Blatt 1

1. Übungsblatt zur Vorlesung TP3 - Quantenmechanik
Prof. Dr. A. Klümper; WS 2010/2011
Abgabe:
(Postfach Nawrath, D, Ebene 10)
Besprechung:
17.10.2010 vor der Vorlesung F.13.11
19.10.2010
Aufgabe 1 (Comptonstreuung).
Die Comptonstreuung ist die Streuung eines Photons (Licht) mit dem Impuls p~ph = ~~k
an einem Elektron. Nach dem Stoß habe das Elektron den Impuls p~e 0 und das Photon
~~k 0 . Der Stoß soll im Ruhesystem des Elektrons betrachtet werden.
a) Schreibe die Vierervektoren des Elektrons und des Photons vor und nach dem Stoß
auf und stelle die Stoßgleichung im Ruhesystem des Elektrons auf.
b) Berechne nun |k|−|k 0 |. Benutze dafür, dass das Minkowski-Produkt Lorentz-invariant
ist, das also für einen beliebigen Vierervektor gilt
P µ Pµ = P 0µ Pµ0 = m2 c2
wobei m die Ruhemasse des Teilchens mit dem Vierervektor P ist (Tipp: Photonen
haben die Ruhemasse mP h = 0).
Aufgabe 2 (Die Gammafunktion).
Die Gammafunktion ist f”ur Re(z) > 0 gegeben durch
Z ∞
Γ(z) =
e−t tz−1 dt;
Re(z) > 0
0
a) Berechne Γ(1) und Γ(1/2)
Tipp : Um Γ(1/2) zu berechnen, benutze 2.b)
b) Zeige, dass für jede natürliche Zahl n gilt
Γ(z + 1) = zΓ(z)
Tipp : Nach geschickter Umformulierung partiell integrieren
Bemerkung : Für eine natürliche Zahl n folgt damit
Γ(n + 1) = n!
c) Zeige
1
(2m)! √
Γ(n + ) = 2m
π
2
2 m!
Tipp : Benutze b)
1
d) Berechne das Integral aus 2.c) mit Hilfe der Gammafunktion
Aufgabe 3 (FOURIER-Transformation).
Sei ϕ ∈ L2 (Rn ) eine quadratintegrable Funktion. Die (kontinuierliche) FOURIERTransformierte F(ϕ) von ϕ ist definiert durch
Z
1
(Fϕ)(y) =
dn x ei(y·x) ϕ(x)
(1)
n
(2π) 2
Es gilt F(αϕ1 + βϕ2 ) = αFϕ1 + βFϕ2 , d.h. Fϕ ist linear in ϕ. Ferner ist Fϕ ∈ L2 (Rn ).
(a) Eigenschaften der FOURIER- Transformation
1. Sei ψ(x) = ϕ(x + a), χ(x) = ϕ(λx), a Rn , λ R, λ 6= 0. Zeigen Sie:
y
(Fψ)(y) = e−i(y·a) (Fϕ)(y), (Fχ)(y) = |λ|−n (Fϕ)
λ
(2)
2. Zeigen Sie:
(F(∂k ϕ))(y) = −iyk (Fϕ)(y),
∂k (Fϕ)(y) = i(F(xk ϕ))(y),
(3)
wobei xk die kte Komponente des Vektors x ∈ Rn und ∂k die partielle Ableitung
der kten Komponente bezeichne.
√
R∞
1
1
2
2
3. Benutzen Sie −∞ dx e− 2 |x| = 2π, um zu zeigen, dass für ϕ(x) = e− 2 |x| gilt:
Fϕ = ϕ.
Tipp: Zeigen Sie für n = 1 zuerst, dass g(x) := (Fϕ)(x) der Differentialgleichung
g 0 (x) = −xg(x) genügt.
1
4. Zeigen Sie: Für λ > 0 und Ψ(x) = e− 2 |x+a|
2 λ2
1 y 2
gilt: (FΨ)(y) = λ−n e− 2 | λ | e−i(a·y) .
(b) Inverse FOURIER-Transformation
1 2 2
Für ε > 0 definieren wir ϕε (x) = e− 2 ε x . Ferner sei ψ̂(x) = (Fψ)(−x) für ψ L2 (Rn ).
1. Zeigen Sie:
1
(F(ϕε ψ̂))(x) =
n
(2π) 2
Z
sowie
dn y (Fϕε )(x − y)ψ(y)
n
lim (Fϕε )(x − y) = (2π) 2 δ (n) (x − y)
ε→0
(4)
(5)
und schließen Sie hieraus:
(F −1 ψ)(x) = (Fψ)(−x) =
2
1
n
(2π) 2
Z
dn y e−i(x·y)ψ(y)
(6)
Für ϕ1 , ϕ2 L2 (Rn ) sei durch
Z
hϕ1 , ϕ2 i =
dn x ϕ∗1 (x)ϕ2 (x)
(7)
ein Skalarprodukt definiert.
2. Zeigen Sie: hFϕ1 , ϕ2 i = hϕ1 , F −1 ϕ2 i und folgern Sie hϕ1 , ϕ2 i = hFϕ1 , Fϕ2 i
(c) Faltung von Funktionen
Es seien ϕ1 , ϕ2 L2 (Rn ). Die Faltung ϕ1 ∗ ϕ2 von ϕ1 und ϕ2 ist definiert als
Z
(ϕ1 ∗ ϕ2 )(x) = dn y ϕ1 (x − y)ϕ2 (y)
(8)
Zeigen Sie:
∂k (ϕ1 ∗ϕ2 ) = (∂k ϕ1 )∗ϕ2 ) = ϕ1 ∗(∂k ϕ2 ),
n
F(ϕ1 ∗ϕ2 )(x) = (2π) 2 (Fϕ1 )(x)(Fϕ2 )(x) (9)
3