Voraussetzungen Plasma-Vorlesung

Voraussetzungen Plasma-Vorlesung
MNT-Kurs
WS 2015/16
Gerhard Franz
ISBN 978-3-943872-00-2
22. Februar 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Vakuum
1.1 Saugleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Kinetische Gastheorie
2.1 Systemdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Temperatur und Nullter Hauptsatz . . . . . .
2.2.1 Absolute Temperatur . . . . . . . . . .
2.3 Druck eines Gases . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Zustandsgleichung (qualitativ) . . . . . . . . .
2.5 Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Partialdruckgesetz von Dalton . . . . .
2.5.2 Boltzmann-Formel . . . . . . . . . . .
2.5.3 Maxwell-Verteilung . . . . . . . . . . .
2.5.3.1 Bestimmung der Konstanten.
2.6 Mittlere freie Weglänge . . . . . . . . . . . . .
3
3
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24
25
4 Potential und elektrisches Feld in einem homogenen Medium
4.1 Dipolpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Approximatives Dipolpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Das elektrische Feld eines Dipols . . . . . . . . . . . . . . . .
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29
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3 Elektrostatik
3.1 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Das Coulombsche Gesetz und das elektrische Feld . . .
3.2.1 Ladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Elektrisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Die elektrische Feldstärke als Flußdichte . . . . . . . .
3.5 Elektrische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Homogen geladene Kugel . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Unendlich langer Draht . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Homogen geladene Ebene (Blatt) . . . . . . . .
3.5.4 Feld zwischen zwei homogen geladenen Ebenen
3.5.5 Innerhalb eines elektrischen Leiters . . . . . . .
3.5.6 Innerhalb eines metallischen Hohlraums . . . . .
I
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Inhaltsverzeichnis
4.2
4.3
1
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41
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51
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55
55
7 HF-Kopplung: Quantitative Beschreibung
7.1 Reihenresonanzkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Parallelresonanzkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Gekoppelte Parallelschwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
59
59
4.4
Influenz und Bildkraft . . . . . . . . . . . . . .
Der Parallelplatten-Kondensator . . . . . . . . .
4.3.1 Speicherung von Ladung . . . . . . . . .
4.3.2 Energiedichte eines Plattenkondensators
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . .
5 Wechselwirkung mit Strahlung
5.1 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Erzwungene Schwingung ohne Dämpfung
5.2.2 Erzwungene Schwingung mit Dämpfung
5.3 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Elektronische Polarisation . . . . . . . .
5.3.2 Orientierungspolarisation . . . . . . . . .
5.4 Absorption und Emission . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Die dielektrische Funktion . . . . . . . .
6 Dispersion im Plasma
6.1 Wellengleichung im Vakuum . . .
6.2 1. Näherung ohne Stoßdämpfung
6.3 Ausbreitungsgeschwindigkeiten . .
6.4 Wellenlänge und Eindringtiefe . .
6.5 Reflexionsverhalten der Metalle .
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2
Inhaltsverzeichnis
In diesem Teil werden in den ersten fünf Kapiteln einige Voraussetzungen
für diese Vorlesung in extenso niedergelegt. Sie sind nicht Vorlesungsstoff.
1 Vakuum
Kein Niederdruckplasma ohne Vakuum. In diesem Kapitel werden die zum
Verständnis notwendigen Vakuumbegriffe wiederholt.
1.1 Saugleistung
Die Saugleistung wird bestimmt durch definierte Zuflüsse von Gasen in einen Reaktor
einer bestimmten Größe. Es stellt sich dann ein bestimmter Druck ein, der eben von
der Saugleistung abhängt. In Abb. 1.1. wird das gezeigt. 50 sccm Fluß von Argon bedeuten
einen Durchsatz von 0.63 l Torr/s, der resultierende Druck von 234 mTorr bedeutet eine
Saugleistung von 2.7 l/s (overall value 2.4 l/s). Bei Drücken unter 100 mTorr (15 Pa) wird
das Knudsen-Regime erreicht, und die Saugleistung beginnt, eine Druckfunktion zu werden.
1000
p [mTorr]
800
S = 2.4 l/sec
600
400
Abb. 1.1. Saugleistung von Argon
und Di-Parylen.
200
0
0
50
100
150
Ar flow [sccm]
200
250
Die in den besprochenen Reaktoren verwendeten Drücke überstreichen mehrere
Größenordnungen. Angestrebt wird immer ein ausgewogenes Verhältnis von Pumpleistung und Gasfluß, der in sccm gemessen wird, wobei unter 1 sccm 1 cm3 idealen
Gases bei Standardbedingungen (298 K und 1 bar) verstanden wird: 1 sccm entspricht
also 6, 0223 · 1023 Molekeln/22414 cm3 min = 2, 69 · 1019 Molekeln/cm3 min oder 1,69
lPa/sec oder 12, 7 · 10−3 lTorr/sec. Bei hohen Arbeitsgasdrücken werden die Gasflüsse
also höher gewählt als bei niedrigen Gasdrücken. Zur Dimensionierung muß folgende
Beziehung beachtet werden Tab. 1.1, Knudsen-Regime: 0, 5 ≥ K ≥ 0, 01):
τ = V /S ∧
3
p·V
,
Q
(1.1)
4
1 Vakuum
Tabelle 1.1. Druck der Entladung, mittlere freie Weglänge λ bei einem Durchmesser von
d = 50 cm, der Knudsen-Zahl K = λ/d, und Typ des Gasflusses.
Druck mittlere freie Weglänge
K
[Torr]
λ [cm]
10−3
5
0.1
−2
10
0.5
0.01
10−1
0.05
10−3
1
5 × 10−3
10−4
Gasfluß
Knudsen
Knudsen
viscous
viscous
mit τ der Einschlußzeit (Residence-Time) im Reaktor, V dem Kammervolumen [l],
S der Pumpleistung [l/s] und Q dem Gasfluß, wobei 1 Torr l/s = 79 sccm, und die
Einflüsse von Druck und Gaszusammensetzung auf die Pumpleistung vernachlässigt
werden.
Typische Werte der Einschlußzeit betragen zwischen 0,5 und 50 sec unter der
Voraussetzung, daß die Reaktanden nicht verbraucht werden. Der Gasfluß soll laminar (viskos) sein,1 was dann der Fall ist, wenn die Reynolds-Zahl etwa kleiner als
Tausend ist, sie ist gegeben durch
R∝
Q
η·d
(1.2)
mit η der Viskosität und d dem Durchmesser des durchströmten Rohres. Erschwerend
zur Abschätzung von τ kommt hinzu, daß der Gastransport noch durch Diffusion
beeinflußt wird.
1
Wir unterscheiden zwischen den Bereichen der viskosen Strömung (bis etwa p · d > 1 Pa cm),
dem sich der Übergangsbereich der Knudsen-Strömung bis etwa 10−2 Pa cm anschließt; darunter
liegt der molekulare Strömungsbereich.
2 Kinetische Gastheorie
2.1 Systemdefinitionen
Ein abgeschlossenes System, dem keinerlei Wechselwirkung mit der Umgebung möglich
ist, befindet sich dann in thermischem Gleichgewicht, wenn Temperatur und Druck
überall gleich sind. Ein offenes System dagegen tauscht sich mit seiner Umgebung so
lange aus, bis Druck und Temperatur sich angeglichen haben. Das kann ohne Stoffoder Teilchentransport verlaufen, man spricht dann von einem geschlossenen System,
aber auch mit Materietransport. Um etwa Druckunterschiede auszugleichen, fließen
Molekeln von einem Hochdruck- in ein Tiefdruckgebiet, fließen aus einem heiße“
”
Gebiet Molekeln in ein kaltes“ Gebiet (Abb. 2.1). Die dabei ablaufenden Vorgänge
”
heißen kinetische Prozesse. Da das System dabei von einem Zustand des Ungleichgewichts in einen Zustand des Gleichgewichts übergeht, sind diese Vorgänge irreversibel.
Eiswasser,
T = 0 °C
siedendes Wasser,
T = 100 °C
Abb. 2.1. Wärme fließt von
heißen Zonen nach kalten Zonen.
Wir werden uns zunächst entweder mit abgeschlossenen oder geschlossenen Systemen beschäftigen.
2.2 Temperatur und Nullter Hauptsatz
In flüssigem und gasförmigem Aggregatzustand befinden sich die Molekeln in ständiger, chaotischer Bewegung, der sog. Wärmebewegung. Diese Bewegung ist nicht auf
atomare Dimensionen beschränkt (Brownsche Molekularbewegung).
Werden zwei Körper in Berührung gebracht (sog. thermischer Kontakt), so findet
zwischen ihnen auf Grund der Zusammenstöße zwischen den Molekeln ein Energieaustausch statt. Dafür ist charakteristisch, daß die Energie vom wärmeren zum kälteren
Körper übertragen wird, und zwar so lange, bis der Zustand thermischen Gleichgewichts erreicht ist. Dieser ist dann erreicht, wenn keine Temperaturunterschiede im
System mehr festzustellen sind. Dazu macht man folgendes Gedankenexperiment:
5
6
2 Kinetische Gastheorie
Zwei sich nicht berührende abgeschlossene Systeme seien jeweils in thermischem
Kontakt mit einem dritten, abgeschlossenen System (Wärmebad). Dann gilt wechselseitig: Wenn sich die Temperaturen ausgeglichen haben, befinden sich alle drei
Systeme im thermischen Gleichgewicht. Dieser Zusammenhang wird als 0. Hauptsatz
der Thermodynamik bezeichnet.
Wir überlegten beim Wärmetransport durch Wärmeleitung, daß die Energie
durch Stöße zwischen Molekeln übertragen wird (Physik I). Dieses atomare Bild wollen wir zur Charakterisierung dieses Prozesses den Energieübertragung mit dem Begriff der Temperatur verbinden. Dazu könnte prinzipiell jede Eigenschaft eines Körpers
benutzt werden, die vom Grad seiner Erwärmung abhängt, z. B. die Ausdehnung einer
Quecksilbersäule, die im thermischen Gleichgewicht mit dem inkriminierten Körper
steht. Sie hat sich im täglichen Leben als sehr zweckmäßig erwiesen; es ist aber offensichtlich, daß sie für die Beschreibung beliebiger anderer Eigenschaften ungeeignet
ist, weil sie von den zufälligen Eigenschaften bestimmter Stoffe abhängt.
2.2.1 Absolute Temperatur
Es muß folglich eine physikalische Größe gefunden werden, die auch für andere Körper,
die mit dem betrachteten Gegenstand in thermischem Gleichgewicht stehen, denselben
Wert hat. Diese Größe ist die mittlere kinetische Energie der Translation von Gasmolekeln. Sind die Mittelwerte für die Molekeln zweier Gase gleich, so wird insgesamt
keine Energie übertragen (obwohl einzelne Molekeln durchaus Energie austauschen),
und man definiert 2/3 dieser Größe als Temperatur:
2 mi < vi2 >
2
Ekin,i =
,
(2.1)
3
3
2
wobei der Index das ite Teilchen bezeichnet. Die Klammern bedeuten den Mittelwert:
entweder den Scharmittelwert verschiedener Molekeln zum gleichen Zeitpunkt oder
den Zeitmittelwert einer Molekel zu verschiedenen Zeiten, was sich meist als äquivalent
erweist (sog. Ergodenhypothese).
Auf Grund dieser Definition besitzt die Temperatur die Dimension einer Energie
und kann daher in entsprechenden Einheiten, z. B. Joule oder eV, angegeben werden.
Dagegen spricht zweierlei:
T =
• Die Wärmebewegung macht nur einen winzigen Bruchteil eines Joule aus;
• die Messung von Energien einzelner Teilchen ist außerordentlich kompliziert.
Daher verwendet man das Grad als Einheit (Fahrenheit → Celsius → Kelvin); dabei wird in Formeln für die Celsius-Temperatur ϑ und für die KelvinTemperatur T geschrieben; die Einheit ist in beiden Fällen einfach K“ [oft sieht man
”
noch ◦ )], und der Umrechnungsfaktor zwischen Joule und Grad heißt BoltzmannKonstante kB :
kB = 1, 38 · 10−23 J/K,
(2.2)
2.3 Druck eines Gases
7
bei der die Potenz deswegen so interessant ist, weil 1 Mol aus 6, 02 · 1023 Molekeln
besteht (Avogadro-Konstante). Das Produkt aus beiden ergibt
kB NA ≡ R = 8, 314 J/Mol K,
(2.3)
die uns bereits als Gaskonstante bekannt ist. Der Umrechnungsfaktor zwischen 1 eV
und Grad ist 1 eV = 11 600 K. Bei Zimmertemperatur (80 Grad Fahrenheit oder 25 ◦ C
oder 300 K) hat also jede Molekel eine mittlere kinetische Energie von 0, 025 = 1/40
eV (oder 6, 17 · 10−21 J) oder ein Mol eine solche von 2,4 kJ. Damit wird aus unserer
Gl. (2.1):
2
2 mi < vi2 >
Ekin,i =
.
(2.4)
3
3
2
Wir sehen, daß wegen des immer positiven Quadrats der Geschwindigkeit die Temperatur immer positiv sein muß. Dies ist aber kein Naturgesetz. Vielmehr gibt es Fälle,
bei denen das System in einem Zustand negativer Temperatur sich befindet (z. B.
Besetzungsinversion beim Laser).
Damit können wir die Gl. (2.4) zur Geschwindigkeit auflösen:
r
√
3 kB T
.
(2.5)
vtherm. = < v 2 > =
m
m ist die Masse einer Molekel oder eines an der Brownschen Bewegung teilnehmenden Teilchens. Bei jenen wird der Bruch mit NA erweitert, so daß das Produkt
mNA gleich dem Molekulargewicht µ (in relativen Einheiten) ist:
s
s
√
3
RT
T
vtherm. = < v 2 > =
= 158
m/sec.
(2.6)
µ
µ
kB T =
Beispiel 2.1 < v 2 > von N2 bei 25 ◦ C: Einsetzen in Gl. (2.6) ergibt mit einem Wert von 28
g einen Wert von 515 m/sec (= 1 854 km/h), während die thermische Geschwindigkeit von
Wasserstoffmolekülen bei Raumtemperatur 1, 9 · 103 m/sec, also etwa 2 km/sec beträgt.
Da in Gln. (2.5/2.6) die Masse im Nenner steht, ist klar, daß die Wärmebewegung
für Molekeln sehr bedeutend, für Mikroteilchen, die an der Brownschen Molekularbewegung teilnehmen, noch endlich und für größere Teilchen völlig unbedeutend ist.
2.3 Druck eines Gases
Ein Gas übt auf Grund der Wärmebewegung seiner Molekeln einen Druck auf die
Gefäßwände aus, wobei ein Impulsaustausch stattfindet. Dieser Druck wirkt isotrop
und ist auf alle Gefäßwände gleich stark (Abb. 2.2).
Die Einheit des Drucks im MKS-System ist 1 Pa:
1 Pa = 1
N
,
m2
(2.7.1)
8
2 Kinetische Gastheorie
vz
z
y
vy
vx
A
x
Abb. 2.2. Die Molekeln fliegen chaotisch durch den Raum
und stoßen mit den Wänden
zusammen (elastischer Stoßmit Impulstransfer). Daher ist
der in jede Richtung ausgeübte
Druck (p = F/A) in jedem
irdischen Behälter gleich groß
(Absehen von Gravitationseffekten).
also hat der Druck die Dimension Kraft/Fläche oder Energie/Volumen. 1 Pa ist eine
sehr kleine Größe. Daher sind im Gebrauch:
1 bar = 105 Pa,
(2.7.2)
1 at = 0, 981 bar,
(2.7.3)
1 atm = 1, 013 bar = 1, 033 at,
(2.7.4)
1 Torr = 1, 333 mbar.
(2.7.5)
2.4 Zustandsgleichung (qualitativ)
Als makroskopische Eigenschaften eines Körpers bezeichnet man diejenigen, die ihn
als Ganzes charakterisieren, ohne daß seine molekulare Struktur betrachtet werden
(die natürlich seine Eigenschaften bestimmen). Dazu zählen Druck, Volumen und
Temperatur, die nicht voneinander unabhängig sind, sondern nur zwei wählbar sind,
während sich die dritte Größe als eindeutige Funktion der beiden anderen ergibt.
Dieser funktionale Zusammenhang heißt Zustandsgleichung.
Die Zustandsgleichung kann nur für einfachste Systeme ermittelt werden. Zusätzlich wird die Situation durch die gleichzeitige Anwesenheit mehrerer verschiedener
Substanzen erschwert. Da wir nach der Abhängigkeit zwischen drei Größen fragen,
muß man dreidimensionale Koordinatensysteme konstruieren, auf denen die Zustandsgleichung flächig aufgetragen wird. Gewöhnlich stellt man daher Schnitte durch die
Fläche dar, bei denen eine Größe konstant gehalten wird.
• p konstant: Isobaren;
• T konstant: Isothermen;
2.5 Ideales Gas
9
• V konstant: Isochoren.
Der Zustand thermischen Gleichgewichts erfordert Gleichheit der Temperatur und
des Drucks in allen Teilbereichen des Systems. Anderenfalls würden Ausgleichsprozesse ausgelöst.
2.5 Ideales Gas
Ein Gas, bei dem von der Wechselwirkung zwischen den Molekeln abgesehen werden kann, bezeichnet man als ideales Gas. Die Gesamtenergie des Gases, also seiner
Bestandteile: seiner Molekeln, besteht nur aus kinetischer Energie. Daher gelten die
Gleichungen der Mechanik dafür exakt. Wegen der Vielzahl der Molekeln betrachtet
man aber nur die statistische Gesamtheit.
Ein Gas sei in einen Kubus der Länge l eingeschlossen. Wie hoch ist der Druck
auf die sechs Wände? Dazu bestimmen wir den Impulsaustausch mit einer Wand:
∆p = mvx − (−mvx ) = 2mvx
(2.8)
mit m der Molekelmasse. Da es den Weg zur Gegenwand in der Zeit
T =
l
vx
(2.9)
zurücklegt, benötigt es die Zeit 2 T bis zum nächsten Stoßereignis an dieser Wand.
Innerhalb einer Sekunde geschieht dieses also mit der Frequenz
vx
,
2l
wobei nach Gl. (2.8) pro Sekunde der Impuls
ν=
(2.10)
vx
mvx2
=
(2.11)
2l
l
übertragen wird. Damit ist die an der Wand angreifende Gesamtkraft Fx , die von
allen N Molekeln ausgeübt wird,
p = 2mvx ν = 2mvx
N
1X
Fx =
mvx2 .
l i=1
(2.12)
Bei N Molekeln kann dies Summe als Produkt von N mit dem Mittelwert m < vx2 >
geschrieben werden. Da alle drei Richtungen völlig gleichberechtigt sind, gilt weiter
m < vx2 >= m < vy2 >= m < vz2 >,
(2.13.1)
vx2 + vy2 + vz2 = v 2
(2.13.2)
und wegen
10
2 Kinetische Gastheorie
1
m < vx2 >= m < v 2 >,
3
(2.13.3)
somit für die Gesamtkraft
1N
m < v2 > .
(2.14)
l 3
Jetzt ist das Volumen des Kubus V = l3 und seine Seitenfläche A = l2 , so daß
Fx =
Fx = pl2 =
pl3
pV
=
,
l
l
(2.15)
womit wir
2 m < v2 >
2
1
= N Ekin
(2.16)
pV = N m < v 2 >= N
3
3
2
3
erhalten. Man sieht daraus sehr schön, daß der Druck tatsächlich eine Energiedichte
ist. Mit unserer Temperaturdefinition in Gl. (2.4) (für eine Molekel) kombiniert, ergibt
sich auf andere Weise die Zustandsgleichung des idealen Gases (N = NA für 1 Mol
und R = kB NA )
kB T =
2
2
Ekin,i ∧ pV = N Ekin,i ⇒ 1 Mol, N = NA : pV = RT.
3
3
(2.17)
Diese Gleichung gilt für alle idealen Gase. Gerade durch die Definition als ideales
”
Gas“ verliert jedes Gas auch den letzten Rest seiner Identität.1 Jedes Gas besteht
jedoch aus atomaren oder molekularen Individuen und verhält sich daher — vor
allem bei Annäherung an den Siedepunkt — immer weniger als ideales Gas.
Aus Gl. (2.17) ergibt sich ferner für das Molvolumen (n = 1 ∧ N = NA ) bei STP:
VM = 22, 4 l :
(2.18)
Axiom 2.1 Gleiche Volumina verschiedener Gase enthalten bei gleichen Drücken
und gleichen Temperaturen dieselbe Anzahl von Molekeln (Regel von Avogadro).
2.5.1 Partialdruckgesetz von Dalton
In der Gl. (2.17) steht ein i,
2
Ekin,i ,
(2.19)
3
das die individuelle Molekel charakterisiert. Die anderen können gleich- oder auch
verschiedenartig sein, so daß das N auch eine Summe aus verschiedenen Molekelsorten
sein kann:
kB T =
1
Wir müssen beachten, daß R die Dimension Joule/Mol K hat; das n in Gl. (2.17) hat die
Eigenschaft einer Stoffmenge; die Einheit ist Mol; für n = 1 ist N = NA .
2.5 Ideales Gas
11
N=
X
Ni ,
(2.20)
i
wobei Ni die Anzahl der Molekeln der i-ten Gassorte bezeichnet. Damit ergibt sich
pV = N1 kB T + N2 kB T + . . . ,
(2.21)
wobei
Ni
kB T
(2.22)
V
wenn nach Voraussetzung jede Gassorte das ganze Volumen einnimmt. Damit setzt
sich der Gesamtdruck aus den Einzel- oder Partialdrücken zusammen:
X
p=
pi :
(2.23)
pi =
i
und wir erhalten das Daltonsches Partialdruckgesetz auf eine andere Weise.
2.5.2 Boltzmann-Formel
Die an den Molekeln eines idealen Gases in einem Kraftfeld (Schwerefeld) angreifenden
Kräfte sind nicht überall gleich, sondern von Ort zu Ort verschieden. Einfachster
Fall: eindimensionales Feld in z-Richtung (z. B. radial gerichtet). Wie groß ist der
Druckunterschied ∆p auf die Flächen eines Einheitskubus in Feldrichtung, wenn die
Gasdichte n ist und die Fläche A, auf die die Kraft F wirkt?
dU
= −ndU.
dz
Da wir ein ideales Gas angenommen haben, für das
dp = nF dz ∧ dp = −dz n
pV = N kB T ∨ p = nkB T,
(2.24)
(2.25)
dann gilt bei Temperaturgleichheit in diesem Gas
dp = kB T dn,
(2.26)
was mit Gl. (2.24)
dn
1
= d(ln n) = −
dU,
n
kB T
(2.27.1)
woraus
ln n = −
oder der Boltzmannschen Formel
U
+ const
kB T
(2.27.2)
12
2 Kinetische Gastheorie
n = n0 e−U/kB T
(2.28)
folgt, mit n0 der Konstanten bei U = 0. Wir haben damit eine Vorschrift gewonnen,
die Aussagen über die relative Verteilung der Molekeln, reduziert auf die Energie
U = 0, ermöglicht. — Da sich der Druck von der Dichte im vorliegenden Fall durch
den konstanten Faktor kB T unterscheidet, gilt diese Formel auch für den Druck:
p = p0 e−U/kB T
(2.29)
Für ein Schwerefeld gilt U = mgz mit m der Molekelmasse, und bei der (irrealen)
Voraussetzung T 6= T (z) erhalten wir die Barometerformel
p = p0 emgz/kB T .
(2.30)
2.5.3 Maxwell-Verteilung
Für den Fall eines idealen Gases A ist die Energie einer einzelnen Molekel ausschließlich kinetische Energie, also
1
E = mA v 2 .
(2.31)
2
Da die Geschwindigkeiten v der einzelnen Molekeln verschieden voneinander sind,
stellt sich die Frage, wie häufig die unterschiedlichen Geschwindigkeiten sind, also die
Frage nach der Geschwindigkeitsverteilung f (v). Es liegt nahe, dafür den Boltzmannschen Ansatz zu verwenden. Nach Gl. (2.28) schreiben wir anstelle U für die
Innere Energie Ekin und erhalten
n
= f (E) = const e−Ekin /kB T .
(2.32)
n0
Da nach Gl. (2.31) die kinetische Energie proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit der Molekeln ist, gilt folglich
mA v 2
.
(2.33)
f (v) = const exp −
2kB T
Berücksichtigen wir noch, daß für die drei Raumrichtungen die Gleichung für die
Kugel gilt, da nach Voraussetzung keine Richtung ausgezeichnet sein soll: 2
v 2 = vx2 + vy2 + vz2 ,
(2.34)
dann ist die Zahl dN der Molekeln, deren Geschwindigkeitskomponenten in den Intervallen zwischen vx und vx + dvx , vy und vy + dvy sowie vz und vz + dvz liegt,
mA v 2
dN = const f (v)dvx dvy dvz = const exp −
dvx dvy dvz .
2kB T
2
(2.35)
Auf die drei Raumrichtungen müssen die Geschwindigkeiten deswegen gleichmäßig verteilt sein,
weil es sonst eine Vorzugsrichtung gäbe, in die sich die Molekeln bewegen würden.
2.5 Ideales Gas
13
2.5.3.1 Bestimmung der Konstanten. Die Maxwell-Verteilung kann in einer
Form geschrieben werden, die die Verteilung der Molekeln auf die Beträge der Geschwindigkeiten anzeigt. Dazu muß die Bestimmung der Gesamtzahl der Molekeln
vorgenommen werden, für die bei unterschiedlichen Geschwindigkeitskomponenten
vx , vy und vz die Summe vx2 + vy2 + vz2 gleich ist. Die Möglichkeit, aus verschiedenenen
Zahlen nun die gleiche Summe zu bilden, nimmt mit der Größe der Zahl dramatisch zu: die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten steigt steil an. Dieses statistische
Gewicht wird in Abb. 2.3 veranschaulicht; es ist dies offenbar die Summe der (infinitesimal kleinen) Volumenelemente einer Geschwindigkeits-Hohlkugel mit v dem
Radiusvektor, der Dicke v + dv und der Oberfläche 4πv 2 .
Abb. 2.3. Ein Volumenelement mit den Seitenlängen
dvx , dvy , dvz und dem Abstand v vom Mittelpunkt bildet ein (infinitesimal kleines)
Volumenelement einer Hohlkugel mit den Oberflächen
4π(v + dv)2 und 4πv 2 .
dv
v
Ersetzt man also in der Maxwell-Verteilung das Produkt dvx dvy dvz durch
4π v dv, ergibt sich die Zahl der Molekeln mit Geschwindigkeiten zwischen v und
v + dv:
2 2
mA v 2
dN = const exp −
2kB T
v 2 dv.
(2.36)
0,06
1,00
0,75
f(E)
Maxwell-Boltzmann
<T e> = 2,5 eV
0,50
f(E)
0,04
Maxwell-Boltzmann
<Te> = 10 eV
0,02
0,25
0,00
0,0
0,00
2,5
5,0
Te [eV]
7,5
10,0
0
10
20
30
Te [eV]
40
50
Abb. 2.4. Vergleich der Verteilungsfunktionen für Elektronen nach Maxwell-Boltzmann
für zwei verschiedene Elektronentemperaturen.
14
2 Kinetische Gastheorie
Die Konstante ergibt sich dann durch Normierung der Verteilungsfunktion auf
Eins. Die Verteilungsfunktion ist Null bei v = 0, erreicht bei einem bestimmten Wert
v = v0 ein Maximum und fällt bei weiter wachsender Geschwindigkeit wieder ab. Das
Maximum ergibt sich die Extremalbildung von Gl. (2.36) zu
r
2 kB T
vmax =
.
(2.37)
mA
Wie bei jeder unsymmetrischen Verteilung liegt der Mittelwert außerhalb des Maximums. Das ist in Abb. 2.4 für Elektronen in einem Plasma gezeigt, die sich nach MB
verhalten (sollen). Wie ersichtlich, ist der häufigste Wert sehr viel niedriger als der
Mittelwert des Geschwindigkeitsquadrates. Die mittlere Geschwindigkeit ist
r
8 kB T
< v >=
,
(2.38)
πmA
das mittlere Geschwindigkeitsquadrat ist
< v 2 >=
3 kB T
,
mA
(2.39)
so daß
Ekin
3
mA < vA2 >
= kB T
=
2
2
(2.40)
folgt.
Axiom 2.2 Bei gleicher Temperatur besitzen die Molekeln gleiche mittlere kinetische
Energie (Gleichverteilungssatz).
2.6 Mittlere freie Weglänge
In Gasen sind die Molekeln ziemlich weit voneinander entfernt und bewegen sich
als freie, praktisch nicht wechselwirkende Teilchen. Eine Wechselwirkung besteht nur
dann, wenn sie untereinander zusammenstoßen. Diese Eigenschaft unterscheidet Gas
und Flüssigkeit, deren Molekeln dauernd miteinander wechselwirken, so daß nicht von
einzelnen Zusammenstößen gesprochen werden kann.
Die Zusammenstöße erfolgen völlig chaotisch (streifend, zentral, frontal, rechtwinklig sind einige ausgezeichnete Positionen). Daher ist auch der Weg, den die Molekel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stößen zurücklegt, von Mal zu Mal unterschiedlich. Daher definiert man die mittlere freie Weglänge λ oder l. Wenn < v > die
mittlere thermische Geschwindigkeit ist, ist
<v >
,
(2.41)
νm
mit τ der Zeit zwischen zwei Stößen und νm der Stoßfrequenz. Alle Größen werden in
der Molekularkinetik häufig und parallel verwendet.
λ ∝< v > τ =
2.6 Mittlere freie Weglänge
15
Wann tritt ein Stoßereignis ein? Wenn sich zwei Molekeln mit zwei unterschiedlichen Geschwindigkeiten so nahe kommen, daß nach dem Stoß andere Geschwindigkeiten resultieren.
Was ist nahe? Sind Molekeln nicht Punktmassen? Molekeln besitzen ein Volumen;
sie werden als Kugeln angenähert. Die Zielfläche, die eine zweite Molekel treffen muß,
wird Wirkungsquerschnitt, Streuquerschnitt oder kurz Querschnitt genannt und mit
σ bezeichnet (Abb. 2.5).
Beispiel 2.2 Der größte Abstand, bei dem bei Molekeln mit dem Radius r0 eine Berührung
erfolgen kann, ist 2r0 . Die Zielfläche wird also durch einen Kreis begrenzt, dessen Radius
2r0 ist und dessen Mittelpunkt im Mittelpunkt der betrachteten Molekel liegt. Folglich ist
der Wirkungsquerschnitt selbst3
σ = 4πr02 .
(2.42)
Abb. 2.5. Eine Molekel stößt
auf einem Weg von 1 cm Länge
mit allen Molekeln zusammen,
die innerhalb seiner Grundfläche liegen. Wie daraus ersichtlich, ist das 1/4 des Streuquerschnitts.
1 cm
Beispiel 2.3 Wir betrachten eine Molekel mit der Querschnittsfläche σ, die einen Weg von
s = 1 cm zurücklegt. Dabei schneidet sie einen Zylinder der Fläche σ heraus (Abb. 2.4).
Wenn die Teilchenzahldichte n ist, dann befinden sich im Zylinder nσ Molekeln. Folglich
erleidet die Molekel auf ihrem Weg nσ Zusammenstöße. Damit ist die mittlere freie Weglänge
1
:
nσ
die mittlere freie Weglänge ist nur von der Gasdichte abhängig!4
λ∝
(2.43)
Beispiel 2.4 Luft bei 0 ◦ C und 105 Pa (1 atm): n ≈ 3 · 1019 /cm3 , σ ≈ 0, 5 · 10−16 cm2 ⇒
λ ≈ 0, 1 µm. < v >≈ 5 · 104 cm/sec (500 m/sec) ⇒ τ ≈ 0,2 nsec.
3
Tatsächlich sind die meisten Molekeln weder Kugeln, noch sind sie fest. Da jedoch die WW
mit der Entfernung stark abnimmt, erfolgt erst dann ein Zusammenstoß, wenn sie einander nahezu
streifen“.
” 4
σ ist ganz schwach temperaturabhängig und nimmt mit sinkender Temperatur geringfügig zu,
z. B. für Wasserstoff um 20 % von +100 nach −100 ◦ C.
16
2 Kinetische Gastheorie
3 Elektrostatik
3.1 Maxwell-Gleichungen
Ebenso wie die gesamte Mechanik aus den drei Newtonschen Axiomen folgt, entwickelt sich die Elektrodynamik aus den vier Maxwell-Gleichungen:
∇·E =
ρ
,
ε0
∂B
,
∂t
(1.2)
∂E
j
+ ,
∂t
ε0
(1.3)
∇×E =−
c2 ∇ × B =
(1.1)
∇ · B = 0.
(1.4)
Wir sehen, daß in den Gln. (1.2) und (1.3) die beiden Felder miteinander verkoppelt
sind. Für den statischen Fall: alle Ladungen sind im Raum fixiert oder bewegen sich
mit konstanter Geschwindigkeit, verschwinden die Zeitableitungen:
Elektrostatik:
Z Z Z
Z Z
Z
ρ
ρ
⇒
∇ · E dV =
E · dA =
dV,
(1.5)
∇·E =
ε0
ε0
∇ × E = 0.
(1.6)
Magnetostatik:
∇×B =
j
,
ε0 c2
(1.7)
∇ · B = 0.
(1.8)
107
4π
(1.9)
Dabei sind die Konstanten
ε0 c2 =
und
17
18
3 Elektrostatik
1
≈ 9 · 109 .
4πε0
(1.10)
Wie wir den Gln. (1.5) und (1.6) auf der einen und den Gln. (1.7) und (1.8)
auf der anderen Seite entnehmen, sind im statischen Fall Elektrik und Magnetismus
separate Erscheinungen. Im elektrischen Fall liegt ein wirbelfreies Feld mit endlicher
Ergiebigkeit, im magnetischen Fall ein divergenzfreies Wirbelfeld vor.
3.2 Das Coulombsche Gesetz und das elektrische Feld
Warum ist das Coulombsche Gesetz nicht in den Maxwell-Gleichungen enthalten?
Nur, damit sie schön symmetrisch bleiben?
Das Coulombsche Gesetz beschreibt die wechselwirkende Kraft zwischen Punktladungen:
1 q1 q2
r 12 .
(1.11)
4πε0 r3
Wegen der Superponierbarkeit gilt dieses Gesetz auch für die Wechselwirkung zwischen Ensembles of Punktladungen.
Dabei ist das elektrische Feld, das die Ladung q1 am Punkt (1) erzeugt und am
Punkt (2) gemessen wird,
F 1 = −F 2 =
E(1) =
1 q2
F1
=
r 12 .
q1
4πε0 r3
(1.12)
Der vektorielle Charakter bedeutet eine Zerlegung in die drei Raumkomponenten,
z. B. für x:
Ex (x1 , y1 , z1 ) =
die Superponierbarkeit
x1 − x2
q2
p
,
2
4πε0 [(x1 − x2 ) + (y1 − y2 )2 + (z2 − z1 )2 ]3
E(1) =
X 1 qj
r .
3 1j
4πε0 r1j
j
(1.13)
(1.14)
3.2.1 Ladungsdichte
Prinzipiell sind Ladungen diskret aufgebaut, d. h. sie bestehen aus Einheiten, die sich
durch bestimmte, ganzzahlige Intervalle unterscheiden. Aus größerer Distanz dagegen
verschwimmen diese Unterschiede zu einem Kontinuum, und wir drücken dies durch
die Einführung der Dichte der Ladungsträger oder der Ladungsdichte ρ(x, y, z) aus:
dq2 = ρ(2)dV2
(1.15)
3.3 Elektrisches Potential
19
Abb. 3.1. Das elektrische
Feld an der Stelle (1) rührt
von der Verteilung von Ladungen an der Stelle (2) her
und wird durch Volumen-Integration über die Verteilung
erhalten. Prinzipiell kann die
Stelle (1) sich auch innerhalb
der wolkigen Ladungsträgerverteilung befinden.
1
(x1 y1 z1)
r12
(x2 y2 z2)
dV2
2
r (x,y,z)
Ex (x1 , y1 , z1 ) =
Z
V
ρ(x , y , z )dx2 dy2 dz2 (x1 − x2 )
p 2 2 2
.
4πε0 [(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z2 − z1 )2 ]3
(1.16)
Damit können wir aus einer Verteilung von Ladungen ihr Feld an einer anderen
Stelle bestimmen (Abb. 1.1).
Umgekehrt ergibt sich aus der 1. Maxwell-Gleichung (1.1), daß ∇ · E, das
Quellenfeld der elektrischen Feldstärke, als Quelle die elektrischen Ladungen bzw.
deren räumliche Dichte hat, an denen die elektrischen Feldlinien beginnen und enden.
Gegenteiliges gilt für das Magnetfeld, daher ist wegen der Nichtexistenz magnetischer
Ladungen ∇ · B = 0.
3.3 Elektrisches Potential
Die Arbeit, die beim Verschieben einer bestimmten Ladung aus einer räumlichen
Verteilung von Ladungen gegen die elektrische Kraft aufzubringen ist, berechnet sich
nach
Z b
F · ds :
(1.17)
W =−
a
die Richtung der Bewegung ist entgegengesetzt zu den Kraftkomponenten, über den
Weg integriert, bzw. für die Arbeit der Einheitsladung Q:
Z b
W (Einheit) = −
E · ds
(1.18.1)
a
und für parallele Vektoren
W (Einheit) = −
Z
a
b
Ex · dx.
(1.18.2)
Das Ergebnis der Arbeit muß unabhängig vom zurückgelegten Weg sein, sonst könnte
man dem Feld bei einem Zyklus Energie entnehmen (Perpetuum mobile 1. Art, Abb.
1.2):
20
3 Elektrostatik
b
a’
Abb. 3.2. Senkrecht zu den
Feldlinien (von a nach a′ usw.)
wird keine Arbeit geleistet.
Daher ist die Arbeit nur aus
den einzelnen Beiträgen parallel zum Feld endlich und damit
unabhängig vom beschrittenen
Weg.
a
b
a’’’
a
−
Z
a
b
a’
a’’
q
E · ds = −
4πε0
Z
b
a′
dr
q
=−
2
r
4πε0
1
1
−
ra rb
= Φ(a) − Φ(b) :
(1.19)
Da (die auf die Einheitsladung bezogene) geleistete Arbeit nur von den Endpunkten abhängt, kann sie als Differenz zweier Zahlen, Φ(a) und Φ(b), angegeben werden.
Definieren wir einen Punkt als Referenz, z. B. in der Unendlichkeit, dann können wir
für eine im Ursprung sich befindende Ladung mit Gl. (1.19) schreiben
r
q
−
E · ds = −
4πε0
∞
Z
Z
r
∞
r
q
· dr = −
3
r
4πε0
Z
r
∞
dr
q
=−
2
r
4πε0
1
0−
r
≡ Φ(r), (1.20)
und wir bezeichnen Φ(r) als (elektrostatisches) Potential der Ladung q an der Stelle
r. Das Superpositionsprinzip gilt auch für Potentiale, so daß wir für ein Ensemble von
Ladungen auch
Φ(r1 ) =
bzw. für eine Ladungsdichte
X 1 qj
4πε0 r1j
j
(1.21.1)
Z
ρ(2)dV2
1
(1.21.2)
Φ(r1 ) =
4πε0
r12
schreiben können. Damit ist die an der Einheitsladung Q entlang der Strecke geleistete
Arbeit
dW = Φ(x + dx, y, z) − Φ(x, y, z) =
woraus durch Vergleich mit Gl. (1.18.2)
∂Φ
dx,
∂x
(1.22)
3.4 Die elektrische Feldstärke als Flußdichte
Ex = −
∂Φ
, zyklisch
∂x
21
(1.23.1)
folgt, oder vektoriell
E = −∇Φ,
(1.23.2)
die das skalare Potentialfeld mit dem vektoriellen elektrischen Feld verknüpft. Konkret
bedeutet das die Gradientenbildung des Feldes 1/r:
q
1
E=−
∇
.
(1.24)
4πε0
r
Wenn E der Gradient eines skalaren Feldes ist, dann muß das elektrische Feld frei
von Wirbeln sein:
∇ × E = 0.
(1.4)
3.4 Die elektrische Feldstärke als Flußdichte
Der Zusammenhang zwischen einem Entfernungsquadratgesetz für die Strahlungsdichte (optisch oder akustisch) und dem Coulombschen Gesetz war so augenfällig,
daß versucht wurde, auch die von einer positiven Ladung ausgehenden und von einer
negativen Ladung aufgenommenen Feldlinien als Fluß zu deuten, obwohl kein Materiefluß beobachtet wird. Wenn E so ein Fluß oder die Dichte eines Flusses wäre,
müßte er in der Nähe einer Punktladung eine 1/r2 -Abhängigkeit zeigen. Die Ergiebigkeit dieses Flusses ist ursächlich verknüpft mit der Anwesenheit von Ladungen;
ein Gebiet, das keine Ladungen enthält und nur von Feldlinien durchströmt“ wird,
”
hat die Divergenz Null.
Wenn die Ladung innerhalb des Volumens sich befindet, und warum soll das
Volumen keine Kugel sein?, ist der Wert von E überall auf der Oberfläche
E=
1 q
,
4πε0 r2
(1.25.1)
und seine Richtung ist senkrecht zur Oberfläche der Kugel (Äquipotentialfläche). Der
Fluß selbst ist dann das Produkt aus Flußdichte und Oberfläche:
Z
1 q
q
· 4πr2 =
(1.25.2)
F = En dA =
2
4πε0 r
ε0
und damit — wie die Strahlungsfluß— unabhängig von der Oberfläche. Der Fluß
durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung, dividiert
durch ε0 . Aus Kap. 1 wissen wir, daß
Z
Z
Z
ρ
E dA =
dV =
∇ · E dV,
(1.26)
A
V ε0
V
22
3 Elektrostatik
und damit ergibt sich die 2. Maxwellsche Gleichung
∇·E =
ρ
.
ε0
(1.5)
3.5 Elektrische Felder
3.5.1 Homogen geladene Kugel
Wenn die Kugel nur an der Oberfläche geladen wäre, wäre das elektrische Feld innerhalb der Kugel Null. Betrachten wir eine Oberfläche des Radius r innerhalb der
Kugel, dann ist nach Gl. (1.24)
Z
En dA = 4πr2 E =
q
,
ε0
(1.27)
wobei die Ladung q gleich dem Produkt der Ladungsdichte mit dem eingeschlossenen
Volumen ist:
q=
4π 3
r ρ.
3
(1.28)
F, E [a.u.]
E [a.u.]
a
q/(4 p e0a2) = ra/(3e0)
Potential
-ra2/6e0 = -q/4p e0a
Feldstärke
ra/3e0 = q/4p e0a2
a
r [a.u.]
r [a.u.]
Abb. 3.3. Das Feld einer Kugel mit homogener Ladungsverteilung ist innerhalb der Kugel
dem Radius direkt und außerhalb dem Quadrat des Abstands vom Mittelpunkt umgekehrt
proportional. Das bedeutet für das Potential einen parabolischen Abfall bis zur Kugeloberfläche; danach einen Anstieg, der umgekehrt proportional zum Abstand ist.
Damit ergibt sich das Feld innerhalb der Kugel zu (Abb. 1.3)
E=
1
ρ r.
3ε0
(1.29)
3.5 Elektrische Felder
23
3.5.2 Unendlich langer Draht
In einem unendlich langen Draht sei die Ladungsdichte gleich. Das elektrische Feld
zeigt radial nach außen. Wäre dies nicht so, gäbe es also axiale Komponenten in
Richtung eines Endes, müßte es durch entsprechendes Gegenfeld kompensiert werden,
woraus wieder ein ausschließlich radiales Feld resultierte (Abb. 1.4).
2R
r
f, E [a. u.]
E = const/r
const = m/2pe0
F = -const ln r/R
r [a. u.]
Abb. 3.4. Eine zylindrische Gausssche Oberfläche, die einen Draht mit homogener Ladungsverteilung nach außen abschließt. Das Feld fällt radial und hyperbolisch ab.
Wir betrachten also den Fluß durch die Manteloberfläche des Zylinders (die Endflächen durchströmt kein Fluß) mit dem Radius r und der Länge l:
Z
q
F =
En dA = 2πrlE = ,
(1.30)
ε0
A
wobei die Ladungen über den Draht homogen verteilt sind, so daß man (analog zu unseren Definitionen der Flächen- und Raumladungsdichte σ und ρ) eine Längendichte
definieren kann als
q = µl.
(1.31)
Damit wird für das Feld aus Gln. (1.30) und (1.31)
E=
µ
1
· :
2πε0 r
(1.32)
Das Feld ist proportional zur Ladungsdichte und sinkt hyperbolisch (mit 1/r) ab.
Damit wird für das Potential mit der Definitionsgleichung
Z
r
µ
(1.33)
ln + const;
Φ = − E · ds = −
2πε0 R
24
3 Elektrostatik
es hängt also logarithmisch vom Abstand zum Draht ab. Die Konstante U0 kann
allerdings nicht mit der Randbedingung des Potentials im Unendlichen bestimmt
werden, da die Schlußgleichung für r → ∞ gegen Unendlich strebt, was mit unserer
Anfangsannahme eines unendlich langen Drahts zusammenhängt.
3.5.3 Homogen geladene Ebene (Blatt)
Das Feld muß auf beiden Seiten der Ebene aus Symmetriegründen senkrecht stehen,
bei gleichen Abständen von ihr den gleichen Betrag haben und
entgegengesetzt gerichtet sein. Die Ladungsdichte ist σ, damit ist
F =
Z
En dA = EA + EA =
A
σA
σ
⇒E=
:
ε0
2ε0
(1.34)
Beim Durchtritt durch das Blatt erfolgt ein Feldsprung um εσ0 von − 2εσ0 nach + 2εσ0 .
Damit hängt das Feld einer unendlich ausgedehnten geladenen Ebene nicht vom Abstand von der Ebene ab; es ist homogen. Ihr Potential ist daher eine lineare Funktion
des Abstandes x.
3.5.4 Feld zwischen zwei homogen geladenen Ebenen
Sind auf zwei parallel zueinander stehenden Platten die jeweils gleiche Menge Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens verteilt, ist das Gesamtfeld die Superposition der
einzelnen Felder:
E=
2
X
Ei =
i=1
σ
.
ε0
(1.35)
3.5.5 Innerhalb eines elektrischen Leiters
Ein elektrischer Leiter, also z. B. ein Stück Draht, enthält viele freie“ Elektronen.
”
Das bedeutet: sie können sich nahezu frei im Festkörper bewegen, wenn etwa ein
elektrisches Feld angelegt wird, aber sie können ihn nicht verlassen. Die Bewegung, die
durch ein elektrisches Feld ausgelöst wird, dauert entweder so lange, bis die Ursache
abgeschaltet worden ist, oder bis sie sich so angeordnet haben, daß sie kein Feld mehr
bewegt. Das ist im Innern eines jeden Leiters der Fall. Dort ist das Feld Null. Das
bedeutet, daß der Gradient des Potentials Φ Null ist, sich also nicht ändert:
Auf der Oberfläche, einer Äquipotentialfläche, steht das elektrische Feld immer
senkrecht; es gibt keine Tangentialkomponente.
3.5 Elektrische Felder
25
3.5.6 Innerhalb eines metallischen Hohlraums
Wir betrachten eine beliebig geformte, geschlossene metallische Hohlfläche. Auf dieser
Oberfläche kann sich keine Nettoladung befinden. Aber können sich dort einzelne
positive und negative Ladungen ohne Ladungsausgleich aufhalten?
Sollte das der
R Fall sein, dann kann man eine Feldlinie von ⊕ zu ⊖ ziehen, deren
Linienintegral Eds verschieden von Null ist. Für eine geschlossene Schleife (für das
das Linienintegral in der Elektrostatik immer Null ist), geht sie durch das Metall, für
das E = 0. Daher können in einem metallischen Hohlraum keine Felder existieren,
was die perfekte Abschirmwirkung eines Faraday-Käfigs erklärt. Kein noch so großes
Feld auf einer Seite eines Abschirmblechs kommt auf der anderen Seite an“.
”
26
3 Elektrostatik
4 Potential und elektrisches Feld in einem
homogenen Medium
4.1 Dipolpotential
Unter Verwendung der Gln. (1.21) wird für zwei Ladungen +Q und −Q, die um d
voneinander getrennt sind, das Potential an der Stelle (x, y, z) (Abb. 2.1):
#
"
−Q
1
+Q
p
+p
.
Φ(x, y, z) =
4πε0
[(z − (1/2 d)]2 + x2 + y 2
[(z + (1/2 d)]2 + x2 + y 2
(2.1)
Dieser Fall eines Ladungsensembles ist wichtig für das Potential zweier gegensätzlicher Ladungen, die um einen Abstand getrennt sind, der klein ist gegen die Entfernung, an der das Potential bestimmt wird. Man spricht von einem Dipol, z. B. Wasser
oder Ammoniak, aber auch der Hertzsche Dipol, der zur Abstrahlung von Rundfunkwellen benutzt wird.
z
P(x,y,z)
q
d
y
x
Abb. 4.1. Das elektrische
Feld an der Stelle P (x, y, z)
eines weit entfernten Dipols
µ, der aus zwei Ladungen
+e0 und −e0 im Abstand d
besteht.
4.1.1 Approximatives Dipolpotential
Für den Fall, daß die beiden Ladungen immer näher aneinanderrücken, so daß d −→ 0,
löschen die Ladungen sich aus, und das Potential verschwindet. Für sehr kleine
Abstände allerdings kann man Gl. (2.1) entwickeln, wobei wir zunächst von einer
27
28
4 Potential und elektrisches Feld in einem homogenen Medium
Binomial-Entwicklung Gebrauch machen und Glieder höherer Ordnung in h vernachlässigen:
2
d
z−
≈ z 2 − zd.
2
(2.2)
r 2 = x2 + y 2 + z 2
(2.3)
Wegen der Kugelgleichung
wird
d
z−
2
2
2
2
2
+ x + y ≈ r − zd = r
2
zd
1− 2
r
,
(2.4)
und damit wird für die Formel
1
1
1
1
p
p
≈
,
≈
r 1 − (zd/r2 )
r2 [1 − (zd/r2 )]
[(z − (1/2 d)]2 + x2 + y 2
√
die nach erneuter Entwicklung von 1/ 1 + x ≈ 1 − 1/2 x
1
1 zd
1+
r
2 r2
p
ergibt. Entsprechend für die andere Hälfte der Gl. (2.1)
1
1 zd
1
≈−
1−
−p
r
2 r2
[(z + (1/2 d)]2 + x2 + y 2
(2.5.1)
(2.5.2)
(2.5.3)
ergibt. Damit ergibt sich als Summe für das skalare Potential eines Dipols
Φ(x, y, z) =
1 z
Qd :
4πε0 r3
(2.6)
das Potential eines Dipols ist proportional dem Produkt aus Ladung und Abstand,
dem Dipolmoment µ. Beachten wir noch, daß
z = r cos θ,
(2.7)
wobei θ der Winkel zwischen der Dipolachse und dem Radiusvektor zum Punkt
(x, y, z) ist, können wir Gl. (2.6) schreiben als
Φ(x, y, z) =
1 µ cos θ
:
4πε0 r2
(2.8)
Das Potential eines Dipols fällt mit 1/r2 von der Dipolachse ab, das elektrische Feld
folglich mit 1/r3 . Gl. (2.7) eröffnet uns noch den Weg einer besonders eleganten,
vektoriellen Schreibweise für das Potential des Dipols, ist doch
4.1 Dipolpotential
q-
29
P
Abb. 4.2. Der Dipol in vektorieller Schreibweise.
m q
er
q
+
cos θ = µ · er
(2.9)
mit er dem Einheitsvektor des Radiusvektors, wenn der Punkt (x, y, z) durch r charakterisiert wird. Damit erhalten wir für das Potential eines Dipols (Abb. 2.2):
Φ(r) =
1 µ·r
1 µ · er
=
,
4πε0 r2
4πε0 r3
(2.10.1)
eine Formel, die für jede beliebige Orientierung der Dipolachse zum Radiusvektor gilt.
Danach ist das Potential auf der Symmetrieebene des Dipols Null, nicht aber das Feld
E (Abb. 2.3).
Da nach Gl. (3.24) ∇ 1r = − rr3 , kann man für das Potential eines Dipols auch
e 1
1
1
0
µ·∇
∇
=d·−
= d · φ(r)
(2.10.2)
Φ(r) = −
4πε0
r
4πε0
r
schreiben: Das Potential eines Dipols ist das einer Punktladung, φ(r), skalar multipliziert mit dem Abstand der beiden den Dipol konstituierenden Teilladungen, was
eine Manifestation des Superpositionsprinzips ist.
Abb. 4.3. Elektrischer Dipol:
Äquipotentialflächen, aus denen der elektrische Feldstärkevektor als Flächennormale
(Gradient) entsteht. Die Feldlinien beginnen auf den Oberflächen der positiven Ladungen und enden auf denen der
negativen, so daß das Potential
auf der Dipolachse Null wird.
Äquipotentialfläche
Linien des
elektrischen Feldes
4.1.2 Das elektrische Feld eines Dipols
ermitteln wir komponentenweise aus Gl. (2.10) (zkµ) unter Beachtung von r3 = (x2 +
3
y 2 + z 2 ) /2 , so daß
30
4 Potential und elektrisches Feld in einem homogenen Medium
∂ z r3 − 3/2 zr2z
,
=
∂z r3
r6
∂ z −3zr2x
=
,
∂x r3
2r6
∂ z −3zr2y
=
,
∂y r3
2r6
woraus mit (2.7)
(2.11.1)
(2.11.2)
(2.11.3)
µ ∂ z
1
3z 2
µ
µ 3 cos2 θ − 1
∂Φ
=−
·
·
1
−
,
=
−
=
Ez = −
∂z
4πε0 ∂z r3
4πε0 r3
r2
4πε0
r3
(2.12.1)
wird, sowie
µ 3zy
µ 3zx
∧ Ey =
,
(2.12.2)
5
4πε0 r
4πε0 r5
die zusammengefaßt eine Komponente ergeben, die senkrecht zur z-Achse (und damit zur Dipolachse) in der xy-Ebene orientiert ist, und die daher die transversale
Komponente genannt wird (Abb. 2.4):
Ex =
E⊥ =
da
q
Ex2 + Ey2 =
µ 3z p 2
µ 3 cos θ sin θ
2 =
x
,
+
y
4πε0 r5
4πε0
r3
(2.12.3)
r
√
z2
=
r
1 − cos2 θ = r sin θ.
(2.13)
r2
Für θ = 0◦ und θ = 90◦ ist nach Gl. (2.13) die transversale Komponente Null; das
Feld besteht hier nur aus einer axialen Komponente, wobei das Feld für θ = 0◦ doppelt
so groß und entgegengesetzt dem Feld bei θ = 90◦ gerichtet ist. Der Gesamtbetrag
der elektrischen Feldstärke ergibt sich zu
q
µ √
3 cos2 θ + 1.
(2.14)
|E| = Ez2 + E⊥2 =
4πε0 r3
Eine sehr viel elegantere Ableitung ergibt sich direkt aus Gl. (2.10) zu
1
1
1
E = −∇Φ(r) = −
∇µ · r + µ · r ∇ 3 .
(2.15.1)
4πε0 r3
r
p
√
x2 + y 2 = r 2 − z 2 = r
1−
Ausdifferenzieren ergibt z. B. für den ersten Term der Summe
∂
(µx x) = µx i,
∂x
also für drei (kartesische) Komponenten:
∇(µ · r) =
∇(µ · r) = µx i + µy j + µz k = µ,
(2.15.2)
(2.15.3)
4.1 Dipolpotential
31
90
120
2
1
90
60
Eparallel
1
30
150
120
2
0
Esenkrecht
30
150
0
-1 180
0
-1 180
0
0
0
210
1
2
330
240
210
1
2
300
330
240
270
90
4
120
300
270
60
90
E2parallel
3
2
60
150
120
2.0
30
2
E senkrecht
1.5
150
1.0
1
60
30
0.5
0 180
0
0.0 180
1
2
0.5
1.0
330
210
210
1.5
3
4
0
240
2.0
300
330
300
240
270
270
90
2.0
120
60
1.5
1.0
150
(E2parallel + E2senkrecht)1/2
30
0.5
0.0 180
0
0.5
1.0
210
330
1.5
2.0
240
300
270
Abb. 4.4. Oben: Die Komponenten der Feldstärke eines Dipols. Für θ = 0◦ (Sender und
Empfänger stehen parallel) und θ = 90◦ (Sender und Empfänger stehen senkrecht zueinander) ist nach Gl. (2.13) die transversale Komponente Null; das Feld besteht hier nur aus
einer axialen Komponente (lks.), wobei das Feld für θ = 0◦ doppelt so groß und entgegengesetzt dem Feld bei θ = 90◦ gerichtet ist; re.o.: das transversale Feld. M. Lks.: Das Quadrat
der Komponente der axialen Feldstärke, M.re.: das Quadrat der transversalen Komponente.
Unten die für die vom Dipol abgestrahlte Energie wichtige gesamte Feldstärke, berechnet
nach Gl. (2.14).
während der zweite Term, z. B. in x-Richtung, ergibt:
32
4 Potential und elektrisches Feld in einem homogenen Medium
∂ 1
∂r
= −3r−4 ·
.
3
∂x r
∂x
(2.15.4)
1
2x
∂r
= p
,
∂x
2 x2 + y 2 + z 2
oder
(2.15.5)
1 2x
∂r
=
,
∂x
2 r
so daß insgesamt sich für die x-Komponente
(2.15.6)
∂ 1
3
= − 5 x,
3
∂x r
r
und für die drei Komponenten sich entsprechend
(2.15.7)
3
1
= − 5 r,
3
r
r
ergeben. Damit folgt für das elektrische Feld
1
3(µ · r) r
E=−
−µ .
4πε0 r3
r2
∇
(2.15.8)
(2.15.9)
4.2 Influenz und Bildkraft
Wird nach Abb. 2.5 eine Probeladung vor eine Metallplatte gebracht, die frei bewegliche, d. h. insbesondere verschiebbare, Elektronen enthält, dann krümmen sich die
Feldlinien derart, daß sie normal auf der Oberfläche stehen. Jede tangentiale Feldlinie würde solange Ladungen verschieben, bis sie senkrecht auf der Metalloberfläche
stünde.
Vakuum
y
x
Metall
Abb. 4.5. Die Feldlinien einer
Probeladung vor einer metallischen Fläche enden auf dieser senkrecht. Die Ladungen
werden im metallischen Volumen verschoben, wodurch ein
zusätzliches Feld entsteht.
Wenn der horizontale Abstand zur Metalloberfläche x sei, dann ist die Feldkomponente der positiven Punktladung
4.3 Der Parallelplatten-Kondensator
E=−
33
1
Qx
.
4πε0 (x2 + y 2 )3/2
(2.16.1)
Wenn wir dazu das entgegengesetzt gleiche elektrische Feld addieren, das von der
negativen (virtuellen) Bildladung erzeugt wird, bekommern wir
E=−
1
2Qx
,
4πε0 (x2 + y 2 )3/2
(2.16.2)
bzw. für die Ladungsdichte an der Oberfläche
σ(r) = ε0 E(y) = −
1
2Qx
.
4π (x2 + y 2 )3/2
Die Größe der entstandenen Bildladung ermitteln wir damit zu
Z
Z
Q = σ(r) dA = σ(r) 2πr dr,
(2.17)
(2.18)
also zu
Q=−
Substituieren wir r =
p
Z
y=∞
y=0
2Qx
1
2πr dr.
4π (x2 + y 2 )3/2
(2.19)
x2 + y 2 , wird
Q = −Qx
woraus
Z
r=∞
r
r=0
dr
,
r3
y=∞
1
1
1
p
= −Q
Q = Qx −√
⇒ Q = Qx
2
r = x2 + y 2 ∞
x
y=0
(2.20)
(2.21)
folgt. Diese Spiegelladung scheint bei −x zu liegen, so daß der Abstand der beiden
Ladungen 2x wäre, womit die tatsächlich ausgeübte Kraft
F =
1 Q2
4πε0 (2x)2
(2.22)
ist.
4.3 Der Parallelplatten-Kondensator
Wir geben zwei gleich große (Fläche A), metallische Platten im Abstand d vor, auf
denen eine jeweils gleiche Anzahl entgegengesetzter Ladungen Q verteilt ist, so daß
das Feld zwischen den Platten gegeben ist durch (Abb. 2.6)
E=
σd
,
ε0 d
(2.23)
34
4 Potential und elektrisches Feld in einem homogenen Medium
(außerhalb ist es Null, und jede einzelne Platte liefert die Hälfte, s. a. Gl. (3.34)) und
ihre Potentialdifferenz
U = Φ1 − Φ2 .
d
+
_
+
_
+
_
+
_
E
(2.24)
Abb. 4.6.
Parallelplatten-Kondensator. Auf den
Platten der Fläche A ist die
Ladungsdichte σ = Q/A.
+
_
Die Potentialdifferenz oder Spannung ist die Arbeit pro Einheitsladung, die erforderlich ist, um eine Ladung von der einen zur anderen Platte zu bringen; diese Arbeit
kann negatives oder positives Vorzeichen haben:
U = Ed =
dσ
d
=
Q.
ε0
ε0 A
(2.25)
Die Spannung ist also wegen des Superpositionsprinzips
• proportional zum Abstand der Platten,
• proportional zur Ladungsdichte (und damit zur Ladung überhaupt),
und wir fassen den Bruch zur (inversen) Kapazität zusammen:
Q
,
C
U=
(2.26)
was für den speziellen Fall des Plattenkondensators
C=
ε0 A
d
(2.27)
ergibt.
4.3.1 Speicherung von Ladung
Mit dem Plattenkondensator speichern wir Ladung nach Gl. (2.27), und zwar um so
mehr,
• je größer die Fläche der Platten und
• je kleiner ihr Abstand zueinander ist.
4.3 Der Parallelplatten-Kondensator
35
Dabei nehmen wir zunächst an, daß sich zwischend en Platten Luft oder Vakuum
befindet. Es hat sich gezeigt, daß das Einbringen eines sog. Dielektrikums,1 einen
zusätzlichen Freiheitsgrad der Ladungsspeicherung ermöglicht. Dies wird durch einen
zusätzlichen Faktor ε, die relative oder einfach Dielektrizitätskonstante,2 in der Gl.
(2.27) berücksichtigt:
C=
ε0 ε A
.
d
(2.28)
4.3.2 Energiedichte eines Plattenkondensators
Die Energie eines Kondensators kann nach dem Superpositionsprinzip einfach bestimmt werden. Wird die Ladung q von einer Platte auf die andere gebracht, ist die
Potentialdifferenz (mit C der Kapazität des Kondensators)
U=
Q
,
C
(2.26)
und damit die Arbeit
dW = U dQ =
1 Q2
1
Q
dQ =
= CU 2 .
C
2C
2
(2.29)
Setzen wir dafür die Gleichung für die Kapazität [Gl. (2.26)] und die Feldstärke E =
−dU/dx ein, erhalten wir
1
1
W = ε0 εR E 2 · (A · d) = ε0 εR E 2 · V,
2
2
(2.30)
wobei wir die Größe W/V als Energiedichte bezeichnen. Sie erhält oft das Symbol u:
1
1
u = ε0 εR E 2 = D · E
2
2
(2.31)
mit D der sog. Verschiebungsdichte
D = ε0 E.
(2.32)
Zwar sind die Vektoren E und D oft gleichgerichtet, z. B. im Vakuum oder einfachen
Dielektrika, manchmal allerdings weist die relative DK die Eigenschaften eines Tensors
auf. E beschreibt die Wirkung des Feldes, z. B. auf Probeladungen. D dagegen hängt
mit der Größe der felderzeugenden Ladungen zusammen, also mit der Ursache des
Feldes. Weil die Wirklichkeit komplizierter ist, definieren wir im materiebehafteten
System eine neue Größe, die Polarisation.
1
2
wörtlich übersetzt: Nichtleiter.
im Laborslang: DK
36
4 Potential und elektrisches Feld in einem homogenen Medium
4.4 Polarisation
Verringern sich durch das Einbringen eines Dielektrikums der DK ε in das homogene Feld eines Plattenkondensators (Fläche A) Spannung und Feld um 1/ε, muß
das nach dem Gaussschen Satz Φ = E A auch für die Ladungen gelten. Da sich an
den Platten aber nichts geändert hat, muß die Kompensation durch Ladungen verursacht werden, die auf den zu den Kondensatorplatten gerichteten Oberflächen durch
Influenz entstehen:
U0
U0
E0
Q0
−→ Umit =
∧ Emit =
⇒ Qmit =
.
d
ε
ε
ε
Damit folgt für die Ladungen auf den Platten des Dielektrikums
ε−1
1
= Q0
.
QD = Q0 − Qmit = Q0 1 −
ε
ε
E0 =
(2.33)
(2.34)
Der durch die Ladung erzeugte Fluß
Q
ε0
(2.35)
Q
F
=
,
A
ε0 A
(2.36)
F =
erzeugt eine Feldstärke von
E=
womit mit Gl. (2.34)
QD = ε0 E0 A
ε−1
ε
(2.37)
wird. Damit wird auf der Länge dl zwischen Kondensatorplatte und Platte des Dielektrikums ein Dipolmoment der Stärke
ε−1
ε−1
dl = ε0 E0
dV
(2.38)
dµ = QD dl = ε0 E0 A
ε
ε
erzeugt, wobei µ und E in die gleiche Richtung zeigen:
ε−1
dV.
dµ = ε0 E 0
ε
(2.39)
Unter dem auf das Volumen reduzierten Dipolmoment verstehen wir die Polarisation
(= Ladungsverschiebung)
ε−1
dµ
=
ε0 E 0
(2.40)
P =
dV
ε
bzw. mit dem im Dielektrikum geschwächten Feld
P = (ε − 1) ε0 E.
(2.41)
4.4 Polarisation
37
Der P und E verbindende Materialfaktor wird als dielektrische Suszeptibilität χ
bezeichnet. Erweitert man die Definition der Verschiebungsdichte im Medium [Gl.
(2.32)]
D = ε0 εE,
(2.32)
D = ε0 E + P ,
(2.42)
wird daraus
bzw. für das Verhältnis von Polarisation und elektrischer Feldstärke aus (2.41):
P
=ε−1:
ε0 E
(2.43)
die Feldstärke im Kondensator wird durch das Dielektrikum auf den 1/εten Teil
verringert und entspricht einem dem erzeugenden Feld entgegengesetzt gerichteten
induzierten elektrischen Moment und ist für ein Gas der Teilchenzahldichte n = N/V
definiert als
N
µ = nµind = nαε0 E ∧ µind = αε0 E
(2.44)
V ind
wenn das induzierte Dipolmoment parallel dem angelegten elektrischen Feld ist. Da
das Molvolumen M/ρ = VM beträgt und NA Moleküle enthält, ist
P =
n=
NA ρ
NA
=
,
M/ρ
M
(2.45)
also wird durch Gleichsetzen von (2.41) mit (2.44)
M
ε−1
= (ε − 1)
.
(2.46)
n
NA ρ
Diese Beziehung hat sich zur Bestimmung der Polarisierbarkeit von Gasen gut
bewährt. Die Herleitung zur Gl. (2.46) geht auf die Struktur der Materie nicht ein.
Sie ist rein phänomenologisch, beschreibt also nur quantitativ den Sachverhalt.
α=
4.4.1 Feldgleichungen
Da die Feldstärke im Kondensator durch Einbringen eines polarisierbaren Mediums
geschwächt wird, bedeutet das für die Poisson-Gleichung ein Minuszeichen für die
durch Influenz entstandenen Dipole (oder Partialladungen), und wir schreiben das so:
ρpol = −∇ · P .
(2.47)
Für ein Medium mit freien Ladungsträgern der Dichte ρ0 würde sich
ρ = ρpol + ρ0
ergeben und für die erweiterte Poisson-Gleichung
(2.48)
38
4 Potential und elektrisches Feld in einem homogenen Medium
∇·E =
ρpol + ρ0
ρ0 ∇ · P
=
−
,
ε0
ε0
ε0
(2.49)
was zu der Gl. (2.50)
∇ · (ε0 E + P ) = ρ0
(2.50)
mit dem aus (2.42) eingeführten Term für die dielektrische Verschiebung in einem
Medium. — Für bewegte influenzierte Ladungen schreiben wir
j pol =
∂
P
∂t
(2.51)
und entsprechend für den Gesamtstrom
j = j0 + jpol ,
(2.52)
was für das Durchflutungsgesetz
∇ × H = j 0 + j pol + ε0
∂
E
∂t
(2.53)
bedeutet. Mit Gl. (2.51) ergibt sich wieder
∂
(ε0 E + P ).
(2.54)
∂t
In einem Dielektrikum sind aber ρ0 = 0 ∧ j0 = 0, so daß einfacher aus (2.49) und
(2.54)
∇ × H = j0 +
∇·P
,
ε0
(2.55)
∂
(ε0 E + P ) .
∂t
(2.56)
∇·E =−
und
∇×H =
werden.
4.4.2 Wellenausbreitung
Die Ausbreitung von Wellen wird durch das übliche Einsetzen der beiden RotGleichungen ermittelt, wobei das Induktionsgesetz in der Form
∂H
∂t
geschrieben werden kann. Durch Bilden der Rotation
∇ × E = −µ0
∇ × (∇ × E) = −µ0
∂
∇×H
∂t
(2.57)
(2.58)
4.4 Polarisation
39
und Verwendung des Entwicklungssatzes
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇2 E
(2.59)
sowie Verwendung von (2.56) wird
∂2
∇(∇ · E) − ∇ E = − 2
∂t
(2.60)
1 ∂ 2E
∂2P
1
=
−
∇(∇
·
P
)
+
µ
.
0
c2 ∂t2
ε0
∂t2
(2.61)
2
oder
∇2 E −
1
E + µ0 P
c2
Als einfachste Variante suchen wir die Antwort des (als isotrop angenommenen)
Dielektrikums auf die Einwirkung einer linear polarisierten ebenen Welle. Diese Welle
ist eine Transversalwelle. Ist also die Propagationsrichtung der Welle in z-Richtung,
dann soll der E-Vektor in x-Richtung zeigen, also auch der P -Vektor.
Ex = E0 ei(kz−ωt) ,
(2.62)
damit ergibt sich keine Variation von Ex in x-Richtung. Die Welle propagiert im
Vakuum mit der Phasengeschwindigkeit vPh = c = ωk , im Dielektrikum mit vPh = nc
mit n dem Brechungsindex
kc
,
ω
womit (2.62) im Medium geschrieben werden kann als
n=
Ex = E0 ei(ωnz/c−ωt) = E0 eiω(nz/c−t) .
(2.63)
(2.64)
Da die Welle in z-Richtung propagiert, ist damit in x-Richtung ∇·E = ∇·P = 0,
und damit verschwindet dieser Term in Gl. (2.61). Für die Zeitvariation von P und
seiner einzigen Komponente Px gilt Px eiωt , womit die zweite Zeitableitung −ω 2 Px
wird, so daß
ω2
ω2
E
=
−
Px .
(2.65)
x
c2
ε0 c2
Unter der weiteren Annahme, daß die harmonische Variation von E eine instantane
harmonische Variation von P zur Folge hat, schreiben wir mit Gl. (2.44)
−k 2 Ex +
N
αEx ,
V
wir können durch Ex kürzen und erhalten als Bestimmungsgleichung
ω2
N
2
k = 2 1+ α ,
c
V
Px = ε0
was mit (2.63) eine Bestimmungsgleichung für den Brechungsindex ergibt:
(2.66)
(2.67)
40
4 Potential und elektrisches Feld in einem homogenen Medium
n2 = 1 +
N
α:
V
(2.68)
• Eine elektrische Größe (Polarisierbarkeit) ist mit einer optischen (Brechungsindex) verkoppelt.
• Der Brechungsindex ist größer als Eins.
• Diese Ableitung ist von der Struktur der Materie unabhängig. Sie wird als Kontinuum ohne irgendeine (atomare) Körnigkeit betrachtet.
Im nächsten Kapitel werden wir eine molekular aufgelöste Struktur untersuchen.
5 Wechselwirkung mit Strahlung
5.1 Kapazität
Ein vakuumerfüllter Plattenkondensator weist die Kapazität
C=
A
Q0
= ε0
U0
d
(3.1)
auf. Wird Materie der relativen Dielektrizitätskonstanten ε zwischen die Platten gebracht, steigt die Kapazität um ε
ε=
C
,
CVak
(3.2)
womit sich nach Gl. (3.1) bei konstanter Ladung auf den Platten die Spannung auf
UD =
U0
ε
(3.3)
verringert; gleiches gilt für die Feldstärke. Nach dem Gaussschen Satz ist aber der
Fluß Φ = EA durch einen beliebige Fläche gleich Q/ε0 . Folglich muß sich die effektive
Ladung auf
1
ε−1
QP = Q0 − QD = Q0 1 −
= ε0 E0 A
ε
ε
(3.4)
verringert haben, wobei der Index P für Polarisation und der Index D für Dielektrikum stehen. Diese zusätzlichen, virtuellen Ladungen auf dem Dielektrikum sind den
Kondensatorplatten dicht benachbart und im Vorzeichen entgegengesetzt gerichtet.
Die Stärke des durch diese influenzieren Ladungen geschwächten Feldes des materieerfüllten Kondensators wird berechnet nach
D = ε0 εE = ε0 E + P ∧ P = (ε − 1)ε0 E.
41
(3.5)
42
5 Wechselwirkung mit Strahlung
5.2 Schwingungen
5.2.1 Erzwungene Schwingung ohne Dämpfung
Wird ein System durch eine periodische Kraft F = F 0 eiωt von außen zum Schwingen
gebracht, führt es erzwungene Schwingungen aus. Sei die rücktreibende Kraft eine
Federkraft, dann ist die DGl für die ungedämpfte Schwingung
mẍ + Dx − F 0 eiωt = 0.
Setzt man für die Kreisfrequenz ω0 des ungestörten Systems den Wert ω0 =
wird
ẍ + ω02 x −
F 0 iωt
e = 0.
m
(3.6)
q
D
m
ein,
(3.7)
Im eingeschwungenen Zustand wird mit dem Ansatz ψ = ψ0 eiωt
F0
= 0,
ψ0 ω02 − ω 2 −
m
und für die Amplitude ψ0 dieser Schwingung folgt aus (3.8)
ψ0 =
F0
1
.
2
m ω0 − ω 2
(3.8)
(3.9)
Nach der Gl. (3.9) wird die Amplitude unendlich für den Fall, daß die Störfrequenz
gleich der Eigenfrequenz ω0 ist: Resonanz. In Wirklichkeit ist die Schwingung immer
gedämpft.
5.2.2 Erzwungene Schwingung mit Dämpfung
Die Dämpfung wird durch die Einführung eines Dämpfungsglieds in Gl. (3.7) berücksichtigt:
D
F 0 iωt
r
ẋ + x −
e = 0.
m
m
m
Im eingeschwungenen Fall und mit dem Ansatz
ẍ +
ψ = ψ0 ei(ωt−α) ,
(3.10)
(3.11)
der eine Phasenverschiebung zwischen Erreger und angeregtem System berücksichtigt,
erhält man für die Ableitungen von Gl. (3.11)
ψ̇ = iωψ ∧ ψ̈ = −ω 2 ψ.
D
= ω02 )
Einsetzen in Gl. (3.10) ergibt ( m
(3.12)
5.2 Schwingungen
43
−ω 2 +
Dabei ist
F0 iα
e
ψ0
r
D
F0 iα
iω +
−
e = 0;
m
m ψ0 m
F0 iα
m ω02 − ω 2 + riω =
e .
ψ0
(3.13.2)
= x + iy mit x = m(ω02 − ω 2 ) und y = rω (Abb. 3.1).
I
F/y 0e
ia
rw
a
2
(3.13.1)
Abb. 5.1.
Zeigerdiagramm
der erzwungenen Schwingung.
x-Achse: Realteil, y-Achse:
Imaginärteil.
R
2
m(w0 -w )
F0
=
ψ0
q
m2 (ω02 − ω 2 )2 + r2 ω 2 ,
(3.14)
so daß für die Amplitude folgt (Abb. 3.2):
F0
ψ0 = p
.
m2 (ω02 − ω 2 )2 + r2 ω 2
(3.15)
Die Schwingung wird also durch Real- oder Imaginärteil von ψ = ψ0 eiωt beschrieben:
F0 cos(ωt − α)
,
ψ=p
m2 (ω02 − ω 2 )2 + r2 ω 2
(3.16)
und die Phasendifferenz ergibt sich aus Abb. 3.1 zu
tan α =
woraus für den Winkel α folgt
rω
sin α
,
=
2
cos α
m(ω0 − ω 2 )
α = arctan
rω
.
− ω2)
m(ω02
(3.17.1)
(3.17.2)
Die Gleichung ist recht kompliziert; daher ist es nützlich, sich die Grenzfälle genauer zu betrachten (Abbn. 3.2 und 3.3):
q
D
1. ω ≪
∧ ω ≪ Dr : Die Rückstellkraft D bestimmt das Geschehen. Damit
m
vereinfacht sich die DGl (3.10) zu
x=
F0 iωt
e :
D
(3.18)
44
5 Wechselwirkung mit Strahlung
Amplitude
1,0
m/r = 5
m/r = 5/2
m/r = 5/3
m/r = 5/4
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5 2,0
w/w0
2,5
3,0
Abb. 5.2.
Resonanzkurven
für verschiedene Verhältnisse
von m/r bei einer Eigenfrequenz von ω = 1 sec−1 = 1
Hz.
3,5
• keine Phasendifferenz zwischen Erreger (F ) und System (x), weil Masse
und Auslenkung, damit auch Geschwindigkeit und Beschleunigung, klein
sind (quasistatischer Bereich).
• Leistungs- bzw. Energieaufnahme:
E=
Z
0
2π
F · vdt =
Z
0
2π
F·
dx
dt = 0.1
dt
(3.19)
Phasenwinkel [Grad]
180
135
r/m = 3
r/m = 1
r/m = 0,5
r/m = 0,25
r/m = 0,125
r/m = 0,05
r/m = 0,005
90
45
0
0,0
2. ω ≫
1
0,5
q
1,0
D
m
1,5
2,0
w /w0
∧ω ≫
D
:
r
2,5
3,0
Abb. 5.3. Phasenverschiebung
einer erzwungenen Schwingung gegen die erregende
Kraft als Funktion des Frequenzverhältnisses ω/ω0 für
verschiedene Werte von r/m.
Das Trägheitsglied (∝ mω 2 ,) bestimmt das Geschehen:
Das Integral aus einer geraden und einer ungeraden Funktion ist immer Null.
5.3 Polarisation
45
mẍ = F0 eiωt ⇒ x = −
F0 iωt
e .
mω 2
(3.20)
• Beschleunigung und Kraft sind in Phase, also hängt die Auslenkung um
180◦ hinterher: Das System ist quasifrei“.
”
• Leistungs- und Energieaufnahme sind wieder Null.
3. Reibungskraft und Erregerkraft sind etwa gleich:
ω=
r
D
.
m
(3.21)
• Phasendifferenz zwischen Geschwindigkeit und Erregerkraft: 1/2 π.
• ⇒ Das System nimmt ständig Energie auf.
• Die Amplitude ist wegen
r
F0 iωt
r
e
ψ̇ = ωψ =
m
m
m
F0
F0
ψ0 = q =
.
rω
D
r m
(3.22)
(3.23)
5.3 Polarisation
Auf einen molekularen Dipol wirke die mit ω periodisch einwirkende Kraft
F = e0 E0 cos ωt,
(3.24)
• die weit entfernt von der Resonanzfrequenz sein soll (ω ≪ ω0 ). Dann sind für
kleine Auslenkungen Kraft und Auslenkung gleichgerichtet; die Phasenverschiebung ist Null (quasistatischer Fall).
• Bei Annäherung an die Resonanzfrequenz fängt die Auslenkung an, der erregenden Kraft hinterherzuhinken; bei ω = ω0 ist die Phasenverschiebung −90◦ ,
dafür ist nun die Geschwindigkeit (also der Strom, ∝ ωE) und die Kraft in
Phase, die Auslenkung ist minimal.
• Bei ω ≫ ω0 schließlich sind Kraft und Beschleunigung in Phase, die Auslenkung
hinkt um 180◦ hinterher.
Die aufgenommene Leistung kann aus dem Produkt Ej cos ϕ ermittelt werden.
Danach ist an der Resonanz die Aufnahme maximal (∝ E 2 ω). Die Dipole stehen
senkrecht zur Feldrichtung und werden maximal beschleunigt. Dagegen sind im quasistatischen Fall die Dipole parallel zum Feld gerichtet (ε > 1), im quasifreien Fall
dagegen antiparallel (ε < 1).
46
5 Wechselwirkung mit Strahlung
5.3.1 Elektronische Polarisation
Alle Bestandteile einer Molekel werden durch ein elektrisches Feld beeinflußt. Bei sehr
hohen Frequenzen sind nur noch die Elektronen in der Lage, den Oszillationen des
Feldes zu folgen. Man sagt, daß sie nahezu trägheitslos sind. Die Gleichung für die
erzwungene Schwingung lautet
me ẍ + Dx − qe E 0 eiωt = 0.
Setzt man für die Kreisfrequenz ω0 des ungestörten Systems den Wert ω0 =
wird
ẍ + ω02 x − qe
E 0 iωt
e = 0.
me
(3.25)
q
D
me
ein,
(3.26)
Im eingeschwungenen Zustand wird mit dem Ansatz x = x0 eiωt
E0
= 0,
x ω02 − ω 2 − qe
me
und für die Amplitude x0 dieser Schwingung folgt aus (3.27)
x = qe
(3.27)
1
E0
.
2
me ω0 − ω 2
(3.28)
E0 1
,
me ω02
(3.29)
Nach der Gl. (3.28) wird die Amplitude unendlich für den Fall, daß die Störfrequenz
gleich der Eigenfrequenz ω0 ist: Resonanz. Betrachten wir zunächst den Fall sehr viel
niedrigerer Störfrequenzen, so daß wir den Subtrahenden im Nenner vernachlässigen
können:
x ≈ qe
und das Dipolmoment ist
µ = qe x = qe2
E0 1
,
me ω02
(3.30)
also ebenfalls proportional dem elektrischen Feld. Mit Gl. (2.44) wird dann für die
Polarisierbarkeit
α=
q2 1
µind
= e
.
ε0 E
ε0 me ω02
(3.31)
Für N Molekeln ergibt sich die gesamte Polarisation bzw. mit Gl. (2.46) für die
Dielektrizitätskonstante
N
N µind
N qe2 1
α=
=ε−1=
:
V
V ε0 E
V ε0 me ω02
(3.39)
die Polarisierbarkeit (Dielektrizitätskonstante) ist proportional der Gasdichte und der
Eigenfrequenz eines elektronischen Übergangs. Für Gase stimmt das gut. Bei höherer
5.3 Polarisation
47
Dichte werden die Abweichungen spürbar, die durch die Wechselwirkung der Dipole
verursacht werden. Clausius und Mosotti erhielten nach längerer Rechnung die
nach ihnen benannte Gleichung
N α = 3ε0
ε−1µ
,
ε+2ρ
(3.40)
die für die Gasnäherung ε ≈ 1 in die Gl. (3.39) übergeht.
5.3.2 Orientierungspolarisation
Für permanente Dipole sind weitere Komplikationen zu erwarten. Ausrichtung in
einem elektrischen Feld durch ein Drehmoment
M =µ×E
(3.41)
ergibt eine energieärmere Minimal- und eine energiereichere Maximalposition (U für
die Innere Energie):
dU = −µ cos d E,
(3.42.1)
dU = −µ E d(cos ϑ)
(3.42.2)
was man skalar
schreiben kann. U soll minimal werden. Gestört wird diese Einstellung durch die
chaotische Wärmebewegung. Es ist also das mittlere Dipolmoment < µ > zu ermitteln.
Dazu benötigen wir die Orientierungswahrscheinlichkeit dW über das Winkelelement
in Kugelkoordinaten sin ϑ dϑ dϕ:
< µ >= N
Z
2π
0
Z
0
π
µ exp −
U
sin ϑ dϑ dϕ.
kB T
(3.43)
Das ergibt nach längerer Algebra die sog. Langevin-Funktion, die zum ersten Mal
für magnetische Dipole abgeleitet wurde:
cosh α 1
< µ >= µ
−
(3.44)
sinh α α
. Da bei Zimmertemperatur α ≫ kB T , kann man den coth entwickeln
mit α = kµE
BT
und erhält
coth α =
1
1
1
≈
.
tanh α
α 1 − α2 /3
(3.45)
Einsetzen in die Langevin-Funktion ergibt
< µ >=
α
1 µ2
µ=
E.
3
3 kB T
(3.46)
48
5 Wechselwirkung mit Strahlung
10
20
quasistatischer
Bereich
Intensität
Dispersion
0
quasifreier
Bereich
-10
-20
0.0
Intensität, Dispersion
Intensität, Dispersion
20
10
quasistatischer
Bereich
Intensität
Dispersion
0
quasifreier
Bereich
-10
-20
0.5
1.0
w/w0
1.5
2.0
0.0
0.5
1.0
w/w0
1.5
2.0
Abb. 5.4. Spektrallinien in Emission (lks.) und Absorption (re.) und ihre Ableitung.
Vergleicht man mit µind = αE [Gln. (3.38) − (3.40)], zeigt sich, daß zur Berech2
nung der Orientierungspolarisation statt α 13 kµB T zu setzen ist, und die Gesamtpolarisation ergibt sich zu
µ2
ε−1µ
4π
NA α +
,
(3.47)
= 3ε0
P =
3
3kB T
ε+2ρ
der sog. Debye-Gleichung. Sie sollte eine lineare Funktion sein, wenn man die Gesamtpolarisation gegen 1/T aufträgt. Aus dem Ordinatenabschnitt bekommt man
die Polarisierbarkeit. ε wird mit Wechselfeldern gemessen. Je nachdem, wann welche
Molekülbausteine dem steigenden Feld nicht mehr folgen, nimmt die DK zu hohen
Frequenzen hin ab. Vernachlässigung der Orientierungspolarisation in Gl. (3.47) und
Ersatz von ε durch n2 (Maxwellsche Relation) liefert die sog. Molrefraktion.
Die Schwächung des elektrischen Feldes zwischen Ionen in einem Elektrolyten ist
in Wasser mit seiner hohen DK von 81 verantwortlich für die exzellenten Solvatationseigenschaften des Wassers.
5.4 Absorption und Emission
5.4.1 Die dielektrische Funktion
Bei der Ableitung der elektronischen Polarisation hatten wir den Fall einer dipolaren Störung weit weg von der Resonanzfrequenz ω0 betrachtet. Was geschieht bei
der Annäherung bzw. beim Erreichen von ω0 ? Was bedeutet dieses Verhalten nun
optisch? Es kommt entweder zur Absorption (Zustand m mit der Energie Em wird
angeregt zum Zustand n mit der Energie En ) oder zum Zerfall dieses Zustandes und
zur Emission. In den Abbn. 3.4 sind Spektrallinien in Emission und Absorption sowie
die dazugehörigen Dispersionskurven (ihre Ableitung) gezeigt.
5.4 Absorption und Emission
49
Von niedrigen Energien her kommend, beobachten wir Emission (Abb. 3.4.1) bzw.
Absorption (Abb. 3.4.2). Damit muß der Brechungsindex komplex werden.
Im Unterschied zur allgemeinen elektronischen Polarisation dürfen wir nun weder
die Eigenresonanz ω0 noch das Dämpfungsglied rω in Gl. (3.10) vernachlässigen:
r
F 0 iωt
D
e = 0,
ẋ + x −
m
m
m
und wir erhalten für die Amplitude
ẍ +
x=
bzw. für das Dipolmoment
qe E
1
2
me ω0 − ω 2 + irω
(3.10)
(3.48)
qe2 E
1
,
2
me ω0 − ω 2 + irω
(3.48)
1
µ
q2
= e
2
ε0 E
ε0 me ω0 − ω 2 + irω
(3.49)
µ = qe x =
woraus sich nach G. (2.44) die Polarisierbarkeit zu
α=
ergibt. Mit Gl. (2.68) folgt für N Dipolen im Volumen V das Quadrat des Brechungsindex bzw. für ε:
n2 = ε = 1 +
N
α
V
(3.50)
und damit für die dielektrische Funktion
ε=1+
1
N qe2
,
2
V ε0 me ω0 − ω 2 + irω
(3.51)
N e20
1
.
2
V ε0 me ω0 − ω 2 + irω
(3.52)
was für qe = e0 geschrieben wird als
ε=1+
e2
0
Im Faktor N
erkennen wir das Quadrat der Plasmafrequenz, mit der freie ElekV ε0 me
tronen schwingen würden, wenn sie gegen die positiven Ionen kollektiv ausgelenkt
würden:
s
N e20
,
(3.53)
ωP =
V ε0 m e
so daß wir für (3.52) auch
ε = 1 + ωP2
ω02
1
.
− ω 2 + irω
(3.54)
schreiben. Aufspalten in Real- und Imaginärteil liefert für den frequenzabhängigen
Nenner die Summe aus
50
5 Wechselwirkung mit Strahlung
20
20
15
quasistat.
Bereich
5
Dielektrizitätskonstante
Ableitung
10
0
-5
quasifreier
Bereich
-10
-15
-20
0.0
m/r = 20
m/r = 5
m/r = 5/2
m/r = 5/3
15
m/r = 20
m/r = 5
m/r = 5/2
m/r = 5/3
10
quasistat.
Bereich
5
0
-5
quasifreier
Bereich
-10
-15
0.5
1.0
w/w0
1.5
2.0
-20
0.0
0.5
1.0
w/w0
1.5
2.0
Abb. 5.5. Die Ableitung der Emissionslinie (lks.) und der Realteil der dielektrischen Funktion (Quadrat des Brechungsindex, re.) sind kongruent.
ω02 − ω 2
rω
−i 2
.
2
2
2
2
2
(ω0 − ω ) + (rω)
(ω0 − ω )2 + (rω)2
(3.55)
Die Eins zum Realteil hinzugenommen, und wir erhalten für den Realteil der dielektrischen Funktion (Abb. 3.5)
′
ε =1+
ωP2
und für den Imaginärteil
ε′′ = ωP2
ω02 − ω 2
(ω02 − ω 2 )2 + (rω)2
rω
.
(ω02 − ω 2 )2 + (rω)2
(3.56.1)
(3.56.2)
Der Imaginärteil entspricht der Lorentz-Funktion, der Realteil ihrer Ableitung.
6 Dispersion im Plasma
6.1 Wellengleichung im Vakuum
Bildung der doppelten Rotation einer Feldstärke, z. B.
∂
(∇ × H)
∂t
und Einsetzen der anderen Rot-Maxwell-Gleichung
(4.1)
∇ × ∇ × E = −µ0 µ
∂E
(4.2)
∂t
liefert bei verschwindendem Leitungsstrom im Vakuum mit dem Entwicklungssatz
∇ × H = j + ε0 ε
∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∇2 E,
dessen erster Term wg. des Fehlens von Ladungen verschwindet (∇ · E =
µ0 µε0 ε
∂ 2E
∂2E
∂ 2H
∂2H
=
∧
µ
µε
ε
=
0
0
∂t2
∂x2
∂t2
∂x2
(4.3)
ρ
)
ε0
(4.4)
mit
µ0 µε0 ε =
1
,
2
vPh
(4.5.1)
1
.
c2
(4.5.2)
im Vakuum ist µ = ε = 1, und es ist
µ0 ε0 =
Sucht man Lösungen für Felder ebener elektromagnetischer Wellen E = E 0 ei(k·x−ωt) ,
also Ë = −ω 2 E und E ′′ = −k 2 E, folgt sofort
ω2
ω2
2
2
=
.
=
k
⇒
v
Ph
2
vPh
k2
(4.6)
Für eine ebene Welle ist die Phasengeschwindigkeit vPh = ωt − kx ⇒ xt = ωk , und
der Brechungsindex ist das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Phasengeschwindigkeit im Medium, für die ε und µ verschieden von Eins sein können. Für
die meisten Materialien ist aber µ sehr dicht bei Eins (Werte für die magnetischen
51
52
6 Dispersion im Plasma
Suszeptibilitäten, also die Abweichungen von Eins, werden ja in ppm angegeben!), so
daß
c2
ω2
c2 k 2
2
=
⇒
n
=
.
(4.7)
n2
k2
ω2
Aus den allgemeinen Gleichungen (4.5) ergibt sich noch für µ = 1 die Maxwellsche
Relation
n=
√
ε.
(4.8)
Wir finden einen Zusammenhang zwischen elektrischen und optischen Größen.
Der Brechungsindex ist immer größer als Eins.
6.2 1. Näherung ohne Stoßdämpfung
Arbeitet man nicht im Vakuum, sondern in einem Leiter mit Leitungsstrom, muß das
Biot-Savartsche Gesetz erweitert werden:
∇ × H = j + ε0
∂E
,
∂t
(4.9)
von dem die Zeitableitung ist
∂
∂j
∂2E
∇×H =
+ ε0 2 .
∂t
∂t
∂t
Vom Induktionsgesetz her wissen wir, daß
∇ × E = −µ0
∂H
,
∂t
(4.10)
(4.11)
Erneut Entwicklungssatz:
−µ0
∂
∇ × H = ∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∆E,
∂t
1 2
∂j
∂2E
∂j
1 ∂ 2E
∇E=
+ ε 0 2 ⇒ ∇2 E = µ0
+ 2 2.
µ0
∂t
∂t
∂t c ∂t
(4.12)
(4.13)
Ebene Wellen, für die k · E = 0:
−k 2 E = µ0 iωj −
ω2
E
c2
(4.14)
(ω 2 − c2 k 2 )E =
iω
j.
ε0
(4.15)
Was ist die Stromdichte in. Gl. (4.15)? Beginnen wir bei einem Elektron: Seine
Bewegungsgleichung in einem transversalen E-Feld, das von einer externen Quelle E 0
unterstützt wird, ist
6.3 Ausbreitungsgeschwindigkeiten
53
dv e
= −e0 E 0 ei(kx−ωt) ;
dt
für die Geschwindigkeit ergibt sich also
me
e0 1
·
· E 0 ei(kx−ωt) .
me iω
Der Strom ist für Mikrowellen oder Licht nur einer der Elektronen:
ve = −
j e = −e0 ne v e .
(4.16)
(4.17)
(4.18)
Damit ergibt sich für Gl. (4.15)
e0 E
iω
,
ne e0
ε0
ime ω
(4.19)
nP e20
,
m e ε0
(4.20)
(ω 2 − c2 k 2 )E =
worin wir die Plasmafrequenz erkennen:
ωP =
s
also
ω 2 = ωP2 + c2 k 2 ,
(4.21)
womit für den Brechungsindex aus Gl. (4.7)
n2 = 1 −
ω 2
P
ω
wird. Er ist also nicht prinzipiell größer, sondern prinzipiell kleiner als Eins.
(4.22)
6.3 Ausbreitungsgeschwindigkeiten
Damit wird die Dispersionsrelation erweitert. Die Phasengeschwindigkeit vPh ist
größer als die Lichtgeschwindigkeit c:
ω2
ωP2
2
= 2 =c + 2,
k
k
die Gruppengeschwindigkeit vgr ist jedoch kleiner als c:
2
vPh
(4.23)
c2
dω
= vgr =
.
(4.24)
dk
vPh
Wir können das noch in vielfach verwendete Formen umschreiben; dabei gehen
wir von Gl. (4.21) aus.
c2 k 2
ω 2 − ωP2
=
,
ω2
ω2
(4.25)
54
6 Dispersion im Plasma
woraus folgt
2
P
= c2 k 2
(4.26)
ω 2 ω2
P
1−
= c2 .
2
k
ω
(4.27)
ω
1−
oder
Wir sehen, daß
ω 2 c = vPh
ω
r
1−
kleiner als vPh wird und umgekehrt
c
vPh = q
1−
ω 2
(4.28)
.
(4.29)
P
ω
ωP 2
ω
Für die Bestimmung der Gruppengeschwindigkeit gehen wir erneut von Gl. (4.21)
aus:
k
dω
2c2 k
c2
= c2 =
= p 2
.
dk
ω
vPh
2 ωP + c2 k 2
(4.30)
Wir sehen, daß vgr immer um dasselbe Verhältnis kleiner als c ist, um das vPh größer
ist (Abb. 4.1):
c2
vgr =
c
r
1−
ω 2
P
ω
.
(4.31)
v/c
10
1
phase velocity
group velocity
0.1
0.01
1.0
1.2
1.4
1.6
w/wp
1.8
2.0
Abb. 6.1. Unterhalb der Plasmafrequenz ωp wird der Brechungsindex imaginär: vph → ∞, vg → 0:
Cutoff. Beide Geschwindigkeiten
variieren in der Nähe stark als
Funktionen der Frequenz. Darüber
gehen sie allmählich gegen Eins.
6.4 Wellenlänge und Eindringtiefe
55
6.4 Wellenlänge und Eindringtiefe
Was passiert mit einem Lichtstrahl der Frequenz ω, der in ein Plasma hineingestrahlt
wird? Die Wellenlänge
λ=
2π
k
(4.32)
wird den Wert
λ = 2π
s
c2
= 2πc
ω 2 − ωP2
s
ω2
1
− ωP2
(4.33)
annehmen. Wird die Plasmadichte (und damit auch die Plasmafrequenz) erhöht, wird
die Welle länger und immer länger, bis k Null wird (Abb. 4.2).
150
108
wp [sec-1]
109
1010
w p/2p = 2.45 GHz
l [cm]
100
50
l g = 12.25 cm
0
108
109
1010
1011
Abb. 6.2. Am Cutoff wird die Wellenlänge unendlich, hier gezeigt für
ein Mikrowellenplasma, das bei 2,45
GHz angeregt wird mit der Grenzwellenlänge λg = 12, 25 cm. Die Cutoff–
Dichte beträgt 7, 3 × 1010 cm−3 .
-3
n p [cm ]
Für Dichten, die größer als diese kritische Plasmadichte sind, kann die Dispersionsbeziehung [Gl. (4.23)] für reelle Zahlen nicht mehr gelöst werden:
nc =
ε0 m e ω 2
.
e20
Die Welle erfährt hier eine exponentielle Dämpfung, und ist auf der Länge
s
1
c2
δ=
=
|k|
ω 2 − ωP2
auf 1 etel abgefallen (Abb. 4.3).
6.5 Reflexionsverhalten der Metalle
In absorbierenden Medien ist
(4.34)
(4.35)
56
6 Dispersion im Plasma
wp [sec-1]
109
1010
1011
d [cm]
100
10
1
Abb. 6.3. Für Hochdichteplasmen ist
die Plasmafrequenz größer als die Anregungsfrequenz. Die Welle kann nur
inerhalb der Skintiefe δ in das Plasma
eindringen, hier gezeigt für f = 13, 56
MHz.
operating frequency
13.56 MHz
109
1010
1011
np [cm-3]
1012
ñ = nreal − iκ.
(4.36)
In stark absorbierenden Medien, wie Metallen, ist |n| < |κ|, und ñ2 ist:
ñ2 = n2real − κ2 − 2i n κ.
(4.37)
Mit der Gl. (4.22) und unserer dielektrischen Funktion (5.54), die wir jetzt allgemein
und nicht als Lorentz-Kurve für eine Eigenfrequenz ω0 schreiben, wird
1
+ irω
bzw. nach Trennung in Real- und Imaginärteil
rω
ω2
2
+i 4
ε = 1 − ωP
ω 4 + (rω)2
ω + (rω)2
ε = 1 − ωP2
(5.54)
ω2
(4.37)
Da wir uns auf die makroskopische Größe der spez. Leitfähigkeit als das Kriterium
des Metalls beziehen wollen, und wir feststellen, daß im FEM für diese gilt
σDC =
N e20
,
V m e νm
(4.38)
andererseits aber die quadratische Plasmafrequenz ωP ja fast derselbe Ausdruck ist
(4.20, r = νm ), finden wir, daß
ωP2 = σDC
νm
,
ε0
(4.39)
was, in Gl. (4.37) eingesetzt,
νm
ε = 1 − σDC
ε0
ω2
νm ω
+i 4
4
2
ω + (νm ω)
ω + (νm ω)2
(4.40)
ergibt. Metalle haben Leitfähigkeiten in der Gegend von 105 Ω−1 cm−1 (Tab. 4.1).
6.5 Reflexionsverhalten der Metalle
57
Tabelle 6.1. Spez. Leitfähigkeiten σ einiger Metalle bei 20 ◦ C.
Metall
σ
5
−1
[10 Ω cm−1 ]
Cu
5,8
Ag
6,14
Au
4,4
Edelstahl
0,14
(1.4301)
Das liefert Plasmafrequenzen in der Gegend einiger 1016 sec−1 . Bei Flugzeiten von
typisch 2 × 10−14 sec gibt das eine Stoßfrequenz von 0, 5 × 1014 sec−1 .
Für mm-Strahlung (1011 Hz) ist dann ω ≪ νm ≪ ωP , man kann in (4.40) den
Realteil vernachlässigen und erhält die Näherung
ñ2 ≈ 1 − i
ωP2
ωνm
(4.41.1)
ñ2 ≈ 1 − i
σDC
.
ε0 ω
(4.41.2)
oder
Da
√
i=
1−i
√
2
ist, ergibt sich für n
ñ ≈ κ ≈
2
r
ωP
∨
2ωνm
r
σDC
2ε0 ω
(4.42)
2
etwa 330. Mit n2 = c ωk2 folgt für δ = k1 schließlich ein Wert von 20 nm.
Für Silber und Licht mit 5 × 1014 Hz wird
r
ω 2
P
n≈κ= 1−
ω
rein imaginär, ca. 10 i. Auflösen nach
(4.43)
c2 k 2
(4.44)
ω2
mit k = α ergibt eine Eindringtiefe von etwa 10 nm. Wie man an Hand von Gl. (4.45)
n2 =
n2 − 1
≈1
(4.45)
n2 + 1
sieht, ist insbesondere in guten“ Metallen die Reflektivität sehr hoch (Tab. 4.2).
”
Diese Tabelle der Münzmetalle ist nicht zufällig zusammengestellt, liefert sie doch bei
500 nm ein Ergebnis für Cu und Au, das ihre Farbe erklärt (Abb. 4.4).
Während Ag im gesamten sichtbaren Spektralbereich hochreflektierend ist (d. h.
also alles Licht absorbiert), findet sich die Absorptionskante des Cu bereits im grünen,
R=
58
6 Dispersion im Plasma
Tabelle 6.2. Nach den Fresnel-Formeln für senkrechte Inzidenz berechnete Reflektivitäten R für die Münzmetalle.
Metall
Kupfer
Silber
Gold
λ
nreal
κ
R
[nm]
500
1,03 2,78 0,65
1 000 0,147 6,93 0,99
500
0,17 2,94 0,93
1 000 0,13 6,83 0,99
500
0,84 1,84 0,50
1 000 0,18 6,04 0,98
100
Reflektivität [%]
80
Ag
Au
Cu
60
40
4000
5000
6000
7000
8000
Abb. 6.4. Das Reflexionsverhalten
der Münzmetalle im sichtbaren Spektralbereich.
Wellenlänge [Å]
die des Au im blauen Spektralbereich. Als Ergebnis schimmern die beiden Metalle in
ihren Komplementärfarben.
7 HF-Kopplung: Quantitative
Beschreibung
Im folgenden wird dargestellt, wie die Einkopplung im kapazitiven und induktiven Fall berechnet wird. Ausgegangen wird von den beiden Grenzfällen
des Reihen- und Parallelresonanzkreises, an die sich die Betrachtung gekoppelter Parallelkreise anschließt.
7.1 Reihenresonanzkreis
1.0
100
1 mH, 0.01mF
0.8
80
1 mH, 0.1mF
60
Z [W]
I [A]
0.6
10 mH, 0.01mF
0.4
10 mH, 0.1mF
10 mH, 0.01mF
40
10 mH, 0.1mF
0.2
0.0
0.0
1 mH, 0.01mF
1 mH, 0.1mF
20
2.5
5.0
7.5
w [MHz]
10.0
0
0.0
12.5
2.5
5.0
7.5
w [MHz]
10.0
12.5
Abb. 7.1. Lks: Resonanzkurve eines Serienkreises für R = 0, 1 Ω und L = 2 µH, C = 2 µF.
Der Strom wird an der Resonanzstelle maximal.
Resonanzkurven eines Serienkreises für verschiedene Werte von L und C (von 1/4 bis 2 · 10−6
µH bzw. µF bei konstantem R = 1 Ω. Der Strom wird zwar an der Resonanzstelle maximal,
ist aber teilweise stark gedämpft.
7.2 Parallelresonanzkreis
7.3 Gekoppelte Parallelschwingkreise
1. induktive Spannungskopplung;
59
60
7 HF-Kopplung: Quantitative Beschreibung
10
2,0
L = 3 m H, C = 3m F
8
1,5
I [mA]
U [mV]
6
4
L = 3 m H, C = 3m F
0,5
2
0
0,00
1,0
0,25
0,50
0,75
1,00
w [MHz]
0,0
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
w [MHz]
Abb. 7.2. In einem Parallelresonanzkreis ist der Strom am Extremwert im Minimum und
die Spannung im Maximum; hier gezeigt für R = 0, 1 Ω und L = 10 µH und C = 10 µF.
10,0
I [mA]
7,5
Abb. 7.3. In einem Parallelresonanzkreis ist der Strom am
Extremwert im Minimum; hier
gezeigt für verschiedene Werte
von L und C bei konstantem
R (0,1 Ω).
5,0
2,5
0,0
0
L=4 mH; C=4 mF
L=2 mH; C=2 mF
L=1 mH; C=1 mF
1
2
3
4
w [MHz]
2. induktive Stromkopplung;
3. kapazitive Spannungskopplung;
4. kapazitive Stromkopplung;
5. Trafokopplung (Übertrager).
5
7.3 Gekoppelte Parallelschwingkreise
C1
L1
61
L2
C2
U1
R1
U2
R2
Abb. 7.4. Zwei induktiv gekoppelte Schwingkreise mit primärer Reihenspeisung (Trafokopplung).
0,50
I2
0,25
k = d 1/2
k = d2
k=d
k = d3
0,00
-10,0 -7,5
-5,0
-2,5
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
x
Abb. 7.5. Resonanzkurven für den im Resonanzkreis fließenden Strom I2 für vier verschiedene Verstimmungen von k/d.