¨Ubungen zum Integrierten Kurs: Quantenmechanik Blatt 2

Institut für Theoretische Physik
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik
Prof. Dr. J. Repp, Prof. Dr. Klaus Richter
SS 2014
Übungen zum Integrierten Kurs: Quantenmechanik
Blatt 2
Assistants: Gerhard Münnich, Juan-Diego Urbina
Aufgabe 17: Particle in a box with hard walls (T)
In the lecture you have seen the simple example of a quantum mechanical particle in a onedimensional box.
a. Set up and solve similar examples for two and three dimensional cases.
b. How many quantum numbers do you need to characterize the states in one, two, and three
dimensions? Is there any systematics?
c. For the three-dimensional case assume that the box length is the same in all three dimensions.
What is the degeneracy of the states?
Aufgabe 18: Particle in a one-dimensional with soft walls (T)
Consider a similar example in one dimension as the particle-in-a-box, but where the potential
outside the box is only finite, having a constant value Voutside .
a. Set the Schrödinger equation for the bound states (E < Voutside ). Which conditions determine
the posible energies?
b. Write down the equation for the quantized energies and solve it graphically.
c. How deep and broad does the box have to be in order to generate at least one bound state?
d. The wave functions of the solutions of this and the previous exercises can be made real. Why
is this so?
Aufgabe 19: The momentum representation (T)
In the lecture it was shown that the position representation of the momentum operator is given by
hq|p̂ = −i~
∂
hq|.
∂q
Following similar steps, show that
hp|q̂ = i~
∂
hp|.
∂p
Aufgabe 20: The Hamilton operator in momentum representation (T)
Consider the stationary Schrödinger equation
"
#
f
X
1
p̂2α + V (q̂) |en i = en |en i.
2m α=1
1
a. Project the Schrödinger equation on the position eigenstates and define ψn (q) = hq|en i. Use
the fact that position and momentum representation are connected by a Fourier transformation to show that in position representation the Schrödinger equation can be written as
~2 2
∇ + V (q) ψn (q) = en ψn (q),
−
2m
f
P
∂2 .
2
α=1 ∂qα
Which condition on ψ(q → ±∞) must hold in order to obtain discrete values for en ?
where ∇2 =
b. Use similar steps as in part a. to derive the momentum representation for the Schrödinger
equation for an arbitrary potential V (q̂).
Aufgabe 21: Boundary conditions for the Dirac delta potential (T)
Consider the one-dimensional Schrödinger equation for a particle in the presence of the potential
V (q) = αδ(q).
~2 00
ψ (x) + αδ(x)ψ(x) = Eψ(x).
−
2m
a. Assuming that the wavefunction is continuous, integrate both sides of this equation over a
small interval x ∈ [−, ] around x = 0 and show that the solution must satisfy
ψ 0 () − ψ 0 (−) =
2mα
ψ(0)
~2
b. Can the derivative of the wavefunction be discontinuous?
Aufgabe 22: Brechung und Impulserhaltung (E)
Wie durch de-Broglie postuliert, sind Wellenlänge und Impuls durch die Beziehung
λdB =
h
p
verknüpft.
a. Betrachten Sie nun die Brechung in der Optik an einer glatten Grenzfläche. Bei der Brechung
ändert sich die Wellenlänge und somit auch der Impuls. Wenn Sie jedoch den Impuls in seine
Komponenten parallel und senkrecht zur Oberfläche aufteilen, so stellen Sie fest, dass eine
der beiden eine Erhaltungsgröße ist. Welche? Können Sie das mit der Veranschaulichung des
Snellius’schen Brechungsgesetzes in Zusammenhang bringen?
b. Stellen Sie analoge Überlegungen für die Reflektion an.
c. Der Impuls ist eine vektorielle Größe, während die Wellenlänge ein Skalar ist. Der Impulsoperator in der Quantenmechanik
~
p~op = −i~∇
trägt dem Rechnung. Aus den Überlegungen der Teilaufgaben a und b, können Sie aus der
Wellenlänge drei Größen ableiten, die jeweils mit den drei Komponenten des Impulses px , py
und pz im Verhältnis stehen?
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Aufgabe 23: Beugung und Impulserhaltung (E)
In dieser Aufgabe möchten wir das quantenmechanische Bild von Beugung am Spalt und am Gitter
diskutieren. Es falle also ein kollimierter, monochromatischer, kohärenter Lichtstrahl auf eine Blende
mit einem Spalt oder einem Gitter. Weit hinter der Blende und parallel zu ihr sei ein Schirm.
a. Bei der Beugung am Spalt ist das Bild auf dem Schirm über die Fouriertransformierte mit
der Transmissionsfunktion der Blende (Spalt oder Gitter) verknüpft. Rekapitulieren Sie diese
Beziehung.
b. Wir wollen nun, wie in der vorangegangenen Aufgabe, dieses Ergebnis bezüglich des quantenmechanischen Impulses untersuchen. Berechnen Sie zunächst unter Verwendung des quantenmechanischen Impulsorperators die unterschiedlichen Impulskomponenten (senkrecht und
parallel zur Blende) des auf die Blende einfallenden Strahls (vor der Wechselwirkung mit der
Blende).
c. Zur Berechnung des Impulses nach der Blende gehen wir der Einfachheit halber ins Teilchenbild über. Nehmen Sie dazu an, dass sie so wenig Licht durch den Spat oder das Gitter
schicken, so dass sie einzelne Photonen auf dem Schirm nachweisen. Bestimmen Sie die Impulskomponente parallel zum Schirm als Funktion des Ortes, an dem das Photon nachgewiesen
wurde. Offensichtlich kann die Blende einen Impuls auf die Photonen übertragen!
d. Durch die soeben gewonnene Beziehung können Sie das Bild auf dem Schirm direkt in Beziehung setzen zu dem möglichen Impulsübertrag durch die Blende. Geben Sie diese Beziehung
an. Betrachten Sie nun explizit eine vollkommen periodische Blende (Gitter). Welche Impulse
kann diese auf das Photon übertragen?
e. In einem Kristall sind Atome streng periodisch angeordnet. Aufgrund der vorangegangenen
Überlegungen, was würden Sie annehmen, welche Impulse ein Kristall auf quantenmechanische Objekte übertragen kann?
Aufgabe 24: Dispersion und Dispersionsrelation (E)
In der Optik versteht man unter der Dispersion die Abhängigkeit des Brechungsindexes und der
Lichtgeschwindigkeit im Medium von der Frequenz oder Wellenlänge des Lichtes. In der Quantenmechanik gibt die sogenannte Dispersionsrelation“ die Energie als Funktion des Impulses an. Die
”
Dispersionsrelation gibt auch die Kreisfrequenz in Abhängigkeit vom Wellenvektor wieder.
a. Zeigen Sie dass die beiden letztgenannten Funktionen bis auf Proportionalitätskonstanten
gleich sind. Welche Proportionalitätskonstanten ergeben sich?
b. Diskutieren Sie die Relation zwischen der Dispersion in der Optik und der Dispersionsrelation
in der Quantenmechanik.
c. Welche Dispersionsrelation ergibt sich für Photonen im Vakuum?
d. Welche Dispersionsrelation ergibt sich massebehaftete, freie Teilchen aus dem klassischen
Ausdruck für die kinetische Energie?
e. Welche Dispersionsrelation ergibt sich für alle Arten von Wellen, die die Wellengleichung mit
konstanter Geschwindigkeit erfüllen?
f. Diskutieren Sie den Zusammenhang zwischen dieser Aufgabe und Aufgabe 5.
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Please leave the solutions of exercises 18, 21 and 23 in written form in the box by the stairs, before
Mo. 12.05.2014.
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