 𝜌˜)
4˜
𝜌
= 2 K(𝑘) +
− 2
E(𝑘) .
𝑘
4˜
𝜌 1 − 𝑘2
𝑘 (1 − 𝑘 2 )
=2
Wird nun berücksichtigt, dass 𝑒𝑥 → 𝑒𝜌 wird, wenn man die Wahl von 𝜙 =
0 rückgängig macht, kann das magnetische Flussfeld als 𝐵 = 𝐵𝜌 𝑒𝜌 + 𝐵𝑧 𝑒𝑧
Kapitel 2. Helmholtzspulen
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
15
angegeben werden mit
𝐵𝜌 =
1
𝜇0 𝐼 1
X(𝑘)
2𝜋 𝑅 [(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2 ] 32
𝐵𝑧 =
𝜇0 𝐼 1
1
Z(𝑘) .
2𝜋 𝑅 [(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2 ] 32
und
Mit Hilfe eines Computeralgebrasystems kann dies angegeben werden als
𝜇0 𝐼 𝑧˜ 1
1
√︁
𝐵𝜌 =
2𝑅 𝜌˜ 𝜋 (1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
[︃
1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜2
E(𝑘)
− K(𝑘) +
(1 − 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
]︃
und
𝜇0 𝐼 1
1
√︁
𝐵𝑧 =
2𝑅 𝜋 (1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
[︃
1 − 𝜌˜2 − 𝑧˜2
K(𝑘) +
E(𝑘)
(1 − 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
]︃
.
Dieses magnetische Flussfeld ist in Abbildung 2.2 dargestellt. Wird diese Dar­
stellung betrachtet, muss beachtet werden, dass die eingezeichneten Pfeile nur
Aufschluss über die Richtung des Feldes geben, nicht über dessen Betrag. Dieser
wird durch die Farben im Hintergrund charakterisiert. Dabei weißt Grün auf ein
starkes und Rot auf ein schwaches Feld hin. Des Weiteren muss berücksichtigt
werden, dass hier nicht 𝐵 sondern der dimensionslose Anteil 2𝜋𝑅
𝜇0 𝐼 𝐵 dargestellt
ist.
Der Ringstrom
16
Abb. 2.2.: Normiertes magnetisches Flussfeld eines Ringstroms
Der am Ort (1, 0) eingezeichnete Kreis zeigt die Position des Leiters an, in dem
der elektrische Strom in die Darstellungsebene hinein fließt. Daher krümmen sich
die Feldlinien entsprechend der Rechtsschraubenregel wie dargestellt. Außerdem
fällt auf, dass für 𝜌˜ → 0 die Feldlinien immer gerader werden.
2.3.2. Das magn. Flussfeld durch Berechnung des Vektorpotentials
Gesucht ist das Vektorpotential bzgl. eines beliebigen Punktes 𝑥. Aufgrund
der Rotationssymmetrie ist 𝐴 = 𝐴(𝑟, 𝜗) und damit frei von 𝜙. Nun soll das
Vektorpotential dieser Anordnung mit Hilfe von Gleichung (2.2) bestimmt werden.
In Kugelkoordinaten kann der Ortsvektor eines Punktes im Integrationsgebiet
als:
(︀
)︀
𝑥′ = 𝑟′ 𝑒′𝑟 = 𝑟′ sin 𝜗′ cos 𝜙′ 𝑒𝑥 + sin 𝜗′ sin 𝜙′ 𝑒𝑦 + cos 𝜗′ 𝑒𝑧
angegeben werden. Berücksichtigt man nun, dass das Integral nur auf dem Ring
verschieden von null sein kann (𝑟′ = 𝑅, 𝜗 = 𝜋/2), so vereinfacht sich der Vektor
zu:
(︀
)︀
𝑥′ = 𝑅 cos 𝜙′ 𝑒𝑥 + sin 𝜙′ 𝑒𝑦 .
Kapitel 2. Helmholtzspulen
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
17
Der Ortsvektor eines zu untersuchenden Raumpunktes lässt sich entsprechend
unter Berücksichtigung der Wahl 𝜙 = 0 angeben als:
𝑥 = 𝑟𝑒𝑟 = 𝑟 (sin 𝜗 cos 𝜙𝑒𝑥 + sin 𝜗 sin 𝜙𝑒𝑦 + cos 𝜗𝑒𝑧 ) = 𝑟 (sin 𝜗𝑒𝑥 + cos 𝜗𝑒𝑧 ) .
Wie zuvor ist
𝐽=
)︀
𝐼 (︀
𝐼 ′
𝑒𝜙 =
− sin 𝜙′ 𝑒𝑥 + cos 𝜙′ 𝑒𝑦 .
𝐴𝑞
𝐴𝑞
Da 𝐽 = 0 außerhalb des Leiters ist, muss nur entlang des Ringes integriert
werden. Daher kann das Volumenelement als:
d𝑉 ′ = 𝐴𝑞 dℓ′ = 𝐴𝑞 𝑅 d𝜙′
genähert werden. Nun muss noch |𝑥 − 𝑥′ | gebildet werden. Zunächst ist:
𝑥 − 𝑥′ = 𝑟 sin 𝜗 − 𝑅 cos 𝜙′ 𝑒𝑥 − 𝑅 sin 𝜙′ 𝑒𝑦 + 𝑟 cos 𝜗𝑒𝑧 , womit
(︀
)︀
√︁
⃒
⃒
⃒𝑥 − 𝑥′ ⃒ = 𝑟 2 sin2 𝜗 + 𝑅2 cos2 𝜙′ − 2𝑟𝑅 sin 𝜗 cos 𝜙′ + 𝑅2 sin2 𝜙′ + 𝑟 2 cos2 𝜗
√︁
=
𝑟2 + 𝑅2 − 2𝑟𝑅 sin 𝜗 cos 𝜙′ .
Mithilfe dieser Ergebnisse kann das Integral angegeben werden:
ˆ2𝜋
𝜇0 𝐼
𝐴(𝑥) =
4𝜋
√︀
𝜙′ =0
− sin 𝜙′ 𝑒𝑥 + cos 𝜙′ 𝑒𝑦
𝑅 d𝜙′ .
2
2
′
𝑟 + 𝑅 − 2𝑟𝑅 sin 𝜗 cos 𝜙
Führt man nun den dimensionslosen Abstand 𝑟˜ = 𝑟/𝑅 ein, folgt:
𝜇0 𝐼
𝐴(𝑥) =
4𝜋
ˆ2𝜋
− sin 𝜙′ 𝑒𝑥 + cos 𝜙′ 𝑒𝑦
d𝜙′ .
1 + 𝑟˜2 − 2˜
𝑟 sin 𝜗 cos 𝜙′
√︀
𝜙′ =0
Um dieses Integral weiter bearbeiten zu können, wird die Substitution 𝜙′ = 𝜋 −2𝜁
durchgeführt. Es folgt:
d𝜙′ = −2 d𝜁,
𝜙′ = 0 ⇔ 𝜁 =
𝜋
,
2
𝜙′ = 2𝜋 ⇔ 𝜁 = −
𝜋
2
und:
cos 𝜙′ = cos (𝜋 − 2𝜁) = cos 𝜋 cos 2𝜁 + sin 𝜋 sin 2𝜁 = − cos 2𝜁 = 2 sin2 𝜁 − 1 .
Des Weiteren ist
sin 𝜙′ = sin 𝜋 cos(2𝜁) − sin(2𝜁) cos 𝜋 = sin(2𝜁) .
Der Ringstrom
18
Damit wird eine neue Bestimmungsgleichung des Vektorpotentials erhalten:
𝜇0 𝐼
𝐴(𝑥) =
4𝜋
ˆ2𝜋
− sin 𝜙′ 𝑒𝑥 + cos 𝜙′ 𝑒𝑦
d𝜙′
2
′
1 + 𝑟˜ − 2˜
𝑟 sin 𝜗 cos 𝜙
√︀
𝜙′ =0
𝜋
𝜇0 𝐼
4𝜋
=−
ˆ2
√︀
𝜁=− 𝜋2
sin(2𝜁)𝑒𝑥 + (1 − 2 sin2 𝜁)𝑒𝑦
2 d𝜁 .
1 + 𝑟˜2 + 2˜
𝑟 sin 𝜗 − 4˜
𝑟 sin 𝜗 sin2 𝜁
Offensichtlich ist die 𝑥-Komponente des Integral eine ungerade Funktion in 𝜁.
Daher ist das Integral über diese Komponente gleich null und es genügt die
𝑦-Komponente des Integrals zu betrachten:
𝜋
𝐴(𝑥) = −
𝜇0 𝐼
𝑒𝑦
4𝜋
ˆ2
1 − 2 sin2 𝜁
2 d𝜁
1 + 𝑟˜2 + 2˜
𝑟 sin 𝜗 − 4˜
𝑟 sin 𝜗 sin2 𝜁
√︀
𝜁=− 𝜋2
=
𝜇0 𝐼
𝑒𝑦 F(˜
𝑟, 𝜗) .
4𝜋
Damit kann das Integral F(˜
𝑟, 𝜗) bearbeitet werden:
𝜋
ˆ2
F(˜
𝑟, 𝜗) = −2
𝜁=− 𝜋2
√︀
1 − 2 sin2 𝜁
d𝜁
1 + 𝑟˜2 + 2˜
𝑟 sin 𝜗 − 4˜
𝑟 sin 𝜗 sin2 𝜁
𝜋
2
= −√
1 + 𝑟˜2 + 2˜
𝑟 sin 𝜗
ˆ2
1 − 2 sin2 𝜁
√︁
𝜁=− 𝜋2
1−
4˜
𝑟 sin 𝜗
1+˜
𝑟2 +2˜
𝑟 sin 𝜗
sin2 𝜁
d𝜁 .
Definiert man nun den elliptischen Modul:
𝑘2 =
4˜
𝑟 sin 𝜗
,
1 + 𝑟˜2 + 2˜
𝑟 sin 𝜗
vereinfacht sich das Integral weiter zu:
𝜋
F(˜
𝑟, 𝜗) = − √
𝑘
𝑟˜ sin 𝜗
ˆ2
1 − 2 sin2 𝜁
d𝜁 .
1 − 𝑘 2 sin2 𝜁
√︀
𝜁=− 𝜋2
Kapitel 2. Helmholtzspulen
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
19
Mit der Definition des elliptischen Integrals erster Art kann F(˜
𝑟, 𝜗) als:
⎡
F(˜
𝑟, 𝜗) = − √
⎤
𝜋
⎢
2𝑘
⎢K(𝑘) −
𝑟˜ sin 𝜗 ⎣
ˆ2
√︀
𝜁=− 𝜋2
= −√
⎥
sin2 𝜁
d𝜁 ⎥
⎦
2
2
1 − 𝑘 sin 𝜁
2𝑘
[K(𝑘) + G(𝑘)]
𝑟˜ sin 𝜗
geschrieben werden. Wird nun noch die Definition des vollständigen elliptischen
Integrals zweiter Art dazu genommen, kann G(𝑘) umgeformt werden zu:
𝜋
G(𝑘) =
1
𝑘2
𝜋
ˆ2
−𝑘 2 sin2 𝜁
𝜁=− 𝜋2
1 − 𝑘 2 sin2 𝜁
⎡
=
1
𝑘2
d𝜁 =
√︀
1
𝑘2
ˆ2
𝜁=− 𝜋2
⎤
𝜋
⎢
⎢−2 K(𝑘) +
⎣
ˆ2 √︁
𝜁=− 𝜋2
−1 + 1 − 𝑘 2 sin2 𝜁
√︀
d𝜁
1 − 𝑘 2 sin2 𝜁
⎥
2
1 − 𝑘 2 sin2 𝜁 d𝜁 ⎥
⎦ = 𝑘 2 [− K(𝑘) + E(𝑘)] .
Damit folgt:
F(˜
𝑟, 𝜗) = − √
[︁
]︁
2
2𝑘
[K(𝑘) + G(𝑘)] = − √
K(𝑘)(𝑘 2 − 2) + 2 E(𝑘) .
𝑟˜ sin 𝜗
𝑘 𝑟˜ sin 𝜗
Nun kann das gesuchte Vektorpotential angegeben werden:
𝐴(𝑥) =
[︁
]︁
𝜇0 𝐼
𝜇0 𝐼
1
√
𝑒𝑦 F(˜
𝑟, 𝜗) = −
K(𝑘)(𝑘 2 − 2) + 2 E(𝑘) 𝑒𝑦 .
4𝜋
2𝜋 𝑘 𝑟˜ sin 𝜗
Da zuvor 𝜙 = 0 gewählt wurde, geht 𝑒𝑦 in 𝑒𝜙 über.
𝐴(˜
𝑟, 𝜗) = 𝐴𝜙 𝑒𝜙
mit 𝐴𝜙 = −
[︁
]︁
1
𝜇0 𝐼
√
K(𝑘)(𝑘 2 − 2) + 2 E(𝑘) .
2𝜋 𝑘 𝑟˜ sin 𝜗
2.3.3. Berechnung des magn. Flussfeld in Zylinderkoordinaten unter
Verwendung des Vektorpotentials
Um das magnetische Flussfeld berechnen zu können, muss 𝐵 = ∇×𝐴 ausgewertet
werden:
1 𝜕𝐴𝑧
𝜕𝐴𝜙
𝜕𝐴𝜌 𝜕𝐴𝑧
𝐵=
−
𝑒𝜌 +
−
𝜌 𝜕𝜙
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝜌
𝜕𝐴𝜙
1 𝜕(𝜌𝐴𝜙 )
=−
𝑒𝜌 +
𝑒𝑧 .
𝜕𝑧
𝜌 𝜕𝜌
(︂
Der Ringstrom
)︂
(︂
)︂
1
𝑒𝜙 +
𝜌
(︂
𝜕(𝜌𝐴𝜙 ) 𝜕𝐴𝜌
−
𝑒𝑧
𝜕𝜌
𝜕𝜙
)︂
20
Um dies ausführen zu können werden die dimensionslosen Koordinaten:
𝜌˜ =
𝜌
,
𝑅
𝑧˜ =
𝑧
,
𝑅
𝑟˜ =
√︁
𝜌˜2 + 𝑧˜2
und
sin 𝜗 =
𝜌˜
,
𝑟˜
gewählt. Es folgt:
[︁
]︁
𝜇0 𝐼
1
√
K(𝑘)(𝑘 2 − 2) + 2 E(𝑘)
2𝜋 𝑘 𝑟˜ sin 𝜗
]︁
𝜇0 𝐼 1 [︁
√ K(𝑘)(𝑘 2 − 2) + 2 E(𝑘) ,
=−
2𝜋 𝑘 𝜌˜
𝐴𝜙 = −
mit:
𝑘2 =
4˜
𝜌
4˜
𝑟 sin 𝜗
4˜
𝜌
=
.
=
1 + 𝑟˜2 + 2˜
𝑟 sin 𝜗
1 + 𝜌˜2 + 2˜
𝜌 + 𝑧˜2
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
Die Bestimmungsgleichung für das magnetische Flussfeld in den dimensionslosen
Koordinaten lautet:
𝐵=−
1 𝜕 𝜌˜ 𝜕(𝑅˜
𝜌𝐴𝜙 )
1 𝜕𝐴𝜙
1 1 𝜕(˜
𝜌𝐴𝜙 )
𝜕 𝑧˜ 𝜕𝐴𝜙
𝑒𝜌 +
𝑒𝑧 = −
𝑒𝜌 +
𝑒𝑧 .
𝜕𝑧 𝜕 𝑧˜
𝑅˜
𝜌 𝜕𝜌
𝜕 𝜌˜
𝑅 𝜕 𝑧˜
𝑅 𝜌˜ 𝜕 𝜌˜
Für das weitere Vorgehen werden die Ableitungen der elliptischen Integrale
benötigt. Nach [Byrd u. Friedman 1971, S. 282] lauten diese:
𝜕 K(𝑘)
E(𝑘)
K(𝑘)
=
−
𝜕𝑘
𝑘(1 − 𝑘 2 )
𝑘
und
𝜕 E(𝑘)
E(𝑘) − K(𝑘)
=
.
𝜕𝑘
𝑘
Des Weiteren werden die Ableitungen des elliptischen Moduls nach den dimensi­
onslosen Zylinderkoordinaten benötigt. Die Ableitung nach 𝜌˜ lautet:
)︃
(︃
√
𝜕𝑘
𝜕 𝑘2
1 𝜕𝑘 2
1 𝜕
4˜
𝜌
=
= √
=
𝜕 𝜌˜
𝜕 𝜌˜
2𝑘 𝜕 𝜌˜ (1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
2 𝑘 2 𝜕 𝜌˜
(︁
)︁
2
2
𝜌 (1 + 𝜌˜)
1 4 (1 + 𝜌˜) + 𝑧˜ − 8˜
=
(︁
)︁2
2𝑘
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
⎤
⎡
=
=
𝑘2
1 ⎢
−
⎣
2𝑘 𝜌˜
(︂
1
1
+
2˜
𝜌 2
42 𝜌˜2
)︂
(︁
2
(1 + 𝜌˜) + 𝑧˜2
⎥
)︁2 ⎦
𝑘
𝑘3
𝑘3
−
−
.
2˜
𝜌 4˜
𝜌
4
Auf analoge Weise kann die Ableitung bezüglich 𝑧˜ berechnet werden:
𝜕𝑘
1 𝜕
=
𝜕 𝑧˜
2𝑘 𝜕 𝑧˜
(︃
4˜
𝜌
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
)︃
=−
𝑧˜
42 𝜌˜2
𝑧˜ 𝑘 3
.
(︁
)︁2 = −
4𝑘 𝜌˜ (1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
𝜌˜ 4
Kapitel 2. Helmholtzspulen
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
21
Mit Hilfe eines Computeralgebrasystems lassen sich die Komponenten des ma­
gnetischen Flussfelds in dimensionslosen Zylinderkoordinaten angeben:
1
𝜇0 𝐼 𝑧˜ 1
1 𝜕𝐴𝜙
√︁
=
𝐵𝜌 = −
𝑅 𝜕 𝑧˜
2𝑅 𝜌˜ 𝜋 (1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
1 1 𝜕(˜
𝜌𝐴𝜙 )
1
𝜇0 𝐼 1
√︁
𝐵𝑧 =
=
𝑅 𝜌˜ 𝜕 𝜌˜
2𝑅 𝜋 (1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
[︃
]︃
1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜2
− K(𝑘) +
E(𝑘)
(1 − 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
[︃
1 − 𝜌˜2 − 𝑧˜2
K(𝑘) +
E(𝑘)
(1 − 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
,
]︃
.
Dieses Ergebnis stimmt mit dem, welches mit Hilfe des Biot-Savartschen
Gesetzes berechnet wurde überein und ist in Abbildung 2.2 dargestellt.
2.3.4. Vektorpotential und Flussfeld eines zeit-harmonischen
Ringstroms
Ausgangspunkt der folgenden Betrachtungen sind die Maxwellschen Gleichun­
gen:
−
𝜕D
+ ∇ × H = 𝐽f ,
𝜕𝑡
∇ · D = 𝑞f ,
𝜕𝐵
+∇×𝐸 =0 ,
𝜕𝑡
∇·𝐵 =0 ,
mit D = 𝐷 + 𝑃 und H = 𝐻 − 𝑀 . Da künftig die Felder im Vakuum untersucht
werden sollen, ist 𝑃 = 0 und 𝑀 = 0. Unter Zuhilfenahme der Maxwell-Lor­
entz-Äther-Relationen, 𝐷 = 𝜀0 𝐸 und 𝐵 = 𝜇0 𝐻, folgt hier D = 𝜀0 𝐸 und
H = 𝜇10 𝐵. Nun lassen sich die Maxwellschen Gleichungen in 𝐸 und 𝐵 formu­
lieren:
−
𝜕𝐸
1
𝐽f
+
,
∇×𝐵 =
𝜕𝑡
𝜀0 𝜇 0
𝜀0
𝑞f
∇·𝐸 =
,
𝜀0
𝜕𝐵
+∇×𝐸 =0 ,
𝜕𝑡
∇·𝐵 =0 .
Wie zuvor wird nun versucht, das magnetische Flussfeld als 𝐵 = ∇ × 𝐴 darzu­
stellen. Damit folgt:
𝜕𝐵
𝜕
+∇×𝐸 =
(∇ × 𝐴) + ∇ × 𝐸 = ∇ ×
𝜕𝑡
𝜕𝑡
Der Ringstrom
(︂
𝜕𝐴
+𝐸
𝜕𝑡
)︂
=0.
22
Da die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet, muss es ein Potential
𝑉 geben, so dass:
𝜕𝐴
+ 𝐸 = −∇𝑉
𝜕𝑡
⇔
𝐸 = −∇𝑉 −
𝜕𝐴
.
𝜕𝑡
Daher ist:
−
𝜕
𝜕𝐸
1
𝜕2𝐴
𝐽f
2
∇×𝐵 =
.
+
(∇𝑉 ) +
+
𝑐
∇
×
∇
×
𝐴
=
𝜕𝑡
𝜀0 𝜇 0
𝜕𝑡
𝜕𝑡2
𝜀0
Dabei ist 𝑐 = 1/√𝜀0 𝜇0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Beachtet man nun,
dass:
∇ × ∇ × 𝐴 = ∇ (∇ · 𝐴) − Δ𝐴
und wählt die Lorentz-Eichung:
∇·𝐴=−
1 𝜕𝑉
,
𝑐2 𝜕𝑡
so folgt:
𝐽f
𝜕2𝐴
2
−
𝑐
Δ𝐴
=
.
𝜕𝑡2
𝜀0
Dies ist eine inhomogene vektorwertige Wellengleichung für das Vektorpotential
𝐴. Um diese zu lösen, werden die zeit-harmonischen Ansätze
𝐴 = Re{𝒜(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 }
𝐽 f = Re{𝒥 f (𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 }
und
eingeführt. Damit wird die Wellengleichung zu:
Re
{︁(︁
2
2
)︁
−𝜔 𝒜 − 𝑐 Δ𝒜 𝑒
𝑖𝜔𝑡
}︁
{︃
= Re
𝒥 f 𝑖𝜔𝑡
𝑒
𝜀0
}︃
.
Nun wird zu der stärkeren Forderung übergangen, dass die Gleichheit nicht nur
für die Realteile, sondern für die Argumente des Re{ · } Operators gilt,
(︁
)︁
−𝜔 2 𝒜 − 𝑐2 Δ𝒜 𝑒𝑖𝜔𝑡 =
𝒥 f 𝑖𝜔𝑡
𝑒
𝜀0
⇔
Δ𝒜 +
𝜔2
𝒜 = −𝜇0 𝒥 f .
𝑐2
Dies ist eine inhomogene vektorwertige Helmholtz-Gleichung für 𝒜. Die Lösung
dieser lautet nach [Cheng 2006, S. 339]:
ˆ
𝜇0
exp (−𝑖𝑘 |𝑥 − 𝑥′ |)
𝜔
𝒜(𝑥) =
𝒥 f (𝑥′ )
d𝑉 ′
mit
𝑘= .
4𝜋
|𝑥 − 𝑥′ |
𝑐
𝑉′
Falls 𝑘 |𝑥 − 𝑥′ | ≪ 1 ist, kann die auftauchende Exponentialfunktion durch
exp (−𝑖𝑘 |𝑥 − 𝑥′ |) ≈ 1 − 𝑖𝑘 |𝑥 − 𝑥′ | approximiert werden. Damit vereinfacht sich
Kapitel 2. Helmholtzspulen
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
23
das Integral wesentlich,
ˆ
⎡
𝒜(𝑥) ≈
𝜇0 ⎢
⎣
4𝜋
f
(𝑥′ )
𝒥
d𝑉 ′ − 𝑖𝑘
|𝑥 − 𝑥′ |
𝑉′
ˆ
⎤
𝒥 f (𝑥′ ) d𝑉 ′ ⎦ .
⎥
𝑉′
Entsprechend der Berechnung des Vektorpotentials im stationären Fall ist
𝒥f =
𝐼
𝐼 ′
𝑒 =
(− sin 𝜙′ 𝑒𝑥 + cos 𝜙′ 𝑒𝑦 )
𝐴𝑞 𝜙 𝐴𝑞
und
d𝑉 ′ = 𝐴𝑞 𝑅 d𝜙′ .
Daher ist das erste Integral aus der Betrachtung des stationären Falls bereits be­
kannt. Des Weiteren muss das zweite Integral offensichtlich verschwinden. Da von
Strom mit einer Kreisfrequenz von 𝜔 = 2𝜋 · 60 Hz ≈ 378 Hz ausgegangen wird, ist
𝑘 ≈ 10−6 . Damit ist die Annahme 𝑘 |𝑥 − 𝑥′ | ≪ 1 für alle relevanten Raumpunk­
te erfüllt. Somit lässt sich die Lösung in dimensionslosen Zylinderkoordinaten
angeben:
𝒜=−
]︁
𝜇0 𝐼 1 [︁
√ K(k)(k2 − 2) + 2 E(k) 𝑒𝜙
2𝜋 k 𝜌˜
mit k2 =
4˜
𝜌
.
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
Mit Hilfe dieses Ergebnisses lässt sich das Vektorpotential des magnetischen
Flussfeldes bei zeit-harmonischen Strom wie folgt darstellen:
]︁
𝜇0 𝐼 1 [︁
√ K(k)(k2 − 2) + 2 E(k) cos (𝜔𝑡) 𝑒𝜙 .
2𝜋 k 𝜌˜
𝐴(𝑥, 𝑡) = Re{𝒜(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 } = −
Da die Rotation nicht auf die Zeit wirkt, kann das magnetische Flussfeld 𝐵 =
𝐵(𝑥, 𝑡) ebenfalls analog zum stationären Fall als 𝐵 = 𝐵𝜌 𝑒𝜌 + 𝐵𝑧 𝑒𝑧 angeben
werden, mit
[︃
𝜇0 𝐼 𝑧˜ 1
1
√︁
𝐵𝜌 =
2𝑅 𝜌˜ 𝜋 (1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
𝜇0 𝐼 1
1
√︁
𝐵𝑧 =
2𝑅 𝜋 (1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
[︃
]︃
1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜2
− K(k) +
E(k) cos (𝜔𝑡)
(1 − 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
und
]︃
1 − 𝜌˜2 − 𝑧˜2
K(k) +
E(k) cos (𝜔𝑡) .
(1 − 𝜌˜)2 + 𝑧˜2
Die zeitliche Entwicklung des magnetischen Flussfeldes ist in den Abbildungen 2.3
und 2.4 dargestellt. Dabei wurde wie in Abbildung 2.2 normiert. Der schwarze
Kreis deutet hier die Position des Querschnitts des ringförmigen Leiters an. Die
Achse der Rotationssymmetrie (vgl. Abbildung 2.1) ist 𝜌˜ = 0.
Der Ringstrom
24
(a) 𝑡 = 0
(b) 𝑡 =
2𝜋
7𝜔
4𝜋
7𝜔
(d) 𝑡 =
6𝜋
7𝜔
(c) 𝑡 =
Abb. 2.3.: Zeitliche Änderung des normierten magnetischen Flussfelds eines Ringstroms
6𝜋
für 0 ≤ 𝑡 ≤ 7𝜔
Kapitel 2. Helmholtzspulen
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
(a) 𝑡 =
8𝜋
7𝜔
(c) 𝑡 =
12𝜋
7𝜔
(b) 𝑡 =
(d) 𝑡 =
25
10𝜋
7𝜔
2𝜋
𝜔
Abb. 2.4.: Zeitliche Änderung des normierten magnetischen Flussfelds eines Ringstroms
8𝜋
für 7𝜔
≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
𝜔
Der Ringstrom
26
Dabei ist zwischen Abbildung 2.3a und 2.4d eine volle Periode von cos(𝜔𝑡) in
äquidistanten Zeitschritten dargestellt. Betrachtet man die Abbildungen 2.3a bis
2.3c genauer, so ist an den Farben im Hintergrund gut zu erkennen, wie sich der
Betrag des magnetischen Flussfeldes mit der Zeit ändert, bis es schließlich zur
Umkehr der Feldrichtung kommt. Hat das Feld in dieser Richtung sein Extremum
erreicht, wird es betragsmäßig geringer, bis es zu einem erneuten Richtungswechsel
kommt und es schließlich erneut in Abbildung 2.4d den Ausgangszustand erreicht.
Auf Grund der Periodizität der Zeitfunktion wiederholt sich diese Abfolge beim
weiteren Voranschreiten der Zeit.
2.4. Die Helmholtz-Spulen
Der Begriff Helmholtz-Spulen bezeichnet eine spezielle Anordnung zweier Spu­
len. Diese Anordnung ist in Abbildung 2.5 dargestellt. Da der zeit-harmonische
𝑅
𝑅
2
𝑒𝑧
𝑅
𝑒𝜌
𝑒𝜙
𝑅
Abb. 2.5.: Helmholtz-Spulen
Fall den stationären Fall enthält (𝜔 = 0) wird nur der zeit-harmonische betrachtet.
Um mit Hilfe der vorherigen Überlegungen zum Ringstrom das Vektorpotential
der Helmholtz-Spulen zu erhalten, wird 𝑧 → 𝑧 ± 𝑅/2 bzw. 𝑧˜ → 𝑧˜ ± 1/2 gesetzt
und die Ergebnisse addiert. Das Vektorpotential der Helmholtz-Spulen mit
zeit-harmonischem Strom 𝐴H lautet:
[︃
]︁
𝜇0 𝐼
1 [︁
√ K(k1 )(k21 − 2) + 2 E(k1 ) +
𝐴 (𝑥, 𝑡) = −
2𝜋 k1 𝜌˜
H
]︃
]︁
1 [︁
+ √ K(k2 )(k22 − 2) + 2 E(k2 ) cos (𝜔𝑡) 𝑒𝜙 .
k2 𝜌˜
Kapitel 2. Helmholtzspulen
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
27
Dabei ist
4˜
𝜌
k21 =
(︁
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜ +
1
2
und
)︁2
k22 =
4˜
𝜌
(︁
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜ −
1
2
)︁2 .
Mit Hilfe des Vektorpotentials kann nun das magnetische Flussfeld der Helm­
holtz-Spulen als 𝐵 H (𝑥, 𝑡) = 𝐵𝜌H 𝑒𝜌 +𝐵𝑧H 𝑒𝑧 angegeben werden. Die Komponenten
lauten:
𝐵𝜌H =
{︃
·
𝜇0 𝐼 1
cos (𝜔𝑡) ·
2𝑅 𝜋
𝑧˜ +
𝜌˜
⎡
1
2
1
√︂
(︁
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜ +
𝑧˜ −
+
𝜌˜
1
2
(︁
⎢
)︁2 ⎣− K(k1 ) +
2
1
√︂
(︁
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜ −
1
2
)︁2
(︁
1
2
(︁
(1 − 𝜌˜)2 + 𝑧˜ −
⎤
⎥
)︁2 E(k1 )⎦ +
1
2
1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜ −
⎢
⎣− K(k2 ) +
)︁2
(︁
(1 − 𝜌˜) + 𝑧˜ +
⎡
1
2
1
2
1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜ +
)︁2
1
2
⎤
}︃
⎥
)︁2 E(k2 )⎦
und
𝐵𝑧H =
𝜇0 𝐼 1
cos (𝜔𝑡) ·
2𝑅 𝜋
⎡
{︃
·
1
√︂
(︁
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜ +
1
2
(︁
⎢
)︁2 ⎣K(k1 ) +
+ √︂
(︁
(1 + 𝜌˜)2 + 𝑧˜ −
1
2
2
(︁
(1 − 𝜌˜) + 𝑧˜ +
⎡
1
1
2
1 − 𝜌˜2 − 𝑧˜ +
⎢
)︁2 ⎣K(k2 ) +
(︁
)︁2
1
2
⎥
)︁2 E(k1 )⎦ +
1 − 𝜌˜2 − 𝑧˜ −
(︁
⎤
1
2
(1 − 𝜌˜)2 + 𝑧˜ −
)︁2
1
2
⎤
⎥
)︁2 E(k2 )⎦
}︃
.
Die Abbildungen 2.6 und 2.7 zeigen die zeitliche Entwicklung des magnetischen
Flussfeldes der Helmholtz-Spulen. Dabei deuten die schwarz gezeichneten Kreise
die Position der einzelnen Ringe an. In 𝜌˜ = 0 befindet sich die Achse bezüglich
derer die Anordnung rotationssymmetrisch ist (vgl. Abbildung 2.5). Entsprechend
der Betrachtung des magnetischen Flussfeldes des zeit-harmonischen Ringstroms
zeigen die Abbildungen 2.6a bis 2.6c, wie sich das magnetische Flussfeld der
Helmholtz-Spulen zunächst betragsmäßig verringert, bis es schließlich zum
Wechsel der Feldrichtung kommt. Anschließend baut sich das Feld in umgekehrter
Richtung bis zu einem betragsmäßigen Maximum auf, bis es folgend zurück
geht und ein erneuter Feldrichtungswechsel stattfindet. Des Weiteren tritt in
den unten stehenden Abbildungen besonders das sehr homogene Feld um die
Symmetrieachse hervor.
Die Helmholtz-Spulen
28
(a) 𝑡 = 0
(b) 𝑡 =
2𝜋
7𝜔
4𝜋
7𝜔
(d) 𝑡 =
6𝜋
7𝜔
(c) 𝑡 =
Abb. 2.6.: Zeitliche Änderung des normierten magnetischen Flussfelds von Helm­
6𝜋
holtzspulen für 0 ≤ 𝑡 ≤ 7𝜔
Kapitel 2. Helmholtzspulen
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
(a) 𝑡 =
8𝜋
7𝜔
(c) 𝑡 =
12𝜋
7𝜔
(b) 𝑡 =
(d) 𝑡 =
29
10𝜋
7𝜔
2𝜋
𝜔
Abb. 2.7.: Zeitliche Änderung des normierten magnetischen Flussfelds von Helm­
8𝜋
holtzspulen für 7𝜔
≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
𝜔
Die Helmholtz-Spulen
30
3. Die permantentmagnetische
Levitronbasis
Im vorliegenden Kapitel wird das magnetische Flussfeld der Levitronbasis un­
tersucht. Es wird davon ausgegangen, dass die magnetischen Flussfelder der
Helmholtz-Spulen und der Levitronbasis ohne Wechselwirkung untereinander
überlagert werden können. Des Weiteren wird davon ausgegangen, dass die Levi­
tronbasis aus hartmagnetischem Material mit fester Magnetisierung 𝑀 besteht.
In diesem Fall kann von einem stationären Prozess gesprochen werden. Hier
gelten die Maxwellschen Gleichungen der Magnetostatik.
3.1. Direkte Berechnung des magn. Flussfelds
Wird wie zuvor 𝐵 = ∇ × 𝐴 angesetzt, so muss lediglich noch die Gleichung (2.1)
gelöst werden
−Δ𝐴 = 𝜇0 𝐽
mit
𝐽 = 𝐽f + ∇ × 𝑀 .
Die Lösung der Laplace-Gleichung ist nach [Jackson 1975, S. 194] bekannt
𝜇0
𝐴(𝑥) =
4𝜋
ˆ
𝐽 (𝑥′ )
𝜇0
d𝑉 ′ +
|𝑥 − 𝑥′ |
4𝜋
𝑉′
ˆ
𝐽 I (𝑥′ )
d𝐴′ .
|𝑥 − 𝑥′ |
𝐼
Da die freie elektrische Stromdichte 𝐽 f = 0 und die Magnetisierung 𝑀 im
Integrationsgebiet örtlich konstant ist, ist 𝐽 (𝑥′ ) = 0. Für die Stromdichte auf
der singulären Fläche gilt:
𝐽 I (𝑥′ ) = 𝐽 fI (𝑥′ ) + 𝐽 rI (𝑥′ ) = −J𝑃 K𝑤⊥ + 𝑒 × J𝑀 K = 𝑀 (𝑥′ ) × 𝑒(𝑥′ ) .
Dabei wurde entsprechend der vorherigen Überlegungen angenommen, dass
𝐽 fI = 0. Des Weiteren gilt 𝑤⊥ = 0, da sich die singuläre Oberfläche in dem
betrachteten Problem nicht bewegt. Im Fall der Levitronbasis ist die singuläre
Fläche 𝐼 die Oberfläche des Hohlzylinders. Daher kann das Vektorpotential als
˛
𝜇0
𝑀 (𝑥′ ) × 𝑒(𝑥′ )
𝐴(𝑥) =
d𝐴′
4𝜋
|𝑥 − 𝑥′ |
𝜕𝑉 ′
Kapitel 3. Die permantentmagnetische Levitronbasis
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
31
berechnet werden. Die Levitronbasis ist in Abbildung 3.1 dargestellt. Die Magne­
tisierung ist in diesem Fall durch 𝑀 (𝑥′ ) = 𝑀0 𝑒′𝑧 gegeben. Damit ist klar, dass
der Beitrag der Deckelflächen zum Vektorpotential verschwindet. Die Normale
𝑒(𝑥′ ) auf der inneren bzw. äußeren Mantelfläche ist −𝑒′𝜌 bzw. 𝑒′𝜌 . Somit folgt:
ˆ2𝜋
1
𝑀0 𝜇0 ∑︁
𝑛
𝑛
𝐴(𝑥) =
(−1) (𝑅m + (−1) 𝛿)
4𝜋 𝑛=0
ˆ𝐻
𝜙′ =0 𝑧 ′ =−𝐻
𝑒′𝜙
d𝑧 ′ d𝜙′
|𝑥 − 𝑥′𝑛 |
mit
𝑅a + 𝑅i
𝑅a − 𝑅i
und
𝛿=
.
2
2
Nun wird auf dimensionslose Koordinaten übergegangen mit:
𝑅m =
˜ ′,
˜ , 𝑥′ = 𝑅m 𝑥
𝑥 = 𝑅m 𝑥
𝜌 = 𝑅m 𝜌˜,
˜
𝛿 = 𝑅m 𝛿,
𝑧 = 𝑅m 𝑧˜,
d𝑧 ′ = 𝑅m d˜
𝑧 und ∇ =
˜
𝐻 = 𝑅m 𝐻,
1 ˜
∇.
𝑅m
Mit Hilfe dieser Beziehungen kann das Vektorpotential in dimensionsloser Form
angegeben werden:
ˆ2𝜋
1
𝑀0 𝜇0 𝑅m ∑︁
𝑛
𝑛˜
(−1) (1 + (−1) 𝛿)
𝐴(˜
𝑥) =
4𝜋
𝑛=0
ˆ𝐻˜
˜
𝜙′ =0 𝑧 ′ =−𝐻
𝑒′𝜙
d˜
𝑧 ′ d𝜙′ .
˜ ′𝑛 |
|˜
𝑥−𝑥
Anstatt nun wie zuvor das Vektorpotential zu berechnen, soll hier direkt das
magnetische Flussfeld durch Anwendung des Nabla-Operators berechnet werden:
𝐵(˜
𝑥) =
1 ˜
∇ × 𝐴(˜
𝑥) =
𝑅m
ˆ2𝜋
1
𝑀0 𝜇0 ∑︁
𝑛˜
=
(−1) 𝑅𝑛
4𝜋 𝑛=0
ˆ𝐻˜
˜×
∇
˜
𝜙′ =0 𝑧 ′ =−𝐻
ˆ2𝜋
1
𝑀0 𝜇0 ∑︁
𝑛˜
=−
(−1) 𝑅𝑛
4𝜋 𝑛=0
𝑒′𝜙
d˜
𝑧 ′ d𝜙′
˜ ′𝑛 |
|˜
𝑥−𝑥
ˆ𝐻˜
˜
𝜙′ =0 𝑧 ′ =−𝐻
˜ −𝑥
˜ ′𝑛
𝑥
× 𝑒′𝜙 d˜
𝑧 ′ d𝜙′ .
˜ ′𝑛 |3
|˜
𝑥−𝑥
˜ 𝑛 = 1 + (−1)𝑛 𝛿˜ genutzt. Bevor dieses Integral
Hier wurde die Abkürzung 𝑅
˜ −𝑥
˜ ′𝑛 genauer betrachtet werden. Die
weiter bearbeitet wird, soll die Differenz 𝑥
zugehörigen dimensionsbehafteten Vektoren lauten
𝑥 = 𝜌𝑒𝜌 + 𝑧𝑒𝑧
und
Direkte Berechnung des magn. Flussfelds
𝑥′𝑛 = (𝑅m + (−1)𝑛 𝛿)𝑒′𝜌 + 𝑧 ′ 𝑒′𝑧 .
32
N
𝑅a
𝑅i
𝐻
𝑒𝑧
𝑒𝜙
𝑒𝜌
𝐻
S
Abb. 3.1.: Levitronbasis
Dementsprechend lauten die Vektoren in dimensionslosen Koordinaten
˜ = 𝜌˜𝑒𝜌 + 𝑧˜𝑒𝑧
𝑥
und
˜ 𝑛 𝑒′𝜌 + 𝑧˜′ 𝑒′𝑧 .
˜ ′𝑛 = 𝑅
𝑥
Nun kann die gesuchte Differenz berechnet werden
˜ 𝑛 𝑒′ − 𝑧˜′ 𝑒′ =
˜ −𝑥
˜ ′𝑛 = 𝜌˜𝑒𝜌 + 𝑧˜𝑒𝑧 − 𝑅
𝑥
𝜌
𝑧
′
˜ 𝑛 sin 𝜙′ )𝑒𝑦 + (˜
˜
= (˜
𝜌 cos 𝜙 − 𝑅𝑛 cos 𝜙 )𝑒𝑥 + (˜
𝜌 sin 𝜙 − 𝑅
𝑧 − 𝑧˜′ )𝑒𝑧 .
Da das Problem rotationssymmetrisch ist, kann der Winkel 𝜙 frei gewählt werden.
Der Einfachheit halber wird nun 𝜙 = 0 betrachtet. Somit ist
˜ 𝑛 cos 𝜙′ )𝑒𝑥 − 𝑅
˜ 𝑛 sin 𝜙′ 𝑒𝑦 + (˜
˜ −𝑥
˜ ′𝑛 = (˜
𝑥
𝜌−𝑅
𝑧 − 𝑧˜′ )𝑒𝑧
und
⃒
⃒2
˜ 2 + (˜
˜ 𝑛 cos 𝜙′ .
⃒𝑥
˜ −𝑥
˜ ′𝑛 ⃒ = 𝜌˜2 + 𝑅
𝑧 − 𝑧˜′ )2 − 2˜
𝜌𝑅
𝑛
Nun wird noch das auftretende Kreuzprodukt berechnet. Es ist
˜ ′𝑛 ) × 𝑒′𝜙 =
(˜
𝑥−𝑥
˜ 𝑛 cos 𝜙′ )𝑒𝑥 − 𝑅
˜ 𝑛 sin 𝜙′ 𝑒𝑦 + (˜
= [(˜
𝜌−𝑅
𝑧 − 𝑧˜′ )𝑒𝑧 ] × [− sin 𝜙′ 𝑒𝑥 + cos 𝜙′ 𝑒𝑦 ]
˜ 𝑛 )𝑒𝑧 .
= −(˜
𝑧 − 𝑧˜′ ) cos 𝜙′ 𝑒𝑥 − (˜
𝑧 − 𝑧˜′ ) sin 𝜙′ 𝑒𝑦 + (˜
𝜌 cos 𝜙′ − 𝑅
Kapitel 3. Die permantentmagnetische Levitronbasis
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
33
Mit Hilfe dieser Zwischenergebnisse kann die Berechnungsvorschrift für das
magnetische Flussfeld wie folgt angegeben werden:
𝐵(˜
𝑥) =
ˆ2𝜋
1
𝑀0 𝜇0 ∑︁
˜𝑛
(−1)𝑛 𝑅
4𝜋 𝑛=0
ˆ𝐻˜
˜
𝜙′ =0 𝑧 ′ =−𝐻
˜ 𝑛 − 𝜌˜ cos 𝜙′ )𝑒𝑧
(˜
𝑧 − 𝑧˜′ ) cos 𝜙′ 𝑒𝑥 + (˜
𝑧 − 𝑧˜′ ) sin 𝜙′ 𝑒𝑦 + (𝑅
d˜
𝑧 ′ d𝜙′ .
3
′
˜ 𝑛|
|˜
𝑥−𝑥
Um dies weiter vereinfachen zu können, werden Variablensubstitutionen mit
′
𝑧^ = 𝑧˜ − 𝑧˜′ und 𝜙^ = 𝜋2 − 𝜙2 durchgeführt. Somit ist d˜
𝑧 ′ = − d^
𝑧 und d𝜙′ = −2 d𝜙.
^
Werden noch die neuen Integrationsgrenzen berücksichtigt, folgt
𝐵(˜
𝑥) =
𝜋
ˆ2
1
𝑀0 𝜇0 ∑︁
˜𝑛
(−1)𝑛 𝑅
2𝜋 𝑛=0
˜
𝑧˜ˆ+𝐻
𝜋
˜
𝜙=−
^
^=˜
𝑧 −𝐻
2 𝑧
˜ 𝑛 − 𝜌˜(2 sin2 𝜙^ − 1))𝑒𝑧
𝑧^(2 sin2 𝜙^ − 1)𝑒𝑥 + 𝑧^ sin(2𝜙)𝑒
^ 𝑦 + (𝑅
d^
𝑧 d𝜙^ .
˜ ′𝑛 |3
|˜
𝑥−𝑥
Betrachtet man dieses Integral, fällt auf, dass die 𝑦-Komponente eine ungerade
Funktion in 𝜙^ ist. Zusammen mit den um null symmetrischen Integrationsgrenzen
bzgl. 𝜙^ ist klar, dass diese Komponente keinen Beitrag zum Integral leistet. Daher
kann das magnetische Flussfeld der Levitronbasis als
𝐵(˜
𝑥) =
1
𝑀0 𝜇0 ∑︁
˜𝑛
(−1)𝑛 𝑅
2𝜋 𝑛=0
𝜋
ˆ2
˜
𝑧˜ˆ+𝐻
𝜋
˜
𝜙=−
^
^=˜
𝑧 −𝐻
2 𝑧
˜ 𝑛 − 𝜌˜(2 sin2 𝜙^ − 1))𝑒𝑧
𝑧^(2 sin2 𝜙^ − 1)𝑒𝑥 + (𝑅
d^
𝑧 d𝜙^
˜ ′𝑛 |3
|˜
𝑥−𝑥
1
𝑀0 𝜇0 ∑︁
˜ 𝑛 [𝒳𝑛 𝑒𝑥 + 𝒵𝑛 𝑒𝑧 ]
=
(−1)𝑛 𝑅
2𝜋 𝑛=0
berechnet werden. Der Übersicht halber werden nun die beiden Komponenten
des magnetischen Flussfeldes separat berechnet. Zunächst wird 𝒳𝑛 betrachtet.
Dazu wird der Betrag noch einmal nach den Substitutionen angegeben:
⃒
⃒2
˜ 𝑛2 + 𝑧^2 + 2˜
˜ 𝑛 − 4˜
˜ 𝑛 sin2 𝜙^ .
⃒𝑥
˜ −𝑥
˜ ′𝑛 ⃒ = 𝜌˜2 + 𝑅
𝜌𝑅
𝜌𝑅
Direkte Berechnung des magn. Flussfelds
34
Nun können die beiden Integrationen nacheinander ausgeführt werden. Zunächst
ist:
𝜋
ˆ2
𝜋
˜
𝑧˜ˆ+𝐻
𝑧^(2 sin2 𝜙^ −
𝒳𝑛 =
|˜
𝑥−
𝜋
˜
𝜙=−
^
^=˜
𝑧 −𝐻
2 𝑧
1)
˜ ′𝑛 |3
𝑥
d^
𝑧 d𝜙^ =
1
∑︁
ˆ2
(−1)𝑚
𝑚=0
𝜋
𝜙=−
^
2
1 − 2 sin2 𝜙^
d𝜙^ .
ℛ𝑛,𝑚
˜ 𝑛 − 4˜
˜ 𝑛 sin2 𝜙^ mit 𝑍˜𝑚 = 𝑧˜ + (−1)𝑚 𝐻.
˜ 2 + 𝑍˜ 2 + 2˜
˜
Dabei ist ℛ2𝑛,𝑚 = 𝜌˜2 + 𝑅
𝜌𝑅
𝜌𝑅
𝑛
𝑚
Definiert man nun
2
˜ 2 + 𝑍˜ 2 + 2˜
˜𝑛
ℋ𝑛,𝑚
= 𝜌˜2 + 𝑅
𝜌𝑅
𝑛
𝑚
2
𝑘𝑛,𝑚
=
und
˜𝑛
4˜
𝜌𝑅
,
2
ℋ𝑛,𝑚
folgt
𝜋
𝒳𝑛 =
ˆ2
1
∑︁
(−1)𝑚
𝑚=0
ℋ𝑛,𝑚
1 − 2 sin2 𝜙^
√︁
𝜋
𝜙=−
^
2
2
1 − 𝑘𝑛,𝑚
sin2 𝜙^
d𝜙^ =
1
∑︁
(−1)𝑚
𝑚=0
ℋ𝑛,𝑚
[2 K(𝑘𝑛,𝑚 ) + 2𝒮𝑛,𝑚 ] .
Der Restterm 𝒮𝑛,𝑚 wird einzeln berechnet zu:
𝜋
ˆ2
− sin2 𝜙^
𝒮𝑛,𝑚 =
√︁
𝜋
𝜙=−
^
2
2
1 − 𝑘𝑛,𝑚
sin2 𝜙^
d𝜙^
𝜋
=
ˆ2
1
2
𝑘𝑛,𝑚
2
−1 + 1 − 𝑘𝑛,𝑚
sin2 𝜙^
√︁
𝜋
𝜙=−
^
2
2
1 − 𝑘𝑛,𝑚
sin2 𝜙^
d𝜙^
𝜋
=−
=
2
2
𝑘𝑛,𝑚
2
2
𝑘𝑛,𝑚
K(𝑘𝑛,𝑚 ) +
1
2
𝑘𝑛,𝑚
ˆ2
√︁
2
1 − 𝑘𝑛,𝑚
sin2 𝜙^ d𝜙^
𝜋
𝜙=−
^
2
[E(𝑘𝑛,𝑚 ) − K(𝑘𝑛,𝑚 )] .
Damit ist die Komponente 𝒳𝑛 des magnetischen Flussfelds bekannt als:
𝒳𝑛 = 2
=2
1
∑︁
(−1)𝑚
𝑚=0
1
∑︁
ℋ𝑛,𝑚
[K(𝑘𝑛,𝑚 ) +
2
2
𝑘𝑛,𝑚
[E(𝑘𝑛,𝑚 ) − K(𝑘𝑛,𝑚 )]]
(−1)𝑚
2
[(𝑘𝑛,𝑚
− 2) K(𝑘𝑛,𝑚 ) + 2 E(𝑘𝑛,𝑚 )] .
2 ℋ
𝑘
𝑛,𝑚
𝑚=0 𝑛,𝑚
Kapitel 3. Die permantentmagnetische Levitronbasis
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
35
Nun wird die Komponente 𝒵𝑛 berechnet. Wird die Integration nach 𝑧^ ausgeführt
und werden die Abkürzungen
˜ 𝑛 )2
𝒟𝑛2 = (˜
𝜌+𝑅
und ℎ2𝑛 =
˜𝑛
4˜
𝜌𝑅
𝒟𝑛2
genutzt, folgt
𝜋
𝒵𝑛 =
=
ˆ2
1
∑︁
(−1)𝑚 𝑍˜𝑚
𝒟𝑛2 ℋ𝑛,𝑚
𝑚=0
√︁
𝜋
𝜙=−
^
2
1
∑︁
(−1)𝑚 𝑍˜𝑚 [︁
𝑚=0
˜ 𝑛 + 𝜌˜ − 2˜
𝑅
𝜌 sin2 𝜙^
𝒟𝑛2 ℋ𝑛,𝑚
2
(1 − ℎ2𝑛 sin2 𝜙)
^ 1 − 𝑘𝑛,𝑚
sin2 𝜙^
d𝜙^
]︁
˜ 𝑛 + 𝜌˜)Π(ℎ2 , 𝑘𝑛,𝑚 ) + 2˜
2(𝑅
𝜌𝒯𝑛,𝑚 .
𝑛
Dabei ist Π(ℎ2𝑛 , 𝑘𝑛,𝑚 ) das vollständige elliptische Integral 3. Art mit
𝜋
1
2
Π(ℎ2𝑛 , 𝑘𝑛,𝑚 ) =
ˆ2
1
√︁
𝜋
𝜙=−
^
2
2
(1 − ℎ2𝑛 sin2 𝜙)
^ 1 − 𝑘𝑛,𝑚
sin2 𝜙^
d𝜙^ .
Der verbleibende Term 𝒯𝑛,𝑚 wird nun berechnet:
𝜋
ˆ2
𝒯𝑛,𝑚 =
− sin2 𝜙^
√︁
𝜋
𝜙=−
^
2
2
(1 − ℎ2𝑛 sin2 𝜙)
^ 1 − 𝑘𝑛,𝑚
sin2 𝜙^
d𝜙^
𝜋
=
=
1
ℎ2𝑛
ˆ2
−1 + 1 − ℎ2𝑛 sin2 𝜙^
√︁
𝜋
𝜙=−
^
2
2
(1 − ℎ2𝑛 sin2 𝜙)
^ 1 − 𝑘𝑛,𝑚
sin2 𝜙^
d𝜙^
2
[−Π(ℎ2𝑛 , 𝑘𝑛,𝑚 ) + K(𝑘𝑛,𝑚 )] .
ℎ2𝑛
Somit ist nun auch die Komponente 𝒵𝑛 vollständig bekannt:
𝒵𝑛 = 2
=2
[︂
]︂
1
∑︁
(−1)𝑚 𝑍˜𝑚 ˜
2
2
2
(
𝑅
+
𝜌
˜
)Π(ℎ
,
𝑘
)
+
𝜌
˜
[−Π(ℎ
,
𝑘
)
+
K(𝑘
)]
𝑛
𝑛,𝑚
𝑛 𝑛,𝑚
𝑛 𝑛,𝑚
2
2
𝑚=0
1
∑︁
𝒟𝑛 ℋ𝑛,𝑚
(−1)𝑚 𝑍˜𝑚
𝒟𝑛2 ℋ𝑛,𝑚
𝑚=0
ℎ𝑛
[︂(︂
2˜
𝜌
𝜌
˜ 𝑛 + 𝜌˜ − 2˜
𝑅
Π(ℎ2𝑛 , 𝑘𝑛,𝑚 ) + 2 K(𝑘𝑛,𝑚 ) .
2
ℎ𝑛
ℎ𝑛
Direkte Berechnung des magn. Flussfelds
)︂
]︂
36
Damit ist das magnetische Flussfeld der Levitronbasis bestimmt und kann wie
folgt angegeben werden:
𝐵(˜
𝑥) =
1
𝑀0 𝜇0 ∑︁
˜ 𝑛 [𝒳𝑛 𝑒𝑥 + 𝒵𝑛 𝑒𝑧 ]
(−1)𝑛 𝑅
2𝜋 𝑛=0
=
1 ∑︁
1
˜𝑛
𝑀0 𝜇0 ∑︁
𝑅
(−1)𝑛+𝑚
𝜋 𝑛=0 𝑚=0
ℋ𝑛,𝑚
[︃
𝑒𝑥
2
{(𝑘𝑛,𝑚
− 2) K(𝑘𝑛,𝑚 ) + 2 E(𝑘𝑛,𝑚 )} +
2
𝑘𝑛,𝑚
{︂(︂
)︂
}︂ ]︃
𝑍˜𝑚 𝑒𝑧
2˜
𝜌
2˜
𝜌
2
˜
+
𝑅𝑛 + 𝜌˜ − 2 Π(ℎ𝑛 , 𝑘𝑛,𝑚 ) + 2 K(𝑘𝑛,𝑚 )
.
𝒟𝑛2
ℎ𝑛
ℎ𝑛
Wird nun die Wahl 𝜙 = 0 rückgängig gemacht, wird 𝑒𝑥 → 𝑒𝜌 . Der Einheitsvektor
𝑒𝑧 bleibt unverändert, da dieser in sowohl in der kartesischen als auch in der
Zylinderbasis gleich ist. Somit ist das magnetische Flussfeld der Levitronbasis
durch
𝐵(˜
𝑥) =
1
1 ∑︁
˜𝑛
𝑅
𝑀0 𝜇0 ∑︁
(−1)𝑛+𝑚
𝜋 𝑛=0 𝑚=0
ℋ𝑛,𝑚
[︃
𝑒𝜌
2
{(𝑘𝑛,𝑚
− 2) K(𝑘𝑛,𝑚 ) + 2 E(𝑘𝑛,𝑚 )} +
2
𝑘𝑛,𝑚
{︂(︂
)︂
}︂ ]︃
𝑍˜𝑚 𝑒𝑧
2˜
𝜌
2˜
𝜌
2
˜
+
𝑅𝑛 + 𝜌˜ − 2 Π(ℎ𝑛 , 𝑘𝑛,𝑚 ) + 2 K(𝑘𝑛,𝑚 )
𝒟𝑛2
ℎ𝑛
ℎ𝑛
gegeben. Der dimensionslose Teil dieses Ergebnisses ist in Abbildung 3.2 darge­
stellt. Dabei deutet das eingezeichnete Rechteck die Position einer Querschnittflä­
che der Levitronbasis an. Betrachtet man die Darstellung, sticht hervor, dass das
magnetische Flussfeld der Levitronbasis eine grundlegend andere Charakteristik
im Vergleich zum Ringstroms bzw. zu den Helmholtz-Spulen aufweist. So
sind hier Wirbel an der inneren und äußeren Mantelfläche des Hohlzylinders zu
erkennen. Ein weiterer Unterschied findet sich bei jenen Feldlinien, die zunächst
gegen die 𝑧˜-Achse streben. Hier scheint es eine Grenze zu geben, an der sich die
Feldlinien entweder stark nach links krümmen und das Innere des Hohlzylinders
durchqueren oder sich nach rechts krümmen, so dass sie sich andersherum schlie­
ßen. Vergleicht man das hier gefundene Ergebnis mit Abbildung 3.3, so fällt eine
gewisse Ähnlichkeit auf. Der wesentliche Verlauf der Feldlinien in der rechten
Hälfte von Abbildung 3.3 stimmt mit denen des hier berechneten Ergebnissen
überein. In der linken Hälfte gibt es auch nur geringe Abweichungen, die in den
verschiedenen betrachteten Geometrien der Magnete begründet liegt.
Kapitel 3. Die permantentmagnetische Levitronbasis
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
37
Abb. 3.2.: Normiertes magnetisches Flussfeld der Levitronbasis
Abb. 3.3.: Magnetisches Flussfeld (𝐵) eines Permanentmagneten [Becker u. Sauter
1973, S. 119]
Direkte Berechnung des magn. Flussfelds
38
Zur weiteren Illustration wird das magnetische Feld H = 𝐻 − 𝑀 = 𝜇𝐵0 − 𝑀
betrachtet. Dies ist in Abbildung 3.4 dargestellt. Dabei muss berücksichtigt
werden, dass die Magnetisierung 𝑀 nur innerhalb der Levitronbasis ungleich
dem Nullvektor ist. Daher ändert sich das Verhalten des magnetischen Feldes im
Vergleich zum magnetischen Flussfeld (Abbildung 3.2) außerhalb des Magneten
nicht. Innerhalb des Magneten ist jedoch eine Umkehr der Feldrichtung sowie der
Richtung der Krümmung der Feldlinien zu beobachten. Dies ist darin Begründet,
dass im Inneren der Levitronbasis die Magnetisierung dem magnetischen Feld
entgegen wirkt. Vergleicht man nun dieses Ergebnis mit Abbildung 3.5, so findet
man auch hier erhebliche Ähnlichkeiten zwischen dem Verlauf der Feldlinien
beider Probleme. Entsprechend der Betrachtung zu Abbildung 3.3 bleiben die
Gemeinsamkeiten der Felder außerhalb der Levitronbasis erhalten. Des Weite­
ren ist im Inneren des in Abbildung 3.5 dargestellten Magneten ebenfalls die
Richtungsänderung sowie die erwartete Krümmung der Feldlinien zu beobachten.
Abb. 3.4.: Normiertes magnetisches Feld H der Levitronbasis
Kapitel 3. Die permantentmagnetische Levitronbasis
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
39
Abb. 3.5.: Magnetisches Feld (H) eines Permanentmagneten [Becker u. Sauter 1973, S.
119]
3.2. Berechnung des magnetischen Flussfelds mit Hilfe
des Vektorpotentials
Im vorliegenden Abschnitt soll die von [Selvaggi u. a. 2010] vorgeschlagene Me­
thode zur Berechnung des magnetischen Flussfeldes vorgestellt und diskutiert
werden. Dabei werden Reihen von hypergeometrischen Funktionen genutzt. Aus­
gangspunkt der Überlegung ist die Gleichung (2.1) mit ihrer Lösung
𝜇0
𝐴(𝑥) =
4𝜋
ˆ
𝐽 (𝑥′ )
𝜇0
d𝑉 ′ +
′
|𝑥 − 𝑥 |
4𝜋
𝑉′
ˆ
𝐽 I (𝑥′ )
d𝐴′ .
|𝑥 − 𝑥′ |
𝐼
Geht man von der in Abbildung 3.1 gezeigten Geometrie aus und einer Magneti­
sierung 𝑀 (𝑥′ ) = 𝑀0 𝑒′𝑧 aus, so ist
𝐽 (𝑥′ ) = ∇ × 𝑀 (𝑥′ ) = 0
′
′
′
𝐽 I (𝑥 ) = 𝑀 (𝑥 ) × 𝑒(𝑥 ) =
⎧
′
⎪
⎪
⎨𝑀0 𝑒𝜙
−𝑀0 𝑒′𝜙
⎪
⎪
⎩0
für 𝜌 = 𝑅a , − 𝐻 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻
für 𝜌 = 𝑅i , − 𝐻 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻
sonst.
Wird nun die Inverse des Abstand zwischen Beobachtungs- und Quellpunkt in
die Reihe
∞
∑︁
1
1
√
=
𝜖𝑚 Q𝑚− 1 (𝜉) cos[𝑚(𝜙 − 𝜙′ )]
2
|𝑥 − 𝑥′ |
𝜋 𝜌𝜌′ 𝑚=0
Berechnung des magnetischen Flussfelds mit Hilfe des Vektorpotentials
40
entwickelt, wobei 𝜖𝑚 der Neumann-Faktor mit
{︃
1, wenn 𝑚 = 0
2, wenn 𝑚 ≥ 1
𝜖𝑚 =
und Q𝑚− 1 die Legendre Funktion zweiter Art ist. Nun kann das Vektorpotential
2
für das magnetische Flussfeld als
∞
𝜇0 𝑀0 ∑︁
(4𝑛 + 1)!!𝜌2𝑛+1
𝐴(𝑥) =
𝑒𝜙
(𝑅m + 𝛿)2𝑛+2 (𝑈𝑛1 − 𝑈𝑛2 ) −
2𝑛 (𝑛 + 1)!(𝑛!)2
4
2
𝑛=0
{︃
}︃
− (𝑅m − 𝛿)
2𝑛+2
(𝑉𝑛1
−
𝑉𝑛2 )
angegeben werden. Dabei ist
𝑈𝑛1 = (𝑧 + 𝐻)
𝑈𝑛2 = (𝑧 − 𝐻)
𝑉𝑛1 = (𝑧 + 𝐻)
F
(︁
1
2 , 2𝑛
2
+ 32 ; 32 ; − 𝜌2(𝑧+𝐻)
+(𝑅+𝛿)2
)︁
,
3
[𝜌2 + (𝑅 + 𝛿)2 ]2𝑛+ 2
F
(︁
1
2 , 2𝑛
2
+ 32 ; 32 ; − 𝜌2(𝑧−𝐻)
+(𝑅+𝛿)2
)︁
,
3
[𝜌2 + (𝑅 + 𝛿)2 ]2𝑛+ 2
F
(︁
1
2 , 2𝑛
2
+ 32 ; 32 ; − 𝜌2(𝑧+𝐻)
+(𝑅−𝛿)2
)︁
,
3
[𝜌2 + (𝑅 − 𝛿)2 ]2𝑛+ 2
und
𝑉𝑛2 = (𝑧 − 𝐻)
F
(︁
1
2 , 2𝑛
2
+ 32 ; 32 ; − 𝜌2(𝑧−𝐻)
+(𝑅−𝛿)2
3
[𝜌2 + (𝑅 − 𝛿)2 ]2𝑛+ 2
)︁
.
Hierbei ist F eine hypergeometrische Funktion. Mit Hilfe eines geeigneten Compu­
teralgebrasystems kann das magnetische Flussfeld nun als 𝐵 = ∇ × 𝐴 berechnet
und grafisch dargestellt werden. Dabei entstehen Probleme aufgrund der vorkom­
menden Reihe. Diese zeigt schlechtes Konvergenzverhalten, so dass die maximale
Anzahl der Terme, die mit der zur Verfügung stehenden Rechentechnik auswert­
bar ist, nicht genügt um das magnetische Flussfeld erwartungsgemäß darzustellen.
Dies ist in Abbildung 3.6 zu erkennen. Weiterhin wird im Vergleich zu der vorher­
gehend vorgestellten Methode wesentlich mehr Zeit benötigt, um eine Rechnung
durchzuführen. Daher wird weitergehend die zuvor vorgestellte Methode genutzt.
Kapitel 3. Die permantentmagnetische Levitronbasis
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
41
Abb. 3.6.: Mit Hilfe der Reihenentwicklung gewonnenes magnetisches Flussfeld der
Levitronbasis
Berechnung des magnetischen Flussfelds mit Hilfe des Vektorpotentials
42
4. Gesamtfeld
In diesem Kapitel sollen nun die bisher gewonnenen Ergebnisse genutzt werden,
um das magnetische Flussfeld der Helmholtz-Spulen mit dem der Levitronbasis
zusammenzuführen. Die dazu nötigen Koordinatentransformationen werden im
Folgenden erläutert. Die prinzipielle Zusammensetzung der Anordnung ist in
Abbildung 4.1 dargestellt.
Helmholtz-Spulen
Levitronbasis
Abb. 4.1.: Prinzipielle Zusammensetzung der Anordnung
4.1. Koordinatensysteme
Die verwendeten Koordinatensysteme sind in Abbildung 4.2 dargestellt. Dabei
ist 𝜉 das System, bezüglich dessen das Gesamtfeld angegeben werden soll. Im
𝜂-System ist das magnetische Flussfeld der Helmholtz-Spulen gegeben und das
𝜁-System dient der Beschreibung des magnetischen Flussfeldes der Levitronbasis.
Dabei ist die Lage der einzelnen Koordinatensysteme zueinander so gewählt,
dass 𝑒 𝜌 = 𝑒 𝑥 für 𝜙 = 0 und 𝑒 𝜌 = 𝑒 𝑥 für 𝜙 = 0 ist. In diesem Fall ist auch
(𝜂)
(𝜉)
(𝜂)
(𝜁)
(𝜉)
(𝜁)
𝑒 𝜙 = 𝑒 𝑧 und 𝑒 𝜙 = 𝑒 𝑦 . Für beliebige Winkel 𝜙 und 𝜙 gilt außerdem 𝑒 𝑧 = −𝑒 𝑦
(𝜂)
(𝜉)
(𝜁)
(𝜉)
(𝜂)
(𝜁)
(𝜂)
(𝜉)
und 𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑧 .
(𝜁)
(𝜉)
Kapitel 4. Gesamtfeld
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
43
𝑒 𝑧, 𝑒 𝜙
(𝜉)
(𝜂)
𝒪
𝑒𝑧
𝑒𝑦
(𝜂)
(𝜉)
𝑒 𝑥, 𝑒 𝜌
(𝜉)
(𝜂)
𝐷
𝑒𝑧
(𝜁)
𝑒𝜙
(𝜁)
𝑒𝜌
(𝜁)
Abb. 4.2.: Betrachtete Koordinatensysteme für das Gesamtfeld
4.1.1. Beschreibung des magnetischen Flussfelds der
Helmholtz-Spulen im 𝜉-System
Um das magnetische Flussfeld der Helmholtz-Spulen im 𝜉-System angeben zu
können, muss zunächst herausgefunden werden, wie die Einheitsvektoren des
𝜂-Systems mit denen des 𝜉-Systems zusammenhängen.
𝑒𝑧
𝑒𝜙
(𝜉)
(𝜂)
𝑒𝜌
(𝜂)
𝜙
(𝜂)
𝑒𝑥
(𝜉)
𝑒𝑧
(𝜂)
Abb. 4.3.: Zusammenhang 𝜉- und 𝜂-System
Betrachtet man die Abbildung 4.3 ist klar, dass
𝑒 𝜌 = 𝑒 𝑥 cos 𝜙 + 𝑒 𝑧 sin 𝜙 ,
(𝜂)
(𝜉)
(𝜂)
Koordinatensysteme
(𝜉)
(𝜂)
𝑒 𝜙 = −𝑒 𝑥 sin 𝜙 + 𝑒 𝑧 cos 𝜙 und 𝑒 𝑧 = −𝑒 𝑦
(𝜂)
(𝜉)
(𝜂)
(𝜉)
(𝜂)
(𝜂)
(𝜉)
44
ist. Zwischen den Koordinaten der beiden Systeme gelten die folgenden Bezie­
hungen:
𝜌=
√︂
𝑥2 + 𝑧 2 ,
(𝜉)
(𝜂)
𝜙 = atan2( 𝑧 , 𝑥 )
(𝜉)
𝑧 = −𝑦 .
und
(𝜉) (𝜉)
(𝜂)
(𝜂)
(𝜉)
Dabei ist atan2 die Arkus-Tangensfunktion von zwei Argumenten. Diese ist wie
folgt definiert:
⎧
⎪
arctan
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
arctan
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑦
𝑥,
𝑦
𝑥 +
𝑦
𝑥 −
𝑥>0
𝜋, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 < 0
arctan
𝜋, 𝑦 < 0, 𝑥 < 0
atan2(𝑦, 𝑥) = 𝜋
⎪
𝑦 > 0, 𝑥 = 0
⎪
⎪
2,
⎪
⎪
𝜋
⎪
⎪
𝑦 < 0, 𝑥 = 0
−2,
⎪
⎪
⎪
⎩
undefiniert,
𝑦 = 0, 𝑥 = 0
Um das zuvor berechnete magnetische Flussfeld der Helmholtz-Spulen nutzen
zu können, wird zu dimensionslosen Koordinaten übergegangen:
(𝜂)
√︂
𝑥2 + 𝑧 2
⇔
𝑧 = 𝑅˜
𝑧 = −𝑦
⇔
𝜌 = 𝑅˜
𝜌=
(𝜂)
(𝜂)
(𝜉)
(𝜉)
(𝜂)
(𝜉)
1 √︂ 2
𝑥 + 𝑧2
𝑅 (𝜉) (𝜉)
(𝜂)
1
𝑧˜ = − 𝑦 .
(𝜂)
𝑅 (𝜉)
𝜌˜ =
Nun kann das magnetische Flussfeld bezüglich des 𝜉-Systems angegeben werden
als
𝐵 H = 𝐵𝜌H 𝑒 𝜌 + 𝐵𝑧H 𝑒 𝑧
(𝜉)
(𝜂)
(𝜂)
(︃
)︃
=
𝐵𝜌H
𝑒 𝑥 cos 𝜙 + 𝑒 𝑧 sin 𝜙 − 𝐵𝑧H 𝑒 𝑦
=
𝐵𝜌H cos 𝜙 𝑒 𝑥
(𝜉)
(𝜉)
(𝜂)
−
(𝜂)
(𝜉)
𝐵𝑧H 𝑒 𝑦
(𝜉)
(𝜂)
+
(𝜉)
𝐵𝜌H sin 𝜙 𝑒 𝑧
(𝜉)
.
(𝜂)
Hier muss noch berücksichtigt werden, wie die Koordinaten des 𝜂-Systems mit
denen des 𝜉-Systems zusammenhängen. Daher ist
(︃
𝐵𝜌H
und
𝜌˜, 𝑧˜ =
(𝜂) (𝜂)
(︃
𝐵𝑧H
)︃
(︃
𝐵𝜌H
)︃
𝜌˜, 𝑧˜ =
(𝜂) (𝜂)
(︃
𝐵𝑧H
)︃
1 √︂ 2
1
𝑥 + 𝑧2 , − 𝑦
𝑅 (𝜉) (𝜉)
𝑅 (𝜉)
,
)︃
1
1 √︂ 2
𝑥 + 𝑧2 , − 𝑦
𝑅 (𝜉) (𝜉)
𝑅 (𝜉)
.
Kapitel 4. Gesamtfeld
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
45
Des Weiteren muss auch der Zusammenhang 𝜙 = atan2( 𝑧 , 𝑥 ) berücksichtigt
(𝜉) (𝜉)
(𝜂)
werden.
4.1.2. Beschreibung des magnetischen Flussfelds der Levitronbasis
im 𝜉-System
Entsprechend dem Vorgehen im letzten Abschnitt soll nun der Zusammenhang
zwischen den Einheitsvektoren und Koordinaten des 𝜁-Systems mit denen des
𝜉-Systems ermittelt werden. Dazu wird Abbildung 4.4 betrachtet.
𝑒𝑦
𝑒𝜙
(𝜉)
(𝜁)
𝑒𝜌
(𝜁)
𝜙
(𝜁)
𝑒𝑥
(𝜉)
𝑒𝑧
(𝜁)
Abb. 4.4.: Zusammenhang zwischen dem 𝜉- und 𝜁-System
Nun ist leicht ersichtlich, dass
𝑒 𝜌 = 𝑒 𝑥 cos 𝜙 + 𝑒 𝑦 sin 𝜙
(𝜁)
(𝜉)
(𝜁)
(𝜉)
𝑒 𝜙 = −𝑒 𝑥 sin 𝜙 + 𝑒 𝑦 cos 𝜙 .
und
(𝜁)
(𝜁)
(𝜉)
(𝜁)
(𝜉)
(𝜁)
Betrachtet man erneut Abbildung 4.2, so ist außerdem offensichtlich 𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑧 .
(𝜁)
(𝜉)
Analog zum vorherigen Vorgehen ist ebenfalls klar, dass
𝜌=
√︂
(𝜁)
𝑥2 + 𝑦 2 ,
(𝜉)
𝜙 = atan2( 𝑦 , 𝑥 )
(𝜉)
𝑧 =𝑧+𝐷 .
und
(𝜉) (𝜉)
(𝜁)
(𝜁)
(𝜉)
Bei Übergang auf dimensionslose Koordinaten im 𝜁-System folgt
𝜌 = 𝑅m 𝜌˜ =
(𝜁)
√︂
𝑥2 + 𝑦 2
(𝜉)
(𝜁)
⇔
(𝜉)
𝜌˜ =
(𝜁)
1 √︂ 2
𝑥 + 𝑦2
𝑅m (𝜉) (𝜉)
und
1
𝑧˜ =
𝑧+𝐷
(𝜁)
𝑅m (𝜉)
(︂
𝑧 = 𝑅m 𝑧˜ = 𝑧 + 𝐷
(𝜁)
(𝜁)
(𝜉)
⇔
)︂
.
Das magnetische Flussfeld der Levitronbasis hat die Form 𝐵 L = 𝐵𝜌L 𝑒 𝜌 + 𝐵𝑧L 𝑒 𝑧 .
(𝜁)
Koordinatensysteme
(𝜁)
(𝜁)
46
Unter Berücksichtigung der Beziehungen zwischen den Koordinaten im 𝜁- und
𝜉-System gilt
𝐵 L = 𝐵𝜌L 𝑒 𝜌 + 𝐵𝑧L 𝑒 𝑧
(𝜉)
(𝜁)
(𝜁)
(︃
=
𝐵𝜌L
)︃
𝑒 𝑥 cos 𝜙 + 𝑒 𝑦 sin 𝜙 + 𝐵𝑧L 𝑒 𝑧
(𝜉)
(𝜁)
(𝜉)
(𝜉)
(𝜁)
= 𝐵𝜌L cos 𝜙 𝑒 𝑥 + 𝐵𝜌L sin 𝜙 𝑒 𝑦 + 𝐵𝑧L 𝑒 𝑧 .
(𝜁)(𝜉)
(𝜁)(𝜉)
(𝜉)
4.2. Das zusammengesetzte Feld aus Helmholtz-Spulen
und Levitronbasis
Nachdem nun die magnetischen Flussfelder der Helmholtz-Spulen sowie der
Levitronbasis im 𝜉-System bekannt sind, kann das Gesamtfeld leicht durch
Superposition angegeben werden:
𝐵 = 𝐵H + 𝐵L
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
(︃
)︃
𝐵𝜌H cos 𝜙
=
+
(𝜂)
𝐵𝜌L cos 𝜙
(𝜁)
(︃
𝑒𝑥 +
(𝜉)
)︃
𝐵𝜌L sin 𝜙
(𝜁)
−
𝐵𝑧H
(︃
𝑒𝑦 +
(𝜉)
)︃
𝐵𝜌H sin 𝜙
(𝜂)
+
𝐵𝑧L
𝑒𝑧 .
(𝜉)
Dabei ist
𝐵𝜌H =
𝜇0 𝐼 1
cos (𝜔𝑡) ·
2𝑅 𝜋
⎡
{︃ 𝑧˜ + 1
2
(𝜂)
·
𝜌˜
(𝜂)
(︂
⎢
⎥
1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜ + 21
⎢
⎥
(𝜂)
(𝜂)
⎢
⎥
⎯(︃
−
K(k
)
+
E(k
)
⎢
(︃
)︃2 (︂
1
1 ⎥+
)︃2 (︂
)︂2
⎸
⎢
⎥
)︂
2 ⎣
⎸
⎦
⎷ 1 + 𝜌˜ + 𝑧˜ + 1
1 − 𝜌˜ + 𝑧˜ + 12
(𝜂)
2
1
(𝜂)
(𝜂)
(𝜂)
⎡
𝑧˜ −
(𝜂)
+
𝜌˜
(𝜂)
1
2
⎤
)︂2
(︂
)︂2
⎤
⎢
⎥ }︃
1 + 𝜌˜2 + 𝑧˜ − 21
⎢
⎥
(𝜂)
(𝜂)
⎢
⎥
⎯(︃
−
K(k
)
+
E(k
)
⎢
⎥ .
(︃
)︃
2
2
2
)︃2 (︂
(︂
)︂2
⎸
⎢
⎥
)︂
2
⎸
⎣
⎦
⎷ 1 + 𝜌˜ + 𝑧˜ − 1
1 − 𝜌˜ + 𝑧˜ − 12
(𝜂)
2
1
(𝜂)
(𝜂)
(𝜂)
Kapitel 4. Gesamtfeld
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
47
Wir nun berücksichtigt wie die Koordinaten des 𝜂-Systems mit denen des
𝜉-Systems zusammenhängen, folgt
𝐵𝜌H =
𝜇0 𝐼 1
cos (𝜔𝑡) ·
2𝑅 𝜋
{︃ − 1 𝑦 + 1
𝑅
2
(𝜉)
⎯
· 1 √︁ 2
2 ⎸(︂
𝑅 𝑥 +𝑧 ⎸
(𝜉)
(𝜉)
1
⎷ 1 + 1 √︁𝑥2 + 𝑧 2
𝑅
(𝜉)
⎡
1
𝑅2
(︂
𝑥2
𝑧2
)︂
+
(𝜉)
)︃2
(︃
)︂2
− 𝑅1
𝑦+
(𝜉)
)︃2
(︃
− 𝑅1
1
2
⎤
1
2
⎢
⎥
1+
+
+
𝑦+
⎢
⎥
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
⎢
⎥
E(k
)
⎢− K(k1 ) + (︂
⎥+
(︃
)︃
1
2
)︂2
⎢
⎥
√︁
⎣
⎦
1
1
1
2
2
1−
𝑥 +𝑧
+ − 𝑦+
𝑅
− 𝑅1 𝑦 −
+
(𝜉)
1
𝑅
(𝜉)
𝑅
(𝜉)
1
2
(𝜉)
2
1
⎯
)︃2
)︂2 (︃
𝑥2 + 𝑧 2 ⎸
⎸(︂
√︁
(𝜉) ⎷
(𝜉)
1
1
1
1 + 𝑅 𝑥2 + 𝑧 2
+ −𝑅 𝑦 − 2
√︁
(𝜉)
⎡
(𝜉)
(︂
(𝜉)
)︂
)︃2
(︃
⎤
⎥ }︃
⎢
1 + 𝑅12 𝑥2 + 𝑧 2 + − 𝑅1 𝑦 − 12
⎥
⎢
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
⎥
⎢
E(k
)
⎥ .
⎢− K(k2 ) + (︂
)︃
(︃
2
2
)︂2
⎥
⎢
√︁
⎦
⎣
1
1
1
1 − 𝑅 𝑥2 + 𝑧 2
+ −𝑅 𝑦 − 2
(𝜉)
(𝜉)
Das zusammengesetzte Feld aus Helmholtz-Spulen und Levitronbasis
(𝜉)
48
Entsprechend ergibt sich
𝐵𝑧H =
𝜇0 𝐼 1
cos (𝜔𝑡) ·
2𝑅 𝜋
{︃
·
1
⎯
)︃2
⎸(︂
)︂2 (︃
⎸
1
1
⎷ 1 + 1 √︁𝑥2 + 𝑧 2
+ −𝑅 𝑦 + 2
𝑅
(𝜉)
⎡
(𝜉)
(︂
(𝜉)
)︃2
(︃
)︂
⎤
⎢
⎥
1 − 𝑅12 𝑥2 + 𝑧 2 − − 𝑅1 𝑦 + 12
⎢
⎥
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
⎢
⎥
E(k
)
⎢K(k1 ) + (︂
⎥+
(︃
)︃
1
2
)︂2
⎢
⎥
√︁
⎣
⎦
1
1
1
1−
𝑥2 + 𝑧 2
+ − 𝑦+
𝑅
(𝜉)
𝑅
(𝜉)
2
(𝜉)
1
+⎯
⎸
)︃2
)︂2 (︃
⎸(︂
1
1
⎷ 1 + 1 √︁𝑥2 + 𝑧 2
+ −𝑅 𝑦 − 2
𝑅
(𝜉)
⎡
(𝜉)
(𝜉)
(︂
(︃
)︂
)︃2
⎤
⎢
⎥ }︃
1 − 𝑅12 𝑥2 + 𝑧 2 − − 𝑅1 𝑦 − 12
⎢
⎥
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
⎢
⎥
E(k
)
⎢K(k2 ) + (︂
⎥ .
(︃
)︃
2
2
)︂2
⎢
⎥
√︁
⎣
⎦
1
1
1
1−
𝑥2 + 𝑧 2
+ − 𝑦−
𝑅
(𝜉)
𝑅
(𝜉)
(𝜉)
2
Dabei ist
k21
4
𝑅
= (︂
1+
1
𝑅
√︁
𝑥2 + 𝑧 2
(𝜉)
√︁
𝑥2 + 𝑧 2
(𝜉)
(𝜉)
− 𝑅1
+
(𝜉)
)︃2
(︃
)︂2
𝑦+
(𝜉)
1
2
und
k22
4
𝑅
= (︂
1+
1
𝑅
√︁
𝑥2 + 𝑧 2
(𝜉)
√︁
𝑥2 + 𝑧 2
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
)︃2 .
(︃
)︂2
+
− 𝑅1
𝑦−
(𝜉)
1
2
Die Komponenten des magnetischen Flussfeldes der Levitronbasis können als
𝐵𝜌L =
𝐵𝑧L =
1 ∑︁
1
˜𝑛
𝑀0 𝜇0 ∑︁
𝑅
2
{(𝑘𝑛,𝑚
− 2) K(𝑘𝑛,𝑚 ) + 2 E(𝑘𝑛,𝑚 )} ,
(−1)𝑛+𝑚
2
𝜋 𝑛=0 𝑚=0
ℋ𝑛,𝑚 𝑘𝑛,𝑚
⎛
2˜
𝜌⎞
2˜
𝜌
⎨
⎬
˜
𝑍𝑚
˜ 𝑛 + 𝜌˜ − (𝜁)⎠ Π(ℎ2 , 𝑘𝑛,𝑚 ) + (𝜁) K(𝑘𝑛,𝑚 )
(−1)𝑛+𝑚 2 ⎝𝑅
𝑛
⎭
𝒟𝑛 ⎩
ℎ2𝑛
ℎ2𝑛
(𝜁)
𝑛=0 𝑚=0
1 ∑︁
1
𝑀0 𝜇0 ∑︁
𝜋
⎧
⎫
Kapitel 4. Gesamtfeld
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
49
geschrieben werden. Abschließend werden die Koordinaten des 𝜉-Systems mit
𝑅m dimensionslos gemacht. Es ist 𝑥 = 𝑅m 𝑥
˜, 𝑦 = 𝑅m 𝑦˜ und 𝑧 = 𝑅m 𝑧˜. Dies kann
(𝜉)
(𝜉) (𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
nun genutzt werden, um die Bestandteile des Gesamtfelds in dimensionslosen
Koordinaten des 𝜉-Systems anzugeben:
𝐵𝜌H =
𝜇0 𝐼 1
cos (𝜔𝑡) ·
2𝑅 𝜋
{︃ −˜
𝑦 + 2𝑅𝑅m
(𝜉)
· √︂
𝑥
˜2 + 𝑧˜2
(𝜉)
(𝜉)
1
⎯(︃
)︃2 (︃
)︃2
⎸
√︂
⎸
𝑅m
1
⎷ 1 + 𝑅m 𝑥
2
2
˜ + 𝑧˜
+ − 𝑅 𝑦˜ + 2
𝑅
⎡
2
𝑅m
𝑅2
(𝜉)
(𝜉)
)︂
(︃
(︂
(𝜉)
)︃2
⎤
⎢
⎥
𝑥
˜2 + 𝑧˜2 + − 𝑅𝑅m 𝑦˜ + 12
1+
⎢
⎥
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
⎢
⎥
⎢− K(k1 ) + (︃
)︃2 (︃
)︃2 E(k1 )⎥ +
√︂
⎢
⎥
⎣
⎦
˜2 + 𝑧˜2
1 − 𝑅m 𝑥
+ − 𝑅m 𝑦˜ + 1
𝑅
−˜
𝑦−
(𝜉)
𝑅
(𝜉)
𝑅
2𝑅m
+ √︂
𝑥
˜2 + 𝑧˜2
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
2
1
⎯(︃
)︃2 (︃
)︃2
⎸
√︂
⎸
𝑅m
1
⎷ 1 + 𝑅m 𝑥
2
2
+ − 𝑅 𝑦˜ − 2
˜ + 𝑧˜
𝑅
(𝜉)
⎡
⎢
1+
⎢
⎢
⎢− K(k2 ) + (︂
⎢
⎣
2
𝑅m
𝑅2
(𝜉)
(︂
𝑥
˜2
+
𝑧˜2
(𝜉)
)︃2
(︃
)︂
+
− 𝑅𝑅m
𝑦−
1
2
⎤
⎥ }︃
⎥
⎥
E(k
)
,
)︃2
2 ⎥
)︂2 (︃
⎥
√︁
⎦
1 − 𝑅1 𝑥2 + 𝑧 2
+ − 𝑅1 𝑦˜ − 12
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
Das zusammengesetzte Feld aus Helmholtz-Spulen und Levitronbasis
(𝜉)
(𝜉)
50
𝐵𝑧H =
𝜇0 𝐼 1
cos (𝜔𝑡) ·
2𝑅 𝜋
{︃
·
1
⎯(︃
)︃2 (︃
)︃2
⎸
√︂
⎸
𝑅m
1
⎷ 1 + 𝑅m 𝑥
2
2
˜ + 𝑧˜
+ − 𝑅 𝑦˜ + 2
𝑅
(𝜉)
⎡
2
𝑅m
𝑅2
(𝜉)
(︂
(𝜉)
)︃2
(︃
)︂
⎤
⎥
⎢
1−
𝑥
˜2 + 𝑧˜2 − − 𝑅𝑅m 𝑦˜ + 21
⎥
⎢
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
⎥
⎢
⎢K(k1 ) + (︃
)︃2 (︃
)︃2 E(k1 )⎥ +
√︂
⎥
⎢
⎦
⎣
+ − 𝑅m 𝑦˜ + 1
1 − 𝑅m 𝑥
˜2 + 𝑧˜2
𝑅
(𝜉)
𝑅
(𝜉)
2
(𝜉)
1
+⎯
⎸(︃
)︃2
√︂
⎸
⎷ 1 + 𝑅m 𝑥
˜2 + 𝑧˜2
𝑅
(𝜉)
⎡
2
𝑅m
𝑅2
− 𝑅𝑅m
+
(𝜉)
)︃2
(︃
(︂
𝑦˜ −
(𝜉)
1
2
)︃2
(︃
)︂
⎤
⎢
⎥ }︃
𝑥
˜2 + 𝑧˜2 − − 𝑅𝑅m 𝑦˜ − 21
1−
⎢
⎥
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
⎢
⎥
⎢K(k2 ) + (︃
)︃2 (︃
)︃2 E(k2 )⎥ .
√︂
⎢
⎥
⎣
⎦
˜2 + 𝑧˜2
+ − 𝑅m 𝑦˜ − 1
1 − 𝑅m 𝑥
𝑅
(𝜉)
𝑅
(𝜉)
(𝜉)
2
Dabei sind die elliptischen Moduli in dimensionslosen kartesischen Koordinaten
4 𝑅𝑅m
k21 = (︃
1+
𝑅m
𝑅
√︂
√︂
𝑥
˜2 + 𝑧˜2
(𝜉)
(𝜉)
)︃2
(︃
𝑥
˜2 + 𝑧˜2
(𝜉)
− 𝑅𝑅m
+
(𝜉)
)︃2
𝑦˜ +
(𝜉)
1
2
und
4 𝑅𝑅m
k22
= (︃
1+
𝑅m
𝑅
√︂
√︂
𝑥
˜2 + 𝑧˜2
(𝜉)
(𝜉)
𝑥
˜2 + 𝑧˜2
(𝜉)
(𝜉)
)︃2
(︃
)︃2 .
+ − 𝑅𝑅m 𝑦˜ −
(𝜉)
1
2
Gibt man nun noch die Komponenten des magnetischen Flussfelds der Levi­
tronbasis in den dimensionslosen kartesischen Koordinaten des 𝜉-Systems an,
folgt:
𝐵𝜌L =
1 ∑︁
1
˜𝑛
𝑀0 𝜇0 ∑︁
𝑅
2
(−1)𝑛+𝑚
{(𝑘𝑛,𝑚
− 2) K(𝑘𝑛,𝑚 ) + 2 E(𝑘𝑛,𝑚 )} ,
2
𝜋 𝑛=0 𝑚=0
ℋ𝑛,𝑚 𝑘𝑛,𝑚
Kapitel 4. Gesamtfeld
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
𝐵𝑧L =
1 ∑︁
1
𝑀0 𝜇0 ∑︁
𝑍˜𝑚
(−1)𝑛+𝑚 2 ·
𝜋 𝑛=0 𝑚=0
𝒟𝑛
√︂
⎛
{︃
·
51
2 𝑥
˜2 + 𝑦˜2
(𝜉)
√︂
⎜
˜𝑛 + 𝑥
⎜𝑅
˜2 + 𝑦˜2 −
⎝
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
√︂
⎞
2 𝑥
˜2 + 𝑦˜2
⎟
⎟ Π(ℎ2 , 𝑘𝑛,𝑚 ) +
𝑛
⎠
ℎ2𝑛
(𝜉)
(𝜉)
ℎ2𝑛
}︃
.
K(𝑘𝑛,𝑚 )
Auch hier müssen die genutzten Abkürzungen noch in dimensionslosen kartesi­
schen Koordinaten angegeben werden:
√︂
2
˜ 2 + 𝑍˜ 2 + 2𝑅
˜𝑛
ℋ𝑛,𝑚
=𝑥
˜2 + 𝑦˜2 + 𝑅
𝑛
𝑚
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
(︃
˜𝑛 +
𝑅
𝒟𝑛2 =
𝑥
˜2 + 𝑦˜2 ,
(𝜉)
2
𝑘𝑛,𝑚
=
˜ 𝑛 √︂
4𝑅
𝑥
˜2 + 𝑦˜2 ,
2
(𝜉)
ℋ𝑛,𝑚
(𝜉)
)︃2
√︂
𝑥
˜2 + 𝑦˜2
(𝜉)
(𝜉)
und ℎ2𝑛 =
˜ 𝑛 √︂
4𝑅
𝑥
˜2 + 𝑦˜2 .
𝒟𝑛2 (𝜉) (𝜉)
Werden nun die Bezeichnungen
𝐵𝜌H =
𝜇0 𝐼 1 ˜ H
𝐵 ,
2𝑅 𝜋 𝜌
𝐵𝑧H =
𝜇0 𝐼 1 ˜ H
𝐵 ,
2𝑅 𝜋 𝑧
𝐵𝜌L =
𝑀 0 𝜇0 ˜ L
𝐵𝜌
𝜋
und 𝐵𝑧L =
𝑀0 𝜇 0 ˜ L
𝐵𝑧
𝜋
eingeführt, so kann das Gesamtfeld wie folgt aufgeschrieben werden:
𝑀 0 𝜇0
𝐵=
(𝜉)
𝜋
)︃
[︃ (︃
˜𝜌H cos atan2( 𝑧˜, 𝑥
˜𝜌L cos atan2( 𝑦˜, 𝑥
𝜄𝐵
˜)+𝐵
˜ ) 𝑒𝑥 +
(𝜉) (𝜉)
(︃
(𝜉) (𝜉)
)︃
(𝜉)
(︂
]︃
)︂
˜𝜌L sin atan2( 𝑦˜, 𝑥
˜𝑧H 𝑒 𝑦 + 𝜄𝐵
˜𝜌H sin atan2( 𝑧˜, 𝑥
˜𝑧L 𝑒 𝑧 .
˜ ) − 𝜄𝐵
˜)+𝐵
+ 𝐵
(𝜉) (𝜉)
(𝜉) (𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
Dabei wurde der Koeffizient, der dass Verhältnis des Stroms der Helm­
holtz-Spulen zur Magnetisierung der Levitronbasis beschreibt mit 𝜄 = 2𝑀𝐼0 𝑅
˜ mit 𝐵 = 𝑀0 𝜇0 𝐵
˜ für 𝜄 = 0 und 𝑡 = 0 darge­
eingeführt. In Abbildung 4.5 ist 𝐵
𝜋
(𝜉)
(𝜉)
(𝜉)
stellt. Dies entspricht dem Aufbau ohne Helmholtz-Spulen. Daher zeigt die
Darstellung den dimensionslosen Anteil des magnetischen Flussfeldes der Levi­
tronbasis. Ein weiterer Extremfall ist in Abbildung 4.6 dargestellt. Hier ist 𝜄 → ∞
und 𝑡 = 0. Dies kann so interpretiert werden, dass die magnetische Flussdichte,
die durch die Helmholtz-Spulen erzeugt wird, bedeutend größer ist als die der
Levitronbasis. Daher sind in der Abbildung vor allem die Charakteristika des
Feldes der Helmholtz-Spulen erkennbar.
Das zusammengesetzte Feld aus Helmholtz-Spulen und Levitronbasis
52
Abb. 4.5.: Gesamtfeld mit 𝜄 = 0
Abb. 4.6.: Gesamtfeld mit 𝜄 → ∞
Kapitel 4. Gesamtfeld
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
53
Abschließend soll die zeitliche Änderung des Gesamtfelds betrachtet werden.
Hierzu muss der Faktor 𝜄 abgeschätzt werden. In der Veröffentlichung [Pérez
u. García-Sánchez 2013] werden magnetische Flussfelddichten für die Helm­
holtz-Spulen sowie für die Levitronbasis angegeben. Diese sind als betragsmäßige
Maxima der einzelnen Felder zu interpretieren und lauten:
𝐵H = 0,49 mT
und
𝐵L = 7,6 mT .
Die betragsmäßigen Maxima der hier berechneten Felder der Helmholtz-Spulen
und der Levitronbasis können wie folgt bestimmt werden
⃒
⃒
⃒
⃒
max ⃒𝐵 H ⃒ =
⃒
⃒
𝜇0 𝐼 1
⃒ ˜ H⃒
max ⃒𝐵
⃒
2𝑅 𝜋
und
⃒
⃒
⃒
⃒
max ⃒𝐵 L ⃒ =
⃒
⃒
𝑀0 𝜇 0
⃒ ˜ L⃒
max ⃒𝐵
⃒ .
𝜋
Dabei ist 𝐼 > 0 die Amplitude des Wechselstroms in den Helmholtz-Spulen.
Fordert man, dass die Maxima der Felder aus [Pérez u. García-Sánchez 2013]
mit den Maxima der hier berechneten Felder übereinstimmt, findet man
⃒
⃒
⃒ ˜ H⃒
max ⃒𝐵
⃒
𝐵H
⃒
⃒
=𝜄
⃒ ˜ L⃒
𝐵L
max ⃒𝐵
⃒
⃒
⇔
⃒
⃒
⃒
⃒ ˜ L⃒
⃒ ˜ L⃒
𝐵H max ⃒𝐵 ⃒
0,49 max ⃒𝐵 ⃒
⃒
⃒
⃒ =
⃒ .
𝜄=
𝐵L max ⃒⃒𝐵
7,6 max ⃒⃒𝐵
˜ H ⃒⃒
˜ H ⃒⃒
Mit Hilfe eines geeigneten Computeralgebrasystems kann dies ausgewertet wer­
den und man erhält 𝜄 ≈ 1/90. Werden nun geeignete Geometrieparameter gewählt,
kann die zeitliche Änderung des Gesamtfelds in Abbildung 4.7 und 4.8 darge­
stellt werden. Betrachtet man diese Darstellungen, so wird die Wirkung der
wechselstromdurchflossenen Helmholtz-Spulen deutlich. Diese bewirken einen
periodischen Wechsel der Feldrichtung im Bereich oberhalb der Levitronbasis.
Das zusammengesetzte Feld aus Helmholtz-Spulen und Levitronbasis
54
(a) 𝑡 = 0
(b) 𝑡 =
2𝜋
7𝜔
4𝜋
7𝜔
(d) 𝑡 =
6𝜋
7𝜔
(c) 𝑡 =
Abb. 4.7.: Zeitliche Änderung des gesamten normierten magnetischen Flussfelds für
6𝜋
0 ≤ 𝑡 ≤ 7𝜔
Kapitel 4. Gesamtfeld
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
(a) 𝑡 =
8𝜋
7𝜔
(c) 𝑡 =
12𝜋
7𝜔
(b) 𝑡 =
(d) 𝑡 =
55
10𝜋
7𝜔
2𝜋
𝜔
Abb. 4.8.: Zeitliche Änderung des gesamten normierten magnetischen Flussfelds für
8𝜋
2𝜋
7𝜔 ≤ 𝑡 ≤ 𝜔
Das zusammengesetzte Feld aus Helmholtz-Spulen und Levitronbasis
56
4.3. Betrachtung der Sprungbilanzen am Rand der
Levitronbasis
Zur Bewertung der Güte der Superposition der Felder von Helmholtz-Spulen
und der Levitronbasis werden die Sprungbilanzen
JDK𝑤⊥ + 𝑒 × JHK = 𝐽 fI
und
J𝐵K · 𝑒 = 0
herangezogen und am Rande der Levitronbasis ausgewertet. Da sich die Oberflä­
che der Levitronbasis nicht bewegt, ist 𝑤⊥ = 0. Des Weiteren ist für Permanent­
magente 𝐽 fI = 0. Somit vereinfachen sich die auszuwertenden Sprungbilanzen
zu
𝑒 × JHK = 0
und
J𝐵K · 𝑒 = 0 .
Die Oberflächennormalen sind in Abbildung 4.9 dargestellt. Wird berücksichtigt,
𝑒𝑧
(𝜉)
−𝑒 𝑦
𝑒𝑦
(𝜉)
(𝜉)
−𝑒 𝑧
(𝜉)
Abb. 4.9.: Oberflächennormalen an einem Querschnitt der Levitronbasis in der
𝑦˜-˜
𝑧 -Ebene
dass H = H𝑦 𝑒 𝑦 + H𝑧 𝑒 𝑧 ist, so ist offensichtlich, dass an der linken und rechten
(𝜉)
(𝜉)
Seite JH𝑧 K = 0 und dass auf der oberen und unteren Seite JH𝑦 K = 0 sein
muss, damit die Lösung zulässig ist. Des Weiteren ist 𝐵 = 𝐵𝑦 𝑒 𝑦 + 𝐵𝑧 𝑒 𝑧 .
(𝜉)
(𝜉)
Daher muss auf der linken und rechten Seite J𝐵𝑦 K = 0 sowie auf der oberen
und unteren Seite J𝐵𝑧 K = 0 gelten. Diese spezialisierten Sprungbilanzen sollen
nun Anhand geeigneter Darstellungen überprüft werden. Abbildung 4.10 zeigt
das magnetische Flussfeld in der Nähe eines Querschnitts der Levitronbasis in
der 𝑦˜-˜
𝑧 -Ebene. Betrachtet man Abbildung 4.10a, so ist leicht an den stetigen
Farbverläufen ersichtlich, dass J𝐵𝑦 K = 0 am linken und rechten Rand erfüllt ist,
was gefordert war. Darüber hinaus ist dies sogar am oberen und unteren Rand
erfüllt. Wird nun Abbildung 4.10b zur Bewertung herangezogen, ist offensichtlich,
dass am oberen und unteren Rand der Levitronbasis J𝐵𝑧 K = 0 erfüllt ist. Werden
der linke und rechte Rand betrachtet, ist ein deutlicher Sprung zu erkennen.
Dieser ist erwartungsgemäß vorhanden und verletzt nicht die Sprungbilanzen.
Entsprechend sollen nun die Sprungbilanzen bezüglich der Komponenten von H
Kapitel 4. Gesamtfeld
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
57
ausgewertet werden. Diese sind in Abbildung 4.11 dargestellt. Zunächst wird die
in Abbildung 4.11a dargestellte 𝑦-Komponente von H betrachtet. Es ist leicht
zu erkennen, dass JH𝑦 K = 0 sowohl auf der oberen, als auch auf der unteren
Seite der Levitronbasis erfüllt ist. Überdies ist der Verlauf von H𝑦 auch an den
anderen Ränder stetig. In Abbildung 4.11b ist H𝑧 dargestellt. Hier ist leicht
ersichtlich, dass am linken und rechten Rand JH𝑧 K = 0 eingehalten wird. Analog
der Betrachtung der 𝑧-Komponente des magnetischen Flussfelds ist hier am
oberen sowie dem unteren Rand der Levitronbasis ein Sprung in H𝑧 zu erkennen.
Dieser steht nicht in Konflikt mit den Sprungbilanzen. Um diesen Sachverhalt zu
verdeutlichen, können die Abbildungen 4.12 und 4.13 betrachtet werden. Dort
sind die Verläufe der Komponenten des magnetischen Flussfeldes, sowie des
magnetischen Feldes für ausgewählte Schnitte dargestellt.
(a) 𝐵𝑦 für 𝑡 = 0
(b) 𝐵𝑧 für 𝑡 = 0
Abb. 4.10.: Stetigkeitsuntersuchung des magnetischen Flussfeldes 𝐵. Anhand der Farb­
verläufe kann man die Stetigkeit der Komponenten erkennen. Ein Sprung in den Farben
indiziert einen Sprung der Feldkomponente. Die Betrachtung des Zeitpunktes 𝑡 = 0
genügt, da das Feld in allen Punkten linear in cos(𝜔𝑡) ist.
Betrachtung der Sprungbilanzen am Rand der Levitronbasis
58
(a) H𝑦 für 𝑡 = 0
(b) H𝑧 für 𝑡 = 0
Abb. 4.11.: Stetigkeitsuntersuchung des magnetischen Feldes H. Anhand der Farbver­
läufe kann man die Stetigkeit der Komponenten erkennen. Ein Sprung in den Farben
indiziert einen Sprung der Feldkomponente. Die Betrachtung des Zeitpunktes 𝑡 = 0
genügt, da das Feld in allen Punkten linear in cos(𝜔𝑡) ist.
(a) 𝐵𝑦 für 𝑡 = 0 und 𝑧˜ = 𝐷/𝑅m
(b) 𝐵𝑦 für 𝑡 = 0 und 𝑦˜ = 1
(c) 𝐵𝑧 für 𝑡 = 0 und 𝑧˜ = 𝐷/𝑅m
(d) 𝐵𝑧 für 𝑡 = 0 und 𝑦˜ = 1
Abb. 4.12.: Verlauf der Komponenten des magnetischen Flussfeldes 𝐵 für ausgewählte
Schnitte durch den Magneten
Kapitel 4. Gesamtfeld
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
(a) 𝐻𝑦 für 𝑡 = 0 und 𝑧˜ = 𝐷/𝑅m
(b) 𝐻𝑦 für 𝑡 = 0 und 𝑦˜ = 1
(c) 𝐻𝑧 für 𝑡 = 0 und 𝑧˜ = 𝐷/𝑅m
(d) 𝐻𝑧 für 𝑡 = 0 und 𝑦˜ = 1
59
Abb. 4.13.: Verlauf der Komponenten des magnetischen Feldes H für ausgewählte
Schnitte durch den Magneten
Betrachtung der Sprungbilanzen am Rand der Levitronbasis
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
61
Zusammenfassung
Im Rahmen dieser Arbeit wurde auf rationale, analytische Weise das magnetische
Flussfeld der mit Helmholtz-Spulen erweiterten Levitronbasis für beliebige
Sätze von Geometrieparametern berechnet. Vergleich man die hier gefundenen
Ergebnisse mit der Literatur, so stellt man erhebliche Abweichungen in der
Herangehensweise und den Ergebnissen fest. Hervorzuheben ist in diesem Zu­
sammenhang die Berechnungsmethode des Vektorpotentials zur Bestimmung des
magnetischen Flussfeldes der Levitronbasis, die nicht in der Literatur gefunden
wurde.
Eingehend wurden elektromagnetischen Bilanzen untersucht und auf die Be­
rechnung der hier vorliegenden Probleme spezialisiert, um die Felder der Helm­
holtz-Spulen und der Levitronbasis bestimmen zu können. Bei der Bestim­
mung der Felder wurden verschiedene Methoden untersucht und untereinander
verglichen. Mit dem Feld eines Ringstroms beginnend, wurde das Feld der
Helmholtz-Spulen durch Superposition erlangt. Dabei wurde besonderes Au­
genmerk auf die Wirkung des Wechselstroms auf die Struktur des Feldes der
Helmholtz-Spulen gelegt.
Anschließend wurde das Feld der Levitronbasis auf verschiedene Weisen berech­
net. Dabei erwies sich die hier gefundene Lösung in vollständigen elliptischen
Integralen als überlegen gegenüber in der Literatur verbreiteten Ansätzen. Dabei
ist die Herleitung aus dem Vektorpotential besonders vorteilhaft, da diese auch
in der Dynamik Gültigkeit besitzt. Des Weiteren können hiermit auch Aussagen
über das Feld im Inneren des Magneten getroffen werden.
Nun wurde das zusammengesetzte Feld aus Helmholtz-Spulen und Levitron­
basis durch Superposition berechnet. Dazu wurde ein geeignetes globales Ko­
ordinatensystem eingeführt und die zugehörigen Koordinatentransformationen
bestimmt. Abschließend wurde die Güte der Superposition anhand von Sprung­
bilanzen verifiziert.
Aufbauend auf dieser Arbeit kann die Dynamik eines magnetischen Kreisels in
dem vorgestellten Versuchsaufbau untersucht werden.
Betrachtung der Sprungbilanzen am Rand der Levitronbasis
VI
Abbildungsverzeichnis
2.1. Ringstrom, rotationssymmetrisch bzgl. der 𝑧-Achse . . . . . . . .
2.2. Normiertes magnetisches Flussfeld eines Ringstroms . . . . . . .
2.3. Zeitliche Änderung des normierten magnetischen Flussfelds eines
6𝜋
Ringstroms für 0 ≤ 𝑡 ≤ 7𝜔
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Zeitliche Änderung des normierten magnetischen Flussfelds eines
8𝜋
Ringstroms für 7𝜔
≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
𝜔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Helmholtz-Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Zeitliche Änderung des normierten magnetischen Flussfelds von
6𝜋
Helmholtzspulen für 0 ≤ 𝑡 ≤ 7𝜔
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Zeitliche Änderung des normierten magnetischen Flussfelds von
8𝜋
≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Helmholtzspulen für 7𝜔
𝜔 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Levitronbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Normiertes magnetisches Flussfeld der Levitronbasis . . . . . . .
3.3. Magnetisches Flussfeld (𝐵) eines Permanentmagneten [Becker u.
Sauter 1973, S. 119] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Normiertes magnetisches Feld H der Levitronbasis . . . . . . . .
3.5. Magnetisches Feld (H) eines Permanentmagneten [Becker u. Sau­
ter 1973, S. 119] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Mit Hilfe der Reihenentwicklung gewonnenes magnetisches Fluss­
feld der Levitronbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Prinzipielle Zusammensetzung der Anordnung . . . . . . . . . . .
Betrachtete Koordinatensysteme für das Gesamtfeld . . . . . . .
Zusammenhang 𝜉- und 𝜂-System . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenhang zwischen dem 𝜉- und 𝜁-System . . . . . . . . . .
Gesamtfeld mit 𝜄 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gesamtfeld mit 𝜄 → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitliche Änderung des gesamten normierten magnetischen Fluss­
6𝜋
felds für 0 ≤ 𝑡 ≤ 7𝜔
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Zeitliche Änderung des gesamten normierten magnetischen Fluss­
8𝜋
felds für 7𝜔
≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
𝜔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9. Oberflächennormalen an einem Querschnitt der Levitronbasis in
der 𝑦˜-˜
𝑧 -Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10. Stetigkeitsuntersuchung des magnetischen Flussfeldes 𝐵 . . . . .
4.11. Stetigkeitsuntersuchung des magnetischen Feldes H . . . . . . . .
11
16
24
25
26
28
29
32
37
37
38
39
41
42
43
43
45
52
52
54
55
56
57
58
Abbildungsverzeichnis
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
4.12. Verlauf der Komponenten des magnetischen Flussfeldes 𝐵 für
ausgewählte Schnitte durch den Magneten . . . . . . . . . . . . .
4.13. Verlauf der Komponenten des magnetischen Feldes H für ausge­
wählte Schnitte durch den Magneten . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildungsverzeichnis
VII
58
59
VIII
Literaturverzeichnis
[Becker u. Sauter 1973] Becker, R. ; Sauter, F.: Theorie der Elektrizität Band 1. 21., völlig neubearbeitete Auflage. Stuttgart : B.G. Teubner Verlag,
1973
[Bronstein u. a. 2008] Bronstein, I.N. ; Semendjajew, K.A. ; Musiol, G.
; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. 7., vollst. überarbeitete und
ergänzte Auflage. Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch, 2008. – ISBN
978–3–8171–2007–9
[Byrd u. Friedman 1971] Byrd, P.F. ; Friedman, M.D.: Handbook of Elliptic
Integrals for Engineers and Scientists. Second Edition. Springer-Verlag, 1971
[Cheng 2006] Cheng, David K.: Field and Wave Electromagnetics. Second
Edition. Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, 2006
[Dreyer 2013] Dreyer, Wolfgang: Skript zur Vorlesung „Grundlagen der Konti­
nuumstheorie II“. 2013. – gehalten im Wintersemester 2013/14
[Großmann u. Roos 2005] Großmann, Christian ; Roos, Hans-Görg: Nume­
rische Behandlung partieller Differentialgleichungen. 3., völlig überarbeitete
und erweiterte Auflage. Wiesbaden : B.G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage,
2005
[Jackson 1975] Jackson, John D.: Classical Electrodynamics. Second Edition.
John Wiley & Sons, 1975. – ISBN 0–471–43132–X
[Müller 2014] Müller, W.H.: An expedition to continuum theory. Berlin :
Springer, 2014 (Solid mechanics and its applications series)
[Pérez u. García-Sánchez 2013] Pérez, Alberto T. ; García-Sánchez, Pablo:
Permanent magnetic levitation of Levitron using periodic magnetic forcing.
In: Proceedings of XLI International Summer School–Conference APM (2013)
[Selvaggi u. a. 2010] Selvaggi, Jerry P. ; Salon, Sheppard J. ; Chari, Madabus­
hi V.: Employing Toroidal Harmonics for Computing the Magnetic Field From
Axially Magnetized Multipole Cylinders. In: IEEE Transactions on Magnets
Vol. 46 (2010), Oktober, Nr. 10
Literaturverzeichnis
Magn. Flussfeld einer Levitronbasis mit Helmholtz-Spulen
i
A. Mathematica-Routinen
Auf den folgenden Seiten sind alle Routinen zur Berechnung der vorgestellten
Felder aufgeführt.
Ringstrom
In[1350]:=
(* Normierung des Gesamtfeldes: mu_0 * I / (2 * Pi * R_H) *)
m[ρ_, z_] = 4 * ρ / ((1 + ρ) ^ 2 + (z) ^ 2);
BHrho[ρ_, z_, t_] =
Cos[2 * Pi * t] * (z) / ρ / Sqrt[(1 + ρ) ^ 2 + (z) ^ 2] * (- EllipticK[m[ρ, z]] +
(1 + ρ ^ 2 + (z) ^ 2) / ((1 - ρ) ^ 2 + (z) ^ 2) * EllipticE[m[ρ, z]]);
BHz[ρ_, z_, t_] = Cos[2 * Pi * t] * 1 / Sqrt[(1 + ρ) ^ 2 + (z) ^ 2] *
(EllipticK[m[ρ, z]] +
(1 - ρ ^ 2 - (z) ^ 2) / ((1 - ρ) ^ 2 + (z) ^ 2) * EllipticE[m[ρ, z]]);
pr = Graphics @ Circle[{1, 0}, 0.1];
With[{frames = 25},
Animate[Show[StreamDensityPlot[{BHrho[ρ, z, t], BHz[ρ, z, t]}, {ρ, 0, 5},
{z, - 2.5, 2.5}, ColorFunction -> Hue, PlotLabel → "B-Feld Ringstrom"], pr],
{t, 0, 1, 1 / (frames - 1)}, AnimationRunning → False]]
Helmholtz-Spulen
(* Normierung des Gesamtfeldes: mu_0 * I / (2 * Pi * R_H) *)
mn[ρ_, z_, n_] = 4 * ρ / ((1 + ρ) ^ 2 + (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2);
BHrho[ρ_, z_, t_] = Cos[2 * Pi * t] *
Sum[(z + (- 1) ^ n * 1 / 2) / ρ / Sqrt[(1 + ρ) ^ 2 + (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2] *
(- EllipticK[mn[ρ, z, n]] + (1 + ρ ^ 2 + (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2) / ((1 - ρ) ^ 2 +
(z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2) * EllipticE[mn[ρ, z, n]]) , {n, 0, 1}];
BHz[ρ_, z_, t_] = Cos[2 * Pi * t] * Sum[1 / Sqrt[(1 + ρ) ^ 2 + (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2] *
(EllipticK[mn[ρ, z, n]] +
(1 - ρ ^ 2 - (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2) / ((1 - ρ) ^ 2 + (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2) *
EllipticE[mn[ρ, z, n]]), {n, 0, 1}];
(* Darstellen mit Hilfskreisen *)
pc1 = Graphics @ Circle[{1, 0.5}, 0.1];
pc2 = Graphics @ Circle[{1, - 0.5}, 0.1];
With[{frames = 25},
Animate[
Show[StreamDensityPlot[{BHrho[ρ, z, t], BHz[ρ, z, t]}, {ρ, 0, 2}, {z, - 1, 1},
ColorFunction -> Hue, PlotLabel → "B-Feld Helmholtz-Spulen"], pc1, pc2],
{t, 0, 1, 1 / (frames - 1)}, AnimationRunning → False]]
Magnetbasis
(* Normierung des Gesamtfeldes: M_0 mu_0 / Pi *)
(* Eingang der Rechnung ist rho/R_M, z/R_M *)
2
Feld.nb
(* Konstanten der Magnetbasis*)
δ = 7 / 19; (* halbe Dicke / R_M *)
H = 4 / 19; (* halbe Höhe / R_M *)
(* Geometriehilfsfunktionen *)
Rn[n_] = 1 + (- 1) ^ n * δ;
Zm[z_, m_] = z + (- 1) ^ m * H;
Dn[ρ_, n_] = ρ + Rn[n];
(* Elliptische Module *)
H2nm[ρ_, z_, n_, m_] = Dn[ρ, n] ^ 2 + Zm[z, m] ^ 2;
k2nm[ρ_, z_, n_, m_] = 4 * ρ * Rn[n] / H2nm[ρ, z, n, m];
h2n[ρ_, n_] = 4 * ρ * Rn[n] / Dn[ρ, n] ^ 2;
(* B-Feld-Komponenten *)
Brho[ρ_, z_] =
Sum[Rn[n] * (- 1) ^ (n + m) / (k2nm[ρ, z, n, m] * Sqrt[H2nm[ρ, z, n, m]]) *
((k2nm[ρ, z, n, m] - 2) * EllipticK[k2nm[ρ, z, n, m]] +
2 * EllipticE[k2nm[ρ, z, n, m]]) , {n, 0, 1}, {m, 0, 1}];
Bz[ρ_, z_] = Sum[ Rn[n] * (- 1) ^ (n + m) / (Sqrt[H2nm[ρ, z, n, m]]) *
Zm[z, m] / (2 * Rn[n]) *
(((2 * Rn[n] / Dn[ρ, n]) - 1) * EllipticPi[h2n[ρ, n], k2nm[ρ, z, n, m]] +
EllipticK[k2nm[ρ, z, n, m]]) , {n, 0, 1}, {m, 0, 1}];
(* Zusammengesetztes B-Feld *)
Bfield[ρ_, z_] = {Brho[ρ, z], Bz[ρ, z]};
(* H-Feld, normiert mit M_0 *)
Hrho[ρ_, z_] = Brho[ρ, z] / Pi;
Hz[ρ_, z_] = Piecewise[
{{Bz[ρ, z] / Pi - 1, ((1 - δ) < ρ < (1 + δ)) && ((- H) < z < (H))}}, Bz[ρ, z] / Pi];
Hfield[ρ_, z_] = {Hrho[ρ, z], Hz[ρ, z]};
(* B-Feld plotten *)
p1 = StreamDensityPlot[Bfield[ρ, z], {ρ, 0, 3}, {z, - 1.5, 1.5},
ColorFunction -> Hue, PlotLabel → "B-Feld Magnetbasis" ];
p2 = Graphics @ Line[{{1 - δ, - H}, {1 + δ, - H}, {1 + δ, H}, {1 - δ, H}, {1 - δ, - H}}];
Show[p1, p2]
(* B-rho-Komponente plotten *)
p3 = DensityPlot[Brho[ρ, z], {ρ, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ}, {z, - 1.5 * H, 1.5 * H},
ColorFunction -> Hue, PlotLabel → "B-rho-Komponente Magnetbasis" ];
Show[p3, p2]
(* B-z-Komponente plotten *)
p4 = DensityPlot[Bz[ρ, z], {ρ, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ}, {z, - 1.5 * H, 1.5 * H},
ColorFunction -> Hue, PlotLabel → "B-z-Komponente Magnetbasis"];
Show[p4, p2]
(* H-Feld plotten *)
p5 = StreamDensityPlot[Hfield[ρ, z],
{ρ, 0, 3}, {z, - 1.5, 1.5}, ColorFunction -> Hue,
Feld.nb
PlotLabel → "H-Feld (Materie-Potential) Magnetbasis"];
Show[p5, p2]
(* H-rho-Komponente plotten *)
p6 = DensityPlot[Hrho[ρ, z],
{ρ, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ}, {z, - 1.5 * H, 1.5 * H}, ColorFunction -> Hue,
PlotLabel → "H-rho-Komponente (Materie-Potential) Magnetbasis"];
Show[p6, p2]
(* H-z-Komponente plotten *)
p7 = DensityPlot[Hz[ρ, z], {ρ, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ},
{z, - 1.5 * H, 1.5 * H}, ColorFunction -> Hue,
PlotLabel → "H-z-Komponente (Materie-Potential) Magnetbasis"];
Show[
p7,
p2]
Gesamtfeld
(* Normierung des Gesamtfeldes: M_0 mu_0 / Pi *)
(* Konstanten der Helmholtz-Spulen*)
ι = 1 / 90; (* I / (2 M_0 R_H) default: 1/90*)
(* Konstanten der Magnetbasis*)
δ = 7 / 19; (* halbe Dicke / R_M *)
H = 4 / 19; (* halbe Höhe / R_M *)
(* Umrechnungsfaktoren *)
RMH = 0.3; (* R_M / R_H < 1 ! *)
DRM = 0.8; (* Offset von Basis und Helmholtzachse, normiert mit R_M*)
(* Helmholtz-Spulen: Eingang ist rho/R_H, z/R_H, t / Periodendauer *)
mn[ρ_, z_, n_] = 4 * ρ / ((1 + ρ) ^ 2 + (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2);
BHrho[ρ_, z_, t_] = ι * Cos[2 * Pi * t] *
Sum[(z + (- 1) ^ n * 1 / 2) / ρ / Sqrt[(1 + ρ) ^ 2 + (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2] *
(- EllipticK[mn[ρ, z, n]] + (1 + ρ ^ 2 + (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2) / ((1 - ρ) ^ 2 +
(z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2) * EllipticE[mn[ρ, z, n]]) , {n, 0, 1}];
BHz[ρ_, z_, t_] = ι * Cos[2 * Pi * t] * Sum[
1 / Sqrt[(1 + ρ) ^ 2 + (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2] * (EllipticK[mn[ρ, z, n]] +
(1 - ρ ^ 2 - (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2) / ((1 - ρ) ^ 2 + (z + (- 1) ^ n * 1 / 2) ^ 2) *
EllipticE[mn[ρ, z, n]]), {n, 0, 1}];
(* Magnetbasis, Eingang ist rho/R_M, z/R_M *)
Rn[n_] = 1 + (- 1) ^ n * δ;
Zm[z_, m_] = z + (- 1) ^ m * H;
Dn[ρ_, n_] = ρ + Rn[n];
H2nm[ρ_, z_, n_, m_] = Dn[ρ, n] ^ 2 + Zm[z, m] ^ 2;
k2nm[ρ_, z_, n_, m_] = 4 * ρ * Rn[n] / H2nm[ρ, z, n, m];
3
4
Feld.nb
h2n[ρ_, n_] = 4 * ρ * Rn[n] / Dn[ρ, n] ^ 2;
BMrho[ρ_, z_] =
Sum[Rn[n] * (- 1) ^ (n + m) / (k2nm[ρ, z, n, m] * Sqrt[H2nm[ρ, z, n, m]]) *
((k2nm[ρ, z, n, m] - 2) * EllipticK[k2nm[ρ, z, n, m]] +
2 * EllipticE[k2nm[ρ, z, n, m]]) , {n, 0, 1}, {m, 0, 1}];
BMz[ρ_, z_] = Sum[ Rn[n] * (- 1) ^ (n + m) / (Sqrt[H2nm[ρ, z, n, m]]) *
Zm[z, m] / (2 * Rn[n]) *
(((2 * Rn[n] / Dn[ρ, n]) - 1) * EllipticPi[h2n[ρ, n], k2nm[ρ, z, n, m]] +
EllipticK[k2nm[ρ, z, n, m]]) , {n, 0, 1}, {m, 0, 1}];
(* Hilfsfunktionen des Gesamtfeldes*)
(* Koordianten für Magnetbasis *)
rhoM[x_, y_] = Sqrt[x ^ 2 + y ^ 2];
zM[z_] = z + DRM;
phiM[x_, y_] = ArcTan[x, y];
(* Koordianten für Helmholtzspulen *)
rhoH[x_, z_] = RMH * Sqrt[x ^ 2 + z ^ 2];
zH[y_] = - RMH * y;
phiH[x_, z_] = ArcTan[x, z];
(* Gesamtfeld*)
Bx[x_, y_, z_, t_] = BHrho[rhoH[x, z], zH[y], t] * Cos[phiH[x, z]] +
BMrho[rhoM[x, y] , zM[z]] * Cos[phiM[x, y]];
By[x_, y_, z_, t_] = BMrho[rhoM[x, y] , zM[z]] * Sin[phiM[x, y]] BHz[rhoH[x, z], zH[y], t] ;
Bz[x_, y_, z_, t_] = BHrho[rhoH[x, z], zH[y], t] * Sin[phiH[x, z]] +
BMz[rhoM[x, y] , zM[z]];
(* H-Feld, normiert mit M_0 *)
Hx[x_, y_, z_, t_] = Bx[x, y, z, t] / Pi;
Hy[x_, y_, z_, t_] = By[x, y, z, t] / Pi;
Hz[x_, y_, z_, t_] =
Piecewise[{{Bz[x, y, z, t] / Pi - 1, ((1 - δ) < Sqrt[x ^ 2 + y ^ 2] < (1 + δ)) &&
((- H - DRM) < z < (H - DRM))}}, Bz[x, y, z, t] / Pi];
(* Hilfsgeometrie zur Visualisierungshilfe *)
p2 = Graphics @ Line[{{1 - δ, - H - DRM}, {1 + δ, - H - DRM},
{1 + δ, H - DRM}, {1 - δ, H - DRM}, {1 - δ, - H - DRM}}];
p3 = Graphics @ Line[{{- 1 + δ, - H - DRM}, {- 1 - δ, - H - DRM},
{- 1 - δ, H - DRM}, {- 1 + δ, H - DRM}, {- 1 + δ, - H - DRM}}];
p4 = Graphics @ Circle[{1 / (2 * RMH), 1 / (2 * RMH)}, 0.1];
p5 = Graphics @ Circle[{- 1 / (2 * RMH), 1 / (2 * RMH)}, 0.1];
p6 = Graphics @ Circle[{1 / (2 * RMH), - 1 / (2 * RMH)}, 0.1];
p7 = Graphics @ Circle[{- 1 / (2 * RMH), - 1 / (2 * RMH)}, 0.1];
With[{frames = 25},
Animate[Show[StreamDensityPlot[{By[0, y, z, t], Bz[0, y, z, t]}, {y, - 2, 2},
{z, - 2, 2}, ColorFunction -> Hue, PlotLabel → "B-Feld, kombiniert",
StreamPoints → Fine], p2, p3, p4, p5, p6, p7],
{t, 0, 1, 1 / (frames - 1)}, AnimationRunning → False]]
With[{frames = 25},
Animate[Show[DensityPlot[By[0, y, z, t],
Feld.nb
{y, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ}, {z, - 1.5 * H - DRM, 1.5 * H - DRM},
ColorFunction -> Hue, PlotLabel → "B-y-Komponente, kombiniert"], p2],
{t, 0, 1, 1 / (frames - 1)}, AnimationRunning → False]]
With[{frames = 25},
Animate[Show[DensityPlot[Bz[0, y, z, t],
{y, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ}, {z, - 1.5 * H - DRM, 1.5 * H - DRM},
ColorFunction -> Hue, PlotLabel → "B-z-Komponente, kombiniert"], p2],
{t, 0, 1, 1 / (frames - 1)}, AnimationRunning → False]]
With[{frames = 25},
Animate[Show[StreamDensityPlot[{Hy[0, y, z, t], Hz[0, y, z, t]},
{y, - 2, 2}, {z, - 2, 2}, ColorFunction -> Hue,
PlotLabel → "H-Feld, kombiniert (mat. Potential)"], p2, p3, p4,
p5, p6, p7], {t, 0, 1, 1 / (frames - 1)}, AnimationRunning → False]]
With[{frames = 25},
Animate[Show[DensityPlot[Hy[0, y, z, t], {y, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ},
{z, - 1.5 * H - DRM, 1.5 * H - DRM}, ColorFunction -> Hue,
PlotLabel → "H-y-Komponente, kombiniert (mat. Potential)"], p2],
{t, 0, 1, 1 / (frames - 1)}, AnimationRunning → False]]
With[{frames = 25},
Animate[Show[DensityPlot[Hz[0, y, z, t], {y, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ},
{z, - 1.5 * H - DRM, 1.5 * H - DRM}, ColorFunction -> Hue,
PlotLabel → "H-z-Komponente, kombiniert (mat. Potential)"], p2],
{t, 0, 1, 1 / (frames - 1)}, AnimationRunning → False]]
Plot[By[0, y, - DRM, 0], {y, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ}, GridLines →
{{{1 - δ, Directive[Black, Thick]}, {1 + δ, Directive[Black, Thick]}}},
Ticks → {Automatic, None}]
Plot[By[0, 1, z, 0], {z, - 1.5 * H - DRM, 1.5 * H - DRM}, GridLines →
{{{- H - DRM, Directive[Black, Thick]}, {H - DRM, Directive[Black, Thick]}}},
Ticks → {Automatic, None}]
Plot[Bz[0, y, - DRM, 0], {y, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ}, GridLines →
{{{1 - δ, Directive[Black, Thick]}, {1 + δ, Directive[Black, Thick]}}, {}},
Ticks → {Automatic, None}]
Plot[Bz[0, 1, z, 0], {z, - 1.5 * H - DRM, 1.5 * H - DRM}, GridLines →
{{{- H - DRM, Directive[Black, Thick]}, {H - DRM, Directive[Black, Thick]}}},
Ticks → {Automatic, None}]
Plot[Hy[0, y, - DRM, 0], {y, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ}, GridLines →
{{{1 - δ, Directive[Black, Thick]}, {1 + δ, Directive[Black, Thick]}}},
Ticks → {Automatic, None}]
Plot[Hy[0, 1, z, 0], {z, - 1.5 * H - DRM, 1.5 * H - DRM}, GridLines →
{{{- H - DRM, Directive[Black, Thick]}, {H - DRM, Directive[Black, Thick]}}},
Ticks → {Automatic, None}]
Plot[Hz[0, y, - DRM, 0], {y, 1 - 1.5 * δ, 1 + 1.5 * δ}, GridLines →
5
6
Feld.nb
{{{1 - δ, Directive[Black, Thick]}, {1 + δ, Directive[Black, Thick]}}},
Ticks → {Automatic, None}]
Plot[Hz[0, 1, z, 0], {z, - 1.5 * H - DRM, 1.5 * H - DRM},
GridLines → {{{- H - DRM, Directive[Black, Thick]},
{H - DRM, Directive[Black, Thick]}}, {}}, Ticks → {Automatic, None}]