10.11.2015 Eigenschaften von Operatoren, Bohrsches Atommodell

Experimentalphysik III
TU Dortmund
WS2015/16
Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 2
Wiederholung und neue Schreibweise
Wellenfunktionen, Vektoren im "Hilbert-Raum"
 (s)  

in diesem Raum ist ein Skalarprodukt definiert

*
  dx   


zu jeder Observablen gehört ein Operator, mit
dem ihr Erwartungswert bestimmt werden kann
Eigenwertgleichung (nicht immer erfüllt)
A   *  Aˆ   dx   Aˆ 
Paul A. M. Dirac
(1902 - 1984)

Aˆ   A   A  
Dirac'sche Schreibweise mit
"bra"- und "ket"-Vektoren
(engl. "bracket" = Klammer)
Impuls- und Energieoperator
für ein Teilchen mit wohldefiniertem Impuls (aber in diesem Fall beliebig großer Ortsunschärfe)
 ( x , t )  C0  e
i
i  k  x  t 
 C0  e
i
 p x  x  E t 


 ( x, t )  p x  ( x, t )
x
und analog für py und pz
Impulsoperator


p̂  i    
Analog dazu:
i 

 ( x, t )  E  ( x, t )
t
Energieoperator

Eˆ  i   
t
  / x 
 

    / y 
  / z 


Dies ist keine "Herleitung" des Impuls- oder Energieoperators, sondern macht nur die Form dieser Operatoren anhand einer
besonders einfachen Wellenfunktion plausibel. Es wird postuliert, dass diese Form allgemein gilt.
1
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Kapitel 2
Eigenschaften von Operatoren
linear:
Aˆ a ( x)  b ( x)  aAˆ  ( x)  bAˆ  ( x)
selbstadjungiert:
Erwartungswerte sind reell (messbare Größen). Das erfordert eine besondere
Eigenschaft der Operatoren, sie sind "hermitesch"

A  A
*

*
 Aˆ   dx   ( Aˆ  )   dx
*



allgemein gilt
Charles Hermite
(1822 - 1901)



*
Aˆ   dx   ( Aˆ  )*   dx
Aˆ   Aˆ


wobei A+ der "adjungierte" Operator ist, z.B. adjungierte Matrix:
komplex konjugierte Elemente, Zeilen und Spalten vertauscht. Damit die
Erwartungswerte reell sind, muss also der Operator gleich seinem adjungierten
Operator sein. Operatoren in der Quantenmechnik sind "selbstadjungiert".
Beispiel: Impulsoperator

 
 *



dx

 
 i x
i
*

*

*
  
  





dx




 x  i
 i x     dx


unter Verwendung der partiellen Integration
b
 f  g 'dx  f  g
a
b
b
a
  f 'g  dx
a
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Anwendung von Orts- und Impulsoperator nacheinander
hängt von der Reihenfolge ab (so wie z.B. die Multiplikation von Matrizen)

x
xˆpˆ x  pˆ x xˆ   i   
xˆpˆ x  i    x
xˆ, pˆ x   i  
pˆ x xˆ  i  
Kommutator
allg.

x    i     i    x 
x
x
rˆ , pˆ   i    
j
k
jk
Orts- und Impulsoperator sind nicht vertauschbar ("inkompatible Observable"). Ebenso
tˆ, Eˆ   i  
Ganz allgemein gilt:
Zwei Observable können genau dann präzise Werte annehmen, wenn ihre Operatoren vertauschbar sind.
Kommutator ungleich null besagt, dass beide Observable nicht gleichzeitig präzise gemessen werden können, bzw.
dass eine Unschärferelation zwischen beiden besteht.
Wenn zwei Observable gleichzeitig präzise messbar sind, gelten für ihre Operatoren die Eigenwertgleichungen
Aˆ   A 
Bˆ   B 
Aˆ Bˆ   Aˆ B    B  Aˆ   B  A   A  B   A  Bˆ   Bˆ  A    Bˆ Aˆ 
 
 
und die Operatoren sind vertauschbar
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2.7 Die Atomvorstellung
Vor dem Aufstellen der Wellengleichung für Materiewellen (der sog. Schrödinger-Gleichung) soll noch eine
weitere Motivation für die Quantenmechanik (außer den Hinweisen auf Photonen) erwähnt werden: die Atome.
Leukippos
(5. Jh. v. Chr.)
Demokritos
(um 400 v. Chr.)
Platon
(428 - 348 v. Chr.)
Joseph J. Thomson
(1856 - 1940)
Niels Bohr
(1885 - 1962)
Erste experimentelle Hinweise:
- ganzzahlige Gewichtsverhältnisse bei chemischen Reaktionen
- Brownsche Molekularbewegung und kinetische Gastheorie
- Entdeckung von Elektronen und Radioaktivität
- Spektralanalyse von Licht
Später:
- Rutherfordsche Streuexperimente
- Röntgenbeugung an Kristallen
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Atomspektren
Linienspektren (z.B. Gasentladung) im Gegensatz zum kontinuierlichen Spektrum
eines schwarzen Strahlers. Die Spektralanalyse z.B. von Flammen oder Sonnenlicht
zeigt Linien, deren Wellenlängen für das jeweilige chemische Element charakteristisch
sind (Bunsen, Kirchhoff). Hier die sog. Balmer-Serie des Wasserstoff:
links: Gustav Kirchhoff
(1824 - 1887)
rechts: Robert Bunsen
(1811 - 1899)
  364,56 nm

9/5
Spektrallampe
Spalt
Hg 10
Linse f = 70 mm
16 / 12
n2
 2
25 / 21 n  4
36 / 32
Geradsichtprisma
CCD-Kamera
Objektiv f = 250 mm
(in der Vorlesung wurde ein Geradsichtprisma
und eine CCD-Kamera verwendet)
Empirischer Befund: Frequenz n
R n2  4
1 1 
   2  R   2 
4 n
4 n 
allg.

 1 1
 2 
2
n
 1 n2 
  R  
Rydberg-Formel
mit der Rydbergkonstante R
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Kapitel 2
Man beobachtet
- Emissionslinien treten auch als Absorptionslinien auf
- Linien sind für jedes chemische Element charakteristisch
- Linien sind nicht beliebig scharf
 1 1
 2 
n1  n2
2
n
n
2 
 1
R  3,289 1015 Hz  1,097 107 m -1  13,6 eV
  R  
n1 = 1, n2 = 2, 3, 4, ... Lyman-Serie
121 nm  91 nm
n1 = 2, n2 = 3, 4, 5, ... Balmer-Serie
656 nm  365 nm
Johannes Rydberg
(1854 - 1919)
Johann Balmer
(1825 - 1898)
n1 = 3, n2 = 4, 5, 6, ... Paschen-Serie 1874 nm  820 nm
n1 = 4, n2 = 5, 6, 7, ... Brackett-Serie 4051 nm  1458 nm
n1 = 5, n2 = 6, 7, 8, ... Pfund-Serie
7456 nm  2278 nm
Für wasserstoff-ähnliche Ionen (Kern + 1 Elektron) gilt
 1 1
 2 
2
n
 1 n2 
  Z 2 R  
n1  n2
Fazit: Sprünge in einem Energieschema der Form
Z2
En   R  2
n
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Der Franck-Hertz-Versuch
K2
+
Z
K1
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=
100 nF
_
_
+
U H = 7 V-
Elektronen werden in einer mit Quecksilberdampf gefüllten Triode
beschleunigt. Bei einer Beschleunigungsspannung von Vielfachen von
4,9 V geht der Elektronenstrom deutlich zurück. Die Quecksilberatome
nehmen bei Stößen mit den Elektronen Energie in Quanten von 4,9 eV
auf.
James Franck
(1882 - 1964)
Gustav Hertz
(1887 - 1975)
Obwohl die ersten Experimente schon 1911 durchgeführt wurden, sind
die Details immer noch Gegenstand der Forschung, sie z.B.
G. Rapior et al., American Journal of Physics 74 (2006), 423.
Hier werden u.a. Abweichungen von der Äquidistanz der Maxima
untersucht und erklärt.
1
J. Franck und G. Hertz:
Über Zusammenstöße zwischen Elektronen
und Molekülen des Quecksilberdampfes und die
Ionisierungsspannung desselben.
In: Verh. Dtsch. Phys. Ges.. Nr. 16 (1914), S. 457
2
Oszillograf: 1. Beschleunigungsspannung
2. Elektronenstrom
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2.8 Das Bohrsche Atommodell
Zentripetalkraft = Coulombkraft *)
  v2
r
1
Z  e2


4   0 r 2

Z  e2
r
4   0    v 2
me  mKern
 me
me  mKern
p   v  k 
"reduzierte Masse"
h

zusätzliche Bedingung: Umfang der Bahn = ganzzahliges Vielfaches der de-Broglie-Wellenlänge 
2  r  n    n 
h
 v

Z  e2
4 2  r 2   2
r

4   0  
n2  h2
v

nh
2  r  
diskrete Werte von v und r
n2  h2   0
n2
r
  a0
  Z  e2   Z
h2   0
a0 
 5,292 10 11 m  0 ,53 Angstrom
2
 e 
diskrete Werte der
kinetischen Energie:
Anwendung von *)
Ekin
Niels Bohr
(1885 - 1962)

v
hZ
2    a0  n
Bohrscher Radius (Wasserstoffatom im Grundzustand)
1
1 1 Z  e2
1
2
  v 
  E pot
2
2 4   0 r
2
E  Ekin  E pot   Ekin
1
h2
Z2
h2
 2  e4   2 Z 2
2
E    v   2



 2
2
8    a02 n 2 8 2  
h 4   02
n
e4   Z 2
E 2 2  2
8 0  h n

Z2
E  R  2
n
R
für   me 
Rydberg-Konstante
8