LK H. P. Niedermann Magnetische Felder A.2.17 1 (1– 6) Helium

LK
H. P. Niedermann
Magnetische Felder
A.2.171 (1 – 6)
Helium-Ionen im elektrischen und magnetischen Feld*
1
Geben Sie die Definitionsgleichung der magnetischen Flußdichte B an
und bezeichnen Sie die darin auftretenden Größen in Worten.
Skizzieren und beschreiben Sie kurz einen Versuch, der diese Definition
als sinnvoll begründet.
2
In der unten skizzierten Versuchsanordnung emittiert die Ionenquelle
zweifach positiv geladene He++-Ionen mit der Ladung 2 · e und der Masse
m1 = 4 · u; die Beschleunigungsspannung beträgt U1 = 1800 V. Hinter der
Quelle verläuft der Ionenstrahl parallel zu den elektrischen Feldlinien
durch einen Plattenkondensator und gelangt dann senkrecht zur Feldrichtung in ein kreisförmig begrenztes, homogenes und konstantes Magnetfeld
(Durchmesser 2 R = 0,20 m). Hier durchlaufen die Ionen gemäß Skizze
eine kreisbogenförmige Bahnkurve mit Radius r und kommen schließlich
in einen Detektor. Die ganze Anordnung befindet sich im Hochvakuum.
→
Magnetfeld B
Ionenquelle mit der
Beschleunigungsspannung
U1 = 1800 V
U2
R
–
+
vo
→
B
60°
Abbremskondensator
Detektor
Abb. 1
2.1
Berechnen Sie die Energie der He++-Ionen in eV.
2.2
Berechnen Sie die Geschwindigkeit vo, mit der die He++-Ionen die Quelle
verlassen.
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2.3
Magnetische Felder
A.2.172 (1 – 6)
Zunächst liegt am Kondensator keine Spannung an, d. h. es ist U2 = 0.
2.3.1 Bei der vorhandenen Flußdichte B des Magnetfeldes gelangt der Ionenstrahl in den Detektor, wenn man die Beschleunigungsspannung
U1 = 1800 V einstellt.
Zeigen Sie, daß zwischen U1 und B folgender Zusammenhang besteht:
1 U1 · m1
B =
r
e
2.3.2 Zeigen Sie anhand einer Skizze, daß für den Bahnradius r gilt:
R
r = tan 30°.
Berechnen Sie die Flußdichte B für die gegebenen Größen.
2.3.3 Der Ionenstrahl hat einen kreisförmigen Querschnitt mit dem Durchmesser d = 2 mm. Mit dem Detektor wird die Stromstärke I = 0,15 mA
gemessen. Zeigen Sie anhand einer Skizze, daß für die Stromstärke gilt:
1
I = 2 π d2 · e · vo · n.
Hier ist e die Elementarladung, vo die Ionengeschwindigkeit und n die Ionenzahl je Volumeneinheit.
Berechnen Sie die Zahl der Ionen im Volumen V = 1 mm3.
2.4
Die Quelle wird auf die Abgabe einfach positiv geladener Ionen
unbekannter Masse m2 umgestellt. Die Beschleunigungsspannung beträgt
wieder U1 = 1800 V. Am Abbremskondensator wird die Spannung U2 so
eingestellt, daß der neue Ionenstrahl bei unverändertem Magnetfeld in den
Detektor gelangt.
Zeigen Sie, daß für die Ionenmasse m2 gilt:
m1
U1
·
.
m2 =
2
U1 - U 2
Berechnen Sie für die Größe U2 = 1636 V die Masse m2 in u.
* Prüfung der Fachgebundenen Hochschulreife an den Technischen Oberschulen in
Baden-Württemberg im Schuljahr 1988/89
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A.2.173 (1 – 6)
Lösungen
1
Definitionsgleichung: B =
FM
I · l ges
FM: Betrag der Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter
lges: gesamte Leiterlänge
I:
Stromstärke
Der Leiter ist hierbei senkrecht zu den magnetischen Feldlinien angeordnet.
Versuch:
Man bringt das skizzierte Spulenrähmchen in das homogene Feld einer
langgestreckten Spule.
1. Messung: Die Stromstärke im
Rähmchen wird verändert und FM
gemessen.
Erg.: FM ∼ I bei lges = konstant
2. Messung: Die Gesamtlänge lges
wird verändert (z. B. durch
Änderung der Windungszahl oder
Änderung der Spulenbreite) und
FM gemessen.
→
→
Erg.: FM ∼ lges bei I = konstant
FM2
I
FM1
Gesamtergebnis: Der Quotient
FM
I · l ges
x
ist konstant, er hängt nur
noch vom gegebenen Magnetfeld
ab. Dieser Quotient ist daher eine
geeignete Größe zur Beschreibung
der "Stärke" magnetischer Felder.
→
B
→
FM
Magnetfeld
Abb. 2
2.1
2.2
Nach der Definitionsgleichung der Spannung gilt für die an der Ladung q
verrichtete Arbeit:
Wel = q · U = 2 e · U1 = 2 e · 1800 V = 3600 eV
Leitgedanke: Beschleunigte Bewegung aus der Ruhe heraus, Geschwindigkeit gesucht, also Arbeitssatz (Spannungs-ABS)
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A.2.174 (1 – 6)
Bezeichnen wir die erreichte Endgeschwindigkeit mit v0, so folgt:
1
2
2 m1 v0 = q U1
4 e U1
q
⇔ v0 = 2·
U 1 und mit q = 2 e: v 0 =
(1)
m1
m1
also:
v0 =
4 · 1,6 · 10 -19 C · 1800 V
m
= 4,17 ⋅ 10 5
-27
s
4 · 1,66 · 10 kg
2.3.1 Leitgedanke: Die Ionen beschreiben eine Kreisbahn, die Zentripetalkraft wird von der Lorentzkraft aufgebracht. Daher gilt:
m v
m1 v02
= q v0 B, mit q = 2 e folgt: B = 21r e0
r
Mit (1) erhalten wir dann:
m1
4 e U1
1 U1 m1
B =
⇒
B=
(2)
2re
m1
r
e
2.3.2 Nach der Skizze stehen die
Schenkel MB und BC bzw. MD und AC
aufeinander senkrecht. Daher gilt:
<) ACB = 60° und <) MCB = 30°
Damit folgt für den Bahnradius der
Ionen, die in den Detektor gelangen:
R
R
tan 30° = r oder r =
tan 30°
Mit (2) erhalten wir dann die zugehörige
magnetische Flußdichte:
tan 30°
U1 m1
B= R
e
tan 30°
1800 V · 4 · 1,66 · 10–27 kg
= 0,1 m
1,6 · 10–19 C
= 0,05 T
→
Magnetfeld
B
A
R
M
D
60°
r
B
30°
r
C
Abb. 3
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A.2.175 (1 – 6)
2.3.3 Alle Ionen im Volumen ∆V = A∆s passieren in der Zeit ∆t die rechte
Querschnittsfläche A. Ihre Anzahl ist N = n∆V, wobei n die Ionenzahl je
Volumeneinheit ist. Die transportierte Ladung ist also:
∆Q = N · 2 e = 2 e n ∆V = 2 e n A ∆s
= 0,5 e n π d2 v0 ∆t
Damit folgt für die
Stromstärke:
∆Q
, also
I =
∆t
d
1
I = 2 π d2 e v0 n (3)
Ausschnitt aus dem Ionenstrahl:
πd2
→
vo
Fläche A___
=
4
∆s
Abb. 4
N
Es ist n = V, also N = nV. Mit (3) folgt dann für die Zahl N der Ionen, die
sich im Volumen V befinden:
2IV
N = nV =
π d 2 e v0
Zu V = 1 mm3 gehört also die Ionenzahl:
2 · 0,15 · 10–3 A · (10–3 m)3
= 3,58 · 105
N =
π · (0,002 m)2 1,6 · 10–19 C · 4,17 · 105 ms–1
2.4
Leitgedanke:
– Die neuen Ionen beschreiben eine Kreisbahn mit dem "alten" Radius r. Bezeichnen wir ihre Geschwindigkeit mit v2, so gilt (siehe
2.3.1):
m 2 v 22
reB
(4)
= ev 2 B
oder
m2 =
r
v2
– Jetzt fehlt noch v2!
Die neuen Ionen durchlaufen zuerst die Beschleunigungsspannung U1
und dann die Bremsspannung U2. Sie werden also effektiv durch die
Spannung U1 – U2 beschleunigt. Der Arbeitssatz ergibt dann:
1
2
(5)
2 m2 v2 = e (U1 – U2)
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A.2.176 (1 – 6)
Anmerkung: Wer dieser Überlegung nicht so recht traut, kann die beiden
Vorgänge auch getrennt untersuchen.
1. Beschleunigungsspannung U1:
1
(6)
Der Arbeitssatz ergibt hier: 2 m2 v202 = e U1
2. Abbremsspannung U2:
Achtung: Hier treten die Ionen mit der Geschwindigkeit v20 in den Abbremskondensator ein, es liegt also eine verzögerte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit vor. Der Arbeitssatz ergibt hier:
1
2 1
2
(7)
2 m2 v2 – 2 m v20 = –e U2
Auf der rechten Seite muß hier ein Minuszeichen stehen, da die elektrische Feldkraft bremsend wirkt.
Aus (6) und (7) erhält man dann sofort die Beziehung (5).
– Mit (4) und (5) starten wir nun einen ersten Versuch zur Berechnung
der gesuchten Ionenmasse m2. Hierzu stellen wir (4) nach v2 um und
setzen dann in (5) ein. Wir lösen nach m2 auf und erhalten:
e r2 B2
m2 = 2 (U – U )
1
2
– Ein Blick auf die "Zielformel" zeigt, daß hier noch r und B zuviel ist.
Für die neuen Ionen gelten die alten Werte für r und B, d. h. wir dürfen
hier ohne zu zögern Gl(2) verwenden. Damit folgt dann:
e⋅
U1m1
e
U1
m
U1 − U 2 2
2(U 1 − U 2 )
Hiermit erhalten wir für die gesuchte Ionenmasse:
1800 V · 4 u
m2 = 2 (1800 V – 1636 V) = 22 u
m2 =
⇔
m2
=
·
(8)
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