U - Delta - TU Dortmund

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Dieter Suter
Shaukat Khan
Kapitel 3/4
Rotation und Satz von Stokes
Das Linienintegral eines Vektorfelds entlang eines geschlossenen Wegs =
Integral der "Rotation" des Vektorfelds über die eingeschlossene Fläche.
Die Rotation sagt etwas darüber aus, ob das Vektorfeld einen "Wirbel" bildet
 
 
(Wirbelstärke)
 E  ds   rot E  dA
S
A
  / x   E x 
   
  
rot E    E    / y    E y 
  / z   E 

  z
Sir George Gabriel Stokes
(1819-1903)
Betrachte Rechteck mit den Seiten Dx und Dy
Ex ( y )  Dx  E y ( x  Dx)  Dy  E x ( y  Dy )  Dx  E y ( x)  Dy

E y
E x
 Dy  Dx 
 Dx  Dy  rot E z  Dx  Dy  rot E z  Az
y
x
mit E y x  Dx   E y x  
E y
x
 E z E y 



z 
 y
  E E 

rot E   x  z     E
x 
 Ez

 y  Ex 
 x
y 

 Dx
Anwendung: Elektrisches Feld
Geschlossener Weg in einem konservativen Feld: Gesamtarbeit ist null.
 
 
E

d
s

rot
E
 dA  0


S


rot E  0
A
Das elektrische Feld ist (bei Abwesenheit zeitlich veränderlicher Magnetfelder) wirbelfrei. Dies ist
eine zweite Maxwellsche Gleichung (allerdings noch unvollständig).
1
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Kapitel 3/4
4.1.2 Das elektrostatische Potenzial, Spannung
Benötigte Arbeit, um eine Ladung im E-Feld zu bewegen:
P2
P2
 
 
W  Kraft  Weg   F  ds  q   E  ds
P1
P1
Für die Ladung q im Feld einer Punktladung Q
P2
  q Q
W  q   E  ds 
4 0
P1
r2
1
q Q 1
q Q  1 1 
  

dr



r r 2
4

r
4

r2 
0
0  r1
r
1
r2
Alessandro Guiseppe Antonio
Anastasio Graf von Volta
(1745-1827)
1
Da es sich um ein "konservatives" Kraftfeld handelt (wie im
Fall der Gravitation), ist die Arbeit vom Weg unabhängig und
man kann ein skalares Potenzial definieren.



E  grad 

 P    E  ds
    0
P





P
 P     grad   ds z.B.    dx   x  P   x     P 
x
P
P
Das elektrostatische Potenzial ist die potenzielle Energie pro Ladung.
Die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten ist

     P2  
U   P1    P2    E  ds   E  ds   E  ds
P1
P2
P1
Die elektrische Spannung U ist die im Potenzial
geleistete oder freiwerdende Arbeit pro Ladung.
Nm
J
kg m 2
   U   1
1 1
 1 V (Volt)
C
C
A s3
2
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Kapitel 3/4
Geladene Teilchen der Ladung q werden im elektrostatischen Feld beschleunigt. Ihre kinetische
Energie nach Durchlaufen des Potenzials U ist
W  q U
W   1 J (Joule)
alternativ : W   1 eV  1,6 10-19 C 1
J
 1,6 1019 J
C
Ein Elektronenvolt ist die Energie, die eine
Elementarladung beim Durchlaufen einer
Spannungsdifferenz von 1 V gewinnt, z.B.
Kathodenstrahlröhre ~ 10 keV
Röntgenröhre ~ 50 keV
Van-de-Graff-Beschleuniger ~ 10 MeV
Zum Vorzeichen:
Wenn die Spannung und die Ladung positiv ist, ist die Änderung der kinetischen Energie positiv
und die Änderung der potenziellen Energie ist negativ:
DEkin  DEpot  q U
Eges  Ekin  Epot
3
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Kapitel 3/4
Laplace- und Poisson-Gleichung
   


div E    E 
E  grad   
0
  2  2  2 

 div grad    2  2  2   D 
y
y 
0
 x
Mit Ladungsdichte 
D  
Ladungsdichte  = 0
D  0

0
Siméon-Denis Poison
(1781-1840)
Poisson-Gleichung
Pierre-Simon
Marquis de Laplace
(1749-1827)
Laplace-Gleichung
Das elektrische Feld läßt sich leicht mit dem Coulombschen Gesetz berechnen, wenn alle Ladungen und ihre Positionen im
Raum bekannt sind. Meistens sind jedoch leitende Objekte gegeben, die sich auf einem bestimmten Potenzial befinden,
z.B. an eine Spannungsquelle angeschlossen sind (Netzgerät, Batterie o.ä.). Die beweglichen Ladungen verteilen sich so
um, dass an der Oberfläche des Leiters das Potenzial konstant ist (so dass durch weitere Bewegung der Ladungen kein
energetisch günstigerer Zustand erreicht werden kann) und in jedem Punkt des Raums die Poisson- bzw. LaplaceGleichung erfüllt ist. Die Positionen der Ladungen sind dabei im allgemeinen nicht bekannt. Um das elektrische Feld
außerhalb der Leiter zu ermitteln, wird also zunächst das Potenzial als Lösung der Laplace-Gleichung bestimmt und daraus
durch Bildung des Gradienten das Feld berechnet.
Anschauliche Bedeutung der Laplace-Gleichung (numerische Näherung, hier in 2 Dimensionen):
D 
1   x  0 0   x  1   y  0 0   y  1

 x   x   y   y  40 



 
d d
d  d  d
d  d 2
1
 x   x   y   y 
4
Die Laplace-Gleichung besagt, dass das elektrische Potenzial an jedem Punkt das
arithmetische Mittel der Potenziale der Nachbarpunkte ist.
D  0

0 
4
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Kapitel 3/4
Lösung der Laplace-Gleichung
bedeutet, eine räumliche Verteilung des Potenzials finden, die der Laplace-Gleichung genügt.
Randwertproblem:
Gegeben sind Potenziale  auf Randflächen (Dirichlet-Randbedingung)
oder Normalkomponenten von E-Feldern d/dn (von-Neumann-Randbedingung)
- numerische Lösung durch ein interaktives Computerprogramm
- für einfache Geometrien gibt es "Tricks",
z.B. die Methode der Bildladungen (Spiegelladungen)
Spiegelladungen:
In manchen Situationen kann man Ladungen definieren,
die "hinter der Wand" sitzen und das Feld außerhalb
der Wand nicht ändern. Einfachstes Beispiel: Punktladung
vor einer leitenden Ebene. Da die Feldlinien senkrecht auf
der Ebene enden, kann man sich eine gleich große
Ladung im gleichen Abstand und entgegengesetztem
Vorzeichen hinter der Wand vorstellen.
Das elektrische Feld berechnet sich durch Superposition der
Felder der "echten" Ladungen und der Spiegelladungen.
5
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Beispiele für numerisch berechnete Potenzialverteilungen in 2 Dimensionen
Das Potenzial ist jeweils vertikal gegen zwei Ortskoordinaten aufgetragen.
Das elektrische Feld erhält man, indem man den Gradienten des Potenzials bildet
zwei ungleichnamige
Ladungen
for i=1:60
for j=1:100
"Schleife" über das zweidimensionale Gitter
if m(i,j) == 0
Punkte mit konstantem Potenzial
sind mit m(i,j)=1 markiert
sum=0.0;
count=0.0;
if (i-1) > 0
linker Rand?
sum=sum+x(i-1,j);
count=count+1;
end
rechter Rand?
if (i+1) < 62
sum=sum+x(i+1,j);
count=count+1;
end
if (j-1) > 0
unterer Rand?
sum=sum+x(i,j-1);
count=count+1;
end
if (j+1) < 102
oberer Rand?
sum=sum+x(i,j+1);
count=count+1;
end
zwei positive und
zwei negative Ladungen
xnew(i,j)=sum/count;
end
neuer Wert = Mittelwert =
Summe / Zahl der Summanden
end
end
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4.1.3 Elektrische Dipole
Das elektrisches Feld eines Dipols hängt von seiner Orientierung ab und nimmt mit 1/r3 ab.

  
Ohne Beweis:

  


1
E
4   0 r 3
3  er ( p  er )  cos   p 
p  Qd
d  r1  r2
elektrisches Dipolmoment
Elektrischer Dipol im homogenen elektrischen Feld
Das Drehmoment eines elektrischen Dipols ( positive und negative Ladung Q bei r1,2 ) ist
 
  
     
 

D  r1  F1  r2  F2  r1  Q  E  r2  Q  E  Q  d  E
mit
d  r1  r2

  

D  p E
mit
p  Qd
el. Dipolmoment: Vektor von der negativen zur positiven Ladung
 
Die potenzielle Energie ist Epot   p  E
d.h. sie ist am kleinsten (größter negativer Wert), wenn der Dipol im elektrischen Feld ausgerichtet ist.
Elektrischer Dipol im inhomogenen elektrischen Feld
z.B. 1 - dim in x :
 dE 
F
p
dx
Ein inhomogenes elektrisches Feld übt auf einen elektrischen Dipol nicht nur ein Drehmoment,
sondern auch eine beschleunigende Kraft aus.
Beispiel: Dipol im Feld einer negativen Punktladung bei x = 0. Das elektrische Feld ist zur Ladung
gerichtet. Wenn der Dipol ausgerichtet ist, dann wird aufgrund der verschiedenen Abstände die
positive Dipolladung stärker angezogen als die negative Dipolladung abgestoßen wird.

r1

d


r

p
r2

p
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4.1.4 Kondensator
speichert Ladung (Vorläufer: Leidener Flasche)
- Plattenkondensator
- Kugelkondensator (zwei konzentrische Kugelflächen)
- Drehkondensator (variable Fläche)
In der Elektronik i.d.R. aus aufgerollten Platten (große Fläche, kleiner Abstand)
mit einem "Dielektrikum" zwischen den Platten (s. später).
Leidener Flasche
Proportionalitätsfaktor zwischen Spannung und gespeicherter Ladung
+Q und Q an den gegenüberliegenden Platten: Kapazität C
C   1 C  1 F (Farad)
Q  C U
V
Modellfall: Plattenkondensator mit Plattenabstand x2  x1 = d
Laplace-Gleichung in 1 Dimension: linearer Verlauf des Potenzials
 2


0





 a integriert

  x   a  x  b
integriert
x 2
x
E x  grad   
E


Q

 0 A  0
U
Qd
A0
Verschiedene Kondensatoren
(Quelle: Wikipedia, CC, Autor: Fabian R)

  U
 const   2 1 
x
d
d
(s. weiter oben: Anwendung des Gaußschen Gesetzes)

C
Q
A
 0
U
d
Kondensatorbank im Hochfeld-Magnetlabor
(Quelle: Helmholtzzentrum Dresden-Rossendorf)
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Energie des elektrischen Felds
Aufladen eines Kondensators. Änderung der
Energie durch Hinzufügen der Ladung dq
dW  U  dq 
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Versuche mit Plattenkondensator:
Erhöhung der Spannung erhöht das
elektrische Feld, ebenso eine
Verringerung des Plattenabstands.
1
q  dq
C
Q
1
1 Q2 1
W   q  dq 
 C U 2
C0
2 C 2
Am Beispiel des Plattenkondensators: W 
1
A
1
1
2
  0  E  d     0  E 2  A  d    0  E 2  V
2
d
2
2
Allgemein: Energiedichte (Energie/Volumen) des elektrischen Felds: w 
W 1
 0  E2
V 2
Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren
C
Q
U
parallel :
in Reihe :
1
 Qi  i Ci
U i
1
1
 U i  
Q i
i Ci
C gesamt 
1
C gesamt
Kapazität und damit die
Ladung wird addiert
Spannung wird addiert,
Kapazität wird kleiner.
9
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Kapitel 3/4
4.1.5 Dielektrika im elektrischen Feld
Wenn man in einen Plattenkondensator bei konstanter Ladung einen Isolator (Dielektrikum) einbringt,
sinkt die anliegende Spannung und das elektrische Feld, d.h. die Kapazität (Ladung pro Spannung) mit
Dielektrikum (D) hat sich gegenüber der Kapazität mit Vakuum oder Luft (V) um einen Faktor  erhöht.
Dieser Faktor heißt relative Dielektrizitätskonstante, Dielektrizitätszahl oder relative Permittivität.
Typische Werte:
Glas
Porzellan
Keramiken
Wasser
Luft
UD 
ca. 3-5
ca. 6-7
100-1000
81
1,0006
UV


C D    CV

ED 
EV

Ursache ist die Polarisierung des Dielektrikums, in dem die Ladungen nicht frei beweglich sind. Im E-Feld
bilden sich elektrische Dipole, deren Dipolmoment proportional zum Feld ist. Manche Dielektrika bestehen
aus Molekülen mit einem Dipolmoment, das sich im E-Feld ausrichtet (Orientierungspolarisation, z.B.
Wasser), andere bilden Dipole durch Verschiebungen der Elektronenhülle gegen den Atomkern
(Verschiebungspolarisation, nur ca. 1/10.000 Atomdurchmesser).
Die Vektorsumme aller Dipolmomente pro Volumen heißt
Polarisation:
 1


P   pi   0  c  ED
V i
P 
C
m2
c = dielektrische Suszeptibilität (dimensionslos)
ED  EV 
EV  ED 
P
0
P
0
 EV  c  ED

 pol
0


ED 
1
EV
1 c
c   1
P   pol
Durch Polarisation entstehen an den Oberflächen des Dielektrikums Polarisationsladungen.
Ihre Flächendichte hat denselben Betrag wie die Polarisation
10
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Kapitel 3/4
Energie des elektrischen Felds in Dielektrika
Die Kapazität eines Kondensators erhöht sich um den Faktor  . Energie bei konstanter Spannung:
1
1
1
WD  CD U 2    CV U 2   WV     0  E 2 V
2
2
2
1
wD   0    E 2
2
Verhalten des E-Felds an den Oberflächen von Dielektrika
Wenn das elektrische Feld senkrecht auf der Oberfläche steht, verkleinert sich E um den Faktor  :
Für die Normalkomponente von E gilt also
E
ED 
V

Wenn aber das Feld schräg auf der Oberfläche steht (was bei Nichtmetallen ok ist), bleibt die
Tangentialkomponente (parallel zur Oberfläche) konstant, weil die Rotation null sein muss.
S

rot E  0
 
E
  ds  0
ED||  EV||
S
11
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4.2 Der elektrische Strom
4.2.1 Ladungstransport
Während für den Zusammenhalt der Materie die Gesetze der Elektrostatik
ausreichend zu sein scheinen (eine vollständigere Erklärung benötigt man
allerdings die Quantenmechanik), basieren die meisten Anwendungen der
Elektrotechnik und Elektronik auf dem elektrischen Strom, d.h. der
Beweglichkeit von Elektronen in Metallen und Halbleitern.
Es gibt aber noch andere Arten des Ladungstransports. Im Allgemeinen bezeichnet
man mit "Strom" die Ladungsmenge, die pro Zeiteinheit durch eine gedachte
Fläche tritt, egal wie die Bewegung der Ladung verursacht wird:
André-Marie Ampère
(1775-1836)
dQ 
Q
dt
I   1 C  1 A (Ampere)
s
I
Ladungstransport:
- Bewegung von Elektronen in Metallen und Halbleitern
- Bewegung von Ionen z.B. in wässrigen Lösungen
- Bewegung von Elektronen und Ionen in Plasmen
- Bewegung von Ladung durch mechanischen Transport (van-de-Graaf-Generator)
- Bewegung von geladenen Teilchen als Teilchenstrahl in Beschleunigern
Beispiel für Teilchenstrahlen: Elektronenspeicherring DELTA
Strahlstrom 130 mA, Geschwindigkeit ≈ c, Umfang 115,2 m.
Umlaufzeit = Umfang/c
Ladung = Strom·Umlaufzeit
Elektronenzahl = Ladung/e
115,2 m
 3,84 10 7 s  384 ns
3 108 m/s
C
Q  I  T  0,13 3,84 10 7 s  5 10 8 C  50 nC
s
8
Q
5 10 C
N 
 3,11011 Elektronen
19
e 1,6 10 C
T
12
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Zur Erinnerung:
Die SI-Einheit 1 A ist die Stromstärke, bei der zwei parallele Leiter (unendlich dünn, unendlich lang)
pro Meter eine Kraft von 2∙107 N aufeinander ausüben.
Technische Stromrichtung = Richtung der Bewegung positiver Ladungen
(≠ Richtung der Elektronen in einem Leiter)
4.2.2 Das Ohmsche Gesetz
Angenommen, der Strom wird durch ein elektrisches Feld bewirkt (kein
mechanischer Transport, kein Teilchenstrahl). Dann ist die Stromdichte j
(Strom/Fläche) dem elektrischen Feld proportional:


j   el  E
 el   1 A2  As  1 A2  m  1
m
N
m
V
A
Vm
Georg Simon Ohm
(1789-1854)
elektrische Leitfähigkeit
Leiter mit Querschnitt A und Länge L
I  jA
 el 
1
 el
R   el
L
A
U  EL

I   el
el   1 V m  1  m
A
R  1 V  1 
A
A
1 A
U
U 
U 
L
 el L
R
spezifischer Widerstand (z.B. Kupfer 1,7∙10-8  m)
(Ohm) elektrischer Widerstand
I
U
R
U  RI
R
U
I
13
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Driftgeschwindigkeit der Elektronen in einem Draht
Elektronen bewegen sich unter dem Einfluss eines elektrischen Felds durch ein Metall, wobei sie oft
Stöße mit Atomen erleiden. Wie groß ist die resultierende Driftgeschwindigkeit, wenn durch einem
Draht mit Querschnitt 1 mm2 ein Strom von 1 A fließt?
Realistische Annahme: 1 freies Elektron pro Atom → ungefähr n = 1029 Elektronen / m3
I 1
vDrift
C DQ
n  A  DL  e

 vDrift 
 vDrift
s DL
DL
I
1 C m3


 0,6 mm/s
n  A  e 10 29 s 10 6 m 2 1,6 10 19 C
Supraleitung
Der Widerstand steigt normalerweise mit der Temperatur
(zunehmende Zahl von Kollisionen). Bei vielen
Materialien verschwindet der Widerstand jedoch völlig (!)
unterhalb einer "Sprungtemperatur" von wenigen K.
Dieser quantenmechanische Effekt wurde 1911 zuerst an
Quecksilber beobachtet und erst in den 1950er Jahren
erklärt (BCS-Theorie). Im Jahr 1986 wurden
"Hochtemperatur"-Supraleiter entdeckt (damals bei 85 K,
also oberhalb der Temperatur von flüssigem Stickstoff),
für die noch keine vollständige theoretische Erklärung
vorliegt. Wesentliche Anwendung: Magnete mit hohem
Feld für die Medizin (Magnetresonanztomografie MRT)
und in Teilchenbeschleunigern (z.B. LHC bei CERN).
Georg Bednorz (*1950)
Alexander Müller (*1927)
Heike Kamerlingh Onnes
(1853-1926)
14
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4.2.3 Elektrische Energie und Leistung
Arbeit
W  U  Q  U  I  Dt
dW
P
 U  Q  U  I
dt
P  1 J  1 VA  1 W
s
W   1 J  1 Ws (auch kW  h )
Mit dem Ohmschen Gesetz: P  U  I 
2
U
 RI2
R
Bauformen elektrischer Widerstände
(Wikipedia, GFDL, Autor: Honina)
Die elektrische Energie, die sich durch einen elektrischen Widerstand ausdrücken lässt, wird in Wärme
umgewandelt und muss abgeführt werden (z.B. Wärmeleitung; Konvektion, oft unterstützt durch
Lüfter; Wasserkühlung), kann aber z.B. auch zum Heizen verwendet werden.
4.2.4 Stromkreise, Kirchhoffsche Regeln
Ein Stromkreis beinhaltet einen geschlossenen Kreis mit Strom/Spannungsquelle
und mind. einem Verbraucher. Beide haben einen elektrischen Widerstand.
Knotenregel: Ein Knoten ist ein Punkt, an dem mehrere Leiter sich treffen. Die Summe der einlaufenden
Ströme ist gleich der Summe der auslaufenden Ströme - 1. Kichhoffsches Gesetz
I 0

i
i
Maschenregel: Eine Masche ist ein geschlossener Stromkreis. Die Summe aller an den Verbrauchern
abfallenden Spannungen ist gleich der Generatorspannung (kann wie Verbraucherspannung mit entgegengesetztem Vorzeichen in die Summe eingehen) - 2. Kirchhoffsches Gesetz.
U
j
 U0
j
Anmerkung: "abfallende" Spannung = Widerstand des Verbrauchers ∙ Strom (Ohmsches Gesetz)
15
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Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen
(a) Reihenschaltung: die Spannungsabfälle addieren sich
U
i
 I   Ri U 0
i

Rgesamt  R1  R2  
i
(b) Parallelschaltung: die Ströme addieren sich
I
i
U 
i
i
G
1
R
1
0
Ri


1
Rgesamt

Ggesamt  G1  G2  
1
1


R1 R2
( Summe der Leitwerte Gi )
Spannungsteiler (2 Widerstände in Reihe)
Spezialfall der Reihenschaltung von Widerständen
I
U1 U gesamt

R1 R1  R2
U1 
R1
U gesamt
R1  R2
16
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4.2.5 Aufladen/Entladen von Kondensatoren
Ein Kondensator (Kapazität C) wird über einen Widerstand (R) mit einer Spannungsquelle (U0) geladen.
Zur Zeit t = 0 wird ein Schalter geschlossen. U(t) ist Spannung am Kondensator:
U 0  U R (t )  U C (t )  R  I (t ) 
Q(t )
C

U 0 Q(t )

R R C
1
1
dI


dt
 I (t )
R C 
I (t ) 
dI (t )
1 dQ(t )
1


I (t )

dt
R  C dt
R C
1
ln I (t )  
t  const
t  0 : const  ln I (0)
R C
1 

I (t )  I (0)  exp  
t
 R C 
ln I (t )  ln I (0)  ln
I (t )
1

t
I (0)
R C

1 

U C (t )  U 0  R  I (t )  U 0  1  exp  
t  
R

C



(analoge Rechnung für den Entladevorgang)
Beispiel:
17
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Kapitel 3/4
4.2.6 Ladungstransport in Flüssigkeiten und Gasen
Strom fließt in Elektrolyten – Flüssigkeiten, in denen Säuren, Laugen oder Salze gelöst sind, in denen
sich also bewegliche Ionen befinden. Ionen bilden sich, wenn die Dissoziation (d.h. die Auflösung des
gelösten Moleküls in Ionen) energetisch günstig ist. Dissoziation kostet Energie, aber die Anlagerung
von Wassermolekülen (mit elektrischem Dipolmoment) an die Ionen ist mit einem Energiegewinn
verbunden. Die Leitfähigkeit erhöht sich mit der Ionenkonzentration (bis zur Sättigungskonzentration)
und der Temperatur.
In Gasen entstehen Ionen, wenn Atomen in Stößen die zum Entfernen eines Elektrons notwendige
Energie zugeführt wird:
- thermische Ionisation (Stöße der Atome aufgrund ihrer kinetischen Energie)
- chemische Prozesse (z.B. in einer Kerzenflamme)
- Elektronenionisation (Stöße der Atome mit beschleunigten Elektronen)
- Photoionisation (Stöße mit hochenergetischen Lichtteilchen, UV- oder Röntgenphotonen)
Gasentladungen: Elektronen werden zwischen Kathode und Anode soweit beschleunigt, dass sie die
zur Ionisierung benötigte Energie überschreiten. Ionen prallen auf die Kathode und setzen weitere
Elektronen frei. Werden mehr Elektronen freigesetzt als verbraucht, brennt die Entladung selbständig.
Bei diesen Prozessen werden Atome auch angeregt (Leuchterscheinungen).
- Glimmentladung: geringe Stromstärke in Gas bei niedrigem Druck
- Bogenentladung: hoher Strom bei hohem Druck, Glühemission aufgrund von Erwärmung
- Funkenentladung: kurzzeitige Bogenentladung (Blitzgerät, Gewitterblitz)
Hörnerelektroden: Entladung an Luft
Elektrodenabstand ca. 5 mm, Spannung 10,6 kV.
Bei größerem Elektrodenabstand sorgt eine
Kerzenflamme für die Ionisierung der Luft.
18
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Kapitel 3/4
4.2.7 Stromquellen
Erzeugung von Strom
- bei der Trennung von Ladungen (mechanisch, chemisch, durch Induktion ...) wird Arbeit gegen die
elektrostatische Anziehung geleistet. Es entsteht eine Potenzialdifferenz (elektrische Spannung).
- verbindet man die Orte getrennter Ladungen mit eine Leiter, fließt ein Strom. Bedingungen für den
Stromfluss: Ohmsches Gesetz und Fluss der Stromquelle
U
dQ
I
R
I
dt
d.h. die Quelle kann die Ladungen nicht unbedingt so schnell liefern, wie das Ohmsche Gesetz bei
gegebenem Widerstand R des Leiters verlangt. Die Klemmenspannung ("elektromotorische Kraft") der
unbelasteten Quelle sinkt aufgrund des Innenwiderstands, wenn ein Verbraucher mit Widerstand R
angeschlossen wird und ein Strom fließt:
U  U 0  Ri  I
U  U0 
und
I
U0
R  Ri


Ri 
R  Ri  Ri
  U 0 
U  U 0  1 
R  Ri
 R  Ri 
R
R  Ri
Alessandro Volta führt Napoleon
seine Batterie vor (1801)
19
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Kapitel 3/4
Galvanische Elemente (elektrochemische Zellen)
sind Anordnungen aus zwei Elektroden in einem Elektrolyten. Bei Primärelementen verbrauchen sich
die beteiligten Substanzen, sie sind nicht regenerierbar (Batterien, von frz. battre = hauen, prügeln).
Sekundärelemente sind, wenngleich nicht beliebig oft, regenerierbar (Akkumulatoren).
Ein in einen Elektrolyten getauchtes Metall gibt in begrenztem Maße positive Ionen ab und wird durch
die verbleibenden Elektronen elektrisch negativ. An der Grenzfläche entsteht ein elektrisches Potenzial,
das einen für jedes Metall charakteristischen Wert hat. Taucht man zwei verschiedene Metalle in einen
Elektrolyten, so entsteht eine Potenzialdifferenz. Verbindet man die Metalle mit einem Leiter, fließt ein
Strom, dessen Richtung von den jeweiligen Potenzialen abhängt. Beispiel:
Elektronen fließen von einer Zinkelektrode zu einer Kupferelektrode (Strom von "Pluspol" Kupfer zum
"Minuspol" Zink), wenn beide in eine Kupfersulfatlösung getaucht sind. Ein Zinkatom , das zwei
Elektronen abgegeben hat, bleibt in der Lösung. Ein gelöstes Kupferatom, das zwei Elektronen
aufnimmt, wird elektrisch neutral und scheidet sich an der Kupferelektrode ab. Die Zinkelektrode
verbraucht sich, die Kupferelektrode wird dicker. Man sagt, Kupfer sei "edler" als Zink (edel zu sein
hat offenbar etwas mit Dickwerden zu tun).
Die Elektronenabgabe nennt man Oxidation, die Elektronenaufnahme Reduktion. Beides zusammen
wird als Redoxreaktion bezeichnet.
Thermoelektrische Spannung
entsteht, wenn zwei Metalle ringförmig verbunden sind und die beiden Kontaktstellen
verschiedene Temperaturen haben (Seebeck-Effekt). Für kleine Temperaturdifferenzen
U  S1  S2  DT
Si = Seebeck-Koeffizienten, typisch einige 10 mV/K
Fügt man eine Spannungsquelle ein, so erwärmt sich eine der Kontaktstellen, die andere
kühlt sich ab (Peltier-Effekt).
20
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Kapitel 3/4
4.3 Magnetostatik
4.3.1 Beobachtugen
Permanentmagnete
Bereits im Altertum wurde beobachtet, dass es Mineralien gibt, die
Eisen anziehen. Auch Eisen kann diese Wirkung haben, wenn es
längere Zeit einem Magnetfeld ausgesetzt wurde (z.B. dem
Erdmagnetfeld). Materialien, die dauerhaft diese Eigenschaft
besitzen, heißen Permanentmagnete. Jeder Magnet hat zwei Pole,
"Nordpol" und "Südpol" genannt, weil sich ein frei beweglicher
Magnet (z.B. eine Kompassnadel) sich ungefähr in der geografischen
Nord-Süd-Richtung ausrichtet. Gleichnamige Pole stoßen sich ab,
ungleichnamige ziehen sich an. Einzelne magnetische Pole werden
nie beobachtet.
Magnetfelder stationärer Ströme (I = const.)
Elektrischer Strom beeinflusst eine Kompassnadel (Rosagnosi 1802,
Oerstedt 1820). Dies ist das erste Phänomen, das eine Verbindung
zwischen Elektrizität und Magnetismus zeigte. In der Umgebung
eines geraden Leiters richtet sich eine Kompassnadel tangential zu
einem Kreis um den Leiter aus.
Gian D. Romagnosi Hans Christian Oersted
1761-1835
1777-1851
Zwei parallele Leiter mit gleichsinnigem Strom ziehen sich an, mit
entgegengesetztem Strom stoßen sie sich ab. Da die Leiter elektrisch
neutral sind (auch wenn ein Strom fließt), kann dies nicht die
elektrostatische Coulomb-Kraft sein, sondern muss die Wirkung
eines anderen Felds sein.
21
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Kapitel 3/4
4.3.2 Erzeugung zeitlich konstanter magnetischer Felder
Magnetische Flussdichte

B
SI :
B  1 V 2s  1 T
(Tesla)
m
cgs : B   1 G (Gauss)  10 4 T
(auch magnetische Induktion
oder - inkorrekt - Feldstärke
genannt)
Magnetfelder wirken auf Ströme, also auf bewegte Ladungen. Da die Bewegung eine Richtung hat,
ist der Zusammenhang zwischen Kraft und Feld etwas komplizierter als bei elektrischen Feldern:




 
F  qE
F  q v B

  
F  Q E  v B
 


B  1 N  s
Cm
1
J s
V s
1 2
2
Cm
m
Beide Kräfte zusammen werden als Lorentzkraft bezeichnet.
Kraft auf ein Leiterstück der Länge L mit Ladungsdichte l senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld B:
 
v  B:
F  qv B  l  Lv B  I  L B
Stationäre Ladungen erzeugen konstante elektrische Felder: Elektrostatik
Stationäre Ströme erzeugen konstante magnetische Felder: Magnetostatik
Für stationäre Ströme betrachten wir ausgedehnte zeitunabhängige Stromverteilungen. Analog zum
Coulomb-Gesetz beschreibt das Biot-Savart-Gesetz das Magnetfeld, das von einem Strom I entlang
eines Leiterstücks dl erzeugt wird.
22
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Kapitel 3/4
Das Biot-Savartsche Gesetz
Magnetisches Feld am Ort r2 aufgrund eines stromdurchflossenen Leiters am Ort r1

 
 

 


m0 dl  e21
m0 e21  dl
I  e21
r2  r1
r21
e21     
 r212 dl  4 I  r212   4 I  r212
r2  r1
r21
2
2
7 T  m
7 V  s  m
7 V  s
m0  4 10
 4 10

4


10
Am
m2  A  m
Am
J s
N
 4 10 7
 4 10 7 2
m0   0  1 / c 2
CAm
A
m0: magnetische Feldkonstante (auch Induktionskonstante oder Vakuumpermeabilität)
 
m
B(r2 )  0
4
Etwas andere Formulierung des Biot-Savartschen Gesetzes:
 
m
B(r2 )  0
4

 
j  e21
dV
r212
 j   1 A2
m
Stromdichte
Jean-Baptiste Biot
1774-1862
Félix Savart
1791-1841
Hieraus lassen sich folgende Gesetze herleiten (was wir hier nicht explizit tun wollen):
 

  B  div B  0

 
B
  dA  0
(hier wurde der Satz von Gauß verwendet)
V
Die Divergenz des Magnetfelds ist null. Es gibt keine Quellen und Senken des Magnetfelds, d.h. es
gibt keine magnetischen "Ladungen", also keine magnetischen Monopole. Magnetische Feldlinien
beginnen und enden nirgends, sondern sind stets geschlossen.
 


  B  rot B  m0  j

 
B
  ds  m0  I
(hier wurde der Satz von Stokes verwendet)
S
Ampèresches Gesetz: Die Rotation des Magnetfelds ist nicht 0, sondern gleich der Stomdichte (mal m0
in SI-Einheiten). Das Magnetfeld ist nicht wirbelfrei, da magnetische Feldlinien nicht an magnetischen
"Ladungen" enden.
23
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Kapitel 3/4
Beispiel: Magnetisches Feld eines unendlich langen stromdurchflossenen Drahts
Ähnlich der Berechnung des elektrischen Felds eines homogen geladenen Stabs gibt es bei der
Berechnung des Magnetfeld eines unendlich langen stromdurchflossenen Drahts
- eine komplizierte Variante: Biot-Savart-Gesetz und Integration über den Draht
- eine einfache Variante: Amperesches Gesetz, betrachte einen Kreis um den Draht mit Radius r
 
B
  ds  B  2  r  m0  I

S
B
m0  I
2  r
Beispiel: Magnetisches Feld einer langen Spule
Die Spule besteht aus N Windungen und hat die Länge L. Beim
Linienintegral kann das Feld außerhalb der Spule vernachlässigt werden.
 
B
  ds  B  L  m0  N  I
S

B  m0  n  I
mit
n
N
(Dichte der Windungen)
L
24
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Kapitel 3/4
4.3.3 Magnetische Kräfte auf Leiter und geladene Teilchen
Kraft zwischen zwei parallelen stromdurchflossenen geraden Drähten
Strom in jedem Draht I, Abstand zwischen den Drähten R:
F  I LB
m I
B 0
2  R
mit
F m0 I 2
I2
7 N

  2 10

L 2 R
A2 R

Annahme: Strom beider Drähte in dieselbe Richtung, z.B. nach oben. Das Feld von Draht 2 zeigt am Ort
von Draht 1 aus der Bildebene heraus (rechter Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen Richtung des BFelds). Die Kraft auf Draht 1 zeigt nach rechts (rechter Daumen folgt dl, Zeigefinger in Feldrichtung,
Mittelfinger zeigt die Richtung der Kraft). Ergebnis: Gleichsinnig stromdurchflossene Drähte ziehen
sich an, gegensinnig durchflossene Drähte stoßen sich ab.
Kraft auf ein geladenes Teilchen mit Ladung q in einem homogenen B-Feld
Bewegung senkrecht zum Magnetfeld, z.B. in einem Detektor, Teilchenbeschleuniger oder Speicherring.
Bedingung: Zentripetalkraft = Lorentzkraft
a)


 
 
m  v2 
eR  q  v  B
vB
R
m  v 2 m0    v 2

 qv B

R
R
R
m0    v
p

qB
qB
b)
Umlaufszeit und Kreisfrequenz (sog. "Zyklotronfrequenz")
T
2  R 2  m0  

v
qB

2
qB

T
m0  
Beispiel:
Zwei Beschleunigertypen
a) Beim Zyklotron nimmt
der Bahnradius mit
zunehmendem Impuls zu
(die Umlaufzeit ist
konstant solange  ≈ 1)
b) Bei Synchrotron wird
das Magnetfeld synchron
mit dem zunehmenden
Impuls hochgefahren.
25
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Ein einfacher Unipolarmotor (rechts), der mit
dem sog. Barlowschen Rad (1822) verwandt ist.
Elektronen bewegen sich in radialer Richtung
und senkrecht zu einem Magnetfeld, durch das
sie eine Lorentzkraft erfahren. Durch Stöße der
Elektronen mit dem Atomgitter überträgt sich
ihre Bewegung auf das Rad (das im rechten Fall
gleichzeitig der Magnet ist).
Kapitel 3/4
Kabel
Batterie
Peter Barlow
(1776-1862)
Schraube
Magnet
4.3.4 Das magnetische Vektorpotenzial
Weil die Rotation des E-Felds null ist, kann man ein elektrostatisches skalares Potenzial definieren.
Dies ist für das B-Feld nicht der Fall, aber:
Weil die Divergenz des B-Felds null ist, kann man ein magnetisches Vektorpotenzial definieren:
  

B  rot A    A
weil



 
div B      A  0
ist.
Dies folgt aus Regeln für Divergenz und Rotation. Ohne Beweis: die Divergenz der Rotation ist immer
null. Das elektrostatische Potenzial ist nicht eindeutig. Man kann eine Funktion addieren, deren Gradient
null ist (also eine Konstante). Auch das magnetische Potenzial ist nicht eindeutig. Man kann ein Feld
addieren, dessen Rotation null ist (z.B. Coulomb-Eichung, Lorenz-Eichung, s. elektromagnetische Wellen)
4.3.5 Das Magnetfeld als relativistischer Effekt
Die Lorentz-Kraft auf eine bewegte Ladung in der Umgebung eines stromdurchflossenen Drahts kann als
eine Modifikation der Coulomb-Kraft aufgrund der relativistischen Lorentz-Kontraktion der bewegten
Ladungsverteilung gedeutet werden. Magnetismus ist also ein relativistischer Effekt, der sich sogar bei
den kleinen Geschwindigkeiten der Elektronendrift in einem Draht bemerkbar macht! Der relativistische
Effekt ist winzig, aber da die Ladungsdichte pro Länge ist sehr groß ( l0 ≈ 104 C/m bei ca. 1 freien
Elektron pro Atom), ergibt sich eine deutliche Wirkung.
26
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Elektrostatik
Magnetostatik
Elementare Objekte:
positive/negative Ladungen q
Elementare Objekte:
bewegte Ladungen, Ströme,
atomare magnetische Dipole
Feld:
elektrisches Feld E


F  e E
 
div E 
Feld:
magnetisches Feld B

 
F  ev  B



div B  0 
B  rot A


rot B  m0  j
0

rot E  0

E  grad 

Coulombsches Gesetz:

1
q 
E
 2  er
4 0 r
Biot-Savartsches Gesetz:


 
m0 e21  dl
B(r2 )  
I
4  r212
Gaußsches Gesetz:
 
  q
div E 
 E  dA 
Ampèresches Gesetz:

 

rot B  m0 j
 B  ds  m0  I

V
0
Shaukat Khan
Kapitel 3/4
S
Dipol im elektrischen Feld:

 


D  pel  E
pel  q  d
Dipol im magnetischen Feld:

 


D  pm  B
pm  I  A
Materie im elektrischen Feld:
Polarisation
 1


P    pel ,i
P   0  c  ED
V i


E  0   D
Hilfsfeld D:
(diel. Verschiebungsdichte)
Materie im magnetischen Feld:
Magnetisierung
 1


M    pm,i
M  cm  H
V i


B  m0  m  H
Hilfsfeld H:
(mag. Erregung, mag. Feldstärke)
27
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Kapitel 3/4
4.3.6 Materie im magnetischen Feld
Der Hall-Effekt
Die Kräfte auf bewegte Ladungen in einem Leiter bewirken nicht nur eine Kraft auf den Leiter als Ganzes,
sondern auch eine Ladungstrennung quer zur Stromrichtung. Durch eine Metallplatte der Breite b und
Dicke d fließt ein Strom I, senkrecht dazu sei ein Magnetfeld B. Die Zahl der beweglichen Elektronen
pro Volumen sei n. Mit der Lorentzkraft lässt sich die Hall-Spannung berechnen:
F  q  EH  q  v  B
U H  b  EH  b  v  B 
UH 
I
B
ned
mit
(v  B )
j  nev
b j
B
ne
I  j bd
Wichtige Anwendung: Messung von Magnetfeldstäken (Hall-Sonde)
Edwin Hall
(1855-1938)

Kraft auf eine (rechteckige) Stromschleife im Magnetfeld
Nur die Kräfte auf die senkrechten Segmente heben sich nicht auf
F  I  b  B  sin 
 

D  pm  B
a
b
a
D  2   F  sin   
I 
a
 b  B  sin 
2
pm
Drehmoment
28
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Kapitel 3/4
Magnetisierung von Materie im Magnetfeld
Magnetische Felder bewirken in Materie eine Magnetisierung M, definiert als die Summe der
magnetischen Dipolmomente p, geteilt durch das Volumen - ähnlich der Polarisation, die durch ein
elektrisches Feld verursacht wird.
 1
A  m2
A B
M
V
  p m ,i
M   1
i
m3
1
m
 
 m0 
Hier werden
- existierende, aber ungeordnete atomare Dipole parallel zum B-Feld ausgerichtet (Paramagnetismus)
- Dipole "induziert", die (im Gegensatz zur Polarisation) antiparallel zum Feld sind (Diamagnetismus)
Diese magnetischen Eigenschaften sind allgegenwärtig, aber die Kräfte auf die meisten Materialen sind so
schwach, dass sie kaum beobachtet werden. Nur Eisen, Kobalt und Nickel sowie einige Legierungen
zeigen einen stärkeren magnetischen Effekt (Ferromagnetismus), so dass der falsche Eindruck entsteht, die
meisten Materialien seien "nicht magnetisch".
Die atomaren Dipole kann man sich als kleine Stromschleifen vorstellen. In der Tat können Elektronen
aufgrund ihrer Bahn um den Atomkern ein magnetisches Dipolmoment haben. Darüber hinaus haben sie
aber ein magnetisches Moment aufgrund ihres "Spin". Der Effekt geht über die klassische Elektrodynamik
hinaus. Die "atomaren Stromschleifen" können daher nur im Rahmen der Quantenmechanik beschrieben
werden und sollen im Folgenden ohne weitere Erklärung vorausgesetzt werden.
Polarisationsströme
Im Innern eines homogen magnetisierten Materials heben sich die
Ströme der "atomaren Stromschleifen" auf, am Rand addieren sie
sich zu einem Polarisationsstrom.
29
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Kapitel 3/4
Das Gesamtfeld wird von "freien" Strömen (in Drähten) und Polarisationsströmen hervorgerufen.
Damit kann das Ampèresche Gesetz neu formuliert werden:
 1   
rot  B  M   j f
0
m

 
rot H  j f
 
H
  ds  I f
H   1 A
m
H
Die Größe H wird oft als "magnetisches Feld" bezeichnet, oder (um sie besser vom B-Feld
abzugrenzen, als "magnetische Erregung". Für Para- und Diamagnete gilt näherungsweise


M  cm  H



 



B  m0  H  M  m0  1  c m  H  m0  mr  H  m  H
cm = magnetische Suszeptibilität (dimensionslose Proportionalitätskonstante)
Hysterese
B und H hängen nicht linear voneinander ab. Darüber
hinaus ist die Beziehung nicht eindeutig, sondern hängt
von der "Vorgeschichte" ab (Hysteresekurve)
- erstmalige Magnetisierung: Neukurve
- Sättigung bei Feld HS bzw. BS
- magnetische Erregung null (Strom null): remanentes Feld BR
- B-Feld null bei entgegengesetzter Erregung: Koerzitivfeldstärke HC
30
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Paramagnete
Stoffe mit permanenten magnetischen Dipolen, z.B. Al, Na.
Suszeptibilität positiv im Bereich von 10-6 bis 10-9.
Diamagnete
Stoffe, die keine permanenten magnetischen Dipole besitzen,
z.B. Edelgase, Cu, Ag, Au, Pb.
Suszeptibilität negativ im Bereich von 10-4 bis 10-6.
Ferromagnete
Ein Aluminiumstäbchen (Paramagnet) dreht sich
parallel zum magnetischen Feld, ein Stäbchen aus
Wismut (Diamagnet) dreht sich senkrecht dazu.
Stoffe mit permanenten magnetischen Dipolen, die das Bestreben zeigen,
sich wie ihre Nachbarn auszurichten (kollektives Phänomen), z.B. Fe, Co, Ni.
Suszeptibilität positiv und sehr hoch im Bereich von 102 bis 106.
Ohne äußeres Feld sind die magnetischen Momente innerhalb kleiner Bereiche
ausgerichtet (Domänen oder Weißsche Bezirke). Die Orientierung der Domänen
ist zunächst zufällig. In einem starken Magnetfeld verschieben sich die Domänengrenzen, so
dass eine Magnetisierungsrichtung vorherrscht. Die Domänen haben das Bestreben, diesen
Zustand beizubehalten (Permanentmagnete). Thermische Bewegung wirkt der Ausrichtung
entgegen. Bei der sog. Curie-Temperatur werden Ferromagnete paramagnetisch
(z.B. Fe TC = 774 C).
Andere magnetische Materialien
Ferrimagnete und Antiferromagnete sind Stoffe, deren Kristallgitter sich durch Untergitter mit
entgegengesetzen magnetischen Momenten beschreiben lassen.
31
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Kapitel 3/4
4.4 Zeitlich veränderliche Felder
4.4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
Romagnosi 1802, Oerstedt 1920: Magnetismus durch elektrischen Strom
Faraday 1831: Elektrischer Strom durch Magnetismus, Grundlage der Stromwirtschaft
Eine Spannung wird in einer Spule "induziert", wenn sich der magnetische Fluss
(Skalarprodukt aus B-Feld und Fläche) durch die Spule ändert:
- Änderung des Magnetfelds durch Nähern/Entfernen eines Permanentmagneten oder
durch Änderung des Stroms in einer zweiten benachbarten Spule
- Änderung der Spulenfläche durch Zusammendrücken/Auseinanderziehen/Drehen oder
Änderung der Windungszahl.
N
Je schneller die Änderung, desto höher die induzierte Spannung
U ind  
U ind


d  
d
B  dA    m

dt
dt
 
 
  E  ds   rot E  dA
 
d
E

d
s


m

dt

d 
rot E   B
dt
Michael Faraday
1791-1867
S
Faradaysches Induktionsgesetz
(Satz von Stokes)
V
Messverstärker
oder
Spiegelgalvanometer
Dieses E-Feld ist nicht konservativ. Ein elektrostatisches Potenzial
gibt es nur für ein E-Feld, das durch statische Ladungen erzeugt wird.
Beispiel: rotierende Spule im Magnetfeld
d  
d
U ind    B  dA    B  N  A1  cost   B  N  A1    sin t 
dt
dt
N: Windungszahl
A1: Fläche einer Windung
32
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Versuche zur Induktion
Shaukat Khan
Kapitel 3/4
a)
a) Stab bewegt sich nach rechts, Fluss durch die Schleife
vergrößert sich. Vom Strom I bewirktes Feld in der
Schleife ist dem äußeren Feld entgegengesetzt.
b) Stab bewegt sich nach rechts, Fluss durch die Schleife
verkleinert sich. Vom Strom I bewirktes Feld in der
Schleife ist dem äußeren Feld richtungsgleich.
b)
dA
U ind   B 
 B  b  v
dt
c) Strom fließt durch den Stab, die Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter bewegt ihn nach links.
c)
Beispiel: Flugzeug im Erdmagnetfeld
Boeing 747, Spannweite b = 70 m, v = 1000 km/h = 278 m/s
Erdmagnetfeld B = 0,05 mT
Annahme: v senkrecht zu B. Ergebnis:
induzierte Spannung zwischen den Flügelenden ca. 1 V
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Shaukat Khan
Kapitel 3/4
4.4.2 Die Lenzsche Regel
Der durch eine induzierte Spannung fließende Strom ist so gerichtet, dass er ein
Magnetfeld erzeugt, das der Änderung des magnetischen Flusses entgegenwirkt.
Beispiel:
Wirbelströme bremsen die Bewegung einer metallischen Scheibe durch ein Magnetfeld
- wird als Fahrzeugbremse verwendet ("Wirbelstrombremse")
Heinrich Lenz
(1804-1865)
Konsistent mit der Lorentzkraft - Beispiel:
Ring bewegt sich auf Nordpol zu, d.h. Elektronen bewegen sich im Magnetfeld und erfahren eine Lorentzkraft, wobei
es auf die Feldkomponente senkrecht zur Bewegung ankommt (3-Finger-Regel der linken Hand, weil Elektronen negativ
sind). Aus der resultierenden (technischen) Stromrichtung und der Rechte-Hand-Regel ergibt sich ein Magnetfeld, das
dem zunehmenden Feld des Magneten entgegensteht.
Ein Ring springt beim Einschalten des
Magneten aufgrund des Induktionsstroms
nach oben (Lenzsche Regel), ein
geschlitzter Ring bleibt liegen.
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Kapitel 3/4
Ab hier noch nicht in der Vorlesung behandelt !
4.4.3 Selbstinduktion und gegenseitige Induktion
Selbstinduktion
U ind
d
  m
dt

t2
 m , 2   m,1    U ind  dt
t1
Für eine gegebene Leiterschleife oder Spule ist der magnetische Fluss proportional zum Strom.


 m   B  dA  L  I
U ind   L 
L = Selbstinduktionskoeffizient, Induktivität
L  1 V  s  1 H
dI
dt
A
(Henry)
Ändert sich der Strom durch die Spule, so wird eine Induktionsspannung induziert. Dies nennt man
"Selbstinduktion", also Induktion aufgrund des Spulenfelds, nicht eines äußeren Magnetfelds.
Beispiel: Induktivität einer Spule
Magnetfeld einer Spule mit Windungsdichte n:
B  m0  n  I
U ind  n  l 
mit
n
N
l
 m  m0  n  I  A
d m
dI
dI
 n  l  m0  n   A   L 
dt
dt
dt

L  m0  n 2  l  A  m0  n 2 V
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4.4.4 Der Verschiebungsstrom
Bisher:


B
rot E  
t
und


rot B  m0  j
Ein Analogon zum Ampèreschen Gesetz (etwa: Rotation E = Stromdichte magnetischer Ladungen) ist
mangels magnetischer Monopole nicht zu erwarten. Welche Auswirkung hat aber ein zeitlich
veränderliches E-Feld?
Beispiel: Ein Kondensator wird aufgeladen. Das Integral über eine Schleife um die Zuleitungen ergibt
nach dem Ampéreschen Gesetz den eingeschlossenen Strom (multipliziert mit m0). Eine Schleife um den
Raum zwischen den Kondensatorplatten würde aber keinen Strom umschließen. Eine zeitliche
Änderung des Felds im Kondensator führt aber auch hier zu einem Magnetfeld:


 

 1 E
E
rot B  m0   j  jV   m0  j  m0   0 
 m0  j  2
t
c t
Zur Erinnerung: elektrisches Feld eines Kondensators ist durch die Flächenladungsdichte  gegeben
E

0

jV 

E
 0
t
t
Dieser Ausdruck wird als Verschiebungsstrom bezeichnet.
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Zusammenfassung: Maxwellsche Gleichungen (im Vakuum)
Differenzielle Form
Integralform
 
div E 
  Q
E
  dA 
0
0
Elektrische Ladungen sind Quellen des elektrischen Felds (Gaußsches Gesetz ). An
ihnen beginnen und enden elektrische Feldlinien.

div B  0
 
B
  dA  0
Es gibt keine magnetischen "Ladungen". Magnetische Feldlinien haben keinen
Anfang oder Ende.


B
rot E  
t
1873
 
  
E

d
s


B  dA

t 
Geschlossene elektrische Feldlinien entstehen durch die zeitliche Änderung
magnetischer Felder (Induktionsgesetz).


 1 E
rot B  m 0  j  2 
c t
 
1   
B

d
s

m

I


E  dA
0

c 2 t 
Geschlossene magnetische Feldlinien entstehen durch die zeitliche Änderung
elektrischer Felder (Verschiebungsstrom) sowie durch einen Strom bewegter
elektrische Ladungen (Amperesches Gesetz).
James Clerk Maxwell (1831-1879),
Katherine Maxwell und Toby
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