Elektrodynamik, SS 2009

Elektrodynamik, SS 2009
Prof. Dr. Michael Bonitz
Abschlussklausur, 23. Juli 2009
I. Theoriefragen (17 Punkte)
1. Zeigen Sie, dass das Elektromagnetische Feld im Vakuum Wellenlösungen
besitzt.
i. Formulieren Sie die Maxwell-Gleichungen im Vakuum.
ii. Leiten Sie daraus jeweils eine geschlossene (Wellen-)Gleichung für die
elektrische Feldstärke und die magnetische Feldstärke ab.1
iii. Geben Sie zwei unterschiedliche Lösungen dieser Gleichung an.
iv. Für den Fall einer monochromatischen ebenen Welle finde man den Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenzahl (Dispersionsrelation).
(2+4+3+3=12 Punkte).
2. Drücken Sie die Energie des magnetostatischen Feldes durch die Feldstärke B
aus. Leiten Sie einen äquivalenten Ausdruck ab, der statt B die Stromdichte
enthält. (5 Punkte)
II. Aufgaben (30 Punkte)
1. Zwei elektrische Dipole mit den Dipolmomenten p1 und p2 befinden sich in
einer Ebene an den Punkten r1 = (−l, 0) und r2 = (l, 0), wobei p1 parallel
zu ey (Einheitsvektor) und p2 parallel zu ex ist.
a. Man berechne das elektrische Feld eines Dipols aus dem Potential2 und
das Gesamtfeld und skizziere den Verlauf der Feldlinien.
b. Ein dritter Dipol p3 sei am Ort r3 fixiert. Man berechne seine Wechselwirkungsenergie mit den Dipolen p1 und p2 .
c. Für den Fall r3 = (0, 0) finde man die stabile Orientierung von p3 im
Raum für die Fälle p1 p2 , p2 p1 sowie p1 = p2 .
d. Zusatzaufgabe: Welche Kraft wirkt auf p3 ?
(5+2+3=10 Punkte (a-c), 5 Punkte (d))
2. Man untersuche die Strahlung eines Elektrons im Undulatorfeld eines Freien
Elektronenlasers. Das Magnetfeld habe die Form B(r) = (0, B cos ku z, 0),
ku = 2π/λu , mit der Undulatorwellenlänge (Periode) λu = 25mm.
a) Geben Sie die Bewegungsgleichung des Elektrons (nichtrelativistisch)
unter Wirkung der Lorentzkraft an. Separieren Sie in Gleichungen für
die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten.
1
2
Hinweis: man benutze rot rot = graddiv - ∆
Das elektrostatische Potential eines Dipols ist gegeben durch φ(r) = p · r/r3 .
b) Geben Sie die zeitabhängige Ladungsdichte ρe (r, t) des Elektrons an
(keine Lösung der Bewegungsgleichung erforderlich).
c) Untersuchen Sie die elektrische Dipolstrahlung des Elektrons als Funktion der Koordinate z, d.h. geben Sie P̈ (z) an, dabei ist vz vx und
v̇z ≈ 0 zu verwenden. Hinweis: man berechne P̈ für die Ladungsdichte
ρe und drücke das Resultat mit Hilfe der Bewegungsgleichung durch v̇
aus3 .
d) Finden Sie die Intensität der Strahlung für einen festen Abstand r vom
Elektron4 und ihre momentane Winkelverteilung (Skizze) für z = 0 und
z = 3λu /4.
e) Die Trajektorie des Elektrons oszilliert im Undulator (Skizze, ohne Rechnung). Das Elektron im FEL bewege sich mit einer Energie Ee = 1GeV
in z-Richtung. Finden Sie die Geschwindigkeit vz (die anderen Komponenten der Geschwindigkeit sind viel kleiner und können im Folgenden
vernachlässigt werden5 .)
f) Im Koordinatensystem des Elektrons sind die Abmessungen des Undulators verändert, insbesondere ist die Periode λu durch λ0u (v) zu ersetzen.
Dies ist auch die Wellenlänge der Strahlung, die das Elektron emittiert.
Man finde λ0u und die zugehörige Frequenz ω 0 .
g) Die gemessene Strahlung im FEL (Laborsystem) ergibt sich durch den
(relativistischen) Dopplereffekt λ = λ0u (v)γ −1 /(1 + v/c). Man berechne
die emittierte Wellenlänge und die zugehörige Frequenz ω der Strahlung
des FEL.
(3+2+5+3+2+3+2=20 Punkte)
3
Das elektrische Dipolmoment ist gegeben durch P(t) =
4
Die Intensität ist gegeben durch
I(r, θ, t) =
R
d3 r0 r0 ρ(r0 , t)
2
1 n
×
P̈(t
−
r/c)
4πc3 r2
(1)
mit n = r/r und θ bezeichnet den Winkel zwischen P̈ und r.
5
Der Zusammenhang zwischen Gesamtenergie und Ruheenergie E0 = m0 c2 lautet Ee = γE0 mit
−2
γ = 1 − (v/c)2 , m0 ≈ 9 · 10−31 kg.