¨Ubungen zur T2p Quantenmechanik Blatt 6

LMU München / Fakultät für Physik WS 2010/11
Übungen zur T2p Quantenmechanik
Blatt 6
23.11.2010
6.1 Wiederholung/Kurzfragen
1.) limx→±∞ ϕ(x) = 0 für normierbare WF; Stetigkeit von ϕ(x); Stetigkeit von ϕ(x)0 an Stellen mit
V < ∞; Sprungbedingung an ϕ(x)0 für Delta Potential; Verschwinden von ϕ(x) in Bereichen
mit V = ∞.
2.) q.m. Bindungszustand: diskrete Energiewerte, minimale Energie, nicht-verschwindende Wahrscheinlichkeit ausserhalb des Topfs;
q.m. Streuzustand: teilweise Reflektion (ausser für sin(kL) = 0).
3.) Als das Verhältnis der Beträge der Stromdichten von reflektierter bzw. durchlaufender Welle
zur Stromdichte der einfallenden Welle. Stromerhaltung ⇒ T + R = 1.
6.2 Kurzaufgaben
1.) Die zeitunabhängige Schrödingergleichung lässt sich schreiben als
ψ 00 (x) =
2m
(V (x) − E) ψ(x).
~2
Wäre nun E ≤ Vmin , so hätte ψ(x) überall das selbe Vorzeichen wie ψ 00 (x). Die zweite Ableitung
gibt die Änderung der Steigung einer Funktion an. Ist die Funktion an einer Stelle positiv
(negativ), so würde ihre Steigung weiter zunehmen (abnehmen), die Funktion würde also divergieren wie limx→∞ ψ(x) = +∞ (bzw. wie limx→∞ ψ(x) = −∞). Damit wäre eine solche
Wellenfunktion nicht normierbar. Klassisch bedeutet diese Einschränkung, dass die Gesamtenergie E des Teilchens nicht kleiner sein darf als die potentielle Energie. Ansonsten hätte das
Teilchen negative kinetische Energie.
6.3 Aufgaben
1.) Endlicher Potentialtopf:

 B1 eχx
A2 eikx + B2 e−ikx
a) Lösungsweg 1 Mit dem Ansatz ϕ(x) =

A3 e−χx
Wellenfunktion liefern die Stetigkeitsbedingungen für ϕ und ϕ0 bei
tem (Skript S. 34):
falls x < 0,
falls 0 < x < L , für die
falls x > L
x = 0, L das Gleichungssys-
B1 = A2 + B2 ,
χB1 = ik(A2 − B2 ),
A3 e−χL = A2 eikL + B2 e−ikL ,
−χA3 e−χL = ik A2 eikL − B2 e−ikL .
B1
1
Auflösen der ersten beiden Gleichungen nach A2 , B2 liefert: A2 = B
2k (k − iχ), B2 = 2k (k + iχ).
Teilt man die 3. durch die 4. Gleichung und setzt diese Werte für A2 , B2 ein, erhält man die
Gleichung
(
r
2
2 tan( kL
)
tan(z)
2χ/k
χ
z
0
2
tan(kL) =
=
⇒ =
−1=
.
2
2
2
kL
2
1 − χ /k
k
z
1 − tan ( 2 )
− tan(z)−1 .
Lösungsweg 2:
Das Potential V (x) ist symmetrisch bezüglich x = L. Wir verschieben das Symmetriezentrum
der Einfachheit halber in den Ursprung (Die Physik bleibt die gleiche). Es gilt dann V (−x) =
V (x). Um die Schrödingergleichung zu lösen, teilen wir das Potential in 3 Konstante Bereiche
V (x < − L2 ) = 0, V (|x| < L2 ) = −V0 , V ( L2 < x) = 0 auf und betrachten die Schrödingergleichung
für die einzelnen Teilbereiche. Da wir uns für gebundene Zustände interessieren, gilt für die
Energieeigenwerte E: −V0 < E < 0.
• Bereich 1: V (x < − L2 ) = 0
~2 d2
ψ1 (x) = Eψ1 (x)
2m dx2
d2
2mE
ψ1 (x) = − 2 ψ1 (x)
2
dx
~ }
| {z
−
=: κ2
Mit κ > 0, erhält man die Lösung
ψ1 (x) = Aeκx + Be−κx .
Da die Wellenfunktion normierbar sein soll, muss B = 0 gelten und damit
ψ1 (x) = Aeκx .
• Bereich 2: V (|x| <
L
2)
= −V0
~2 d2
−
+ V (x) ψ2 (x) = Eψ2 (x)
2m dx2
2m(E + V0 )
d2
ψ2 (x) = −
ψ2 (x)
2
2
dx
~
|
{z
}
=: ξ 2
ψ2 (x) = C sin(ξx) + D cos(ξx) .
• Bereich 3: V ( L2 < x) = 0
Hier ergibt sich analog zu Bereich 1
ψ3 (x) = Eeκx + F e−κx .
Auch hier muss aufgrund der Normierbarkeit E = 0 sein. Also haben wir
ψ3 (x) = F e−κx .
Die Gesamtwellenfunktion hat also die Gestalt

κx

x < − L2
Ae ,
ψ(x) = C sin(ξx) + D cos(ξx) , |x| < L2 .

 −κx
L
Fe
,
2 <x
Wegen der Invarianz von V (x) unter der Symmetrietransformation x −→ −x ist auch der
Hamiltonoperator Ĥ invariant bezüglich dieser Transformation. Ĥ vertauscht mit dem Paritätsoperator
P̂ , [Ĥ, P̂ ] = 0, d.h. Ĥ und P̂ bilden ein System kommutierender Operatoren. Man kann die
Eigenfunktionen des Hamiltonoperators also in gerade Funktionen P̂ ψ + (x) = ψ + (−x) = ψ + (x)
und ungerade Funktionen P̂ ψ − (x) = ψ − (−x) = −ψ(x) aufteilen. Aufgrund der Symmetrie muss
dann für ψ + A = F und für ψ − A = −F sein. Im Folgenden betrachten wir

κx

x < − L2
Ae ,
ψ + (x) = D cos(ξx) , |x| < L2 .

 −κx
L
Ae
,
2 <x
ψ + (x) und
dψ + (x)
dx
müssen wegen der Stetigkeit der Wellenfunktion den Gleichungen
L
L
ψ2+ ( ) = ψ3+ ( )
2
2
⇔
D cos(
κL
ξL
) = Ae− 2
2
dψ2+ ( L2 )
dψ3+ ( L2 )
κL
ξL
=
⇔
ξD sin( ) = κAe− 2
dx
dx
2
genügen. Dividiert man die untere durch die obere Gleichung, bekommt man
p
r
2m(E + V0 )L
ξL
κ
V0
tan( ) =
⇔
tan(
)=
− 1.
2
ξ
2~
E + V0
√
√
2m(E+V0 )L
0L
Mit den Definitionen z =
und z0 = 2mV
erhalten wir das, was zu zeigen war
2~
2~
r z0 2
− 1.
tan z =
z
Analog für ψ − :
κL
L
L
ξL
ψ2− ( ) = ψ3− ( )
⇔
D sin( ) = −Ae− 2
2
2
2
dψ3− ( L2 )
dψ2− ( L2 )
κL
ξL
=
⇔
−ξD cos( ) = −κAe− 2
dx
dx
2
und deshalb
p
r
2m(E + V0 )L
V0
− cot(
)=
− 1.
2~
E + V0
q z0 2
b) Für V0 → ∞ haben wir
− 1 → 0.
z
Aus tan(z(En )) = 0 oder cot(z(En )) = 0 folgt
z(En ) =
nπ
, n ∈ Z.
2
Daraus folgt:
En = −V0 +
(nπ~)2
.
2mL2
c) Um den Potentialtopf mit Rdem Delta-Funktions Potential V (x) = δ(x)Ṽ0 vergleichen zu können,
betrachten wir die Größe dxV (x) für beide Fälle:
(
Z
V0 · L endl. PT
dxV (x) =
Ṽ0
Delta-Potential
Um ein Delta-Potential mit Parameter Ṽ0 zu erhalten, müssen wir also einen limes betrachten,
in dem L → 0 und V0 → ∞ sodass V0 · L = Ṽ0 , oder V0 = Ṽ0 /L.
Die Abschätzung der Energie-EW des endl. Potentialtopfs (Skript S. 35) war
π 2 (n − 1)2 ~2
π 2 (n)2 ~2
2z0
< En · L + V0 · L <
, 1≤n≤
+ 1.
2mL
2mL
π
Im limes L → 0 werden die linke und die rechte Seite unendlich, ausser für n = 1, dann gilt
0 < Ṽ0 < ∞. Der einzige überlebende Zustand ist daher der Grundzustand.
In diesem limes ist
p √
p
√
2m(1 − ) Ṽ0 L √
z=
∼ L,
= −E/V0 ∼ L .
2~
q z0 2
Die führenden Terme der linken und rechten Seite der Gleichung tan(z) =
− 1 sind dann:
z
p
r √
p
√
2mṼ0 L
z0 2
tan(z) ≈ z ≈
,
− 1 = 1/(1 − ) − 1 ≈ 2~
z
Gleichsetzen der Terme ergibt
E=−
m(Ṽ0 )2
.
2~2
2.) Streuung an Potentialbarriere: Angabe: A1 = 1; vgl. auch Fliessbach Kap. 18
a) falls E ≥ V0 :
√
2m(E−V0 )
q=
(x > 0)
~
Ansatz:
ϕ(x) = A1 eikx + B1 e−ikx (x ≤ 0)
ϕ(x) = A2 eiqx (x > 0)
falls E < V0 :
für x ≤ 0: k =
√
2mE
√~
2m(V −E)
0
und x > 0: l =
~
Ansatz:
ϕ(x) = A1 eikx + B1 e−ikx (x ≤ 0)
ϕ(x) = A2 e−lx (x > 0)
b) Anschlussbedingungen bei x = 0:
falls E ≥ V0 : A1 + B1 = A2 , ik(A1 − B1 ) = iqA2
2k
Daraus folgt: A2 = k+q
A1 und B1 = A2 − A1 = k−q
k+q A1 .
falls E < V0 : A1 + B1 = A2 , ik(A1 − B1 ) = −lA2
2k
A1 und B1 = k−il
Daraus folgt: A2 = k+il
k+il A1 . Die Gleichungen für diesen Fall erhält man
offensichlich aus dem Fall E ≥ V0 durch Ersetzen q → il .
~
c) die Stromdichte j = 2im
(ϕ∗ ∇ϕ − ϕ∇ϕ∗ )
falls E ≥ V0 : ϕE = A1 eikx , ϕR = B1 e−ikx , ϕT = A2 eiqx .
jE =
~k|A1 |2
m , jR
2
1|
= − ~k|B
m , jT =
~q|A2 |2
m
falls E < V0 : ϕE = A1 eikx , ϕR = B1 e−ikx , ϕT = A2 e−lx .
jE =
~k|A1 |2
m , jR
2
1|
= − ~k|B
m , jT = 0
d) falls E ≥ V0 : R =
R+T =1
falls E < V0 : R =
|B1 |2
|A1 |2
=
(1−λ)2
,T
(1+λ)2
|B1 |2
|A1 |2
=
l
l
1+ ik
1− ik
l
l
1− ik 1+ ik
R+T =1
=
q|A2 |2
k|A1 |2
=
4λ
,
(1+λ)2
λ = q/k =
p
1 − V0 /E ∈ [0, 1[
= 1, T = 0
T
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Λ
0.2
0.4
0.6
0.8
Figure 1: Der Transmissionskoeffizient T =
1.0
4λ
(1+λ)2
für E ≥ V0 .
e) Für E > V0 überwindet ein klassisches Teilchen die Potentialstufe immer, im Gegensatz
dazu gibt die QM eine nichtverschwindende Reflektionswahrscheinlichkeit.
Für E < V0 wird ein klassisches Teilchen an der Potentialstufe reflektiert. In diesem Fall
wird auch in der Q.M. das Teilchen vollständig reflektiert, anders als bei einem klassischen
Teilchen ist die Wahrscheinlichkeit es an einem Punkt x > 0 zu detektieren aber ungleich
0. Für den Fall einer endlichen Potentialbarriere mit V (x) > E nur in einem endlichen
Intervall 0 < x < L kann ein q.m. Teilchen durch die Potentialbarriere ’tunneln’.