Physik Uni Rostock
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Crash Kurs 3.3.2010, Großer Hörsaal Physik 9-11 Uhr Klausur 10.3.2010, Großer Hörsaal Physik 9-11 Uhr Hilfsmittel Taschenrechner, Din A5 Blatt, handbeschrieben Chrysopelea Paradisi 13 Hydrodynamik 1 Strömungstypen laminar turbulent 2 Ideale Flüssigkeiten ... damit sind auch Gase gemeint In einer laminaren Strömung folgt jedes Teilchen einer Strömungslinie. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist dabei tangential zur Richtung der Strömungslinie Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung Was sind die Eigenschaften einer idealen Flüssigkeit? Zigarettenrauch - keine Wechselwirkung der Teilchen innerhalb der Flüssigkeit Geschwindigkeit an jedem Punkt in der Flüssigkeit ist konstant Flüssigkeit ist inkompressibel an keinem Ort in der Flüssigkeit gibt es einen resultierenden Drehimpuls3 Massenflussrate φm = Kontinuitätsgleichung Δm Δt Vergleiche Massenfluss an zwei Teilstücken einer Röhre Wichtig: kein Tropfen der Flüssigkeit geht verloren. Also muß sich etwas ändern, wenn man die Bedingungen modifiziert! Massenflussrate der Flüssigkeit Ort 2 Volumen V2 Massenflussrate der Flüssigkeit Ort 1 Volumen φm2 = φm1 = V1 = A1Δl1 Δm1 ρ1ΔV1 Δl = = ρ1 A1 1 = ρ1 A1v1 Δt Δt Δt alles was pro Zeiteinheit hier herein fließt, 1 Δm2 ρ 2 ΔV2 Δl = = ρ 2 A2 2 = ρ 2 A2 v 2 Δt Δt Δt 2 keine Flüssigkeit geht verloren kommt hier auch in derselben Zeit wieder raus Flüssigkeit inkompressibel Flussrate muss konstant sein! Δm Δm2 φ = 1= = φm2 Δt Δt ⇓ ρ1 A1v1 = ρ 2 A2 v 2 = A2 Δl2 ρ1 = ρ 2 = const 1 m spezielle Bedingungen für inkompressibles Medium wie z.B. Flüssigkeit ⇓ A1v1 = A2 v 2 φm = const Kontinuitätsgleichung Konsequenzen großer Querschnitt -> niedrige Strömungsgeschwindigkeit geringer Querschnitt -> hohe Strömungsgeschwindigkeit 4 Wasserhahn A1v1 Kerzen ausblasen beim Kindergeburtstag Warum verengt sich der Querschnitt des Wasserstahls? Wassertropfengeschwindigkeit erhöht sich durch freien Fall v 22 = v12 + 2 gh A2 v1 = A2 v12 + 2 gh ← A2 < A1 5 Anzahl der Kapillaren im Körper Bedingungen in der Aorta Durchmesser 2 cm Fließgeschwindigkeit 30 cm/s 2 AAorta = πrAorta Bedingungen in den Kapillaren Durchmesser 10 μm Fließgeschwindigkeit 600 μm/s 2 Kap Kap Kap = n πr A Abschätzung über Anzahl der Kapillaren im Körper Kontinuitätsgleichung v Aorta AAorta = v Kap AKap 2 2 v AortaπrAorta = v Kap nKapπrKap nKap ( ) m -2 2 10 m s = m 6 ⋅10 −4 5 ⋅10 −6 m s 0.30 nKap 2 v Aorta rAorta = 2 v Kap rKap ( ) 2 = 6.7 ⋅109 also etwa 10 Billionen 6 Strömung wird durch drei Beiträge charakterisiert Druck, Geschwindigkeit Höhe Bernouilli-Gleichung Annahme einer idealen Flüssigkeit p2 + Flüssigkeit inkompressibel laminare Strömung geringe Viskosität (Zähigkeit) 1 2 ρv 2 + ρgy 2 2 p1 + 1 p1 + ρv12 + ρgy1 2 Daniel Bernouilli 1700-1782 1 2 1 ρv1 + ρgy1 = p2 + ρv 22 + ρgy 2 2 2 ⇓ 1 p1 + ρv² + ρgy = const 2 Bernoulligleichung Erhaltungssatz Test: statische Flüssigkeit v1 = v 2 = 0.0 m/s Flüssigkeit bewegt sich nicht ⇓ p2 = p1 + ρg(y1 − y2 ) pSD = ρgh bekannt aus Kap. 12 Schweredruck Test: kein Höhenunterschied y1 = y2 = const ⇓ Was sagt die Gleichung z.B. aus Bei hohem Druck reduziert sich die Fliessgeschwindigkeit P1 + 1 2 1 ρv1 = P2 + ρv 22 2 2 7 Bernouilligleichung Wenn das Gegenteil der Fall wäre Wir stellen eine Behauptung auf Hoher Druck bedeutet hohe Geschwindigkeit der Flüssigkeit also p1 > p2 → v1 > v 2 p1 + 1 1 2 ρv1 > p2 + ρv 22 2 2 dann stimmt Bernoulli nicht p1 niedrig v1 niedrig p1 hoch v1 hoch? A1v1 = A2 v 2 Reduzierung der Fließgeschwindigkeit Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung Auswirkungen von Bernoulli höherer Druck höhere Strömungsgeschwindigkeit niedriger Druck höherer Druck 8 Beweis der Bernoulligleichung Ergebnis aus der Mechanik Änderung der kinetischen Energie Änderung der kinetischen Energie entspricht der geleisteten Arbeit am System 1 1 Δmv 22 − Δmv12 2 2 ersetze Masse durch Δm = ρΔV Dichte und Volumen ↓ ΔKE = W = ΔKE = KE2 − KE1 Arbeit am System/ System leistet Arbeit ΔKE = allgemein WP = WP , 2 + WP ,1 WP = − p2 ΔV + p1ΔV WP = −( p2 − p1 )ΔV dritter Term der Bernoulligleichung ) das ist der erste Terme der Bernoulligleichung WP = FΔl = pAΔl ↓ AΔl =ΔV WP = pΔV ( 1 ρΔV v 22 − v12 2 Flüssigkeit in den Bereich y1 drücken (positiv) W p,1 = p1ΔV Arbeit, die an der Flüssigkeit geleistet wird Flüssigkeit gegen den Druck P2 bewegen (negativ) W p , 2 = − p2 ΔV Arbeit, die die Flüssigkeit leisten muss Wg = −Δmg ( y2 − y1 ) ersetze Masse durch Dichte und Volumen ↓ Δm = ρΔV Wg = − ρΔVg ( y2 − y1 ) das ist der zweite Terme der Bernoulligleichung ΔKE = Wg + WP Energieerhaltung ( Geleistete Arbeit im Gravitationfeld ) 1 ρΔV v 22 − v12 = − ρΔVg ( y2 − y1 ) − ΔV ( p2 − p1 ) 2 neu sortieren nach Indizes 1 2 1 ρv1 + ρgy1 + p1 = ρv 22 + ρgy2 + p2 qed 2 2 9 Venturi Röhre Strömungsgeschwindigkeit inkompressibler Flüssigkeiten kein Höhenunterschied Δh=0 Kontinuitätsgleichung Bernouilligleichung A1v1 = A2 v 2 1 1 p1 + ρv12 + 0 = p2 + ρv 22 + 0 2 2 ↓ Ergebnis einsetzen v1 = 2 ⎞ 1 ⎛A 1 p1 + ρ ⎜⎜ 2 v 2 ⎟⎟ = p2 + ρv 22 2 2 ⎝ A1 ⎠ v 2 = A1 notwendige Messung Bestimmung des Druckunterschieds v1 = A2 A2 < A1 Kontinuitäts gleichung → Bernouilli 2( p1 − p2 ) ρ A12 − A22 ( ) A2 v 2 A1 Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit am Messpunkt 2 ↓ 2( p1 − p2 ) ρ A12 − A22 ( v1 > v 2 → p1 > p2 ) Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit am Messpunkt 1 Druck in den engen Stellen der Röhre reduziert Flüssigkeit steigt nach oben vgl Barometer 10 ... noch mehr Bernoulli Wind über Kamin erzeugt Unterdruck hohe Strömungsgeschwindigkeit verursacht Druckverringerung klappernde Suppenlöffel Versuch mit Buchseiten und Ökanistern 11 Aerodynamik Windströmung um einen Tragflügel Heinrich Hoffmann Der Struwwelpeter (1845) 12 Aerodynamik Luftwiderstand Aerodynamischer Auftrieb Geschwindigkeit des Flugzeug Fläche und Form der Tragfläche Anstellwinkel der Tragfläche Turbulenz 13 Bumerangphysik richtiges Flügelprofil Bumerang War einmal ein Bumerang War ein Weniges zu lang Bumerang flog ein Stück, Aber kam nicht mehr zurück Publikum – noch stundenlangWartete auf Bumerang Fake Joachim Ringelnatz Rotation Rotation mit Flugrichtung hohe relative Drehgeschwindigkeit d.h. erhöhterAuftrieb Flugrichtung Unterschiedlicher Auftrieb an den Flügelenden verursacht Drehmoment Bumeraung kippt in die Vertikale Rotationsachse Rotation gegen Flugrichtung relative Drehgeschwindigkeit niedrig, d.h. geringerer Auftrieb Luftströmung an Flügeln verursacht Auftrieb 14 Druckmessung in bewegten Flüssigkeiten Gesamtdruck = statischer plus dynamischer Druck 1 Pres = Pstat + ρv 2 2 statischer Druck potentelle Energie welche Anteile tragen zum Druck bei? Pres = Pstat + Pdyn Gesamtdruck kinetische Energie v = 0.0 m/s Staudruck Prandtlrohr Pivotrohr Gesamtdruck statischer Druck statischer Druck Gesamtdruck dynamischer Druck aus Differenz von Gesamtund statischem Druck 15 Toricellis Theorem Ausströmgeschwindigkeit aus einem Reservoir Bernoulligleichung Annahme reibungslose Bewegung Druck auf die Flüssigkeitsoberfläche ist an beiden Stellen der Luftdruck 1 2 1 2 ρv oben + ρghoben + poben = ρvunten + ρghunten + punten 2 2 ↓ Atmosphärendruck an Oberfläche des Sees 1 2 1 2 ρv oben + ρghoben = ρv unten + ρghunten 2 2 1 2 1 2 v oben + ghoben = v unten + ghunten 2 2 ↓ h = hoben − hunten h 2 2 v unten = v oben + 2 gh Toricellis Theorem gleiche Druckverhältnisse Atmosphärendruck auch beim Ausströmen der Flüssigkeit KETal = KEBerg + PEBerg 1 2 1 mvTal = mv 2Berg + mgh 2 2 Energieerhaltung 2 → vTal = v 2Berg + 2 gh 16 Ergebnis identisch zu freiem Fall eines Körpers Torricelli h Schweredruck ρ H O gh 2 geringer Schweredruck niedrige Ausflussgeschwindigkeit große Höhe 1 ρ H 2O v 2 2 hoher Schweredruck hohe Ausflussgeschwindigkeit geringe Höhe Man kann zeigen, dass h/2 die größte Weite ergibt 17 Leistung Energietransfer pro Zeiteinheit Ergebnis aus Kap. Dynamik Energie Arbeit = Zeit Zeit ΔE ΔW P= = Δt Δt Leistung = Erweitern dieser Gleichung mit einem Term, der angibt, welche Flüssigkeitsmenge pro Sekunde fließt Start mit Gleichung von Bernoulli ⎡1 ⎤ ⎡ N ⎤ ⎡ N m ⎤ ⎡ Nm ⎤ =⎢ [ p] = ⎢ ρv 2 ⎥ = [ρgh] = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 2 m² m² m ⎦ ⎣ m³ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ Energie pro Volumen Energie pro Volumen multipliziert mit Volumen pro Zeit ⎡ Nm ⎤ ⎡ Volumen ⎤ ⎡ Nm m³ ⎤ ⎛ ΔV ⎞ ⋅ = φ ⇒ Volumenflu ssrate ⎟ V ⎜= ⎢⎣ m³ ⎥⎦ ⎢⎣ Zeit ⎥⎦ ⎢⎣ m³ s ⎥⎦ ⎝ Δt ⎠ ⎡ Nm ⎤ Energie pro Zeit =⎢ ⎣ s ⎥⎦ also Leistung Transfer von Energie an die Flüssigkeit 1 2 1 2 ⎛ ⎞ v p ρ ρ gh φ = p φ + ρv φV + ρghφV + + ⎜ ⎟ V V 2 2 ⎝ ⎠ Änderung der Druckverhältnisse 1 2 ρv + ρgh = const 2 Dimensionsanalyse: resultierende Einheit für jeden Term identisch! Energiegleichung pφV p+ 1 2 ρv φV 2 Änderung der kinetischen Energie und die physikalische Bedeutung? ρghφV Änderung der potentiellen Energie 18 Feuerwehr Annahmen kein Höhenunterschied keine Änderung des Querschnitts 1 2 ρv Φ = 0 2 ρghΦ = 0 Notwendige Leistung der Pumpe 1 2 PPumpe = pΦ + ρv Φ + ρghΦ 2 PPumpe = pΦ + 0 + 0 ⎛ 6 N ⎞⎛ - 2 m³ ⎞ PPumpe = ⎜ 7 ⋅10 ⎟⎜1.33 ⋅10 ⎟ s ⎠ m² ⎠⎝ ⎝ PPumpe = pΦ = 9.3 ⋅10 4 W = 93 kW N m³ ⎤ ⎡ Nm ⎤ ⎡ J ⎤ [P ] = ⎡⎢ m² = = = [W ] s ⎥ ⎢ s ⎥ ⎢s ⎥ Pumpe B-Rohr mit Düse 16 mm 800 l/min ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Wasserdruck 7 bar (7 MPa) 19 Rotierender Ball in Medium Erstaunliche Beobachtung bei folgendem Experiment Herunter rollender Ball plumpst ins Wasser Der Ball bewegt sich in entgegen gesetzter Richtung zur Flugbahn warum nicht so? Ba 20 Analyse der Strömungsverhältnisse Rotierender Ball in Medium Erster Beitrag Strömung ohne Rotation hohe Geschwindigkeit Zweiter Beitrag Zirkularstrom durch Rotation Unterdruck Resultierende Kraft wirkt in Richtung des Unterdrucks niedrige Geschwindigkeit Überdruck 21 Rotierender Ball in Medium Der Ball rotiert wenn er ins Wasser fällt Der Bernouillieffekt wirkt auch in einem Medium wie Wasser Magnus Effekt Gustav Magnus (1802 - 1870) Kraftwirkung in Richtung der höheren Strömungsgeschwindigkeit, d.h. des niedrigeren Druckes Ba 22 Bananenflanke "Manni Bananenflanke, ich Kopf - Tor" (Horst Hrubesch) Erfinder der Bananenflanke Manni Kaltz Kraftbeitrag durch den Magnuseffekt 2 FMagnus = πρ Luft vWind rBall ω Ball Kraftwirkung entspricht etwa dem Gewicht von ein paar Tafel Schokolade optimal Bedingungen bei Flanken über etwa 40 Meter Seitliche Kraft FMagnus dem Ball verliehener Drall Flugbahn Pitcher beim Wurf eines Baseballs Ba 23 Tennisphysik Drive Back-Spin Top-Spin 24 Flettnerboote Effizienz etwa zehnmal so hoch wie ein vergleichbare starre Flügel bzw. Segel Motor notwendig Drehgeschwindigkeit des Zylinders etwa drei bis viermal höher als Windgeschwindigkeit mögliche resultierende Kraftwirkung Windrichtung Kreuzen gegen den Wind, allerdings nur unter einem geringen Winkel zur Windrichtung 25 Flettnerboote Boot kann unter einem geringen Winkel gegen den Wind kreuzen Schiffsantrieb Flugzeug 26 The Physics of Baseball Mechanics all in one Kinematik Newtonsche Dynamik Impuls Rotation und Drehmoment Hydrodynamik Schwingungen (Thema im SS) 27 Das war es für dieses Semester aber erst im Sommersemester! 28
