mechatronik 1

MECHATRONIK 1
GRUNDLAGEN DER ELEKTROTECHNIK
Aufgabensammlung
Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik
www.ime.jku.at
1
Elektrostatik
1.1
Aufgabe: Vektorrechnung
~ × V~ und U
~ · V~ .
~ = (Ux , 0, 0)T , V~ = (Vx , Vy , Vz )T . Berechnen Sie U
U
1.2
Aufgabe: Nabla-Operator


∂/∂x
~ =  ∂/∂y  die folgenden Ausdrücke.
Berechnen Sie mit Hilfe des Nabla-Operators ∇ = ∇
∂/∂z
 
x
~r bezeichnet dabei den Vektor ~r =  y , während r eine skalare Funktion r = r (x, y, z)
z
darstellt
1
1. ∇ |~r−~
r0 |
2. ∇ · ~r
3. ∇r
4. ∇ ϕ(r)
r
1.3
Aufgabe: Divergenz und Rotation
~ = divU
~ und ∇ × U
~ = rotU
~ für:
Bestimmen Sie ∇ · U
 3 3 2 
2x y z
~

3xy 2 z 2 
U=
x4 yz + 2
~ ein Gradientenfeld?
allgemein und speziell für den Punkt (1, 2, 2). Ist U
1
1.4
Aufgabe: Kraft auf ein Elektron
Ein freies Elektron (Masse me = 9, 11·10−31 kg) besitzt zum Zeitpunkt t0 die Geschwindigkeit
~ = 100 V/m beschleunigt. In welche Richtung
v = 0 und wird in einem elektrischen Feld E
bewegt sich das Elektron, welche Geschwindigkeit erreicht es nach einer Strecke von 1 cm
und wie lange braucht es dazu?
1.5
Aufgabe: Coulombsches Gesetz
Für das elektrische Feld (im Vakuum) am Punkt ~x, das von einer Punktladung q am Ort ~x1
herrührt (siehe Abbildung) ergibt sich:
~ x) = q1
E(~
~x − ~x1
4πε0 |~x − ~x1 |3
P
E
q1
x
x1
0
Skizzieren Sie das elektrische Feld (Feldlinien und Feldstärke) in der Umgebung einer Punkt~ = −∇ϕ). Welche Kraft wirkt auf
ladung und geben Sie das zugehörige Potential ϕ an (E
eine zweite Punktladung q2 in diesem Feld?
1.6
Aufgabe: Elektrisches Feld mehrerer Ladungen
In einem Raum befinden sich drei nicht auf einer Geraden liegende Punktladungen Q1 > 0,
Q2 < 0 und Q3 < 0. Geben Sie allgemein die von Q1 bzw. Q2 am Ort von Q3 verursachten
~ 13 und E
~ 23 und die daraus resultierende Feldstärke E
~ sowie die Kraft F~ auf
Feldstärken E
Q3 an.
1.7
Zusatzaufgabe: Kräftegleichgewicht im elektrischen Feld
Die positive Ladung Q1 = Q0 befindet sich am Ort x = 0 und die positive Ladung Q2 = 4Q0
am Ort x = d. Eine dritte Ladung Q3 ist in der Verbindungslinie der beiden Ladungen Q1
und Q2 so plaziert, dass sich das Gesamtsystem im Kräftegleichgewicht befindet. Bestimmen
Sie den Ort x der Ladung Q3 , ihren Betrag und ihr Vorzeichen.
2
Lösung:
Hinweis: Summe aller Kräfte an jeder Ladung ist null (Kräftegleichgewicht) ⇒ Coulombsches
Gesetz ⇒ quadratische Gleichung des Ortes x
x=
d
3
Q3 = −
1.8
Q2
9
= − Q1
9
4
Zusatzaufgabe: Elektronenstrahlröhre
Die Oszillographenröhre besteht aus einer Elektronenkanone (Glühkathode und longitudinales elektrisches Feld). Mit Hilfe der Spannung UB werden die Elektronen auf eine Geschwindigkeit v0 beschleunigt. Diese treten dann in das durch die Spannung UD erzeugte
elektrische Feld ein und werden abgelenkt. Auf dem Leuchtschirm entsteht im Auftreffpunkt
P des Elektronenstrahles ein heller Lichtpunkt, dessen Koordinaten in Abhängigkeit von UD
berechnet werden soll. Zur Vereinfachung soll ein homogenes elektrisches Feld im Bereich
der Platten angenommen werden. Streufelder sind vernachlässigbar.
1. Stellen Sie im Bereich der Ablenkplatten die Bahnkoordinaten x(t) und y(t) in Abhängigkeit
der Zeit t auf und stellen Sie eine Gleichung y(x) für die Elektronenbewegung auf.
2. Berechnen Sie den Austrittswinkel des Elektronenstrahls.
3. Stellen Sie eine Gleichung y(x) für dı́e Elektronenbewegung nach dem Passieren der
Ablenkplatten auf und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P .
3
Lösung
Hinweis: Die eigentliche Herausforderung hier liegt in der Kinematik (Bewegungsgleichung)
- die Elektrostatik ist sehr ähnlich zu Aufgabe 1.4.
1. y(x) =
eU0
x2
2me dv02
0
2. α = arctan( meU
2 l)
e dv0
³
´
0
3. y(x) = arctan meU
l
(x − l) =
2
e dv
0
1.9
eU0
l2
2me dv02
⇒P
Zusatzaufgabe: Potential einer Punktladung
Berechnen Sie das Potential im Abstand r von der Punktladung Q1 sowie die potentielle
Energie einer Ladung Q im Abstand r von der Punktladung. Geben Sie mit diesen Ergebnissen die Beziehungen für die Spannung und die Differenz der potentiellen Energie der Ladung
Q zwischen den Punkten A und B an.
Lösung:
R
Hinweis: E = −∇ϕ ⇒ ϕ = − Eds; Integrationskonstante ϕ(→ ∞) = 0
ϕ(r) =
Q1
4π²0
Wel (r) = Qϕ
1.10
Zusatzaufgabe: Elektrisches Potential
Berechnen Sie für das Potential ϕ = ax2 y −b(x+y +z)+c die Komponenten der elektrischen
~
Feldstärke E.
Lösung:
Hinweis: Gradient des Potentials ergibt Feldstärke (nicht für Test relevant).
1.11
Aufgabe: Elektrostatisches Feld an Grenzflächen
~ und E
~ an der Grenzfläche zweier Dielektrika? Beschreiben und skizWie verhalten sich D
zieren Sie das daraus resultierende Brechungsgesetz.
Wie verhalten sich die Feldvektoren an der Grenzfläche Metall-Dielektrikum?
4
1.12
Aufgabe: Plattenkondensator mit geschichtetem Medium
~ und die elektrische Feldstärke E
~ in einem geZeichnen Sie die elektrische Flussdichte D
ladenen (Ladung Q) Plattenkondensator mit a) parallel und b) senkrecht geschichtetem
Dielektrikum (ε1 > ε2 ) schematisch in Feldliniendarstellung.
Der Kondensator hat die Plattenhöhe h = 10 cm, Plattenbreite b = 15 cm und Plattenabstand d = 1 cm. Die dielektrischen Schichten ε1 = 4·ε0 und ε2 = 2.7·ε0 sind bei x = 6.25 mm
bzw. y = 5.3 cm getrennt.
~ D,
~ die Spannung U und die Kapazität C für beide Anordnungen für eine
Berechnen Sie E,
Gesamtladung Q = 18 nC.
1.13
Zusatzaufgabe: Plattenkondensatormaterialien
Gegeben sein ein Luftkondensator mit C = 1pF und εe = 1. Zu berechnen ist
1. Wie groß ist C, wenn statt Luft Teflon eingeschoben wird? (εr = 2.1)
2. Wie groß ist C, wenn die Hälfte der Dicke aus Teflon besteht? (d/2 Luft, d/2 Teflon)
3. Wie groß ist C, wenn die Hälfte der Fläche aus Teflon besteht? (A/2 Luft, A/2 Teflon)
Lösung:
1. Ca = 2.1pF
2. Cb = 1.35pF
3. Cc = 1.55pF
1.14
Zusatzaufgabe: Drehkondensator
Gegeben ist der abgebildete Drehkondensator, welcher aus zwei parallelen halbrunden Leiterplatten (Radius R) des Abstandes d besteht. In Abhängigkeit des Drehwinkels kann die
Kapazität verändert werden. Es soll eine homogene Feldverteilung zwischen den Platten
angenommen werden. Außerhalb dieser sei das Feld vernachlässigbar.
1. Bei welchem Winkel tritt die maximal erreichbare Kapazität auf, und wie groß ist sie?
Wie groß ist in diesem Fall (bei bekannter Spannung U ) die Flächenladungsdichte auf
den Platten?
2. Berechnen Sie die Kapazität in Abhängigkeit des Drehwinkels α.
3. Berechnen Sie die Spannung U (α) in Abhängigkeit des Drehwinkels. Nehmen Sie an,
dass U (0) = U0 ist und die Gesamtladung beim Drehen konstant bleibt.
5
Lösung:
Hinweis: Es wird eine homogene Feldverteilung angenommen und Streufelder werden vernachlässigt.
2
1. Cmax ist bei 0◦ ; Cmax = ε πR
; σ = ε0 U/d
2d
2. C(α) = ε0 (π−α)R
2d
3. U (α) =
1.15
2
π
U
π−α 0
Aufgabe: Kraftwirkung im elektrischen Feld
Wie groß ist die zwischen den Platten eines Plattenkondensators auftretende maximale Anziehungskraft je cm2 , wenn die Durchschlagsfeldstärke mit 30 kV/cm und ein homogenes
Feld angenommen werden?
1.16
Aufgabe: Kondensatornetzwerk (Albach Bsp. 1.6)
Vereinfache das Kondensatornetzwerk mit den Kapazitäten C2 = 2C1 und C3 = C4 = C1 .
Welchen Gesamtkapazität hat das Kondensatornetzwerk an der Klemmen 1-0?
Welchen Gesamtkapazität hat das Kondensatornetzwerk an der Klemmen 2-0, wenn die
Gleichspannungsquelle durch einen Kurzschluss ersetzt wird?
An das Netzwerk wird die Gleichspannung U2 angeschlossen. Welchen Wert hat die Spannung
U1 ?
1.17
Zusatz nur für sehr Interessierte: Kraft auf Grenzflächen
Hinweis: Dient nur zur Veranschaulichung wofür der Lösungsweg (virtuelle Verschiebung) von
Aufgabe 1.15 benötigt wird. Es muss die Änderung der zugeführten Energie der Quelle, der
gespeicherte Energie im Kondensator und der mechanischen Energie berücksichtigt werden.
Gegeben sei der dargestellte Bandgenerator. Erzeugte Ladungen (durch mechanische Reibung) werden auf ein bewegtes, isolierendes Band aufgesprüht (Funkenstrecke), sitzen dort
fest (Isolator), und werden dann mechanisch ins Innere der Kugel gebracht. Von dort werden
sie mit einer Metallelektrode (Metallkamm) abgesaugt und auf die Oberfläche der Hohlkugel transportiert, wo sie sich verteilen. Die erzeugte Spannung wird abgegriffen und an
einen Plattenkondensator angelegt, dessen Elektroden teilweise in Trafoöl eintauchen. Durch
ständiges Drehen an der Kurbel des Bandgenerators bewegt sich das Öl im Bereich zwischen
den Platten auf und ab.
6
1. Warum ist das so?
2. Berechnen Sie die Steighöhe h in Abhängigkeit der am Kondensator auftretenden Spannung U .
7
2
Elektrisches Strömungsfeld
2.1
Aufgabe: Widerstandsberechnung
k
ri
b
ra
I
I
U
Gegeben ist ein leitender Bügel, der die Form eines halbierten Hohlzylinders besitzt (Leitfähigkeit
κ, Breite b, Innenradius ri , Außenradius ra ). An seinen quadratischen Kontaktflächen wird
ein Strom I eingespeist. Berechnen Sie den Verlauf der Stromdichte und den Widerstand.
2.2
Zusatzaufgabe: Kugelerder
Im Bild ist das Prinzip und der Potentialverlauf eines metallischen Halbkugelerders mit dem
Radius rE = 2 m für einen Hochspannungsmast dargestellt. Bei einem Kurzschluß fließt ein
Strom von 100 A ins Erdreich, dessen Leitfähigkeit 0.05 S/m sei.
1. Berechnen Sie die Verläufe der Feldstärke, der Stromdichte und des Potentials im
Erdreich und bestimmen Sie den Erdungswiderstand.
2. Wie groß ist die auf einen Menschen bei einer Schrittweite von 1 m wirkende Spannung,
die sogenannte Schrittspannung zwischen den Füßen? Welchen Maximalwert kann die
Spannung annehmen?
3. Auf welchen Wert darf sich die Leitfähigkeit ändern, damit die maximale Schrittspannung 65 V nicht übersteigt?
Lösung:
J=
I
er
2πr
8
(1)
Mit Leitfähigkeit σ:
E=
J
σ
I
ϕ(r) = ϕ(rE ) −
2πσ
ϕ(∞) = 0 ⇒ ϕ(rE )
(2)
µ
1
1
−
rE
r
¶
(3)
(4)
Maximale Schrittspannung: us,max = 53V
Minimale Leitfähigkeit: σmin = 0.04 S/m
2.3
Aufgabe: Verlustleistung
Berechnen Sie die Verlustleistungsdichte und die Verlustleistung je Längeneinheit in einem
Kupferdraht mit einem Querschnitt von 2mm2 (spezifischer Widerstand 0, 0175 Ωmm2 /m)
bei einer Stromdichte von 10A/mm2 .
2.4
Aufgabe: Verbraucher an zweiadriger Leitung
Für eine zweiadrige Al-Leitung mit 2.5 mm2 Querschnitt wird eine zulässige Stromdichte
von 10A/mm2 angegeben. Darf ein 30A-Verbraucher damit angeschlossen werden?
2.5
Zusatzaufgabe: Driftgeschwindigkeit
In einer Kupferschiene mit einem rechteckigen Querschnitt von 7cm2 fließt ein Gleichstrom
I = 300A. Wie groß ist die zugehörige Driftgeschwindigkeit der Leitungselektronen? (Elektronendichte in Cu: 8.6 1022 cm−3 )
Lösung:
I = JA = envA
⇒v=
2.6
I
300A
=
−19
enA
1.6 · 10 As 8.6 · 1022 (106 m−3 ) 7 · 10−7 m2
m
v = 31.15 · 10−6
s
Aufgabe: Akkumulator
Ein Akkumulator wird, ausgehend von 0Ah, 10h mit 5A aufgeladen und anschließen 4h
mit 10A entladen. Geben Sie die Funktion ∆Q(t) an und kontrollieren Sie das Ergebnis
durch Bildung von i = dQ/dt. (Lösungshinweis: Fallunterscheidung für die drei Zeitbereiche
einführen.)
2.7
Zusatzaufgabe: PKW-Batterie
Ein Kraftfahrer hat beim Parken seines PKW vergessen, die Beleuchtung abzuschalten
(Stromverbrauch 8A). Der 12V-Akkumulator (Nennkapazität 56Ah) besaß infolge unzureichender Aufladung (und tiefer Temperaturen) nur noch die Hälfte seiner Nennwerts. Welche
Kapazität hat er nach 3h?
9
Lösung:
Q(t = 3h) =
3
56Ah
− 8A · 3h = 4Ah
2
(5)
Einfache elektrische Netzwerke
3.1
Aufgabe: Spannungsteiler
Berechnen Sie u5 für die angegebene Schaltung a). Hinweis: Zeichnen Sie die Schaltung durch
Zusammenfassen von Widerständen so um, dass die Grundschaltung des Spannungsteilers
entsteht (Schaltungen b) und c) ).
3.2
Zusatzaufgabe: Ersatzwiderstand
Berechnen Sie die Ersatzwiderstände RAB für die Netzwerke in den Bildern a) bis d).
Lösung:
Bild a:
RAB = R1 + R2
Bild b:
RAB = R1
Bild c:
RAB = R1 + R2 + (R3 ||R4 ||(R5 + R7 ))
R3 R4 (R5 + R7 )
= R1 + R2 +
R3 R4 + (R3 + R4 )(R5 + R7 )
10
3.3
Aufgabe: Spannungsmessgerät
Durch den endlichen Innenwiderstand von Spannungsmessgeräten kommt es zu einer Messwertverfälschung. Das wird im folgenden Beispiel an der Spannungsmessung an einem Spannungsteiler erläutert.
1. Berechnen Sie im Schaltbild a) ohne Voltmeter den Widerstand R1 allgemein und für
Ri = 0, R2 = 20kΩ und Uq = 15V, damit U = Uq /3.
2. Welche Spannung U ∗ (Bild b) wird mit einem Universalmessgerät (Innenwiderstand
Rv = 160kΩ) sowie einem Digitalvoltmeter (Innenwiderstand Rv = 10MΩ) gemessen.
3. Was zum Überlegen (wird nicht in der UE gerechnet): Welche absoluten und relativen
Fehler treten durch den endlichen Innenwiderstand der Meßgeräte auf?
3.4
Zusatzaufgabe: Reale Spannungsquelle
Die Leerlaufspannung Ul und der Innenwiderstand Ri der Spannungsquellenersatzschaltung
des Akkumulators eines Kfz sind messtechnisch zu bestimmen. An den Klemmen des Akkumulators wird mit einem hochohmigen Voltmeter (Rv >> Ri ) eine Leerlaufspannung
Ul = 12.5V bestimmt (Bild a). Beim Anlassen des Motors werden eine Klemmenspannung
von 11V sowie ein Strom von 200A gemessen (Bild b), RL ) ist der Widerstand der Verbindungsleitungen. Wie bestimmen Sie den Kurzschlussstrom?
11
Lösung:
aus Bild b:
U = Ul − Ri I
Ul − U
= 7.5mΩ
⇒ Ri =
I
Kurzschlussstrom:
IK =
3.5
Ul
= 1.67kA
Ri
Aufgabe: Superposition (Albach)
Für das gegebenen Netzwerk sollen die Ströme in allen Widerständen berechnet werden. Die
Spannungen sind dann wegen U = RI ebenfalls an allen Widerständen bekannt.
Gehen Sie dabei in folgenden Schritten vor:
1. Vereinfachen Sie das Netzwerk durch Zusammenfassung von geeigneten Widerständen.
2. Berechnen Sie die Teillösungen für jeweils nur eine Quelle (Überlagerungsprinzip).
3. Geben Sie die Beziehungen für alle Ströme des Ausgangsnetzwerks (Abbildung) an.
3.6
Zusatzaufgabe: Maschen und Knoten
Berechnen Sie die drei unbekannten Zweigströme in der Schaltung b). Stellen Sie die Maschengleichungen für die beiden Maschen 1 und 2 sowie die Knotengleichung für den Knoten
3 auf.
12
Lösung für i1 :
M 1 : −Uq1 + R1 I1 + R3 I3 = 0
M 2 : Uq2 − R2 I2 − R3 I3 = 0
K : i1 + i2 − i3 = 0
Hinweis: i3 aus K in M1 und M2 einsetzen, dann kann nach den gesuchten Strömen gelöst
werden.
i1 =
3.7
Uq1 (R2 + R3 ) − Uq2 R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
Aufgabe: Brückenschaltung (Albach)
In dem gegebenen Netzwerk werden die Widerstände R2 und R3 synchron in einem Wertebereich 0 . . . 50 Ω eingestellt. Die Quellenspannung beträgt U0 = 30V.
1. Welche Werte müsste RL aufweisen, damit der bei der Einstellung R2 = R3 = 30Ω
maximale Leistung aufnimmt?
2. Wie groß ist in diesem Fall der Wirkungsgrad (Verhältnis der an RL abgegebenen
Leistung zur zugeführten Leistung)
3.8
Aufgabe: RC-Netzwerk
Gegeben ist folgendes RC-Netzwerk mit einer Gleichspannung U.
1. Berechnen Sie Spannung U1 und U2 in Abhängigkeit von U.
2. Welche Energien sind in den beiden Kondensatoren gespeichert.?
3. Welche Leistung gibt die Quelle an die Widerstände ab?
13
Superpositions~esetzfiir lineare Netzwerke (Helmholtz)
Enthalt ein lineares Netzwerk ( a NWteil ohne z.B. Dioden!) mehrere Quellen, so kann der Strom bzw. die
Spannung in einem Zweig durch Superponieren der Wirkungen der einzelnen Quellen bestimmt werden.
D.h.: Es wird jeweils nur eine Quelle betrachtet, alle anderen werden entfernt ( a Spannungsquelle: U=O
(KS), Stromquelle: 1=0 (Leerlauf) ). Nun wird der Strom oder die Spannung im Zweig bestimmt. Dies wird
fur alle Quellen durchgefuhrt und abschlieaend werden die Einzelwirkungen uberlagert.
$\\\\\YL\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\YL\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\YL\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\YL\\\\\\\\\\F
Beispiel 1) Geaeben:
[q2w@
Gesucht: U,
Ufl=1 ov
Uo
IF l OmA
F
A
k*
Q a) Bestimmung von UUI,dem Anteil aufgrund der Spannungsquelle Uo:
$
b) Bestimmung von UU2,dem Anteil aufgrund der Stromquelle lo:
8b c) Superponieren der Einzelwirkungen:
U, = U,,
+ U,,
$k
= 7.5 V
Achtung: Beim Betrachten der ~ i n z e l w i r k u n ~ kkonnen
n
Leerlaufe und Kurzschliisse auftreten.
'"
Die Spgs.-quelle liefert keinen Beitrag zu U,
! (Die ideale Stromquelle halt I. aufrecht)
Die Stromquelle liefert keinen Beitrag zu U, !
" (Die ideale Spannungsquelle halt Uo aufrecht)
10
Beispiel 2)
12
r
R3
Wird in der Übung
gerechnet!
Geaeben: Ul = 1OV, U2 = 2V
Il = 0.5mA
Rl = 2kQ, R2 = 100Q
R3 = 1OkR, RL= 2kQ
ua,
Gesucht:
Losungswege:
a) Bestimmung von U, und I2mittels Superposition der Wirkungen der 3 Einzelquellen (UI, U2, I,).
Lsg: U, = 0.09V + 1.802V + OV = 1.892V, I2 = -0.9mA -t 1.982mA - 0.5mA = 0.582mA
b) Bestimmung einer Ersatzspannungsquelle fur den Schaltungsteil linksseitig der gegebenen Klemmenanschlusse, indem ULL(fur das Netzwerk ohne RL) und R, (fur U]=Uz=O (KS),I,=O (LL)) bestimmt wird.
Lsg: Uo = 0.0943V + 1.887V + OV = 1.9813V (mittels Superposition bestimmt), R, = RIIIR211R3=94.34S2
Mit dieser Ersatzquelle Iasst sich Uo einfach berechnen:
$ c) Bestimmung einer Ersatzstromquelle
h
K
\
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\
\
*
h
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\
\
~
h
\
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\
\
\
\
\
*
h
\
\
\
\
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*
h
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\
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\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
~
Lsg: I,) = ImA
un= uo
-I-
R~
=1.892V
Ri,+ R,
20mA+OmA = 21mA (mittels Superposition bestimmt).
a) Bestimmen Sie den Vorwiderstand so, dass die Spannung Up zwischen 0 V und 10 V variierbar ist.
b) In welchen Grenzen kann sich der Gesamtwiderstand
der Schaltung andern ?
c) Welchen GroRtwert IIma,kann der Strom Il erreichen ?
d) Fur welche Verlustleistung Pv mussen der Vorwiderstand und das Potentiometer mit Rucksicht auf Ilm,
ausgelegt sein ?
Ein rnit dern Widerstand RL belasteter Spannungsteiler
sei aufgebaut mit einem Potentiometer in Verbindung mit
dem Vorwiderstand R1.
a) Man berechne die groRtmoglichen Abweichungen ART
und AR2 vom Nennwert.
b) Welche Ausgangsspannung U2 ergabe sich bei
tolerandreien Widerstanden ?
c) Urn wieviel % weicht die Ausgangsspannung Ug ab,
wenn nur eine Abweichung AR1 mit +lo% auftritt ?
d) Urn wieviel % weicht die Ausgangsspannung Up ab
bei R ~ = 1 8 0 R + 1 0 % u n d R p = 8 2 0 R - 1 0 % ?
Naherungsrechnung genugt !
Ein Spannungsteiler sei aufgebaut mit den 10% -Widerstanden R1 = 180 R und Rp = 820 R.
RRes= 0,98.Ro entstehen
a) Bestimmen Sie die Widerstande Rp und Rges.
b) Wie groR ist die Spannung U bei einem Strom
1=100mA?
c) Wie teilt sich der Strom I = 100 mA auf beide Widerstande auf ?
d) Welche Toleranz ergibt sich fur den Gesamtwiderstand
aufgrund der Ungenauigkeit des Widerstandes Rp ?
Gegeben sei ein Prazisionswiderstand Ro = 4 R rnit vernachlassigbarer Toleranz. Durch die Parallelschaltung
mit einem 2%-Widerstand Rp sol1 ein Gesamtwiderstand
a) Wie groR kann die Abweichung AR vom Nennwert aufgrund der Toleranzvorgabe sein ?
b) Welche Spannung U und welcher Strom I ergeben
die maximal zulassige Verlustleistung,,P
,
?
c) Welche Temperaturanderung AT und welche Widerstandsanderung AR erfahrt der Widerstand durch
die maxirnale Verlustleistung,,P
,
?
d) Wie heiR wird die Widerstandsschicht bei maximaler
Verlustleistung und einer Umgebungsternperatur
TU = 20°C ?
Zu einem Metallschichtwiderstand werden nebenstehende Daten genannt:
B4 / B6 und B7 zum üben für die Klausur!
12, 16
und lo zu den fol-
a) Zeichnen Sie die I-U-Kennlinie des Varistors.
b) Welche Funktion u = f(i) fur uges= 100 V ergibt sich
durch einen Maschenumlauf ?
c) Stellen Sie die Funktion im I-U-Feld graphisch dar.
d) lnterpretieren Sie die Bedeutung des Schnittpunktes
mit der I-U-Kennlinie des Varistors.
e) Welche Betriebswerte fur i und u ergeben sich
bei ug, = IOOV?
Ein Varistor (VDR) werde mit einem linearen Widerstand
R = 1000 R in Reihe geschaltet. Die I-U-Kennlinie des
Varistors wird in Tabellenform angegeben.
a) Schalter S offen, Rg = 1 kR.
b) Schalter S geschlossen, R3 = m.
c) Schalter S geschlossen, R3 = 0.
d) Schalter S geschlossen, Rg = 1 kR.
Bestimmen Sie die Strome I1,l2und l3sowie die Spannung U3fur folgende Falle:
Gegeben sei die nebenstehende Widerstandsschaltung
zwischen einem positiven und einern negativen Betriebspotential.
Die eingetragenen Strompfeile sind Zahlpfeile, rnit
denen die positive Strornrichtung definiert wird.
a) Stellung 0,
b) Stellung M (Mitte),
c) Stellung 1.
Bestimmen Sie die Strome 11,
genden Schleiferstellungen:
Eine Brijckenschaltung aus einern 100 kR-Potentiometer
und den Widerstanden R1 und Rp enthalt im Bruckenzweig einen praktisch widerstandsfreien Stromrnesser.
Ein Fotowiderstand RF sei angeschlossen an einen
Spannungsteiler. Sein Widerstand kann sich zwischen
10 L2 irn Hellzustand und 10 ML2 im Dunkelzustand andern.
a) Welchen Maximalwert kann die Spannung UF am
Fotowiderstand annehrnen ?
b) Welchen Maximalwert kann der Strom IFim Fotowiderstand annehmen ?
c) Wie groR kann die Verlustleistung Pv im Fotowiderstand maximal werden ?
d) Welche Clbertemperatur kann irn Fotowiderstand aufgrund der Verlustleistung maximal auftreten ?
4
Elektromagnetismus
4.1
Aufgabe: Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
Wie groß ist die Kraft, die zwischen zwei parallelen Leitern mit rechteckförmigem Querschnitt
(Sammelschienen) im Abstand d = 25cm auftritt, die gegensinnig von einem Kurzschlussstrom I = 25kA durchflossen werden?
4.2
Zusatzaufgabe: Verhalten an Grenzflächen
~ und H-Linien
~
1. Zeichnen Sie die Ban einer ebenen Grenzfläche zweier Medien 1 und 2
~
~
unter der Voraussetzung, dass die B- und H-Linien
im Medium 1 mit 60◦ zur Normalen
auf die Grenzfläche treffen, und zwar für
1. (a) µ2 < µ1 qualitativ
1. (b) sowie für µ2 =
µ1
2
quantitativ.
~ und H
~ aufgrund der Stetigkeitsbedingungen bei senkrecht auf die
2. Wie ändern sich B
Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum (µ1 = µ) und Luft (µ2 = µ0 ) stehenden Feldlinien?
~ und H
~ aufgrund der Stetigkeitsbedingungen bei parallel zur Grenz3. Wie ändern sich B
fläche zwischen Ferromagnetikum (µ1 = µ) und Luft (µ2 = µ0 ) verlaufenden Feldlinien?
Hinweis:
Ziel diese Zusatzaufgabe ist, dass Sie sich das Feldverhalten für ferromagnetische Materialien
überlegen - von Bedeutung sind also Punkt 2 und 3. Überlegungen sind analog zu Elektrostatik!
• Feldlinien treten näherungsweise senkrecht aus ferromagnetischen Materialien aus bzw.
ein.
• Hoher magn. Widerstand in Luft und geringer magn. Widerstand im ferromagnetischen
Material haben zur Folge, dass in vielen Fällen das Feld in der Luft vernachlässigt
werden kann.
4.3
Aufgabe: Magnetischer Fluss
~ und der magnetische Fluss Φ zusammen?
1. Wie hängen die magnetische Flussdichte B
~ = 1 T. Bestimmen Sie den
2. Ein Elektromagnet erzeugt eine magnetische Flussdichte B
magnetischen Fluss Φ der auf einer Querschnittsfläche von A = 100cm2 erzeugt wird,
~ die Fläche senkrecht durchdringt.
wenn B
3. Berechnung des Magnetflusses in einem inhomogenen Magnetfeld: Berechnen Sie den
von einem langen geraden mit dem Strom i durchflossenen Leiter in einer rechteckigen
Drahtschleife erzeugten magnetischen Fluss unter der Voraussetzung, dass die Drahtschleife in der gleichen Ebene wie der Leiter und parallel zu ihm liegt.
Lösungshinweis: Veranschaulichen Sie zunächst das Problem!
14
Lösung:
1. φ =
R
BdA
2. φ = BA cos(ϕ) = BA = 1T · 100cm2 = 0.01Vs
I
3. H(r) = 2πr
R
R
φ = BdA = B(r)hdr =
4.4
µhI
2π
ln rr21
Aufgabe: Ableitung der magnetischen Grenzflächenkraft
Mit dem Energiesatz sowie einer virtuellen Verrückung des Ankers wie im Bild gezeigt ist
die Gleichung für die Kraft an der Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum und Luft bei
homogenem Feld in der Fläche A abzuleiten.
4.5
Aufgabe: Induktion
1. Spannungsinduktion in einer teilweise bewegten Schleife.
Vorgegeben sind Metallstäbe in einem homogenen Magnetfeld, wobei sich ein Stab
infolge einer äußeren Kraft unter ständiger Kontaktgabe mit der Geschwindigkeit v
bewegt. Der vom Stromkreis umfaßte Fluß ist Φ = BA mit der Fläche A(t) = lx(t).
15
2. Induktionsgesetz, rotierender Stab und rotierende Scheibe im Magnetfeld
Die nachstehende Abbildung zeigt Stromkreise mit einem rotierenden metallischen Stab
(a) sowie mit einer rotierender metallischer ’Barlowscher’ Scheibe (b) im ruhenden
Magnetfeld. Der Radius des Magnetfeldes wird mit r bezeichnet, der Achsenradius ist
vernachlässigbar und eine ständige Kontaktgabe der rotierenden Teile wird garantiert.
4.6
Aufgabe: Eisenkern mit 3 Schenkeln und 2 Spulen
Achtung: Die durchgeführte Berechnung ist nur für einen linearisierten Bereich der Hystereseschleife gültig!
• Analysieren Sie den im Bild dargestellten Eisenkreis
1. mit Hilfe der Feldbeschreibung
2. sowie durch eine Netzwerkberechnung.
• Zu berechnen sind die Induktivitäten L1 und L2 sowie die Gegeninduktivität M für
die gegebene Anordnung
• Berechnen Sie für die abgebildeten Anordnungen die Ersatzschaltung für das i,uVerhalten und diskutieren Sie das Ergebnis.
16
Beispiele zum Thema Mittelwert – Gleichrichtwert – Effektivwert
1) Berechnen Sie Mittelwert, Gleichrichtwert und Effektivwert des im folgenden
Bild gezeigten Signalverlaufes (Halbschwingung eines gleichgerichteten
Sinus).
u(t)
û
t
0.5T
T
2) Berechnen Sie Mittelwert, Gleichrichtwert und Effektivwert des im folgenden
Bild gezeigten Signalverlaufes (Dreiecksschwingung).
u(t)
û
t
0.5T
T
-û
3) Berechnen Sie Mittelwert, Gleichrichtwert und Effektivwert des im folgenden
Bild gezeigten Signalverlaufes (Symmetrische Rechteckschwingung).
u(t)
û
t
T
0.5T
-û
4) Berechnen Sie Mittelwert, Gleichrichtwert und Effektivwert des im folgenden
Bild gezeigten Signalverlaufes (PWM Signal, T=const. t1=variabel von 0-T).
u(t)
û
t
ton
T
5
Komplexe Wechselstromrechnung
5.1
Aufgabe: RLC-Zweipol
5.2
Aufgabe: Scheinleitwert
√
Aus einem RLC-Zweipol wird bei Anlegen der Spannung u = 2 220V cos(ωt + π6 ) oszillografisch der Strom i = 1A cos(ωt + π3 ) gemessen. Um den komplexen Widerstand Z zu
√
ermitteln, ist von den Effektivwerten U = 220V, I = 1A/ 2 = 0,707A sowie ϕu = π6 und
ϕu = π3 auszugehen.
Für einen RLC-Zweipol werden der Scheinleitwert |Y | = 3S und der Phasenwinkel γ = 0.7
angegeben. Es soll der Strom i, welcher bei einer angelegten Spannung u = u
b sin(ωt + ϕu )
fließt, berechnet werden.
5.3
Aufgabe: Reihenschwingkreis
Stromberechnung
beim Reihenschwingkreis.
√
Für uq = 2Uq cos(ωt + ϕu ) mit Uq = 220V, f = 50Hz, ϕu = 0, R = 10Ω, L = 4.5H ,
C = 2µF ist i(t) zu ermitteln.
5.4
Aufgabe: Spannungsteiler
Mehrfacher Spannungsteiler.
1. Geben Sie U3 /U1 (ohne zu rechnen) für ω = 0 und ω = ∞ an!
2. Wie lautet U3 /U1 in Kurzform (z.B. R1 ||R2 )?
5.5
Aufgabe: Grafische Lösung
Grafische Ermittlung von Teilspannungen.
Ermitteln Sie die Teilspannungen aus folgendem Schaltbild.
18
5.6
Aufgabe: Zeigerdiagramm
Zeigerdiagramm für eine technische Spule bei hohen Frequenzen.
Zeichnen Sie das Zeigerbild für die untenstehende Schaltung.
5.7
Aufgabe: Spulenersatzschaltung
Messtechnische Bestimmung einer Spulenersatzschaltung.
Überlegen Sie sich Messmethoden zur Bestimmung der Parameter L und R der Ersatzschaltung einer Spule entsprechend nachfolgender Schaltung.
19
5.8
Aufgabe: Dreispannungsmessmethode
Zur Bestimmung der Ersatzschaltbildparameter L und R einer technischen Spule (Bild siehe
letztes Beispiel) kann man zu dieser einen bekannten Widerstand Ro in Reihe schalten, eine
Wechselspannung anlegen und aus der Messung der 3 Spannungen U am Eingang, Uo über
dem Widerstand Ro und Us über der technischen Spule auf L und R schließen.
1. Wie sind R und L zu berechnen?
2. Ist das Verfahren auch für R(ω) geeignet?
3. Müssen die Spannungen gleichzeitig gemessen werden, oder reicht ein Voltmeter?
5.9
Zusatzaufgabe: Schaltungstransformation
Die Reihenschaltung eines Widerstandes Rs mit einer Induktivität Ls ist für die Kreisfrequenz ω in eine Parallelschaltung eines Widerstandes Rp sowie einer Induktivität Lp umzurechnen.
Lösung:
Der komplexe Widerstand (Leitwert) muss für Serien- und Parallelschaltung gleich sein!
Zp = Zs
oder
Yp =
1
1
1
1
Rs − jωLs
+
= Ys =
=
Rp jωLp
Rs + jωLs
Rs + jωLs Rs − jωLs
Durch Gleichsetzen von Imaginär- und Realteil erhält man die Lösung:
5.10
⇒ Rp =
Rs2 + (ωLs )2
Rs
⇒ Lp =
Rs2 + (ωLs )2
ω 2 Ls
Aufgabe: Komplexe Zweipolparameter
Bestimmen Sie die komplexen Zweipolparameter für die nachfolgende Schaltung und geben
Sie hierfür UL , IK und Zi an.
20
6
Leistung in der Wechselstromrechnung
6.1
Aufgabe: Mittlere Leistung eines Heizofens
Ein Heizofen mit einem Widerstand R = 24Ω wird am 220V /50Hz -Netz betrieben. Wie
groß sind die
1. mittlere Leistung p
2. die in 30 min erzeugte Wärme?
6.2
Aufgabe: Scheinleistung
Berechnen Sie Scheinleistung, Leistungsfaktor und Phasenwinkel für P = 3kW und Q = -1
kvar.
6.3
Aufgabe: Motor
Leistungsberechnung sowie Ersatzschaltung für einen Motor. An einem Wechselstrommotor
(220 V/50 Hz) mit einem Leistungsfaktor cos(ϕ = 0.8) und dem mechanischen Wirkungsgrad
η = 0.85 wird I = 2 A gemessen.
1. Ermitteln Sie die Schein-, Wirk- und Blindleistung sowie die mechanische Leistung
Pmech !
2. Wie groß sind die in einer Stunde umgesetzte Wirkarbeit W , Blindarbeit Wb , mechanische Arbeit Wmech und Wärme Wth ?
3. Geben Sie eine Ersatzschaltung an, und überprüfen Sie, dass die Wirk- bzw. Blindleistung nur im Wirk-bzw. Blindschaltelement umgesetzt wird!
6.4
Aufgabe: Dielektrische Erwärmung
Mit einem HF-Generator (U = 1kV, f = 27.12MHz) sollen Teile aus Buchenholz verleimt
werden, die bei dieser Frequenz als Dielektrikum mit dem Verlustfaktor tan(δ) = 0.4 modelliert werden können. Im Bild sind die Anordung und die zugeordnete Ersatzschaltung
gezeigt. Die Kapazität ist C = 200pF. Zu berechnen ist die Leistung, die im Holz in Wärme
umgesetzt wird.
Hinweis: Ein Vorteil der dielektrischen Erwärmung besteht in der Wärmeerzeugung direkt
im Heizobject. Auch im Zusammenhang damit ist diese Erwärmungsmethode als schnell,
steuerbar und relativ verlustlos einzuschätzen.
21
6.5
Aufgabe: Blindleistungskompensation einer Leuchtstofflampe
Eine Leuchtstoffiampe mit Vorschaltdrossel besitzt folgende Daten: 220 V/50 Hz, I=0.5A,
Wirkleistung P = 50W.
1. Geben Sie die Phasenverschiebung ϕ = ϕu − ϕi den Leistungsfaktor λ (cos(ϕ)) , die
Scheinleistung S und die Blindleistung Q sowie eine Reihenersatzschaltung an!
2. Durch welche schaltungstechnische Maßnahme kann λ auf 95% erhöht werden, und wie
groß sind in diesem Fall ϕ, I, S, Q und P ? Wie ändert sich die Ersatzschaltung?
3. Zeichnen Sie qualitativ die I, U -Zeigerbilder für die Schaltungen mit und ohne Blindleistungskompensation!
6.6
Zusatzaufgabe: Reduzierung der Verlustleistung
Reduzierung der Verlustleistung durch Blindleistungskompensation.
Der Leistungsfaktor eines vorwiegend induktiven Verbrauchers wird durch eine Blindleistungskompensation mit einer parallelgeschalteten Kapazität von cos(ϕ1 ) auf cos(ϕ2 ) erhöht.
Die Spannung U des Verbrauchers wird dabei durch eine Regelung der Quellenspannung
trotz endlichen Quelleninnenwiderstandes R konstant gehalten.
1. Weisen Sie für das Verhältnis der Verlustleistungen am Innenwiderstand folgende Beziehungen nach:
µ
¶2
Pi,2
cos(ϕ1 )
=
Pi,1
cos(ϕ2 )
P
2. Geben Sie Pi,2
und die relative Änderung der Verlustleistung für cos ϕ1 = 0.7 und
i,1
cos ϕ2 = 0.95 sowie cos ϕ2 = 1 an!
Lösung:
Durch die Regelung von U (Klemmenspannung) bleibt die Spannung am Verbraucher (Z)
konstant.
22
Wirkleistung am Innenwiderstand:
Pi,1 = I12 Ri
Pi,2 = I12 Ri
Wirkleistung am Verbraucher:
P1 = U1 I1 cos(ϕ1 )
P2 = U2 I2 cos(ϕ2 )
Aus obigen Gleichungen folgt
I 2 Ri
Pi,2
I2
P2
U12 cos2 (ϕ1 )
= 22 = 22 = 2 22
Pi,1
I1 Ri
I1
U2 cos (ϕ2 )
P12
und mit U1 = U2 und P1 = P2 (Verlustleistung am Verbraucher ist aufgrund der Spannungsregelung konstant):
cos2 (ϕ1 )
Pi,2
=
Pi,1
cos2 (ϕ2 )
Daraus folgt die relative Änderung
∆Pi
Pi,2 − Pi,1
=
=
Pi
Pi,1
µ
cos(ϕ1 )
cos(ϕ2 )
¶2
−1
der Verlustleistung für cos ϕ1 = 0.7 und cos ϕ2 = 0.95 (-46%) sowie cos ϕ2 = 1 (-51%) an
6.7
Zusatzaufgabe: Erhöhung des Leistungsfaktors
Ein vorwiegend induktiver Verbraucher (Beleuchtung, Transformatoren, Motoren) der Wirkleistung P = 1 kW weist an einem Netz mit dem Effektivwert U = 220V und der Frequenz
f = 50Hz einen Leistungsfaktor cos ϕ1 = 0.7 auf. Durch welche Maßnahme kann der Leistungsfaktor auf einen Wert cos ϕ2 = 0.95 erhöht werden, ohne dass sich P ändert.
Lösung:
P
= P tan ϕ
cos ϕ
Q1 = P tan ϕ1 = QL
Q2 = P tan ϕ2
Q = S sin ϕ =
Erhöhung des Leistungsfaktors durch zusätzliche Kapazität.
Q2 = Q1 + QC
QC = Q2 − Q1 = P (tan ϕ2 − tan ϕ1 )
QC = −ωCU 2 ⇒ C = 46µF
23
7
Übertragungsverhalten von RLC-Netzen
7.1
Aufgabe: Entwurf eines Tiefpasses
Es ist ein möglichst einfacher RC-Vierpol zu entwerfen, der folgenden Anforderungen genügt:
1. Tiefpass
2.
7.2
Ua
=
Ue
0.5 für Gleichspannung
Aufgabe: Grenzfrequenz
Weisen Sie nach, dass die Grenzfrequenz eines RC-Tiefpasses lt. Bild ωg =
ist und geben Sie T = UUae an!
7.3
1
RC
mit R =
R1 R2
R1 +R2
Aufgabe: Frequenzabhängige Stromteilung
1. Überlegen Sie anhand des prinzipiellen Frequenzverhaltens des Übertragungsfaktors
T = II21 für die unten angegebene Schaltung, ob es sich um einen Hoch-oder Tiefpaß
handelt!
2. Berechnen Sie die Grenzfrequenz ωg !
7.4
Zusatzaufgabe: Netzwerkmodell eines Widerstandes
Ein technischer Widerstand kann bei hinreichend hohen Frequenzen aufgrund der Zuleitungs und/oder Wicklungsinduktivität sowie der auftretenden parasitären Kapazität die
Eigenschaften eines Resonanzkreises aufweisen.
1. Zeichnen Sie ein Netzwerkmodell.
2. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit beim technischen Widerstand die induktiven und kapazitiven Effekte vernachlässigbar sind?
25