Formelsammlung TEDY

Formelsammlung
Verfaßt von
Dieter Braisch
© Frühling 1997
überarbeitet von Wilko Kraß
Herbst 1997 und Sommer 1998
Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler !
Korrekturen und Verbesserungsvorschläge bitte an [email protected]
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
1.
Vektoranalytische
r r
r r
F ( r ) × dr = 0 ,
Niveauflächen und Feldlinien
Gradient
Hilfsmittel
Parallelität von F(r) und dr
Pfeilrichtung der Feldlinien nicht vergessen !
grad U = ∇U =
∂U r ∂U r ∂U r
e +
e +
e , and. 1.56, S.46
∂x x ∂ y y ∂z z
Gradienteneigenschaft
r
dU = ( gradU ) ⋅ dr
Fluß durch die Fläche S
Ψ=
(1.1, S.3)
(1.5, S.6)
(1.4, S.6)
r r
F
∫∫ ⋅ da
(1.9, S.8)
S
0
r r
Ergiebigkeit Ψ = ∫∫ F ⋅ da
S
Divergenz
Vorzeichen des Integrals sagt über Quellen oder Senken aus
r
r
r
o
∂
F
F
∂
r
r ∂ Fx
Ψ
y
z
divF = ∇ ⋅ F =
+
+
= lim
, Def. 1.11a, and. 1.57, S.46
r
∂x
∂y
∂z
S →r V
r
r
∫∫ Fdar = ∫∫∫ divFdV
Satz von Gauß
S
(1.10, S.11)
(1.12, S.14)
Hüllintegrale und Raumintegrale verknüpft (1.14a, S.18)
G
δ(r ): = δ( x )δ( y )δ( z )
∫∫∫ δ(r )dV = {1, falls Ursprung enthalten, 0 sonst
Dreidimensionale Deltafunktion:
(1.17, S.20)
G
r
1
r
div ( grad ) = div (− 3 ) = −4πδ(r )
r
r
Sätze von Green
1.
∫∫ (U ∇U
1
S
2
r
) ⋅ da = ∫∫∫ U 1∇ 2U 2 + (∇U 1 ) ⋅ (∇U 2 ) dV
Spezialfall:
G
[
]
U 1 = 1 und U 2 = U
∫∫ (∇U ) ⋅ dar = ∫∫∫ (∇ 2U )dV
S
2.
(1.25, S22)
G
r
2
2
∫∫ (U 1∇U 2 − U 2 ∇U 1 ) ⋅ da = ∫∫∫ (U 1∇ U 2 − U 2 ∇ U 1 )dV
S
(1.24, S.22)
G
U1 = U 2 = U
Spezialfall:
r
∫∫ (U ∇U ) ⋅ da = ∫∫∫ [U ∇ U + (∇U ) ]dV
S
Satz von Gauß für den Gradienten
Zirkulation
(1.23, S.21)
r r
Z = ∫ F ⋅ dr
2
2
(1.26, S.22)
G
∫∫∫ ( gradU )dV = ∫∫ U dar
ist eine skalare Größe
(1.27, S.22)
(1.29, S.24)
K
Rotation
r
r
∂ Fy ∂ Fx r
∂ Fz ∂ Fy r
∂ Fz ∂ Fx r
−
)e x − (
−
)e y + (
−
)e
rotF = ∇ × F = (
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y z
(1.32, S.27)
Def. 1.30a, Rotation und Zirkulation 1.30c, and. 1.58, S.46
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r r
F
∫ ⋅ dr =
Satz von Stokes
K
r r
rotF
∫∫ ⋅ da Kurven- und Flächenintegrale
(1.35a, S.32)
S
Verschiedenes: Formeln nach S.33ff
grad (U 1U 2 ) = U 1 gradU 2 + U 2 gradU 1
r r
r
r r
r
div ( F1 × F2 ) = F2 ⋅ rotF1 − F1 ⋅ rotF2
r
r
r
∇ 2 F = grad( divF ) − rot ( rotF )
(1.36a, S.33)
r
r r
div (UF ) = UdivF + F ⋅ gradU
(1.36b, S.33)
(1.36c, S.33)
r
r r
rot (UF ) = UrotF − F × gradU
(1.36d, S.33)
(1.36e, S.33)
Richtungsableitung,
r
rPunktdipolformeln für Kraft und Drehmoment
(G ⋅ ∇) U = G ⋅ grad U
r
r
r
r
r
r
r
r
(G ⋅ ∇) F = (G ⋅ grad Fx ) e x + (G ⋅ grad Fy ) e y + (G ⋅ grad Fz ) e z
r
r
r
∂F
∂F
∂F
= Gx
+ Gy
+ Gz
∂x
∂y
∂z
r
r
r
∂F 1
∂F
∂F
= Gρ
+ G
+ Gz
auch Einheitsvektoren ableiten !
∂ ρ ρ α ∂α
∂z
r
r
r
∂F 1
∂F
∂F
1
= Gr
+ G
+
G
auch Einheitsvektoren ableiten !
∂ r r ϑ ∂ϑ r sin ϑ α ∂α
r
r
r r
r r
r
r r
r r
r r
r
2(G ⋅ ∇) F = rot ( F × G ) + grad ( F ⋅ G ) − F div G + G div F − F × rot G − G × rot F
Seltenes:
r r
r
r
r
r r
r r
r
grad ( F ⋅ G ) = ( F ⋅ ∇)G + (G ⋅ ∇) F + F × rotG + G × rotF
r
r r r
r
r
(G ⋅ ∇)UF = F (G ⋅ gradU ) + U (G ⋅ ∇) F
r r
r
r
r
r r r r r
rot ( F × G ) = (G ⋅ ∇) F − ( F ⋅ ∇) G + FdivG − GdivF
(1.36f, S.33)
(1.36g, S.33)
(1.60a, S.47)
(1.60b, S.47)
(1.36h, S.33)
(1.36i-k, S.34)
Gradientenfelder sind wirbelfrei
r
rot ( gradU ) = 0
∫ ( grad U ) ⋅ dr = 0 ∫ dU = 0
(1.37-38, S.34)
Rotorfelder sind quellenfrei
r
div ( rotF ) = 0
r
r
(
rot
F
) ⋅ da = 0
∫∫
(1.39-40, S.26)
Satz von Gauß für die Rotation
r
rotFdV
=
∫∫∫
r
F = − gradU
Skalares Potential
r
r
r r
r
(
n
×
F
)
da
=
−
F
∫∫
∫∫ × da
F: Gradientenfeld
(1.41, S.36)
(1.43, S.37)


r r
U ( P ) = − ∫ F ⋅ dr = − ∫ Fx (t , y 0 , z 0 ) dt + ∫ Fy ( x , t , z 0 ) dt + ∫ Fz ( x , y , t ) dt 
 x0

P0
y0
z0
Notwendige Bedingungen für die Existenz des skalaren Potentials zum Vektorfeld F
P
x
y
z
global wirbelfrei (ist auch hinreichende Bedingung), d.h.
r
r
∫ F ⋅ dr = 0
für jede geschlossene Kurve oder wenn U bestimmbar
(1.44, S.37)
als auch lokalr wirbelfrei,
d.h.
r
rotF = 0
in allen Feldpunkten
(1.45, S.37)
hinreichende Bedingung wenn das Gebiet einfach zusammenhängend (Def. S.38, 39) ist.
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Divergenz und Rotation als wesentliche Bestimmumgsstücke eines Vektorfeldes
Eindeutigkeitssatz (S.41):
Gegeben:
r
r r
r
u(r ) skalare Funktion, w(r ) vektorielle Funktion, f (r ) berandende Oberfläche S
dann hat das folgende Gleichungssystem höchstens eine Lösung F :
r
r r
r r
divF = u (in G), rotF = w (in G), F ⋅ n = f (auf S)
Poissonsche Differentialgleichung (S.42, partikuläre Lösung von 1.47a,b)
r
r r
∇ 2 F = grad u − rot w = g
vektorielle Poissongleichung
(1.47, S. 41)
(1.50a, S.42)
Vektoranalytische Operationen und Hilfsmittel
∂U r 1 ∂U r ∂U r ∂U r 1 ∂U r
1 ∂U r
eρ +
eα +
ez =
er +
eϑ +
e
∂ρ
ρ ∂α
∂z
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂α α
(1.56a,b, S.46)
r 1 ∂
1 ∂ 2
1  ∂
∂F  ∂F
∂F 
divF =  ( ρFρ ) + α  + z = 2
(r Fr ) +
( Fϑ sin ϑ ) + α 

ρ ∂ ρ
r sin ϑ  ∂ϑ
∂α  ∂ z r ∂ r
∂α 
(1.57a,b, S.46)
gradU =
r  1 ∂ Fz ∂ Fα  r  ∂ Fρ ∂ Fz  r 1  ∂
∂ Fρ  r
−
−
rotF = 
eρ + 
eα +  ( ρFα ) −
e


∂z 
∂ρ 
ρ ∂ ρ
∂α  z
 ρ ∂α
 ∂z
r 1  ∂
1  ∂
∂ F  r 1  1 ∂ Fr ∂
∂ F r
=
−
( Fα sin ϑ) − ϑ er + 
(rFα ) eϑ +  (rFϑ ) − r eα

r sin ϑ  ∂ϑ
r  sin ϑ ∂α ∂ r
r ∂r
∂α 
∂ϑ 

∇ U = div ( grad (u)) = ∇ ⋅ (∇U )
2
(1.20, 1.21, S. 21)
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U
∇U=
+
+
∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
2
∇ 2U =
1 ∂  ∂ U  1 ∂ 2U ∂ 2 U
+
ρ
+
ρ ∂ ρ  ∂ ρ  ρ2 ∂α 2 ∂ z 2
∇ 2U =
1 ∂  2 ∂U 
1  ∂ 
∂U 
1 ∂2U 
r
ϑ
+
+
sin



 

r 2 ∂ r  ∂ r  r 2 sin ϑ  ∂ϑ 
∂ϑ  sin ϑ ∂α 2 
(1.19, S.21)
(1.59a, S.47)
(1.59b,c, S.47)
1 ∂2
1  ∂ 
1 ∂2U 
∂U 
(rU ) + 2
=
+
  sin ϑ

r ∂r2
r sin ϑ  ∂ϑ 
∂ϑ  sin ϑ ∂α 2 
r
r
r
r
∇ 2 F = (∇ 2 Fx ) e x + (∇ 2 Fy ) e y + (∇ 2 Fz ) ez
Totales Differential
(1.58a,b, S.46)
(1.22, S.21)
S. 47
Nützliche Formeln
Siehe Buch S. 49ff
Umfangsgeschwindigkeit:
r r r
u = ω ×r
Kugel:
V=
4
π R3
3
O = 4π R 2
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Die folgende Tabelle entstammt teilweise dem Buch aber auch dem Bronstein S.564 ff.
r r r
{eρ , eα , ez }
Zylinderkoordinaten
r
r
r
eρ = sin ϑ er + cosϑ eϑ
r r
eα = eα
r
r
r
ez = cosϑ er − sin ϑ eϑ
r = ρ2 + z 2
ρ = r sin ϑ
α=α
z = r cosϑ
ρ= x + y
2
r r r
{er , eϑ , eα }
Kugelkoordinaten
r
r
r
er = sin ϑ eρ + cosϑ ez
r
r
r
eϑ = cosϑ eρ − sin ϑ ez
r
v
eα = eα
u.a.: cosϑ =
z
ρ +z
2
2
,sin ϑ =
ρ
ρ + z2
2
α=α
r=
2
u.a.: cosϑ =
α aus Dreiecksbeziehungen !
z=z
r
r
r
eρ = cos α ex + sin α ey
r
r
r
eα = − sin α ex + cos α ey
r r
ez = ez
x = ρ cos α
y = ρ sin α
z=z
r
r
r
ex = cos α eρ − sin α eα
r
r
r
ey = sin α eρ + cos α eα
r r
ez = ez
r
r
∂ eρ
∂ eρ r
=0
= eα
∂ρ
∂α
r
r
∂ eα
∂ eα
r
=0
= −eρ
∂ρ
∂α
r
r
∂ ez
∂ ez
=0
=0
∂ρ
∂α
x2 + y2 + z2
z
x2 + y2 + z2
α aus Dreiecksbeziehungen
r
r
r
r
er = sin ϑ cos α e x + sin ϑ sin α e y + cosϑ ez
r
r
r
r
eϑ = cosϑ cos α e x + cosϑ sin α e y − sin ϑ ez
r
r
r
eα = − sin αe x + cos αe y
x = r sin ϑ cos α
y = r sin ϑ sin α
r
∂ eρ
=0
∂z
r
∂ eα
=0
∂z
r
∂ ez
=0
∂z
(1.52, S.44)
r
r
r
r
dr = (dρ) eρ + ( ρ dα) eα + (dz ) ez
r
r
da = ρ dα dz eρ
r
r
bzw. dρ dz eα bzw. ρ dρ dα ez
dV = ρ dρ dα dz
(1.51, S.44)
z = r cosϑ
r
r
r
r
ex = sin ϑ cos α er + cosϑ cos α eϑ − sin α eα
r
r
r
r
ey = sin ϑ sin α er + cosϑ sin α eϑ + cos α eα
r
r
r
ez = cosϑ er − sin ϑ eϑ
r
r
r
∂ er
∂ er r
∂ er
r
=0
= eϑ
= sin ϑ eα
∂r
∂ϑ
∂α
r
r
r
∂ eϑ
∂ eϑ
∂ eϑ
r
r
=0
= − er
= cosϑ eα
∂r
∂ϑ
∂α
r
r
r
∂ eα
∂ eα
∂ eα
r
r
=0
=0
= − sin ϑ er − cosϑ eϑ
∂r
∂ϑ
∂α
(1.52, S.44)
(1.53a, S.44)
(1.55a-c, S.46)
r
r
r
r
dr = (dr ) er + (r dϑ ) eϑ + (r sin ϑ dα) eα
r
r
da = r 2 sin ϑ dϑ dα er
r
r
bzw. r sin ϑ dr dα eϑ bzw. r dr dϑ eα
dV = r 2 sinϑ dr dϑ da
(1.53b, S.45)
(1.54d-e, S.46)
(1.54a, S.45)
(1.54b, S.46)
Vorsicht: Die Ursprünge der Koordinatensysteme müssen zusammenfallen und wie üblich ausgerichtet sein ! Viele der
Beziehungen können durch eine Zeichnung schnell hergeleitet werden !
Kreuzprodukt
 a 2 b3 − a 3b2 

r r 
a × b =  a 3b1 − a1b3 


 a1b2 − a 2 b1 
r r
r r
r r
a × b = a ⋅ b ⋅ sin(a , b )
r r r r r r
r r r
Doppeltes Vektorprodukt a × (b × c ) = b ⋅ ( a ⋅ c ) − c ⋅ ( a ⋅ b )
c2 = a 2 + b2 − 2ab cosγ
γ liegt c gegenüber
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Kosinussatz:
2.
Ladung,
Strom
Coulombsches Gesetz
r
r
1 q1 q 2 r
e21 = − F2
2 Ladungen: F1 =
2
4πε r12
r
q r
q r 
1
3 Ladungen F3 =
q3  21 e13 + 22 e23 
4πε 0  r13
r23 
und
EM-Feld
(2.5a,b, S.54)
usw.
(S.54 unten)
Gilt nur für ruhende Punktladungen, Coulombsche Kräfte gehorchen dem Superpositionsprinzip
Ladungsdichten
Raumladung
σ (r ) =
Flächenladung
Q = ∫∫∫ ρdV
dQ
dV
ρ (r ) =
(2.6a,b, S.55)
G
Q = ∫∫ σda
dQ
da
(2.7a,b,
S
S.56)
Linienladung
τ (r ) =
Kraft einer unendlichen Linienladung auf eine Ladung
dq = τds = σda = ρdV = idt ...
dq-Ansatz:
I=
Strom
Stromdichten
dQ
dt
nur bei Elektronen
r
r
r
J = ρ + u+ + ρ − u−
(2.11b, S.60)
Q = ∫ τds
dQ
ds
(2.8a,b, S.56)
K
r
τ r
Fq = q
eρ
2περ
(2.9, S.58)
(S.58 Mitte)
r
r
r
J = −e n u− = ρ− u−
(2.11a, S.60)
r r
dI = J ⋅ n da (2.13b, S.61)
r r
I = ∫∫ Jda
(2.12, S.60)
S
r
r
r
K = σ + u+ + σ − u−
(2.15, S.61)
r r
dI = K ⋅ t ds (2.16, S.62)
r r
I = ∫ K ⋅ t ⋅ ds
K
i = τ + u+ + τ − u−
r
r
∆F1
∆F2
µ 0 i1i2 r
e =−
=−
∆s
∆s
2π ρ12 21
Ampèresches Gesetz
mit
µ 0 = 4π ⋅ 10 −7
Kontinuitätsgleichung
0
dQ
= −I
global
dt
r I r
J= n
a
falls J homogen und parallen zu n ist, gilt:
N
A2
(2.22, S.66)
(2.18c, S.65)
lokal
(2.14, S.61)
(2.17a,b, S.65)
1
= c02
ε 0µ 0
(2.21, S.65)
r
∂ρ
div J = −
∂t
(2.23. S.67)
Anwendung z.B. bei punktueller Vorgehensweise, wie in Bsp.2.3.1a, S.67 (Dipolantenne)
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Physikalisches Feldkonzept:E und B
S. 71
Lorentzkraft
r
r r r
r
r
Kraft auf eine bewegte Punktladung
F = q E + u × B = Fel + Fmag
r
r
r r
r
dF- Ansatz mit dq ⋅ u = i ⋅ dr = K ⋅ da = J ⋅ dV = ρdV ⋅ u Stromelementformen
(
)
EM-Feld gleichförmig bewegter Punktladungen
q
Bild 2.16
u
(z)
ϑ(t)
r(t)
P(ortsfest)
eα
er(t)
2
r
E=
q
4πε 0 r 2
u
1− 2
c0
u2
1 − 2 sin 2 ϑ
c0
(2.24, S.71)
3
r
er
r µ q
B= 0 2
4πr
(2.25, S.73)
u2
1− 2
c0
u2
1 − 2 sin 2 ϑ
c0
3
r r
u × er
r r
wenn u = 0
r
E=
q r
e
4πε 0r 2 r
r r
B=0
r
wenn u << c0
r
E=
q r
e
4πε 0r 2 r
r µ quz sin ϑ r
µ q r r
B= 0
eα = 0 2 u × er
2
4πr
4π r
(2.26, S.73)
(2.27, S.73)
(2.28, S.73)
diese Näherung erfüllt nicht immer die Maxwellgleichungen, vor allem 3.2. nicht
r 1 r r
B= 2 u×E
c0
Fazit:
solange Bewegung gleichförmig
B senkr. zu E
relativistische Kraftwirkung zweier bewegter Teilchen siehe Buch S. 75, 76
(2.29, S.75)
(2.30, S.75)
Abhängigkeit der Feldgrößen vom Bezugssystem (S.80f)
Lorentz-Transformation
x’ = x
wenn
mit
y’ = y
2
0
2
0
u
<< 1
c
γ=
1
u02
1− 2
c0
 u0 
t ’ = γ t − 2 z 
 c0 
z ’ = γ ( z − u0 t )
d.h.
γ ≈1
r
r r
r
E ’ = E + u0 × B
r
r 1 r
r
B ’ = B − 2 u0 × E
c0
(2.32, S.81)
(2.35, S.81)
(2.34a,b, S.81)
Die Werte von E und B hängen davon ab, in welchem Bezugssystem sie gemessen werden.
Die Transformation erfolgt allgemein für E, B und J nach
(S.80, S.81)
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3.
r
r r
ρ(r , t )
divE (r , t ) =
ε0
Maxwellsche
Gleichungen
r
∫∫ E (rr, t ) ⋅ dar = ε ∫∫∫ ρ(rr, t )dV =
(3.1, S.82)
1
0
S
r r
∂ r r
rotE (r , t ) = − B(r , t )
∂t
r r
divB(r , t ) = 0
G
Q( t )
ε0
(3.41a,b,S.105)
•r
r r
r
∫ E (r , t ) ⋅ dr = − ∫∫ B(rr, t ) ⋅ dar
(3.2, S.82)
K
(3.42a, S.106)
S
r
∫∫ B(rr, t ) ⋅ dar = 0
(3.3, S.82)
(3.43, S.106)
S
r r
r r
∂ r r 
rotB (r , t ) = µ 0  J (r , t ) + ε 0
E (r , t ) 
∂t


(3.4, S.82)

r
r

r
•
∫ B(rr, t ) ⋅ drr = µ  ∫∫ J ⋅ dar + ε ∫∫ E (rr, t ) ⋅ dar 
0
K
0
S
(3.44a, S.106)
S
„E und B sind Vakuumgrößen; das Superpositionsprinzip ist eine Konsequenz der Linearität“
Quellen von E
q
wenn q ⊂ S
r r ε0
∫∫S E ⋅ da = 0 wenn q ⊃ S
(3.5, S.83)
•r
r
Wichtig: div ( J + ε 0 E ) = 0
(3.8, S.85)
Wirbel von B
Gesetz von Biot-Savart
r
r r
r r
µ 0 i dr , × (r − r , )
B(r ) =
r r 3
4π ∫K
r −r,
(3.10, S.87)
Es gibt keine B-Komponenten parallel zu i ! Gesetz gilt nur im statischen und quasistationärem Fall !!
Ampere-Feld eines Drahtes endlicher Länge
r
z − z1
z − z2
µ i 
∆B ( P) = 0 
−
2
2
4π ρ  ( z − z1 ) + ρ
( z − z2 ) 2 + ρ 2

und unendlicher Länge
z1 → −∞, z2 → ∞
r µ i r
(3.11a,b, S.88)
B = 0 eα
2π ρ
r
 eα

Unendliche Flächenladung (x-y-Ebene)
Unendlicher Flächenstrom (x-y-Ebene, y-Richtg)
r
σ r
E=±
e
2ε 0 z
r
µ0 K y r
B=±
ex
2
z >, < 0
r
r
B = rotA
r
divA = 0
Vektorpotential
(3.70, S.120)
Durchflutungsgesetz (S.93-95)
r
r
∫ B ⋅ drr = µ 0 ∫∫ J ⋅ dar
K
(3.45, S.112)
r
r r
µ 0i
t,
,
A( r ) =
∫
r r , ds
4π K r − r
r
r
r
r
rotB = rot rot A = grad div A − ∇ 2 A
(3.14b, S.89)
(3.19, S.90)
rotB = 0
(3.20a, S.90)
(3.26, S.95)
r
r
rotB = µ 0 J
(3.27, S.95)
(3.14a, S.89)
(3.18, S.89)
für einen linienförmigen, geschlossenen Gleichstrom gilt:r
∇2 A = 0
z >, < 0
(3.15, S.89)
S
Dieses Gesetz ist nicht richtig !! Aus ihm entstand Maxwell 4 s.o.; Ergebnis der Betrachtungen: B hat genau dort Wirbel, wo
Ströme fließen und elektrische Felder sich zeitlich ändern. Vorsicht: Widerspricht auch endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit !
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
r
r
divB = 0
Es gibt keine magnetischen Ladungen !
∫∫ B ⋅ dar = 0
Quellen von B
(3.30, S.97)
(3.31, S.97)
Wirbel von E
r r
Φ = ∫∫ B ⋅ da
Magnetischer Fluß
(3.32, S.97)
S
•
r r
r r r r
r • ( B) • (u)
Φ = ∫∫ B⋅ da − ∫ (u (r ) × B(r )) ⋅ dr = Φ + Φ
•
•
S
(3.33, S.99)
K
wenn B sich ändert und K sich bewegt; oft muß das Ringintegral nicht ausgewertet werden (B=const), dann Ψ zeitl. ableiten
•
• ( B)
Es geht nur
Φ
ins Induktionsgesetz ein. Erst nach Verknüpfung mit dem Ohmschen Gesetz für
• (u)
bewegte Leiter geht auch
Φ
mit ein. Erst dann ist von ind. Strömen die Rede.
•r
r r
∫ E ⋅ dr = − ∫∫ B⋅ dar
Induktionsgesetz (S.101f)
K
(3.40, S.102)
•r
r
rotE = − B
(3.2, S.82)
S
E hat genau dort Wirbel, wo sich magnetische Felder zeitlich ändern
Je nach Bezugsystem ändern sich E und B, Φ bleibt jedoch gleich, solange
• (u)
u << c0
•
• ( B)
Φ Σ = Φ Σ’
Grenzbedingungen für E und B
r r r
r
σ
DivE: = n ⋅ ( E + − E − ) =
ε0
(Basis der Herleitung des Induktionsgesetzes)
(S. 112ff),
(3.38, S.102)
Def: n zeigt von „-“ nach „+“
(3.48, S.114)
Die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke an einer geladenen Fläche ist unstetig.
r r r
r
DivB: = n ⋅ ( B + − B − ) = 0
da es keine magnet. Monopole gibt
Die Normalkomponente des B-Feldes ist an allen Grenzflächen und unter allen Umständen stetig.
r r
r
r
r
RotB: = n × ( B + − B − ) = µ 0 K
r
r
r
r
t ⊥ ⋅ ( B + − B − ) = µ 0 K (3.59a, S.116)
r
r r
t || ⋅ ( B + − B − ) = 0
(3.53, S.115)
(3.57, S.116)
(3.59b, S.117)
Die zum Flächenstrom senkrechte Tangentialkomponente des B-Feldes ist unstetig an strombelegten
Flächen, die parallele Tangentialkomponente dagegen stetig.
r r
r
r
r
RotE: = n × ( E + − E − ) = 0
(3.64, S.117)
Alle Tangentialkomponenten des E-Feldes bezüglich einer Fläche sind dort stetig.
•
r r r
r
DivJ : = n ⋅ ( J + − J − ) = − σ
Analogon zur differentiellen Kontinuitätsgleichung
(3.69, S.118)
In der Grenzfläche dürfen keine flächenhaften Ströme fließen, die in die Strombilanz miteinbezogen werden müßten.
Zusammengefaßt nach S. 118:
r r r
r
σ
DivE: = n ⋅ ( E + − E − ) =
ε0
r r r+ r−
DivB: = n ⋅ ( B − B ) = 0
•
r r r
r
DivJ : = n ⋅ ( J + − J − ) = − σ
(3.65, S.118)
r r
r
r
r
RotE : = n × ( E + − E − ) = 0
(3.66, S.118)
(3.67, S.118)
r r r
r
r
RotB: = n × ( B + − B − ) = µ 0 K
(3.68, S.118)
(3.69, S.118)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
4.
Elektrostatik
Wenn alle in den Maxwellschen Gleichungen auftretenden Größen zeitunabhängig sind:
r ρ
r r
Statischer Fall
divE =
(4.1, S. 125)
rotE = 0
(4.2, S. 125)
ε0
r
r
r
mit
ρ = ρ frei + ρ pol
außerdem:
divB = 0
rotB = µ 0 J
(S. 125 oben)
r
Elektrostatisches Potential E = − grad ϕ
r r
ϕ( P) = − ∫ E ⋅ dr
P
(4.3, S.125)
(4.4, S.125)
P0
ϕ+ =ϕ−
Grenzbedingungen:
Kugelsymm. E-Feld ϕ(r ) =
σ
r
n ⋅ (∇ + ϕ − ∇ − ϕ) = −
ε0
r
q r
E=
e
(r0 → ∞) (4.7b, S.126)
4πε 0 r
(stetig)
q
4πε 0 r
(4.6, S.125)
Ansätze mit dE und dϕ aus dem kugelsymmetrischen Feld !!
ϕ( ρ) =
Linienladung
ρ0
τ
ln
2πε 0
ρ
r
E=
(4.8, S.127)
τ r
e
2πε 0 ρ ρ
(4.5, S.125)
(2.27, S.73)
(4.9, S.127)
r r
U 12 = ∫ E ⋅ dr = ϕ( P1 ) − ϕ( P2 )
P2
Elektrische Spannung
(4.10, S.128)
P1
P2
Arbeit der elektrischen Kraft
r r
Ael = q ∫ E ⋅ dr = qU 12
Verschiebungsarbeit von Außen
r
r r
aus Fa + qE = 0 folgt: Aa = − Ael = q (ϕ( P2 ) − ϕ( P1 ))
(S.128 unten)
P1
zum Vorzeichen:
das System, von dem die Kraft stammt gibt Energie (z.B als Epot) ab, dann ist Ael > 0, das System, auf
das die Kraft einwirkt nimmt die Energie Ael (z.B. als Ekin) auf
r
r
p = ql
Elektrischer Dipol
r
r
p = ql
Punktdipol
ql cosϑ
ϕ( P) =
4πε 0 r 2
z
l zeigt von -q nach +q
r
wenn l → 0 und p = const
r r
p ⋅ er
=
4πε 0 r 2
(4.13, S.129)
r
E=
(4.12, S.128)
(4.14, S.130)
pz
r
r
3 ( 2 cos ϑ er + sin ϑ eϑ )
4πε 0 r
Kraft und Drehmoment auf relektrischen
r Dipolr im äußeren Feld
r
r
∂E
∂E
∂E
r
+ py
+ pz
and. 1.60a,b, S. 47, R2
F = ( p ⋅ ∇) E = p x
∂x
∂y
∂z
r
r r
r r
r
F = ∇( p ⋅ E ) gilt unter statischen Bedingungen, d.h. wenn rotE = 0 (s.o) und p = const gilt !
r r r
r r r
erg. 1.60a,b, S.47, R2
T = r × ( p ⋅ ∇) E + p × E
Potentielle Energiereines Dipols in einem fremden, statischem el. Feld
r
r
Wpot = − p ⋅ E ( r0 )
r
F=−
r
qp
E
wenn 

→ 
p→
2πε 0 r03
Multipolentwicklung des Potentials
r
ϕ(r ) =
1
4πε 0
N
∑r
ν=1
ν=1
(4.23, S.136)
qν
r
r − rν
N
Q = ∑ qν
2. Näherung, Zusatz:
(4.15, S.130)
(4.17, S.132)
(A4.4, S.365)
(4.18, S.132)
(A35)
Punktdipol im kugelsymmetrischen Feld
r
r
qp
E
F=
wenn 

→ ↓ p (S.133 unten)
4πε 0 r03
1. Näherung:
(4.11, S.128)
(A4.4a)
(4.20, S.135)
r N
p = ∑ qνrν
(4.24, S.136)
ν=1
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Virtuelle Ladungen, Appoloniuskreise, Influenz,
P
(x)
r’’
zM
ϕ
r’
r
z=l
q’’ q’
R
q
(z)
s’
s
Faßkreise = Äquipotentiallinien
R
s
1
q′ = − q
q′ = − q
k=
k >1
s
k
R
k 2l
l
s s′ = R 2
s= 2
s’= 2
k −1
k −1
kl
−l
R= 2
z M = − s’= 2
k −1
k −1
q ′′
1  Q0 q 
 + 
Q0 = q ′ + q ′′ ϕ 0 =
=
4πε 0 R 4πε 0  R s 
unterschiedliche Betrachtungsweisen: Kugel isoliert: Gesamtladung Q0= const, oder durch Sp.quelle mit Fernkugel verb. ϕ0=const.
∇ 2ϕ = −
Poissonsche Differentialgleichung
ρ
ε0
Grenzbed. siehe links !
(4.25, S.136)
Vorraussetzung ist statisches Feld, d.h. 4.2, S.125, siehe links, muß unbedingt gelten.
Lösung für eine im Endlichen liegende Ladungsverteilung
r
r r
1
1
ρ(r ’ )
r
’
E (r ) =
ϕ(r ) =
(4.31, S.140)
∫∫∫
r r ’ dV
4πε 0
4πε 0
r −r
r r’
r ’ (r − r )
∫∫∫ ρ(r ) r r ’ 3 dV ’
r −r
(4.32, S.140)
folgt aus 4.7b mit dem dϕ = f(dq) Ansatz; Flächenladung analog mit σda !
Eindeutigkeit der Lösung bei allgemeinen Potentialproblemen
~ ~ r
~ r
Angenommen es gilt Gl. (4.34)
∫∫ (ϕ ∇ϕ ) ⋅ da = 0 ⇒ ∇ϕ ≡ 0
(4.34, S.141)
S
Dann ist das Potential bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt. Hinreichende Bedingungen sind:
(a) Dirichletsche Randbedingung: Das Potential ist auf der Randfläche S vorgeschrieben. Dann muß dort ϕ 1 ≡ ϕ 2 bzw. ϕ ≡ 0
gelten, und Gl. (4.34) ist erfüllt.
(b) Neumannsche Randbedingung: Die Normalkomponente des Potentialgradienten ist auf S vorgeschrieben. Dann muß dort
r
r
r
∇ϕ 1 ⋅ n da = ∇ϕ 2 ⋅ n da bzw. ∇ϕ~ ⋅ n da = 0
(c) Das Potential soll einen beliebigen, aber konstanten Wert auf S haben. Gleichzeitig soll das über S erstreckte Hüllenintegral
des Potentialgradienten einen vorgeschriebenen Wert besitzen. Dann muß auf der Randfläche sowohl
ϕ~ ≡ ϕ 1 − ϕ 2 = const
als auch
r
∫∫ ∇ϕ ⋅ da = ∫∫ (∇ϕ
~
S
1
r
− ∇ϕ 2 ) ⋅ da = 0 gelten, und Gl. (4.34) ist erfüllt.
S
(d) Die Fläche S in Gl. (4.34) sei jetzt die Fernkugel. Das Potential soll dort mindestens wie 1/r abnehmen.Folglich nimmt
r
~
n ⋅ ∇ϕ
dort mindestens wie 1/r² ab. Da auch ϕ diese Forderung erfüllt, falls ϕ 1 und ϕ 2 das tun, und der Inhalt der
Kugeloberfläche nur wie 1/r² zunimmt, geht die linke Seite der Gl. (4.34) mindestens wie 1/r gegen Null, wenn sich S der
Fernkugel nähert.
Eine Lösung der Poissonschen DGL, welche eine der 4 genannten Randbedingungen erfüllt, ist bis auf eine additive
Konstante eindeutig bestimmt, die bei der Berechnung von E keine Rolle spielt.
2 Potentialprobleme sind gleich, wenn ihre DGL und ihre Randbedingunen gleich sind. Wichtige Anwendung: Faraday-Käfig
Energie des E-Feldes: (innere potentielle Energie, bzw. von außen aufzubringende Arbeit)

1
1 N
Allg.: Aa = ∑ qν ϕ ν
(4.47, S.152)
Aa = W =  ∫∫∫ ϕρdV + ∫∫ ϕσda 
2 G
2 ν =1

S
(4.51, S.153)
für räumlich und flächenhaft verteilte Ladungen
3 Q02
5 4πε 0 R
dW ε 0 r 2
= E
Räuml. Energiedichte des E-Feldes wE =
(4.53, S.154)
2
dV
speziell bei einer homogenen
Kugelladung
5.
W=
Metallische
(S.154 Mitte)
W=
ε0
2
r2
∫∫∫ E
dV
(4.55, S.155)
Raum
Leiter
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Ohmsches Gesetz
r
r
J = κE
falls ruhend !
(5.5, S.157)
κ = enb bei e- (el. Leitfähigkeit)(5.4, S.157)
r
r r r
J = κ( E + u × B )
Ohmsches Gesetz für bewegte Leiter im B Feld
für
r
r J r r
r
r
r r
E = −u×B
gerne benutzt:
bei e-: J = κE − b( J × B )
(5.7, S.158)
κ
r
u 2 << c02
(5.6, S.158)
r2
r r
J = κE ⋅ J (5.8, S.158)
bei e- bedeutet: bei ausschließlicher Elektronenleitung !
U=IR gilt bei bewegten Leitern nicht mehr !!!
Driftgeschwindigkeit, Stromdichte und Kraft für Elektronen
r
b r
r
r
uD = F
J = − enu D
(5.1, S.156)
(5.2, S.157)
e
r
r r
r
F = − e( E + u D × B )
(5.3, S.157)
zu Hall-Effekt siehe UNBEDINGT Anhang C, Räumliches: Bemerkungen zum Halleffekt !
Hall-Effekt wenn nur Elektronen zur Leitfähigkeit beitragen: wegen der e- entsteht an bestimmten Stellen das „-“
r
r
r
b r r
r
r
1 r
E⊥ = ( J × B ) = − (uD × B) = RH Bz J x ey
E|| = J
(5.9a, S.158)
(5.9b, S.159)
κ
κ
Das Auftreten dieser senkrechten Komponente wird Hall-Effekt genannt → E⊥ heißt „Hall-Feld“
RH = −
 m3 
b
1
=
= 
κ −en  As 
U H = RH Bz J x l
(5.10, S.159)
Vorzeichen von UH und RH je nach Art der Ladungsträger
Hallwinkel βH: ist definiert als Winkel zwischen J und E, also allgemein
r r
J⋅E
cosβ H = r r
J E
r
E⊥
oft, aber nicht immer (Anordnung!) gilt tan β H = r z.B. (5.11b, S.159)
E ||
r r
Joulsche Wärme: Leistungsdichte
p= J⋅E
(5.13, S.161)
allgemein
(Def. S.159ob)
r
J⊥
oder
tan β H = r z.B. (A5.1)
J ||
1 r2
p= J
(5.14, S.161)
κ
für ohmschen Leiter, auch bei Hall-Effekt
Allgemeines Problem stationärer Stromverteilungen
r
(5.15, S.161)
stationär:
divJ = 0
Laplace-Gleichung
(5.12, S.159)
nicht Stationär:
•
r
divJ = − ρ
∇ 2ϕ = 0
in Bereichen konstanter Leitfähigkeit
ϕ 1 − ϕ 2 = U zwischen den Elektroden
Grenzflächen zwischen verschiedenen Leitfähigkeiten
r r r
r
DivJ = n ⋅ ( J + − J − ) = 0
(5.22, S.164)
daraus folgt:
(5.17, S.162)
r
r
r
n ⋅ (κ+ E + − κ− E − ) = 0
Die Normalenkomponente stationärer Stromdichten ist an Grenzflächen stetig, die Normalkomponente des elektrischen Feldes
springt. Es existieren Flächenladungen nach (3.65, S.118).
r 1 r
1 r
t ⋅( + J+ − − J−) = 0
κ
κ
(5.23, S.164)
+
n
Grenzbedingungen: J = J
−
n
J t+ κ +
=
>0
J t− κ −
Die Tangentialkomponenten von J sind unstetig, da die Tangentialkomp. des E-Feldes nach (3.66, S.118) unbedingt stetig sind.
Brechungsgesetz der Stromlinien
tan β + =
κ+
tan β −
κ−
(5.24, S.164)
Dort, wo κ örtlich nicht konstant ist, können Ladungen sitzen. Dagegen ist jeder Homogenitätsbereich von κ ladungsfrei.
In einen idealen Leiter treten die Stromlinien senkrecht ein.
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
U = RI
Ohmscher Widerstand
R=
zylindrisch
l
κa
(5.33, S.168)
(5.35, S.169)
Stromlos ruhende Metallkörper, Influenzeffekt
innerhalb stromlos ruhender Leiter
r
r
r
r
wegen rotB = µ 0 J , div (rot(... ))=0 mit J = κE
r ρ
und divE = ε schließlich die Raumladungsfreiheit:
0
PJoule = ∫∫∫
R=
krummer Quader
r
E=0
1 r2
J dV = RI 2
κ
α0


κ h ln1 + h ρ 
0
r
wegen J = 0
(S. 171, Mitte)
(5.37, S.171)
ρ= 0
nach Krass
innerhalb des metallischen Bereiches, q erzeugt ein äußeres E-Feld, σ wird dadurch influenziert
r
r
E ( q ) + E (σ ) = 0
Grenzbedingung an Metalloberflächen
(5.34, S.168)
r
σ (P) r
E + ( P) =
n(P)
ε0
(5.38, S.172)
(5.40, S.173)
Das Feld tritt also immer senkrecht in den metallischen Leiter ein.
Prinzip der fiktiven oder virtuellen Spiegelladung (S.173ff) Spiegelladung bestimmen, E-Feld außerhalb des
metallischen Bereiches berechnen, E in der Nähe des metalischen Bereiches → σ nach (5.40, S.173)
Mehrleitersysteme
Potentiale ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 von 3 Leitern mit Q1 , Q2 , Q3 beliebig vorgegeben (und umgekehrt)
Dirichletsche Randwertaufgabe, eindeutige Lösung ϕ im ladungsfreien Raum
Zwischen den Potentialen der drei Leiter und ihren Ladungen besteht eine eindeutige Zuordnung
Potential- und Kapazitätskoeffizienten
3
ϕν = ∑ pνµ Qµ
µ=1
3
(5.46, S.180)
Qν = ∑ cνµ ϕ µ
(5.47, S.180)
cνµ = cµν
(5.54, S.182)
µ =1
Symmetrie, Reziprozität
pνµ = pµν
(5.53, S.182)
Wichtige Eigenschaften
cνν > 0
cνµ < 0
∑c
c11c22 − c122 > 0
(5.61, S.187)
p11 > 0, p22 > 0, p12 = p21 > 0 (5.62a, S.187)
p11 , p22 > p12
(5.62b, S.187)
p11 + p22 − 2 p12 > 0
2-Leitersystem
ν
νµ
>0
~
~
~
~ +Q ϕ
~
~
Q1ϕ
1
2 2 + Q3 ϕ3 = Q1ϕ1 + Q2 ϕ 2 + Q3ϕ 3
Umkehrungssatz:
(5.56, S.184)
(5.62c, S.187)
aus Klausur April ‘96
Diese Beziehung zwischen 2 Betriebszuständen (mit und ohne ∼) einer Anordnung gilt wegen der Reziprozität.
Wenn Zustände beliebig wählbar sind, dann diese Variablen ausklammern. Die Klammerausdrücke müssen einzeln Bed. erfüllen !
Energie eines Mehrleitersystems
W=
ε0
2
r2
∫∫∫ E
dV = −
G
ε0
2
r r
∫∫ ϕEda
(5.58, S.186)
W = Q1U 10 + Q2U 20 + Q3U 30 +...
(5.59, S.186)
(5.63, S.187)
1
1
1 Q2
2
W = QU = CU =
2
2
2 C
(5.66, S.189)
(5.67, S.191)
Kugelkondensator
S
Kondensatoren
Q = CU
Plattenkondensator
C=ε0
a
l
C = 4πε 0
r0 r1
r0 − r1
(5.68, S.192)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
6.
r
divB = 0
Magnetostatik
r
r
rotB = µ 0 J
(6.1, S.194)
r
divJ = 0
⇒
(6.2, S.195)
Ursache des magnetostatischen Feldes sind stationäre d.h. quellenfreie und zeitunabhängige Ströme
Vektorpotential
r
r
B = rotA
r r
Φ = ∫ Adr
(6.3a,b, S.194)
r
divA = 0
(6.4, S.195)
K
Stromdurchflossener Draht
r µi r
B = 0 eα
2πρ
(3.11b, S.88)
Az ( ρ) = −
µ 0i ρ
ln
2π ρ0
(S.195 unten)
r
r
∇ 2 A = −µ 0 J
Differentialgleichung für das Vektorpotential
(6.7, S.197)
Lösung für einer im Endlichen liegende Stromverteilung: r
r
r
r
r r
r r
µ0
µ0
µ 0i dr ,
J (r , )
K (r , ) ,
,
A(r ) =
∫∫∫ rr − rr , dV (6.10, S.197) A(r ) = 4π ∫∫ rr − rr , da bzw. 4π ∫ rr − rr ,
4π
r r
r r
r
r
r
J (r ) dV = K (r )da = idr = ρdVu = dqu
mit dem Zusammenhang:
(Stromelemente)
r r
r r
r r
µ0
J (r , ) × (r − r , )
B
(
r
)
dV ,
=
Gesetz von Biot-Savart
and. (3.10b, S. 87)
3
∫∫∫
r
r
,
4π
r −r
Magnetischer Dipol (S. 200ff),magnetisches Dipolmoment
r
r
magnetischer Punktdipol
a → 0 aber m = ian = const
r
r
m = ian
( 6.12a,b, S.198)
(6.13, S.198)
(6.14, S.198)
(6.21, S.202)
(6.22, S.203)
r r µm
r r
µ m sin ϑ r
r
r
B (r ) = 0 3z (2 cosϑ er + sin ϑ eϑ )
A( r ) = 0 z 2 eα
(6.23, S.203)
4πr
4π r
r r
r r
µ ( m × er )
A(r ) = 0
(6.25, S.203)
6.23 bis 6.25 gelten nur für den Punktdipol exakt !
4πr 2
r
r r
r r
dF = dQ(u × B) = i dr × B partielle Kräfte aus Lorentzschem Kraftgesetz
Kräfte
r
r
r
r
r r
F = (m ⋅ ∇) B
(6.28, S.205)
magnetostatisch:
F = ∇( m ⋅ B )
r
r
r
r
r
m
B
Sonderfall:
Wenn 
→ ←→
feld(anti-)parallel, dann F = ± m ( ∇ B ) P0
Drehmomente
r r r
r r r
r r r
T = m× B
allg:
In homogenen B-Feldern:
T = r × ( m ∇) B + m × B
(6.24, S.203)
(6.26, S.204)
(6.30, S.205)
(6.31, S.206)
(A6.1, S.368)
Bei den Kräften und Drehmomenten sind immer die externen, äußeren Felder gemeint !!!
r
Verschwindet eine Gesamtkraft, so ist das Drehmoment unabhängig von einem Bezugspunkt
∫ dr ′ = 0
Induktivitätskoeffizienten
r r (i ) r
aus B = B + B fremd
S.207
und
r
r
r
r
Φ = ∫∫ B (i ) ⋅ da + ∫∫ B fremd ⋅ da = Φ( i ) + Φ fremd folgt die
S
Selbstinduktivität
Torusförmige Spule
Φ(i ) = Li
S
r µ Ni r
innen : B = 0 eα (S.210 Mitte)
2π ρ
(6.32, S.208)
L=
µ0N 2
ρ
l ln 2
ρ1
2π
(6.33b, S.210)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Wechselseitige Induktivitäten
Φ1 = L1i1 + M 12i2 + M 13i3
Neumannsche Formel
M νµ
Φ2 = M 21i1 + L2 i2 + M 23i3
r r
drµ ⋅ drν
µ0
=
∫∫
4π Kν Kµ rrν − rrµ
Φ3 = M 31i1 + M 32 i2 + L3i3
(6.37, S.212)
M νµ = M µν
(6.36, S.212)
(6.40, S.213)
Direkte Berechnung im allgemeinen zu schwierig !! Berechnung der Koeffizienten im allgemeinen viel einfacher mit:
r
r
Φν( µ ) = ∫∫ B ( µ ) ⋅ daν
(6.39, S.213)
L:=
oder
Sν
2W
I2
Definitionsgleichung !
(S.233oben)
von Stromschleife µ erzeugte, von Stromschleife ν rechtshändig umfaßter Fluß
Quasistatische Elektrodynamik
Bedeutung der Indizes:
„C“
(S. 217ff)
Coulomb-Gesetz,
div und rot wirken nicht auf t
r r
r
rot E C (r , t ) = 0
(6.45, S.217)
r r
div BBS (r , t ) = 0
Biot-Savart-Gesetz
„s“
statisch berechnet
r r
1 r
div E C (r , t ) = ρ(r , t )
ε0
•r
r
r r
r 
rot BBS = µ 0  J (r , t ) + ε 0 E C (r , t ) 


•
r r
r
div AS (r , t ) = − µ0 ε 0 ϕ S (r , t )
(6.47, S.217)
formgleich zur Lorentz-Beziehung:
r
„BS“
(6.46, S.217)
(6.51, S.217)
(6.50, S.217)
r
Die Felder E C , BBS befriedigen also die Maxwell-Gleichungen (3.1), (3.3), (3.4). Nur dem Induktionsgesetz (3.2) gehorchen sie
im allgemeinen nicht, und sind daher natürlich auch nicht die Lösung dieses Gleichungssystems im allgemeinen dynamischen Fall.
Ausnahme:
S.218)
•r
r
J ≡0
„fast statische Bedingung“
und
•
r
divJ = − ρ ≠ 0
(6.52,
Quasistationäre Näherung (langsam zeitveränderliche Stromverteilungen)
Das Feld Eind wird hinzuergänzt, damit das Induktionsgesetz gilt. Vernachläßigt wird hier aber der induzierte
Anteil der Verschiebungsstromdichte, nicht jedoch ihr coulombscher Anteil !
r r
r
E = EC + Eind
(6.56a, S.219)
r r
B = BBS
r r
•r
r r
J ( r ’, t )dV ’
µ0
r
mit
Eind (r , t ): = − A S (r , t ) = −
∫∫∫ rr − rr ’ als der korrigierende „induzierte el. Feldstärke“
4π
r
r•
r
r
r
E
A
=
−
Potentialbeziehungen
EC = −∇ϕS
B = rotAS
ind
S
„mod. Maxwell-DGL“
•
r
ρ
divEC =
ε0
r
divB = 0
•
r
div J = − ρ
••
r
r•
divEind = −div AS = ε 0 µ0 ϕS
(6.56b, S.219)
(6.55, S.218)
(6.57, S.219)
•r
r
rotE = − B
(6.58, S.219)
r
r
r•
rotB = µ 0 ( J + ε 0 EC )
(6.59, S.219)
die Kontinuitätsgleichung ist immer noch erfüllt
(S.219 Mitte)
ist im allgemeinen nicht mehr quellenfrei
(6.60, S.219)
Satz von Helmholtz S.219f
Die Darstellung (6.61, S.219) eines Vektorfeldes durch seine Quellenverteilung u und Wirbelverteilung w
wird Satz von Helmholz genannt oder Hauptsatz der Vekoranalysis.
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
7.
Induzierte
2πc0
ω
quasistationäre
Die Bedingung
lmax <<< χ =
Gegeninduktion:
wechselseitige Beeinflussung der Ströme
Selbstinduktion:
Rückwirkung der Ströme auf sich selbst
r i drr
J=
in Leitern mit konstantem Querschnitt
a ds
Vorbemerkung:
Ströme
präzisiert, wann die quasistatonäre Näherung anwendbar ist.
(7.4, S.224)
Induzierte Schleifenströme:
o
Spannung (immer zwischen 2 Raumpunkten) und Umlaufspannung U sind komplementäre Begriffe
r r
di
di
di
− ∫ E ⋅ dr = L1 1 + M 12 2 + M 13 3
dt
dt
dt
K
r r
ds o
U = ∫ E ⋅ dr = i ∫
= Ri
K
K κa
Vorsicht Vorzeichen !
(7.3a, S.222)
•
o
o
• ( B)
Ri = − Φ
(7.5, 7.6, S.224)
K: Integration in i-Richtung, homogenes J vorrausgesetzt
(7.7, S.225)
bei stehender Leiterschleife
Nur der Anteil Eind
bringt einen von null verschiedenen Wert in den Ringintegralen, denn nur dieser ist verwirbelt. Die
Ringintegrale haben die Dimension einer Spannung, sind aber Umlaufspannungen. Die Spannung wird hier wegabhängig !
Selbstinduktion und wechselseitige Induktion bei 2 Stromschleifen
S. 225f
Man siehe da vor allem aus Bild 7.2, S.226 die Richtungen von i, di/dt, und dB/dt zueinander !
Energie des B-Feldes
(S. 228ff)
Bei 1 Stromschleife
r
di
∫ E ⋅ drr = − L dt
K
W=
(7.9, S.228)
1 2
Li
2
(7.12, S.229)
Bewegung der Ladungsträger gegen die Kraft, die das induzierte Feld auf sie ausübt
Bei 3 Stromschleifen
Lν = Lνν , M νµ = Lνµ
mit
W=
3
r r
di
∫ E ⋅ drν = − ∑ Lνµ dtµ
µ=1
Kν
folgt:
1 3 3
1
Lνµiνiµ = ( L1i12 + L2i22 + L3i32 ) + M12i1i2 + M13i1i3 + M 23i2i3
∑
∑
2 ν=1 µ=1
2
L=
Zylinderspule
µ 0N 2a
l
(7.14, S.230)
(7.16, S.230)
(7.17b, S.231)
Räumliche Energiedichte
wB =
W=
1 r2
B
2µ 0
rr
1
( AJ )dV
∫∫∫
2 Raum
(7.18, S.232)
(7.20, S.232)
W=
1
2µ 0
r2
∫∫∫ B dV
(7.19, S.232)
Raum
1
W = (i1Φ1 + i2Φ2 + i3Φ3 )
2
(7.21, S. 232)
bei einer dreischleifigen Anordnung
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Koaxialleitung
Induktivität:
L=
ρ 
2W µ 0  1
=
 + ln 2  l
2
ρ1 
I
2π  4
L=
Induktivitätsbelag
(7.22a, S.233)
L µ0 µ0 ρ2
ln
=
+
= Li + La
l 8π 2π ρ 1
(7.22b, S.234)
Strom-Spannungs-Beziehung bei Spule und Trafo
U = LSp
Spule
di
dt
bei höheren Frequenzen noch Streukapazitäten
Physikalische Interpretation
U 1 = L1
Trafo
allg:
S. 237
di1
di
+M 2
dt
dt
L1 L2 ≥ M 2
U2 = M
di1
di
+ L2 2
dt
dt
Feste Kopplung
(7.37, S.239)
bei fester Kopplung ist die Übersetzung
Induktion in bewegten Leitern
(7.35, S.237)
(7.36, S:239)
L1 L2 = M 2
(7.38, S.239)
U1
=
U2
(7.40, S:239)
L1
L2
r
r r r
J = κ ⋅ ( E + u × B)
Ohmsches Gesetz für bewegte Leiter
(5.6, S.158)
Bewegte Leiterschleifen
Faradaysche Flußregel
(7.45)
r
o
r
r
J
(7.44, S.244)
∫ κ ⋅ drr = R i = ∫ ( E + ur × B) ⋅ drr
K
K
o
also:
•
Ri = −Φ
r&
• ( B)
φ
•
• ( B)
• (u)
•
r
r
∫ ( E + ur × B) ⋅ drr = − Φ − Φ = − Φ
K
•
• (u)
Φ= Φ +Φ
mit dem kompletten Fluß
r
• (u )
r& r
= ∫∫ Bda
•
• ( B)
(3.34a, S.99)
φ
(7.45, S.244)
(7.46, S.244)
r r r
= − ∫ ( u × B) ⋅ dr
(3.34b, S.99)
dies ist eine Verallgemeinerung von (7.7, S.225, siehe links), es reicht den kompletten Fluß nach der Zeit abzuleiten
interessante Beziehung:
r r
iR − U = ∫ E ⋅ dr
R. fragen ob immer gültig !!!
r
r
R ⋅ i r i dr
J =κ
e =
nicht vergessen:
Stromdichte zeigt in Richtung des Stromes
l i a ds
•
di
dL •
Wenn sich L bewegt und seine Form ändert
Φ = L +i
+ Φ fremd
(7.47, S.244)
dt
dt
Gutes Beispiel zur Asynchronmaschine
S.245
r r r
Homogenes B-Feld T = m × B
l
R=
κA
Anmerkungen zu
- Wirbelströme,
- mögliche Fehler,
- Lenzsche Regel
(S.247)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
8.
Elektrisch
r dpr
P=
dV
Elektrische Polarisation
ρ0 =
dQ
dV
polarisierbare
Stoffe
(8.1, S.248)
r
r
dp = dQl mit dQ = N (−e)
(8.2, S. 249)
(8.3, S.249)
r
r
P = ρ0 l
(8.4, S.249)
l : kleinräumige Ladungsverschiebung, Verbindung von Polarisation und Dipolmoment durch 8.1 !
In Leitern
κ = endlich
P=0
In Nichtleiternκ = 0
P = endlich
Polarisationsladungen
Grundlage:
r r
− Qversch = − ∫∫ Pda = −
S
Folgerung:
r
div P = −ρ pol
r
∫∫∫ div( P)dV = ∫∫∫ ρ
G von S
pol
dV = Q pol
(8.7f, S.250)
G von S
σ pol =
(8.8, S.251)
dQversch
da
(8.9, S.251)
n ist immer die äußere Flächennormale !
σ pol = σ+pol + σ−pol
r r r
r
Div P = n ⋅ ( P + − P − ) = −σ pol
(8.10, S.252)
+ und - bzgl. der Seiten und n
(8.11, S.253)
Grenzbedingung !
Es geht hier um makroskopische Beziehungen, d.h. Quantenphänomene nicht beachtet !
r
E ( pol ) ist im Medium der Polarisation logischerweise entgegengerichtet (P zeigt von - nach +, E von + nach -).
Es kann aus σpol berechnet werden. Es wird daher oft auch depolarisierendes oder entelektrisierendes Feld genannt.
r
r ( pol )
P0
=−
E
3ε 0
Homogen polarisierte Kugel im Innern
Polarisationsstrom
r •
r
r
dl
=P
J pol = ρ 0
dt
(8.13; S.254)
(S.255)
r
div J pol + ρ pol = 0
•
(8.15, S.255)
(8.16, S.255)
Der Polarisationsstrom erfüllt für sich alleine schon eine Kontinuitätsgleichung.
Freie Ladungen Qf bzw. σf und die Verschiebungsdichte D
mit
ρ f + ρ pol = ρ
(8.17, S.256)
folgt
r
ε 0 div E = ρ pol + ρ f
(8.18a, S.256)
und mit
r
r r
D = ε0 E + P
(8.20, S.257)
dann
r
div D = ρ f
oder
r
∫∫ D ⋅ dar = Q f
(8.21, S.257)
also
σ f + σ pol = σ
(S.257, unten)
r r
ε 0 div ( E + P) = ρ f
(8.18b, S.256)
r ~r r
J = J + J pol
(S.256 unten)
r ~r •r
1
rot B = J + D
µ0
(8.22, S.257)
•
(8.23, S.257)
• ( B)
r
r
∫ D ⋅ dr = −ε 0 Φ + ∫ P ⋅ drr
(8.24, S.257)
S
Hier sind immer die Gesamtfelder in einem Punkt gemeint !
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
D ist die elektrische Verschiebungsdichte, selbst im statischen Fall hat D Wirbel (die von P), ist also global kein Gradientenfeld.
Grenzbedingungen
r
ε 0 Div E = σ pol + σ f
(8.25, S.257)
r r r
r
Div D = n ⋅ ( D + − D − ) = σ f (8.26, S.257)
r
r r
r
r
Rot D = Rot P = n × ( P + − P − )
(8.27, S.257)
Im Innerenr eines
r stromlosen (und ruhenden)
r r Metallkörpers
aus
E=0
und
Homogen polarisierte Kugel:
Elektrische Materialgrößen
r
r
P = ε0χ e E
P=0
folgt
r
r ( pol )
P0
E
=−
3ε 0
r ( pol )
D
r r
D = 0 und damit
r r
n ⋅ D+ = σf
in der Kugel !
(8.13a, S. 254)
hat flächenhafte Wirbel auf der Kugel nach (Bsp. 8.4.1)
(8.31, S.259)
εr = 1+ χe
(8.32, S.259)
r
r
r
r
D = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E
χe el. Suszeptibilität
(8.28, S.258)
(8.32, S.260)
εr Permittivitätszahl, relative Dielektrizitätskonstante
ε Permittivität
(Dielektrizitätskonstante)
In der Regel gilt innerhalb dielektrischer Bereiche
ρf = 0
⇔
r
r
0 = div D = ε div E = ε r ρ pol
d.h. Polarisationsladungen nur auf der Oberfläche
Grenzflächen zwischen verschiedenen Dielektrika
r 1
Div E = σ pol
ε0
r
Div D = 0
für σ f = 0
(8.34, S.261)
für σ f = 0
(8.36, S.261)
S. 259
r r
Rot E = 0
r
r
Rot D = Rot P
(8.35, S.261)
(8.37, S.361)
vereinfacht, wobei n immer von der „-“ Seite zur „+“ Seite zeigt, ergibt sich:
Dn+ = Dn−
für σ f = 0
(8.39, S.261)
E t+ = E t−
(8.38, S.261)
(8.41, S.261)
Dt+ Dt−
=
ε+
ε−
(8.40, S.261)
oder gleichwertig
+
n
ε+ E = ε− E
−
n
für σ f = 0
Hieraus läßt sich wieder ein Brechungsgesetz ableiten
Beispiele zu Plattenkondensatoren S.262ff
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
9.
Magnetisch
Amperesche Kreisströme:
polarisierbare
Stoffe
- Umlaufbewegung und Spin der Elektronen → Gesamtmoment
I mag ↑ ↑ I f
Paramagnetismus:
χm > 0
- mikroskopische Permanentmagneten
Diamagnetismus:
χm < 0
- kein permanentes magn. Moment
Ferromagnetismus:
χ m >> 0
- kollektives Phänomen
- Irreversible Vorgänge
- Permanentmagneten
- Curie-Temperatur (Ferromagnetismus -> Paramagnetismus)
- Blochwände und Weißsche Bezirke
- Elektronenspin stark überwiegend; wirk verstärkend
I mag ↑ ↓ I f
- Umlaufspin überwiegt; wirkt schwächend
r
r dm
M=
dV
Magnetisierung
(9.1, S.275)
Verbindung von magnetischem Moment und
Magnetisierung
Magnetisierungsströme
r
r
J mag = rot M
punktweise
(9.4, S.277)
r
∫ M ⋅ drr = I
global
(9.7, S.278)
mag
K
die Wirbel der Magnetisierung sind gleich den Magnetisierungsströmen
I mag ist die gesamte Stärke der Magnetisierungsströme durch eine von K berandete, ansonsten beliebige Kontrollfläche
Quellenfreiheit
r
div J mag = 0
Grenzbedingung
r r
r
r
r
Rot M = n × ( M + − M − ) = Kmag
o
I mag = 0
(9.8a, S.278)
(9.8b, S.278)
der gesamte Mag.-strom durch eine Hüllfläche
(9.6, S.277)
n zeigt immer von der „-“ Seite zur „+“ Seite
Freie Ströme und magnetische Feldstärke
mit
und
r r
r
r
J = J f + J mag + J pol
r
r
r
B
H:=
−M
µ0
(9.11, S.280)
(9.14, S.281)
S. 281
r r
r
r
r&
1
rotB = J mag + J f + J pol + ε 0 E
µ0
(9.12, S.281)
r
r r
r
B = µ 0 ( H + M ) = µH
gilt bei linear magnetisierbaren Stoffen
es folgen aus 9.14 die Wirbel und Quellen von H
•r
r r
rot H = J f + D
(9.15, S.281)
r
∫ H ⋅ drr = I
K
mit
f
•r
r
+ ∫∫ D⋅ da
(9.16a, S.281)
K
r
r
div H = −div M
(9.17a, S.281)
∫∫ H ⋅ dar = − ∫∫ M ⋅ dar
(9.17b, S.281)
r r
r
K = Kmag + K f
und
r r
r
1
Rot B = Kmag + K f
µ0
(9.18, S.282)
r
r
folgen die Grenzbedingungen für H, siehe rechts. Man beachte und untersuche immer, ob die freien oder die gesamten Ströme
gegeben und gesucht sind !
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Grenzbedingungen für H
r r
Rot H = K f
(9.19, S.282)
r
r
Div H = − Div M
(9.20, S.282)
Bei leeren Spulen würde nur B herrschen. Von H gehen keine Kräfte aus, nur von B ! H ist nur ein Hilfsfeld !
H kann nicht aus einem Vektorpotential abgeleitet werden !
Torusspule
r
Ni r
H=
eα
2πρ
Zylinderspule (sehr lang)
r
r
B = µ 0 Kα e z
Magnetische Materialgrößen
r
r
M = χm H
mit
innerhalb; außerhalb H=0
innen , B = 0
(9.22, S.283)
außen
r
r
r
B = µH = µ 0 µ r H
(9.26, S.285)
µ = µ0µr
µr = 1 + χ m
(9.25, S.285)
χm > 0 paramagnetischer Stoff
χm < 0 diamagnetischer Stoff
χm magnetische Suzeptibilität
(9.24b, S.285)
µ Permeabilität
µr relative Permeabilität bzw. Permeabilitätszahl
Grenzflächen zwischen verschiedenen permeablen Bereichen
r
Rot H = 0
r
r
für K f = 0
(9.28, S.286)
r
r
Div H = − Div M
(9.27, S.286)
r
r
Rot B = µ 0 Kmag
r
r
für K f = 0
(9.30, S.286)
r
Div B = 0
(9.29, S.286)
H t+ = H t−
r
r
für K f = 0
(9.31, S.287)
µ + H n+ = µ − H n−
(9.34, S.286)
Bt+ Bt−
=
µ+ µ−
r
r
für K f = 0
(9.33, S.287)
Bn+ = Bn−
(9.32, S.286)
L = µr L0
(9.41, S.295)
vereinfacht ergibt sich dann:
Hieraus läßt sich wieder ein Brechungsgesetz für die Feldlinien ableiten.
Magnetisierungskurve
r
r r
r r
r
r
B = µ ( H ) H = µ0 ( H + M ) = B ( 0) + B ( mag )
(9.39, S.293)
Anmerkungen:
Vorsicht ! Dies sind Näherungen.
Ströme in ohmschen Leitern
r
r
rot H = κ E
in weichmagnetischen Leitern
r
r
r
J mag = ( µr − 1) J f = ( µr − 1)κ E
gilt näherungsweise, siehe dazu
gilt näherungsweise
(9.42, S.296)
(9.43, S.296)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Zusammenfassung der Maxwell-Gleichungen mit D und H
Definitionen
r
r r
D = ε0 E + P
(9.44, S.296)
ρ = ρ pol + ρ f
(8.17, S.256)
r 1 r r
H=
B− M
µ0
(9.45, S.296)
r r
r
r
J = J mag + J pol + J f
(9.11, S.280)
Die üblichen Maxwell-Gleichungen
r
div D = ρ f
r ρ
divE =
ε0
(9.46, S.296)
statt:
(9.47, S.296)
bleibt
(9.48, S.297)
bleibt
(9.49, S.297)
statt
Die transformierten Grenzbedingungen
r
Div D = σ f
(9.50, S.297)
statt
r
ε 0 Div E = σ pol + σ f
(8.25, S.257)
•r
r
rot E = − B
r
div B = 0
•r
r r
rot H = J f + D
(3.1, S.82)
r r
r r
∂ r r 
rotB (r , t ) = µ 0  J (r , t ) + ε 0
E (r , t )  (3.4, S.82)
∂t


r r
Rot E = 0
(9.51, S.297)
anders
r
r r
r
r
Rot D = Rot P = n × ( P + − P − )
(8.27, S.257)
r
Div B = 0
(9.52, S.297)
anders
r
r
Div H = − Div M
(9.27, S.286)
r r
Rot H = K f
(9.53, S.297)
statt
r r
r
1
Rot B = Kmag + K f
µ0
Materialgleichungen
r
r r r
J f = κ( E + u × B )
(9.54, S.297)
bei linear polarisierbaren Stoffen gelten weiterhin
r
r
r
r
für ruhende Leiter
(9.55, S.297)
D =εE
B = µH
r
r
P = ε 0 (ε r − 1) E
(9.18, S.282)
(8.31, S.259)
für ruhende Leiter
r
r
M = (µ r − 1) H
(9.56, S.297)
(9.24b, S.285)
Hier gehen immer die Gesamtfelder, die in dem Stoff und Punkt wirken ein, nicht nur evt. Ursachen.
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
10.
Elektromagntische
(zugeführte räumliche) Leistungsdichte
p > 0 Energie fließt zu
p=
(S.288)
r
J2
p=
≥0
κ
Joulsche Leistungsdichte
Elektrische Leistungsdichte
S.300)
dP
dV
Energiebilanz
p < 0 Energie fließt ab
(5.14, S.161)
r
r ∂D
pe = E ⋅
∂t
ganz allgemein:
r
r
ε 0 ∂( E 2 ) r ∂ P
pe =
+E⋅
∂t
2 ∂t
•
r r
pe = we + E ⋅ J pol
(10.7, S.300)
(10.6,
(10.8, S.300)
Mit der einem Volumenelement im Dielektrikum zugeführten Leistung wird dort der Energieinhalt des E-Feldes geändert
und Polarisationsarbeit geleistet. Alle 3 Gleichungen sind gleichwertig und völlig allgemein.
Gespeicherte elektrische Energie im Fall linearer Dielektrika
Kreisprozeß ∆Ae = 0
∆Ae > 0
r
r
D=εE
Energie im Dielektrikum gespeichert, keine Verluste,
Energie teilweise in Wärme umgewandelt (irreversibel)
(Ferroelektrika analog zur magnetischen Hysterese)
lineare Dielektrika haben keine Verluste !
ε r 
We = ∫∫∫  E 2 dV
2 
G
(10.13, S.301)
(10.14, S. 302)
, falls E(t=0)=0 und We(t=0)=0 gesetzt wurde.
we =
ε r2
E
2
(10.15, S.302)
oder äquivalent in linearen Dielektrika gilt auch
we =
1 r r
E⋅D
2
(10.16, S.302)
oder
we =
ε0 r 2 1 r r
E + E⋅P
2
2
(10.17, S.302)
Die Polarisationsenergie muß zum Energieinhalt des E-Feldes addiert werden, um die gesamte im Dielektrikum
gespeicherte Energie zu erhalten.
2
Beim Kondensator
Energiebilanz:
1
1
1 Qf
We = Q f U = CU 2 =
2
2
2 C
(10.18, S.303)
dWm/ e = dAQuelle + dAmech
Energie/Leistung bei Medien in Feldern:
d
(W ) = U I + Fa u
dt m/ e
Fi = − Fa
UI ist dabei die von außen zugeführte elektrische, Fau die von außen zugeführte mechanische Arbeit.
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Magnetische Leistungsdichte
r
r ∂B
pm = H ⋅
∂t
ganz allgemein:
r
r
•
•
r
r r
r r
r
1 ∂( B 2 ) r ∂ B
E
(
pm =
− M⋅
= wB + M rotE = wB + E ⋅ J mag + div
142×4M
3)
2µ 0 ∂ t
∂t
=0
(10.25, S.304)
(10.26, S.304)
Mit der einem magnetisierbaren Körper insgesamt zugeführten Leistung wird der Energieinhalt des B-Feldes geändert
und Magnetisierungsarbeit geleistet. Die 3 Gleichungen sind völlig gleichwertig und gelten ganz allgemein.
Gespeicherte magnetische Energie im Fall weichmagnetischer Stoffe = linearer Magnetika
Kreisprozeß ∆Am = 0
Energie im Kern gespeichert
∆Am > 0
Energie teilweise in Wärme umgewandelt (irreversibel, Hystereseschleife)
Hystereseverlust proportional zum Flächeninhalt der Hystereseschleife
r
r
B = µH
gilt bei linearen Magnetika
(10.36,
S.307)
wm =
1 r2 1 r r
µ r2
H =
B = B⋅H
2
2µ
2
(10.37, S.307)
1
1 2 Φ2
Wm = i f Φ = Li f =
2
2
2L
(10.38, S.308)
Diese Beziehungen gelten natürlich auch in para- und diamagnetischen Substanzen.
Elektromagnetische Energiestromdichte (Poynting-Vektor)
r
r
r r
r dD r dB
p ges = E ⋅ J f + E ⋅
+H⋅
dt
dt
r r r 1 r r
S = E×H = E×B
µ
(10.39, S.310)
(10.45, S.310)
r
r
r r
r
r r
r ∂ D r ∂ B
divS = div ( E × H ) = − E ⋅ J f + E ⋅
+H⋅
 = − p ges
∂t
∂t

(10.46, S.311)
Elektromagnetische Energiebilanzen = Kontinuitätsgleichung für die gespeicherte el. u. magn. Energie
r
r r
r r
∂ ε r
µ r 
divS = div ( E × H ) + E ⋅ J f = −  E 2 + H 2 

∂t 2
2
(10.47, S.311)
für lineare und isotrope Medien gilt vereinfacht:
r
r
r B
r r
r
r
∂  ε0 r 2 B 2 
 E +

div ( E × ) = − E ⋅ ( J f + J pol + J mag ) −
µ0
∂t 2
2 µ0 
An Grenzflächen
(10.48, S.311)
r
r r
Div S = − E ⋅ K
Vorsicht: Für die elektrische und magnetische Feldenergie gilt nicht das Superpositionsprinzip !
Anmerkungen:
- Elektromagnetisches Feld als Impulsträger
- Berücksichtigung thermischer Verluste, isotherme Kreisprozesse
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
11. R e t a r d i e r t e L ö s u n g e n d e r M a x w e l l - G l e i c h u n g e n
Wellengleichung
∂ 2w 1 ∂ 2w
−
=0
∂ z 2 c2 ∂ t 2
(11.2, S.319)
Lösung der Wellengleichung
 z
 z
w( z , t ) = f  t −  + g t + 
 c
 c
(11.1, S.319)
Daraus können die verschiedensten Wellenformen, z.B. Stehende Wellen, erzeugt werden.
Inhomogene Wellengleichung für E und B, hergeleitet aus den Maxwellgleichungen
•r
r 1 ••r 1
∇2 E − 2 E =
grad ρ + µ 0 J
ε0
c0
r 1 ••r
r
∇ 2 B − 2 B = −µ 0 rot J
c0
•
r
div J = − ρ
(11.10, S.320)
Die Kontinuitätsgleichung
(11.11, S.320)
(11.12, S.320)
Die Felder sind über den Sender her miteinander verknüpft.
Nicht 6 sondern 4 skalare Funktionen → Übergang zu dynamischen Potentialen
r
r
B = rotA
r
r&
E = − gradϕ − A
(11.13, S.321)
(11.14, S.321)
Inhomogene Wellengleichung für dynamische Potentiale
r 1 ••r
r 1 •
r
∇ A − 2 A = grad (div A + 2 ϕ) − µ 0 J
c0
c0
••
r
1
∂
1 •
ρ
∇ 2 ϕ − 2 ϕ = − (div A + 2 ϕ) −
∂t
ε0
c0
c0
2
r 1 ••r
r
∇ 2 A − 2 A = −µ 0 J
c0
(11.16, S.321)
r
1 •
div A = − 2 ϕ
c0
mit der Lorentz-Bedingung
folgen:
(11.15, S.321)
(11.18, S.321)
∇ 2ϕ −
(11.17, S.321)
1 ••
ρ
2 ϕ= −
ε0
c0
(11.19, S.322)
B-Felder werden ausschließlich von Strömen erzeugt,
während E-Felder sowohl von Ladungen als auch von zeitveränderlichen Stromverteilungen ausgehen.
E- und B-Felder bedingen sich nicht gegenseitig, sondern werden nur durch die Kontinuitätsgleichung verknüpft
Retardierte Zeit
Retardierte Potentiale
r r
r r
µ0
J (r ’ , t ∗ )
A(r , t ) =
∫∫∫ rr − rr ’ dV ’
4π
r r
r − r’
t =t−
c0
*
(11.21, S.323)
(11.20, S.323)
r
ϕ(r , t ) =
1
4πε 0
r
ρ (r ’ , t ∗ )
∫∫∫ rr − rr ’ dV ’
(11.22, S.323)
Vorsicht. Die retardierte Zeit muß bei der Integration mitberücksichtigt werden.
Rechenregeln bezüglich grad, div und rot siehe S.325, 11.30, 11.31, S.325, 11.35, 11.36 und S.326, 11.38, 11.39
Die unendlichen Intervallgrenzen sind häufig durch c0t zu ersetzen.
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Retardierte Lösungen der Maxwell-Gleichungen
•r
r r
[ρ]∗ ’ µ 0 [ J ]∗
1
E (r , t ) = −
grad ∫∫∫
dV −
∫∫∫ R dV
R
4πε 0
4π
r∗
r r
[J] ’
µ0
B(r , t ) =
rot ∫∫∫
dV
4π
R
(11.49a, S.329)
(11.49b, S.329)
oder äquivalent
∗ r
•r
 R
µ
1
’
ρ 3 dV ’ − 0 ∫∫∫ [ J ]∗ dV ’
R
4π
 R
r
∗
r r
 r R •r 
µ0
R
’
B(r , t ) =
∫∫∫
 J + J  × 3 dV
4π
c0  R

r r
E (r , t ) =
1
4πε 0

R
∫∫∫ ρ + c
0
•
(11.50a, S.330)
(11.50b, S.330)
Dynamische Verallgemeinerung der Formel von Biot-Savart
Auch die statischen Felder werden retardiert erzeugt.
Statische Verhältnisse gelten, wenn
r
J und ρ hinreichend lange konstant sind.
B-und E-Feld eines Flächenstromes Ky[z,t] in derxy-Ebene liegend


µ
µ
z
z
Bx [z, t ] = 0 K y  t −  für z > 0
(11.56a, S.336)
Bx [z, t ] = − 0 K y  t +  für z < 0 (11.56b, S.336)
2
2
 c0 
 c0 


µc
µc
z
z
E y [z , t ] = − 0 0 K y  t −  für z ≥ 0 (11.56c, S.336)
E y [z , t ] = − 0 0 K y  t +  für z ≤ 0 (11.56d, S.336)
2
2
 c0 
 c0 
E- und B- Feld hängen über ± c0 (Lichtgeschwindigkeit) zusammen
B-und E-Feld eines unendlichen Linienstromes,
kann jeweils hergeleitet werden über die Berechnung des Potentials A, geometrische Überlegungen usw.
Anmerkungen:
Die Avancierte (vordatierte Zeit) (S.332)
r r
r − r’
t$: = t +
c0
(mathematisch völlig gleichberechtigt) entfällt wegen Kausalität
Das elektromagnetische Feld ist eichinvariant (S.333)
•
Lorentz-Eichung („natürliche“ Eichung, Lorentz-Bedingung)
•
Coulomb-Eichung
Beispiele:
S. 333
•
Unendlich ausgedehnter, ebener Flächenströme
unrealistisch, jedoch oft brauchbare Idealisierung
•
Die physikalischen Ursachen von E und B sind nicht die momentanen Verteilungen von
r
r
r ∂B ∂E
sondern die retardierte Stromverteilung und ihre Änderung.
K,
,
∂t ∂t
Auf der Kugelfläche mit r = c0 t ist die Anwendung der Grenzbedingungen für E/B-Felder nicht möglich !!
Materialeigenschaften unter dynamischen Bedingnungen
Die neue Gleichungen siehe B.S. 357.
c=
c0
εr µr
Ansatz für reines Dielektrikum
(11.100,S. 357)
ρf =0
kleiner als im Vakuum:
r
Jf = 0
Brechungsindex des Dielektrikums aus der Maxwellsche Relaxation
c0 =
1
ε0µ0
µr = 1
c
n = = εr
c0
Vorsicht vor bedenkenloser Anwendung der statischen Materialgleichungen !
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Zeitveränd. elektrischer (Hertzscher) Dipol
p z ( t ) = q (t ) l
(11.64a, S.341)
t0∗ = t −
r
c0
(11.67, S.342)
r
r
mz (t ) = i (t ) a n
(11.70, S.343)
••
 •
r
µ 0  mz
mz
+
E ( P, t ) = −
4π  r 2 c0 r

∗
••
 •

r
µ 0  pz pz 
r
sin ϑ eα
B( P, t ) =
2 +
4π  r
c0 r 


B-Linien sind Kreise um die Dipolachse
aus
•r
E=
r
1
rot B
ε 0µ 0
Zeitveränd. magnetischer (Fitzgeraldscher) Dipol
t0∗ = t −
r
c0
∗

 sin ϑ er
α


(11.88, S.353)
E-Linien sind Kreise um die Dipolachse
∗
folgen dann nach einmaliger Integration nach der Zeit
∗


pz 
1  pz
2 cosϑ
E r ( P, t ) =
+
4πε 0  r 3 c0 r 2 


∗
••
•


pz
pz 
1  pz
sin ϑ
Eϑ ( P, t ) =
3 +
2 + 2
4πε 0  r
c0 r
c0 r 


•
die Gln. (11.71a-c, S.344):
Eα ( P, t ) = 0
El. und magn. Feld sind hier also immer und überall senkrecht zueinander.
Retardierte Potentiale
•

pz
1  pz
ϕ( P, t ) =
+
4πε 0  r 2 c0 r

• 

mz 
µ 0  mz
2 cosϑ
Br ( P , t ) =
+
4 π  r 3 c0 r 2 


•• ∗
•


µ 0  mz
mz
mz 
+
+
sin ϑ
Bϑ ( P , t ) =
4π  r 3 c0 r 2 c02 r 


Bα ( P , t ) = 0
(11.89a, S.353)
(11.89b, S.353)
(11.89c, S.353)
El. und magn. Feld sind hier also immer und überall senkrecht zueinander.
Retardiertes Potential
∗

 cosϑ


∗
(11.85, S.350)
•
r
µ 0 p z (t 0∗ ) r
µ 0 p& z (t 0* )
r
r
cosϑer − sin ϑeϑ )
A( P , t ) =
ez =
(
4π r
4π r
•


r
mz 
µ 0  mz
r
A( P , t ) =
sin ϑ eα
(11.87, S.352)
2 +
4π  r
c0 r 


ϕ ( P, t ) = 0 , da keine umkompensierten Ladungen vorhanden sind.
(11.68, S.342)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Zeitharmonisches Dipolmoment
Zeitharmonisches Dipolmoment
pz (t ) = p$ z sin ω t
für t > 0
2π ω
k=
=
pz (t 0∗ ) = p$ z sin (ω t − kr )
λ c0
allgemeine Lsg. siehe S.347, 11.77a-c
Nahzone (Näherung!)
kr << 1
r
p$ z sin ω t
r
r
E ( P, t ) =
(2 cosϑ er + sin ϑ eϑ )
4πε 0 r 3
r
µ ω p$ cos ω t
r
B( P, t ) = 0 z 2
sin ϑ eα
4πr
r r
r r
µ 0i ( t ) l ez × r
B(r , t ) =
4πr 3
Der magnetische Anteil ist gegen den elektrischen um
π /2
Fernzone (Wellenzone) (Näherung) kr >> 1
$ z sin ω t
mz (t ) = m
(11.75, S.347)
$ z sin (ω t − kr )
mz (t0∗ ) = m
2πr << λ
(11.78a, S.348)
(11.78b, S.348)
(11.79, S.349)
t>0
2π ω
1
=
c02 =
c0
λ
ε 0µ 0
allgemeine Lsg. siehe S.347, 11.91a-c
Nahzone (Näherung!)
k=
kr << 1
2πr << λ
r
µ 0 m$ z sin ω t
r
r
B( P, t ) =
(2 cosϑ er + sin ϑ eϑ ) folgt aus
3
4π r
(11.91, S.355)
µ 0 ω m$ z cos ω t
r
r
sin ϑ eα
E ( P, t ) = −
2
4π r
(11.91c, S.356)
folgt aus
Der magnetische Anteil ist gegen den elektrischen um
phasenverschoben.
2πr >> λ
r
p$ z ω2 sin (ω t 0∗ ) sin ϑ r
e
E=−
r ϑ
4πε 0 c02
r
p$ ω2 sin (ω t 0∗ ) sin ϑ r
e
B=− z
r α
4πε 0 c03
r 1 r r ω4 p$ z2 sin 2 (ω t 0∗ ) sin 2 ϑ r
e
S=
E×B=
r2 r
µ0
(4π ) 2 ε 0 c03
ω 4 proportionalen Intensität abgestrahlt, und zwar
bevor-zugt in der Ebene ϑ = π 2 . Eund B in der Wellenzone gleichphasig.
Energie wird mit einer zu
(11.74, S.347)
Fernzone (Wellenzone) (Näherung)
(11.80a, S.349)
(11.80b, S.349)
(11.81, S.349)
π /2
kr >> 1
phasenverschoben.
2πr >> λ
r
µ 0 m$ z k 2 sin (ω t 0∗ ) sin ϑ r
B=−
e
r ϑ
4π
r c0 µ 0 m$ z k 2 sin (ω t 0∗ ) sin ϑ r
E=
e
4π
r α
r 1 r r µ 0 m$ z2 ω4 sin 2 (ω t 0∗ ) sin 2 ϑ r
S=
E×B=
er
µ0
r2
(4π) 2 c03
ω 4 proportionalen Intensität abgestrahlt, und zwar
bevorzugt in der Ebene ϑ = π 2 . E und B sind in der Wellenzone gleichphasig
Energie wird mit einer zu
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
(11.92a, S.356)
(11.92b, S.356)
(11.93, S.356)
A.
Übungen & Beispiele
Übungen
Kap 1
Vektoranalytische Hilfsmittel
1=1.1
2
Feldlinien Vektorfeld
ψ durch Kreisscheibe
Ladung, Strom und EM-Feld
Kap 2
3
4C
ZA8 C
5=2.1
6=2.2
7C
ZA4
8C
ZA5 C
9
ZA6
10=2.3
11
Kap 3
12=3.1
13=3.2 C2
14=3.3
15
ZA9
16, ZA11
17
ZA12
18=3.4
19=3.5
20
21
22 C
ZA14 C
23
24
ZA15
ZA16
25
26
27 C
Kap 4
28=4.1
ZA20
29 C
ZA23
ZA28 C
30=4.2
31=4.3 C
32=4.4
33 C
ZA21
ZA22 C
34
35
Beispiele Buch
2.1.3
2.2.2
F von τ in z-Achse auf q in xy-Ebene
K auf Torus-Luftspule, Strom-Verschmierung
Ladungstransport im Cu- Draht / J, u
F - zwischen parallelen Ströme
Drehende, geladene Scheibe / I durch Ebene
Drehende. geladene Kugel
Flächenstromdichte in kreisförmigen Elektroden
Flächenstromdichte in idealem Kondensator
Bewegte q
bewegter Linienstrom (B und Ableitung)
F zwischen parallel zueinander bewegten q’s
F zwischen senkrecht zueinander bewegten q’s
Maxwell’s Equotations
2.3.1a
2.3.1b
2.5.2
q(t), i(t) auf Dipolantenne
Knotenregel Kirchhoff
F parallel bewegter q
Coulombfeld / verschiedene Hüllen
i-Kreis; Zylinderspule mit Flächenstrom
F zwischen parallelen i-Leiter
i - Rechteck - F auf eine Seite (Biot-Savart)
i-Knick, F auf abgeknicktes Leiterstück
Knotenregel / Hülle, einseitg unendliche i’s
i fließt in ein q, B-Feld, Durchflutungsgesetz
i fließt in Punkt, J heraus: B-Feld, Maxwell gültig
Bewegte η-erfüllte Kugel
Kugel-C mit Verluststom innen
Linien - i È φ durch bewegtes Rechteck
Vektorfeld - Feldlinien - div und rot
B eines Rohres mit J, K in z-Richtung
B eines Rohres mit J in α Richtung
Bewegte q - Näherung E, B, (erfüllt Maxw. nicht)
F zweier i - Schleifen aufeinander entgeg. gleich
Halleffekt in i-durchfl. Draht, i- Verdrängung !
Kugelkondensator mit konst. E-Feld, ges. ρ(r)
Verschiedene Vektorfelder: Feldlinien bestimmen
wie A 22, nur mit Maxwell differentiell gerechnet
B-Feld zu A8, Grenzbed. von Elektroden
Elektrostatik
3.2.2 C
3.4.2a,b
3.6.1a
3.6.1b
3.6.1c C
3.7.4a
Endlicher Linien - i B-Feld mit Biot-Savart
Φ durch bewegtes Rechteck
E von η - erfüllter, σ-belegter Kugel
B von zyl. Rohr in z-Richtung
mit J, K in α-Richtungn wie A22 !
B von unendlichem Flächenstrom K
E von unendl. σ
3.7.4b
3.7.4c
B von Rohr mit diff. Maxwell →A22
B von Rohr mit diff. Maxwell, Grenzbed.; →A22
Apollonius -Kreise - q’s Potentialflächen
Influenz: p auf Metallkugel, Ersatzdipol, Kräfte
σ - Kreisscheibe, ges. E(0,0,z), ϕ(0,0,z)
E von 2 parallelen σ-Kreisscheiben,
ϕ, Q, C von Kreisscheibe mit inhomog. σ-Dichte
Äquipot.linien von Liniendipol
τ,Apolloniuskreise
E-Feld von σ - Langer Streifen
F auf p, unter verschied. Beding. (siehe Kap. 4lu)
ϕ von η - geladener Kugel mit Poisson
E-Feld einer σ geladenen Hohl-Kugel, dE Ansatz
E und ϕ von unendl. langem, hom. gelad. Zylind.
E bzw B von σ bzw K belegten unendl. Flächen
Wpot von p in E Feld, F auf p - inhomogenes
Feld
4.1.1a C
ϕ von q Punktladung
4.1.1b C
ϕ von τ Linienladung
4.2.2
F auf p (quer zu E), siehe Kap. 4lu)
4.4.1
4.4.2
4.4.4
ϕ von homog. gel. Kugel
E-Feld von Liniendipol
ϕ= const. im Faraday-Käfig
4.6.2
W von homog. gel. Kugel
q - gleichschenkliges Dreieck
τ - Kreisring, E-Feld in der z-Achse
Zylinder mit Flächenladung σ
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Kap 5
Metallische Leiter
36 C
37
ZA24 C
38
39
40=ZA25
41 C
42 C
43=5.2
Ladungsdiffusion (nette Aufgabe)
Corbino-Scheibe / Halleffekt
Halleffekt, Hallwiderstand bei n- und p- Leitung
Ladung / Dipol - Perpetum mobile ??
Platten C - Energie für Plattenbewegung
Bewegte τ
ϕ - von „verlustbehaftetem Kondensator“, R
R von Corbino-Scheibe für Sonderfall
F auf q von influ. Metallwand, gesa. influ.
Ladung
Metallkugel influenziert /geerdet
Metallkugel mit Hohlraum, E und ϕ
-“- und q im Hohlraum, ϕ und E
Influenzierte MetallkugelÈ p-Ersatzdipol
nichtleitfäh. Kugel in leitf. Medium, p-Ersatz
p im Hohlraum eines Metalles: Kraft; s.a. ZA20
Kugel und q, ϕ - koeffizienten,Theorie des
Erdens
Platten-C / σ, E- Feldüberlagerung
Metallkugeln / ϕ - koef. allgemein, Spitzenwirk.
Metallkugel, Ersatz p, E-Feld-RB → Lsg. f. p
Geladene Metallkörper / ϕ - Koeff. allgemein
Zusatz - Bildchen
Mettalische Kreiszylinder, Apollonius mit τ , C
Magnetostatik
5.4.4a C
5.4.4b
5.5.2a
5.5.2b C
5.6.3
5.6.7a
5.6.7b
„verlustbehaft. Kondensator“, J, ϕ, R
Gebogener Körper, R
Spiegel - q an Metallwand (s.a, A43)
influ. Metallkugel in hom. E, ϕ mit Poisson
Theorie des Erdens (s.a. A47)
Platten-C
Kugel-C
6.1.1 C
6.4.2 C
6.4.4 a
6.4.4 b
A von Linien-i
L, B, φ, A von Torus-Spule
M bei Torus-Sp. und i-Schleife
M bei 3 i-Schleifen
6.4.4 c
M, φ bei verschiedenen i-Richtungen von Spulen
Kap 7
i-Schleife: Fmag = 0, Tmag = m x B
Koaxialkabel, 2 koax, stromtrag. Zylinder
Rechteckige Ringspulen ineinander, M’s, L’s
φ durch Kreisscheibe mit B von magn.
Punktdipol
φ durch Kreissegment mit B von i-Schleife
φ durch Kreisscheibe mit B von i- Schleife
Grenzbed. der Luftspule aus Bsp.2.2.2 überprüfen
B-Feld von 2 Linien - i, Apolloniuskreise
Rechteck - i / L È 2L
Induzierte quasistationäre Ströme
60=7.1
61=7.2
62=7.3 C
63=7.4
64=7.5
65
66=7.6
67=7.7
A von Kreis - i
Kreis - i È E - ind zu A60
Zylinderspule, B und Eind , quasistationär
Stromverdrängung
Wirbelströme, harm. B-Feld zw. 2 Elektroden
Bewegte Leiterstäbe im B-Feld, s.a.Bsp. 7.5.1b
Generator
Luftspule und Stromschleife: M
7.3.4 C
7.5.1 a
7.5.1 b
7.5.3 a
7.5.3 b
B, L, W von Koaxialleitung
Bewegter Metallstab in B Feld È E-Feld
Bewegte Metallstäbe auf Schienen in B
-“- mit Farradayscher Flußregel
Asynchron-Motor, „mathematisch“
44=5.3
45
ZA29
46 C4
ZA26
47
48
49=5.4
50 C
51
52
Kap 6
53=6.1
54=6.2 C
55=6.3
56=6.4
ZA31
ZA32
57=6.5
58=6.6
59=6.7
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Kap 8
Elektrisch polarisierbare Stoffe
68=8.1
69=8.2
ZA38
70
71 C
72=8.3
73
Platten - C mit P-Bereich
Zylinder -C, E radial, mit verschiedenem ε
ε(ρ), so daß E- konst. ist (über D-Feld)
Platten - C, zylindrischer ε Bereich, s.a.Bsp8.5.2b
Kugel, p Ersatz, polarisiert in hom. E-Feld
Kügelchen polarisiert - F
F zwischen 2 i - Schleifen
Magnetisch polarisierbare Stoffe
8.2.1a
8.2.1b
Pol. Kugel mit P im Vakuum È E-Feld
Pol. Stab
8.4.1
8.5.2 a
8.5.2 b
8.5.2 c
Pol. Kugel im Vakuum È D
Platten-C mit ε quer
Platten-C mit ε längs
Pol. Kugel durch E0 im Vakuum È P, E-ges
Permanentmagnet mit M; B, H mit Kmag
9.1 Luftspule und Permanent -M, Vergleich über K
75
2 Spulen verbinden, Flüsse, Gesamt L
76
Zylinderspulen ineinander, mit µ, K mag
77=9.2 C
Draht mit µ
ZA43 C
Dickwandiges Rohr mit hom. J und µ: B, H, Kmag
78=10.1
Koax - Energie
79=9.3 C
Ringkern mit Luftspalt
ZA39
Ringkern mit Luftspalt und Magnetisierung
80=9.4
Hysterese-Kurve
81
∞ Scheibe mit Baußen, M, µ, K mag
Kap 10 Elektromagnetische Leistungsbilanz
9.3.1 a
9.3.1 b
ZA 40
ZA 41 C
9.4.1 a
Permanentmagnet mit M
homogen magnetisierte Kugel mit M
von Außenfeld magn. Kugel, B-Feld bestimmen
permeables Kügelchen, M, m, F
Torus-Spule È M, H
9.4.1 b
9.6.3
Permanent-Magnet, Div H
Torus-Spule mit µÈ H, φ, B
78=10.1
82=10.2
83
84
85
10.2.3
10.3.1 a
10.3.1 b
10.3.1 c
10.3.1 d
µ teilw. in Zylinderspule, F zieht µ-Teil hinein
S von Draht mit κ, zyl. Leiter, E-Feld, S
S von bew. q
S von 2 zusammengebr. q
S von Platten-C (ganz nett)
Kap 11
Koax - Energie
S von Stromschleifen
J - Verdrängung durch Wirbelströme - Rohr
Generator - Drehmoment
Doppelleitung
Retardierte Lösungen der Maxwell Gleichungen
86
87=11.1
88=11.3
11.2
89
90
91=11.4
92
93
94
95
96
97
K harmon. Flächenstrom: E und B Wellen
K sprungartig, E- und B Wellen
ψE eines Stromes innerhalb von c0t
Linien - i , Rampe i = kt
Bewegte Platte
F auf Dielektrikum, Platten C mit teilweise ε
m und p Wellen = Hertz & Fitzgerald Dipol
Drahtschleifen Induktion, U - Messung
Zyl.spulen drehbar, Induktion, i- Permanent-M
p, S - Mittelwert
Faraday-Scheibe
Gegeninduktion im Einzelnen - Diagramm
Bewegte Leiterschleife ins B-Feld, Fa, i
11.4.6 a,b
11.4.6 c
11.5.1
11.6.1
Linear pol. ebene Welle, Wellen von K, S.334ff
Wellen von i, siehe auch S.338
Hertz - p mit pz=kt²
Fitzg - m mit mz=kt
Kap 9
74
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B.
E- undB - Feld
E-Feld
Kräfte
Ursachen
Potential
+ Eigenschaften
r
r
1 q1 q 2 r
F1 =
e
F
=
−
21
2
4πε r122
•r
r ρ
r
divE =
rotE = − B
ε0
r
E = − gradϕ = −∇ϕ
r r
ϕ ( P) = − ∫ Edr
P
B-Feld
Kräfte
Ursachen
Potential
+ Eigenschaften
K
P0
DGL
Punktladung
Linienladung
Dipol
Polarisation
Kräfte,
Drehmoment
Polarisationsladungen
Polarisationsstrom
Materialgrößen,
Hilfsfeld
ρ
∇ ϕ=−
ε0
r
q
q
r
ϕ (r ) =
E (r ) =
e
2 r
4πε 0 r
4πε 0 r
r0 → ∞
DGL
ρ
τ
ln 0
2πε 0
ρ
r
τ r
E=
eρ
2πε 0 ρ
r
l→0
p = const
rr
per
ϕ( P) =
4πε 0 r 2
r
pz
r
r
E=
r 3 (2 cosϑer + sin ϑeϑ )
4πε 0 r
r dpr
P=
dV
r
r
P = ρ 0l
r
r
r
F = ( p ⋅ ∇) E
r r
r r r
r
T = r × ( p ⋅ ∇) E + p × E
r
div P = − ρ pol
r r
dQ
σ pol = versch = P ⋅ n
r rda r + r −
Div P = n ⋅ ( P − P ) = −σ pol
•
r
div J pol + ρ pol = 0
r •
r
dl
J pol = ρ 0
=P
dt
r
r r
D = ε 0E + P
r
r
r
D = ε 0 (1 + χ e ) E = εE
Linien-strom
2
ϕ (ρ) =
r
r
∆F1 µ 0 i1i2 r
∆F2
e21 = −
=
∆s 2π r12
∆s
•r
r
r
r
divB = 0
rotB = µ 0 ( J + ε 0 E )
r
⇒
divJ = 0
r
r
r
B = rotA
divA = 0
r r
Φ = ∫ Adr
Biot-Savart
r
r
∇ 2 A = −µ 0 J
r r
J (r , )
,
r r , dV
r −r
r r
r r
J (r , ) × (r − r , )
dV ,
r r, 3
r −r
r r
µ
A(r ) = 0
4π
∫∫∫
r r
µ
B(r ) = 0
4π
∫∫∫
Az ( ρ ) = −
µ 0i ρ
ln
2π ρ 0
r µ i r
B = 0 eα
2πρ
r
r
Dipol
a→0
⇒ m = ian = const
r r
r r
µ 0 ( m × er ) µ 0 mz sin ϑ r
A(r ) =
=
e
4π r 2 α
4π r 2
r r
µ 0 mz
r
r
B(r ) =
3 ( 2 cosϑ er + sin ϑ eϑ )
4πr
r
r dm
MagnetiM=
sierung
dV
r
r
m = ia
r
r
r
Kräfte,
F = ( m ∇) B
Dreh-moment r
r r r
r
r
T = r × ( m ∇) B + m × B
r
r
MagnetiJ mag = rot M
sierungsr
r r
ströme
Kmag = M × n
r r
r
r
r
Rot M = n × ( M + − M − ) = Kmag
r
div J mag = 0
r r
∫ M ⋅ dr = I mag
K
Materialgrößen,
Hilfsfeld
r
r
r
B = µ0 (H + M )
r
r
r
B = µ 0 (1 + χ m ) H = µH
χm > 0
χm < 0
paramagnetisch
diamagnetisch
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Freie Ladungen
und Verschiebungsdichte
r ~r r
ρ = ρ pol + ρ f J = J + J pol
r
r ~r •r
1
div D = ρ f
rot B = J + D
µ0
σ = σ pol + σ f
r
r
r
Div D = σ f
Rot D = Rot P
Grenz-flächen
zw. versch.
Dielektrika
r
1
Div E = σ pol
ε0
r r
Rot E = 0
r
Div D = 0
r
r
Rot D = Rot P
für σ
f
=0
für σ
f
=0
Freie Ströme
und magnet.
Feldstärke
Grenzflächen zw.
versch.
permeab.
Bereichen
r r
r
r
J = J f + J mag + J pol
•r
r r
rot H = J f + D
r r
r
K = Kmag + K f
r
r r
r
Rot H = K f
Div H = − Div M
r r
r
1
Rot B = Kmag + K f
µ0
r
r
r
r
Rot B = µ 0 K mag
für K f = 0
r
Div B = 0
r
r
r
Rot H = 0
für K f = 0
r
r
Div H = − Div M
Einheiten
E-Feld
Größe
Stromstärke
Ladung
Spannung
Verschiebungsdichte
Feldkonstante
Permittivität
Kapazität
Plattenkondensator
Feldenergie
Plattenkondensator
Energiedichte
B-Feld
Gleichung
Einheit
Größe
Gleichung
dQ
dt
Q= It
A
induzierte
Spannung
U = −N
C=As
Φ = BA
U = Es
Q
D=
A
D=εE
1
ε0 =
µ 0 c02
ε = ε0 εr
Q
C=
U
εA
C=
s
CU 2
WF =
2
ε E 2V
WF =
2
2
εE
DE
w=
=
2
2
V
magnetischer
Fluß
Spannung
I=
As/m²
Induktion,
Flußdichte
F/m=As/(Vm)
Feldkonstante
F/m=As/(Vm)
Permeabilität
F=As/V
Induktivität
F
Zylinderspule
J
Feldenergie
J
Ringspule
J/m²
Energiedichte
dΦ
dt
V = Hl
Φ
B=
A
B= µH
1
µ0 =
ε 0 c02
µ = µ0 µr
ΦN
L=
I
µ AN 2
L=
l
LI 2
WF =
2
µ H 2V
WF =
2
µ H ² BH
w=
=
2
2
Einheit
V
Wb=Vs
A
T=Vs/m²
H/m=Vs/(Am)
H/m=Vs/(Am)
H=Vs/A
H
J
J
J/m²
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
C.
Besondere Anordnungen
Punktförmiges
Punktladung (ruhend) im Ursprung des Koordinatensystems
q 1
ϕ(r ) =
bez. Fernkugel
4πε 0 r
r
E (r ) =
r
q εr
4πε 0 r 2
- Grundlage dür die Berechnung vieler anderer Formen mit dem dq Ansatz.
- Berechnung über integrales Maxwellgetz (3.41, S.105)
(Bsp.4.1.1a)
bewegte Punktladung, genähert duch 2.28, S.73
Maxwellgleichung 3.2, S.82 wird nicht erfüllt; Formel ist wirklich nur eine Näherung
- Berechnung der Rotation und der Divergenz im Kugelkoordinatensystem
(A23)
Punktdipol
(ruhend) in z-Richtung ausgerichtet und im Ursprung des Koordinatensystems liegend
r
r
r
p = ql
wenn l → 0 und p = const
r r
r
pz
p ⋅ er
ql cosϑ
r
r
E
ϕ( P) =
=
(4.13,
S.129)
=
2
2
3 ( 2 cos ϑ er + sin ϑ eϑ )
4πε 0 r z 4πε 0 r
4πε 0 r
(4.14, S.130)
(4.15, S.130)
Linienhaftes
„endliche Linienladung τ“ , die von -l bis +l auf der z-Achse geht, d.h. symmetrisch zur xy-Ebene liegt
 ρ ⋅ l + ρ2 + l 2 
0
τ

ln 
ϕ( ρ, α,0) =
Potential in der xy-Ebene bez. der Abstandes ρ0
2
2
2πε 0  ρ ⋅ l + ρ + l 
0


r
τ
l
r
E-Feld in der symmetrisch liegenden xy-Ebene
E (ρ, α,0) = eρ ⋅
2πε 0 ρ ⋅ ρ2 + l 2
(
(
)
)
- Berechnung durch Superposition von dq Elementen
126)
(Bsp. 4.1.1.b, S.
„unendliche Linienladung τ“ , die von -∞ bis +∞ auf der z-Achse geht, d.h. symmetrisch zur xy-Ebene liegt
ρ
τ
ϕ( ρ, α, z ) =
ln 0
(4.8)
bez auf den Abstand ρ0 des Bezugspotentials
2πε 0
ρ
r
τ 1
r
E (ρ, α, z ) = eρ ⋅
(4.9)
2πε 0 ρ
- Berechnung durch Grenzwertübergang aus endlicher Linienladung
(Bsp. 4.1.1.b, S.127)
„unendliche, bewegte Linienladung τ“ , die von -∞ bis +∞ auf der z-Achse geht, d.h. symmetrisch zur xy-Ebene liegt und
sich mit ux in x-Richtung bewegt
r&
τu x 1
r
r
E=
2 sin α ⋅ eα + cos α ⋅ e ρ
2πε 0 ρ
(
)
aus 3.4 S.82 und Vorgaben
r
r µ 0 τ u x sin α r
⋅ ez
B = B (ρ, α) ⋅ ez =
ρ
2π
- Ansatz aus unendlicher Linienladung, mit veränderlichen Koordinaten
- Berechnung des B-Feldes über Maxwell und die zeitliche Ableitung des „statisch gerechneten“ E-Feldes
(A40)
Liniendipol mit Belag ±τ, in z-Richtung zeigend; Pole liegen im Abstand l voneinander in der xz-Ebene; τ gehört zu ρ1
r
1 r 
τ 1 r
mit den jeweiligen Einzelabständen und den Richtungsvektoren (4.19, S.134)
E=
 eρ1 − eρ2 
2πε 0  ρ1
ρ2

ρ
τ
ϕ( P) =
ln 2
Bezugspotential liegt genau in der Mitte zwischen den Leitern
2πε 0 ρ1
- Potentiallinien sind Apolloniuskreise, Siehe dazu Lsg A4.2, E-Feldlinien siehe S.134
- Berechnung durch Superposition zweier unendlicher Linienladungen
(Bsp. 4.2.3, S.134; A4.2)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
gerader Teil eines Linienstromes, in der z-Achse liegend, von z1 bis z2 mit dem Strom i, in z-Richtung gezählt
r
r
z − z1
z − z2
µ i 
 eα
∆B ( P) = 0 
−
Beitrag zum B-Feld
(3.11a, S.88)
2
2
4π ρ  ( z − z1 ) 2 + ρ 2

(
z
−
z
)
+
ρ
2


- B.S.
Unendlicher Linienstrom, in der z-Achse, mit i in z-Richtung gezählt
r µi r
r r −µ i ρ
A = ez ⋅ 0 ln
(3.11b, S.88)
ρ0 Abstand des Bezugspunktes (Bsp 6.1.1, S.195)
B = 0 eα
ρ0
2πρ
2π
- Durchflutungsgesetz, differentielle Beziehungen zwischen A und B
Unendlicher Leiter mit homogener Stromdichte J, in z-Richtung zeig., J in z-Richtung gezählt und mit Leitfähigkeit κ
J
 2 ρ 0 ≤ ρ< R
r r
B = eα ⋅ µ 0  JR 2

ρ< R
 2ρ
r Jr
E = ez im ganzen Raum (wegen Grenzbedingungen), wenn J nicht zeitlich veränderlich ist!, sonst anderes ohmsches Gesetz.
κ
- ohne Gewähr, selber gerechnet.
Unendlicher Draht mit homogenem, freien J und Permeabilität µr , in z-Richtung zeigend, Radius R, Strom If

 If
If
µ
µ
ρ 0< ρ < R
R
ρ
0
ρ
<
<


r 0
r r
r r
2πR 2
2πR 2
B = eα ⋅ 
H = eα ⋅  I
If
 f
µ
R< ρ
R< ρ
0
 2πρ
 2πρ
Magnetisierungsströme:
r
If r
J mag = ( µ r − 1) 2 ez
πR
r
If r
Kmag = (1 − µ r )
e
2πR z
- Integrales Maxell
(A77=9.2)
2 unendliche, parallele Leiter mit +i und -i
- B-Feldlinien sind Apoloniuskreise
(A58=6.6)
Doppelleitung, 2 Leiter mit +i und -i, Radius ρ0 und Mittelpunktabstand D
L
h D − ρ0
Selbstinduktivität pro Länge
= µ 0 ln
l
π
ρ0
- Maxwell integral und Flußberechnung
(A85)
Linienhafter, mit τ geladener Kreisring, übt Kraft auf eine Punktladung aus, Ausrichtung in z- Achse, Radius R
r
R⋅τ⋅z
r
E (0,0, z ) = ez ⋅
3
2ε 0 ⋅ z 2 + R 2
- Superposition von dq Elementen
(A4)
Linienförmiger Kreisstrom i, Ausrichtung des Kreises in z-Achse, des Stromes in eα, Radius R, Mitte ist auf der z- Achse
r
µ 0iR 2
r
B(0,0, z ) =
3 ⋅ ez
2 R2 + z2
- B.S.
(A13=A3.2)
r
(A60=7.1)
Vektorpotential auf der z- Achse: A(0,0, z ) = 0 , außerhalb nur α Komponente
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Flächenförmiges
unendliche geladene Fläche mit Flächennormale in z-Richtung und homogener Flächenladung (aus A29)
σ
ϕ=∞
bez. Fernkugel;
ϕ= −
z
bez. der Fläche
2ε 0
r
σ
r
sgn( z ) ⋅ ez
E=
(3.70, S.120)
2ε 0
- Berechnung durch Grenzwertübergang aus endlicher Fläche, z.B kreisförmige Scheibe
(Bsp.3.7.4a)
unendliche, flächenstrombehaftete Fläche, Flächennormale in z-Richtung, Flächenstrom K zeigt in y-Richtung
r µ0 K y
r
sgn(z ) ⋅ e x
B=
2
(3.45, S.112)
Rechte Hand Regel !!!
- Berechnung durch Maxwell oder über Grenzbedingungen und Symmetrieüberlegungen
- sinusförmiger Strombelag, siehe dazu Ausbreitung in Bsp.11.4.6, S.333ff, vor allem S.336 !
(Bsp 3.6.1.c, S.111)
(A86)
unendlich lange, endlich breite, geladene Fläche, in z-Richung unendlich lang, geht von x=-h bis x=h, y=0, mit σ geladen
ϕ extrem komplexer Ausdruck, entstehend aus ln(x^2+y^2).., nur mit Maple...
2
x+h
x − h r 
σ  1  ( x + h) + y 2  r 
 ln
⋅
+
−
e
arctan
arctan
⋅e 


y
y  y 
2πε 0  2  ( x − h)2 + y 2  x 
r
E ( x, y, z) =
- Superposition unendlicher Linienladungen
(A31=A4.3)
2 unendliche, dickwandige, leitende, parallele, geladene Platten, im Abstand l voneinander, mit Ladung Q1 (die linke)
und Q2 (die rechte), Flächen A und Ausrichtung in z-Richtung
- ges. sind die inneren (σ1’, σ2’) und äußeren (σ1’’, σ2’’) Flächenladungsdichten, so daß sich das E-Feld in den Platten zu ergibt !
σ1 ’’= σ2 ’’=
Q1 + Q2
2A
σ1 ’= −σ2 ’=
Q1 − Q2
2A
- die E-Feld verteilung ist dann
 σ2 ’
Q + Q2
=− 1
−
2ε 0
 ε0
r
r  σ ’ Q − Q2
E ( z ) = ez ⋅  1 = 1
2ε 0
 ε0
 σ2 ’’ Q1 + Q2
 ε 0 = 2ε 0
z<0
0< z<l
l<z
- Überlagerung unendlicher, geladener Flächen mit Zusatzbedingung fürs E-Feld
(A48)
Kreisförmige, geladene Scheibe mit Radius R, Flächennormale in z-Richtung und homogener Flächenladung σ
σ
σ
R2 + z2 − z
R2 + z2 − z − R
ϕ( z ) =
bez. Fernkugel ϕ( z ) =
bez. Scheibenmittelpunkt
2ε 0
2ε 0
 r
r
σ  −z
+
sgn(
)
E-Feld auf der z-Achse
E (0,0, z ) =
z

 ⋅ ez
2ε 0  R 2 + z 2

[
]
[
]
- Berechnung durch Superposition und Integration punktförmiger Ladungen dq (dϕ und dE, dE mit Symmetrieüberlegung)
- entartet zu unendliche Flächenladung
(A29)
Kreisförmige, inhomogen geladene Scheibe mit Radius R, Flächennormale in z-Richtung
k
σ=
ist gegeben. ges. Kapazität. Bestimmung von Q und ϕ(0) → C
2
R − ρ2
Q = 2πkR
ϕ( x , y , z = 0,0,0) = k
π
4ε 0
C=
Q
= 8ε 0 R
ϕ(0)
2 solche Scheiben im Kondensatorbetrieb nebeneinander:
C=
Q1
Q
=
= 4ε 0 R
ϕ1 − ϕ2 2ϕ1
- Überlagerung von dϕ Elementen von dq=σda Ladungen, und Integration; z=0 vorher gleich einsetzen !
(ZA28)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Kreisförmige, rotierende, geladene Scheibe, Scheibe rotiert um Figurenachse z mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w
und
Flächenladungsdichte σ
r konstanter
r
Flächenstromdichte
K ( ρ) = eα ⋅ w ⋅ ρ ⋅ σ
(A7)
Dünnwandiger Kreiszylinder mit Flächenladung σ,
Radius R, Ausrichtung in z-Richtung, Mitte ist z-Achse, Ausdehnung ist von Z1 bis Z2

r
σR 
E (0,0, z ) =
2ε 0 

1
(z − z )
2
2
+R
−
2
1
(z − z )
1
2

 ⋅ er
 z
+ R2 
E-Feld auf der z-Achse
r
bei unendlicher Ausdehnung !
E (0,0, z ) = 0
- Ansatz aus τ=σdz-Elementen von A4
(ZA8)
Dünnnwandiger Kreiszylinder mit Flächenstrom Kα, Ausrichtung in z-Achse, Länge von z1 bis z2, Radius R
r
µ K 
z − z1
z − z2
−
B(0,0, z ) = 0 α 
2  R 2 + ( z − z1 ) 2
R 2 + ( z − z2 ) 2
r
r
B(0,0, z ) = µ 0 Kα ⋅ ez

 ⋅ erz

bei unendlicher Länge !
-B.S. oder differentielle Kreisstromelemente
Unendlich langer, dünnnwandiger Kreiszylinder mit Flächenstrom in α Richtung
r
⋅ρ
r
r
 µ 0 Kα ⋅ e z 0 ≤ ρ < R
µ0 d
r  R2
ind. E-Feld:
B ( ρ) = 
E ind ( ρ) = −
[K (t )] ⋅ eα 
R<ρ
2 dt α
0
 ρ
- Maxwell’s quasistationäre Gleichungen (integral oder differentiell)
falls Kα durch N Windungen von i erzeugt wird, dann gilt:
r  µ0 Ni er
z
B= l
 0
Ni
Kα =
l
(A13=3.2)
0 ≤ ρ< R
r<ρ
(A62=7.3)
innen
außen
- Maxwell integral trivial
(A67=7.7)
2 parallele, dünnwandige, geladene Zylinder unendlicher Länge, je mit Radius R und vorzeichenverschiedener
Ladung
- Beschreibung duch 2 Linienladungen, die Apolloniuskreise für das Potential bilden, 2 der Kreise seien die realen Zylinder
- Bild dazu siehe A52
- Bestimmung der Anordnung der Kapazität
- Apollonius- Ansatz konstanten Potentials
(A52)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Räumliches
homogen geladene Kugel mit Oberflächenladung, Mittelpunkt liegt im Ursprung, Radius R, Dichten ρ0 und σ0

ρ0
 4 3
0<r < R
r

0
ρ
π
r
<
r
<
R
r r 
 03
3ε 0
Q (r ) =  4
E = er ⋅ 
3
2

Qges
 ρ0 πR 3 + σ0 4πR 2 R < r
 ρ0 R + σ0 R  ⋅ 1 =
R<r
2
 3
 3ε 0
ε0  r
4πε 0 r 2
 ρ0
Rσ0
2
2
 6ε (3R − r ) + ε
0
ϕ(r ) =  Q 0
ges 1

 4πε 0 r
0< r < R
R<r
- Berechnung über Poissonsche DGL mit Grenzbedingungen
- Maxwell und Symmetrieüberlegungen
(ρ: A33)
(E:Bsp 3.6.1.a, S. 107,ϕ: Bsp 4.4.1, S.137)
homogen mit σ oberflächlich geladene, rotierende Kugel, Kugel liegt im Ursprung, Radius R, z ist Rotationsachse
r
r
K = σwz R sin ϑ ⋅ eα
(ZA4 zu A7)
Dickwandiges stromdurchfl. Rohr unendlicher Länge mit homogener StromdichteJz und Oberflächenstrom (außen) Kz in
Richtung z-Achse
Innenradius R1, Außenradius R2

0

r r  µ 0 J z ρ2 − R12
B = eα ⋅ 
ρ
 2
2
2
J
R
R2
µ
 0 z 2 − R1
+
K
µ
z
0
 2
ρ
ρ
0
für ρ < R1

2
2
I ( ρ) =  J z π ⋅ ( ρ − R1 )
für R1 < ρ < R2

2
2
 J z π ⋅ ( R2 − R1 ) + K z ⋅ 2πR2 für R2 < ρ
- Integrale und differentielle Maxwellgleichungen
für 0 < ρ < R1
für R1 < ρ < R2
für R2 < ρ
(A22, A26)
Dickwandiges, stromdurchfl. Rohr mit Permeabilität unendlicher Länge mit homogener, freier Stromdichte Jz
Innenradius R1, Außenradius R2
0
für ρ < R1

2
2
I f ( ρ) =  J z π ⋅ ( ρ − R1 ) für R1 < ρ < R2

2
2
 J z π ⋅ ( R2 − R1 ) für R2 < ρ

0
für 0 < ρ < R1

2
2
r r  µJ ρ − R1
für R1 < ρ < R2
B = eα ⋅  z
ρ
 2
2
2
 µ 0 J z R2 − R1
für R2 < ρ
 2
ρ
0
ρ = R1
r
r J z 
2
2
µ  R2 − R1
Kmag = ez ⋅ 
ρ = R2
2 1 − 
 µ 0  R2

0

r r  J z ρ2 − R12
H = eα ⋅ 
2 2ρ 2
 J z R2 − R1
 2
ρ
r
J mag
für 0 < ρ < R1
für R1 < ρ < R2
für R2 < ρ
0
für 0 < ρ < R1


r µ
= J z ez ⋅  − 1 für R1 < ρ < R2
 µ 0 
für R2 < ρ
0
I mag = 0 durch den Querschnitt des Drahtes
- Durchflutungsgesetz, Maxwell differentiell mit Ranndbedingungen
(ZA43)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Dickwandiges Rohr unendlicher Länge mit homogener Stomdichte Jα in α Richtung ,
Mitte ist z-Achse, innen R1, außen R2
µ 0 J α ( R2 − R1 ) 0 ≤ ρ ≤ R1
r
r 
B = B( ρ) ⋅ ez = µ 0 J α ( R2 − ρ)
R1 < ρ ≤ R2
0
R2 < ρ

- Integrale Maxwell und Symmetrieüberlegungen für Ansatz, A13 als Grenzbedingung innen, Durchflutungsgesetz (ZA14)
Koaxialleiter, innen homogene Stromdichte bis ρ1, außen Flächenstrom bei ρ2,
Mitte = z-Achse, Innenstrom fließt in z-Richtung
 µ0 I ρ
0 ≤ ρ < ρ1

2π ρ12

r r  µ0 I 1
ρ1 ≤ ρ < ρ2
B = eα ⋅ 
 2π ρ

ρ2 < ρ
0
ρ2 
µ0  1
ρ2 
I 2 µ0  1
W=
l + ln 
gespeicherte Feldenergie; L =
l ⋅  + ln  Induktivität der Leitung
2 2π  4
ρ1 
2π  4
ρ1 
- Maxwell integral, Formel für Arbeit, Definition der Induktivität
(Bsp.7.3.4, S.233)
Koaxialleiter, 2 stromtragender koax. Zylinder, Mitte ist z-Achse
Innenleiter Radius ρ1 und homogenem Gleichstrom I1, Außenleiter zwischen ρ2 und ρ3 mit homogenem Strom I2 in z-Richt.
gezählt
 ρ
 I 1 ρ2
1

I1

r
r r µ0  ρ
B = B(ρ) ⋅ eα = eα ⋅ 
ρ2 − ρ22  1
2π 
 I 1 + I 2 ρ2 − ρ2  ⋅ ρ

3
2 
 I1 + I 2
 ρ

falls I1=-I2 „Außenleiter als Rückleiter“ , gilt:
0 ≤ ρ ≤ ρ1
ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2
ρ2 ≤ ρ ≤ ρ3
ρ3 ≤ ρ
 ρ
 I 1 ρ2
1

I1
r
r r µ 
B = B(ρ) ⋅ eα = eα ⋅ 0  ρ
2π 
ρ23 − ρ2  1
 I 1 2
2 ⋅
 ρ3 − ρ2  ρ
0
0 ≤ ρ ≤ ρ1
ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2
ρ2 ≤ ρ ≤ ρ3
ρ3 ≤ ρ
- Berechnung durch integrale Mexwellgesetze
(A54=6.2)
Unendlich langer Zylinder mit homogener Raumladungsdichte η innen, Mitte ist z-Achse, Radius R
 η
2
2
 4ε ( R − ρ ) 0 ≤ ρ ≤ R
ϕ( ρ) =  η0
Potential ist bezogen auf dei Zylinderoberfläche !
R
2

ρ< R
 2ε 0 R ln ρ
 η
 2ε ρ
r
E = −∇ϕ =  0 2
 η R
 2ε 0 ρ
0 ≤ ρ≤ R
n.krass
ρ< R
- Poisson’s DGL oder integrales Maxwell und Symmetrieüberlegungen
(ZA22)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Influenz von einer Punktladung q auf eine unendliche, metallische Fläche
Fläche = xy-Ebene, Punkladung liegt auf pos. z-Achse
von der Influenzierten Ladung (liegt genau spiegelbildlich zu q) erzeugte E-Felder
r
rσ
rq
q erq
E = −E = −
für z<0, d.h. im Metall (oder im leeren Halbraum), denn Eges = 0 nach (5.37, S.171) im Metall
4πε 0 r 2
r
rσ
q eσq
E =−
für z>0, d.h. von σ erz. Feld im Halbraum der Ladung q, deren E-Feld sich mit diesem überlagert!
4πε 0 rσ2q
h
−q
σ = ε 0 E z + = ε 0 lim z → 0 E z+ =
influenzierte Flächenladungsdichte nach (5.41, S.175)
2π x 2 + y 2 + h 2 3
q influenz = −q gesamte influenzierte Ladung
- Influenzgesetze, siehe 5.37 und 5.38 S.171
(Bsp. 5.5.2a, S.174, A43=5.2)
„verlustbehafter Kondensator“ = „homogen leitfähiger, zylindrischer Körper mit idealen Elektroden“
an den Stirnseiten, der Länge l und Radius R mit konstanter Innenstromdichte, ideal leitenden Elektroden und linienhafter
Stromzuführung i; der Körper und der Linienstrom sind in z-Richung ausgerichtet
r r
ρ2 
i 
K = eρ ⋅
1 − 2  Oberflächenstromdichte der scheibenförmigen Elektrode, auf die der Stromzählrichtungspfeil zeigt.
2πρ  R 
- Kontinuitätsgleichung
(A8)
außerhalb des „Kondensators“ ist das Magnetfeld identisch dem eines unendlichen linienförmigen Leiters (s.o, Linienhaftes);
innerhalb des „Kondensators“ gilt:

i ρ
r r µ 0 πR 2 2 0 < ρ < R
B = eα ⋅ 
i
 µ0
R<ρ
2πρ

- differentielle Maxwellgleichungen mit Grenzbedingungen
(A27)
- aus Randbedingung, Poissonsche DGL
(A41)
−i
ϕ(z) =
z+C
κπR 2
kreisförmiger Kondensator mit homogener, zeitabh. Flächenladung, und i(t) Zufluß,Ausrichtung in z-Richtung,
Radius der Elektroden ist R
r r
ρ2 
i 
K = eρ ⋅
1 −
 Oberflächenstromdichte der scheibenförmigen Elektrode, auf die der Stromzählrichtungspfeil zeigt.
2πρ  R 2 
1 t
σ(t ) = σ(0) +
∫ i (τ)dτ Oberflächenladung der Elektrode, auf die der Stromzählrichtungspfeil zeigt.
πR 2 0
- Kontinuitätsgleichung
(ZA5 zu A8)
torusförmige Spule mit rechteckigem Querschnitt und n-Strom-Windungen
Innenradius ρ1, Außenradius ρ2, Höhe l, Strom rechtshändig zum Fluß, Ausrichtung in z-Richtung
r r µ Ni
µ Ni
ρ
ΦQ = 0 l ln 2
B = eα 0 im Torus-Ring, sonst 0;
ρ1
2πρ
2π
2
µ N
ρ
L= 0
l ln 2
Selbstinduktivität
ρ1
2π
Querschnittsfluß
- Durchflutungsgesetz
Weicheisenring mit Luftspalt, N-Strom-Windungen
r
Ni r
B=
e innerhalb des Ringes (auch im Luftspalt)
lE l L α
+
µ µ0
- Maxwell integral
(Bsp.6.4.2, S.209)
L=
N 2a
lE l L
+
µ µ0
(A79=9.3)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Metallkugel mit Hohlraum und Ladung Q
- Q liegt als Flächenladung auf der äußeren Fläche, Grund: Maxwell 3.41a,b und kein E-Feld im Metall !
ρHohlraum =
Q
4πε 0 R
Potential des Hohlraumes bez. Fernkugel; Grund: ϕ und E sind stetig, E=0 im Metall
- E=0 im Metall, Stetigkeit von E am Hohlraumrand, Poisson Ansatz und RB
von einem homogenen E-Feld Influenzierte Metallkugel
- Ersatzpunktdipol für leitende Kugel in einem nichtleitendem Medium mit äußerem E-Feld;
äußeres hom. E-Feld (E0) zeigt in z-Richtung, Punktdipol ist im Ursprung und zeigt ebenfalls in z-Richtung, Kugel habe Radius R
- Überlagerung der Felder ergibt, wenn die Tangentialkomponente am Rand der leitenden Kugel verschwinden soll ( das E-Feld
tritt aus einem Metall (fast) immer senkrecht raus) für den die Kugel ersetzenden, die Randbedingungen erfüllenden Punkt-Dipol:
pz = 4πε 0 R 3 E 0
r
r
r
r
E Kugelrand = E 0 + E Dipol = er ⋅ cosϑ ⋅ 3E 0
nur an der Kugeloberfläche, keine Tangentialkomponente, also RB erfüllt
- Gesamtes E-Feld im Raum durch Überlagerung der einzelnen Komponenten
auf der Oberfläche der Metallkugel influenzierte Flächenladung
σinf = 3ε 0 E 0 cosϑ
(A46)
- einfache E-Feldüberlagerung
(A50)
r

 R 3 
r
R3  r
E ges = E 0  er cosϑ ⋅ 1 + 2 3  + eϑ sin ϑ 3 − 1
r 

r


 R3

ϕ = E 0  2 − r  cosϑ
r

außerhalb der Kugel !
- Poisson-Ansatz, Eindeutigkeit der Lösung, Randbedingungen fürs Potential
(Bsp.5.5.2b, S.176)
elektrisch polarisierte Kugel mit P in z-Richtung, Kugel liegt im Koordinatenursprung, Radius R,
Polarisation in z-Richtung
r
E ( pol )
 P0
r<R
− 3ε
0
=
P R3 1
 0
(2 cosϑ ⋅ err + sin ϑ ⋅ erϑ ) r > R
 3ε 0 r 3
(8.13, S.254, Bsp.8.2.1a)
- aus Vergleich mit influenzierter Kugel
von einem homgenen E-Feld E0 polarisierte, homogen dielektrische (ε) Kugel im Vakuum
von einem homgenen E-Feld polarisierte, homogen dielektrische (ε1) Kugel in einem Dielektrikum ε2
man ersetze nur ε0 durch ε2 und ε durch ε1, oder umgekehrt, je nach Notwendigkeit !
Kugelmittelpunkt
liegt im Ursprung, Radius R
r
r
E 0 = E 0 erz
r
−P
nur in der Kugel !
E pol = 0
3ε 0
r
r
ε − ε0 r
nur in der Kugel, außen keine Polarisation
P = (ε − ε 0 ) E = 3ε 0
E
ε + 2ε 0 0
r
3ε 0 r
nur in der Kugel !
E=
E
ε + 2ε 0 0
(8.13a, S.254)
(8.46, S.267)

ε −ε r
r<R
− E 0 1 2 ⋅ ez

r

ε1 + 2ε 2
durch die Polarisation hervorgerufenes Feld
E pol =  3
 R E ε 1 − ε 2 ( 2 cosϑer + sin ϑer ) R < r
r
ϑ
 r 3 0 ε1 + 2ε 2
ε −ε
σpol = 3ε 0 1 2 E 0 cosϑ (hier muß das erste ε0 unbedingt stehen bleiben!, aus Grenzbedingungen!)
ε1 + 2ε 2
• Eges- Feld siehe S.267
- siehe Beispiel
- aus verschiedenen Beispielen zusammengestückelt
(Bsp8.5.2c, S.266)
(A71)
Nichtleitende Kugel in einem leitendem Medium mit äußerem, homogenem J-Feld, Ersatz-Punktdipol
äußeres J-Feld (J=κE0) zeigt in z-Richtung, Punktdipol ist im Ursprung und zeigt ebenfalls in z-Richtung, Kugel habe Radius R
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
- Überlagerung der Felder ergibt, wenn die Radialkomponente am Rand der nichtleitenden Kugel verschwinden soll (Es fließt ja
kein Strom in die Kugel hinein!) für den die Kugel ersetzenden Dipol:
pz = −2πε 0 R 3 E 0
r
r
r
−3
r
E rand = E 0 + E Dipol = eϑ ⋅ sin ϑ ⋅ E 0
2
nur an der Kugeloberfläche, keine Radialkomponente, also RB erfüllt
- Gesamtes E-Feld und J=κE -Feld im Raum außerhalb durch Überlagerung der einzelnen Komponenten
(A46)
hom. E-Feld Kompensation, Radialkomponente des äußeren E-Feldes an einer Kugel kompensieren
siehe: Influenzierte Metallkugel
(A46)
hom. E-Feld Kompensation, Tangentialkomponente des äußeren E-Feldes einer Kugel kompensieren
siehe: Nichtleitende Kugel in einem leitendem Medium mit äußerem J-Feld, Ersatz-Punktdipol
(A46)
magnetisch polarisierte Kugel, Kugel liegt im Koordinatenursprung, Radius R, Magnetisierung M0 in z-Richtung
H-Feld korrespondiert mit E-Feld einer elektrisch pol. Kugel; dies folgt aus Vergleich von Wirbel und
Quellen.
P0
, dieses oben in el. pol. Kugel einsetzen und man erhält statt E-, das H-Feld
Ergebnis: M 0 ≅
ε0
- aus Vergleich mit elektrisch polarisierter Kugel nach Bsp. 8.2.1a, S.252; aus Klausur Herbst ‘90
magnetisch permeable Kugel, Radius R, mit µ, Kugel wird durch ein homogenes Außenfeld H0 magnetisiert
für das Gesamtfeld in der Kugel gilt:
r
r
r r
B = µH = µ 0 ( H + M )
damit also dann
r
r µ
M =  − 1H
 µ0 
Die Beziehung zwischen Gesamtfeld H in der Kugel und dem verursachendem Feld H0 außen ist, analog wie bei einer
polarisierbaren Kugel (D=B, E=H) dann:
r
H=
3µ0 r
H
2µ 0 + µ 0
und so ist
r 3( µ − µ 0 ) r
M=
H
2µ 0 + µ 0
Ist das Kügelschen
klein, und H0 und damit M deshalb näherungsweise konstant, dann läßt sich die Beziehung
r
r dm
M=
dV
vereinfachen zu:
r
r 4
m = R 3πM
3
womit das magnetische Moment der kleinen Kugel berechnet wäre
- Dualität zwischen E- und B-Feld !
(ZA41)
Corbino-Scheibe = kurzer, koaxialer Zylinder mit n-leitendem Material im Zwischenraum A5.1
- Widerstand ist B-Feld abhängig
- Rechnung durch gegebene Anleitung
- Ohmsches Gesetz
R=
ln
ρ2
ρ1
2πρl
(A37=A5.1)
Widerstand der Scheibe bei B=0
- integrale Maxwell und ohmsches Gesetz, einfache Symmetrieüberlegungen → Ansatz für J
(A42)
„zerfließende Raumladung in einem Metall“ geg, Raumladung ρ(t=0,r), nach welchem Gesetz zerfließt sie ?
ε
κ
r
r
r
r −t
& (t , r ) + ρ(t , r ) = 0
T = 0 ≈ 10 −19 sec in Cu
ρ(t , r ) = ρ(t = 0, r ) ⋅ e T
ρ
κ
ε0
- aus Kontinuitätsgleichung, ohmschem Gesetz für ruhende Körper und Maxwell 3.1
(A36)
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
Apolonius - Ansatz
Soll von den Punkten Q’ und Q gelten:
r = k ⋅ r’
s
k=
R
s s′ = R
P
(x)
dann gelten folgende Beziehungen
r’’
k >1
2
k 2l
s= 2
k −1
zM
r
r’
z=l
Q’
l
s’= 2
k −1
R
Q
(z)
s’
kl
−l
R= 2
z M = − s’= 2
k −1
k −1
bei Punktladung und influenzierter Metall-Kugel gilt
R
1
s
q′ = − q
k=
k >1
q′ = − q
s
k
R
q ′′
1  Q0 q 
Q0 = q ′ + q ′′ ϕ 0 =
=
+ 

4πε 0 R 4πε 0  R s 
s
Alle gesuchten Punkte mit einem konstanten k sind Kreise mit Radius R und Mittelpunkt bei zM .
Bemerkungen zum HALL - Effekt aus Anhang von ZA24
Zunächst ist zu unterscheiden, ob nur p, oder nur n-Leitung
r
r p-Leitung
r
r
Fp = e( E + u p × B)
r
r n-Leitung
r r
Fn = −e( E + un × B)
r r r
b r
r
un = n Fp = −bn ( E + un × B)
e
r
r r r
r
J n = n(−e)un = nebn ( E + un × B)
also
r
r
r r
−
×B
J n = neb
E
b
J
n
n
{
r r
r
bp r
r
u p = Fp = bp ( E + u p × B)
e
r
r r
r
r
J p = peu p = pebp ( E + u p × B)
also
r
r
r r
J p = pebp E + bp J × B
{
κn
κp
RH = −
bp
1
RH =
=
>0
κ p pe
bn
1
=
<0
κn −en
n,p jeweilige Volumenkonzentration (nichtnegativ), u jeweilige Geschwindigkeit, κ jeweilige Leitfähigkeit (nichtnegativ), das
Vorzeichen des Hallwiderstandes ist abhängig von der Leitungsart !
Wirken
r beide
r Effekt
r zusammen gilt weiterhin:
,
J=J +J
r r pr n
r r
E = E || + E ⊥ , wobei E || || J ist,
und κ = κ p + κn
mit
ergeben sich die rechts stehenden Zusammenhänge:
Die obigen Spezialfälle für RH entstehen aus der allgemeinen
Formel rechts !
r
r
J = (κn + κ p ) E ||
r
Jp =
κp
r
J
und
r
Jn =
κ p + κn
r
r J
pbp2 − nbn2 r r
E= −
J×B
κ e( pbp + nbn ) 2
144244
3
κn r
J
κn + κ p
RH
also
RH =
pbp2 − nbn2
e( pbp + nbn ) 2
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.
D.
Mathematische Formeln
... aus dem Bronstein S.46, 47
Wichtige Integrale
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
x
a +x
x
2
2
a2 + x2
x
a −x
x
2
2
a2 − x2
dx = a 2 + x 2 + C
3
dx =
−1
a2 + x2
+C
dx = − a 2 + x 2 + C
3
dx =
1
a2 − x2
+C
(
)
x
dx = arcsinh  + C = ln x + a 2 + x 2 + C2
a
a +x
1
x
+C
3 dx =
2
a ⋅ a2 + x2
a2 + x2
1
2
2
x
dx = arcsin + C
a
a −x
1
x
+C
3 dx =
2
a ⋅ a2 − x2
a2 − x2
1
2
2
x
1
1
arctan  + C
2 dx =
a
+x
a
x
1
∫ a 2 + x 2 dx = 2 ln(a 2 + x 2 ) + C
∫a
2
∫ sin
1
1
(ax )dx = x − sin(2ax )
2
4a
1
1
∫ cos2 (ax)dx = 2 x + 4a cos(2ax)
2
∫ ln(a
2
x
+ x 2 )dx = x ln(a 2 + x 2 ) − 2 x + 2a ⋅ arctan  + C
a
ETG-Kurzschluß: TEDY Formelsammlung,  1997 Dieter Braisch & Wilko Kraß. Keine Gewähr für den Inhalt und evtl. Fehler.