Physik 2. Semester Skript - herbert

Kunming Metallurgy College
Physik 2. Semester
Frühjahr 2015
Skript
Aufgaben
Vokabular DE → CH
Autor:
Herbert Müller (herbert-mueller.info)
Quellen:
Physik-Skript 2. Semester der Hochschule Anhalt (D)
wikipedia.org (deutsch und englisch)
Die Energie, der Impuls und der Drehimpuls
⃗ =m ⃗
Mathematisches Spielen mit dem 3. Newtonschen Gesetz F
a führt auf neue Begriffe.
d⃗
v d
⃗ =m ⃗
= (m ⃗
v ) (1)
a =m
1. Spielerei: F
dt dt
Definition: Impuls ⃗p =m ⃗v , Einheit: kg∙m/s
→ (1) neu:
⃗⋅∆ t (2)
Konstante Kraft: ∆ ⃗p= F
d ⃗p ⃗
=F
dt
⃗ ∆ t heisst Kraftstoss.)
(Die Grösse F
"Die Änderung des Impulses ist gleich dem Kraftstoss"
⃗ ∘ ⃗v =m a⃗ ∘ v⃗ =m d ⃗v ∘ v⃗ =d ( m v⃗ 2) (3)
⃗ =m ⃗
2. Spielerei: F
a ∣ ∘ ⃗v → F
dt
dt 2
⃗ ∘ ⃗v , Einheit: W "watt" = J/s
Definition: Leistung P= F
Definition: (kinetische) Energie E=
m 2
⃗v , Einheit: J "Joule"
2
→ (3) neu:
dE
=P
dt
Konstante Leistung: ∆ E=P ∆ t (4).
Definition: Arbeit W =P ∆ t
1)
→ (4) neu: ∆ E=W
Einheit: J "Joule"
"Die Änderung der (kinetischen) Energie ist gleich der zugeführten Arbeit"
1)
⃗ ⋅⃗v ∆ t = F
⃗ ⋅∆ ⃗r = F
⃗ ⋅⃗s wie auf Seite 10.
W =P ∆ t= F
d
⃗ =m ⃗r ×⃗a =m ⃗r ×d ⃗v =d ( m ⃗r ×⃗
⃗ =m ⃗
v ) m ⃗v ×⃗v = ( ⃗r × ⃗p ) (5)
* 3. Spielerei: F
a ∣ ⃗r × → ⃗r × F
dt d t
dt
⃗ , Einheit: J "Joule" oder Nm
⃗ =⃗r × F
Definition: Drehmoment M
L =⃗r × ⃗p , Einheit: Js
Definition: Drehimpuls (bez. O) ⃗
⃗ ∆ t (6)
Konstantes Drehmoment: ∆ ⃗L= M
→ (5) neu:
⃗ ∆ t heisst Moment(en)stoss.)
(Die Grösse M
"Die Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Momentenstoss"
Zusammenfassung:
d ⃗p ⃗
=F
dt
dE
=P
dt
d ⃗L ⃗
=M
dt
⃗∆t
(1) ∆ ⃗p = F
( 2)
(3) ∆ E = P ∆ t=W ( 4)
⃗ ∆t
(5) ∆ ⃗L = M
( 6)
dL ⃗
=M
dt
(1) ist das 3. Newtonsche Gesetz
(so hat Newton es zuerst geschrieben).
Die Formeln (2) bis (6) folgen daraus.
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Warum sind Energie, Impuls und Drehimpuls so wichtig?
1. Die drei Begriffe lassen sich verallgemeinern:
Gravitation: Mehrere Massenpunkte besitzen potentielle Energie zusätzlich zur kinetischen Energie.
2
Relativitätstheorie: Masse ist eine Form von Energie: E=mc .
Elektromagnetismus: Das elektromagnetische Feld besitzt Energie, Impuls und Drehimpuls.
Chemie: chemische Energie ist elektrisch. Wärmelehre: innere Energie ist zum Teil elektrisch.
2. Erhaltungssätze: Die Gesamt-Energie, der Gesamt-Impuls & und der Gesamt-Drehimpuls eines
abgeschlossenen Systems von Teilchen bleiben immer gleich.
3. Energie kann man (ver)kaufen: elektrische Energie ~ 0.08 €/MJ, Benzin ~ 0.05 €/MJ (30 MJ/l, 1.5 €/l),
Heizöl ~ 0.02 €/MJ (ca. 36 MJ/l, 0.6 €/l + Transport) (Angaben für Deutschland 2015.)
Drei Erhaltungs-Sätze
Die Berechnung der Bahn ⃗r (t) eines Massenpunktes, oder der Bahn x (t ) , y(t ) , ϕ(t ) eines starren
Körpers mit Newtons 3 Gesetzen wird schwierig wenn Zwangskräfte auftreten.
Die Berechnung der Bahnen r⃗1(t )⋯r⃗n (t ) eines Systems von n wechselwirkenden Massenpunkten mit
Newtons 3. Kraftgesetz ist auch schwierig. (System = Menge von zusammengehörigen Dingen.)
Mitte: Rollender Zylinder mit Kräften
System Erde-Mond
Links: Fadenpendel mit Kräften
Die Zugkraft links und die Auflagekraft in der Mitte sind Zwangskräfte.
In diesen Fällen sind Erhaltungs-Grössen sehr nützlich. Eine Erhaltungsgrösse ist eine Funktion f der
p i=mi v⃗i ) der Teilchen i = 1...n die zeitlich konstant ist.
Orte r⃗i und Geschwindigkeiten v⃗i (oder Impulse ⃗
Der Satz "Die Grösse f ( r⃗1⋯ r⃗n , v⃗1 ⋯ v⃗n) ist zeitlich konstant." heisst Erhaltungssatz.
Die Newtonschen Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen 2. Ordnung (doppelte ZeitAbleitung). Die Erhaltungssätze dagegen sind Differentialgleichungen 1. Ordnung (nur einfache ZeitAbleitung). Diese sind viel einfacher zu lösen!
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Erhaltungssätze gelten für ein abgeschlossenes System von Massenpunkten: es dürfen innere Kräfte im
System wirken (actio und reactio im System), aber es dürfen keine äusseren Kräfte auf das System
einwirken (actio im System, reactio ausserhalb des Systems).
In der klassischen Mechanik gibt es 3 Erhaltungs-Grössen: die Energie, der Impuls und der Drehimpuls.
Erhaltungsgrösse Gesamt-Impuls:
n
P= ∑i=1 ⃗
pi
Erhaltungssatz: Der Gesamt-Impuls eines abgeschlossenen Systems von Massenpunkten ist erhalten.
* Beweis:
n
n
pi (2) n
(3)
(4 )
d⃗
P (1) n d ⃗
0
=∑i =1
=∑i =1 F⃗ i =∑i=1 ∑ j=1 F⃗ ji = ⃗
dt
dt
(1): Definition, (2): Newton III, (3): nur WW-Kräfte,
0 (4): Newton II : F⃗ij = F⃗ ji
F⃗ii =⃗
Beispiel: Gewehr und Kugel.
Vorher: p G,i= p K,i=0 → P i= pG,i + p K,i =0 .
1
Nachher: P f = p G,f + pK,f =4 kgms +4kg×v G,f .
Impuls-Erhaltung: P i=P f . Wie gross ist die Geschwindigkeit des Gewehrs nach dem Abfeuern der Kugel?
Erhaltungsgrösse Gesamt-Energie:
n
E=∑i=1
n
p⃗i2 1 n
+ ∑i =1 ∑ j =1 Φij ( r⃗i , r⃗j )
2 mi 2
Die Grösse Φij ( r⃗i , r⃗j ) heisst potentielle Energie. Sie beträgt Φij ( r⃗i , r⃗j )=
Teilchen, und Φij ( r⃗i , r⃗j )=
qi q j
bei geladenen
4 π ε0∣⃗
r i r⃗j∣
mi m j
bei ungeladenen Massenpunkten. Es gilt Φij =Φ ji , und Φii =0 .
G∣⃗
r i r⃗j∣
Erhaltungssatz: Die Gesamt-Energie eines abgeschlossenen Systems von Teilchen ist erhalten.
* Beweis:
n
n
d Φij d r⃗i 1 n
d Φ ij d r⃗j
d E (1) n p⃗ i d p⃗i 1 n
∘
∘
=∑i =1 ∘
+ ∑i=1 ∑ j=1
+ ∑i=1 ∑ j =1
⋯
dt
mi d t
2
d r⃗i d t
2
d r⃗j d t
n
n
n
(2)
1 n
1 n
F⃗ ji ∘ v⃗i
F⃗ij ∘ v⃗j ⋯
⋯=∑i =1 v⃗i ∘ F⃗ i
∑
∑
∑
∑
i=1
j=1
i=1
j=1
2
2
n
(3)
1 n ⃗
1 n ⃗
F i ∘ v⃗i
F ∘ v⃗ =⃗0
⋯=∑i =1 v⃗i ∘ F⃗ i
∑
i=1
2
2 ∑ j=1 j j
(1): Definition, (2): Newton III, Definitionen, (3): nur WW-Kräfte,
0 , Newton II
F⃗ii =⃗
Spezialfall 1: Massenpunkt auf der Erdoberfläche
2
Die Gesamt-Energie des Systems Erde - Massenpunkt beträgt E=
⃗p
+mgh .
2m
* Herleitung: Die Energie des System Erde & Massenpunkt (Massen M & m, Impuls ⃗
P & ⃗p ),
beträgt E=
⃗
Mm
Mm Mmh
Mm
P2
⃗p 2
=
≈
+
+mgh . Die Erde ist
+
+Φ , wo Φ=
2
G( R+h)
GR GR
GR
2 M 2m
14
⃗ 2 /2 M praktisch konstant.
viel schwerer als der Massenpunkt, daher ist ihre kinetische Energie P
⃗ 2 /2 M und
Die konstanten Terme P
Mm/G R können vernachlässigt werden: dadurch wird
nur der Energie-Nullpunkt verschoben, an der Energie-Erhaltung ändert sich nichts.
2
Beispiel 1: Pendel: p=ml ω , h=l (1 cos φ)=2l sin
φ
φ 2
m l2 2 g
(ω + (2 sin ) )
→ E=
2
2
l
2
Beispiel 2: Zylinder auf schiefer Ebene: p=mr ω , h= ϕ r sin α → E=(m r 2+I ) ω
2
2
mgr ϕsin α
In beiden Beispielen kann man die Winkelgeschwindigkeit ω aus dem Winkel φ berechnen.
Spezialfall 2: Massenpunkt an einer Feder
Die Gesamt-Energie des Systems schwere Wand - Feder - Massenpunkt beträgt E=
⃗p2 k x 2
.
+
2m
2
2
* Herleitung: Die Spann-Arbeit der Feder ist W =∫0 kx d x=kx / 2 . Die kinetische Energie der
Erde ist wieder vernachlässigbar. Bei einer senkrechten Feder wird die Schwerkraft durch die
Federkraft kompensiert.
*Erhaltungsgrösse Gesamt-Drehimpuls:
n
L=∑ i=1 r⃗i × p
⃗i
Erhaltungssatz: Der Gesamt-Drehimpuls eines abgeschlossenen Systems von MPen ist erhalten.
* Beweis:
n
n
d p⃗ (2) n
d ⃗L (1) n d r⃗i
=∑i=1
× p⃗i+∑i =1 ⃗
r i× i =∑i =1 v⃗i× p⃗i+∑i =1 ⃗
r i × F⃗ i ⋯
dt
dt
dt
(1): Definition, Produktregel; (2): Definition, Newton III;
(3)
n
n
(4)
⋯=⃗0 +∑i =1 ∑ j=1 r⃗i × F⃗ ji =
(3):
n
1 n
(5)
( r⃗i r⃗j)× F⃗ ji =⃗
0
∑
∑
i=1
j=1
2
v⃗i∥ p⃗ i , nur WW-Kräfte; (4): Paare i,j zweimal abzählen, Newton II; (5): ( r⃗i r⃗j )∥F⃗ ji
Bei starren Körpern kommt zum Bahn-Drehimpuls L der innere Drehimpuls ("Spin") S = I ω hinzu!
Beispiel: Schlittschuhläufer-Pirouette. m = 80 kg.
Vorher: f = 1 Hz, d i =2 √ I i /m=1 m .
di 2
→ I i=m( ) =20 kgm 2 → S i= I i ωi=12.56 kgm 2 s 1 .
2
Nachher: d f =2 √ I f /m=0.5 m .
→ I f =m(
df 2
2
) =5 kgm 2 → S f =I f ωf =31.4 kgm × f f .
2
Drehimpuls-Erhaltung: S i=S f . Wie gross ist die
Drehfrequenz nach dem Anziehen der Arme und Beine?
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