Teilaufgabe 13 a) Eine komplexwertige Funktion f : C → C heißt

Teilaufgabe 13 a)
Eine komplexwertige Funktion f : C → C heißt komplex differenzierbar, falls die CauchyRiemannschen Differentialgleichungen (CRD) für Realteil u(z) = Ref (z) und Imaginärteil v(z) = Imf (z) erfüllt sind:
∂u
∂v
=
∂x
∂y
∂v
∂u
=− .
∂y
∂x
(1)
Man kann zeigen, dass Real- und Imaginärteil die Laplace-Gleichung erfüllen. Bilden
wir die partiellen Ableitungen von Gl.(1) nach x, so erhalten wir nachdem wir die Terme
auf eine Seite bringen:
∂ ∂u ∂v
=0
+
∂x ∂y ∂x
∂ ∂u ∂ 2 v
+
=0
∂x ∂y ∂x2
∂ ∂u ∂v
=0
−
∂x ∂x ∂y
∂2u
∂ ∂v
−
=0
2
∂x
∂x ∂y
(2)
(3)
Jetzt vertauschen wir die Reihenfolge der partiellen Ableitungen in den gemischten Termen,
∂ ∂u ∂ 2 v
+
= 0,
∂y ∂x ∂x2
∂ ∂v
∂2u
−
=0
2
∂x
∂y ∂x
(4)
und ersetzen die partiellen Ableitungen gemäß den CRD,
∂2u
∂u
∂
−
=0
−
2
∂x
∂y
∂y
∂ ∂v
∂2v
+ 2 = 0,
∂y ∂y
∂x
so dass wir schließlich
∂2u ∂2u
+
=0
∂x2 ∂y 2
(5)
∂2v ∂2v
+
=0
∂x2 ∂y 2
(6)
erhalten. Wir haben also gezeigt, dass Real- und Imaginärteil einer komplex differenzierbaren Funktion f (z) jeweils die Laplacegleichung erfüllen, ∆u = 0 und ∆v = 0.
Da ja das elektrische Potential im ladungsfreien Raum ebenfalls die Laplacegleichung
erfüllt, kann für zweidimensionale Probleme der Realteil u(z) (oder der Imaginärteil
v(z)) einer beliebigen analytischen Funktion f (z) als elektrostatisches Potential angesetzt werden. Zusammen mit den vorgegebenen Randbedingungen ist das Potential eindeutig bestimmt. Wir wählen Φ ≡ v.
Die Äquipotentiallinien sind Linien, entlang denen Φ = const gilt. Der Gradient von
Φ steht senkrecht auf den Äquipotentiallinien.
Um also zu zeigen, dass die Linien u = const und v = const senkrecht aufeinander stehen, reicht es in zwei Dimensionen zu zeigen, dass die Gradienten von u und v senkrecht
aufeinander stehen.
∂v
∂u ∂v ∂u ∂v
∂u
∂v
∂u
· ~ex
=
+ ~ey
+ ~ey
+
(7)
∇u · ∇v = ~ex
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x ∂x ∂y ∂y
∂u
∂u ∂u
∂u ∂u ∂u ∂u
CRD ∂u
−
+
=−
=
+
=0
(8)
∂x
∂y
∂y ∂x
∂x ∂y ∂x ∂y
1
Dies ist aber auch gerade die Eigenschaft der Äquipotentiallinien und der Feldlinien
des elektrischen Feldes,
~ = −∇Φ.
E
(9)
Indem wir also die komplexe Ebene C mit dem R2 identifizieren, können wir diese Eigenschaft komplex differenzierbarer Funktionen für die Lösung von Randwertproblemen
in der Elektrostatik anwenden, die sich aufgrund ihrer Symmetrie auf ein zweidimensionales Randwertproblem reduzieren lassen, so beispielsweise bei Translationsinvarianz in
einer Richtung.
Teilaufgabe 13 b)
Wir betrachten nun einen unendlich ausgedehnten Plattenkondensator, dessen untere
Platte bei y = 0 verläuft mit Potential φ0 , und dessen obere Platte sich bei y = y1 mit
dem Potential φ1 befindet.
Der Imaginärteil der Funktion f (z) = cz + iφ0 beschreibt das Potential korrekt, denn
Φ(x, y) = v(x, y) = Imf (z) = cy + φ0
(10)
Damit auch die Randbedingung Φ(y = y1 ) = φ1 erfüllt ist, müssen wir c entsprechend
wählen,
φ1 − φ0
Φ(y = y1 ) = cy1 + φ0 = φ1 ⇐⇒ c =
(11)
y1
Teilaufgabe 13 c)
Konforme Abbildungen erlauben die Lösung der Laplace-Gleichung für nicht-triviale
Randbedingungen durch die Rückführung auf einfache bekannte Geometrien. Man sucht
sich dabei eine konforme Abbildung C → C, z 7→ z ′ , so dass die Geometrie des schwierigen Problems auf eine Geometrie abgebildet wird, für welche die Lösung bekannt ist.
Diese kann dann mit Hilfe der Umkehrabbildung z ′ 7→ z wieder auf die ursprüngliche
z
z′
α
(a) Leiter mit Winkel α
(b) Ebene Platte
Abbildung 1: Abbildung auf eine einfachere Geometrie
2
z′
z
(a) Feld- und Äquipotentiallinien für die ebene Platte.
(b) Feld- und Äquipotentiallinien für Platten mit Winkel α.
Abbildung 2: Abbildung auf eine einfachere Geometrie. Die Abbildung der Feld- und Äquipotentiallinien der ebenen Platte sind gerade eine Lösung für die Platten mit Winkel α.
Geometrie abgebildet werden. Da eine Verkettung analytischer Funktionen wieder eine
analytische Funktion ist, erfüllt die Lösung wieder automatisch die Laplacegleichung.
Als Beispiel betrachten wir zwei unendlich ausgedehnte Leiterplatten bei ϕ = 0 und
ϕ = α, in der Polardarstellung beschrieben durch die Gleichungen rei0 = r und reiα ,
mit r > 0 (siehe Abb. 1a). Diese werden mit der Abbildung z 7→ z ′ , z ′ = z π/α wie folgt
abgebildet:
rei0
π
α
π
= rα
reiα
π
α
= r α eiπ = −r α
π
π
(12)
Die Platte bei ϕ = 0 wird also identisch auf die positive reelle Achse abgebildet, die
Platte bei ϕ = α wird auf die negative reelle Achse abgebildet. Folglich werden die beiden
Platten mit Winkel α gerade auf das Problem einer Leiterplatte bei x = 0 abgebildet
(Abb. 1b), welches ja gerade dem Problem des unendlich ausgedehnten Kondensators
entspricht.
Dieses Problem lässt sich nun einfach lösen, wir haben ja bereits zuvor gesehen dass
die Lösung durch
f (z ′ ) = c z ′ + iφ0
(13)
gegeben ist.
Um die Lösung des ursprünglichen Problems zu erhalten, verwenden wir die Umkehrabbildung Umkehrabbildung z ′ 7→ z, indem wir z ′ = z π/α in Gl. (13) einsetzen. f (z) ist
also gegeben durch
f (z) = c z π/α + iφ0 .
(14)
Wir formen dies noch mit der Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahlen, z =
reiϕ , um zu
π
π
f (z) = c r α ei α ϕ + iφ0 .
(15)
3
Teilaufgabe 13 d)
Das Potential erhalten wir jetzt durch Bildung des Imaginärteils,
π
Φ(r, ϕ) = c r sin
ϕ + φ0 ,
α
π
α
(16)
und das elektrische Feld durch den Gradienten (in Polarkoordinaten!) des Potentials,
~ ϕ) = −∇Φ(r, ϕ) = −~er ∂ Φ(r, ϕ) − ~eϕ 1 ∂ Φ(r, ϕ)
E(r,
∂r
r ∂ϕ
π
π π −1
π
rα π
π
= ~er c r α sin
ϕ + ~eϕ c
cos
ϕ
α α r α α
π
π
cπ π
ϕ + ~eϕ cos
ϕ
= r α −1 ~er sin
α
α
α
(17)
(18)
(19)
Für ϕ = 0 und für ϕ = α verschwindet der Sinus-Term, und das Feld hat nur noch eine
ϕ-Komponente, steht also wie gefordert senkrecht auf den Leiteroberflächen.1
~ ϕ=0 .~n/4π
Die Oberflächenladungsdichte σ erhalten wir über die Beziehung σϕ=0 = E
~ ϕ=α .~n/4π.
bzw. σϕ=α = E
σϕ=0
σϕ=α
1 cπ π −1
c π −1
π
=
r α cos
0 =
rα
4π α
α
4α
c π −1
π
1 cπ π −1
α
r
α =
rα
cos
=−
4π α
α
4α
(20)
(21)
Hierbei haben wir beachtet, dass auf der Grenzfläche ϕ = α der Einheitsvektor ~eϕ
gerade dem Normalenvektor ~n entgegengesetzt ist, weswegen wir in Gl. (21) zunächst
ein Minuszeichen haben, das sich aber mit dem Minus von cos π = −1 weghebt. (Auf
der Grenzfläche ϕ = 0 ist der Normalenvektor gerade in Richtung des Einheitsvektors
~eϕ ). Die Oberflächenladungsdichten sind also gerade gleich groß auf beiden Platten.
π
Die Feldstärke auf der Leiteroberfläche ist also eine Funktion von r α −1 . Für α < π ist
der Exponent positiv. Für kleine r bedeutet dies sehr kleine Feldstärken, das Feld wird
also aus der Ecke gedrängt. In der Ecke geht die Feldstärke gegen Null.
Für α > π ist der Exponent negativ, die Feldstärke wächst also bei abnehmendem
r sehr stark an, d.h. sie erreicht den höchsten Wert gerade an der Spitze. Dies ist das
Funktionsprinzip des Blitzableiters, da ja die Luft gerade bei den höchsten Feldstärken
durchschlägt. Ein Blitzableiter begünstigt also gerade das Einschlagen des Blitzes in den
geerdeten Leiter, bevor die Feldstärken an anderer, zu schützender Stelle den kritischen
Wert erreichen.
1
Allgemein gilt, dass auf der Leiteroberfläche die Normalkomponente gleich dem Betrag des elektrischen Feldes ist. Dies kann dann nützlich sein, wenn man den Betrag des Feldes einfacher berechnen
kann als die Projektion des Feldes auf den Normalenvektor der Leiteroberfläche.
4
Abbildung 3: Mit kleiner werdendem Winkel α werden die Feld- und Äquipotentiallinien dichter
zusammengedrängt. In der Umgebung der Ecke verschwindet dabei die Feldstärke, was sich
durch die abnehmende Feldliniendichte zur Ecke hin zeigt.
5
Abbildung 4: Mit weiter abnehmendem Winkel zeigt sich dies immer deutlicher. Das Feld
wird immer stärker aus der Ecke herausgedrängt. (Anmerkung: Die Dichte der Linien wurde
gegenüber Abbildung 3 reduziert, da man sonst die Linien nicht mehr unterscheiden könnte.)
6
Abbildung 5: Lässt man dagegen den Winkel größer als π werden, so nimmt die Dichte der
Linien ab. Die Feldstärken werden jedoch an der Spitze am größten. (Die Dichte der Linien
wurde dabei gegenüber den vorherigen Plots aus Darstellungsgründen erhöht.)
7
Abbildung 6: Für eine einzige Platte erhält man also die maximale Feldstärke entlang der Kante
(die in diesem Plot senkrecht zur Zeichenebene durch den Ursprung verläuft.). Dieses Prinzip
wird auch bei der Funktionsweise des Blitzableiters genutzt. (Auch hier wurde die Liniendichte
gegenüber Abb. 5 erhöht.)
8