03.11.2015 Welle-Teilchen-Dualismus, Wellenfunktion

Experimentalphysik III
TU Dortmund
WS2015/16
Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 2
Wechselwirkung von Photonen mit Materie
- photoelektrischer Effekt
- Comptonstreuung
- Paarbildung g  e+e- für Photonenenergien über 2mec2
Die Wirkungsquerschnitte (Maß für die Wahrscheinlichkeit) für diese Prozesse lassen sich im Rahmen
der Quantenelektrondynamik (QED) berechnen. Es handelt sich hierbei stets um die elektromagnetische
Wechselwirkung (im Gegensatz zur starken oder schwachen Wechselwirkung und zur Gravitation), bei
der die Vorstellung besteht, dass es neben "reellen" Photonen auch noch "virtuelle" Photonen gibt. Diese
virtuellen Photonen werden zwischen geladenen Teilchen ausgetauscht und bewirken deren gegenseitige
Anziehung oder Abstoßung.
Feynman-Diagramm
Richard P. Feynman
(1918 - 1988)
1
Experimentalphysik III
TU Dortmund
WS2015/16
Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 2
2.4 Welle-Teilchen-Dualismus
Auch für Teilchen?


Analog zu den Photonen p    k auch für Teilchen, z.B. Elektronen
2 h
  
De-Broglie-Wellenlänge
p
k
Louis de Broglie
(1892 - 1987)
1924 Dissertation von L. de Broglie
1926 Beugungsringe für Elektronen hinter einer Folie beobachtet (C. J. Davisson, L. H. Germer)
Materiewellen, Wellenfunktion
 ( x, t )  C  eit -k x   C  ei Et - px / 
1 2
mv
2
Ekin     
p  k  mv
v = Teilchengeschwindigkeit (nicht-relativistisch)
Phasengeschwindigkeit
Ein Punkt einer Welle mit einer bestimmten Phase (z.B. Maximum) bewegt sich mit der "Phasengeschwindigkeit"
ei t -k x   ei
z.B.   0
 t  k  x

v ph 

k
Die Phasengeschwindigkeit kann sogar höher sein als die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit (z.B.
für eine Radiowelle in einem zylindrischen Rohr), wobei keine Information transportiert wird.
Für Materiewellen:

E m  v2 1
v ph   

k p
2 mv

v ph 
v
2
2
Experimentalphysik III
TU Dortmund
WS2015/16
Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 2
1
Ekin      mv2
p  k  mv
2



 ( x, t )  C  eit -k x   C  ei Et - p x / 
E
Gruppengeschwindigkeit
p2
2m
Wenn die Welle nicht beliebig ausgedehnt ist, sondern eine Einhüllende hat (z.B. rechteckig oder gaußförmig),
bewegt sich die Einhüllende mit der "Gruppengeschwindigkeit", die von der Phasengeschwindigkeit abweichen
kann. Um eine Einhüllende zu erzeugen, benötigt man mindestens zwei Frequenzen und Wellenzahlen

und
  
mit
k
und
k  k
(eine einzige Frequenz würde ja einer unendlich ausgedehnten Sinuswelle entsprechen). Ein Maximum der
Einhüllenden erhält man für Phasengleichheit der beiden Teilwellen
  t - k  x       t - k  k   x
x 
d
vg  
 vg 
t k
dk

0    t - k  x
Dispersionsrelation (k) für Photonen bzw. Lichtwellen im Vakuum:
 (k ) 
E c p

 ck


linear  keine Dispersion
Dispersionsrelation (k) für Materiewellen (nicht relativistisch):
E
p2
k2
 (k )  

 2m  
2m
Gruppengeschwindigkeit:
Dispersion
nicht linear  Dispersion
d d   2 k 2    k p

 
vg 


dk dk  2m    m
m
v ph  vg  v

vg  v
Teilchengeschwindigkeit = Gruppengeschwindigkeit: Wellenpakete
3
Experimentalphysik III
TU Dortmund
WS2015/16
Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 2
Kopenhagener Deutung (1927)
Wahrscheinlichkeitsinterpretation
 ( x, t ) dx
2

mit
  ( x, t )
2
dx  1
x  -
Max Born
Werner Heisenberg
ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen
(1882 - 1970)
(1901 - 1976)
zur Zeit t an einem Ort zwischen
x und x+dx anzutreffen. Wo sich das Teilchen bei einer Messung befinden wird, kann
(nach der Kopenhagener Deutung) prinzipiell nicht vorhergesagt werden.
Niels Bohr
(1885 - 1962)
Alternative Deutungen
- es gibt unbekannte "verborgene Variablen", die den Ort des Teilchens festlegen (David Bohm)
- verschiedene Messergebnisse in verschiedenen "Welten" realisiert (Viele-Welten-Theorie)
Experiment von Davisson und Germer
Physical Review 30, 705 (1927)
Ein Elektronenstrahl wird auf eine Nickelprobe
gelenkt. Die Winkelverteilung der gestreuten
Elektronen zeigt ein Interferenzmuster
(Hinweis auf die Wellennatur der Elektronen).
Clinton Davisson und Halbert Germer
(1881 - 1958)
(1896 - 1971)
4
Experimentalphysik III
TU Dortmund
WS2015/16
Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 2
2.5 Materiewellen und Unschärferelation
Wellenfunktion
Teilchen werden durch Wellenpakete dargestellt und haben eine de-Broglie-Wellenlänge
Teilchengeschwindigkeit entspricht der Gruppengeschwindigkeit der Welle
 ( x, t )  C0  eit -k x   C0  eiEt - px / 
 ( x, t ) dx
2
Ekin    
p  k

mit
  ( x, t ) dx  1
2
x  -
Betragsquadrat der Wellenfunktion (∙dx) ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t in [x,x+dx] zu finden.
Der Determinismus wird zu Gunsten einer Wahrscheinlichkeitsinterpretation (Kopenhagener Deutung) aufgegeben.
Ein Wellenpaket enthält ein Spektrum von k-Werten (ein scharfer k-Wert erzeugt einen unendlichen Wellenzug)

 ( x, t )   C k   e
-
i  k  x - t 

 dk
z.B. t  0
 ( x, t )   C k   eik  x  dk
-
Spektrum und Wellenfunktion sind durch Fourier-Transformation verknüpft, d.h.
schmales Spektrum, kleine Impulsunschärfe  breite Verteilung in x, große Ortsunschärfe
breites Spektrum, große Impulsunschärfe  schmale Verteilung in x, kleine Ortsunschärfe
kastenförmige Verteilung der k-Werte  [sin(x)/x]2-Form des Wellenpakets
normalverteilte k-Werte  Gauß-förmiges Wellenpaket
5
Experimentalphysik III
TU Dortmund
z.B. normalverteilte k-Werte:
WS2015/16
C (k )  e
Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 2
1 ( k - k0 ) 2
- 
2 s k2

 ( x,0)   e
1 ( k - k0 ) 2
- 
2 s k2
 e ik  x  dk  e -s k  x
2
2
-
 ( x,0)  e
2
s x s k 
- 2s k2  x 2
e
-
1 x2
2 s x2

s x2  s k2 
1
4
1
2
s ist die Standardabweichung, andere Konvention
bei anderen k,x-Verteilungen ist das Produkt größer
ursprünglich
Werner Heisenberg
(1901 - 1976)
x  2s x
und
k  s k
x  k  1
x  p x  
x  p x   Heisenbergsche Unschärferelation
x  p x  h
(1927)
(wieder andere Definition der Breite)
Bedeutung:
- man kann keinen Zustand herstellen, bei dem Ort und Impuls eines Teilchens beliebig genau festgelegt sind
- man kann Ort und Impuls eines Teilchens nicht beliebig genau gleichzeitig messen
- Wellenpakete "zerfließen"
p 2 (0)
z.B. Messung von Ort und Impuls bei t = 0:
x(t )  x (0)  v  t  x (0) 
Jede genauer der Ort gemessen wurde,
desto geringer die Breite des Pakets in x bei t = 0,
aber desto schneller läuft das Paket auseinander.
2

x(t )  x (0)  2
t2 
t
2
m  x (0)
m  x(0)
2
2
g
2
2
m
2
t2
2
6
Experimentalphysik III
TU Dortmund
WS2015/16
Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 2
Im Alltag mit massiven Teilchen nicht beobachtbar, z.B. 1 mm großes Körnchen unter einem Mikroskop:
x  1 μm  10 -6 m


3
m  ρ V  1 kg/m 3  10 -6 m  10 -18 kg
 6,6 10 -34 kg  m 2 /s
p 

 10 - 28 kg  m/s
-6
x
6.28 10 m
p 10 -28 kg  m/s
v 

 10 -10 m/s
-18
m
10 kg
Unschärferelationen zwischen anderen physikalischen Größen
z.B. Energie und Zeit
Frequenzverteilung am Ort x = 0:
C ( )  e
1 ( -0 ) 2
- 
2
s 2

 (0, t )   e
1 ( -0 ) 2
- 
2
s 2
 e -i t  d  e -s  t
2
2
-
 (0, t )  e - 2s  t  e
2
E   
2
2
-
1 t2
2 s t2

s  s t 
1
2
E  t  
7
Experimentalphysik III
TU Dortmund
WS2015/16
Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 2
Doppelspaltexperimente mit Licht
- ein Spalt verdeckt:
Beugungsmuster des Spalts
- beide Spalte, aber inkohärentes Licht:
doppeltes Maximum
- beide Spalte und kohärentes Licht:
Interferenzmuster,
Abstand der Streifen hängt von Spaltabstand ab,
Einhüllende ist (im Fernfeld) Beugungsmuster des Spalts
Intensität proportional zum Betragsquadrat des (komplexen) E-Felds
2   2
I  E  E1  E2
Doppelspaltexperimente mit Kugeln (z.B. Fußbälle)
- ein Spalt verdeckt:
ein Maximum
- beide Spalte:
doppeltes Maximum
Intensität proportional zur Wahrscheinlichkeit der Auftreffpunkte
I  P  P1  P2
8
Experimentalphysik III
TU Dortmund
WS2015/16
Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 2
Doppelspaltexperimente mit Elektronen
- ein Spalt verdeckt:
Beugungsmuster des Spalts
- beide Spalte und Wege nicht unterscheidbar:
Interferenzmuster,
Abstand der Streifen hängt von Spaltabstand ab,
Einhüllende ist (im Fernfeld) Beugungsmuster des Spalts
Intensität proportional zum Betragsquadrat der Gesamtwellenfunktion,
d.h. der Summe beider Wellenfunktionen
I  P     1  2
2
2
- Wege unterscheidbar (z.B. an Elektronen gestreutes Licht detektiert):
Interferenzmuster verschwindet
Intensität proportional zur Summe der Wahrscheinlichkeiten
I  P  P1  P2   1   2
2
2
Wie kann sich das Muster auf dem Schirm ändern?
Die Streuung am Licht stört die Bahnen der Elektronen; generell: Messprozesse beeinflussen stets die Messung.
Interferenz tritt auf, wenn zwei (oder mehrere) Wege zum selben Endzustand führen und nicht beobachtet werden.
Das können geometrische Wege sein, aber auch z.B. energetische Zwischenzustände eines Atoms, Kerns usw. oder
ununterscheidbare Teilchen.
Experimente
- Thomas Young (1802)
- Claus Jönnson, Zeitschrift f. Physik 161 (1961), 454
- später auch Neutronen, Atome, Moleküle (z.B. Fullerene 2000)
9