Quanten Mechanik II - Vorlesungs

Quanten Mechanik II - Vorlesungs-Script
Prof. Matthias R. Gaberdiel
19. Oktober 2008
Mitschrift:
Raphael Honegger
i
Inhaltsverzeichnis
0 Einführung
0.1 Inhalt . . . . . . . .
0.2 Literatur . . . . . . .
0.3 Übungen . . . . . . .
0.4 Zu dieser Mitschrift
0.5 Farberklärung . . . .
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1 Streutheorie
1.1 Potentialstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Zwischenspiel: Das Kastenpotential . . . . . . . .
1.3.1 Sphärische Besselfunktionen . . . . . . . .
1.3.2 Die Gebundenen Zustände . . . . . . . . .
1.3.3 Streulösungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Grenzfall der harten Kugel . . . . . . . .
1.3.5 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Partialwellen-Entwicklung . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Das optische Theorem . . . . . . . . . . .
1.4.2 Die Born’sche Näherung . . . . . . . . . .
1.4.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Streuphasen in Born’scher Approximation
1.5 Coulomb-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Wechselwirkung zwischen Materie & elektromagnetischer Strahlung
2.1 Maxwell-Gleichungen & elektromagnetische Strahlung . . . . . . . . . . .
2.2 Wechselwirkung mit Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Photon-Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Matrix-Element in Dipolnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Qantisierung des Strahlungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Die kanonische Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Feldoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Photonen-Absorption & Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Absorption und Emission von Photonen nach Einstein . . . . . . . . . . .
2.6 Lichtstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Beitrag erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Beitrag zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Identische Teilchen
3.1 Zustände & Observablen identischer Teilchen . . . . . . . .
3.1.1 Zusammengesetzte Systeme . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Symmetrisierung & Antisymmetrisierung . . . . . . . . . . .
3.3 Wellenfunktion nicht-wechselwirkender identischer Teilchen
3.3.1 Grundzustandsenergie für Bosonen & Fermionen . .
3.4 Streuung identischer Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Identische Bosonen ohne Spin . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Identische Spin- 12 -Fermionen . . . . . . . . . . . . .
3.5 Zopfgruppenstatistik & Anyonen . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Die zweite Quantisierung
4.1 Erzeugungs- & Vernichtungsoperatoren .
4.1.1 Bosonen ohne Spin . . . . . . . .
4.1.2 Fermionen mit Spin 12 . . . . . .
4.2 Feldoperatoren . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Der Fockraum . . . . . . . . . .
4.3 Observablen in der 2. Quantisierung . .
4.3.1 Teilchenzahldichteoperator . . .
4.3.2 Weitere Operatoren . . . . . . .
4.3.3 Die Feldgleichungen . . . . . . .
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4.3.4
Freie Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Korrelationsfunktionen & ihre Anwendungen
5.1 Korrelationsfunktionen für Fermionen . . . . .
5.1.1 Einteilchen-Korrelationsfunktion . . . .
5.1.2 Paarkorrelationsfunktion . . . . . . . . .
5.2 Grundzustandsenergie eines Elektronengases . .
5.3 Korrelationsfunktionen für Bosonen . . . . . .
5.3.1 Paarkorrelationsfunktion . . . . . . . . .
5.3.2 Hambury-Brown und Twiss-Experiment
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6 Atome und das Periodensystem
6.1 Thomas-Fermi Näherung . . . .
6.2 Hartree-Näherung . . . . . . .
6.3 Hartree-Fock Näherung . . . .
6.4 Periodensystem . . . . . . . . .
6.5 Die Hund’schen Regeln . . . . .
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7 Quantenstatistik
7.0.1 Postulate der Quantenstatistik . . . . . . . . . . . .
7.1 Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Ensembles der Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Das kanonische Ensemble . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Das Grosskanonische Ensemble . . . . . . . . . . . .
7.3 Ideal Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Ideale Gase: Das mikrokanonische Ensemble . . . . . . . . .
7.4.1 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Ideale Gase im kanonischen & mikrokanonischen Ensemble .
7.6 Das ideale Bose-Gas & Bose-Einstein Kondensation . . . . .
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8 Pfadintegralbeschreibung der Quantenmechanik
8.1 Phasenraum & kanonische Quantisierung . . . . .
8.2 Faynmann-Kac Formel . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Interpretation als Pfadintegral . . . . . . .
8.3 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . .
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
74
iii
0
Einführung
0.1
Inhalt
• Streutheorie
• Wechselwirkung zwischen Materie und elektromagnetischer Strahlung
• Zweite Quantisierung - Behandlung von Vielteilchensystemen im Rahmen der Quantenmechanik
• Identische Teilchen - Bosonen und Fermionen, Anyonen (in zwei bis einer Dimension)
• Atome und Periodensystem
• Quantenstatistik
• Wenn Zeit: Relativistische Quantenmechanik
0.2
Literatur
• F. Schwabl, Quantenmechanik für Fortgeschrittene, Springer
• J.J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley
• K. Huang, Statistical Mechanics, John Wiley & Sons
• Landau/Lifschitz: Quantenmechanik III
0.3
Übungen
• Die Übungszettel werden immer Dienstags ausgegeben.
• Donnerstags findet die Übungsstunde statt, in der der alte Übungszettel nur kurz nachbesprochen wird
(da Musterlösungen ausgeteilt werden) und allfällige Fragen über den neuen Übungszettel angesprochen
werden.
• Die Übungen sind als Präsenzübungen zu Verstehen.
• Die Übungen sollen am folgenden Dienstag in der Vorlesung zurückgegeben werden.
• Es müssen 70% der Übungen sinnvoll bearbeitet werden.
• Übungsgruppen I-IV treffen sich Donnerstags von 14:45-16:30.
• Übungsgruppe V findet am Mittwoch von 13:00-14:45 an der Uni Irchel statt.
0.4
Zu dieser Mitschrift
In dieser Mitschrift versuche ich, alles, was Prof. Gaberdiel an die Tafel schreibt, abzuschreiben und anhand
seiner Erklärungen in einen Kontext zu stellen. Ich werde das Script jeweils zu Hause überarbeiten, in der
Hoffnung, damit möglichst viele Tipp- und Schreibfehler ausmerzen zu können. Um weitere Korrekturen in den
Überarbeiteten Bereichen (siehe Farberklärung) bin ich immer dankbar. Macht mich am besten in der Pause
darauf aufmerksam, oder gebt mir ein ausgedrucktes Script, in dem die Fehler markiert sind. Ich mache mir
nicht die Mühe, auch noch die Graphiken zu zeichnen, da es spätestens am Ende des Semesters ein Script
von Prof. Gaberdiel gibt, in dem alle Graphiken zu finden sein werden. Sollte trotzdem jemand Lust haben,
die Graphiken zu zeichnen, so kann er sich gerne bei mir melden. Ich werde ab und zu gewisse Rechnungen
ausführen, garantiere aber nicht für deren Richtigkeit oder Eindeutigkeit.
0.5
Farberklärung
Nebst der Standardfarbe Schwarz findet man in diesem Script einige Abschnitte, die rot oder blau eingefärbt
sind. Die Farben haben folgende Bedeutung:
• Schwarz: Abschnitte, die mit der Standardfarbe eingefärbt sind, wurden von mir überarbeitet.
• Blau: Blaue Abschnitte sind solche, die von mir noch nicht überarbeitet wurden.
• Rot: Diese Abschnitte habe ich bei der Überarbeitung nicht verstanden. Wer einen solchen Abschnitt
verstanden hat ist herzlich eingeladen, mir den entsprechenden Sachverhalt zu erklären.
1
1
1.1
Streutheorie
Potentialstreuung
⊠
Es ist sehr kompliziert zu verstehen, was genau am Streuzentrum passiert, deshalb konzentrieren wir uns darauf,
was vor und nach der Streuung abläuft. Wir nehmen an, dass das Streuzentrum durch ein Potential beschrieben
ist. Ein einlaufendes Teilchen wird also nicht als freies Teilchen, sondern als Teilchen in einem kurzreichweitigen
Potential betrachtet. Technisch bedeutet Kurzreichweitigkeit, dass der Limes
lim |r| V (r) = 0
|r|→∞
das heisst, dass V (r) schneller abfällt als 1r . Eine extreme Massnahme dies zu erreichen, wäre zu postulieren,
dass es einen kritischen Radius R gibt, so dass V (r) = 0 für |r| > R.
Wir wollen nun also die Zeit-unabhängige Schrödingergleichung dieses Problems lösen
2
~
∆r + Ek ψk (r) = V (r)ψk (r)
2m
(1.1)
Die Lösungen der Zeit-unabhängigen Schrödinger Gleichung sollen durch einen Wellenvektor k der einlaufenden
Welle eik·x parametrisiert werden. Wir erwarten, dass wir für jedes solche k eine Lösung finden können, die wir
ψk (x) genannt haben. Da wir annehmen, dass die Streuung elastisch ist, ist die zugehörige Energie
Ek =
k2 ~2
2m
(1.2)
Um der Lösung ein Stück näher zu kommen, betrachten wir die Greens-Funktion G(r, k) zum Differentialoperator
auf der linken Seite der Schrödinger Gleichung (1.1), also
2
~
∆r + Ek G(r, k) = δ (3) (r)
(1.3)
2m
Man beachte, dass die Greens-Funktion wirklich nur eine Funktion des Betrages von k ist. Sobald wir die
Greens-Funktion gefunden haben, ist die Lösung durch eine Integral-Gleichung gegeben
Z
ψk (r) = φk (r) + d3 y G(r − y, k)V (y)ψk (y)
φk (r) = eik·r
(1.4)
Dies nennt man die Lippman-Schwinger Gleichung. Wir haben aber nach wie vor keine Lösung, sondern wie
gesagt lediglich eine Integralgleichung. Wir zeigen nun, dass dies die Schrödinger Gleichung erfüllt
2
2
2
Z
~
~
~
∆r + Ek ψk (r) =
∆r + Ek φk (r) + d3 y V (y)ψk (y)
∆r + Ek G(r − y, k)
2m
2m
2m
Z
=
d3 y V (y)ψk (y) δ (3) (r − y)
= V (r)ψk (r)
Damit haben wir noch nicht viel gewonnen, schliesslich müssen wir zunächst einmal herausfinden, was G(r, k)
ist.
Schritt 1: Greens-Funktion
Wir schreiben zunächst einmal die Greens-Funktion als Fourier-Transformierte
Z
1
d3 q G̃(q, k)eiq·r
G(r, k) =
(2π)3
Lassen wir nun den Differential-Operator aus (1.3) darauf wirken, so bekommen wir
2
Z
1
~
~2 q2
3
eiq·r
∆r + Ek G(r, k) =
d q G̃(q, k) Ek −
2m
(2π)3
2m
Z
1
!
(3)
= δ (r) =
d3 q eiq·r
(2π)3
2
(1.5)
Auf diese Weise können wir sofort eine Formel für die Fourier-Transformierte der Greens-Funktion angeben
1
G̃(q, k) =
~2 k 2
2m
−
=
~2 q 2
2m
2m
1
2
2
~ k − q2
(1.6)
wobei wir Gleichung (1.2) verwendet haben. Es folgt mit Kugelkoordinaten
Z
1
2m eiq·r
G(r, k) =
d3 q 2 2
3
(2π)
~ k − q2
Z∞
Zπ
1 2m
1
2
2π dq q
=
sin θ dθ eiqr cos θ 2
(2π)3 ~2
k − q2
0
= −
= −
=
0
m
2π 2 ~2
Z∞
Z−1
eiqr cos θ
2
d(cos θ) 2
dq q
k − q2
m
2π 2 ~2
Z∞
dq q 2
0
1
0
m
2π 2 ir~2
Z∞
1
1
e−iqr − eiqr
irq k 2 − q 2
eiqr
k2 − q2
dq q
−∞
Das letzte Integral ist ein wenig delikat, da es Pole bei q = ±k hat. Wir wissen, dass r = |r| ≥ 0. Wir können
nun das Integral durch den oberen Halbkreis schliessen
⊠
Das Problem hat sowohl eine retardierte, als auch eine avancierte Lösung. Welche Lösung uns interessiert,
hängt vom physikalischen Problem ab. Wir wollen die Lösung für die auslaufende Welle eiqr haben für q > 0,
so nehmen wir den positiven Pol (bei q = +k) mit im Integral. Das Residuum des Integranden sieht dann wie
folgt aus
keikr
qeiqr
= −
(1.7)
Res
(k − q)(k + q) q=+k
2k
Damit können wir das Integral über den Residuensatz auswerten
G(r, k) = −
2πikeikr
m
2
2k
2π ir~2
= −
m eikr
2π~2 r
Diese Greensfunktion können wir nun in die Lippmann-Schwinger Gleichung (1.4) einsetzen
Z
m
ei|k| |r−y|
ψk (r) = φk (r) −
V (y)ψk (y)
d3 y
2
2π~
|r − y|
(1.8)
(1.9)
Das ist nun die Integralgleichung für die Lösung der Zeit-unabhängigen Schrödinger Gleichung. Der Bereich,
der uns interessiert, ist |r| ≫ R und |y| ≤ R, also können wir entwickeln
s p
2r · y y2
r · y
2
2
=
kr
1
−
+
k|r − y| = k r + y − 2r · y = k r2 1 −
r2
r2
r2
= kr −
kr
·y
r
und den Vektor kr/r nennen wir k′ , so dass |k| = |k′ |. Für grosse Abstände finden wir dann
ikr
Z
m
eikr
e
3
−ik′ ·y
ψk (r) = φk (r) −
=
φ
(r)
+
f (k, k′ )
d
y
e
V
(y)ψ
(y)
k
k
2π~2
r
r
(1.10)
wobei
f (k, k′ ) = −
m
2π~2
Z
′
d3 y e−ik ·y V (y)ψk (y)
(1.11)
φk (r) ist die einfallende Welle und eikr f (k, k′ )/r ist die gestreute Kugelwelle. Der Ausdruck f (k, k′ ) hängt nur
noch von r/r, aber nicht mehr vom Radius r ab. Die Radius-Abhängigkeit wird schon durch (1.10) beschrieben.
3
1.2
Wirkungsquerschnitt
Wir gehen ähnlich vor, wie in einer Dimension, als wir die Lösungen der Zeit-unabhängigen Schrödinger Gleichung für verschiedene Stufenpotentiale berechneten. Wir hatten dort auf jeder Seite der Stufen die Wahrscheinlichkeitsstromdichte berechnet und dann beispielsweise die Transmissionswahrscheinlichkeiten betrachtet. Wir
betrachten wieder die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
~
(1.12)
ψ † ∇ψ − ψ∇ψ †
J =
2mi
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte der einlaufenden Welle ist
Jein = J (ψk (r) = φk (r)) =
~k
m
Und die Wahrscheinlichkeitsstreudichte der Streuwelle entsprechend
~ 1
~k′ |f (k, k′ )|2
1
′ 2
Jstreu =
≈
2ik
∇
r
|f
(k,
k
)|
+
O
r
2mi r2
r3
m
r2
(1.13)
(1.14)
Wir möchten nun die Steuwahrscheinlichkeit ausrechnen, mit der die einfallende Welle in Richtung dΩ gestreut
wird, als Funktion des einfallenden Teilchenstrahls für grosses r
⊠
Der Streustrom durch dΩ hängt nicht von r ab und
|Jstreu |r2 dΩ = |Jein | |f (k, k′ )|2 dΩ
Die gesuchte Grösse ist
dσ
Streustrom durch dΩ
(k, k′ ) =
= |f (k, k′ )|2
dΩ
einfallende Stromdichte
welche man den differentiellen Wirkungsquerschnitt nennt. Es gibt auch noch den totalen Wirkungsquerschnitt
Z
σ =
dΩ(k′ ) |f (k, k′ )|2
Dies ist nichts anderes, als die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen (bzw. die Welle) gestreut wird.
1.3
Zwischenspiel: Das Kastenpotential
Wir betrachten die 3-dimensionale Wellenmechanik mit dem Potential
−V0 r < a
V (r) =
0 r>a
Wir wollen die Zeit-unabhängige Schrödinger Gleichung lösen, wobei wir den Ansatz
ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Yℓm (θ, ϕ)
(1.15)
machen und gleich vorgehen wie beim Wasserstoff-Atom, was uns auf die radiale Schrödinger Gleichung
2
d
2 d
ℓ(ℓ + 1)
~2
+
V
(r)
R(r) = ER(r)
(1.16)
+
−
−
2m dr2
r dr
r2
bringt. Wir studieren dieses Problem einfach für konstantes V und setzen die Lösung danach zusammen. Es
empfiehlt sich, die Konstante
p
2m(E − V )
k =
(1.17)
~
einzuführen, mit der wir Gleichung (1.16) wie folgt umschreiben können
2
2 d
ℓ(ℓ + 1)
d
2
+
+ k R(r) = 0
−
dr2
r dr
r2
(1.18)
Führen wir noch die Variable ρ = kr ein, so können wir das k in der Gleichung entfernen und wir schreiben
2
d
2 d
ℓ(ℓ + 1)
+
+
1
R(ρ) = 0
(1.19)
−
dρ2
ρ dρ
ρ2
4
1.3.1
Sphärische Besselfunktionen
Die Differentialgleichung, die wir nun lösen wollen, ist also
2
2 d
ℓ(ℓ + 1)
d
+
+
1
Rℓ (ρ) = 0
−
dρ2
ρ dρ
ρ2
Es instruktiv, zunächst einmal den Fall ℓ = 0 zu betrachten. Das heisst
2
2 d
d2
d
+
(ρR0 ) + ρR0 = 0
+
1
R
(ρ)
=
0
⇒
0
dρ2
ρ dρ
dρ2
(1.20)
(1.21)
Die Lösungen davon sind einfach
ρR0 =
sin ρ
cos ρ
(1.22)
So sind die beiden Lösungen für R0 gleich
R0 =
sin ρ
∼ 1
ρ
R0 =
cos ρ
1
∼
ρ
ρ
(1.23)
wobei die erste zu den sphärischen Bessel-Funktionen und die zweite zu den sphärischen Neumann-Funktionen
führt. Nun wollen wir versuchen, die Lösung für allgemeines ℓ zu finden. Dazu machen wir den mutigen Ansatz
Rℓ = ρℓ χℓ
(1.24)
Damit bekommen wir
d2 ℓ
ρ χℓ = ℓ(ℓ − 1)ρℓ−2 χℓ + 2ℓρℓ−1 χ′ℓ + ρℓ χ′′ℓ
dρ2
wobei
Was stehen bleibt ist
2 d
ρℓ χℓ = 2ℓρℓ−2 χℓ + 2ρℓ−1 χ′ℓ
ρ dρ
ℓ(ℓ − 1)ρℓ−2 χℓ + 2ℓρℓ−2 χℓ = ℓ(ℓ + 1)ρℓ−2 χℓ
ρℓ χ′′ℓ + ρℓ−1 χ′ℓ (2ℓ + 2) + ρℓ χℓ = 0
(1.25)
Nun können wir durch ρℓ dividieren und bekommen
2(ℓ + 1) ′
χℓ + χℓ = 0
ρ
χ′′ℓ +
(1.26)
Diese Differentialgleichung ist zunächst einmal nicht ganz einfach zu lösen, doch es gibt einen einfachen Trick,
um die Gleichung rekursiv zu lösen. Dazu leiten wir sie einfach nochmal ab
χ′′′
ℓ +
2(ℓ + 1) ′′ 2(ℓ + 1) ′
χℓ + χ′ℓ = 0
χℓ −
ρ
ρ2
Die Idee ist nun, eine andere Funktion χ =
Definition setzen wir nun ein
(ρχ)′′ +
Dies führt zu
ρχ′′ + 2χ′ +
χ′ℓ
ρ
(1.27)
zu definieren, so dass wir χ′ℓ = ρχ schreiben können. Diese
2(ℓ + 1)
2(ℓ + 1)
′
(ρχ) = 0
(ρχ) + 1 −
ρ
ρ2
2(ℓ + 1)
2(ℓ + 1)
χ + 2(ℓ + 1)χ′ + ρχ −
χ = 0
ρ
ρ
das heisst zu
χ′′ +
2(ℓ + 2) ′
χ +χ = 0
ρ
(1.28)
Diese Gleichung sollten wir nun erkennen, es ist nämlich die selbe Gleichung wie (1.26), nur mit (ℓ + 2) statt
(ℓ + 1). Also ist χ = χℓ+1 und es folgt die Rekursions-Relation
ℓ
1 d
χ′ℓ
χ0 (ρ)
(1.29)
⇒ χℓ =
χℓ+1 =
ρ
ρ dρ
5
Entsprechend definieren wir nun die sphärischen Besselfunktionen als
ℓ
sin ρ
1 d
jℓ (ρ) := (−ρ)ℓ
ρ dρ
ρ
Es sind die Funktion, die zur Funktion R0 =
Funktionen sind
sin ρ
ρ
(1.30)
gehören. Die anderen Funktionen, die sphärischen Neumann
nℓ (ρ) := −(−ρ)ℓ
1 d
ρ dρ
ℓ
cos ρ
ρ
(1.31)
Dies sind sozusagen die 3-dimensionalen Versionen des Sinus bzw. des Cosinus. Wir schreiben noch einige
sphärische Besselfunktionen hin
j0 (ρ) =
j1 (ρ) =
j2 (ρ) =
sin ρ
ρ
sin ρ − ρ cos ρ
ρ2
(3 − ρ2 ) sin ρ − 3ρ cos ρ
ρ3
Interessant ist, dass für kleine ρ
∞
X
ρ2n
sin ρ
=
(−1)n
ρ
(2n + 1)!
n=0
⇒
jℓ =
ρℓ
+ O(ρℓ+2 )
1 · 3 · 5 · ... · (2ℓ + 1)
(1.32)
und
∞
1 X
ρ2n
cos ρ
=
+
(−1)n
ρ
ρ n=1
(2n)!
⇒
nℓ (ρ) = −
Das Verhalten dieser Funktionen für grosse ρ → ∞ ist
1
πℓ
jℓ (ρ) =
sin ρ −
ρ
2
1 · 3 · 5... · (2ℓ − 1)
+ O(ρ−(ℓ−1) )
ρℓ+1
1
πℓ
nℓ (ρ) = − cos ρ −
ρ
2
(1.33)
(1.34)
Wir führen nun noch die sphärischen Hankelfunktionen ein, die das sphärische Analogon zu eikx darstellen
(1)
hℓ (ρ) := jℓ (ρ) + inℓ (ρ) =: hℓ (ρ)
(1.35)
Wir nennen h(1) die erste Hankelfunktion
(2)
(1)
hℓ (ρ) := jℓ (ρ) − inℓ (ρ) = hℓ (ρ)
(1.36)
die zweite Hankelfunktion. Das asymptotische Verhalten ist, wie wir oben ablesen können
πℓ
i
(1)
hℓ (ρ) ≃ − ei(ρ− 2 )
ρ
1.3.2
(1.37)
Die Gebundenen Zustände
Wir kommen zurück zum Problem des Kastenpotentials mit
2
d
2 d
ℓ(ℓ + 1)
2
= 0
+
+
q
−
dr2
r dr
r2
für r < a, beziehungsweise
2
2 d
ℓ(ℓ + 1)
d
2
= 0
+
+ (iκ)
−
dr2
r dr
r2
p
2m(E + V0 )
q =
~
(1.38)
p
2m(−E)
κ =
~
(1.39)
for r > a, wobei −V0 < E < 0. Im Inneren (also für r < a) wird die Lösung
Rℓ (r) = Aℓ jℓ (qr)
6
(1.40)
sein, was der regulären Lösung bei r = 0 entspricht. Im Äusseren (r > a) interessieren wir uns nur für die
Lösung, die im Unendlichen abfällt, also
(1)
Rℓ (r) = Bℓ hℓ (iκr)
(1.41)
denn das ist genau die Linearkombination, die wie e−κr geht. Dies ist also genau so, wie wir das in einer
Dimension gelöst haben, nur dass nun statt sin() und cos() jetzt die Bessel- bzw. Hankelfunktionen dastehen.
Schliesslich wollen wir noch die Stetigkeit bei r = a lösen. Die Stetigkeitsbedingungen sind
Aℓ qjℓ′ (qa) = iκBℓ h′ℓ (iκa)
Aℓ jℓ (qa) = Bℓ hℓ (iκa)
(1.42)
Daraus folgt
q
d log jℓ d log hℓ =
iκ
dρ ρ=qa
dρ ρ=iκa
(1.43)
was lediglich eine Art ist, die beiden Gleichungen zu verkochen, die allerdings noch nicht so viel bringt. Bei
ℓ = 0 führt dies einfach zu
A sin(qr) r < a
u(r) = rR(r) =
(1.44)
Be−κr r > a
Die beiden Stetigkeitsbedingungen
A sin(qa) = Be−κa
qA cos(qa) = −κBe−κa
(1.45)
führen dann in der üblichen Art auf die Bedingung
p
2m|E|
cot(qa) = −
~q
also ähnlich wie in einer Dimension. Wir finden mit den selben Argumenten wie in einer Dimension, dass ein
gebundener Zustand nur in dem Fall existiert, in dem das Potential hinreichend tief ist, da
p
2m(E + V0 )
π
π 2 ~2
(1.46)
>
⇒ V0 > E + V0 >
q =
~
2a
8 ma2
1.3.3
Streulösungen
Aus dem Kontext, den wir gerade besprechen, ist es aber interessanter, die Streulösungen (E > 0) zu finden.
Die Analyse ist analog. Die Lösung wird
p
√
2m(E + V0 )
2mE
Ajℓ (qr) r < a
Rℓ (r) =
q =
k =
(1.47)
Bjℓ (kr) + Cnℓ (kr) r > a
~
~
Die Stetigkeitsbedingungen schreiben wir direkt als
djℓ /dρ B djℓ /dρ + C dnℓ /dρ =
k
q
jℓ ρ=qa
Bjℓ + Cnℓ
ρ=ka
(1.48)
Asymptotisch, also für r ≫ a, sieht dies wie folgt aus wobei das Minus aus der Normierung der NeumannFunktionen kommt. Wir schreiben
C
=: − tan δℓ
B
so dass
B
ℓπ
ℓπ
B 1
1
ℓπ
Rℓ (r) =
sin kr −
cos δℓ + sin δℓ cos kr −
=
sin kr −
+ δℓ
cos(δℓ ) kr
2
2
cos δℓ kr
2
Wenn es kein Potential gäbe (freier Fall), dann wäre C = 0 und damit δℓ = 0. Der Effekt des Potentials ist,
dass bei grossen Abständen der einzige Unterschied darin besteht, dass ich die Amplitude verändert und die
Phase um den Betrag δℓ verschiebt. Die Phasendifferenz kann man nur explizit ausrechnen. Ist der Potentialtopf
negativ, so schwingt die Welle im Topf schneller und ist daher schon etwas weiter, nämlich um die Phase δℓ .
Das Umgekehrte folgt bei einem “positiven” Potentialtopf.
⊠
7
1.3.4
Grenzfall der harten Kugel
Wir haben V0 = −∞ und die Wellenfunktion ψ(r) = 0 für r < a. Im Äusseren (r > a) ist
Rℓ (r) =
1
(hℓ (r) + Sℓ (k)h∗ℓ (kr))
2
wobei Sℓ eng mit der Streuphase δℓ (k) von vorhin zusammenhängt. Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte in der
Mechanik ist
~
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
j =
2mi
Wir können nun die Radial-Komponente davon ausrechnen
jr
=
=
∼
~ 1
[(h∗ + S ∗ h)(∂r h + S∂r h∗ ) − (h + Sh∗ )(∂r h∗ + S ∗ ∂r h)]
2mi 4
~ ∗
h ∂r h(1 − |S|2 ) − h∂r h∗ (1 − |S|2 )
8mi
(1 − |S|2 ) = 0
Daraus leiten wir ab, dass
S = e2iδ
wobei δ ∈ R. Wir nannten dies suggestiverweise δ, da es das δ von oben wird. Dies sehen, indem wir wieder das
asymptotische Verhalten von Rℓ (r) untersuchen
ℓπ
const
sin kr −
+δ
S 2iδℓ (k)
Rℓ (r) ∼
r
2
Dies ist die S-Matrix im ℓ-ten Kanal. Im Fall der harten Kugel können wir die Phasen direkt ausrechnen. Die
richtige Klebebedingung ist ja Rℓ (r)|r=a = 0. Das heisst
hℓ (ka) + e2iδℓ (k) h∗ℓ (ka) = 0
e2iδℓ (k) = −
hℓ (ka)
jℓ (ka) + inℓ (ka)
= −
h∗ℓ (ka)
jℓ (ka) − inℓ (ka)
In diesem Fall haben wir eine total explizite Formel
tan δℓ =
jℓ (ka)
nℓ (ka)
Dies gibt uns eine Wellenfunktion für jeden Wert von k. Die Kenntnis dieses δℓ (k) ist das selbe wie die Kenntnis
der Lösung des Streuproblems, wie wir sehen werden. Betrachten wir den Fall kleiner Energie, also dass ka ≪ 1,
dann haben wir
jℓ (ka) ∼
(ka)ℓ
(2ℓ + 1)!!
nℓ (ka) =
und wir haben
tan δℓ ≃
(ℓ − 1)!!
(ka)ℓ+1
(2ℓ + 1)!! := 1 · 3 · 5 · ... · (2ℓ + 1)
(ka)2ℓ+1
(2ℓ + 1)[(2ℓ − 1)!!]
Es gilt, dass δℓ klein ist für grosse ℓ. Die verschiedene Werte für ℓ haben verschiedene Namen, so nennt man
ℓ = 0 die s-Welle, ℓ = 1 die p-Welle und so weiter.
1.3.5
Ebene Wellen
Wir wollen die Ebene Welle durch die Besselfunktionen ausdrücken, wir wollen also eine Zerlegung der Form
eik·x =
∞ X
ℓ
X
cℓm (k)jℓ (kr)Yℓm (θ, ϕ)
ℓ=0 m=−ℓ
finden. Wir lassend die Neumannfunktionen weg, da uns nur die Lösungen interessieren mit einem Regulären
Verhalten bei r = 0. jℓ (kr)Yℓm (θ, ϕ) ist die Lösung der Schrödinger Gleichung mit V = 0. Die Koeffizienten
cℓm (k) sind nun zu bestimmen. Der Einfachheit halber ist es zunächst einmal gut, dass kkêz , und so folgt
e
ikr cos θ
=
∞
X
1
Aℓ jℓ (kr)Yℓ0 (θ) =
ℓ=0
∞ X
2ℓ + 1 2
ℓ=0
8
4π
Aℓ jℓ (kr)Pℓ (cos θ)
wobei wir ausgenützt haben, dass
r
Yℓ0 (θ) =
2ℓ + 1
Pℓ (cos θ)
4π
Wir werden folgende Relation benützen
Z1
2δℓℓ′
2ℓ + 1
dz Pℓ (z)Pℓ′ (z) =
−1
aus der Elektrodynamik. Konkret bekommen wir
1
1
Aℓ jℓ (kr) =
(4π(2ℓ + 1)) 2
2
Z1
dz Pℓ (z)eikrz
−1
wobei wir z = cos θ gesetzt haben. Die Aℓ sind konstanten, hängen also nicht mehr von r oder von θ oder ϕ ab.
Die letzte Formel muss für alle r gelten. Betrachten wir sie für kleine r, dann steht da
1
1
(kr)ℓ (2ℓ ℓ!
=
(4π(2ℓ + 1)) 2
Aℓ
(2ℓ + 1)!
2
Z1
−1
1
1
1
2
ℓ
ℓ+1
(ikrz)
+ ...
dz Pℓ (z) 1 + ikrz + (ikrz) + ... + (ikrz) +
2!
ℓ!
(ℓ + 1)!
wobei
1
2ℓ ℓ!
=
(2ℓ + 1)!!
(2ℓ + 1)!
Wir haben also einfach entwickelt. Durch partielle Integration kann man zeigen, dass
Z1
dz Pℓ (z)z s = 0
−1
s = 0, 1, ..., ℓ − 1
Denn die Legendere-Polynome sind ja gerade so gebaut. Wir haben also
1
1 1
(kr)ℓ 2ℓ ℓ!
=
(4π(2ℓ + 1)) 2 (ikr)ℓ
Aℓ
(2ℓ + 1)!
2
ℓ!
Z1
−1
dz Pℓ (z)z ℓ + O(rℓ+1 )
Das Integral kann man elementar ausrechnen, denn
Z1
dz Pℓ (z)z ℓ =
2ℓ+1 ℓ!2
(2ℓ + 1)!
−1
was aus der Rodriguez-Formel ableitbar ist. Nehmen wir das alles zusammen, so bekommen wir
1
Aℓ = i2 (4π(2ℓ + 1)) 2
Schliesslich bekommen wir also
eikr cos θ =
∞
X
iℓ (2ℓ + 1)jℓ (kr)Pℓ (cos θ)
ℓ=0
Wir haben angenommen, dass k proportional zur z-Achse ist. Es gibt dann noch eine Verallgemeinerung (siehe
Script).
1.4
Partialwellen-Entwicklung
Wir gehen zurück und schauen uns ein Streuproblem an mit einem kurzreichweitigen V . Wir haben gesehen,
dass die Lösung der Zeit-unabhängigen Schrödinger Gleichung von der Form
ψk (x) = eik·x +
eikr
f (k, k′ )
r
9
k′ =
x
k
|x|
Das f wird nach wir vor durch eine Differentialgleichung ausgedrückt, nämlich durch die Lippmann-Schwinger
Gleichung. Diese Funktion f wollen wir nun ausrechnen und das im speziellen Fall, wo das Potential eine
sphärische Symmetrie hat, indem wir es konventionell angehen. Damit können wir eine Beziehung finden zwischen dem f und den anderen Daten in der Gleichung. Wir nehmen nun also an V (x) = V (r) und rV (r) → 0
für r → ∞. Wir machen wieder den Ansatz
ψ(x) = Rℓ (r)Yℓm (θ, ϕ) =
uℓ (r)
Yℓm (θ, ϕ)
r
Leiten wir dann die Zeit-unabhängige Schrödinger Gleichung
~2
−
∆ + V (r) ψ = Eψ
2m
ab, teilen in Radial- und Winkelteil auf, so bekommen wir die radiale Schrödinger Gleichung
~2 ℓ(ℓ + 1)
2m
2
′′
u
(r)
=
0
V
(r)
=
V
(r)
+
V
(r)
−
k
uℓ (r) −
ℓ
eff
eff
~2
2mr2
Überlegen wir uns, wie die asymptotische Lösung aussieht. Für r → ∞ steht nur noch die Gleichung (wegen
Kurzreichweitigkeit von V )
u′′ℓ (r) + k 2 uℓ (r) = 0
In dem Fall wird die Lösung einfach von der Form
π
uℓ (r) = A sin kr − ℓ + δℓ (k)
2
mit der Streuphase δℓ , die beschreibt, um wieviel die asymtotische Lösung verschoben ist. Dies definiert, was
δℓ , wobei die Konvention ist, dass δℓ = 0 für V = 0. Die Allgemeine Lösung, die wir betrachten wollen, soll so
sein, dass sie nicht von ϕ abhängt, also
ψ(x) =
X uℓ (r)
ℓ
r
Yℓ0 (θ) =
∞
X
cℓ
ℓ=0
uℓ (r)
Pℓ (cos θ)
r
Die ursprüngliche Lösung muss nun einer speziellen Lösung (also einem speziellen Satz der cℓ ) entsprechen. Zur
Erinnerung, wir hatten
∞
X
eikz =
iℓ (2ℓ + 1)jℓ (kr)Pℓ (cos θ)
ℓ=0
wobei wir annehmen, dass kkêz . Die asymptotische Entwicklung von jℓ (kr) war
πℓ
1
1 ikr−i πℓ
πℓ
2 − e−ikr+i 2
jℓ (kr) ≈
=
e
sin kr −
kr
2
2ikr
Asymptotisch haben wir dann also für die ursprüngliche Formel
ψk (x) ≃ −
∞
∞
e−ikr X ℓ i ℓπ
eikr X ℓ −i πℓ
i e 2 (2ℓ + 1)Pℓ (cos θ) +
i e 2 (2ℓ + 1)Pℓ (cos θ) + 2ikf (k, k′ )
2ikr
2ikr
ℓ=0
ℓ=0
wobei wir lediglich eik·x durch die Entwicklung in die Bessel-Funktionen ausgedrückt haben. Dies müssen wir
nun mit der allgemeinen Lösung (..) vergleichen. Deren asymptotisches Verhalten ist
ikr
∞
X
e−ikr
πℓ
e
iδ
(k)
−iδ
(k)
−i πℓ
i
ℓ
ℓ
−
Pℓ (cos θ)e 2 e
Pℓ (cos θ)e 2 e
ψ(x) =
cℓ
2ir
2ir
ℓ=0
wobei wir benutzt haben, dass
eikr e−i
πℓ
2
πℓ
eiδℓ − e−ikr ei 2 e−iδℓ
2i
wobei wir einfach den Sinus ausgeschrieben haben. Nun können wir den Term betrachten, der geht wie e−ikr /2ir.
Vergleichen wir die Koeffizienten
uℓ ∼
−
∞
∞
πℓ
1 X
1 X ℓ i πℓ
i e 2 (2ℓ + 1)Pℓ (cos θ) = −
cℓ Pℓ (cos θ)ei 2 e−iδℓ (k)
2ik
2i
ℓ
ℓ=0
10
Daraus lesen wir ab, dass
1
k
cℓ e−iδℓ = iℓ (2ℓ + 1)
Das heisst, dass alle Koeffizienten cℓ eindeutig fixiert sind durch
cℓ =
iℓ
(2ℓ + 1)eiδℓ
k
Vergleichen wir die Koeffizienten der Terme, die gehen wie eikr /r
∞
1 X ℓ −i πℓ
i e 2 (2ℓ + 1)Pℓ (cos θ) + f (k, k′ ) =
2ik
ℓ=0
=
∞
X
πℓ
iℓ
1
Pℓ (cos θ)e−i 2 eiδℓ (k) (2ℓ + 1)eiδℓ (k)
2i
k
ℓ=0
∞
1 X
Pℓ (cos θ)(2ℓ + 1)e2iδℓ (k)
2ik
ℓ=0
wobei wir verwendet haben, dass iℓ e
1
f (k, k ) =
k
′
∞
X
ℓ=0
−i πℓ
2
= 1 und wir bekommen nun eine Formel für f , nämlich
1 2iδℓ (k)
e
− 1 (2ℓ + 1)Pℓ (cos θ)
2i
∞
1X
(2ℓ + 1)Pℓ (cos θ)eiδℓ sin δℓ
k
ℓ=0
wobei wir verwendet haben, dass
1 2iδℓ (k)
e
− 1 = eiδℓ sin δℓ
2i
Der einzige Teil der Formel für f , der von V abhängt, sind die δℓ . Das Problem reduziert sich also auf das Finden
der δℓ . Alle Information über das Streuproblem wird durch die Streuphasen δℓ beschrieben. Das Streuproblem
ist also immer noch nicht gelöst, und wir werden es auch nie im allgemeinen lösen. Wir werden aber später eine
Methode kennen lernen, wie man die δℓ berechnen kann. Es gibt allerdings noch einige abstrakte Aussagen, die
man aus der Formel für f herauslesen kann.
1.4.1
Das optische Theorem
Wir erinnern uns, dass der differentielle Wirkungsquerschnitt gegeben war durch
dσ
= |f (k, k′ )|2
dΩ
Der totale Wirkungsquerschnitt (der angibt, wiviel Prozent der einfallenden Wellen überhaupt abgelenkt werden)
war dann
Z
dσ
σ =
dΩk
dΩ
θ ist gerade der Winkel zwischen k und k′ . Rechnen wir nun σ aus
Z
∞
∞
X
X
2π
iδℓ
d(cos
θ)
P
(cos
θ)e
sin
δ
(2ℓ
+
1)
Pℓ′ (cos θ)e−iδℓ sin δℓ (2ℓ′ + 1)
σ =
ℓ
ℓ
k2
ℓ=0
ℓ=0
1
=
Z
∞
2π X
′
i(δℓ −δℓ′ )
′
dz Pℓ (z)Pℓ′ (z)
(2ℓ
+
1)(2ℓ
+
1)e
sin
δ
sin
δ
ℓ
ℓ
k2 ′
ℓ,ℓ =0
=
−1
∞
4π X
(2ℓ + 1) sin2 δℓ
k2
ℓ=0
da
Z1
dz Pℓ (z)Pℓ′ (z) =
2δℓℓ′
2ℓ + 1
−1
Diese Formel hat noch nicht verdient, dass man aus ihr ein Theorem macht. Das optische Theorem besteht darin,
dass man die Formel noch etwas anders schreiben kann. Setzen wir f (k, k′ ) = f (k, θ), wobei k · k′ = k 2 cos θ, so
gilt im Fall k′ = k
Im(f (k, θ = 0)) =
∞
∞
1X
1X
(2ℓ + 1)Im(eiδℓ sin δℓ ) =
(2ℓ + 1) sin2 δℓ
k
k
ℓ=0
ℓ=0
11
Daraus können wir schliessen, dass der Totale Wirkungsquerschnitt
σ =
4π
Im(f (k, θ = 0))
k
und das ist, was man das optische Theorem nennt. Die Interpretation davon ist, dass der Imaginärteil in
Vorwärtsrichtung den Prozentsatz der Teilchen beschreibt, die nicht abgelenkt werden.
1.4.2
Die Born’sche Näherung
Die Born’sche Näherung besteht darin, dass man zurück geht zur Lippmann-Schwinger Gleichung und versucht,
diese rekursiv zu lösen. Die Gleichung war von der Form
ψk (x) = eik·x −
eikr m
r 2π~2
Z
dd3 y e−ik·y V (y)ψk (y) = φk (x) −
eikr
f (k, k′ )
r
was bereits schon im asymptotischen Regime war. Wir wollen dies nun auf die folgende Art betrachten
ψk (x) = φk (x) + Kψk (x)
mit dem linearen Operator K. Die Idee ist, dass wir dies nun iterieren können. Wir können schreiben
ψk (x) = φk + K(φk + Kψk ) = φk + Kφk + K 2 φk + K 3 ψk + ... + K n φk + K n+1 ψk
Wir könnten uns vorstellen, dass das K irgendwie konvergiert. Die 1. Born’sche Näherung ist nun
ψk (x) = φk (x) + Kφk
Wir können natürlich auch die n-te Born’sche Näherung und hoffen, dass dies irgendwie gegen die echte Lösung
konvergiert. Natürlich wird es aber zunehmend schwerer, dies auszurechnen. In der ersten Born’schen Näherung
haben wir also
eikr
f (k, k′ )
ψk (x) ≈ eik·x +
r
mit
Z
′
′
m
f (k, k′ ) = −
d3 y e−ik ·y V (y)eik·y eiy·(k−k )
2π~2
=
−
m
Ṽ (k − k′ )
2π~2
Die Grösse f ist also nichts anderes als die Fourier-Transformierte des Potentials. Nach Konstruktion sind k und
k′ gleich lang und falls V rotations-symmetrisch ist, so ist auch die Fourier-Transformiert rotationssymmetrisch
und wir können schreiben
2
θ
|k − k′ |2 = k 2 + k ′2 − 2k 2 cos θ = k 2 (2 − 2 cos θ) =
2k sin
2
1.4.3
Beispiele
Das Yukawa Potential
e−κr
r
ist ein sehr kurzreichweitiges Potential. In der ersten Born’schen Näherung müssen wir nun die Fourier-Transformierte dieses Potentials finden. Falls das Potential rotationssymmetrisch ist, so ist (V (y) ≡ V (|y|))
V (r) = v0
Ṽ (q)
=
=
Z
3
d y V (y)e
2π
iq
iq·y
= 2π
Z∞
2
dy y V (y)
−1
0
Z∞
0
dy yV (y) eiqy − e−iqy
12
Z1
d(cos θ) eiqy cos θ
Im Fall des Yukawa Potentials folgt dann
2π
v0
Ṽ (q) =
iq
Z∞
dy e
0
−y(κ−iq)
−e
−y(κ+iq)
2π
=
iq
1
1
−
κ − iq κ + iq
=
κ2
4π
+ q2
Für den differentiellen Wirkungsquerschnitt finden wir demnach
dσ
=
dΩ
4m2
4k 2 sin2
θ
2
+ κ2
Insbesondere konvergiert dies, wenn wir σ ausrechnen.
1.4.4
2
v02
~4
Streuphasen in Born’scher Approximation
Betrachten wir ein rotationssymmetrischen V , so können wir in erster Born’scher Approximation schreiben
2 !
∞
m
1 X iδℓ
θ
f (k, θ) = −
=
Ṽ
2k
sin
e sin δℓ (2ℓ + 1)Pℓ (cos θ)
2π~2
2
k
ℓ=0
wobei
2
θ
= |k − k′ |2
2k sin
2
Wir wollen nun den ℓ-ten Term abstrahieren. War wir tun müssen, ist
Z
Wir haben
e
iδℓ
sin δℓ
2 iδℓ
m
e sin δℓ = −
k
2π~2
2δℓℓ′
2ℓ + 1
d(cos θ) Pℓ′ (cos θ)Pℓ (cos θ) =
mk
= −
4π~2
Z1
−1
Z1
−1
dz Pℓ (cos θ)Ṽ 2k 2 (1 − z)
dz Pℓ (z)Ṽ 2k 2 (1 − z) ≈ δℓ
Wir wissen, dass in der 1. Born’schen Approximation
m
f (k, k ) = −
2π~2
′
Z
′
d3 y V (|y|)eik·y e−ik ·y
Die Idee ist nun, dass wir diese Funktion direkt entwickeln, in dem wir die Ebenen-Wellen Entwicklung in die
Bessel-Funktionen anwenden, allerdings benötigen wir die allgemeine Formel (nicht nur für die z-Achse)
eik·x = 4π
∞ X
ℓ
X
iℓ jℓ (kr)Yℓm (Ωk )∗ Yℓm (Ωx )
Ωk = (θ(k), ϕ(k)), Ωx = (θ(x), ϕ(x))
ℓ=0 m=−ℓ
mit kkêz . Damit bekommen wir
f (k, k′ )
= −
XX
′
m
16π 2
iℓ−ℓ
2
2π~
′
′
= −
XX
′
m
16π 2
iℓ−ℓ
2
2π~
′
′
ℓm ℓ m
ℓm ℓ m
∞
8πm X
= − 2
(2ℓ + 1)
~
ℓ=0
!
=
Z∞
Z
dr r2 jℓ (kr)jℓ′ (k ′ r)V (r)
Z
Z
dr r2 jℓ (kr)jℓ′ (k ′ r)V (r)δℓℓ′ δmm′
∗
∗
dΩy Yℓm
(Ωk )Yℓm (Ωy )Yℓm (Ωk′ )Yℓm
(Ωy )
dr r2 jℓ (kr)2 V (r)
0
∞
1 X iδℓ
e sin δℓ (2ℓ + 1)Pℓ (cos θ)
k
ℓ=0
denn Ωk gehört zu θ = 0 und
r
Yℓm (θ = 0) = δm0 Pℓ (1)
13
2ℓ + 1
4π
Was wir damit herausfinden, ist dass
e
2mk
=
~2
iδℓ
Z∞
dr r2 V (r)jℓ (kr)2
0
in der 1. Born’schen Approximation. Wir wissen, dass für kleine r
(kr)ℓ
(ℓ + 1)!!
jℓ (kr) ∼
Dies kann man anwenden für ein kurzreichweitiges Potential.
1.5
Coulomb-Streuung
Bisher betrachteten wir kurzreichweitige Potentiale. Wir bekamen Lösungen der Form
ψ(x) 0 eikz +
eikr
f (θ, k)
r
wobei eikz die einalufende Welle entlang der z-Achse beschreibt. Mit dem Coulomb-Potential haben wir die
Schrödinger Gleichung
~2 2 e 2
ψ = Eψ
(1.49)
∇ −
−
2m
r
Dies ist geschlossen lösbar (siehe Übungsserie 2). Wir bekommen eine Lösung der Form
ψk = φk + ψsk
(1.50)
wobei
φk = e
ikz+iγ ln(k(r−z))
1−
γ2
ik(r − z)
ψsk =
eikr−iγ ln(k(r−z)) Γ(1 + iγ)
ik(r − z)
Γ(−iγ)
(1.51)
mit
γ := −
me2
~2 k
Γ(c) =
Z∞
= −
1
a0 k
(1.52)
und dem Bohrradius a0 . Wir haben dabei
dt tc−1 e−t
(1.53)
0
benützt. Es gilt auch r − z = r(1 − cos θ) mit dem Zwischenwinkel θ und damit schreiben wir
ψsk =
eikr−iγ ln(2kr)
fCoul (k, θ)
r
(1.54)
Für r → ∞ ist
−1−iγ
2 θ
e−iγ ln(sin 2 ) Γ(1 + iγ)
γ 2iδ
2 θ
fCoul (k, θ) = −iγ
sin
= − e
2k
2
2ik sin2 2θ Γ(1 − iγ)
(1.55)
Und wir haben im Limes r → ∞
Js =
~k
~k
2
2
|fCoul (θ, k)|
|ψsk (x)| =
m
mr2
(1.56)
Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist dann
dσ
1
e4
= |fCoul (θ)|2 =
dΩ
16E 2 sin4
Und σtot = σ = ∞.
14
θ
2
(1.57)
2
2.1
Wechselwirkung zwischen Materie & elektromagnetischer Strahlung
Maxwell-Gleichungen & elektromagnetische Strahlung
Die homogenen Maxwell-Gleichungen im CGS System sind
∇·B = 0
⇒
∇∧A = B
(2.1)
und
1 ∂A
1 ∂B
= 0
= ∇∧ E+
∇∧E+
c ∂t
c ∂t
⇒
E+
1 ∂A
= −∇φ
c ∂t
(2.2)
Die inhomogenen Gleichungen sind
4πρ = ∇ · E = −
1 ∂
∇ · A − ∇2 φ
c ∂t
(2.3)
sowie
4π
1 ∂E
1 ∂
1 ∂2A
j = ∇∧B−
= ∇(∇A) − ∇2 A +
∇φ + 2
c
c ∂t
c ∂t
c ∂t2
(2.4)
In Coulomb-Eichung ∇A = 0, die wir im folgenden anwenden wollen, sieht dies dann wie folgt aus
4πρ = −∇2 φ
⇒
φ(r, t) =
Z
d3 x
ρ(x, t)
|r − x|
(2.5)
Das heisst, in der Coulomb-Eichung hängt das Potential φ nur von den Teilchenkoordinaten und ihren Ladungen
ab. Es bleibt die andere inhomogene Maxwell-Gelichung, nämlich Gleichung (2.4) zu lösen
1 ∂2
4πj 1 ∂
2
A = A =
−
∇
−
∇φ
(2.6)
c2 ∂t2
c
c ∂t
Im Ladungsfreien Raum beschreibt dies dann die freie elektromagnetische Strahlung
A = 0
∇A = 0
(2.7)
Die Lösung davon ist gegeben durch
1 X
A(r, t) = √
a(k, λ)e(k, λ)eik·r−iωk t + a∗ (k, λ)e∗ (k, λ)e−ik·r+iωk t
3
L k,λ
(2.8)
wobei e(k, λ) der Polarisationsvektor zum Wellenvektor k mit Index λ = {1, 2} ist. Wegen der Coulomb-Eichung
muss e(k, λ) · k = 0 sein, das heisst die Polarisation ist transvers und es gibt nur zwei Polarisationen. Ohne
Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass e∗ (k, λ1 ) · e(k, λ2 ) = δλ1 λ2 ist, die e(k, λ) also eine
orthonormal Basis definieren. Die Dispersionrelation ist durch ωk = c|k| = ck bestimmt. Nehmen wir an, dass
die Potentiale periodische Randbedingungen bezüglich eines kubischen Kastens der Kantenlänge L erfüllen, so
sind die Wellenvektoren von der Form
k =
2π
(nx , ny , nz )
L
nx , ny , nz ∈ Z
(2.9)
Die Moden der freien Strahlung werden durch (k, λ) parametrisiert. Das Vektorpotential ist natürlich nicht das,
welches physikalisch messbar ist. Messbare Felder sind das elektrische und das magnetische Feld
E(r, t)
=
B(r, t)
1 ∂
A(r, t)
c ∂t
1 X iωk √
a(k, λ)e(k, λ)eik·r−iωk t − a∗ (k, λ)e∗ (k, λ)e−ik·r+iωk t
3
L k,λ c
= −
= ∇ ∧ A(r, t)
1 X
(ik ∧ e(k, λ)) a(k, λ)eik·r−iωt − (ik ∧ e∗ (k, λ)) a∗ (k, λ)e−ikr+iωt
= √
L3 k,λ
15
(2.10)
(2.11)
Die Energie des Strahlungsfeldes ist dann
E =
Z
d3 r
X ω2
2
k
|a(k, λ)|
2πc2
(2.12)
e(k, λ) · e∗ (k, λ′ ) = δλλ′
(2.13)
E 2 + B2
8π
=
k,λ
L3
wobei wir verwendet haben, dass
1
L3
Z
d3 r eik·r = δk,0
L3
Die Moden (k, λ) sollen nun verschiedenen Photonen entsprechen mit Energie ~ωk . Wir wollen obige Summe
also interpretieren als
E =
X
~ωk
k,λ
ωk |a(k, λ)|
2π~c2
2
=
X
~ωk N (k, λ)
(2.14)
k,λ
wobei wir die Besetzungszahl definiert haben durch
N (k, λ) :=
ωk |a(k, λ)|2
2π~c2
(2.15)
Wir betrachten nun ein quantenmechanischen Teilchen in diesem Strahlungsfeld. Später werden wir das Strahlungsfeld selbst quantisieren und dann wird die Besetzungszahl tatsächlich eine ganze, nicht-negative Zahl.
2.2
Wechselwirkung mit Materie
Wir haben die Schrödinger Gleichung für Elektronen im elektromagnetischen Feld
2
e
1 ∂ψ
=
−i~∇ − A(r, t) + eφ(r, t) + U (r) ψ(r, t)
i~
∂t
2m
c
(2.16)
ψ ist die Wellenfunktion eines geladenen Teilchens, das sich in einem Potential bewegt und mit einem elektromagnischen Feld koppelt. Das Elektron wird quantenmechanisch behandelt, die Felder seien aber einfach Gott
gegeben. Wir haben die Eichtransformationen
A 7→ A′ = A + ∇χ
φ 7→ φ′ = φ −
1 ∂χ
c ∂t
(2.17)
unter denen E und B invariant bleiben. In der Wellenfunktion geht dies ein als
ψ 7→ ψ ′ = ψeieχ(r,t)/~c
(2.18)
also nur als reine Phase. Dies kann man wie folgt nachrechnen
i~
∂
ψeieχ/~c
∂t
=
(2.16)
=
!
=
∂ψ ieχ/~c
ie ∂χ
i~
e
+ i~ψ ′
∂t
~c
∂t
1
e ∂χ ′
2
(−i~∇ − A) + eφ + U ψ eieχ/~c −
ψ
2m
c ∂t
2
1 1 ∂χ
e
−i~∇ − (A + ∇χ) + e φ −
+ U ψ′
2m
c
c ∂t
Das Problem reduziert sich dann darauf, die Gleichung
2
e 2
e
−i~∇ − A ψ eieχ/~c = −i~∇ − (A + ∇χ) ψ ′
c
c
16
(2.19)
zu zeigen. Dazu berechnen wir
2
e
−i~∇ − (A + ∇χ) ψeieχ/~c
c
e
ie
e
= −i~∇ − (A + ∇χ) −i~ (∇ψ) + (∇χ) − (A + ∇χ) ψ eieχ/~c
c
~c
c
e
e
= −i~∇ − (A + ∇χ) −i~(∇ψ) − Aψ eieχ/~c
c
c i~e
ie
e
e
2
= −~ (∆ψ) +
(∇A)ψ + A(∇ψ) + −i~ (∇χ) − (A + ∇χ)
−i~(∇ψ) − Aψ eieχ/~c
c
~c
c
c
i~e
e
e
= −~2 (∆ψ) +
(∇A)ψ + A(∇ψ) − A −i~(∇ψ) − Aψ eieχ/~c
c
c
c
e
ieχ/~c
= (−i~∇ − A) −i~(∇ψ) − Aψ e
c
e 2
ieχ/~c
=
−i~∇ − A ψ e
c
Die Idee ist nun, den obigen Hamiltonoperator in (2.16) in Zeit-abhängiger Störungstheorie zu lösen, wobei wir
einen Teil exakt lösen können und den Rest als Störung betrachten. Den Hamiltonoperator H schreiben wir als
Summe des Hamiltonoperators des freien Teilchens ohne Wechselwirkung mit der Strahlung H0 und des Restes
Hk , also H = H0 + Hk mit
H0 = −
~2 2
∇ + U (r)
2m
Hk = −
e
e2
A2 (r̂, t) + eφ(r̂, t)
(p̂ · A(r̂, t) + A(r̂, t) · p̂) +
2mc
2mc2
(2.20)
wobei wir p̂ = −i~∇ und r̂ = r eingesetzt haben. r̂ ist dabei einfach der Multiplikationsoperator. Beim niederschreiben des Potentials A hatten wir uns auf die Coulomb-Eichung festgelegt, weshalb wir die Reihenfolge von
p̂ und A vertauschen können. Wir wollen annehmen, dass φ(r̂, t) = 0 ist und stellen uns vor, dass das Vektorpotential klein ist, weshalb auch A2 wegfällt. Da ist es ganz bequem, eine Ladungsstromdichte zu definieren.
Wir führen den Operator
1 ĵ(r) =
p̂ · δ (3) (r − r̂) + δ (3) (r − r̂) · p̂
(2.21)
2m
ein, der für die paramagnetische Ladungsstromdichte steht. Wir haben also einen Operator als Funktion einer
regulären Variable. Wir schreiben ρ̂(r) = δ (3) (r − r̂) und bekommen mit dieser Funktion
Z
e2
e
2
A
(r,
t)ρ̂(r)
+
e
ρ̂(r)φ(r,
t)
(2.22)
Hk =
d3 r − ĵ(r) · A(r, t) +
c
2πc2
Dies ist die Zeit-abhängige Störung des Hamiltonoperators. Nun wollen wir hier die explizite Form für A
einsetzen, wobei wir eben φ und A2 weglassen.


Z
Z
e X
Hk = − √
(2.23)
a(k, λ)e(k, λ) d3 r ĵ(r)eik·r−iωk t + a∗ (k, λ)e∗ (k, λ) d3 r ĵ(r)e−ik·r+iωk t 
c L3 k,λ
wobei die Fouriertransformierte der paramagnetischen Ladungsstromdichte gegeben ist durch
Z
p̂
1 p̂ −ik·r̂
e
+ e−ik·r̂
ĵ(k) =
d3 r e−ik·r ĵ(r) =
2 m
m
Setzen wir dies oben ein, bekommen wir
i
e Xh
Hk = − √
a(k, λ)e(k, λ) · ĵ(−k)e−iωk t + a∗ (k, λ)e∗ (k, λ) · ĵ(k)eiωk t
c L3 k,λ
(2.24)
(2.25)
Zur Berechnung Wahrscheinlichkeit von einem Inital-Zustand in einen Final-Zustand überzugehen kann man
die Berechnungen zur goldenen Regel aus der Quantenmechanik I zu Hilfe nehmen. Dort war die ÜbergangsWahrscheinlichkeit gegeben durch
∞
2
Z
1 ′ i(εf −εi )t′ /~′
′
(2.26)
dt
e
hf
|H
(t
)|ii
Pi→f =
k
~2 −∞
17
So haben wir beispielsweise
P0→n
=
1
~2
→
X
Z∞
−∞
k,λ
′
2
′
dt′ ei(En −E0 )t /~ |hf |Hk (t′ )|ii|
δ(En − E0 − ~ωk )
D
E2
2π e2
2
|a(k, λ)| n|ĵ(−k)e(k, λ)|0 3
2
~ L c
(2.27)
Dies ist nun die Absorptionswahrscheinlichkeit dafür, dass ein Photon der Energie ~ω, wobei ~ω = En − E0 ,
aus dem Grundzustand angeregt wird. Die Absorptionsrate für eine einzelne Mode (k, λ) ist gegeben durch
D
E2
e2
2π
2
δ(En − E0 − ~ωk ) 3 2 |a(k, λ)| n|ĵ(−k) · e(k, λ)|0 (2.28)
Γ0→n,(k,λ) =
~
L c
Nehmen wir an, dass die Strahlung inkohärent ist, dann denken wir, dass die totale Übergangswahscheinlichkeit
einfach die Summe der einzelnen ist, das heisst, wir ignorieren die Interferenzterme zwischen den verschiedenen
Moden
D
E2
1 X 2πe2
2
Γ0→n =
δ(En − E0 − ~ωk ) |a(k, λ)| n|ĵ(−k) · e(k, λ)|0 (2.29)
3
2
L
~c
k,λ
Geht L → ∞, so können wir zum Integral übergehen
Z
Z
1
1
2
Γ0→n =
dk k dΩk =
dω ω 2 dΩk
(2π)3
(2πc)3
(2.30)
Die Absorptionsrate (k, λ) zum Winkelelement dω(k)
dΓ0→n =
D
E2
2
X
2πe2 ω0n
2
n|
ĵ(−k)
·
e(k,
λ)|0
|a(k,
λ)|
dΩ(k)
~2 c2 (2πc)3
(2.31)
λ
2
wobei ~ω0n = En − E0 , woraus wir den Betrag von k bestimmen können. Der Term |a(k, λ)| zeigt uns, das wir
etwas bekommen, das proportional zur Intensität der Strahlung ist.
Wir können uns auch überlegen, was die Emissionsrate ist. Das heisst also die Rate, mit der ein angeregtes
Atom in den Grundzustand zurück geht und dabei ein Photon aussendet. Wir finden, dass diese induzierte (also
von der Hintergrundstrahlung abhängende) Emissionsrate gegeben ist durch
D
E2
2
X
2πe2 ω0n
2
|a(k,
λ)|
dΓn→0 =
(2.32)
0|ĵ(k) · e∗ (k, λ)|n dΩk
2
2
3
~ c (2πc)
λ
wobei der Operator gerade der komplex konjugierte Operator von ĵ(−k) · e ist. Wir leiten daraus ab, dass
dΓ0→n = dΓn→0
(2.33)
Dies ist aber nur richtig in unserer Näherung der Ströungstheorie.
2.2.1
Photon-Absorption
Es ist
Γ0→n,(k,λ) =
D
E2
4π 2 e2 N (k, λ)
δ(E
−
E
−
~ω
)
n|
ĵ(−k)
·
e(k,
λ)|0
n
0
k
3
ωk
L
(2.34)
Führen wir die Stromdichte der einfallenden Photonen des Wellenvektors k ein
X
c
jPhoton :=
N (k, λ) 3
L
(2.35)
dann können wir den Absorptionsquerschnitt für die Photonen berechnen
E2
X Γ0→n,k
4π 2 e2 X D
=
σAbs,k =
n|ĵ(−k) · e(k, λ)|0 δ(En − E0 − ~ωk )
j
ω
c
Photon
k
n
(2.36)
λ
n,λ
Im Moment interpretieren wir verschiedene auftauchende Terme wie Photonen, wobei wir noch gar nicht wissen,
was Photonen sind. Deshalb bekommen wir auch noch falsche Resultate.
18
2.3
Matrix-Element in Dipolnäherung
D
E2
Wir wollen nun das Matrixelement n|ĵ(−k) · e(k, λ)|0 ausrechnen, wobei
ĵ(−k) =
p̂
p̂ ik·r
e
+ eik·r
2m
2m
(2.37)
Wir machen die brutale Näherung, dass wir nur die 1 des Exponentialterms mitnehmen. Dies machen wir, da
wir annehmen, dass die Abstände in der Grössenordnung von Atomen sind und die Strahlung makroskopischer
Natur ist. Wir nehmen dabei an, der Atomkern sitze im Ursprung und setzen r̂ = 0. Damit bekommen wir
p̂
m
ĵ(−k) ≈
(2.38)
Wir hatten
H0 =
~2 p̂2
+ U (r̂)
2m
(2.39)
wobei U unabhängig von p̂ sei, also nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Wir berechnen den Kommutator
[r̂, H0 ] =
1
i~
1
p̂
[r̂, p̂2 ] =
([r̂, p̂]p̂ + p̂[r̂, p̂]) =
2m
2m
m
(2.40)
1
[r̂, H0 ]
i~
(2.41)
So können wir schreiben
ĵ(−k) =
Für das Matrixelement, das wir ausrechnen wollen, folgt dann
2
2
D
E2
1
1
n|ĵ(−k) · e(k, λ)|0 = e(k, λ) · hn|[r̂, H0 ]|0i = (E0 − En ) hn|e(k, λ) · r̂|0i
i~
i~
=
2
|iωn hn|e(k, λ) · r̂|0i|
2
= ωn2 |hn|e(k, λ) · r̂|0i|
(2.42)
(2.43)
Nehmen wir H0 vom Wasserstoffatom mit |n, ℓ, mi, so müssen wir das Matrixelement hn, ℓ, m|r̂|n′ , ℓ′ , m′ i berechnen. Erinnern wir uns daran, dass das in der ℓ′ -Darstellung SU(2), m′ = −ℓ′ , ..., ℓ′ . Der Operator r̂ transformiert
sich in die ℓ = 1 Darstellung der Drehgruppe SU(2). Der Zustand |r̂|n′ , ℓ′ , m′ i transformiert sich mit der Darstellung D1 ⊗ Dℓ′ = Dℓ′ −1 ⊕ Dℓ′ ⊕ Dℓ′ +1 . Ist das Matrixelement nicht 0, so muss ℓ = ℓ′ ± 1 oder ℓ = ℓ′ sein.
Dies nennt man das Wigner-Eckart Theorem (siehe Übungen).
Wir haben auch noch den Paritätsoperator P : x 7→ −x, der die Raumspiegelung beschreibt. Es gilt [P, H0 ] = 0.
Der Operator r̂ wird unter der Wirkung von P gerade in − abgebildet und es gilt P † r̂P = −r̂. Andererseits ist
der Drehimpulsoperator invariant unter der Parität, da
P † L̂P = L̂ = r̂ ∧ p̂
[P, L̂] = 0
(2.44)
Das heisst
P |n, ℓ, mi = ± |n, ℓ, mi
(2.45)
Schauen wir uns nun die explizite Wirkung auf die Kugelfunktionen an. Dies reduziert sich auf die Wirkung auf
die Legendre-Polynome, woraus man liest, dass
P |n, ℓ, mi = (−1)ℓ |n, ℓ, mi
(2.46)
Wir bekommen
′
hnℓm|r̂|n′ ℓ′ m′ i = − hnℓm|P r̂P |n′ ℓ′ m′ i = −(−1)ℓ+ℓ hnℓm|r̂|n′ ℓ′ m′ i = 1
(2.47)
Daraus lesen wir ab, dass tatsächlich ℓ und ℓ′ sich um eins unterscheiden müssen. Also fällt ℓ = ℓ′ weg. Daraus
lernen wir, dass die Absorption eines Photons immer dazu führt, dass ∆ℓ = ±1 ist. Tatsächlich bedeutet dies,
dass das Photon Spin 1 hat, der dann bei der Absoprion in das Elektron eingearbeitet wird.
Je nach dem wie das Licht polarisiert ist, kann man sich auch überlegen, wie sich die magnetische Quantenzahl
ändert.
19
2.4
Qantisierung des Strahlungsfeldes
Das Strahlungsfeld hat verschiedene Moden (k, λ). Stellen wir uns vor, das Strahlungsfeld sei dadurch beschrieben, dass die Moden unterschiedlich besetzt sind N (k, λ). Wir werden diese Art von Zustand durch
einen Vielphotonenzustand beschreiben. Eine natürlich Basis ist die Basis der Besetzungszahlen. Der Zustand ist dann dadurch charakterisiert, wieviel mal die unterschiedlichen Photonenmoden besetzt sind, also
|N (k1 , λ1 ), ..., N (k, λ)...i. Die Photonenenergie ist dann
X
N (kj , λj )~c |kj |
(2.48)
Eph =
j
Denken wir an den Photoelektrischen Effekt, der suggeriert, dass wir Photonen wie Elektronen quantenmechanisch behandeln sollten. Dies führt dann auch zu unterschiedlichen physikalischen Voraussetzungen.
2.4.1
Die kanonische Quantisierung
Wir fangen wieder ganz von vorne an und schreiben die Gleichung für das Strahlungsfeld, also die Bewegungsgleichung für das Vektorpotential in der Coulomb-Eichung
1 ∂2
− ∆ A(r, t) = 0
(2.49)
c2 ∂t2
Die allgemeine Lösung davon ist
1 X
∗
qk,λ (t)e(k, λ)eik·r + qk,λ
(t)e∗ (k, λ)e−ik·r
A(r, t) = √
3
L k,λ
(2.50)
Dies ist die selbe Gleichung, wie zuvor, mit dem Unterschied, dass nun
qk,λ (t) ≡ a(k, λ)e−iωk t
(2.51)
Schreibt man dies so hin, erfüllen diese q’s die Differentialgleichung
d2
qk,λ (t) + ωk2 qk,λ (t) = 0
dt2
(2.52)
Nun können wir wiederum die Felder ausrechnen
E(r, t) = −
1 ∂
A(r, t)
c ∂t
B(r, t) = rotA(r, t)
(2.53)
Bisher haben wir noch nichts getan. Nun ist die Idee, dass wir die Energie des Strahlungsfeldes hinschreiben
ESF =
Z
d3 x
X ω2
1
∗
∗
k
E(x, t)2 + B(x, t)2 =
qk,λ (t)qk,λ
(t) + qk,λ
(t)qk,λ (t)
2
8π
4πc
(2.54)
k,λ
∗
∗
wobei qk,λ (t)qk,λ
(t) = qk,λ
(t)qk,λ (t) = |a(k, λ)|2 . Wir führen die Grössen
1
∗
Qk,λ = √
qk,λ + qk,λ
2
4πc
Pk,λ =
Damit können wir die Energie schreiben als
ESF =
X1
k,λ
2
iωk
d
∗
Qk,λ = − √
qk,λ − qk,λ
2
dt
4πc
2
Pk,λ
+ ωk2 Q2k,λ
(2.55)
(2.56)
Dieser Term sieht aus wie die Hamilton-Funktion eines harmonischen Oszillators. Das Energie Spektrum sieht
also aus wie eine Ansammlung von harmonischen Oszillatoren zu allen möglichen Werten von k. Nun ist klar,
wie wir dies quantisieren, nämlich so, wie wir den harmonischen Oszillator quantisieren. Wir ersetzen Qk,λ und
Pk,λ durch Operatoren Q̂k,λ und P̂k,λ und postulieren
i
i
h
h
i
h
(2.57)
Q̂k,λ , Q̂k′ ,λ′ = P̂k,λ , P̂k′ ,λ′ = 0
Q̂k,λ , P̂k,λ = i~δkk′ δλλ′
20
Den harmonischen Oszillator lösen wir mit den Erzugungs- und Vernichtungsoperatoren. Dies tun wir nun auch,
führen also den Operator
r
ωk
ωk
ωk Q̂k,λ + iP̂k,λ
∗
∗
√
√
(q̂k,λ + q̂k,λ
) + (q̂k,λ − q̂k,λ
) =
= √
q̂k,λ
(2.58)
âk,λ :=
2π~c2
2~ωk
2~ωk 4πc2
ein, wobei q̂k,λ der zugehörige Operator zur Grösse qk,λ ist. Dies ist der Vernichtungsoperator. Entsprechend
ist der Erzeugungsoperator das komplex konjugierte davon
r
ωk Q̂k,λ − iP̂k,λ
ωk ∗
†
√
âk,λ =
=
q̂
(2.59)
2π~c2 k,λ
2~ωk
Es folgen die Vertauschungsregeln
(ωk Qk,λ + iPk,λ )(ωk′ Qk′ ,λ′ + iPk′ ,λ′ ) − (ωk′ Qk′ ,λ′ + iPk′ ,λ′ )(ωk Qk,λ + iPk,λ )
[âk,λ , âk′ ,λ′ ] =
√
2~ ωk ωk′
h
i
†
(2.60)
â†k,λ , â†k′ ,λ′
= [âk′ ,λ′ , âk,λ ] = 0
i
h
(ωk Qk,λ + iPk,λ )(ωk′ Qk′ ,λ′ − iPk′ ,λ′ ) − (ωk′ Qk′ ,λ′ − iPk′ ,λ′ )(ωk Qk,λ + iPk,λ )
=
âk,λ , â†k′ ,λ′
√
2~ ωk ωk′
ωk ωk′ [Qk,λ , Qk′ ,λ′ ] + [Pk,λ , Pk′ ,λ′ ] − iωk [Qk,λ , Pk′ ,λ′ ] + iωk′ [Pk,λ , Qk′ ,λ′ ]
=
√
2~ ωk ωk′
=
−i2 ~ (ωk δkk′ ,λλ′ + ωk′ δk′ k,λ′ λ )
= δk,k′ δλ,λ′
√
2~ ωk ωk′
(2.61)
(2.62)
Wir schreiben den Hamiltonoperator des Strahlungsfeldes dann als
ĤSF =
X
1
~ωk N̂k,λ +
~ωk âk,λ â†k,λ + â†k,λ â†k,λ =
2
2
X1
k,λ
(2.63)
k,λ
mit N̂k,λ = â†k,λ âk,λ . Es funktioniert also genau wie beim harmonischen Oszillator, nur haben wir jetzt nicht nur
einen, sondern einen für jedes k. Der 12 -Term divergiert in der Quantisierungsvorschrift, die wir gewählt haben.
Solche Divergenzen tauchen in der Quantenfeldtheorie immer und überall auf. Wir können leicht sehen, dass wir
uns daran nicht so fest stören sollten, denn es gibt ja keine absolute Energie. Von daher sind Terme, wie dieser
hier einfach weglassbar. Schliesslich interessieren wir uns nur für Energiedifferenzen. Das Strahlungsfeld sieht
nun aus wie unendlich viele entkoppelte harmonische Oszillatoren. Für jeden dieser harmonischen Oszillatoren
haben wir einen Auf- und Absteigeoperator. Den Hilbertraum der Zustände können wir beschreiben wie beim
harmonischen Oszillator. Dort waren die Zustände charakterisiert durch
|ni =
(a† )n
|0i
n!
(2.64)
Die Basis unseres Hilbertraums ist dann gegeben durch
|N (k1 , λ1 ), N (k2 , λ2 ), ...i =
(a†k1 ,λ1 )N (k1 ,λ1 ) (a†k2 ,λ2 )N (k2 ,λ2 )
N (k1 , λ1 )
N (k2 , λ2 )
... |0i
(2.65)
Diese Zustände sind dadurch charakterisiert, dass
N̂ (ki , λi ) |N (k1 , λ1 ), N (k2 , λ2 ), ...i = N (k, λi ) |N (k1 , λ1 ), N (k2 , λ2 ), ...i
Wirken wir mit dem Vernichtungsoperator auf irgendeinen Operator, dann bekommen wir
p
âk,λ |Nk1 ,λ1 , ..., Nk,λ , ...i =
Nk,λ |Nk1 ,λ1 , ..., Nk,λ − 1, ...i
(2.66)
(2.67)
und genauso gilt (wie in QM I)
â†k,λ |Nk1 ,λ1 , ..., Nk,λ , ...i =
p
Nk,λ |Nk1 ,λ1 , ..., Nk,λ + 1, ...i
Diese Relation ist dafür verantwortlich, dass Absorption und Emission nicht mehr gleich sind.
21
(2.68)
2.4.2
Feldoperatoren
Der zum Feld gehörige Operator hat nun die Form
s
1 X 2π~c2 âk,λ e(k, λ)eikx + â†k,λ e∗ (k, λ)e−ikx
Â(x, t) = √
ωk
L3
(2.69)
k,λ
Erinnern wir uns an den entscheidenen Störoperator
′
HK
= −
e
c
Z
d3 x ĵ(x) · Â(x)
(2.70)
Das ĵ ist ein Operator auf den Elektronenfreiheitsgrade, währen  auf dem Raum der Photonenzustände
operiert. Hk′ ist nun also ein Operator in zweierlei Hinsicht.
2.4.3
Photonen-Absorption & Emission
Im Falle von Photonen-Absorption betrachten wir einen Zustand, der zerst im Zustand |0, Nk1 ,λ1 , ..., Nk,λ , ...i ist
und dann übergeht in einen Zustand mit einem Photon weniger |n, Nk1 ,λ1 , ..., Nk,λ − 1, ...i. Was wir ausrechnen
müssen ist das Matrixelement
′
| |0, Nk1 ,λ1 , ..., Nk,λ , ...i
hn, Nk1 ,λ1 , ..., Nk,λ − 1, ...i |HK
(2.71)
Dieses beschreibt den Sprung vom Zustand 0 in den n-ten Zustand des Elektrons, wobei das Photon (k, λ)
absorbiert wurde. Was nun neu ist durch den Operator Â, ist, dass das Matrixelement gegeben ist durch (wobei
der erste Term von  beträgt)
′
| |0, Nk1 ,λ1 , ..., Nk,λ , ...i
hn, Nk1 ,λ1 , ..., Nk,λ − 1, ...i |HK
r
E
D
ED
e
2π~
†
= −√
n|ĵ(−k)e(k, λ)|0 Nk,λ
|âk,λ |Nk,λ
ωk
L3
(2.72)
(2.73)
Es folgt nun
Γ0→n,k,λ =
E2
4π 2 e2 D
n|
ĵe|0
Nk,λ δ(εn − ε0 − ~ωk )
ωL3
(2.74)
Dies ist wie vorher. Betrachten wir nun die Photonen Emission, dann trägt der zweite Term in  bei und es
folgt
D
E2
E2 D
(2.75)
Γn→0,k,λ = ... 0|ĵe∗ |n Nk,λ + 1|â†k,λ |Nk,λ wobei der letzte Term gleich (Nk,λ + 1) ist. Es folgt also, dass die Absorptions- und die Emotionsrate nicht
mehr übereinstimmt. Den Hauptterm nennt man induzierte Emission. Der Zusatzterm durch das +1 nennt man
spontane Emission, der also eine Emission beschreibt, selbst, wenn alle n’s null sind.
2.5
Absorption und Emission von Photonen nach Einstein
Einstein hatte diesen Effekt bereits 1917 verstanden, bevor die Quantenmechanik überhaupt entwickelt war.
Die Idee dabei ist, dass man Strahlung und Atome im thermischen Gleichgewicht vorliegen hat. Die mittlere
Anzahl von Photonen, die zu einer Modenzahl (k, λ) gehört, gegeben ist durch
P∞
N e−N ~c|k|/kB T
(2.76)
N (k,λ) = Pn=0
∞
−N ~c|k|/kB T
N =0 e
wobei der Nenner einfach der Normierungsterm ist und der Zähler die relative Wahrscheinlichkeit. kB ist die
Boltzmann-Konstante. Diese Grösse können wir direkt mit der geometrischen Reihe ausrechnen
∞
X
e−N ~c|k|/kB T
=
N =0
22
1
1 − e−~c|k|/kB T
Wir leiten den Nenner nach ~ ab
∞
∂ X −N ~c|k|/kB T
e
∂~
N =0
= −
∞
c|k| X
N e−N ~c|k|/kB T
kB T
e−~c|k|/kB T
− kc|k|
BT
2
1 − e−~c|k|/kB T
=
N =0
Es folgt
N k,λ =
e−~c|k|/kB T
1 − e−~c|k|/kB T
=
1
e~c|k|/kB T
−1
(2.77)
(2.78)
Dies ist das thermische Gleichgewicht der Photonen. Deshalb ist die mittlere Energie, eingeschränkt auf eine
spezifische Mode
Ek,λ = ~cN k,λ (k) =
~c|k|
e~c|k|/kB T − 1
(2.79)
Die Idee ist ja, dass die Photonen im Gleichgewicht sind mit den Atomen. Für die Verteilung für die Atomzustände stellen wir uns vor, es existieren nur zwei Zustände 0 und n, deren Energiedifferenz ~c|k| = En − E0
ist. Auch hierfür gibt es eine Boltzmann-artige Verteilung
Pn
P0
=
e−En /kB T
e−E0 /kB T
(2.80)
Dies sind also die relativen Besetzungszahlen der Atome. Als wir das Strahlungsfeld klassisch behandeln, würden
wir erwarten, dass
dNk,λ
dNk,λ
= −BNk,λ
= BNk,λ Pn
(2.81)
dt
dt
abs
ind.Em.
Dies sind die Emissions- bzw. die Absorptionsraten. Im thermischen Gleichgewicht sollten sich diese beiden
Therme aufheben. Aber
dNk,λ
dNk,λ
+
= BNk,λ (Pn − P0 ) 6= 0
(2.82)
dt
dt
Abs.
ind. Em
Das heisst, wir sind nicht im thermischen Gleichgewicht, denn es wird mehr thermisch emittiert als absorbiert,
bis irgendwann keine Photonen mehr da sind. Einstein postulierte, dass es eine spontane Emission gibt
dNk,λ
= APn
(2.83)
dt
sp. Em.
wobei A nun zu bestimmen ist, so dass die die Gleichgewichtsgleichung erfüllt ist.
dNk,λ
dNk,λ
dNk,λ
+
+
0 =
dt
dt
dt
Abs.
ind. Em
sp. Em.
=
BNk,λ (Pn − P0 ) + APn
(2.84)
(2.85)
Diese Gleichung soll gelöst werden für Nk,λ = N k,λ = 1/(e(En−E0 )/kB T − 1). Es folgt
A=
−BN k,λ
Pn − P0
P0
= B
1
e(En −E0 )/kB T − 1
= B
1 − e(En −E0 )/kB T
Das bedeutet, die Totale Emission ist gegeben durch
dNk,λ
dNk,λ
dNk,λ
=
+
= BPn Nk,λ + APn = BPn (Nk,λ + 1)
dt
dt
dt
tot
ind. Em
sp. Em.
(2.86)
(2.87)
Dies ist genau, was wir vorher ausgerechnet haben. Die Grösse der spontanen Emissionsraten ist relativ klein.
Im Wasserstoff ist beispielsweise für |2pi → |1si
D
E2
B ∼ 1s|ĵ(k) · e∗ (k, λ)|2p Die Linienverbreiterung durch die spontane Emission ist etwa ∼ 10−8 .
23
(2.88)
2.6
Lichtstreuung
Mit Lichtstreuung meinen wir den Prozess, in dem ein Elektromagnetisches Teilchen in irgendeinem Zustand
mit einem Photon des Wellenvektors k beschossen wird. Wir stellen uns vor, dieses Teilchen wird am Teilchen
gestreut und geht in einen anderen Zustand k′ über, wobei das Teilchen einen Impuls erhält. Im Anfangszustand
sei das Teilchen im Grundzustan. Wir haben dann den Zustand |0, Nk,λ , Nk′ ,λ = 0i. Im Endzustand wird das
Teilchen in einen anderen Zustand gesprungen sein. Wir schreiben |n, Nk,λ − 1, Nk′ ,λ′ = 1i. Die Energiebilanz
hat dann folgende Form
En − E0 = ~ωk − ~ωk′
E0 + ~ωk = En + ~ωk′
(2.89)
Das heisst, die Energie die das Photon verliert, wird von dem Tielchen aufgenommen werden. Betrachten wir die
zwei Zustände, stellen wir fest, dass sich zwei Besetzungszahlen für die Photonen ändern. Der Hamiltonoperator,
der die Kopplung der Materie an die Strahlung beschreibt, war von der Form
Z
e2
e
2
3
A(x) ρ̂(x) + eρ̂(x)φ(x)
(2.90)
HK =
d x − ĵ(x)A(x) +
c
2ωc2
mit der Stromdichte ĵ und der Ladungsdichte ρ̂. Das Feld war von der Form
1 X
ak,λ eeikx + a†k,λ e∗ e−ikx
A = √
L3 k,λ
(2.91)
Der Operator A ist also linear in den Operatoren ak,λ und †k,λ . Wenn wir zu erster Ordnung Störungstheorie
arbeiten, kann der Relevante Therm nur vom Term A2 Term kommen, da sonst nicht sowohl ein Photon erzeugt, als auch eines vernichtet werden kann. Sie treten in A ja nur linear auf. Dies gilt zu erster Ordnung
Störungstheorie. Zu zweiter Ordnung Störungstheorie, bekommen wir auch die Therme, die vom A-Term kommen, die von der selben Grössenordnung sind, der vorige.
2.6.1
Beitrag erster Ordnung
Der Störterm erster Ordnung, der einen Effekt haben kann, ist
Z
e2
ĤI =
d3 x ρ̂(x)Â(X)2
2mc2
(2.92)
Wir müssen ausrechnen
MI =
wobei
D
n, Nk,λ − 1, Nk′ ,λ′ = 1|ĤI |0, Nk,λ , Nk′ ,λ′ = 0
1 X
A = √
L3 k,λ
s
E
2π~c2 âk,λ e(k, λ)eikx + â†k,λ e∗ (k, λ)e−ikx
ωk
Wir haben dann den Photonenteil
1 2π~c2
2e2
ikx ∗ ′
′ †
−ik′ x
′
′
′
′
=
+1|
N
−
1,
N
e(k,
λ)â
e
e
(k
,
λ
)â
=
0
e
|N
,
N
√
k,λ
k ,λ
k,λ
k,λ
k ,λ
k′ ,λ′
2mc2
L 3 ωk ωk′
p
′
2π~e2
√
(e(k, λ)e∗ (k′ , λ′ )) ei(k−k )x Nk,λ
=
mL3 ωω ′
(2.93)
(2.94)
(2.95)
(2.96)
Wir haben dann
MI
Z
D
E
′
d3 x n|ei(k−k )x ρ̂(x)|0
(2.97)
Z
d3 y Ψ(y)δ(x − y) |yi = Ψ(x) |xi
(2.98)
1 p
1
Nk,λ (ek e∗k′ )
= # 3 √
′
L
ωω
wobei ρ̂(x) = δ(x − x̂). Dies bedeutet
δ(x − x̂)Ψ = δ(x − x̂)
Z
3
d y Ψ(y) |yi =
24
Wir haben
′
′
δ(x − x̂)ei(k−k )x = ei(k−k )x̂ δ(x − x̂)
(2.99)
Die Elektronen sind im wesentlichen frei
|0i ↔ eiq0 x
|ni ↔ eiqn x
(2.100)
Und wir haben
Z
′
d3 x eiq0 x e−iqn x ei(k−k )x = δk−k′ ,qn −q0 = δk+q0 ,k′ +qn
(2.101)
L3
Dies drückt gerade die Impulserhaltung aus (wie in der Compton-Streuung). Das Matrix-Element, um das es
geht, is gegeben durch
MI =
L3
Wir wenden dann Fermi’s goldene Regel an
Γ0→n;(k,λ)→(k′ ,λ′ ) =
p
1
√
Nk,λ ek · e∗k′ δk+q0 ,k′ +qn
′
ωω
2π
2
δ(E0 + ~ω − En − ~ω ′ )Nk,λ √
|e(k, λ) · e∗ (k′ , λ′ )| δk+q0 ,k′ Qqn
~
L3 ωω ′
(2.102)
(2.103)
Berechnen wir daraus den differentiellen Wirkungsquerschnitt. Dazu summiere über alle Endzustände, wobei
wir ersetzen
Z
dω ′ ω ′2
1 X
(2.104)
dΩk′
→
L3 ′
(2πc)3
k
und wir dividieren durch den einfallenden Photonenstrom
j =
c
Nk,λ
L3
(2.105)
Es kommt dann heraus, dass
dσq0 →qn
dΩk′
= r02
ω′
2
|e(k, λ) · e∗ (k′ , λ′ )| δq0 +k,qn +k′
ω
(2.106)
Wir summieren nun die Elektronen-Endzustände
dσ
dΩk′
= r02
ω′
2
|e · e∗ |
ω
(2.107)
wobei r0 der Elektronen-Radius ist. Dies nennt man die Thomson-Streuung, was der nicht-relativistischen Version der Compton-Streuung entspricht.
2.6.2
Beitrag zweiter Ordnung
Streng genommen müssten wir zweiter Ordnung Zeit-abhängiger Störungstheorie machen. Es wird aber ähnlich
sein wie Zeit-abhängige Behandlung. Die verschiedenen Ordnungstherme sollte man sich wie folgt vorstellen
⊠
Als 2. Ordnung Störungstheorie machen wir 1. Ordnung Störungstheorie für den Zwischenzustand. Konkret
bedeutet dies, dass wir das Matrixelement betrachten
M0→n
(2.108)
X hn; Nk,λ − 1, Nk′ ,λ′ = 1|HK |m; Nk,λ − 1, Nk′ ,λ′ = 0i hm; Nk,λ − 1, Nk′ ,λ′ = 0|HK |0; Nk,λ , Nk′ ,λ′ = 0i
=
E0 + ~ω − Em
m
(2.109)
+
hn; Nk,λ − 1, Nk′ ,λ′ − 1|HK |m; Nk,λ , Nk′ ,λ′ = 1i hn; Nk,λ , Nk′ ,λ′ = 1|HK |m; Nk,λ , Nk′ ,λ′ = 0i
25
(2.110)
In Analogie dazu erinnern wir uns an die Zeit-unabhängige Störungstheorie erster Ordnung, wo wir hatten
|Ψ1 i =
X hℓ|H ′ |ini
ℓ+n
Ein − Eℓ
|ℓi
(2.111)
Dies entspricht dem zweiten Teil des ersten Terms. Der Zweite Term entspricht der dritten Graphik. Dies ist nicht
wirklich erklärt, sondern mehr physikalisch motivert durch den letzten Term. Der Trick, um dies auszurechnen,
ist eine andere Eichung zu wählen. Wir machen dazu die Eichtransformation mit χ = −r · A
A 7→ A′ = A + ∇χ = A − A − r∇A
φ 7→ φ′ =
1 ∂χ
= −rE
c ∂t
(2.112)
Man kann argumentieren, dass der Term für A klein ist und man betrachtet dann nur noch den Term −rE.
Wir wollen die Berechnung nun lediglich skizzieren (siehe Script)
X
√
p
1
Nk,λ hn|e∗ r|mi hm|re(k, λ)|0i ωω ′
(2.113)
M0→n =
E0 + ~ω − Em
m
p
1
∗ ′
′
+
N
hn|re(k,
λ)|mi
hm|re
(k
,
λ
)|0i
(2.114)
k,λ
E0 − ~ω ′ − Em
wobei wir verwendet haben, dass
E =
X√
∂A
=
ω aeeikr + a† e∗ e−ikr
∂t
(2.115)
k,λ
Die Therme e−ikr und eikr haben wir ignoriert, da sie nur dann beitragen, falls |0i und |ni die selbe Parität
haben. Am Ende bekommen wir etwas, das geht wie
dσ0→n
dΩk′
∼ ωω ′ 3 |Σ
|2
(2.116)
Bei elastischer Streuung ω ≈ ω ′ finden wir, dass der diff. Wirkungsquerschnitt geht wie ω 4 . Aus dieser Formel
kommt raus, dass der Himmel blau ist, da die blauen Wellen am meisten gestreut werden.
26
3
Identische Teilchen
Bisher hatten immer ein Teilchen oder wie beim Wasserstoff, unterscheidbare Teilchen (Atomkern und Elektron).
Nun wollen wir uns mit (vielen) ununterscheidbaren Teilchen beschäftigen. Dadurch treten neue Phänomene
auf, die über das hinaus gehen, was wir bisher besprochen haben. In der klassischen Physik sind die Teilchen
vielleicht zwar im Prinzip ununterscheidbar, doch wir können in einem System immer die Trajektorien verfolgen
und sagen, welches Teilchen welches ist, sie sind gemäss ihrer Trajektorien unterscheidbar. In der Quantenphysik
ist dies anders. Dort haben wir eine Wellenfunktion, die die Teilchen beschreibt. Diese Wellenfunktionen können
sich überlappen und es ist nicht klar, welches Teilchen welches ist, sie sind nicht mehr unterscheidbar.
3.1
Zustände & Observablen identischer Teilchen
Stellen wir uns vor, wir haben N identische Teilchen (z.B. N Elektronen oder irgendwelche Bosonen). Diese
Teilchen nummerieren wir von 1 bis N . Dann haben wir einen Hamilton-Operator als Funktion dieser N Teilchen-Variablen, also H ≡ H(1, 2, ..., N ), wobei i ≡ xi , si . Die Aussage, dass diese N Teilchen ununterscheidbar sind, wird sich darin manifestieren, dass der Hamilton-Operator invariant ist unter Permutationen
der Teilchen-Variablen, also
H(1, 2, ..., N ) = H(π(1), π(2), ..., π(N ))
π ∈ SN
(3.1)
π ist eine Invertierbare Abbildung π : {1, ..., N } → {1, ..., N }. Die Menge dieser Abbildungen bildet eine Gruppe
mit N ! Elementen.
Es sei nun eine Wellenfunktion ψ(1, 2, ..., N ) gegeben. Auf dem Raum der Wellenfunktionen H können wir den
Permutations-Operator Pij definieren
Pij : H → H : Pij ψ(1, 2, ..., i, ..., j, ..., N ) = ψ(1, 2, ..., j, ..., i, ..., N )
(3.2)
Dieser Operator hat die Eigenschaft, dass Pij2 = 1 ist. Die Invarianz des Hamiltonoperators unter Permutationen
bedeutet, dass er mit dem Permutationsoperator kommutiert, also
HPij = Pij H
⇔
Pij HPij = H
(3.3)
Dies ist die Übersetzung
von (3.1). Die Permutationsgruppe ist nun die freie Gruppe der Transpositionen
σi ≡ i i + 1 , i = 1, ..., N − 1 modulo der folgenden Relationen
(i) σi σj = σj σi , |i − j| ≥ 2
(ii) σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 , i = 1, ..., N − 2
(iii) σi σi = 1
Diese Relationen reichen aus, um eine endliche Gruppe zu bilden (siehe Übungen). Die freie Gruppe wird aus
den Generatore σ1 , σ2 , ..., σN −1 generiert und ein beliebiges Element der freien Gruppe ist einfach ein Wort,
gebildet aus diesen Generatoren
σi1 σi2 σi3 ...σiℓ
(3.4)
Diese Gruppe ist zunächst einmal unendlich gross. Mit den Relationen gilt dann aber beispielsweise
σ1 σ2 σ2 σ3 σ1 σ4 = σ1 σ3 σ1 σ4
(3.5)
Eine Permutation ist gerade, falls das zugehörige Wort eine gerade Anzahl Generatoren hat; entsprechend für
eine ungerade Permutation. Diese Eigenschaft ist mit den obigen Relationen verträglich. Die Eigenschaft gerade
oder ungerade zu sein macht also invariant Sinn. Die Pij sind in offensichtlicher Weise unitäre Operatoren, da
hPij Ψ1 |Pij Ψ2 i =
hΨ1 |Ψ2 i
Schliesslich ist es dem Integral egal, über welche Variabel zuerst integriert wird. Somit ist
D
E
hφ|Pij ψi = hPij φ|Pij Pij ψi = hPij φ|ψi = Pij† φ|ψ
⇒ Pij† = Pij−1
(3.6)
(3.7)
Somit ist Pij unitär. Wir hätten dieses Argument auch für beliebige Permutation P machen können, die auf
dem Raum der Wellenfunktionen in der offensichtlichen Weise wirken. Es gilt also auch
P † = P −1
27
(3.8)
P ist also unitär. Jede Observable S muss mit den Permutationen vertauschen, das heisst
[P, S] = 0
(3.9)
Würde dies nicht gelten, könnten wir die Teilchen mit diesem S unterscheiden. Dies hat zwei Konsequenzen:
1. hψ|S|ψi = hP ψ|S|P ψi, das heisst ψ und P ψ haben denselben Erwartungswert für alle Observablen S.
Dies folgt aus
hP ψ|S|P ψi = ψ|P † SP |ψ = ψ|P † P S|ψ = hψ|S|ψi
(3.10)
da P unitär ist.
2. Falls |ψi ein Eigenvektor von S mit Eigenwert s ist, das heisst S |ψi = s |ψi, dann ist auch P |ψi ein
Eigenvektor von S mit Eigenwert s. Das heisst
S |ψi = s |ψi
⇒
SP |ψi = sP |ψi
(3.11)
Dies folgt aus
SP |ψi = P S |ψi = sP |ψi
(3.12)
Das heisst ψ und P ψ beschreiben die selbe Physik. Es gibt keine Oberservable, mit der wir die beiden Vektoren auseinander halten könnten. Es ist nun natürlich zu postulieren, dass die Wellenfunktion |ψi und die
Wellenfunktion P |ψi sich nur durch eine Phase unterscheiden, das heisst
|ψi = U (P ) |P ψi
(3.13)
Falls sich Vektoren bis auf eine Phase unterscheiden, beschreiben immer die selbe Physik (siehe QM I). Die Phase
U (P ), die hier auftritt, muss eine eindeutige Darstellung der Permutationsgruppe sein, denn bei mehrfachem
hintereinander Ausführen, gilt
|ψi = U (P1 ) |P1 ψi = U (P1 )U (P2 ) |P2 P1 ψi = U (P2 P1 ) |P2 P1 ψi
(3.14)
Wir lesen darin ab, dass
U (P1 P2 ) = U (P1 )U (P2 )
(3.15)
Dies ist gerade die Darstellungseigenschaft der Permutationsgruppe. Für eine allgemeine 1-dimensionale Darstellung der Permutationsgruppe, müssen wir zu jedem σj eine Phase eiθj assozieren. Die Modulo-Relation (i)
sagt uns, dass
eiθj eiθk = eiθk eiθj
(3.16)
was immer erfüllt ist. Die zweite Modulo-Relation (ii) sagt uns, dass
eiθj eiθj+1 eiθj = eiθj+1 eiθj eiθj+1
⇒
eiθj = eiθj+1
(3.17)
Somit ist θi ≡ θ, unabhängig von i. Die Modulo-Relation (iii) führt noch zu
eiθ eiθ = 1
⇒
eiθ = ±1
(3.18)
Das heisst, es gibt zwei 1-dimensionale Darstellungen der Permutationsgruppe.
(1) Die triviale Darstellung: U (P ) = +1 für alle P . Das führt zu
P ψ = +ψ
(3.19)
Teilchen dieser Art nennt man Bosonen.
(2) Die antisymmetrische (alternierende) Darstellung:
|P |
U (P ) = (−1)
=
+1, P gerade
−1, P ungerade
(3.20)
und damit
P ψ = (−1)|P | ψ
(3.21)
Teilchen mit dieser Eigenschaft nennt man Fermionen.
Es gibt keinen a priori Grund weshalb Teilchen Bosonen oder Fermionen sind. Im Rahmen der lokalen Quantenfeldtheorie sieht man, dass die Bosonen gerade die Teilchen mit ganzzahligem und die Fermionen diejenigen
der halbzahligen Spins sind. Dies geht unter den Namen des Spin-Statistik Theorems (ETH Theorem). Dies ist
nicht aus der Quantenmechanik ersichtlich.
28
3.1.1
Zusammengesetzte Systeme
Betrachten wir als Beispiel zwei Wasserstoff-Atome, wobei bide je aus Atomkern und Elektron bestehen. Die
Wellenfunktion ist eine Funktion mit
Ψ(r1 , R1 , r2 , R2 ) = −Ψ(r2 , R1 , r1 , R2 ) = −Ψ(r1 , R2 , r2 , R1 ) = Ψ(r2 , R2 , r1 , R1 )
wobei wir benutzt haben, dass sowohl Kerne, als auch Elektronen Fermionen sind. Die beiden Atome als ganzes
vertauscht, verhalten sich wie Bosonen. Das zusammengesetzte System verhält sich wie ein Boson, falls es eine
gerade Anzahl von Fermionen enthält und wie ein Fermion, falls es eine ungerade Anzahl von Fermionen enthält.
Diese Aussage kann man auch aus dem Spin-Statistik-Theorem herleiten, welches sagt, dass die Bosonen gerade
Teilchen sind, deren Spin ganzzahlig ist und dass die Fermionen diejenigen Teilchen sind, welche halbzahligen
Spin haben. Der Gesamtspin für das zusammengesetzte System ist das Tensorprodukt der einzelnen Spins
s1 , ..., sB , ŝ1 , ..., ŝF
→
Vs1 ⊗ ... ⊗ VsB ⊗ Vŝ1 ⊗ ... ⊗ VŝF
wobei bei ganzzahligen Schritten
Vj1 ⊗ Vj2 = V|j1 −j2 | ⊕ ... ⊕ Vj1 +j2
(3.22)
Anders ausgedrückt bedeutet das: Boson mal Boson gibt Boson, Boson mal Fermion gibt Fermion und Fermion
mal Fermion gibt Boson.
3.2
Symmetrisierung & Antisymmetrisierung
Betrachten wir ein System aus N Teilchen mit einer Wellenfunktion ψ(1, ..., N ), dann können wir davon den
symmetrischen Teil definieren durch
1 X
1 X
P ψ(1, ..., N ) = √
ψ(P (1), ..., P (N ))
ψs (1, ..., N ) = √
N ! P ∈SN
N ! P ∈SN
(3.23)
Die Behauptung ist, dass ψs nun symmetrisch ist, das heisst dass
Qψs (1, ..., N ) = ψs (1, ..., N )
(3.24)
Dies zeigen wir mit
Qψs (1, ..., N ) =
X
1
1 X
√
(QP ψ)(1, ..., N ) = √
(P ′ ψ)(1, ..., N ) = ψs (1, ..., N )
N ! P ∈Sn
N ! P ′ ∈SN
wobei Q ∈ SN . Ähnlich definieren wir den antisymmetrischen Teil
1 X
1 X
ψa (1, ..., N ) = √
(−1)|P | (P ψ)(1, ..., N ) = √
(−1)|P | ψ(P (1), ..., P (N ))
N ! P ∈SN
N ! P ∈SN
(3.25)
Die Behauptung ist hier, dass
Qψa (1, ..., N ) = (−1)|Q| ψa (1, ..., N )
(3.26)
Dies zeigen wir anhand von
Qψa (1, ..., N ) =
=
1 X
√
(−1)|P | (QP ψ)(1, ..., N )
N ! P ∈SN
X
′
1
√ (−1)|Q|
(−1)|P | (P ′ ψ)(1, ..., N ) = (−1)|Q| ψa (1, ..., N )
N!
P ′ ∈SN
′
wobei wir (−1)|P | = (−1)|Q| (−1)|P | verwendet haben. Als Beispiele haben wir
1
ψs (1, 2) = √ (ψ(1, 2) + ψ(2, 1))
2
1
ψa (1, 2) = √ (ψ(1, 2) − ψ(2, 1))
2
29
(3.27)
(3.28)
Die (Anti)Symmetrisierung betrifft immer die gesamte Wellenfunktion, nicht nur den ortsabhängigen Teil, also
Ort und Spin. Haben wir beispielsweise zwei Fermionen von Spin 21 mit
1
wobei s1 , s2 ∈ { | ↑i , | ↓i} = { | 12 , 2
Gordon Zerlegung
ψ(1, 2) = ψ(r1 , r2 )χ(s1 , s2 )
(3.29)
, | 12 , − 21 }. Den Gesamtspin des Systems erhalten wir über die ClebschV1/2 ⊗ V1/2 = V0 ⊕ V1
wobei die Darstellungen wie folgt aussehen

 | ↑↑i
√1 ( | ↑↓i + | ↓↑i)
V1 :
 2
| ↓↓i
|1, 1i
|1, 0i
|1, −1i
(3.30)
1
V0 : √ ( | ↑↓i − | ↓↑i)
2
(3.31)
wobei die erste Darstellung V1 symmetrische Triplett-Zustände Zustände und die zweite Darstellung V0 einen
antisymmetrischen Singulett-Zustand enthält. Bei Fermionen ist die Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch. Ist
die Spinwellenfunktion ein Triplett, dann gilt für die Ortsraumwellenfunktion
ψ(r1 , r2 ) = −ψ(r2 , r1 )
(3.32)
und Ist die Spinwellenfunktion ein Singulett, so haben wir
ψ(r1 , r2 ) = +ψ(r2 , r1 )
(3.33)
Befinden sich zwei Fermionen im gleichen Zustand und haben identischen Spin, so ist der Zustand ein TriplettZustand und die Ortsraumwellenfunktion muss antisymmetrisch sein. Das heisst
ψ(r, r) = 0
(3.34)
Fermionen, die sich nicht durch ihren Spin unterscheiden, können nicht die selbe Ortsraum-Wellenfunktion
haben. Dies nennt man das Pauli Ausschliessungsprinzip.
3.3
Wellenfunktion nicht-wechselwirkender identischer Teilchen
Wir betrachten N identische Teilchen, die nicht miteinander wechselwirken. Wir schreiben die Hamiltonfunktion
als
H =
N
X
Hi
Hi =
i=1
p2i
+ V (ri )
2m
(3.35)
Der Zustandsraum ist das Tensorprodukt der 1-Teilchenzustandsräume
H⊗N = H ⊗ H ⊗ ... ⊗ H
(3.36)
also das N -fache Tensorprodukt des Raumes der Zustände eines Teilchens H. Jede Wellenfunktion des Gesamtsystems lässt sich als Linearkombination von Produktfunktionen schreiben, wobei die Produktfunktion von der
Form
χ1 (x1 )χ2 (x2 )...χN (xN )
(3.37)
So können wir leicht die Eigenzustände des Gesamtsystems bauen, wenn wir die Eigenzustände des einzelnen
Systems haben. Sei ψµ (xi ) die Eigenfunktion von Hi , so dass
Hi ψµ (xi ) = Eµ ψµ (xi )
Die Eigenfunktionen von H =
P
i
(3.38)
Hi sind dann
Ψ(x1 , ..., xN ) = ψµ1 (x1 )...ψµN (xN )


N
X
HΨ(x1 , ..., xN ) = 
Eµj  Ψ(x1 , ..., xN )
j=1
30
(3.39)
Das selbe gilt auch für den Spin-Ortsraumansatz, wobei
ψ(1, 2) = ψ(r1 , r2 )χ(s1 , s2 )
(3.40)
einfach eine spezielle Basis ist. Der Zustandsraum der N Teilchen ist H⊗N . Das kommt daher, dass wir zunächst
so getan haben, als könnten wir die Teilchen unterscheiden. H⊗N ist also ein fiktiver Zustandsraum. Im allgemeinen (fast immer) ist ψ weder symmetrisch noch anti-symmetrisch, aber wir können aus jeder Wellenfunktion
immer eine symmetrische oder anti-symmetrische bauen. Falls wir es mit Bosonen zu tun haben, dann ist die
zugehörige Wellenfunktion
1 X
ΨB (1, ..., N ) = √
PΨ
N ! P ∈SN
1 X
(3.41)
ψµ1 (rP (1) , sP (1) )...ψµN (rP (N ) , sP (N ) )
= √
N ! P ∈SN
wobei ni die Vielfachheit des Zustandes ψi ist. Entsprechend tun wir das selbe für den Fall von Fermionen
1 X
ΨF (1, ..., N ) = √
(−1)|P | ψµ1 (rP (1) , sP (1) )...ψµN (rP (N ) , sP (N ) )
N ! P ∈SN


ψµ1 (1) . . . ψµ1 (N )
1


..
..
det  ...
= √
(3.42)

.
.
N!
ψµN (1) . . . ψµN (N )
Diese Determinante trägt den Namen Slater-Determinante. Die Determinante ist immer Null, falls zwei Spalten
oder zwei Zeilen gleich sind. Das bedeutet, falls irgendein µi = µj ist für i 6= j, dann ist die Slater-Determinante
null und daher ΨF = 0. Dies ist eine andere Art, das Pauli Ausschliessungsprinzip zu formulieren. Falls ΨF 6= 0
ist, also diese ganzen µi ’s unterschiedlicht sind, dann gilt
hΨF |ΨF i = 1
hψµ |ψν i = δµν
(3.43)
wobei das erste Skalarprodukt im N -Teilchenraum und das zweite im 1-Teilchenraum definiert ist. Daher kommt
die Normierung √1N ! . Für Bosonen kommt allerdings nicht gerade 1 raus, sondern
hΨB |ΨB i =
Y
ni !
ni = #µj in Ψ mit µj = i
(3.44)
i
Im bosonischen Fall ist die rechte Seite der Gleichung immer ungleich null (falls die 1-Teilchen-Wellenfunktionen
ungleich null sind).
3.3.1
Grundzustandsenergie für Bosonen & Fermionen
Die Grundzustandsenergie unterscheidet sich dramatisch für Bosonen und Fermionen. Sei Eµ der Energiewert
des Einteilchensystems, wobei das Energiespektrum nach unten beschränkt sei. Das heisst, es gibt einen Zustand
minimaler Energie E0 . Für Bosonen im Grundzustand finden wir die Energie E = N E0 . Die Wellenfunktion
wird
Ψ(1, ..., N ) = ψµ0 (1)...ψµ0 (N )
(3.45)
die bereits symmetrisch ist. Für Fermionen ist die Situation anders. Wir versuchen, die niedrigsten EnergieNiveaus aufzufüllen. Nehmen wir an, dass die Energieniveaus nicht vom Spin abhängen und dass die Fermionen
Spin 21 haben wie beispielsweise für Elektronen. Es gibt also die Zustände | ↑i und | ↓i. Demnach haben wir
nacheinander die Zustände
(E0 , ↑), (E0 , ↓), (E1 , ↑), (E1 , ↓), (E2 , ↑), (E2 , ↓)
(3.46)
So bekommen wir schliesslich
E =
(
PN/2−1
N gerade
2 j=0 Ej ,
P(N −1)/2−1
2 j=0
Ej + E n−1 , N ungerade
(3.47)
2
Ist N gerade, so ist der Grundzustand eindeutig doch für ungerades N ist der Grundzustand zweifach degeneriert,
denn der letzte Zustand kann (E N −1 , ↑) oder (E N −1 , ↓) sein. Diese Konfiguration der Fermionen nennt man
2
2
auch das Fermigas zur Fermi-Energie E N −1 (für N gerade).
2
31
3.4
Streuung identischer Teilchen
Wir haben zwei wechselwirkende Teilchen, die aufeinander zufliegen und aneinander streuen. Quantenmechanisch können wir nicht unterscheiden, welches gestreute Teilchen welches ist.
3.4.1
Identische Bosonen ohne Spin
Die Wellenfunktion hängt im Schwerpunktsystem nur von der Relativkoordinate ab
ψ(r1 , r2 ) = eip(r1 +r2 ) ψ(r)
r = r1 − r2
(3.48)
wobei p der Schwerpunktsimpuls und ψ(r) die Wellenfunktion im Schwerupnktsystem ist. Der erste Teil ist
symmetrisch. Eine symmetrische Gesamtwellenfunktion bedeutet also ψ(r) = ψ(−r). Die Einlaufende Wellenfunktion ist dann
ψein (r) = eik·r + e−ikr
(3.49)
Die auslaufende Wellenfunktion kann wegen der Rotationssymmetrie nur von θ und vom Betrag k = |k|
abhängen. Sie hat die Form
ψaus (r) =
eikr
(fk (θ) + fk (π − θ))
r
(3.50)
wegen Impulserhaltung. Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist dann
dσ
= |fk (θ) + fk (π − θ)|2 = |fk (θ)|2 + |fk (π − θ)|2 + 2Re(fk (θ)fk∗ (π − θ))
dΩ
(3.51)
wobei die ersten beiden Terme die klassichen Term sind und der letzte Term (mit dem Realteil) der Interferenzterm der Quantenmechanik ist. Zum Vergleich
π 2
π 2
dσ vs.
klassisch
2
(3.52)
=
4
fk
f
k
dΩ π
2
2
θ= 2
Zerlegen wir dies in Partialwellen
fk (θ) =
∞
X
iℓ (2ℓ + 1)Pℓ (cos θ)fℓ
(3.53)
i=0
wobei cos(π − θ) = − cos(θ) und daher
fk (π − θ) =
∞
X
iℓ (2ℓ + 1)Pℓ (− cos θ)fℓ
Pℓ (− cos θ) = (−1)ℓ Pℓ (cos θ)
(3.54)
ℓ=0
Für die Summe folgt
fk (θ) + fk (π − θ) = 2
3.4.2
∞
X
iℓ (2ℓ + 1)Pℓ (cos θ)fℓ
(3.55)
ℓ=0
ℓ gerade
Identische Spin- 21 -Fermionen
Wir nehmen an, wir haben zwei Fermionen, die aneinander streuen. Wir unterteilen nun in zwei Teile: Wir haben
Spin-Freiheitsgrade, von denen wir annehmen, dass sie keinen Einfluss auf fk (θ) hat. Es gibt zwei Möglichkeiten:
• Gesamtspin Singulett: √12 ( | ↑↓i − | ↓↑i). In dem Fall ist die Ortswellenfunktion symmetrisch und die
Analyse ist genau wie für Bosonen ohne Spin.
• Gesamtspin Triplett: | ↑↑i, √12 ( | ↑↓i+ | ↓↑i), | ↓↓i. Die Spinwellenfunktion ist symmetrisch, das heisst, die
Ortswellenfunktion muss anti-symmetrisch sein, damit die Gesamtwellenfunktion wieder anti-symmetrisch
wird. In diesem Fall ist das asymptotische Verhalten der Ortswellenfunktion (im Schwerpunktsystem) von
der Form
ψ(r) = eik·r − e−ik·r +
32
eik·r
[fk (θ) − fk (π − θ)]
r
(3.56)
Daraus können wir den differentiellen Wirkungsquerschnitt bestimmen
dσ 2
2
= |fk (θ)| + |fk (π − θ)| − 2Re(fk∗ (θ)fk (π − θ))
dΩ Triplett
Ausgewerten bei θ =
π
2,
(3.57)
bekommen wir
π
dσ = 0
dΩ Triplett 2
(3.58)
Der Interferenzterm wirkt in diesem Fall also destruktiv im Gegensatz zum Fall der Bosonen.
Wenn die Fermionen unpolarisiert sind, dann weiss man nicht genau, ob sie sich im Singulett- oder im
Triplett-Zustand befinden. Die Lösung ist dann durch die Wahrscheinlichkeiten gegeben
1 dσ 3 dσ dσ 2
2
=
+
= |fk (θ)| + |fk (π − θ)| − Re(fk∗ (θ)fk (π − θ)) (3.59)
dΩ unpol.
4 dΩ Singulett 4 dΩ Triplett
Dies ist der eine Fall der interessant ist.
Der andere interessante Fall ist, wenn sich die Fermionen gemäss ihren Spins unterscheiden können. In
diesem Fall können die Streutherme durch ihren Spin unterschieden werden, würde man denken. Man
würde also eine Antwort wie in der klassischen Physik erwarten. Das heisst, wir erwarten, dass die quantenmechanischen Interferenzterme wegfallen. Dies ist auch tatsächlich der Fall, denn wir können den
Ausgangszustand schreiben als
1
1
1
| ↑↓i = √ √ ( | ↑↓i − | ↓↑i) + √ ( | ↑↓i + | ↓↑i)
(3.60)
2
2
2
Also als Linearkombination eines Singulett- und eines Triplett-Zustandes. Wir bekommen dann
1 dσ dσ
1 dσ 2
2
=
+
= |fk (θ)| + |fk (π − θ)|
dΩ
2 dΩ Singulett 2 dΩ Triplett
(3.61)
Die Interferenzterme fallen also tatsächlich weg.
3.5
Zopfgruppenstatistik & Anyonen
In niedrigen Dimensionen gibt es noch eine andere Art von Statistik, also nicht nur Bosonen und Fermionen. Der
Grund dafür ist topologischer Natur und kann relativ einfach verstanden werden. Zunächst einmal sollten wir
uns konzeptionell überlegen, wie man das Problem ununterscheidbarer Teilchen richtig behandelt. Unsere bisherige Behandlung wir schon richtig, aber konzeptionell nicht wirklich befriedigend (denn wir haben zunächst
die Teilchen durchnummeriert und dann gezeigt, dass das durchnummerieren eine schlechte Idee war). Man
sollte versuchen, die System so einzuführen, wie sie sind. Befriedigender ist, gleich mit dem richtigen Konfigurationsraum zu arbeiten. Wir gehen vom klassischen Konfigurationsraum ununterscheidbarer Teilchen, der
alle Konfigurationen der N Teilchen enthält. Klassisch können diese Teilchen niemals am selben Ort sein. Wir
nehmen also
MD,N := (RDN − ∆)/SN
∆ = (x1 , ..., xN ) ∈ (RD )N , xi = xj für i 6= j
(3.62)
Dies ist eine glatte Mannigfaltigkeit. Das SN sorgt dafür, dass die Teilchen vertauschbar sind. Die Quantisierung besteht darin, die Wellenfunktionen auf dem klassischen Raum MD,N zu betrachten. Die Unterscheidung
zwischen Bosonen und Fermionen, also die Statistik, taucht nun in subtiler Weise auf, da MD,N nicht einfach
zusammenhängend ist (im Gegensatz zum RDN ). Es folgt nun der zentrale Punkt dieser gesamten Analyse.
Betrachten wir also die Wellenfunktionen auf diesem klassischen Konfigurationsraum und stellen wir uns vor,
wir haben die Schrödinger Gleichung
Hψ = Eψ
(3.63)
auf L2 (MD,N ) gelöst. Die Wellenfunktionen sind bis auf eine Phase festgelegt. Es kommt nicht darauf an, ob
wir ψ oder eiα ψ betrachten, sie beschreiben beide die selbe Physik. Betrachten wir nun die Wellenfunktion an
irgend einem Punkt in MD,N und an diesem Punkt wählen wir irgend eine Phase für ψ. Diese Phasenwahl
wird ψ in einer Nachbarschaft um diesen Punkt eindeutig bestimmen. Wählen wir nun einen Punkt am Rand
33
dieser Umgebung, so können wir eine neue Umgebung finden. Führen wir dies zyklisch fort, bis wir wieder
die ursprüngliche Umgebung schneiden und ist dieser Zyklus zusammenziehbar, dann reproduzieren wir die
Phasenwahl. Wir enden also mit der selben Phase. Ist der Zyklus nicht zusammenziehbar und es kann sein, dass
wir die selbe Funktion, bis auf eine Phase, reproduzieren. Also
ψ
γ
U (γ)ψ
(3.64)
wobei U (ψ) eine Phase ist und γ der Weg, der den obigen Zyklus beschreibt. Die Menge der nicht-zusammenziehbaren Wege ist eine Gruppe, die erste Homotopiegruppe π1 (MD,M ). Die Gruppenoperation ist einfach einen
Weg nach dem anderen zu durchlaufen. Der Inverse Weg ist der gleiche Weg, rückwärts durchlaufen. U (γ) ist
nun eine Darstellung der Homotopie-Gruppe π1 (MD,N ). Es gilt klarerweise
U (γ1 )U (γ2 ) = U (γ1 ◦ γ2 )
(3.65)
Jetzt ist alles topologisch geworden. Die Phase, die von der Homotopie-Gruppe (die ihrerseits von der Topologie
der Mannigfaltigkeit abhängt), bestimmt die Statistik. Die Frage, welche Phasen U (γ) auftreten können, ist die
Suche nach den möglichen Darstellung U : π1 (MD,N ) → U (1). Für D ≥ 3 ist π1 (MD,N ) = SN . Wir lernen
daraus, dass in D ≥ 3 die auftretenden Phasen eindimensionale Darstellungen der Permutationsgruppe. Es gibt
zwei Möglichkeiten:
• U (σ) = 1: Bosonen
• U (σ) = (−1)|σ| : Fermionen
In drei Dimensionen ist die Statistik also einfach Bosonischer oder Fermionischer Natur.
Für D = 2 stellen wir uns eine Ebene vor mit N Punkten darauf. Jetzt wollen wir die Wege der Punkte
betrachten, die auf die selbe Konfiguration abbilden. Wir stellen uns eine Film vor, bei dem das erste und
das letzte Bild identisch ist. Die Gruppe aller Pfade, die die Punkte auf sich abbilden, ist gegeben durch die
Zopfgruppe BN . Wir nennen die Generatoren σi die Elemente, die benachbarte Punkte vertauschen. Alle Zöpfe
sind ausdrückbar als Kombination der primitiven Zöpfe σi . Die Zopfgruppe ist damit einfach die freie Gruppe,
die von den Generatoren σi , i = 1, ..., N1 erzeugt wird. Die Relationen sind:
• σi σj = σj σi , |i − j| ≥ 2
• σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1
Die Zopfgruppe wurde von Artin 1920 gefunden. Die Statistik ist nun durch die möglichen 1-dimensionalen
Darstellungen der Zopfgruppe bestimmt. Sie sind gegeben durch U (σi ) = eiθ , θ ∈ [0, 2π) (Leinaas und Myrhein
∼ 1970). Man beachte, dass σi σi 6= 1, denn in diesem Fall ist der Zopf verdreht. Dies ist der Grund für die
beliebige Phase θ. Deshalb nennt man die Teilchen mit θ = ±1 Anyonen. Diese Teilchen sind tatsächlich
experimentell beobachtet worden, nämlich im fraktionellen Quantenhalleffekt. Hier sind die effektiven Teilchen
2-dimenional, sie leben effektiv in zwei Dimensionen und genügen der Zopfgruppenstatistik. Dafür gab es den
Nobelpreis 1998 für Tsui, Störmer, Langhliu
34
4
Die zweite Quantisierung
Wir wollen ein Vielteilchen-System effektiv beschreiben (Bosonen und Fermionen). Eine Art, ist die VielteilchenWellenfunktionen zu berechnen, was aber nicht immer sehr einfach ist. In gewissem Sinne hatten wir beim
Strahlungsfeld schon in der zweiten Quantisierung gerechnet. Jetzt wollen wir dies verallgemeinern für den Fall
beliebiger Teilchen. Wir wollen schliesslich eine effiziente Art finden, solche Vielteichensysteme zu beschreiben.
4.1
4.1.1
Erzeugungs- & Vernichtungsoperatoren
Bosonen ohne Spin
Wir haben ein Vielteilchensystem nicht-wechselwirkender Bosonen und wir stellen uns vor, die verschiedenen
Ein-Teilchen-Zustände seien durch eine Orthonormalbasis von Wellenfunktion |ψµ i beschrieben. Statt Wellenfunktionen durch
1 X
ψ1 (xP (1) )...ψ1 (xP (n1 ) ) ψ2 (xP (n1 +1) )...
(4.1)
Ψ(x1 , x2 , ..., xN ) = √
{z
}
N ! P ∈S |
N
n1
(symmetrisiert aber nicht normiert)
zu beschreiben, charakterisieren wir den Zustand durch die BesetzungsP
zahlen |n1 , n2 , ...i mit N = i ni . Wir wollen nun nur noch auf dem Raum der Besetzungszahlen arbeiten.
Schränken wir uns zunächst einmal auf einen Zustand ψµ ein, wobei ni = 0, nµ 6= 0 und definieren die Operatoren
p
√
(4.2)
aµ |nµ i =
nµ |nµ − 1i
a†µ |nµ i =
nµ + 1 |nµ + 1i
wie beim harmonischen Oszillator. Dann gibt es den Zustand |0i des Vakuums, für den aµ |0i = 0 gilt und wir
haben
(a†µ )nµ
p
|0i
nµ !
|nµ i =
Diese Operatoren genügen den Vertauschungsregeln
[aµ , aµ ] =
und
aµ , a†µ |nµ i =
=
† †
aµ , aµ = 0
(4.3)
(4.4)
p
√
nµ + 1 aµ |nµ + 1i − nµ a†µ |nµ − 1i
aµ a†µ |nµ i − a†µ aµ |nµ i =
(nµ + 1) |nµ i − nµ |nµ i = |nµ i
Wir schliessen daraus, dass
aµ , a†µ
= 1
(4.5)
n̂µ := a†µ aµ
(4.6)
Schliesslich führen wir noch den Teilchenzahloperator ein
wobei
n̂µ , a†µ
=
[n̂µ , aµ ] =
n̂µ |nµ i =
a†µ aµ a†µ − a†µ a†µ aµ = a†µ aµ , a†µ = a†µ
a†µ aµ aµ − aµ a†µ aµ = a†µ , aµ aµ = −aµ
nµ |nµ i
(4.7)
Im Allgemeinen haben wir solche Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für jedes µ. Der allgemeinste Zustand
ist also von der Form |n1 , n2 , ..., ni , ...i und
√
√
ni |n1 , ..., ni − 1, ...i
a†i |n1 , ..., ni , ...i =
ni + 1 |n1 , ..., ni + 1, ...i
(4.8)
ai |n1 , ..., ni , ...i =
Und wir haben die Vertauschungsregeln
[ai , aj ] =
h
i
a†i , a†j = 0
35
h
i
ai , a†j = δij
(4.9)
Dann können die Zustände aus dem Vakuum-Zustand |0, 0, ..., 0i erzeugt werden, nämlich mit
(a† )n1
(a† )ni
· ... · √1
|0, 0, ..., 0i
|n1 , ..., ni , ...i = ... · √i
ni !
n1 !
(4.10)
Die Einteilchen-Zustände sind in dieser Beschreibung mit drin, so entspricht
|1, 0, 0, ..., 0i ↔ ψ1
|0, 1, 0, ..., 0i ↔ ψ2
...
(4.11)
Genauso finden wir für die Zweiteilchen-Zustände die Entsprechungen
1
|1, 1, 0, ..., 0i ↔ √ ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ) + ψ1 (x2 )ψ2 (x1 )
2
|2, 0, 0, ..., 0i ↔ ψ1 (x1 )ψ1 (x2 )
(4.12)
Wir wollen nun alles in dieser Sprache beschreiben. Der Plan ist, später Operatoren durch die Erzugungs- und
Vernichtungsoperatoren auszudrücken, die immer automatisch symmetrisierte Wellenfunktionen erzeugen.
4.1.2
Fermionen mit Spin
1
2
Im folgenden ist es irrelevant, ob der Spin 12 oder 32 oder etc. ist. Die ψµ seien nun die 1-Teilchenwellenfunktionen
inklusive Spin. Die Besetzungszahlbasis schreiben wir dann als
1 X
|n1 , n2 , ...i = √
(−1)|P | ψ1 (xP (1) ) ψ2 (xP (2) )...
| {z }
N ! P ∈SN
(4.13)
n1
wobei die Besetzungszahlen ni = 0, 1 sind wegen des Pauli-Prinzips bzw. wegen der Antisymmetrie. Wir möchten
wiederum Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren einführen, die auf diesen Besetzungszahlzuständen wirken.
Wir möchten also Operatoren einführen, die die Relationen
a† |0i = |1i
a† |1i = 0
a |1i = |0i
a |0i = 0
erfüllen. Diese Operatoren erfüllen dann die Antivertauschungsrelationen
a, a† = 1
{a, a} = a† , a† = 0
(4.14)
(4.15)
wobei wir den Anti-Kommutator
{A, B} = AB + BA = [A, B]+
(4.16)
eingeführt haben. Diese Relationen folgen aus
{a, a} = aa + aa = 2a2
was sowohl auf |0i als auch auf |1i wirkend null ergibt. Genauso ist
† †
= 2a† a† = 0
a ,a
Weiter haben wir
a, a† |0i =
a, a† |1i =
aa† |0i + a† a |0i = a |1i = |0i
aa† |1i + a† a |1i = a† |0i = |1i
Der Teilchenzahloperator ist wiederum gegeben durch
n̂ = a† a
(4.17)
n̂ |1i = a† a |1i = a† |0i = 1 · |1i
(4.18)
Dabei gilt
n̂ |0i = a† a |0i = 0
Der Operator zählt also gerade die Anzahl Teilchen. Haben wir mehr als einen Ein-Teilchenzustand, z.B. zwei
fermionische Zustände 1 und 2, so können wir sowohl den ersten als auch den zweiten Zustand besetzen und
wieder leer machen. Wir haben also a1 , a†1 und a2 , a†2 . Den Zwei-Teilchenzustand schreiben wir als |n1 , n2 i,
wobei n1 für den Zustand 1 und n2 für den Zustand 2 steht. Wir legen dann folgende Relationen fest
a†2 |0, 0i = |0, 1i
a†2 |1, 0i = |1, 1i
36
a†2 |0, 1i = 0
a†2 |1, 1i = 0
(4.19)
sowie
a2 |0, 0i = 0
a2 |1, 0i = 0
a2 |0, 1i = |0, 0i
a2 |1, 1i = |1, 0i
(4.20)
Andererseits setzen wir
a†1 |0, 0i = |1, 0i
a†1 |1, 0i = 0
a†1 |1, 1i = 0
(4.21)
a1 |1, 0i = |0, 0i
a1 |0, 1i = 0
(4.22)
und
a1 |0, 0i = 0
Nun haben wir keine Freiheit mehr, was die Normierung anbelangt. Wegen der Anti-Symmetrie taucht ein
Minus-Zeichen auf
a†1 |0, 1i = − |1, 1i
a1 |1, 1i = − |0, 1i
(4.23)
Dies könnte man in etwa wie folgt veranschaulichen
|1, 0i = ψ1 (x1 )
|0, 1i = ψ2 (x1 )
1
a†2 |1, 0i = √ ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ) − ψ2 (x1 )ψ1 (x2 )
2
1
†
a1 |0, 1i = √ ψ2 (x1 )ψ1 (x2 ) − ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ) = −a†2 |1, 0i
2
Die Minuszeichen könnten natürlich überall auftreten, doch wenn wir alles so festlegen, wie eben getan, müssen
die Minuszeichen so auftauchen. Wie man die Vorzeichen konsistent wählt ist immer etwas schwierig. Hier haben
wir die Konvention gewählt, dass der Zustand wie folgt erzeugt wird
|n1 , n2 i = (a†2 )n2 (a†1 )n1 |0, 0i
Die richtigen Vertauschungsrelationen sind nun gerade
o
n
= {ai , aj } = 0
a†i , a†j
Und so ist
a†1 a†2 + a†2 a†1 = 0
⇒
n
ai , a†j
(4.24)
o
= δij
a†1 a†2 = −a†2 a†1
(4.25)
(4.26)
Beliebige Zustände erzeugen wir dann wie folgt
|n1 , n2 , ..., ni , ...i = ...(a†i )ni ...(a†2 )n2 (a†1 )n1 |0, ..., 0i
(4.27)
ai |0, ..., 0i = 0
(4.28)
mit dem Vakuum-Zustand
und den selben Vertauschungsregeln
o
n
= 0 = {ai , aj }
a†i , a†j
n
ai , a†j
o
= δij
(4.29)
Im Unterschied zu den Bosonen verschwinden hier jeweils die Anti-Kommutatoren und nicht die Kommutatoren.
Das Rechnen mit Fermionen ist daher immer ein klein wenig komplizierter, weil man immer auf das Vorzeichen
achten muss. Der gesamte Teilchenzahloperator ist dann einfach
X †
ai ai
(4.30)
N̂ =
i
Er hat die offensichtiche Eigenschaft
N̂ |n1 , n2 , ..., ni , ...i =
X
i
ni
!
|n1 , n2 , ..., ni , ...i = N |n1 , n2 , ..., ni , ...i
37
(4.31)
Im folgenden werden wir jeweils nicht unterscheiden, ob wir von Bosonen oder Fermionen sprechen. Wir werden
lediglich schreiben
i
i
h
h
[ai , aj ]± = a†i , a†j
= 0
ai , a†j
= δij
(4.32)
±
±
wobei das + für Fermionen und das − für die Bosonen steht. Desweiteren werden wir den Spin- und den
Ortsfreiheitsgrade trennen. Also
ais , a†is ↔ ψi (x)χs
mit dem Spin s, wobei dann
i
h
ais , a†js′
±
(4.33)
= δij δss′
Einige Beispiele zu Wellenfunktionen, die von solchen Operatoren erzeugt werden
|1is i = a†is |0i = ψi (x)δss′ = Ψ(x, s′ )
1
1
|1is , 1js′ i = √ a†js′ a†is |0i = √ (ψi (x1 )ψj (x2 )δss1 δs′ s2 ± ψi (x2 )ψi (x1 )δss2 δs′ s1 )
2
2
= Ψ(x1 , s1 , x2 , s2 )
wobei wir angenommen haben, dass i 6= j ist. Ein Beispiel speziell für Bosonen wäre
1 1
√ √ (a†is )2 |0i = ψi (x1 )ψi (x2 )δss1 δss2 = Ψ(x1 , s1 , x2 , s2 )
2 2
|2is i =
Das Spin-Ortsraum-Skalarprodukt ist dann jeweils
hΨ(x1 , s1 , ..., xN , sN )|Ψ(x1 , s1 , ..., xN , sN )i
X Z
=
dx1 ...dxN Ψ∗ (x1 , s1 , ..., xN , sN )Ψ(x1 , s1 , ..., xN , sN ) = 1
s1 ,...,sN
4.2
Feldoperatoren
Wir möchten gerne Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren definieren, die zu gewissen Raumpunkten gehören,
nicht zu Eigenzuständen. Nehmen wir an, wir haben eine vollständige Orthonormalbasis ψi (x) der Ortsraumwellenfunktionen, so dass
Z
d3 x ψi∗ (x)ψj (x) = δij
f (x) =
X
ci ψi (x)
(4.34)
i
Aus der zweiten Relation folgt natürlich
ci =
Z
d3 y f (y)ψi∗ (y)
(4.35)
Setzen wir dies oben ein, so können wir schreiben
f (x) =
XZ
d3 y f (y)ψi∗ (y)ψi (x) =
i
Z
d3 y f (y)
X
!
ψi∗ (y)ψi (x)
i
(4.36)
Daraus leiten wir ab, dass
X
i
ψi∗ (y)ψi (x) = δ (3) (y − x)
(4.37)
Wir definieren nun die Feldoperatoren
Ψ†s (x) :=
X
a†is ψi∗ (x)
Ψs (x) :=
X
i
i
38
ais ψi (x)
(4.38)
Die erste Definition steht für die Erzeugung des Teilchens mit Spin s am Punkt x. Die zweite für dessen Vernichtung. Dies sind zunächst einmal einfach Definitionen. Wir werden sehen, dass dies auch bequeme Definitionen
sind. Diese Feldoperatoren erfüllen
i
h
h
i
X
ψi∗ (x)ψj∗ (y) a†is , a†js′
= 0
(4.39)
Ψ†s (x), Ψ†s′ (y)
=
±
±
i,j
Entsprechendes gilt natürlich auch für den vernichtenden Feldoperator
[Ψs (x), Ψs′ (y)]± = 0
(4.40)
Die Relation, die Erzeuger und Vernichter kombiniert, sieht wie folgt aus
h
h
i
i
X
X
Ψs (x), Ψ†s′ (y)
=
ψi (x)ψj∗ (y) ais , a†js′
=
ψi (x)ψj∗ (y)δss′ δij
±
±
i,j
= δss′
X
ψi (x)ψi∗ (y)
= δss′ δ
i
i,j
(3)
(x − y)
(4.41)
wobei wir (4.37) verwendet haben. Wollen wir nun mit der Ortsraumbasis arbeiten (also mit der Eigenbasis
zum Operator x̂), dann haben wir für die Zustände
1
|x1 , s1 , x2 , s2 , ..., xn , sn i = √ Ψ†sn (xn )...Ψ†s1 (x1 ) |0i
n!
(4.42)
Zur Illustration wollen wir einige Beispiele explizit hinschreiben
X †
X
X
|x, si = Ψ†s (x) |0i =
ais ψi∗ (x) |0i =
ψi∗ (x)a†is |0i =
ψi∗ (x) |1is i
i
=
X
ψi∗ (x)ψi (x′ )δss′
i
= δ
(3)
i
|x1 , s1 , x2 , s2 i =
=
=
=
′
i
′
′
(x − x )δss′ = Ψ(x , s )
1 X ∗
1
√ Ψ†s2 (x2 )Ψ†s1 (x1 ) |0i = √
ψi (x1 )ψj∗ (x2 )a†js2 a†is1 |0i
2
2 i,j
X
1
1
√
ψi∗ (x1 )ψj∗ (x2 ) √ ψi (x′1 )ψj (x′2 )δs1 s′1 δs2 s′2 ± ψi (x′2 )ψj (x′1 )δs1 s′2 δs2 s′1
2 i,j
2
1X ∗
ψi (x1 ) ψi (x′1 )δ (3) (x2 − x′2 )δs1 s′1 δs2 s′2 ± ψ(x′2 )δ (3) (x2 − x′1 )δs1 s′2 δs2 s′1
2 i
1 (3)
δ (x1 − x′1 )δ (3) (x2 − x′2 )δs1 s′1 δs2 s′2 ± δ (3) (x1 − x′2 )δ (3) (x2 − x′1 )δs1 s′2 δs2 s′1
2
Die Ortsbasis-Vektoren sind normiert im Sinne der Distributionen (siehe QM I). Diese Ortsraumbasis hat
automatisch schon die richtigen Vertauschungsrelationen eingebaut. Haben wir beispielsweise xi 6= xj für i 6= j
und vertauschen x1 und x2 , so gilt
|x2 , s2 , x1 , s1 , ..., xn , sn i = ± |x1 , s1 , x2 , s2 , ..., xn , sn i
(4.43)
mit + im bosonischen und − im fermionischen Fall. Dies folgt einfach aus den (Anti-)Vertauschungsregeln der
Operatoren, denn
†
(4.44)
Ψs1 (x1 ), Ψ†s2 (x2 ) ± = 0 ⇒ Ψ†s1 Ψ†s2 = ∓Ψ†s2 Ψ†s1
Weiter halten wir fest, dass
Ψ†s (x) |x1 , s1 , ..., xn , sn i =
√
n + 1 |x1 , s1 , ..., xn , sn , x, si
39
(4.45)
Wir bekommen also aus einem n-Teilchen-Zustand einen n + 1-Teilchen Zustand. Lassen wir einen Vernichtungsoperator auf einen solchen Zustand los, so folgt
Ψs (x) |x1 , s1 , ..., xn , sn i
1
= √ Ψs (x)Ψ†sn (xn )...Ψ†s1 (x1 ) |0i
n!
1 = √
Ψs (x), Ψ†sn ± ∓ Ψ†sn Ψs (x) Ψ†sn−1 (xn−1 )...Ψ†s1 (x1 ) |0i
n!
i
h
1
= √
Ψs (x), Ψ†sn (xn ) ± ...Ψ†s1 (x1 ) |0i ∓ Ψ†sn (xn ) Ψs (x), Ψ†sn−1 (xn−1 ) ...Ψ†s1 (x1 ) |0i
±
n!
+ ... + (∓1)n−1 Ψ†sn (xn )...Ψ†s2 (x2 ) Ψs (x), Ψ†s1 (x1 ) ± |0i
1 δssn δ (3) (x − xn ) |x1 , s1 , ..., xn−1 , sn−1 i ∓ ... + (∓1)n−1 δss1 δ (3) (x − x1 ) |x2 , s2 , ..., xn , sn i
= √
n!
(4.46)
Wir wollen nun ein Skalarprodukt berechnen
hy1 , s1 , ..., ym , sm |x1 , s′1 , ..., xn , s′n i
E
1 D
0|Ψs1 (y1 )...Ψsm (ym )Ψ†s′ (x1 )...Ψ†s′n (xn )|0
= √
1
m!n!
1 X
= δmn
(∓)|P | δsn ,s′P (n) δ (3) (yn − xP (n) )...δs1 ,s′P (1) δ (3) (y1 − xP (1) )
n!
(4.47)
P ∈Sn
Einen Zustand im Vielteilchenraum können wir schreiben als
X Z
|φi =
dx1 ...dxn φ(x1 , s1 , ..., xn , sn ) |x1 , s1 , ..., xn , sn i
(4.48)
s1 ,...,sn
φ(x1 , s1 , ..., xn , sn ) ist dabei die zugehörige Wellenfunktion. Sind die Zustände bereits vollständig (anti-)symmetrisiert, so gilt
|x1 , s1 , ..., xn , sn i =
1 X
(±1)|P | |xP (1) , sP (1) , ..., xP (N ) , sP (N )
n!
Damit machen wir aus (4.48) durch wiederholte Variablen-Substitution
X Z
1 X
|P |
|φi =
(−1)
dx1 ...dxn φ(xP (1) , sP (1) , ..., xP (N ) , sP (N ) ) |x1 , s1 , ..., xn , sn i
n!
s ,...,s
P ∈Sn
1
(4.49)
P ∈Sn
(4.50)
n
Das heisst, zum Zustand |φi trägt nur der richtig symmetrisierte bzw. anti-symmetrisierte Teil der Wellenfunktion bei. Umgekehrt können wir aus dem Zustand die Wellenfunktion zurück bekommen. So ist die zum Zustand
|φi gehörige Wellefunktion gegeben durch
Z
hy1 , ..., yn |φi =
dx1 ...dxn φ(x1 , ..., xn ) hy1 , ..., yn |x1 , ..., xn i
=
1 X
(±1)|P | φ(yP (1) , ..., yP (n) )
n!
(4.51)
P ∈Sn
wobei wir (4.47) verwendet haben. Es bleibt dadurch aber nur der symmetrisierte bzw. anti-symmetrisierte Teil
stehen.
4.2.1
Der Fockraum
Stellen wir uns vor, wir haben ein System mit fester Teilchenzahl n, dann würden wir dies durch den n-Teilchen
Raum Hn darstellen. Die Feldoperatoren bringen uns nun von einem Teilchen Raum in den nächsten
Ψ†s (x) : Hn → Hn+1
Ψs (x) : Hn → Hn−1
40
(4.52)
Der Raum, auf dem diese Operatoren wirken, ist der Fockraum, der Summe aller n-Teilchen Räume (mit
beliebigen n)
M
F =
Hn
(4.53)
n
Ein typischer Vektor des Fockraums Φ ist eine Sequenz
Φ = (φ0 , φ1 , φ2 , φ3 , ..., φm , 0, 0, ...)
(4.54)
wobei φ0 ∈ H0 , φ1 ∈ H1 , φ2 ∈ H2 , etc. Man nimmt an, das Φ nur an endlich vielen Stellen nicht-trivial ist. Das
Innere Produkt solcher Vektoren mit sich selbst, ist dann
hΦ|Φi =
∞
X
i=0
hφi |φi iHi ,Hi
(4.55)
Nützlich am besprochenen Formalismus ist einerseits, dass die Symetrisierung bzw. Anti-Symmetrisierung automatisch funktioniert. Aber, der Grund weshalb man dies zweite Quantisierung nennt, ist, dass man jeden
Operator mit diesen Feldoperatoren ausdrücken kann und das in einer sehr suggestiven Weise.
4.3
Observablen in der 2. Quantisierung
Mit 2. Quantisierung ist gemeint, dass wir alles durch Feldoperatoren ausdrücken. Fangen wir mit dem Teilchenzahldichteoperator an, wobei wir in den folgenden Behandlungen den Spin wieder weg lassen.
4.3.1
Teilchenzahldichteoperator
Wir haben im n-Teilchenraum Hn
ρ̂(x) :=
n
X
i=1
Das heisst ρ̂ wirkt auf dem Eigenzustand
ρ̂(x) |x1 , ..., xn i =
δ (3) (x − x̂i )
n
X
i=1
δ(x − xi ) |x1 , ..., xn i
Wie wir gleich zeigen werden, ist der Erwartungswert von ρ̂ in den Teilchenzuständen |φi und |χi
hχ|ρ̂(x)|φi = χ|Ψ† (x)Ψ(x)|φ
⇒ ρ̂(x) = Ψ† (x)Ψ(x)
(4.56)
(4.57)
(4.58)
Um dies zu zeigen, rechnen wir
hχ|ρ̂(x)|φi
Z
=
Z
=
=
n
wobei wir einerseits
dx1 ...dxn hχ|x1 , ..., xn i hx1 , ..., xn |ρ̂(x̂)|φi
dx1 ...dxn hχ|x1 , ..., xn i
Z
1 =
und andererseits
n
X
i=1
δ (3) (x − xi ) hx1 , ..., xn |φi
dx1 ...dxn−1 hχ|x1 , ..., xn−1 , xi hx1 , ..., xn−1 , x|φi
(4.59)
Z
(4.60)
dx1 ...dxn |x1 , ..., xn i hx1 , ..., xn |
D
E
x1 , ..., xn |δ (3) (x − x̂i )|φ = δ (3) (x − xi ) hx1 , ..., xn |φi
benützt haben. Gleichung (4.60) zeigen wir, indem wir die rechte Seite auf einen Zustand |φi anwenden
Z
dx1 ...dxn |x1 , ..., xn i hx1 , ..., xn |φi
Z
1 X
=
(−1)|P | dx1 ...dxn φ(xP (1) , ..., xP (n) ) |x1 , ..., xn i
n!
P ∈Sn
= |φi
41
(4.61)
Man erinnere sich dabei, dass wir den Zustand |φi so definiert haben, dass er bereits richtig symmetrisiert bzw.
antisymmetrisiert ist. Gleichzeitig gilt
Z
χ|Ψ† (x)Ψ(x)|φ =
dx1 ...dxn−1 χ|Ψ† (x)|x1 , ..., xn−1 hx1 , ..., xn−1 |Ψ(x)|φi
Z
√
√
=
dx1 ...dxn−1 n hχ|x1 , ..., xn−1 , xi n hx1 , ..., xn−1 , x|φi
Z
= n dx1 ...dxn−1 hχ|x1 , ..., xn−1 , xi hx1 , ..., xn−1 , x|φi
=
hχ|ρ̂(x)|φi
Wir schliessen daraus, dass in beliebigen Matrix-Elementen
ρ̂(x) = Ψ† (x)Ψ(x)
(4.62)
Daher sind die beiden als Operatoren gleich. Wäre Ψ(x) die Wellenfunktion, so stünde einfach |ψ(x)|2 da, also
die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen am Punkt x anzutreffen. Diese Schreibweise macht also auch intuitiv viel
Sinn. Die Formel hat nun aber natürlich eine andere Bedeutung, schliesslich haben wir nun Operatoren, im
Gegensatz zu Funktionen. Aber suggestiverweise sieht die Formel für den Teilchendichteoperator genau so aus,
wie die Formel der Teilchendichte. Das ist der Grund, weshalb man das 2. Quantisierung nennt. Der Formale
Schritt
ψ ∗ (x)ψ(x)
formal
−→
Ψ† (x)Ψ(x)
(4.63)
hat eigentlich nichts mit Quantisierung zu tun, es wird aber 2. Quantisierung genannt. Den Schritt kann man
immer anwenden, obgleich man die Operatoren jedes Mal so ausrechnen sollte, wie wir dies gerade für den
Teilchendichteoperator gemacht haben.
4.3.2
Weitere Operatoren
Die kinetische Energie des 1-Teilchen-Zustandes ψj (x) ist gegeben durch
−
~2 2
∇ ψj (x) = Ej ψj (x)
2m
wenn ψj (x) ein Eigenzustand ist. Die kinetische Energie im n-Teilchenraum ist ausdrückbar durch
X
X
Ei a†i ai
Ei n̂i =
T̂ =
(4.64)
(4.65)
i
i
wobei Ei die kinetische Energie im i-ten Zustand ist. Dies können wir schreiben als
XZ
~2 2
T̂ =
d3 x a†i ψi∗ (x) −
∇ ψj (x) aj
2m
i,j
Z
X ~2
=
d3 x a†i ∇ψi∗ (x)aj ∇ψj (x)
2m
i,j
!
!
Z
X
X †
~2
∗
3
=
aj ψj (x)
ai ψi (x) ∇
d x∇
2m
i
i
Z
~2
d3 x ∇Ψ† (x) (∇Ψ(x))
=
2m
Den Erwartungswert der kinetischen Energie hätten wir hingeschrieben als
Z
Z
~2
~2
3
∗
3
∗
∆ψ(x)
T =
d x ∇x ψ (x)∇x ψ(x) =
d x ψ (x) −
2m
2m
(4.66)
(4.67)
Diese Formel sieht nun formal wieder genau so aus, wie diejenige in (4.66). Eben diesen formalen Prozess nennt,
wie gesagt, 2. Quantisierung.
Für die Potentielle Energie finden wir entsprechend, dass
Z
Ĥpot =
d3 x U (x)Ψ† (x)Ψ(x)
42
(4.68)
Genau so kann man für die Teilchenstromdichte, Spindichte, etc. zeigen (siehe Übungen).
Für Mehrteilchenoperatoren, wie beispielsweise das Wechselwikrungspotential V (x−y), das die Wechselwirkung
zwischen dem Punkt x und dem Punkt y beschreibt, gilt
Z
Z
1 X
3
(4.69)
d x
d3 y Ψ†s1 (x)Ψ†s2 (y)V (x − y)Ψs2 (y)Ψs1 (x)
ĤWW =
2 s ,s
1
2
Die Interpetation ist, dass zunächst die Teilchen vernichtet werden, dann mit V (x − y) multipliziert wird
und dann die Teilchen wieder erzeugt werden. Dies ergibt gerade den Wechselwirkungsterm im entsprechenden
Vektorraum. Der Faktor 12 vermeidet Doppelzählung.
4.3.3
Die Feldgleichungen
Bisher haben wir die Feldoperatoren im Schrödingerbild hingeschrieben, denn die Feldoperatoren Ψs (x) hängen
nicht von der Zeit ab. Im Heisenbergbild sollten diese Feldoperatoren auch von der Zeit abhängen
Ψ(x, t) = eiĤt/~ Ψ(x)e−iĤt/~
(4.70)
Daraus folgt, dass
i~
h
h
i
i
∂Ψ
= − Ĥ, Ψ(x, t)
= −eiĤt/~ Ĥ, Ψ(x) e−iĤt/~
∂t
−
−
(4.71)
Der letzte Kommutator bestimmt die Zeitentwicklung im Heisenbergbild. Wir wollen dies nun ausrechnen für
den Fall
Ĥ = T̂ + ĤWW
Wir brauchen also unter anderem
Z
h
i
~2
d3 y ∇y Ψ† (y)∇y Ψ(y), Ψ(x) −
T̂ , Ψ(x)
=
2m
−
Z
~2
d3 y ∇y Ψ† (y)Ψ(y)Ψ(x) − Ψ(x)∇y Ψ† (y)∇y Ψ(y)
=
2m
Z
~2
= −
d3 y Ψ(x)∇y Ψ† (y)∇y Ψ(y) ∓ ∇y Ψ† (y)Ψ(y)Ψ(x)
2m
Z
~2
d3 y Ψ(x), ∇y Ψ† (y) ∓ ∇y Ψ(y)
= −
2m
Z
~2
d3 y ∇y δ(x − y)∇y Ψ(y)
= −
2m
~2
=
∆Ψ(x)
2m
(4.72)
(4.73)
wobei jeweils das obere Vorzeichen für Bosonen und das untere für Fermionen steht. Für den Wechselwirkungsoperator (4.69) berechnen wir ohne den Spin zu berücksichtigen
h
i
ĤWW , Ψ(x)
=
1
2
Z
=
1
2
Z
3
d y1
3
d y1
Für Bosonen verwenden wir
†
Ψ (y1 )Ψ† (y2 ), Ψ(x) −
Z
Z
=
=
d3 y2 Ψ† (y1 )Ψ† (y2 )V (y1 − y2 )Ψ(y2 )Ψ(y1 ), Ψ(x) −
d3 y2 Ψ† (y1 )Ψ† (y2 ), Ψ(x) − V (y1 − y2 )Ψ(y2 )Ψ(y1 )
Ψ† (y1 ) Ψ† (y2 ), Ψ(x) + Ψ† (y1 ), Ψ(x) Ψ† (y2 )
−Ψ† (y1 )δ (3) (y2 − x) − δ (3) (y1 − x)Ψ† (y2 )
43
(4.74)
(4.75)
Wir setzen nun in (4.74) ein
Z
Z
h
i
1
3
d y1
d3 y2 Ψ† (y1 )δ (3) (y2 − x) + δ (3) (y1 − x)Ψ† (y2 ) V (y1 − y2 )Ψ(y2 )Ψ(y1 )
ĤWW , Ψ(x) = −
2
= −
1
2
= −
Z
Z
d3 y1 Ψ† (y1 )Ψ(x)Ψ(y1 )V (y1 − x) −
1
2
Z
d3 y2 Ψ† (y2 )Ψ(y2 )Ψ(x)V (x − y2 )
d3 y Ψ† (y)V (x − y)Ψ(y)Ψ(x)
(4.76)
Das letzte Resultat gilt auch für Fermionen, wie in den Übungen gezeigt wird. Schliesslich schreiben wir nun
die Bewegungsgleichungen hin
Z
~2
∂
Ψ(x, t) = −
∆Ψ(x, t) + d3 y Ψ† (y, t)V (x − y)Ψ(y, t)Ψ(x, t)
(4.77)
i~
∂t
2m
Wie man solch eine Gleichung von Operatoren löst, werden wir im nächsten Kapitel sehen. Kompliziertere
Methoden gehören zum Beginn der Quantenfeldtheorie.
4.3.4
Freie Felder
Wir betrachten freie Felder in einem Kasten der Seitenlänge L und daher dem Volumen V = L3 und wir
verlangen periodische Randbedingungen. Die Famile der Lösungen ist dann gegeben durch
1
ψk (x) = √ eik·x
V
k =
2π
(nx , ny , nz )
L
Wir schreiben nun die Feldoperatoren hin
1 X ik·x
Ψs (x) = √
e
ak,s
V k
nx , ny , nz ∈ Z
(4.78)
1 X −ik·x †
Ψ†s (x) = √
e
ak,s
V k
(4.79)
Für den kinetischen Operator haben wir
T̂ =
X ~2 k2
k,s
2m
a†k,s ak,s
(4.80)
Für den Wechselwirkungsoperator machen wir Fourier-Zerlegung für das Potential
1 X
V (x) =
Vq eiq·x
V q
(4.81)
und wir bekommen
Z
1 X
ĤWW =
d3 y1 d3 y2 Ψ†s1 (y1 )Ψ†s2 (y2 )V (y1 − y2 )Ψs2 (y2 )Ψs1 (y1 )
2 s ,s
1 2
Z
X
X
X †
X
′
′
1
=
d3 y1 d3 y2
ak′ ,s1 e−ik1 ·y1 a†k′ ,s2 e−ik2 ·y2
ak2 ,s2 eik2 ·y2 ak1 ,s1 eik1 ·y1
Vq eiq·(y1 −y2 )
3
1
2
2V s ,s
′
′
q
1
=
=
=
1
2V
1
2V
1
2V
k1 ,k2
k1 ,k2
2
1
V
Z
X
a†k′ ,s1 a†k′ ,s2 Vq ak2 ,s2 ak1 ,s1
X
a†k′ ,s1 a†k′ ,s2 Vq ak2 ,s2 ak1 ,s1 δk′1 ,k1 +q δk′2 ,k2 −q
s1 ,s2
q,k′1 ,k1 ,k′2 ,k2
s1 ,s2
q,k′1 ,k1 ,k′2 ,k2
X
s1 ,s2
k1 ,k2 ,q
1
1
2
′
d3 y1 e−iy1 ·(k1 −q−k1 )
1
V
Z
′
d3 y2 e−iy2 ·(k2 +q−k2 )
2
a†k1 +q,s1 a†k2 −q,s2 Vq ak2 ,s2 ak1 ,s1
(4.82)
Wir können dies als Diagramm interpretieren. Es kommen zwei Teilchen mit (k1 , s1 ) und (k2 , s2 ) rein, werden
vernichtet und dann werden zwei neue erzeugt, nämlich mit (k1 + q, s1 ) und (k2 − q, s2 ). Das ganze beschreibt
also einen Impulsübertrag.
44
5
Korrelationsfunktionen & ihre Anwendungen
Wir wollen den Formalismus, den wir in dem letzten Kapitel eingeführt haben, auf ein paar Dinge anwenden.
5.1
Korrelationsfunktionen für Fermionen
Betrachten wir ein Gas von N freien Fermionen mit Spin s =
Energien sind
1
2
in einer Box mit Kantenlänge L. Die Einteilchen-
2π
~2 k2
k =
n
2m
L
Die Idee ist, dass der Grundzustand |Φ0 i gegeben ist durch
Y
a†k,s |0i
(5.1)
Ek =
(5.2)
s,|k|≤kF
wobei kF die Fermi-Wellenzahl ist. Die eigentlich gegebene Gesamtteilchenzahl haben wir dann
X
X
N =
hΦ0 |n̂k,s |Φ0 i =
nk,s
k,s
(5.3)
k,s
wobei n̂k,s = a†k,s ak,s . Hier gilt
nk,s =
1, |k| ≤ kF
0, |k| > kF
(5.4)
Wir bekommen damit eine Fermi-Kugel, wobei die Zustände innerhalb besetzt sind. Die Kugeloberläche ist
wegen der Diskretheit nicht so gut definiert, doch wir wählen N so grass, dass die Oberflächen-Effekte nicht
ins Gewicht fallen. Stellen wir uns vor, dass die Kantenlänge gross ist, dann liegen die möglichen erlaubten
Wellenvektoren sehr nahe beieinander. Statt über diskrete Zahlen zu summieren können wir nun auch integrieren
3 Z
X
2V 4π 3
L
d3 k 2 =
N =
nk,s =
k
(5.5)
2π
(2π)3 3 F
k,s
|k|≤kf
wobei wir L3 = V gesetzt haben. Wir bekommen dann für den Fermi-Radius
3π 2 N
= 3π 2 n
V
wobei wir die Teilchendichte n = N/V eingeführt haben. Für Fermionen haben wir also
kF3 =
kF
= (3π 2 n)1/3
(5.6)
(5.7)
Wir wollen nun wissen, wie die Teilchendichte im Raum aussieht. Dazu berechnen wir
2
Φ0 |Ψ†s (x)Ψs (x)|Φ0 = kΨs (x) |Φ0 ik
(5.8)
Dies ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen am Punkt x zu treffen. Sie ist explizit berechenbar, da wir ja die
Feldoperatoren kennen, nämlich
1 X ik·x
1 X −ik·x †
Ψs (x) = √
e
ak,s
Ψ†s (x) = √
e
ak,s
(5.9)
V k
V k
Das heisst
=
Φ0 |Ψ†s (x)Ψs (x)|Φ0
=
E
1 X ik1 ·x −ik2 ·x D
Φ0 |a†k2 ,s ak1 ,s |Φ0
e
e
V
k1 ,k2
1 X i(k1 −k2 )·x
e
δk2 ,k1 hΦ0 |n̂k1 ,s |Φ0 i
V
k1 ,k2
=
1 X
N
hΦ0 |n̂k,s |Φ0 i =
V
2V
= n
(5.10)
k
Wobei wir am Ende berücksichtigen mussten, dass wir nur über gleiche Spins summieren. Daher kommt der
Faktor 12 .
Wir wollen nun über einfache Anregungen sprechen. Eine einfache Anregung ist ein Teilchen-Loch-Paar. Ein
angeregter Zustand ist
a†k′ ,s ak,s |Φ0 i
|k| < kF ,
45
|k′ | > kF
(5.11)
5.1.1
Einteilchen-Korrelationsfunktion
Wir möchten die Amplitude studieren, die beschreibt ein Teilchen am Punkt (x, s) zu entfernen und ein Teilchen
(y, s) wieder einzufügen. Da die Teilchendichte translationsinvariant ist, kann diese Amplitude nur von den
Relativabständen abhängen. Wir schreiben daher
E
1 X ik1 ·y −ik2 ·x D
Φ0 |a†k2 ,s ak1 ,s |Φ0
e
e
Gs (x − y) = Φ0 |Ψ†s (x)Ψs (y)|Φ0 =
V
k1 ,k2
=
1 X ik1 ·y −ik2 ·x
1 X −ik·(x−y)
e
e
δk1 ,k2 nk1 ,s =
e
nk,s
V
V
k1 ,k2
=
1 V
V (2π)3
k
Z
3
d ke
1
=
(2π)2
ik·(y−x)
−1
|k|≤kF
=
=
=
=
=
Z1
d cos θ
ZkF
dk k 2 eik|y−x| cos θ
0
ZkF
ZkF
1
1
1
ik|y−x|
−ik|y−x|
dk k e
−e
dk k sin(k|y − x|)
=
(2π)2 i|y − x|
2π 2 |x − y|
0
0


ZkF
1
1
1
−
dk cos (k|x − y|)
kF cos (kF |x − y) +
2π 2 |x − y|
|x − y|
|x − y|
0
1
1
1
−
sin
(k
|x
−
y|)
k
cos(k
|x
−
y|)
+
F
F
F
2π 2 |x − y|
|x − y|
|x − y|2
kF3
sin(kF |x − y|) kF |x − y| cos(kF |x − y|)
−
2π 2
(kF |x − y|)3
(kF |x − y|)3
3n sin x − x cos x (5.12)
2
x3
x=kF |x−y|
wobei wir 3n = kF3 /π 2 aus (5.6) verwendet haben. Wenn der Abstand gegen Null geht, bekommen wir
x3
x2
5
3n sin x − x cos x
3n x − 6 − x 1 − 2 + O(x )
lim Gs (r) = lim
=
lim
r→0
x→0 2
x→0 2
x3
x3
3n 1
n
= lim
+ O(x2 )
=
x→0 2
3
2
(5.13)
Wenn die Punkte auseinander gehen, so bekommen wir
lim Gs (r) = 0
|r|→∞
(5.14)
Für das weitere ist es bequem, den Normierungsfaktor herauszuziehen, indem wir
n
Gs (x − y) =
gs (x − y)
2
setzen.
5.1.2
sin x − x cos x gs (x − y) := 3
x3
x=kF |x−y|
(5.15)
Paarkorrelationsfunktion
Die Paarkorrelationsfunktion ist
E
D
n 2
gss′ (x − y) = Φ0 |Ψ†s (x)Ψ†s′ (y)Ψs′ (y)Ψs (x)|Φ0
Gss′ (x − y) =
2
E
D
X
1
†
†
−i(k1 −k2 )·x −i(q1 −q2 )·y
′ ak ,s |Φ0
=
Φ
|a
a
a
e
e
′
0
q
,s
2
2
k1 ,s q1 ,s
V2
(5.16)
k1 ,k2 ,q1 ,q2
Wir haben nun zwei unterschiedliche Fälle. Wenn s 6= s′ ist, dann ist der letzte Term nur dann ungleich Null,
falls k1 = k2 und q1 = q2 . In diesem Fall vertaschen die a’s und wir haben
Gss′ (x − y) =
1 X
n2
hΦ0 |n̂k,s n̂q,s′ |Φ0 i =
2
V
4
k,q
46
(5.17)
Das heisst für s 6= s′ gilt
gss′ (x − y) = 1
(5.18)
Wenn die Spins gleich sind, passiert etwas interessantes
E
D
Φ0 |a†k1 ,s a†q1 ,s aq2 ,s ak2 ,s |Φ0
E
D
E
D
= δk1 ,k2 δq1 ,q2 Φ0 |a†k1 ,s ak2 ,s a†q1 ,s aq2 ,s |Φ0 − δk1 ,q2 δk2 ,q1 Φ0 |a†k1 ,s aq2 ,s a†q2 ,s ak2 ,s |Φ0
= δk1 ,k2 δq1 ,q2 nk1 ,s nq1 ,s − δk1 ,q2 δk2 ,q1 nk1 ,s nq1 ,s
(5.19)
Wir finden also
Gss (x − y)
1
=
V2
=
X
k1 ,k2 ,q1 ,q2
e−i(k1 −k2 )·x e−i(q1 −q2 )·y (δk1 ,k2 δq1 ,q2 nk1 ,s nq1 ,s − δk1 ,q2 δk2 ,q1 nk1 ,s nq1 ,s )
1 X
n2
−i(k−q)·(x−y)
1 − gs (x − y)2
n
n
=
1
−
e
k,s
q,s
V2
4
(5.20)
k,q
wobei gs (x − y) der Einteilchen-Korrelator ist.
Gegeben ein Fermion (Elektron) am Punkt x mit Spin s, wollen wir nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, ein
zweites Fermion bei y zu finden, egal mit welchem Spin. Mit r = y − x haben wir
2 1
9 sin x − x cos x g(r) =
(5.21)
(g↑↑ (r) + g↑↓ (r)) = 1 −
2
2
x3
x=kF |r|
Diese Funktion beginnt bei 12 und geht dann zu 1. Die verminderte Wahrscheinlichkeit, ein zweites Elektron mit
gleichem Spin in der Nähe des ersten zu finden, nennt man Elektronloch. Ein mass für dieses Elektronloch ist
das Integral
Z
d3 r (g(r) − 1) = −
2 1
= − 2 2
n V
Z
1
2
d3 r
1
= −
n
Z
d3 r (gs (r))2 = −
X
k,k′
1
2
Z
d3 r |gs (r)|2
′
nk,s nk′ ,s e−i(k−k )·r = −
2 1 X
2 1 X 2
n
=
−
nk,s
k,s
n2 V
n2 V
k
k
(5.22)
Die Grösse des Loches ist gerade − n1 . Es hängt also von der Dichte der Elektronen ab, wie gross das Volumen
ist pro Elektron. Jedes Fermion mit Spin 12 hat nun ein Volumen
1
4 3
πd =
3
n
⇒
n =
3
4πd3
(5.23)
Man führt dann oft den relativen Radius ein
rs =
d
a0
=
3
4πn
1/3
me2
~2
=
9π
4
1/3
me2
~2 kF
(5.24)
wobei wir kF = (3π 2 n)1/3 verwendet haben.
5.2
Grundzustandsenergie eines Elektronengases
Haben wir N Elektronen der Ladung e die über die Coulombkraft wechselwirken. Das heisst
V (x, y) =
47
e2
|x − y|
(5.25)
Stellen wir uns die Elektronen zunächst einmal frei vor, so haben sie kinetische Energie
~2 k2
2m
Ekin =
(5.26)
Der gesamte Hamilton-Operator ist dann
H = T̂ + ĤWW
(5.27)
Die ganzen Wechselwirkungsterme verunmöglichen es uns, das Problem exakt zu lösen. Zur Lösung gehen wir
nach der Hartree-Fock Methode vor. Die Idee ist, den Ansatz für die Grundzustandsenergie zu machen
E0 = hΦ0 |H|Φ0 i
(5.28)
wobei Φ0 der Grundzustand des freien Systems ist. Φ0 ist also nicht der richtige Grundzustand unseres Systems.
E0 ist grösser oder gleich gross, wie die eigentliche Grundzustandsenergie. Berechnen wir nun also
Z
D
E
2 2
X ~2 k2
V
3 ~ k
Ekin =
Φ0 |T̂ |Φ0
nk,s = 2
=
d
k
2m
(2π)3
2m
k,s
ZkF
=
V ~2
2π 2 m
=
3
N EF = N εkin
5
dk k 4 =
V 5 ~2
3V 2 ~2 kF2
π n
kF
=
2
π 5
2m
5π 2
2m
0
wobei die Fermi-Energie EF gegeben ist durch
=
~2 kF2
2m
(5.29)
εkin =
3
EF
5
(5.30)
EF
Für spätere Bezüge haben wir auch noch
gesetzt. Das war der schmerzlose Teil. Nun müssen wir noch den Wechselwirkungsterm berechnen. Dazu
übersetzen wir den Wechselwikrungs-Hamiltonian in die Sprache der Feldoperatoren.
E
D
EWW =
Φ0 |ĤWW |Φ0
Z
Z
E
XD
1
3
=
d x
d3 y V (y − x)
Φ0 |Ψ†s Ψ†s′ Ψs′ (y)Ψs (x)|Φ0
2
′
ss
=
1
2
Z
d3 x
Z
d3 y V (x − y)
X n2
ss′
4
gss′ (x − y)
Wir verwenden nun
gss′ (x − y)
=
=
(1 − δss′ ) + δss′ (1 − gs (x − y)2 )
1 − δss′ gs (x − y)2
und damit
X n2
ss′
4
gss′ (x − y)
=
n2 X
n2 X
1−
δss′ gs (x − y)2
4
4
′
′
(5.31)
n2 −
(5.32)
ss
=
=
ss
n2
gs (x − y)2
2
n2 − 2Gs (x − y)2
wobei man den ersten Term Hartree-Term und den zweiten Fock-Term nennt. Es folgen
Z
Z
1
N
1
3
=
nN V0
d x d3 y V (x − y)n
EHartree =
2
V
2
48
(5.33)
(5.34)
wobei wir
V0 =
Z
d3 r V (r)
(5.35)
gesetzt haben. Andererseits ist
EFock
=
X1Z
s
3
d x
2
Z
Z
=
9n2
V
−
4
=
9
1
− nN 4πe2 2
4
kF
d3 y V (x − y)Gs (x − y)2
3
d r V (r)
sin x − x cos x x3
x=kF |r|
2
Z∞ sin x − x cos x
1 2
d
x
x3
x
0
3e2
9πne N 1
= −
kF N
2
kF
4
4π
2
=
−
Der Hartree-Term ist divergent. Die Selbstenergie eines geladenen Systems ist immer divergent, selbst in
der Elektrodynamik. Um diese Divergenz zu vermeiden, wollen wir zusätzlich ein verschmiertes Ionen-Gitter
einführen. Zusätzlich soll es also noch positiv geladene Teilchen der Dichte n haben, die die selbe Elementarladung wie die Elektronen haben. Das daraus entstehende Modell nennt man Jellium-Modell. Dadurch gibt es
zusätzliche Terme, die den Hartree-Term auslöschen. Wir bekommen nämlich folgende Energie, die die Wechselwirkung der Elektronen mit den Ionen beschreibt
Z
Z
Eion =
−n d3 x
d3 y V (x − y) hΦ0 |ρ̂|Φ0 i = −n2 V V0 = −nN V0
(5.36)
Dann gibt es noch die Selbstenergie des Ionengitters
Z
Z
n
n2
2
3
V V0 =
N V0
Eselbst = n
d x
d3 y V (x − y) =
2
2
(5.37)
Der Hartree-Term wird dadruch gerade weggehoben
HHartree + Eion + Eselbst = 0
Schliesslich bekommen wir also für die Hartree-Fock Grundzustandsenergie
3 ~2 kF2
3e2
EHF = N
−
kF
5 2m
4π
(5.38)
(5.39)
Der negative Term ist effektiv eine Konsequenz des Elektronenlochs. Der Fermi-Radius kann experimentell nicht
wirklich bestimmt werden. Wir hatten aber
n =
kF2
3π 2
=
3
4πr03
=
3
4πa30 rs3
wobei rs das Elektronenloch in Bohr Radien ist. Wir haben dann
EHF
2.21 0.916
Ry
=
−
N
rs2
rs
(5.40)
(5.41)
Diesen Wert können wir nun nach rs minimieren. Er ist ungefähr
rs = 4.83
(5.42)
was sehr gut dem entspricht, was man für die Alkali-Metalle bekommt, wie für Natrium (rs = 3.96) oder
Kalium (rs = 4.86). Wenn rs sehr gross wird, also die Teilchendichte sehr klein wird, dann dominiert der
Wechselwirkungsterm über den kinetischen Term. Dann könnte man sich vorstellen, dass das Elektronengas
beginnt, ein Elektronengitter zu werden. Das heisst, dass sich die Elektronen in einer regelmässigen Struktur
anordnen, um die Energie zu minimieren. Das nennt man das Wigner-Kristall. In zwei Dimensionen hat man
tatsächlich solche Effekte feststellen können. Natürlich darf man aber unserer Rechnung nicht wirklich trauen,
denn schon von der ersten Formel an haben wir eine Näherung gemacht.
49
5.3
Korrelationsfunktionen für Bosonen
Wir schreiben die Wellenfunktion wieder in der Besetzungszahlbasis
|Φi = |nk0 , nk1 , ...i = ...
(a†k1 ) (a†k0 )
|0i
nk 1 ! nk 0 !
nkj = 0, 1, 2, 3, ...
(5.43)
Der Erwartungswert der Teilchendichte ist
Φ|Ψ† (x)Ψ(x)|Φ
E
1 X D
Φ|a†k1 e−ik1 ·x ak2 eik2 ·x |Φ
V
=
k1 ,k2
1 X
hΦ|n̂k |Φi
V
=
k
N
V
=
= n
wie bei den Fermionen.
5.3.1
Paarkorrelationsfunktion
Interessanter wird es, wenn wir die Paarkorrelationsfunktion berechnen
n2 g(x − y) = Φ|Ψ† (x)Ψ† (y)Ψ(x)|Φ
E
1 X X i(k2 −k1 )·x i(q2 −q1 )·y D
†
†
|Φ
a
a
a
Φ|a
=
e
e
k
q
2
2
k1 q1
V2
q ,q
k1 ,k2
1
2
Nun ist entweder k1 = k2 und q1 = q2 oder k1 = q2 und q1 = k2 . Im Unterschied zu den Fermionen ist es
aber auch möglich, dass k1 = q1 = k2 = q2 . So haben wir
E
D
Φ|a†k1 a†q1 aq2 ak2 |Φ
E
D
= (1 − δk1 ,q1 ) (δk1 k2 δq1 δq2 + δk1 q2 ) hΦ|n̂k1 n̂q1 |Φi + δk1 q1 δk1 k2 δq1 q2 Φ|a†k1 a†k1 ak1 ak1 |Φ
= (1 − δk1 ,q1 ) (δk1 k2 δq1 δq2 + δk1 q2 ) hΦ|n̂k1 n̂q1 |Φi + δk1 q1 δk1 k2 δq1 q2 hΦ|n̂k1 (n̂k1 − 1)|Φi
Schliesslich bekommen wir also
n2 g(x − y)


1 
nk (nk − 1)
(1 − δk,q ) 1 + e−i(k−q)(x−y)nk nq +
V2
k
k,q

2 
X
X
X
X
1 

2
−ik·(x−y)
=
n
n
−
n
−
n
+
e
n
k q
k
k
k
V2
k,q
k
k
k
2
1 X
1 X
−ik·(x−y)
2
e
nk − 2
nk (nk + 1)
= n +
V
V
=
X
k
X
k
I) So können wir beispielsweise den Zustand beschreiben, wo nk = N δk,k0 , also alle Bosonen im gleichen
Zustand sind. Dann haben wir
n2 g(x − y) = 2n2 −
N (N + 1)
2N 2 − N (N + 1)
N (N − 1)
=
=
2
V
V2
V2
(5.44)
Wir sehen also, dass die Bosonen völlig unkorreliert sind.
II) Nehmen wir an, es gelte
nk =
(2π)3 n −(k−k0 )2 /b2
√
e
(b π)3
50
(5.45)
In diesem Fall folgt nach Ersetzen von
X
↔
k
V
(2π)3
Z
d3 k
(5.46)
wenn V gross ist
n2 g(x − y)
=
2
d3 k −ik·(x−y) (2π)3 n −(k−k0 )2 /b2 −1
√
e
e
+ O(V )
(2π)3
(b π)3
Z
n2 + Was wir nun also ausrechnen müssen, ist
Z
2
2
d3 k e−ik·(x−y) e−(k−k0 ) /b =
Z
d3 k e
h
i2
2
2
− b12 (k−k0 )+ ib2 (x−y)
−ik0 (x−y) − b4 (x−y)2
e
e
was wir also bekommen ist
2 2
b2
= n2 + ne−ik0 ·(x−y) e− 4 (x−y) + O(V −1 )
2
b2
≈ n2 1 + e− 2 (x−y)
n2 g(x − y)
(5.47)
(5.48)
Die Wahrscheinlichkeit, ein zweites Boson am gleichen Ort zu finden, ist hier (im Gegensatz zum Fall der
Fermionen) doppelt so gross. Es gibt also eine Korrelation, die aber umgekehrt ist, wie bei den Fermionen.
5.3.2
Hambury-Brown und Twiss-Experiment
Prämisse: Photonen sind Bosonen. Wir betrachten einen Photonenstrahl auf eine semipermeablen Spiegel und
′
entsprechend zwei senkrecht zueinander stehende Detektoren. Betrachten wir zwei Moden vecαeik·r + βeik ·r ,
also zwei ebene Wellenlösungen, die unkorreliert seien. Die Intensität am Detektor (1) wird proportional sein
zu
′ 2
I 1 = αeik·r + βeik ·r (5.49)
′
′
= αα∗ + ββ ∗ + αβ ∗ ei(k−k )·r1 + α∗ βe−i(k−k )·r1
2
2
= |α| + |β|
(5.50)
(5.51)
denn die anderen Terme verschwinden im Zeitmittel. Entsprechend gilt
I 2 = |α|2 + |β|2
(5.52)
Wir haben aber vor der Mittelung
′
′
′
′
2
I1 I2 =
|α|2 + |β|2 + αβ ∗ ei(k−k )·r1 + α∗ βe−i(k−k )·r1 |α|2 + |β|2 + αβ ∗ ei(k−k )·r2 + α∗ βe−i(k−k )·r(5.53)
2
′
′
I1 I2 = |α|2 + |β|2 + |α|2 |β|2 ei(k−k )(r1 −r2 ) + e−i(k−k )(r1 −r2 )
(5.54)
= I 1 I 2 + |α|2 |β|2 2 cos ((k − k′ )(r1 − r2 ))
(5.55)
Hier haben wir reine klassische Elektrodynamik gemacht und es taucht der selbe Effekt der Paarkorrelation auf,
wie für Bosonen.
51
6
Atome und das Periodensystem
Für Wasserstoff-ähnliche Atome kann man die einteilchen Wellenfunktion exakt lösen. Das Hauptproblem ist,
dass bei mehreren, also N Elektronen der Hamiltonian wie folgt aussieht
H =
N
N
X
X
Ze2 X e2
p2i
−
+
2m i=1 |xi |
|xi − j|
i<j
i=1
(6.1)
Problematisch dabei sind die Wechselwirkungsterme wegen der relativen Abstossung der Elektronen. Solch ein
Problem kann man nicht mehr exakt lösen, weshalb man Näherungsmethoden zur Berechnung der zugehörigen
stationären Lösungen einführt. So hatten wir die Grundzustandsenergie von N Elektronen (Jellium-Modell).
Wir möchten einersteits die Thomas-Fermi Näherung und andererseits die Hartree-Fock Näherung besprechen.
6.1
Thomas-Fermi Näherung
Die Thomas-Fermi Näherung ist quasiklassich (im Prinzip klassich, es werden nur an bestimmten Punkten
Quanteninformationen eingebettet). Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeitsdichte (Wahrscheinlichkeit, eines
der Elektronen an der Stelle r zu finden) der Elektronen mit ρ(r). Das Problem ist kugelsymmetrisch. Die
Normierungsbedingung ist
Z∞
r dr2 ρ(r) = N = Z
(6.2)
0
wobei Z die Kernladungszahl ist (eine Bedingung dafür, dass wir von Atomen sprechen). Wir haben nun auch
Z Elektronen, die eine Wolke negativer Ladung −eρ(r) erzeugen, sowie den Atomkern Ze am Ursprung. Diese
beiden zusammen kreieren dann ein elektrostatischen Potential Φ(r), wobei
1 d2
r Φ = 4π(eρ − Zeδ (3) (r))
(6.3)
∆Φ =
r dr2
die Poisson-Gleichung der Elektrodynamik. Wir nehmen dabei die Randbedingung
Φ(r) ∼
Ze
|r|
für kleines r
(6.4)
Die Idee ist nun, ein weiteres Elektron im elektrostatischen Potential Φ betrachten, um damit die EinteilchenWellenfunktion dieses Systems zu berechnen. Dabei fangen wir mit einer Ladungsdichte an, rechnen die Einteilchenwellenfunktion anhand dieser Ladungsdichte aus, füllen dann alle Elektronen auf und schauen, ob wir
diese Ladungsdichte reproduzieren.
Wir stellen uns also vor, wir lösen die einteilchen-Quantenmechanik mit diesem elektrostatischen Potential.
So rechnen wir die ersten N Zustände aus und bekommen die einteilchen Grundzustände ψ1 (x), ..., ψN (x), so
dass
ρ(x) =
N
X
j=1
|ψj (x)|
2
(6.5)
Wobei diese Ladungsdichte mit der ursprünglichen zusammen passen muss. Dies führt also eine Konsistenzbedingung
Ψ(ρ)
ψ
→
ρ
→
Ψ(ρ)
(6.6)
Dies ist eine funktionale Beziehung zwischen ρ und Ψ. Es ist nicht leicht, diese abzuleiten. Daher machen wir eine
quasi-klassische Approximation: Die Anzahl der stationären Zustände ist proportional zum Phasenraumvolumen
der zugehörigen klassischen Zustände. Die Dichte der quantenmechanischen Zustände sei also (auch wenn dies
nicht so viel Sinn macht, weil wir kein x und p haben in der QM)
(
p2
2
− eΦ(x) < EF
E = 2m
3,
(2π~)
n(x, p) =
(6.7)
p2
0, E = 2m − eΦ(x) > EF
52
Die Ladungs- oder Wahrscheinlichkeitsdichte ist dann
Z
ρ(x) =
d3 p n(x, p)
(6.8)
Also das Integral aller möglichen Impulse, bei denen die Zustandsenergie kleiner als EF ist. Wir nehmen an,
dass für Z ≫ 1 die Fermi-Energie EF ≈ 0 ist. So bekommen wir mit der Bedingung, dass die Energie kleiner 0
ist
√
2meΦ(x)
Z
8π 1
2 · 4π
3/2
(2meΦ(x))
(6.9)
dp p2 =
ρ(x) =
3
(2π~)
(2π~)3 3
0
Es sei noch bemerkt, dass diese Gleichung nur gilt wenn Φ(x) positiv ist. So haben wir die Rechnung all diese
φ’s auszurechnen abgekürzt, indem wir abgeschätzt haben, wo die Teilchen etwa sitzen. Nun wollen wir diese
Rechnung in die ursprüngliche implantieren. Dies ist der zweite Schritt. Setze dies also in die Poission-Gleichung
ein
∆Φ = 4πeρ
Ze
|r|
Φ ∼
|r| → 0
(6.10)
Führen wir ein paar Variablen ein
z 1/3 r
x =
b
rΦ(r)
χ =
Ze
Die Behauptung ist nun, dass in diesen Variablen
(
ρ(x) =
1 ~2
b =
2 me2
Z2
4πb3
3π
4
2/3
a0
=
2
3π
4
χ 3/2
x
, χ(r) > 0
0, χ(r) < 0
2/3
(6.11)
(6.12)
Dies ist lediglich eine stumpfe Berechnung
Z2
4πb3
rΦ b
Ze Z 1/3 r
3/2
= Φ3/2
= Φ3/2
=
1
1
4πe3/2 b3/2
3/2
1 2me2
1 4
2
3/2
4π
~
3π
e
1
(2meΦ)3/2
3π 2 ~3
Die Poisson-Gleichung wird dann zur Differentialgleichung
−1/2 3/2
d2 χ
x
χ , χ>0
=
0, χ < 0
dx2
(6.13)
Dies sei kurz skizziert
d2 χ
dx2
=
=
=
b2 d2
b2 d2 rΦ
=
(rΦ)
Z 2/3 dr2 Ze
Z 5/3 e dr2
b2
b2
Z 2 χ 3/2
4πerρ
=
4πer
4πb3 x
Z 5/3 e
Z 5/3 e
1/3 3/2
Z r χ
= x−1/2 χ3/2
b
x
Die Randbedingung ist gerade χ(0) = 1. Die Differentialgleichung kann man numerisch lösen. Dabei bekommt
man, dass
1 − 1.6x, x → 0
(6.14)
χ(x) =
144x−3 , x → ∞
Dies ist proportional zum elektrostatischen Potential der Grundzustandskonfiguration.
53
6.2
Hartree-Näherung
Die Idee ist ähnlich wie vorher, nur ein klein wenig quantenmechanischer. Die Idee ist also, dass
ρ(x) =
besetzt
X
j
|ψj (x)|
2
(6.15)
wobei die ψj (x) die Ein-Teilchenwellenfunktionen sind, die die Schrödinger Gleichung
~2 2
∇ + Vi (x) ψi (x) = Ei ψi (x)
−
2m
Ze2
Vi (x) = −
+
|x|
Z
d3 y
besetzt
X
e2
|ψj (y)|2
|x − y|
(6.16)
j6=i
Wir behandeln das Problem also nicht ganz ehrlich, sondern das Potential soll von den anderen Wellenfunktionen
abhängen. Dies ist natürlich ein hochgradig gekoppeltes System, wobei eine selbstkonsistente Lösung folgen muss.
Ausserdem berücksichtige man direkt, dass die Einteilchen-Wellenfunktionen ψj (x) paarweise orthogonal sind
zueinander. Damit berücksichtigen wir in gewisser Weise das Pauli-Prinzip. Tatsächlich sagen wir damit aus,
dass
Ψ(1, ..., N ) = ψ1 (1)...ψN (N )
(6.17)
Wir haben allerdings noch nicht berücksichtigt, dass die Wellenfunktion total antisymmetrisch sein sollte. Wir
haben also die Korrelation für die Fermionen nicht richtig mitgenommen. Deshalb ist dies noch nicht die befriedigendste Art dies zu tun. Er wird in der Hartree-Fock Näherung berücksichtigt.
6.3
Hartree-Fock Näherung
Nun wenden wir die Sprache der 2. Quantisierung. Zunächst müssen wir den Vielteilchen-Hamiltonian in der 2.
Quantisierung hinschreiben. Erinnern wir uns an
XZ
T̂ =
3
d
x a†i ψi
i,j
E
XD
~2
i|T̂ |j a†i aj
∆x ψj (x)aj =
∗ (x) −
2m
i,j
(6.18)
Hier haben wir nun
H =
E
XD
X
1 X
i|T̂ |j a†i aj +
hi|U |ji a†i aj +
hij|V |kmi a†i a†j ak am
2
i,j
i,j
(6.19)
i,j,k,m
2
2
~
∆ und U = − Ze
wobei T = − 2m
|x| . Für den Wechselwirkungsterm siehe Kapitel 4.3. Es gilt dabei
hij|V |kmi =
Z
d3 x
Z
d3 y ψi (x)∗ ψj (y)∗ V (x − y)ψk (y)ψm (x)
(6.20)
Hier ist
V (x − y) =
e2
|x − y|
(6.21)
Der Grundzustand ist dann
|Φi = a†1 ...a†N |0i
(6.22)
Wobei wir dann automatisch anti-symmetrisiert haben. Es ist dabei |ii = |ψi , si i mit si = ± 21 . Diese SpinOrtszustände sind paarweise orthogonal und sie entsprechen den noch zu bestimmenden Einteilchen-Wellenfunktionen. Wir interessieren uns für den Grundzustand, also den Zustand niedrigster Energie. Diesen kann man mit
dem Ritz’schen Variations-Prinzip bestimmen. Wir werden also den Erwartungswert hφ|H|φi berechnen und
dann über die φ variieren. Den Erwartungswert können wir leicht ausrechnen (zumindest für die ersten beiden
Terme
D
E D
E
hΦ|H|Φi =
Φ|T̂ |Φ + Φ|Û |Φ + hΦ|HWW |Φi
54
Hierbei ist
D
D
Φ|T̂ |Φ
E
Φ|Û |Φ
E
Der Wechselwirkungsterm wird
D
E
Φ|a†i a†j ak am |Φ
=
X
i,j
N
D
E
X
hi|T |ii
hi|T |ji Φ|a†i aj |Φ =
i=1
N
D
E
X
X
hi|U |ji Φ|a†i aj |Φ =
=
hi|U |ii
i,j
i=1
E
D
D
E
= δik δjm Φ|a†k a†m ak am |Φ + δim δjk Φ|a†m a†k ak am |Φ
= (δim δjk − δik δjm ) θ(mk ∈ {1, ..., N })
Der Erste Term führt zu
Z
d3 xd3 y |ψi (x)|2 |ψj (y)|2 V (x − y)
(6.23)
d3 xd3 y ψi∗ (x)ψi (y)ψj (x)ψj∗ (y)V (x − y)
(6.24)
Und der zweite
Z
Für den Erwartungswert des Wechselwirkungs-Hamiltonian ist also
D
E
1X
hij|V |kmi (δim δjk − δik δjm )
Φ|ĤWW |Φ =
2 i,j
(6.25)
Der Erwartungswert des gesamten Hamiltonian ist dann nach partieller Integration
hΦ|H|Φi
=
N Z
X
i=1
d3 x
~2 |∇ψi (x)|2
Ze2
−
|ψi (x)|2
2m
|x|
(6.26)
Z
N Z
1 X
3
+
d x
d3 y V (x − y)|ψi (x)|2 |ψj (y)|2
2 i,j=1
(6.27)
−
(6.28)
Z
N Z
1 X
d3 x
d3 y V (x − y)ψi∗ (x)ψi (y)ψj∗ (y)ψj (x)
2 i,j=1
Um nun das Minimum zu finden, machen wir ein Variationsprinzip und wir variieren die Einteilchen-Wellenfunktion. Wir müssen noch per Lagrange’schem Multiplikator die Normierungsbedingung einbauen


Z
N
X
εi  d3 x |ψi (x)|2 − 1
F [ψi ] = hΦ|H|Φi −
(6.29)
i=1
Nun haben wir
εj ψj (x)
=
N Z
X
Ze2
~2
2
ψj (x) +
d3 y V (x − y) |ψi (y)| ψj (x)
∆−
−
2m
|x|
i=1
−
N Z
X
i=1
d3 y V (x − y)δsi sj ψi∗ (y)ψi (x)ψj (y)
(6.30)
(6.31)
Diese Gleichung legt jetzt die Einteilchenfunktionen fest! Die ersten beiden Terme entsprechen der HartreeNäherung (Hartree-Term). Das neue ist der negative, dritte Term, der Fock-Term. Dies ist die Hartree-FockNäherung. Sie kann numerisch gelöst werden. Der Lagrange-Multiplikator εj bekommt durch obige Gleichung
eine Interpretation. Die physikalische Interpretation ist die Energie des j-ten Elektrons (Energie-Eigenwert), das
heisst die Energie, die gebraucht wird, um das Elektron zu entfernen. Die numerischen Lösungen sind ziemlich
gut.
55
Atom
He
Be
Ne
EHF
-5.724eV
-29.146eV
-257.1eV
EEx
-5.808
-29.334
-257.86
“Es ist wichtiger einfache Systeme exakt zu lösen, als komplizierte System approximativ”. Doch für unsere
Chemiker-Freunde ist es wichtig, dass wir auch die komplizierten System lösen.
6.4
Periodensystem
Das Problem der Elektronen-Wellenfunktionen um den Atomkern ist rotationssymmetrisch, allerdings nur unter
der gemeinsamen Rotation aller Teilchen. Die Einteilchenenergien sollten wir daher mit den Qantenzahlen
(n, ℓ, m, s) beschreiben können. Für das Wasserstoff-Atom hing die Energie nur von n ab, also E ≡ En . Im
allgemeinen erwarten wir nun, dass die Energie tatsächlich auch von ℓ abhängt. Jetzt erwarten wir also E ≡
E(n, ℓ) zu vorgegeben ℓ, wobei wir dann 2 · (2ℓ + 1)-fache Entartung haben (wegen der Spins). Wir haben
folgende Anzahlen in den Schalen.
s-Schale (ℓ = 0)
p-Schale (ℓ = 1)
d-Schale (ℓ = 2)
f -Schale (ℓ = 3)
2
6
10
14
Wenn wir anfangen, diese Zustände zu bevölkern, werden wir immer so lange die selben Energien auffüllen, bis
eine Schale voll ist. Eine wichtige Frage ist nun, in welcher Reihenfolge diese Schalen besetzt werden. Dies kann
man nicht einfach aus Symmetrie-Überlegungen ausrechnen, sondern man muss es mühsam ausrechnen. Es gilt
ε1s < ε2s < ε2p < ε3s < ε3p < ε4s < ε3d < ...
(6.32)
Hier bezeichnet die erste Zahl immer n. Die chemischen Eigenschaften hängen damit zusammen, in welcher
Art von Einteilchen-Energien sich die Elektronen der höchsten Energien befinden. Sie hängen also ab von den
Drehimpulsquantenzahlen der zuletzt besetzten Elektronen (äusseren Elektronen). Die s- und p-Orbitale haben
eine grosse Reichweite, während die d- und f -Orbitale in der Nähe des Kerns lokalisiert sind. Generell sind also
Atome mit s- und p- Schalen reaktiever als solche mit d- und f -Schalen.
6.5
Die Hund’schen Regeln
Betrachten das Kohlenstoffatom C mit Z = 6 (also 6 Elektronen). Die typische konfiguration ist
1s2 2s2 2p2
(6.33)
Das heisst n = 1, ℓ = 0, ↑, ↓ und n = 2, ℓ = 0, ↑, ↓ sind besetzt. Dann gibt es noch zwei Elektronen mit
n = 2, ℓ = 1. Doch, in welchen beiden der 6 Zustände sitzen nun die Elektronen? Es gibt 62 = 15 Möglichkeiten.
Zur Beantwortung dieser Frage benutzen wir den vollen Hamiltonian
HHartree + Hc + HSB + ...
(6.34)
mit der Austauschwechselwirkung Hc und der Spin-Bahn-Kopplung HSB . Nehmen wir zunächst einmal ein nur
den Hartree-Term mit, so bekommen wir 6-fach degenerierte Zustände. Die Zustatzterme splitten diese dann
auf. Wor wollen dies nicht im Detail berechnen. Betrachten wir 2 Elektronen mit ℓ = 1 und s = 12 , so gilt für
den Gesamtdrehimpuls und den Spin
(ℓ = 1) ⊗ (ℓ = 1) = (L = 0) ⊕ (L = 1) ⊕ (L = 2)
(s =
1
1
) ⊗ (s = ) = (S = 1) ⊕ (S = 0)
2
2
(6.35)
Da die Gesamtwellenfunktion immer antisymmetrisch sein muss, so geht der L = 0 Term zusammen mit dem
S = 0 Term (1 Zustand), die L = 1-Terme mit den S = 1-Termen (9 Zustände) und die L = 2-Terme mit dem
S = 0-Term (5 Zustände). Dies gibt insgesamt 15 Zustände. Für den Gesamtdrehimpuls J (Bahn und Spin)
bekommen wir
L=2 S=0
J =2
L = 1 S = 1 J = 0, 1, 2
L=0 S=0
J =0
56
1
3
D2
P0 , P1 ,3 P2
1
S0
3
·5
·9
·1
(6.36)
wobei S zu L = 0, P zu L = 1 und D zu L = 2 gehört. In der Hartree-Näherung sind wie gesagt alle Terme
degeneriert. In der Hartree-Fock-Näherung (also unter Berücksichtigung der Austauschwechselwirkung) folgt
für die Energieniveaus der Zustände
1
S0 >
1
D2 >
3
P0,1,2
(6.37)
Rechnet man viele solcher Beispiel aus, so kommt man auf die erste Hund’sche Regel: “Der Zustand mit höchstem
S-Wert hat niedrigste Energie (in unserem Fall S = 1).
Nehmen wir nun noch die Spin-Bahn-Kopplung mit, so haben wir
L·S =
1
(L + S)2 − L2 − S2
2
∼
# (J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1))
(6.38)
Dies nennt man die Feinstruktur, wobei # ein Koeffizient ist. So bekommen wir eine zusätzliche Aufspaltung
1
S0 >
1
D2 >
3
P2 >
3
P1 >
3
P0
(6.39)
Die Grössenordnung ist hier viel kleiner, deshalb nennt man ihn auch Feinstruktur. Die zweite Hund’sche Regel
ist dann: ”Falls mehrere L gleiches S haben, dann hat das grösste L kleinste Energie.“ und ”Die Spin-Bahn
Kopplung ist J = |L − S| falls die Schale halb- oder weniger gefüllt ist und L = L + S falls die Schale mehr als
halb voll ist.“ (Hängt vom Vorzeichen von # ab).
Die Analysie ist gut, falls die Kernladungszahl Z relativ klein ist. Geht man zu grossen Kernen über, dann wird
die Spin-Bahn-Kopplung wichtiger als Hartree-Fock.
57
7
7.0.1
Quantenstatistik
Postulate der Quantenstatistik
Betrachten wir ein isoliertes System mit der Wellenfunktion
X
Ψ =
cn ψn
(7.1)
n
wobei die ψn stationäre Wellenfunktkionen sind, die Hψn = En ψn erfüllen. Die cn sind komplexe, zeit-abhängige
Zahlen. Die direkt messbare physikalische Grösse ist |cn |2 , was der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass sich
das System in ψn befindet. Das ist, was wir bisher behandelt haben. Interessieren wir uns für Probleme der
statistischen Physik, so nehmen wir an, dass wir sehr grosse, also makroskopische Systeme haben, die mit ihrer
Umgebung wechselwirken. Das System (System)×(Umgebung) ist dann wieder isoliert. Die Idee ist, dass wir
weiterhin Wellenfunktionen der Form (7.1) haben, wobei die ψn weiterhin Wellenfunktionen des Systems und die
cn nun aber Wellenfunktionen auf der Umgebung sind. Wir wollen annehmen, dass die ψn eine orthonormierte
Basis bilden (was wir immer so wählen können). Haben wir eine Observable des System O, so mag uns der
Erwartungswert dieser Observablen O interessieren, die gegeben ist durch
P
P
hΨ|O|Ψi
n,m hcn ψn |O|cm ψm i
n,m hcn |cm i hψn |O|ψm i
P
P
=
=
hOi =
hΨ|Ψi
n,m hcn ψn |cm ψm i
n,m hcn |cm i hψn |ψm i
P
n,m hcn |cm i hψn |O|ψm i
P
(7.2)
=
n hcn |cn i
Tatsächlich wird der Nenner damit zeit-unabhängig (da der Gesamthamiltonian selbst-adjungiert ist und damit
die Zeit-Entwicklung ein unitärer Operator ist), während der Zähler wege hcn |cm i zeit-abhängig bleibt. Jede
Messung dauert eine gewisse Zeit, was wir also tatsächlich messen ist nicht der Erwartungswert von O zu einer
gewissen Zeit, sondern die Mittelung über ein kleines Zeitintervall. Das heisst, die Grösse, die wir wirklich
ausrechnen sollten ist
P
n,m hcn |cm i hψn |O|ψm i
P
(7.3)
hOi =
n hcn |cn i
wobei hcn |cm i der Mittelwert von hcn |cm i über ein kleines Zeitintervall ist. Die Idee ist, dass wir über ein
Zeitintervall mitteln, das die interessanten Teile der Zeit-Abhängigkeit nicht zerstört, das heisst
Mikroskopische Zeitskala
der Umgebung
≪ T ≪
Zeitskala über der sich der
Erwartungswert von O ändert
(7.4)
Dies motiviert die Postulate der Quantenstatistik: Wir nehmen an, wir haben ein makroskopisches System
im Gleichgewicht, das mit der Umgebung schwach weshelwirkt, so dass die Energie ungefähr konstant ist.
Desweiteren nehmen wir an, dass die Energie des System zwischen E und E + ∆ liegt, mit ∆ ≪ E und wir
haben einen vollständigen Satz orthonormierter Wellenfunktionen Hψn = En ψn . Dann sind die Postulate
(1) Gleichwahrscheinlichkeit:
hcn |cn i =
1, falls E < En < E + ∆
0, andernfalls
(7.5)
(2) Zufallsphasen: Falls n 6= m ist, dann gilt
hcn |cm i = 0
Das bedeutet, wir können die Wellenfunktion effektiv beschreiben durch
X
Ψ =
bn ψn
(7.6)
(7.7)
n
wobei die Phasen von bn Zufallszahlen sind. Daher gilt, dass wenn wir unterschiedliche bn miteinander multiplizieren, diese wegfallen und
1, E < En < E + ∆
|bn |2 =
(7.8)
0, andernfalls
58
Wir nehmen den Einfluss der Umgebung damit gemittelt mit. Die ψn sind dann Repräsentaten des Gibbs’schen
Ensembles und wir müssen keine Interferenzterme mitnehmen. Wenn wir nämlich die Observablen betrachten,
so haben wir
P
P
2
n | hψn |O|ψn i
n,m hcn |cm i hψn |O|ψm i
n |bP
P
(7.9)
=
hOi =
2
n hcn |cn i
n |bn |
Im Gleichgewicht verhält sich dieses Quantensystem wie eine inkohärente Superposition von Eigenzuständen.
De facto können wir also die ψn als Repräsentanten des Gibbs’schen Ensembles auffassen. Wir haben damit
sozusagen das mikrokanonische Ensemble. Man würde all dies geren fundamentaler herleiten, doch das ist nicht
ganz einfach.
7.1
Dichtematrix
Ist ist immer schlecht Variablen einzuführen, die keine richtige Bedeutung haben. Wir möchten das Ensemble beschreiben, ohne die bn einführen zu müssen. Wir führen dafür eine Operator ein, den wir Dichteoperator nennen.
Ein Operator ist eindeutig bestimmt durch die Angabe aller seiner Matrixelemente bezüglich einer vollständigen
Orthonormalbasis. Haben wir also für einen Operator alle Matrixelemtente hm|A|ni = Amn definiert, so wirkt
X
X
A |ni =
|mi hm|A|ni =
Amn |mi
(7.10)
m
m
wobei wir |mi hm| = 1 benützt haben. Wir definieren nun also die Dichtematrix ρ durch seine Matrixelemente
in der Basis ψn
ρmn := hψn |ρ|ψm i = δmn |bn |2
(7.11)
ρ ist damit ein Operator auf dem Hilbertraum der Zustände, der beschrieben ist durch seine Matrixelemente.
Eine andere Art ρ zu schreiben, ist
X
ρ =
|bn |2 |ψn i hψn |
(7.12)
n
Denn dieser Operator hat gerade die richtigen Matrixelemente
X
hψn |ρ|ψm i =
|bℓ |2 hψn |ψℓ i hψℓ |ψm i = δmn |bn |2
(7.13)
Wir werden im folgenden hOi als hOi auffassen. Wir können nun schreiben
P
P
2
hψn |Oρ|ψn i
Tr(Oρ)
n |O|ψn i |bn |
n hψ
P
= Pn
=
hOi =
2
Tr(ρ)
n |bn |
n hψn |ρ|ψn i
(7.14)
ℓ
Die Spur hat die Eigenschaft, dass Tr(ABC) = Tr(CAB). Die Spur ist unabhängig von der Basis, in der man
sie ausrechnet. Setzen wir Ŝ = U SU −1 , mit einer Transformationsmatrix U , so gilt
Tr(Ŝ) = Tr(U SU −1 ) = Tr(SU −1 U ) = Tr(S)
(7.15)
Die Gesamte Information über das Ensemble steckt in der Dichtematrix ρ. Dies ist also eine effiziente Art,
das Ensemble zu charakterisieren und zwar in einer Weise, die nicht mehr von den Zufallszahlen abhängt. ρ
ist ein Operator auf dem Hilbertraum der Vielteilchenzustände. Für solche ein Operator gilt dann auch die
Heisenberg’sche Zeitabhängigkeits-Formel
i~
∂ρ
= [H, ρ]
∂t
(7.16)
Daraus kann man sofort erkennen, dass die Spur von ρ konstant ist, denn
d
1
i
Tr(ρ) =
Tr([H, ρ]) = − (Tr(Hρ) − Tr(ρH)) = 0
dt
i~
~
Wir können den Mittelungsprozess direkt in der Sprache der Dichtematrix beschreiben, da ja
P
X Rnm Omn
hΨ|O|Ψi
n,m hcn |cm i hψn |O|ψm i
P
P
=
=
hΨ|Ψi
n Rnn
n hcn |cn i
n,m
59
(7.17)
(7.18)
wobei wir
Omn = hψn |O|ψm i
Rnm = hcn |cm i
(7.19)
gesetzt haben. Das heisst dann
Tr(RO)
hΨ|O|Ψi
=
hΨ|Ψi
Tr(R)
ρ=R
(7.20)
Durch den so definierten Operator R sehen wir, dass die Zeit-Mittelung von R gerade ρ entspricht. Das heisst,
wir können zu jeder Zeit in der Sprache der Dichtematrix arbeiten.
7.2
Ensembles der Quantenstatistik
Das Mikrokanonische Ensemble ist dadurch charakterisiert, dass wir alle Zustände mitnehmen, die richtige
Energie haben. Haben wir also eine Eigenbasis des Hamiltonoperators, dann ist die Dichtematrix gegeben druch
1, E < En < E + ∆
2
2
ρmn = δmn |bn |
|bn | =
(7.21)
0, andernfalls
Wir können daher schreiben
X
ρ =
E<En <E+∆
|ψn i hψn |
(7.22)
Die Spur von ρ ist in der Folge
Tr(ρ) =
X
ρnn = Γ(E)
(7.23)
n
wobei Γ(E) die Anzahl der Quantenzustände ist, deren Energie zwischen E und E +∆ liegt. Der Unterschied zur
klassischen statistischen Physik ist, dass wir nicht mehr über Phasenraumintegrale summieren, sondern über die
Quantenzustände. Desweiteren wir das Resultat davon abhängen, ob wir mit Bosonen oder Fermionen arbeiten.
Für makroskopische Systeme können wir uns vorstellen, dass das Spektrum der Quantenzustände {En } fast ein
Kontinuum bildet. Deshalb macht es Sinn, über eine Dichte der Zustände zu sprechen. Das heisst, wir können
uns vorstellen, dass sich Γ(E) schreiben lässt als
Γ(E) = ω(E)∆
(7.24)
wobei ω(E) die Zustandsdichte ist. Der Zusammenhang zur klassischen Thermodynamik wird dann dadurch
erzeugt, dass wir die Entropie ausdrücken als
S(E, V ) = k log Γ(E)
7.2.1
(7.25)
Das kanonische Ensemble
Im thermischen Gleichgewicht mit einem grösseren System ist das System durch das kanonische Ensemble
charakterisiert. In dem Fall wir die Dichtematrix
ρmn = δmn e−βEn
(7.26)
wobei wir weiterhin in der Basis der Zustände des Hamilton-Operators arbeiten. Es ist β = (kT )−1 der
Boltzmann-Faktor mit der Temperator T . Die Spur von ρ im kanonischen Ensemble ist dann die Zustandssumme
X
QN (V, T ) = Tr(ρ) =
(7.27)
e−βEn
n
wobei wir hier über alle Zustände summieren und auch die Multiplizitäten mitnehmen (entartete Energien
werden durch verschiedene n beschrieben). Wir haben dann den Zusammenhang mit der Helmholtz freien
Energie
log QN = −βA
60
(7.28)
Drücken wir nun die Dichtematrix in der Projektor-Sprache aus, so haben wir
X
X
X
ρ =
e−βEn |ni hn| =
e−βH |ni hn| = e−βH
|ni hn| = e−βH
n
n
(7.29)
n
wobei wir |ni = |ψn i geschrieben haben. Wir haben also eine Operator-Identität für die Dichtematrix gefunden.
Der mittlere Wert einer Observablen im kanonischen Ensemble ist dann in der Folge
hOi =
Tr(Oe−βH )
Tr(Oe−βH
Tr(Oρ)
=
=
−βH
Tr(ρ)
Tr(e
)
QN (V, T )
(7.30)
was wir in einer beliebigen Basis berechnen können.
7.2.2
Das Grosskanonische Ensemble
Statt der Teilchendichte festzuhalten, wollen wir hier ein chemischen Potential µ vorgeben. Damit ist der Dichteoperator
ρ = e−β(H−µN )
(7.31)
wobei H der Vielteilchen-Hamiltonoperator und N der Gesamt-Zahloperator ist. Wir haben dies mit der selben
Logik aufgestellt wie in der klassischen statistischen Mechanik. In der Eigenbasis von H und N können wir
dann schreiben
ρmn = δmn e−βEn e−βµNn
(7.32)
D(µ, V, T ) = Tr(ρ) = Tr(e−β(H−µN ) )
(7.33)
Die Grosskanonische Zustandssume ist
Und die thermodynamischen Grössen können dann berechnet werden, z.B.
U = −
d
log D
dβ
(7.34)
und so weiter.
7.3
Ideal Gase
Nehmen wir nicht-wechselwirkende freie Teilchen, so wird der Hamiltonoperator nichts anderes als
H =
X p2
i
2m
i
(7.35)
Hier werden interessante Dinge passieren. Im Unterschied zur klassischen statistischen Mechanik wird hier ein
Unterschied auftreten, je nach dem ob wir Bosonen oder Fermionen haben. “Hierin wird der Spass liegen”. Alles
andere ist mehr oder weniger gleich.
7.4
Ideale Gase: Das mikrokanonische Ensemble
Wir können ein freies Gas von Fermionen betrachten, dann sind die Zustände symmetrisiert, oder wir betrachten
ein freies Gas von fermioen, dann sind die Zusände antisymmetrisiert. Oder wir betrachten das Boltzmann-Gas,
dann gibt es keine Symmetrisierung oder Antisymmetrisierung. Der Boltzmann-Fall ist in erster Linie einfach
ein mathematischen Konstrukt. Wir wollen nun also ein ideales Gas mit Volumen V und N Teilchen betrachten,
das frei und nicht wechselwirkend ist. Konrket ist dann
Ĥ =
X p̂2
i
2m
i
(7.36)
Wir betrachten das System in einem Kasten der Kantenlänge L und verlangen periodische Randbedingungen.
Wir bekommen damit
p̂ =
2π~
m
L
m = (m1 , m2 , m3 ), mi ∈ Z
61
(7.37)
Am Ende lassen wir dann V → ∞ gehen, wobei dann
X
p
V
(2π~)3
→
Z
d3 p
(7.38)
2
p
Betrachten wir den Zustand |pi zur Energie Ep = 2m
. Der Vielteilchenzustand ist gegeben durch die Besetzungszahlen {np }, wobei
X
X
E =
np Ep
N =
np
(7.39)
Für Bosonen haben wir np = 0, 1, 2, 3, ... und für Fermionen np = 0, 1. Wir wollen nun Zustände p zusammenfassen zu Zellen. Die i-te Zelle enthalte beispielsweise gi solcher Zustände mit Energe Ep ≃ Ei , wobei Ei eine
gemittelte Energie über die Zelle ist. Die Besetzungszahl der Zelle ist damit
X
np
(7.40)
ni =
|pi ist in Zelle i
Wir gehen nun nach einem zweistufigen Verfahren vor. Zunächst P
definieren wir W {n
Pi }, das die Anzahl Zustände
mit Besetzungszahlen {ni } bezeichne. Es gilt nach wie vor E = Ei ni und N = ni . Wir bezeichnen mit wi
die Anzahl Zustände in der i-ten Zelle für ni Teilchen. Es folgt dann
Y
wi
(7.41)
W {ni } =
i
Für Bosonen haben wir also gi Zustände (in der i-ten Zelle) a ni Zuständen. Das Resultat ist
(ni + gi − 1)!
ni + g i − 1
=
wi =
ni
ni !(gi − 1)!
(7.42)
(siehe QM I, Serie 6, Aufgabe 2). Es gibt noch eine zweite, eher kombinatorische Möglichkeit. Man stelle sich
die Kugeln als in Kästchen verteilt vor. Zwischen den Zellen sei jeweils ein leeres Kästchen. Jede Partition
entspricht dann einer solchen Verteilung in diese Kästchen. So gibt es gi + ni − 1 Möglichkeiten die Kästen zu
verteilen. Es folgt
W {ni } =
Y (ni + gi − 1)!
ni !(gi − 1)!
i
(7.43)
Für Fermionen bekommen wir
wi =
gi !
gi
=
ni
ni !(gi − ni )!
(7.44)
Bei der Boltzmann-Statistik ist die Grundlegende Idee, dass die Teilchen unterscheidbar sind. Aber auf der
anderen Seite ist es so sehr viel einfacher die Kombinatorik hinzukriegen. Man teilt die N Teilchen in die Zellen
ein und dafür gibt es
N!
Q
i ni !
(7.45)
Möglichkeiten. In der i-ten Zelle hat es gi Zustände, es gibt also gini Möglcihkeiten und damit
N!
Y Y g ni
i
i
i
(7.46)
ni !
Tatsache: Man muss noch durch N ! dividieren (reines Argument der statistischen Physik), womit wir dann
bekommen
W {ni } =
Y g ni
i
i
ni !
(7.47)
Dies ist lediglich die Definition der Boltzmann-Statistik. Wir haben nun die erste Stufe unseres zweistufigen
Verfahrens angegeben.
62
7.4.1
Entropie
Die Entropie S ist gegeben durch
S = k log Γ(E)
(7.48)
A priori müsste man sämtliche Verteilungen ni berücksichtigen,um das Γ(E) zu berechnen. Wir beschränken
uns jedoch auf diejenige Verteilung der ni die die Entropie maximiert. Das heisst, wir approximieren Γ(E) durch
eine einzige Teilchenverteilung W {ni }, wobei ni diejenige Verteilung ist, die W {ni } maximiert. Das heisst
S = k log W {ni }
(7.49)
P
P
Es gelten natürlich noch Nebenbedingungen, nämlich
ni = N und
ni Ei = E. Die Idee ist LagrangeMultiplikatoren einzuführen, um die Nebenbedingungen miteinzubeziehen. Wir schreiben
X
X
H = log W {ni } − β
ni Ei − µ
ni
(7.50)
Noch rasch den Boltzmann-Fall: Da bekommen wir
X
X
X
X
ni
log ni ! − β
ni Ei − µ
H =
ni log gi −
(7.51)
i
i
Wir möchten hier die Sterling’sche Formel
n! = nn e−n
(7.52)
für grosse n verwenden. Wir maximieren, berechnen also
∂H
: log gi − log ni − 1 + 1 − βEi − µ = 0
∂ni
(7.53)
ni = gi e−µ e−βEi
(7.54)
Und es folgt
Für Bosonen haben wir also
H = log W {ni } − β
X
i
ni Ei − µ
X
ni
(7.55)
i
Wir maximieren bezüglich ni . Dazu schreiben wir
X
X
X
X
X
ni
ni Ei − µ
log(gi − 1)! − β
log ni ! −
log(ni + gi − 1)! −
H =
≃
X
i
−
(ni + gi − 1) [log(ni + gi − 1) − 1) − 1] −
X
i
ni (log ni − 1)
X
X
X
(gi + 1) [log(gi − 1) − 1] − β
ni Ei − µ
ni
i
i
(7.56)
i
i
i
i
i
(7.57)
(7.58)
i
wobei wir die Stirling’sche Formel
log n! ≃ n(log n − 1)
(7.59)
verwendet haben. Nach Ableiten nach ni bekommen wir die Differentialgleichung
log(ni + gi − 1) − log ni − βEi − µ = 0
(7.60)
Das heisst
log ni = log(ni + gi − 1) − βEi − µ ⇒ ni = (ni + gi − 1)e−βEi e−µ
z) = (gi − 1)e
(gi − 1)
=
(z −1 eβEi − 1)
⇒ ni (1 − e
⇒ ni
63
−βEi
−βEi
(7.61)
z
(7.62)
(7.63)
wobei wir z = e−µ gesetzt haben. Wir schreiben dann auch
1
np =
z −1 eβEp
Ep =
−1
p2
2m
(7.64)
Im Fermi-Fall haben wir entsprechend
X
X
X
X
X
ni
Ei ni − µ
(gi − ni ) [log(gi − ni ) − 1] − β
ni (log ni − 1) −
gi (log gi − 1) −
H =
(7.65)
i
i
i
i
i
Abgeleitet nach ni bekommen wir damit
− log ni + log(gi − ni ) − βEi − µ = 0 ⇒ ni = (gi − ni )e−βEi e−µ
⇒ ni (1 + ze−βEi ) = gi e−βEi z
gi
⇒ ni =
(z −1 eβEi + 1)
(7.66)
(7.67)
(7.68)
Oder auch
np =
1
z −1 eβEp + 1
(7.69)
Wir haben bisher aber noch nicht die Entropie berechnet, sondern nur den ersten Schritt vollzogen. Nun also
zur Entropie im Falle von Fermionen
!
X
X
Y
X
gi !
log ni ! −
log gi ! −
= k
log(gi − ni )!
S = k log
(7.70)
ni !(gi − ni )!
i
i
i
i
X
[gi (log gi − 1) − ni (log ni − 1) − (gi − ni ) (log(gi − ni ) − 1)]
= k
(7.71)
i
=
=
gi
ni
k
gi log gi − ni log ni − gi log gi 1 −
−1
+ ni log ni
gi
ni
i
X
ni
gi
− 1 − gi log 1 −
k
ni log
ni
gi
i
X
(7.72)
(7.73)
Wir setzen ein
ni =
gi
z −1 eβEi + 1
gi
− 1 = z −1 eβEi + 1 − 1 = z −1 eβEi
ni
(7.74)
z −1 eβEi + 1 − 1
1
=
z −1 eβEi + 1
1 + ze−βEi
(7.75)
und weiter
1−
ni
gi
= 1−
1
z −1 eβEi + 1
=
Und wir bekommen
(βEi − log z)
−βEi
)
+
log(1
+
ze
z −1 eβEi + 1
(7.76)
Ganz analog bekommen wir für den bosonischen Fall
X βEi − log z
−βEi
gi
SB = k
)
+ log(1 − ze
z −1 eβEi − 1
i
(7.77)
SF = k
X
gi
i
7.5
Ideale Gase im kanonischen & mikrokanonischen Ensemble
Für Fermionen und Bosonen im grosskanonischen Ensemble haben wir
L(z, V, T ) =
=
∞
X
z N QN (V, T ) =
N =0
N =0
∞
X
X X
N =0 np =N
=
YX
p
∞
X
z np e−βEp np
zN
P
X
e−β
P
Ep np ·
P
p
Ep np
(7.78)
np =N
(7.79)
p
z np e−βEp np
(7.80)
np
64
Im Bosonischen Fall ist dann die grosskanonische Zustandssumme
L (z, V, T ) =
∞
Y X
Y
(ze−βEp )np =
p np =0
p
1
1 − ze−βEp
(7.81)
Setzen wir thermodynamische Grössen ein, so erhalten wir
PV
kT
= log L
= −
X
p
log(1 − ze−βEp )
im bosonischen Fall. Für Fermionen im Gegenzug bekommen wir
Y
1 + ze−βEp
L =
(7.82)
(7.83)
p
und damit
PV
kT
X
=
log 1 + ze−βEp
p
(7.84)
Damit können wir nun weitere Grössen berechnen, wie die mittlere Anzahl der Teilchen
N = z
∂
log L
∂z
=
X
ze−βEp
1 − ze−βEp
=
X
ze−βEp
1 + ze−βEp
=
p
X
1
z −1 eβEp − 1
(7.85)
X
1
z −1 eβEp + 1
(7.86)
p
für Bosonen (siehe np ). Für Fermionen
N = z
7.6
∂
log L
∂z
=
p
p
Das ideale Bose-Gas & Bose-Einstein Kondensation
Im Bose-Fall haben wir gesehen, dass
PV
kT
= −
X
log 1 − ze−βEp
X
ze−βEp
1 − ze−βEp
p
(7.87)
und
N =
p
(7.88)
Wir wollen nun den thermodynamischen Limes nehmen, also V → ∞. Damit wird
Z
X
V
→
d3 p
3
(2π~)
p
(7.89)
So schreiben wir dann
4πV
N =
(2π~)3
Z∞
2
dp p2
0
ze−βp /2m
1 − ze−βp2 /2m
(7.90)
da wir über die Winkel einfach integrieren können. Das ist, was wir zunächst einmal naiverweise tun würden.
Es ist aber nicht ganz richtig, denn in der Summe ist ein Term derjenige mit p = 0. Für diesen Term ist der
z
Beitrag 1−z
, wobei 0 ≤ z ≤ 1 die Fugizität ist. Wenn z gegen 1 geht, divergiert dieser Term. Ist z < 1 sind alle
Terme in der Summe endlich. Wir separieren den Term aus der Summe und machen dann den Limes. Dann
schreiben wir
N
V
4π
=
(2π~)3
Z∞
0
2
1 z
ze−βp /2m
dp p
2 /2m +
−βp
V
1−z
1 − ze
2
65
(7.91)
Geht V gegen unendlich, so fällt der Term weg für z < 1. Da er aber
qdivergent werden kann, sollten wir ihn aus
β
p ein. So bekommen wir
der Summe nehmen. Für das Integral führen wir die Variable u = 2m
N
V
1 z
4π
+
V 1−z
(2π~)3
=
1 z
1 4
+ 3 √
V 1−z
λ
π
Z∞
=:
1 z
1
+ 3 g3/2 (z)
V 1−z
λ
=
2m
β
3/2 Z∞
2
du u2
0
ze−u
1 − ze−u2
(7.92)
2
du u2
0
ze−u
1 − ze−u2
(7.93)
(7.94)
q
2
wobei wir λ := 2π~
mkT gesetzt haben, da ja β = 1/kT . Die Funktion g3/2 (z) können wir über die geometrische
Reihe berechnen
∞
g3/2 (z) =
∞
∞ Z
X
2
4 X
zℓ
√
du u2 (ze−u )ℓ =
π
ℓ3/2
ℓ=1
ℓ=0
(7.95)
0
Die Funktion sieht also wie folgt aus
z2
g3/2 (z) = z + 3/2 + ...
2
g3/2 (1) =
∞
X
ℓ
−3/2
ℓ=1
3
≈ 2.612
= ζ
2
(7.96)
Wichtig dabei ist, dass g3/2 (1) endlich ist. Andererseits ist die Ableitung
′
g3/2
(z) =
∞
X
z ℓ−1
ℓ=1
g3/2 (1) ∼
ℓ1/2
X 1
√
ℓ
ℓ
(7.97)
Die Ableitung an der Stelle 1 divergiert also. Desweiteren ist g3/2 stetig und monoton. Sie fängt bei 0 an und
die Ableitung divergiert bei 1 zum Wert 2.612. Für 0 ≤ z ≤ 1 haben wir dann 0 ≤ g3/2 (z) ≤ 2.612. Die Anzahl
der Teilchen im Zustand 0 ist gegeben durch
hN0 i =
z
1−z
hn0 i =
1 z
V 1−z
(7.98)
Und wir haben
λ3
λ3 N
hN0 i
=
− g3/2 (z)
V
V
(7.99)
Daraus folgt, dass hN0 i /V > 0 ist, falls λ3 N/V > ζ(3/2). Dies beschreibt ein bestimmtes thermodynamischen
Regime, nämlich das der Bose-Einstein Kondensation. In diesem Regime ist die Anzahl der Teilchendichte, die
in einem spezifischen Zustand sitzen, ungleich null. Im thermodynamischen Limes sind dies ann unendlich viele
Teilchen. Der Zustand wird also dadurch beschrieben, dass eine grosse Anzahl der Teilchen in einem Zustand
sitzen. Es ist
λ3 ∼ #
1
T 3/2
> #
T < Tc
(7.100)
Wir haben also ein Tieftemperatur-Phänomen gefunden. In den 1990ern hat man dies experimentell direkt
gesehen. Tc ist extrem tief. Dafür gab es den Nobelpreis 2001.
66
8
Pfadintegralbeschreibung der Quantenmechanik
Vergessen wir nochmal alles, beginnen von neuem und versuchen die Quantenmechanik in einer anderen Weise zu
beschreiben. Es geht nicht darum, Probleme einfacher zu lösen, sondern mehr um eine andere Betrachtungsweise
der Quantenmechanik. Wir haben damit eine alternative Formulierung, die vor allem Konzeptionell interessant
ist. Was am Ende heraus kommt hat eine wunderschöne, physikalische Interpretation.
8.1
Phasenraum & kanonische Quantisierung
In gewissem Sinne ist dies eine Wiederholung, also werden wir uns nicht zu lange damit aufhalten. In der
klassischen Physik haben wir den Phasenraum mit den Ortskoordinaten q j und den Impulsen pj = ∂L /∂q j
(konjugierte Impulse). Die physikalischen Observablen sind die Funktionen auf dem Phasenraum. Die Funktionen
auf dem Phasenraum haben eine symplektische Struktur, nämlich die Poissonklammer
X ∂F ∂G
∂F ∂G
−
j ∂p
j
∂q
∂p
j
j ∂q
j
{F, G} =
(8.1)
Insbesondere haben wir
j q , pℓ = δ j ℓ
(8.2)
Die Zeitentwicklung, also die Dynamik, wir beschrieben durch
Ḟ = {F, H} +
∂F
∂t
(8.3)
Dies produziert gerade die kanonischen Bewegungsgleichungen
q̇ j =
qj , H
=
∂H
∂pj
ṗj =
pj , H
= −
∂H
∂q j
(8.4)
also die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen. Was wir nun kanonische Quantisierung nennt ist, dass wir
die Observablen (Funktionen auf dem Funktionenraum) durch hermitesche Operatoren F̂ ersetzen und die
Vertauschungsregeln der Operatoren wird durch die Poissonklammer bestimmt, in der Weise dass
h
i
F̂ , Ĝ = i~ {F, G}
(8.5)
Gleichung 8.3 entspricht gerade der Zeitentwicklung im Heisenbergbild. Wir schreiben
˙
F̂ =
i ∂ F̂
1 h
F̂ , Ĥ +
i~
∂t
(8.6)
Die Zeitentwicklung der Erwartungswerte (unser Ziel) können wir über das Schrödinger-Bild beschreiben
D
E
D
E
ψ|Ô(t)|ψ
= ψs (t)|Ô|ψs (t)
(8.7)
Im Schrödingerbild haben wir
i~
∂
|ψs (t)i = H |ψs (t)i
∂t
(8.8)
Hängt H nicht explizit von der Zeit ab, so können wir die Differentialgleichung lösen durch
|ψs (t)i = e−itH/~ |ψs (0)i
(8.9)
Wellenmechanik ist nun ein Synonym dafür, dass wir den Hilbertraum auffassen als H = L2 (Konfraum). Wir
möchten Grössen ausrechnen wie
Z
E
D
D
E
ψs (t, q) ≡ hq|ψs (t)i = q|e−itH/~ |ψs (0) =
dq0 q|e−itH/~ |q0 hq0 |ψs (0)i
(8.10)
=
Z
dq0 K(t, q, q0 )ψs (0, q0 )
(8.11)
67
wobei q ein Eigenvektor des Ortsoperatros ist, K(t, q, q0 ) der Zeitentwicklungsterm und
Z
1 =
dq0 |q0 i hq0 |
(8.12)
K beschreibt die Amplitude, dass die Entwicklung von (q0 , t = 0) → (q, t) abläuft. Diser Zeitentwicklungterm
erfüllt die Gleichung
i~
d
K(t, q, q0 ) = Hq0 K(t, q, q0 )
dt
(8.13)
was der Schrödinger Gleichung entspricht. Wir haben damit
lim K(t, q, q0 ) = δ(q − q0 )
(8.14)
t→0
wobei wir Wellenmechanik in einer Dimension machen. Diese beiden Bedinungen charakterisieren den Zeitentwicklungsterm eindeutig. Das ist das selbe Argument, wie wir den Propagator eindeutig charakterisiert haben.
Jetzt aber umgeschrieben in der Ortsbasis. K ist also sozusagen der Propagator U (t, t0 ) ausgewertet für q und
q0 .
Wie sieht K für das freie Teilchen aus? In diesem Fall haben wir den Hamilton-Operator
p2
~2 d
= −
2m
2m dx2
H =
(8.15)
Damit wird
K
=
E
D
=
q|e−itH/~ |q0
Z
1
2π~
E
D
dp hq|pi p|e−itH/~ |q0
(8.16)
wobei |pi die Impulseigenzustände sind. Wir definieren es so, dass hq|pi = e−iqp/~ ist. Wir berechnen dann
K
=
1
2π~
Z
dp e−iqp/~ e−itp
=
1
2π~
Z
dp e−iqp/~ e−itp
=
1
2π~
=
1
2π~
2
/2m~
hp|q0 i
(8.17)
2
/2m~ iq0 p/~
e
(8.18)
Z
dp e−it 2m~ eip(q0 −q)/~
(8.19)
Z
dp e
p2
“
”
m(q−q0 ) 2
−it/2m~ p+
t
it
e 2m~
m2
t2
(q−q0 )2
(8.20)
Dies ist formal ein Gauss’schen Integral. Was wir damit herausbekommen, ist
im
K = e 2~t (q−q0 )
2
Das Ziel ist, K auszurechnen für
m 1/2
=: K0 (t, q, q0 )
2πi~t
H =
p2
+ V (q)
2m
(8.21)
(8.22)
Es ist ja nicht wahr, dass p und q vertauschen. Es gilt ja
e
“ 2
p
i 2m
t
~ +V
(q)
t
~
”
p2 t
t
= ei 2m~ ei ~ V (q) + ...
wobei die ... für die Baker-Lamptell-Hausdorff-Terme stehen.
68
(8.23)
8.2
Faynmann-Kac Formel
Feynmann ist derjenige, der die Pfadintegral-Beschreibung entwickelt. Die Feynmann-Kac Formel gab es aber
schon zuvor. Der Ausgangspunkt ist die Produktformel von Trotter. Seien A und B (z.B.) endlich dimensionale
Matrizen, dann gilt
A B n
(8.24)
eA+B = lim e n e n
n→∞
Zum Beweis definieren wir
Sn := exp
A+B
n
Tn = exp
A
B
exp
n
n
(8.25)
Wir möchten dann den Normbetrag (in der üblichen Matrixnorm) berechnen, also
A B n A+B
− e n e n = kSnn − Tnn k
e
= Snn−1 (Sn − Tn ) + Snn−2 (Sn − Tn ) Tn + Snn−3 (Sn − Tn )Tn2 + ... + (Sn − Tn )Tnn−1 ≤ kSn k
n−1
n−2
kSn − Tn k + kSn k
n−1
kTn k kSn − Tn k + ... + kTn k
kSn − Tn k
(8.26)
(8.27)
(8.28)
wobei wir die Dreiecks- und die Cauchy-Schwarz-Ungleichungen verwendet haben. Nun beobachten wir, dass
kA + Bk
kAk + kBk
kSn k ≤ exp
≤ exp
=: a1/n
(8.29)
n
n
wobei a := exp(kAk + kBk). Tn können wir auch entsprechend abschätzen, über
kBk
kAk
exp
= a1/n
kTn k ≤ exp
n
n
(8.30)
Insgesamt haben wir also
A B n n−1
A+B
− e n e n ≤ na n kSn − Tn k
e
(8.31)
Die letzte Beobachtung ist noch, dass die Differenz von Sn und Tn geschrieben werden kann, als
Sn − T n = −
[A, B]
+ O(n−3 )
2n2
und somit bekommen wir
A B n n−1
[A, B]
A+B
−2
n
n
n
− e e
−
+ O(n )
e
≤ a
2n
(8.32)
n→∞
−→
0
(8.33)
Womit wir die Trotter’sche Produktformel bewiesen haben. Die Verallgemeinerung für unbeschränkte Operatoren, die wir natürlich tatsächlich brauchen, lautet: Seien A, B selbst-adjungierte Operatoren, dann gilt
n
t∈R
(8.34)
e−it(A+B) = lim e−itA/n e−itB/n
n→∞
und ist damit natürlich gerade auf die Quantenmechanik zugeschnitten. Diese Formel zu beweisen erforder ein
wenig mehr Funktional-Analysis.
Wir benutzen nun diese Formel zur Berechnung von K. Nehmen wir an, H = H0 +V . Dann setzen wir A = H0 /~
und B = V /~. So schreiben wir
E
E
D
D
(8.35)
= q|e−it(A+B) |q0
K =
q|e−it(H0 +V )/~ |q0
n E
D = lim q| e−iH0 t/n~ e−itV /n~ |q0
(8.36)
n→∞
Wir wenden nun also diesen Operator in der Klammer an. Nach jeder Anwendung fügen wir die eins ein
1 =
Z
dqi |qi i hqi |
69
(8.37)
So bekommen wir
K
=
=
=
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
Z
dq1 ...dqn−1
Z
dq1 ...dqn−1
Z
n−1
YD
j=0
n−1
YD
j=0
q1 ...dqn−1 d
n−1
Y
e
qj+1 |e−itH0 /~n e−itV /~n |qj
E
E
qj+1 |e−itH0 /~n |qj e−itV (qj )/~n
−itV (qj )/~n
K0
j=0
t
, qj+1 , qj
n
 

n−1
m n/2 Z
X qj+1 − qj 2
m
iε
dq1 ...dqn exp  
= lim
− V (qj )
n→∞ 2πi~t
~
2 j=0
ε
(8.38)
(8.39)
(8.40)
(8.41)
wobei wir ε = t/n gesetzt haben.
8.2.1
Interpretation als Pfadintegral
Wir haben einen Anfangspunkt und einen Endpunkt (in unserem Fall im 1-dimensionalen). Zur Zeit t = 0
haben wir q0 und zur Zeit t haben wir q. Wir führen nun in gewissem Sinne Zwischenpunkte q1 , q2 , q3 , ... ein.
In dieser Interpretation ist die Grösse
qj+1 − gj
ε
(8.42)
gerade die Steigung zwischen zwei Punkten, die mit der Länge ε zeitlich getrennt sind. Der Term entspricht
also der Steigung des entsprechenden Segmentes. Das ganze wird multipliziert mit ε, das heisst inklusive dem
ε und dem Limes steht da gerade die Riemann’sche Summe, die das Riemann-Integral approximiert. Im Limes
n → ∞ wird dann die Riemann’sche Summe zu
Zt
0
ds
m
2
q̇(s)2 − V (q(s))
(8.43)
Hier steht tatsächlich das Integral der Wirkung des Pfades, wobei wir den Pfad wählen als stückweise linear
S[q] =
Zt
ds L(q(s), q̇(s))
(8.44)
0
Die Wirkung, wie wir sie in der klassischen Mechanik gelernt haben. Dieses Integral müssen wir dann über alle
qi , i = 1, ..., n − 1 integrieren. Der Limes n → ∞ führt dann zu dem Pfadintegral. Das heisst, formal können
wir uns vorstellen, dass wir über alle Pfade integrieren von q0 → q und wir gewichten den entsprechenden Pfad
mit exp(iS[q]/~). Wir schreiben
Z
K(t, q, q0 ) = C Dq eiS[q]/~
(8.45)
Nota bene: Diese Formel ist einfach durch obige Formel definiert. Der Vorfaktor C ist ein bisschen delikat. Er
ist ja in gewissem Sinne
m (8.46)
C = lim
n→∞ 2πi~t
Doch, wir setzen in Wirklichkeit
C =
m n/2
n→∞ 2πi~ε
lim
(8.47)
was ein n-Abhängiger Faktor ist. Doch wir tun dies, da so die Richtige Normierung herauskommt. Wenn wir
das nicht tun, bekommen wir den falschen Skalierungsfaktor.
Die Pfadintegraldarstellung ist mathematisch zweifelhaft, denn man kann nicht wirklich rechnen damit. Doch
sie ist konzeptionell interessant, denn man kann vernünftig quasiklassische Approximationen durchführen. Desweiteren kann man im klassischen Limes ~ → 0 mit der Methode der stationären Phase voraussagen, dass das
70
obige Integral dominiert wird von den Thermen, deren Pfade extremal sind. Die extremalen Pfade tragen bei,
das sind die Pfade wo δS/δq = 0 gilt. Nur diese Therme tragen bei. Mit der Methode der stationären Phase
haben wir ja
Z
dq eif (q)/ε g(q) ∼ eif (q)/ε g(q)
(1 + ...)
(8.48)
′
q=q0 ,f (q0 )=0
Im Limes ε → 0 oszilliert der Integrand extrem stark, so dass sich die Therme wegheben. Wir haben damit
gerade das Extremal-Prinzip der klassischen Mechanik herausbekommen, denn δS/δq = 0 sind ja gerade die
Euler-Lagrange Gleichungen. Man bekommt so eine direkte Vorstellung, wie die Quantenmechanik im klassischen
Limes zur klassischen Mechanik übergeht.
Die Pfadintegrale haben in der modernen Quantenfeld Theorie grosse Bedeutung.
8.3
Harmonischer Oszillator
Dieses Kapitel soll zeigen, dass die Pfadintegral-Beschreibung tatsächlich auf die richtige Lösung führt und auch,
dass die folgende Art nicht die richtige ist, um den harmonischen Oszillator zu berechnen. Wir haben also ein
Teilchen mit Masse m und Kreisfrequenz ω. Wir haben dann
m 2
V (q) = ω 2 q 2
(8.49)
q̇ − ω 2 q 2
L(q, q̇) =
2
Wir berechnen dann nach obiger Formel
S
(n)
n−1 mX 1
2
2 2
[q] =
(qj+1 − qj ) − εω qj
2 j=0 ε
(8.50)
Wir setzen immer q ≡ qn und bilden die (n − 1)-dimensionalen Vektoren ξ = (qn−1 , ..., q1 ) der Zwischenwerte
und η = (q, 0, ..., 0, q0 ) der Endpunkte. In dieser Notation ist die Behauptung, dass wir schreiben können
m 1
1
2
(n)
2 2 2
(8.51)
S [q] =
(η, η) + (ξ, Cξ) − (ξ, η) − ε ω q0
2 ε
ε
ε
wobei wir
2

−1
0

.
.
.
.
−1
.
.
∆ := 

.
.
..
. . −1

0
−1 2
2
C = ∆ − ε ω 1n−1
2
Dies folgt, denn wir haben ja die Summe


n−1
n−1
X
X
1 2
qj qj+1 
qi2 − 2
qn + q02 + 2
ε
j=0
j=1






(8.52)
(8.53)
wobei
1
1 2
(η, η) →
(q + q02 )
ε
ε
und

n−1
X
n−2
X
n−1
X

1
1
qj2 
qj qj+1 − ε2 ω 2
qj2 − 2
2
(ξ, Cξ) →
ε
ε
j=1
j=1
j=1
2
2
(ξ, η) →
(qq1 + qn−1 q)
ε
ε
(8.54)
(8.55)
Wir berechnen damit dann
K(t, q, q0 ) =
lim
n→∞
Z
dn−1 ξ
m n/2
eiS(ξ,η)/~
2πi~ε
(8.56)
C ist symmetrisch und ∆ ist die diskretisierte 2. Ableitung. Wir suchen nun die Extrema von S als Funktion
von ξ
Cξcl = η
71
(8.57)
wobei ξˆ = ξcl + ξ mit klassischen Term ξcl . Wir haben dann
2
1
m 1
[(ξcl , Cξ) + (ξ, Cξ)] − (ξ, η) + (ξ, Cξ)
S(ξcl + ξ, η) = S(ξcl , η) +
2 ε
ε
ε
m
= S(ξcl , η) + (ξ, Cξ)
2ε
(8.58)
(8.59)
Hierbei ist
S(ξcl , η)
1
2 −1
m 1
−1
2 2 2
(η, η) + (η, C η) − (C η, η) − ε ω q0
2 ε
ε
ε
m
(η, η) − (η, C −1 η) − ω 2 ε2 q02
2ε
=
=
(8.60)
(8.61)
Der n-te Term des Kerns ist also gegeben durch
K
(n)
m n/2 Z
i
m
dn−1 ξ e ~ (S(ξcl ,η)+ 2ε (ξ,Cξ))
2πi~ε
Z
m n/2 i
im
e ~ S(ξcl ,η) dn−1 ξ e 2~ε (ξ,Cξ)
2πi~ε
r
1
m
√
eiS(ξcl ,η)/~
2πi~ ε det C
=
=
=
(8.62)
(8.63)
(8.64)
wobei wir das Gauss’sche Integral berechnet haben durch
Z
(2π)(n−1)/2
√
det B
im
dn−1 ξ e 2~ε (ξ,Cξ) =
(8.65)
mit B = − im
~ε C. Die Matrix C hat die Form


µ
−1
0

.
.
..
−1 . .
C = 

..
..

.
. −1
0
−1 µ





Die Determinante berechnen wir rekursiv. Wir setzen
det(Cn−1 ) = dn−1
µ = 2 − ε2 ω 2
dn−1 = µdn−2 − dn−3
d1 = µ
(8.66)
d0 = 1
(8.67)
1
= 1 − (εω)2 + ...
2
(8.68)
Die Lösung dieser Rekursionsrelation ist
dn−1 = det(C) =
Es ist auch
cos
β
2
n
β
2 β
sin 2
sin
= 1−
1
2
cos
2
β
2
µ
2 − ε2 ω 2
=
2
2
β
2
=
β
2
= εω
β = 2εω + O(ε2 )
(8.69)
Es ist dann
det(C) = dn−1 =
n
β
2 β
sin 2
sin
≃
sin (nεω)
sin(εω)
(8.70)
≃
sin(tω)
εω
(8.71)
Damit können wir den Term
1
√
ε det C
=
72
r
ω
sin(ωt)
(8.72)
Wir können zu führender Ordnung in ε berechnen, da wir ja am Ende den Limes ε → 0 nehmen. Wir brauchen noch die klassische Wirkung berechnen. Dazu brauchen wir die Inverse von C für (η, C −1 η), wobei
η = (q, 0, ..., 0, q0 ). Wir brauchen also nur die Eckpunkte. Es gilt


dn−2
1

1 


(8.73)
C −1 =


dn−1
1
dn−2
wobei
dn−2
dn−1
sin ((n − 1)εω)
sin(nεω) cos(εω) − sin(εω) cos(nεω)
=
sin(nεω)
sin(nεω)
= cos(εω) − sin(εω) cot(nεω) = 1 − εω cot(tω) + ...
=
(8.74)
(8.75)
und
sin
1
dn−1
=
Und wir berechnen
sin
β
2
n
2 β
=
sin (εω)
εω
=
sin(nεω)
sin(nt)
m 1 2
εω
2
2
2
2 2 2
S(ξcl , η) =
qq0
(q + q0 ) − (1 − εω cot(tω)(q + q0 ) − ω ε q0 −
2 ε
sin(ωt)2
(8.76)
(8.77)
Und damit bekommen wir
K(t, q, q0 ) =
r
2qq0
imω
mω
2
2
(q + q0 ) cot(ωt) −
exp
2πi~ sin ωt
2~
sin(ωt)
(8.78)
Man kann zweigen (nicht ganz schmerzfrei), dass dies die richtige Differentialgleichung erfüllt, aber leichter
kann man sehen, dass es die richtigen Anfangsbedingungen hat. Das bedeutet, dass es im Limes t → 0 gegen die
δ-Funktion gehen muss. Im Limes t → 0 geht der cot(ωt) ∼ 1/ωt und 1/ sin ωt ∼ 1/ωt. Also geht der Exponent
wie
im
imω 2
q + q02 − 2qq0 =
exp
(8.79)
(q − q0 )2
2~ωt
2~t
wie für K0 . Und der Vofaktor geht füt t → 0 wie
r
m
2πi~t
(8.80)
So haben wir
lim K(t, q, q0 ) = lim K0 (t, q, q0 )
t→0
t→0
mit K0 für das freie Teilchen.
73
(8.81)
Index
A
L
Absorptionsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Lippman-Schwinger Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Angeregter Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
M
Anti-Kommutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Antisymmetrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Mikrokanonisches Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Anyonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
O
B
Optisches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Besetzungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Boltzmann-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 P
Paarkorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
paramagnetische Ladungsstromdichte . . . . . . . . . . . . . . 17
Differentieller Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Pauli Ausschliessungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
E
Polarisationsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
D
Einfache Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Q
Einteilchen-Korrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
Elektronloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Erste Homotopiegruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 S
F
Slater-Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Sphärische Besselfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
sphärischen Hankelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Sphärischen Neumann Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Spontane Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Streutheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Symmetrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Feldoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Fermi-Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Fermi-Kuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Fermi-Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Fermi-Wellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Fermigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 T
Fock-Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Fockraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Teilchendichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Freie Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Teilchenzahldichteoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Teilchenzahloperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ff
G
Thomas-Fermi Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Thomson-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Gerade Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 totaler Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Gleichwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
U
H
Ungerade Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Hartree-Fock Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Hartree-Term. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 V
Helmholtz freie Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Vernichtungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Homotopiegruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Hund’sche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 W
I
Induzierte Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Wigner-Eckart Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Wigner-Kristall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
Y
J
Yukawa Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Jellium-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Z
K
Zopfgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Korrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Zufallsphasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
74