Übungsblatt 0 - TU Clausthal

Übungen zu: Theoretische Physik I – klassische Mechanik
Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner
W 2213
WS 2005/06
http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html
16. November 2005
Übungsblatt 0
Lösungsvorschlag
3 Aufgaben, 8 Punkte
Aufgabe 1
2P
Bergsteiger
z
Wind
zG
zH
g
I
II
0
xG
xH
x
Abbildung 1: Bergsteiger
Zwei Bergsteiger, die gleich groß und schwer sind, wollen vom Tal (Ursprung) eine Hütte bei
(xH , zH ) besuchen. Bergsteiger I will über den Gipfel bei (xG , zG ) steigen. Sein Weg kann als
Parabel z = −(x − xG )2 + zG mit x ∈ [0, xH ] beschrieben werden. Der Bergsteiger II hat sich
für den direkten Weg zur Hütte entschieden. Momentan herrscht Windstille. Die Hütte ist in xRichtung 1.5 mal weiter entfernt als der Gipfel.
1.a) Wähle eine geeignete Paramertisierung der Wege, und bestimme die Abhängigkeiten zwischen xG , zG , xH , und zH . Die weiteren Ergebnisse sollen – wenn möglich – in Abhängigkeit
von xG angegeben werden.
Wählt man als Parametrisierung t = x, so erhält man die Ortsvektoren
~rI (t)
~rII (t)
= t~ex + (−(t − xG )2 + zG )~ez
zH
t~ez
= t~ex +
xH
Und die Geschwindigkeiten
~r˙I (t) = ~ex + 2(xG − t)~ez
zH
~ez
~r˙II (t) = ~ex +
xH
0.1
Da x = t gewählt wurde ist der Startpunkt ta = 0 und der Endpunkt te = xH für beide
Bergsteiger
Abhängigkeiten:
3
xG
2
= −(0 − xG )2 + zG
= x2G
=
xH
0
⇒ zG
= −(xH − xG )2 + zG
1
= − x2G + zG
4
3 2
x
=
4 G
zH
1.b) Welche Arbeit muss jeder Bergsteiger verrichten?
Kurvenintegral:
E
=
Z
te
ta
~r˙ (t) · F~ (~r(t)) dt
Arbeit, die an Bergsteiger I „verrichtet” wird:
Z te
~r˙I (t) · m~g dt
EI =
ta
Z xH
(~ex + 2(xG − t)~ez ) · m(−g)~ez dt
=
Z0 xH
−2mg(xG − t) dt
=
0
xH
1 2
= 2mg( t − xG t)
2
0
1 2
= 2mg( xH − xG xH )
2
3
3
9 2
xH = xG
= 2mg( xG − x2G )
8
2
2
3 2
= −2mg xG
8
3
= − mgx2G
4
Arbeit, die an Bergsteiger II „verrichtet” wird:
Z te
EII =
~r˙II (t) · m~g dt
ta
Z xH
zH
(~ex +
=
~ez ) · m(−g)~ez dt
x
H
0
Z xH
zH
−mg
=
dt
xH
0
= −mgzH
3
3
= − mgx2G
zH = x2G
4
4
Beide Bergsteiger verrichten also die gleiche Arbeit, auch wenn es I nicht so vorkommen
mag.
0.2
1.c) Im Herbst wollen die Bergsteiger wieder auf ihren Wegen zur Hütte wandern. Diesmal bläßt
ein Wind, der eine ständig wirkende Kraft F~W (z) = −FW z~ex verursacht. Welche Arbeit
müssen die Bergsteiger dieses mal verrichten?
Der Wind weht nur aus der x-Richtung. Deshalb kann man die Arbeit gegen den Wind
einfach zur Arbeit gegen die Schwerkraft (nur in z-Richtung) addieren um die gesammte
Kraft zu erhalten. Es ist zu Beachten, dass sich die Parametrisierungen für z unterscheiden.
EI,W
=
=
Z
te
~r˙I (t) · F~W (z) dt
t
Z axH
0
=
Z
xH
0
=
(~ex + 2(xG − t)~ez ) · (−FW )z~ex dt
FW
−FW (−(t − xG )2 + zG )dt
Z
xH
((t − xG )2 − x2G )dt
0
=
FW
Z
zG = x2G
xH
t2 − 2txG dt
xH
1 3
2
t − t xG
3
0
1 3
2
x − xH xG
3 H
9 3
9 2
x − x xG
8 G 4 G
0
=
FW
=
FW
=
FW
=
9
− x3G FW
8
xH =
3
xG
2
Insgesammt muss der Bergsteiger I EI = 43 mgx2G + 98 x3G FW Arbeit verrichten.
EII,W
=
=
=
=
=
=
=
Z
te
~r˙II (t) · F~W (z) dt
zH
~ez · (−FW )z~ex dt
~ex +
xH
Z0 xH
zH
−FW
t dt
x
H
0
zH 1 2
· x
−FW
xH 2 H
1
− FW zH xH
2
3 3
3
3
1
zH = x2G , xH = xG
− FW x2G xG
2
4 2
4
2
9
− FW x3G
16
t
Z axH
9 3
Insgesammt muss der Bergsteiger II EII = 34 mgx2G + 16
xG FW Arbeit verrichten. Gegen
die Gravitation ist die Arbeit gleich der für Bergsteiger I , aber gegen den Wind nur halb so
groß.
1.d) Jeder Bergsteiger wiegt (mit Gepäck) 83.4 kg, der Gipfel ist 1141 m hoch. Die Schwerebeschleunigung beträgt 9.81 sm2 in −z-Richtung. Die Windstärke1 beträgt FW = 2.31 kg
s2 .
1 Die
hier eingeführte Windstärke ist natürlich keine brauchbare physikalische Größe.
0.3
11
00
00
11
00
11
V=0
v
m
11 11
00
00
00 11
11
00
00 11
11
00
V
M
(1)
(2)
h
(3)
Abbildung 2: Ballistisches Pendel vor (1) und während (2) dem Stoß sowie beim Umkehrpunkt (3)
Ohne Wind: EI = EII = 700 kJ
gegen den Wind: EI,W = 100 kJ bzw. EI,W = 50.0 kJ
gesammt: EI,g = 800 kJ bzw. EI,g = 750 kJ
Aufgabe 2
3P
Ballistisches Pendel
Eine Kugel mit der Masse m trifft mit der Geschwindigkeit v senkrecht auf den Schwerpunkt eines
ruhenden Klotzes mit der Masse M . Dieser ist als ballistisches Pendel aufgehängt (siehe Abb. 2).
Infolge des Rückstoßes (mit der Geschwindigkeit V ) wird der Klotz auf die Höhe h angehoben.
Führe die Rechnungen jeweils für
• den inelastischer Stoß (die Kugel bleibt im Klotz stecken)
Es gilt Impulserhaltung:
mv
=
V
=
(m + M )V
mv
m+M
Die kinetische Energie wird in potentielle umgewandelt
1
(m + M )V 2
2
=
(m + M )gh
h
=
V2
2g
h
=
m2 v 2
2g (m + M )2
weitere Umformungen:
v
M
=
=
M +m
V
m
v−V
m
V
• und den elastischen Stoß: (Die Kugel prallt vom Klotz ab)
0.4
Es gilt Impulserhaltung:
mv
=
v′
=
M V + mv ′
M
V
v−
m
und Energieerhaltung:
1
mv 2
2
mv 2
mv 2
0
0
1
1
M V 2 + mv ′2
2
2
2
M
2
V
= MV + m v −
m
=
= M V 2 + mv 2 − 2M vV +
M2 2
V
m
M 2
V − 2vV
= V2+
m
M +m
= V
V − 2v
m
⇒V
=
2mv
M +m
Die Höhe erhält man wieder aus
h
=
h
=
V2
2g
2m2 v 2
2
g (M + m)
weitere Umformungen:
v
M
=
=
M +m
V
2m
2v − V
m
V
aus. Berechne die folgenden Größen aus den jeweiligen Angaben:
2.a)
gegeben
m, M, v
gesucht
V, h
2.b)
2.c)
2.d)
m, M, h
v, V, h
m, v, h
v, V
m, M
M, V
2.e)
2.f)
m, M, V
M, V, h
v, h
m, v
inelastischer Stoß
m2 v 2
h = 2g(m+M)
V =
2
√
√
M+m
2gh V = 2gh
v= m
keine
Lösung möglich
√
√
√ 2gh m
M = v−
V = 2gh
2gh
mv
m+M
v=
2
h = V2g
keine Lösung möglich
M+m
m V
elastischer Stoß
2m2 v 2
h = g(m+M)
V =
2
√
gh
M+m
v= m
V = 2gh
2
keine√ Lösung möglich
√
√ 2gh m
V = 2gh
M = 2v−
2gh
2mv
m+Mq
v=
M+m
2m V
Es ist zu beachten, dass V und h über Konstanten ineinander umgeformt werden können und
deshalb nicht voneinander unabhängig sind. Eine Lösung ist deshalb nicht möglich wenn beide
vorgegeben werden.
0.5
2
h = V2g
keine Lösung möglich
Aufgabe 3
3P
Hantel
Zwei Massen m1 und m2 sind durch eine (massenlose) Stange der Länge l miteinenander verbunden. Jemand wirft diese Hantel irgentwan in eine beliebige Richtung.
3.a) Formuliere die Bewegungsgleichung für die Hantel im Schwerefeld der Erde
Auf die Massen wirken zwei Kräfte: die Schwerkraft der Erde F~g = mg~ez und die Kraft F~ , die
die
z beiden Massen auf einen festen Abstand zueinader hält. Die Bewegungsgleichungen
Sp
der beiden
Massenpunkte sind deshalb
r
r1
R
m1~r¨1
m2~r¨2
r2
=
=
m1 g~ez + F~2→1
m2 g~ez + F~1→2
y
x
Wegen Actio ist Reaktio muss F~2→1 = −F~1→2 = F~ gelten. Da die Kräfte immer entlang der
Stange (Richtung: ~rl ) wirken ist die Kraft
F~ = F · ~r
Abbildung 3: Hantel
also können die BWGln geschrieben werden als:
m1~r¨1
m2~r¨2
=
=
−m1 g~ez + F · (~r2 − ~r1 )
−m2 g~ez − F · (~r2 − ~r1 )
Es handelt sich um zwei gekoppelte DGln zweiter Ordnung.
3.b) Transformiere die Bewegungsgleichung in das Schwerpunktsystem.
Relativvektor
= ~r2 − ~r1
~r
mit |~r| =
l
Schwerpunkt bzgl. Abwurfpunkt:
~ =
R
m1~r1 + m2~r2
m1 + m2
Inverse Transformation:
~r2
~
⇒R
~
R
⇔ ~r1
⇒ ~r2
~r2
= ~r1 + ~r
m1~r1 + m2 (~r1 + ~r)
=
m1 + m2
m2
= ~r1 +
~r
m1 + m2
m2
~−
= R
~r
m1 + m2
m1
~−
~r + ~r
= R
m1 + m2
m1
~+
~r
= R
m1 + m2
0.6
⇒BWGln:

 m1
d2
dt2
m2 d22
dt
(
Subtraktion :
~−
R
~+
R
m2
r
m1 +m2 ~
m1
r
m1 +m2 ~
= −m1 g~ez + F(~r)
= −m2 g~ez + F(~r)
~¨ + µ~r¨ = −m1 g~ez + F~r
m1 R
~¨ + µ~r¨ = −m2 g~ez + F~r
m2 R
mit µ =
m1 m2
m1 + m2
~¨ − m2 R
~¨ = −m1 g~ez + m2 g~ez
m1 R
⇒ BWGl des Schwerpunktes
~¨
R
= −g~ez
~¨ + 2µ~r¨ = −(m1 + m2 )g~ez + 2F~r
Addition : (m1 + m2 )R
−(m1 + m2 )g~ez + 2µ~r¨ = −(m1 + m2 )g~ez + 2F~r
⇒ BWGl des Abstandes
µ~r¨ =
F~r
3.c) Löse die Bewegungsgleichungen.
Der Schwerpunkt wird durch eine BWGl eines freien Massenpunktes beschrieben. Wählt
~
~ 0 und R(0)
~˙
~0 erhält man:
man die Anfangsbedingungen R(0)
=R
=V
~¨
R
~˙
֒→ R
~
֒→ R(t)
=
−g~ez
~0
−g~ez + V
1
~0 t + R
~0
− gt2~ez + V
2
=
=
Für die Relativbewegung, kann man den Ansatz machen:
~r(t) =
~ cos(ωt) + B
~ sin(ωt)
A
mit
ω2
= −
F
µ
Wegen der starren Stange (|~r(t)| = l = const) muss gelten:
l2
=
l2
=
2
~ cos(ωt) + B
~ sin(ωt)
A
~ 2 cos2 (ωt) + B
~ 2 sin2 (ωt) + A
~B
~ sin(ωt) cos(ωt)
A
~2 = B
~ 2 = l2
Das ist erfüllbar wenn A
⇒ ~r(t) =
Dabei sind ~eA =
~
A
A
und ~eB =
~
B
B
l (~eA cos(ωt) + ~eB sin(ωt))
die Richtungsvektoren der Anfangsbedingungen.
3.d) Welche Bahnkurve beschreibt der Relativvektor?
0.7
Betrachtet man den Drehimpuls
~R
L
=
=
=
=
µ~r × ~r˙
µl (~eA cos(ωt) + ~eB sin(ωt)) × (−ω~eA sin(ωt) + ω~eB cos(ωt))
µl ~eA × ~eB ω cos2 (ωt) + ~eA × ~eB ω sin2 (ωt)
~˙ R = ~0
µωl~eA × ~eB
⇒L
so stellt man fest, dass die Relativbewegung eine Rotation um eine zur ~eA , ~eB -Ebene senk~˙ R des Drehimpulses verschwindet.) Die Einheitsvektoren
rechte Achse ist. (Die Ableitung L
~eA und ~eB können als Anfangsbedingung festgelegt werden.
3.e) Bestimme den Bahndrehimpuls des Schwerpunktes der Hantel bezüglich des Abwurfpunktes und seine Ableitung. Unter welcher Bedingung verschwinden beide?
~ = ~r × ~p
Der Drehimpuls ist definiert als L
~S
L
=
=
=
=
~ ×R
~˙
(m1 + m2 )R
1
~0
~ 0 × −gt~ez + V
(m1 + m2 ) − gt2~ez + V~0 t + R
2
1
~0 t − R
~ 0 × gt~ez + R
~0 × V
~0
(m1 + m2 ) − gt2~ez × V~0 − gt~ez × V
2
3
~ 0 × (V
~0 − gt~ez )
(m1 + m2 ) − gt2~ez × V~0 + R
2
d~
LS
dt
= (m1 + m2 )
d ~ ~˙
R×R
dt


~ ×R
~¨ 
~˙ × R
~˙ +R
= (m1 + m2 ) R
| {z }
0
~ ×R
~¨
= (m1 + m2 )R
~0 × ~ez + R
~ 0 × ~ez
= (m1 + m2 )g tV
~0 ∼ ~ez und R
~ 0 ∼ ~ez (senkrechter Wurf über dem Abwurfpunkt) so verschwindet der
Falls V
Drehimpuls und seine Ableitung.
3.f) Berechne die Bahnkurven der beiden Massenpunkte bezüglich des Schwerpunktes und
beschreibe sie.
Zur Beschreibung der Bewegung beider Massen um den Schwerpunkt führt man am besten
folgende Vektoren ein:
~
~rII = ~r2 − R
= mµ2 ~r
~
~rI = ~r1 − R
= − mµ1 ~r
Damit findet man die Bewegung um den Schwerpunkt:
~rI (t)
~rII (t)
µ
l (~eA cos(ωt) + ~eB sin(ωt))
m1
µ
l (~eA cos(ωt) + ~eB sin(ωt))
m2
= −
=
Das sind Kreisbahnen mit den Radien rI =
0.8
µ
m1 l
und rII =
µ
m2 l