Wahrscheinlichkeit N N H = 1 H =

Wahrscheinlichkeit
1
Wahrscheinlichkeit
Die Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zwischen der Anzahl bestimmter Ereignisse, die durch eine gewisse Zufallsvariable
gekennzeichnet sind, und der Wahrscheinlichkeit für ihr Eintreten ist wohl zu unterscheiden. Die
Zufallsvariablen können diskreter (sprunghafter) oder kontinuierlicher (stetiger) Natur sein.
Für die Berechnung von Wahrscheinlichkeitsproblemen gelten einige Axiome.
1. Relative Häufigkeit
Wenn von der Gesamtzahl N ges von zufälligen Ereignissen N int Ereignisse von besonderem
Interesse sind, beträgt die relative Häufigkeit H dieser interessierenden Ereignisse
N int
N ges
H=
H = 0 bedeutet z.B., dass das erwartete, interessierende Ereignis nicht eintritt. Ein mit Sicherheit
eintretendes Ereignis hat die relative Häufigkeit H = 1 . Im praktischen Fall schwankt mit
wachsender Gesamtzahl gleichartiger Ereignisse die relative Häufigkeit immer weniger um einen
bestimmten Wert. Für rechnerische Untersuchungen kommt man nicht umhin, die relative
Häufigkeit H als Wahrscheinlichkeit Q zu deuten.
H= Q
Wenn z.B. für die Verteilung P nach einem der vier Verteilungsgesetze die entsprechende
Wahrscheinlichkeit ermittelt werden soll, muss noch durch die Summe der
Verteilungsmöglichkeiten  P geteilt werden.
2. Additionsregel
Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten
i=n
Q = Â Qi
i=1
gibt die Gesamtwahrscheinlichkeit an, mit der Fall 1 des ersten Merkmals oder der Fall 2 des
zweiten Merkmals oder weitere Fälle bis hin zum n-ten Merkmal eintreten.
3. Multiplikationsregel
Das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten
i=n
Q = ’ Qi
i=1
gibt die Gesamtwahrscheinlichkeit an, mit der Fall 1 des ersten Merkmals als auch der Fall 2 des
zweiten Merkmals und weitere Fälle bis hin zum n-ten Merkmal eintreten.
4. Sicheres Ereignis
Das sichere Ereignis ist durch
Q =1
gekennzeichnet.
5. Unmögliches Ereignis
Das unmögliche Ereignis ist durch
Q= 0
gekennzeichnet.
6. Wahrscheinlichkeit bei stetiger Zufallsvariable
16.5.2004
Wahrscheinlichkeit.doc
Wahrscheinlichkeit
2
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion
n =x
Ú
F (x ) =
f (n ) dn
n =-•
ist die Stammfunktion oder Integralfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte f (n ) mit n als
Zufallsvariable und x als deren oberer Grenze.
Die Wahrscheinlichkeit Q für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses im Intervall n = a bis
n = b beträgt
Q(a,b ) =
n =b
Ú
f (n ) dn .
n =a
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Merkmal des Ereignisses im Intervall dn liegt oder dass
dN von N Teilchen das Merkmal n haben, beträgt
dN
,
dQ = f (n ) dn =
N
wobei z.B. n die Geschwindigkeit (Ereignis) eines bewegten Teilchens in einem Gas und dn das
Geschwindigkeitsintervall (Merkmal) sein kann, in dem diese Geschwindigkeit liegt. Bei stetiger
Verteilung der Zufallsvariablen ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable einen
bestimmten Wert annimmt, gleich Null.
7. Normierung
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten irgend eines Ereignisses n im Bereich n = - E bis
n = + E ist gleich 1.
n =+•
Ú
f (n )dn = 1
n =-•
Diese Bedingung muss von der Wahrscheinlichkeitsdichte notwendigerweise erfüllt werden. Das
Integral erstreckt sich über den Definitionsbereich der Wahrscheinlichkeitsdichte. Andererseits
kann jede Funktion f (n ) , die diese Bedingung erfüllt, als Wahrscheinlichkeitsdichte fungieren. In
der Statistik sind viele solcher Funktionen bekannt, z.B. die Wahrscheinlichkeitsdichte der
Gaußschen Normalverteilung.
Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeitsfunktion
Bei diskreter Verteilung der Zufallsvariablen lässt sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion mit den, den
entsprechenden Ereignissen zugeordneten Einzelwahrscheinlichkeiten Q-• . . . Qi . . . Q+• in
folgender Weise berechnen
i=x
F (x ) =
 Qi
i= -•
Bedingung ist das die Wahrscheinlichkeitsfunktion für x = + E den Wert 1 annimmt.
F (E) =
i =+•
 Qi = 1
i =-•
Die Funktion
f (x ) =
1
1
- x
2
2
(Glockenkurve)
2p
erfüllt die Bedingungen, die an eine Verteilungsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte gestellt
werden. Die Funktion muss an der Stelle des Erwartungswertes ein Maximum haben. Das Integral
der Funktion von n = - E bis n = + E muss gleich 1 sein. Im vorliegenden Fall ist der
Erwartungswert m = 0 und die Streuung s = 1 .
e
Der Erwartungswert (oder Mittelwert) m und die Streuung (oder der Abstand der Wendepunkte) s
16.5.2004
Wahrscheinlichkeit.doc
Wahrscheinlichkeit
3
lassen sich auch unmittelbar in die Verteilungsfunktion einbauen. Mit n als Variable lautet die
Gleichung dann
f (n ) =
1
2ps
e
-
1 (n - m )2
2 s2
Mit der Substitution
n -m
=x
s
und der Streuung
s =1
erhält man wiederum die Funktion der Gaußschen Normalverteilung.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion erhält man durch Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte.
F (x ) =
n =x
Ú
f (n ) dn
n =-•
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem bestimmten Bereich liegt, ist gleich dem
Integral zwischen den Grenzen dieses Bereiches.
Gaußsche Normalverteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte
Zahlenbeispiel
0,2
f (n ) =
f (n)
0,15
n
m=0
s=2
0,1
0,05
1
2ps
e
-
1 (n - m )2
2 s2
Zufallsvariable
Mittelwert
Streuung
Die Streuung s ist der halbe Abstand der
Wendepunkte.
0
-10
-5
0
10
5
Maximum bei 0,199
n
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung
1,0
F(x)
F (x ) =
0,75
Ú
f (n )dn
n =-•
0,5
f (n ) =
0,25
0
-10
n =x
-5
0
10
5
x
n
m=0
s=2
1
2ps
e
-
1 (n - m )2
2 s2
Zufallsvariable
Mittelwert
Streuung
Thermodynamische Wahrscheinlichkeit
In der Thermodynamik werden Systeme mit molekularer Teilchenstruktur, z.B. Gasgemische,
flüssige und feste Lösungen usw., mit Hilfe der Statistik untersucht. Ein Merkmal der bewegten und
unterscheidbaren Teilchen kann z.B. der Aufenthalt in einem Teilvolumen sein. Befinden sich N
16.5.2004
Wahrscheinlichkeit.doc
Wahrscheinlichkeit
4
Teilchen, die durch äußere Wärmeeinwirkung in Bewegung sind, im Gesamtvolumen eines
Behälters, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl N 1 Teilchen mit vorgegebener
Nummerierung im Teilvolumen V1 als auch N 2 Teilchen im Teilvolumen V2 und allgemein N i
Teilchen im Teilvolumen Vi bis hin zu N n Teilchen im Teilvolumen Vn anzutreffen sind
Q = v1N1v 2N2 . . . v iNi . . .
i=n
v nNn = ’ v iNi ,
i=1
wenn unter v i der Anteil von Vi am Gesamtvolumen V verstanden wird.
v1 = V1 V , v 2 = V2 V . . . v i = Vi V . . . v n = Vn V
Die Teilchenzahlen N i setzen sich zur Gesamtzahl N zusammen.
i=n
N = Â Ni
i=1
Die Teilvolumen Vi setzen sich zum Gesamtvolumen zusammen.
i=n
V = ÂVi
i=1
Diese Überlegung fußt auf einem einfacheren Modell als das thermodynamische
Verteilungsgesetz. Die Teilvolumen V1 , V2 , . . . Vn , die im Kugel-Kasten-Modell den einzelnen
Fächern entsprechen, sind hier nicht weiter unterteilt. Wird nun Fach 1 in z1 , Fach 2 in z2 , Fach i
in zi , schließlich Fach n in zn Teilfächer eingeteilt, so lässt sich die thermodynamische
Wahrscheinlichkeit durch folgende Gleichung berechnen.
i=n
( z z )Ni
QTh = N!’ i
Ni!
i=1
In dieser Beziehung ist z die Gesamtzahl der Teilfächer.
i=n
z = Â zi
i=1
Die Beziehung für die thermodynamische Wahrscheinlichkeit QTh lässt sich aber auch aus dem
thermodynamischen Verteilungsgesetz PTh und der Gesamtheit der thermodynamischen
Verteilungen  PTh ermitteln.
P
QTh = Th
 PTh
Maxwell-Boltzmannsche Wahrscheinlichkeit
Die Maxwell-Boltzmannsche Wahrscheinlichkeit QMB ergibt sich aus dem MaxwellBoltzmannschen Verteilungsgesetz PMB und der Gesamtheit der Maxwell-Boltzmannschen
Verteilungen  PMB in der folgenden Weise.
P
QMB = MB
 PMB
Bose-Einsteinsche Wahrscheinlichkeit
Die Bose-Einsteinsche Wahrscheinlichkeit QBE ergibt sich aus dem Bose-Einsteinschen
Verteilungsgesetz PBE und der Gesamtheit der Bose-Einsteinschen Verteilungen  PBE in der
folgenden Weise.
P
QBE = BE
 PBE
Fermi-Diracsche Wahrscheinlichkeit
Fermi-Diracsche Wahrscheinlichkeit QFD ergibt sich aus dem Fermi-Diracschen
Verteilungsgesetz PFD und der Gesamtheit der Fermi-Diracschen Verteilungen in der folgenden
Weise.
16.5.2004
Wahrscheinlichkeit.doc
Wahrscheinlichkeit
5
PFD
 PFD
QFD =
Verteilungsgesetze und Wahrscheinlichkeiten
Die Rechenmethode zur Ermittlung der Verteilungen und der daraus resultierenden
Wahrscheinlichkeiten werden für alle vier Theorien (Th, MB, BE, FD) an einem Beispiel gezeigt.
Die Verteilung für den wahrscheinlichsten Fall ist ausführlich dargestellt.
Beispiel: Verteilungsgesetz
Folgende Daten sind gegeben.
Gesamtzahl der Kugeln
Gesamtzahl der Teilfächer
Anzahl der Teilfächer in Fach 2
N=3
z=5
z2=3
Kasten mit n = 2 Fächern und
insgesamt z = 5 Teilfächern
Fach 1 mit
2 Teilfächern
1
2
n=2
z1=2
Anzahl der Fächer
Anzahl der Teilfächer in Fach 1
Vorratsbehälter für N = 3
nummerierte Kugeln
Fach 2 mit
3 Teilfächern
3
4
5
123
Anwendung der vier Verteilungsgesetze: PTh , PMB , PBE und PFD
Makrozustand
Makrozst.
1.
1
N1
2.
2
3.
3
4. 1)
0
2
1
0
3
N2
PTh —mak
3
3
1
1
PTh mik
18
12
8
27
PTh
3·18=54
3·12=36
1·8=8
1·27=27
QTh
54/125
36/125
8/125
27/125
PMB
9
6
8/6
27/6
QMB
(9·6)/125
(6·6)/125
8/125
27/125
PBE
12
9
4
10
QBE
12/35
9/35
4/35
10/35
PFD
6
3
-
1
QFD
6/10
-
1/10
 PTh B mak = 4
1)
3/10
, Â PThAmak = 8
ÂP
8
ÂQ
2)
125
1
125/6
1
35
1
10
1
2)
Beispiel: Verteilung der Kugeln (Teilchen oder Elemente) für den 1. Makrozustand für alle vier
Verteilungsarten
Die gegebenen Daten sind die gleichen wie im Beispiel: Verteilungsgesetz.
Gesamtzahl der Kugeln
Gesamtzahl der Teilfächer
Anzahl der Teilfächer in Fach 2
16.5.2004
N=3
z=5
z2=3
Anzahl der Fächer
Anzahl der Teilfächer in Fach 1
n=2
z1=2
Wahrscheinlichkeit.doc
Wahrscheinlichkeit
Kasten mit n = 2 Fächern und
insgesamt z = 5 Teilfächern
Fach 1 mit
2 Teilfächern
1
2
6
Vorratsbehälter für N = 3
nummerierte Kugeln
Fach 2 mit
3 Teilfächern
3
4
5
123
1) Thermodynamische Verteilung (1. Makrozustand)
1
2
3
3 Makrozustände
(Fach 1 u. 2)
23
13
12
2 Mikrozustände
(Fach 1)
1
1
23
2
2
3
3
23
2
2
3
3
3
3
23
2
2
9 Mikrozustände
(Fach 2)
3 x 18 = 54
Umordnungen
2 x 9 = 18
Mikrozustände
Die Anzahl der übergeordneten Makrozustände in Fach 1 und 2 beträgt
PThAmak = 3 .
Die Mikrozustände in Fach 1 und 2 betragen insgesamt
PThmik = 2·9 = 18 .
Für die thermodynamische Verteilung, das heißt für die Gesamtzahl der Umordnungen für den Fall
nummerierter Elemente, bekommt man also
PTh = PThAmak PThmik = 3·18 = 54 .
2.) Maxwell-Boltzmannsche Verteilung
Diese Verteilung ergibt sich rein rechnerisch aus der thermodynamischen Verteilung und lässt sich
nicht modellmäßig darstellen.
3.) Bose-Einsteinsche Verteilung
2 Zustände
Fach 1
c
c
cc
c
c
c
c
cc
c
c
cc
2 x 6 = 12
Umordnungen
6 Zustände
Fach 2
Für die Bose-Einsteinsche Verteilung, das heißt für die Gesamtzahl der Umordnungen für den Fall
nicht nummerierter Elemente bekommt man also
16.5.2004
Wahrscheinlichkeit.doc
Wahrscheinlichkeit
7
PBE = 2·6 = 12 .
4.) Fermi-Diracsche Verteilung
2 Zustände
(Fach 1)
c
c
2x3=6
c
c
Umordnungen
c
c
c
c
3 Zustände
(Fach 2)
Für die Fermi-Diracsche Verteilung , das heißt für die Gesamtzahl der Umordnungen für den Fall
nicht nummerierter Elemente und Einzelbelegung der Teilfächer, bekommt man also
PFD = 2 ◊ 3 = 6 .
Welches Verteilungsgesetz auch für ein bestimmtes im Gleichgewicht befindliches
Teilchenkollektiv in der Thermodynamik, Chemie oder Optik zuständig ist, es stellt sich immer die
Verteilung mit der größten Wahrscheinlichkeit, d.h. mit der größten Anzahl von möglichen
Umordnungen, ein. Das Unterscheidungsmerkmal der Teilchen ist beispielsweise deren Verteilung
auf die verfügbaren Energiewerte.
Fundamentalgleichung der Thermodynamik
In der Festkörperphysik und in der Optik ist die Energie der Teilchen (Elektronen, Photonen,
Phononen, a-Teilchen usw.) ein wesentliches Unterscheidungsmerkmal bei statistischen
Untersuchungen. Es lassen sich die Gesetzmäßigkeiten der Thermodynamik (1. und 2. Hauptsatz)
anwenden. Nach dem 1. Hauptsatz muss bei der Energiebilanz eines thermodynamischen
Vorgangs auch die innere Energie U des Systems berücksichtigt werden. Die innere Energie ist
eine Funktion der extensiven Zustandsgrößen Entropie S Volumen V, Teilchenzahl N sowie der
elektromagnetischen Eigenschaften der Teilchen. Letztere bleiben hier aber unberücksichtigt.
U = U(S, V, N)
In der Thermodynamik ist der Gleichgewichtszustand die Grundlage der theoretischen
Überlegungen. Die Änderungen dieses Zustandes werden durch infinitesimale Größen
beschrieben, die das System nur unwesentlich aus dem Gleichgewicht bringen. Die Änderung
einzelner Zustandsgrößen führt zur allgemeinen Zustandsänderung des Systems, die durch das
totale Differential der inneren Energie dU ausgedrückt werden kann.
dU = TdS-p dV+mdN
Die intensiven Zustandsgrößen Temperatur T, Druck p und chemisches Potential m sind die
Ableitungen der Fundamentalgleichnung U.
∂U
∂U
∂U
-p =
m=
T =
V ,N
S ,N
∂S
∂V
∂N S,V
Im Falle des thermodynamischen Gleichgewichts ist in einem abgeschlossenen System die
Entropie konstant, d,h. die Änderung der Entropie dS ist gleich Null, und bei der Entropie S liegt
ein Maximum vor. Außerdem herrscht in allen Teilen des abgeschlossenen Systems die gleiche
Temperatur und der gleiche Druck. Auch das dem System innewohnende chemische Potential,
eine Art mittlerer Energie der Teilchen, ist in allen Teilen des Systems von gleicher Größe. In der
Halbleiterphysik entspricht das chemische Potential dem Fermi-Niveau WF . Das Fermi-Niveau
stellt auch die Energie der Teilchen beim absoluten Temperaturnullpunkt dar.
Die thermodynamischen Größen sind nur in abgeschlossenen und im Gleichgewicht befindlichen
Systemen definiert. Wechselwirkungen mit der Umgebung und das Gleichgewicht störenden
16.5.2004
Wahrscheinlichkeit.doc
Entropie
8
Prozesse, z.B. Energietransport, müssen abgeschlossen sein. Diese Systeme existieren streng
genommen nur im Gedankenexperiment. In der Praxis sind sie nur angenähert realisierbar.
Das chemische Potential m stellt den Widerstand des Systems gegen die Vergrößerung der
Teilchenzahl um den Betrag dN dar. Soll sich das System nach dem Hinzufügen der Teilchen
weiterhin im Gleichgewicht befinden, so müssen die Teilchen eine bestimmte Energie haben, die
der mittleren Energie aller anderen Teilchen entspricht. Das chemische Potential ist von der Art der
Teilchen sowie deren Dichte und Temperatur abhängig. Die Arbeit dA, die zur Erhöhung der
Teilchenzahl aufgebracht werden muss und um die die innere Energie vergrößert wird, beträgt
dA = mdN
Ein vergleichbarer Vorgang liegt dann vor, wenn eine elektrische Ladung einer bereits
vorhandenen Anzahl von Ladungsträgern hinzugefügt werden soll. Das Produkt aus der
hinzugefügten Ladung und dem elektrischen Potential der vorhandenen Ladungen ergibt die
aufzuwendende Energie bei dem Vereinigungsvorgang. Während die Änderung der
Gesamtenergie dU ein vollständiges Differential darstellt, ist die ausgetauschte Arbeit dA vom
Prozess abhängig, was durch die besondere Schreibweise des Differentialzeichens „d“ zum
Ausdruck gebracht wird.
Entropie
Die Boltzmann-Beziehung
S = k ln P
k Boltzmann-Konstante
erlaubt es mit Hilfe der Entropie S den 2. Hauptsatz der Thermodynamik aufzustellen. Durch die
Einführung der Entropie wird es möglich, die bei dem Kasten-Kugel-Modell gewonnen Erfahrungen
mit der statistischen Verteilung von Kugeln in Fächern und Teilfächern für die Thermodynamik
nutzbar zu machen. Durch die Boltzmann-Beziehung wird die Statistik mit der Thermodynamik und
schließlich mit der Entropie verknüpft.
Folgende Überlegung macht die Boltzmann-Beziehung verständlich. Werden zwei abgeschlossene
und im thermodynamischen Gleichgewicht befindliche Systeme 1 und 2 zu einem einzigen
abgeschlossenen System vereinigt, so addieren sich die beiden Entropien
S = S1 + S 2 ,
während sich die Verteilungen (Anzahl der Umordnungen) nach den Regeln der Statistik
multiplizieren.
P = P1 P2
Wenn also die Entropie eine Funktion der Anzahl der möglichen Umordnungen der Teilchen ist,
kann es nur die Funktion
S ~ lnP
sein, denn nach den Regeln der Logarithmenrechnung gilt
ln( P1 P2 ) = ln P1 + ln P2
Um einen Zusammenhang zwischen dem Kasten-Kugel-Modell und einem thermodynamischen
System herzustellen, wird folgende Überlegung angestellt. Einem bis zum Zeitpunkt der
Manipulation abgeschlossenem System im thermodynamischen Gleichgewicht wird eine i-te
Gruppe d N i von Teilchen hinzugefügt, deren Energie der mittleren Energie aller Teilchen
entspricht, wobei aber das Volumen V und die Temperatur T des Systems keine Änderung
erfahren soll. Durch die Vergrößerung der Teilchenzahl wird das Gleichgewicht und die Verteilung
der Teilchen geringförmig gestört. Mit
dV=0
ergibt sich für die Änderung der inneren Energie
16.5.2004
Wahrscheinlichkeit.doc
Entropie
9
dU = TdS + m idNi .
Das chemische Potential mi eines Teilchens der zusätzlichen Teilchengruppe d N i soll
voraussetzungsgemäß dem chemischen Potential des ursprünglichen Systems und damit dessen
Fermi-Niveau WF entsprechen.
m i= WF
Der Beitrag eines zusätzlichen Teilchens an der inneren Energie beträgt
Wi =
dU
.
dN i
Wird diese Beziehung in die Fundamentalgleichung eingesetzt, erhält man
Wi − WF = T
dS
.
dN i
Um diesen Ausdruck auswerten zu können, müssen wir mit Hilfe der Boltzmann-Beziehung
S = k ln P
auf das Kasten-Kugel-Modell zurückgreifen.
dS
d ln P
= k
dN i
dN i
Gegenstand der Untersuchung ist vor wie nach die eingeschleuste i-te Teilchengruppe d N i , deren
Anteil an der inneren Energie mit Hilfe der Entropie bestimmt werden soll. Für die Auswertung der
Beziehung ist die Stirlingsche Formel notwendig.
1
ln N! ª (N + )ln N - N
2
Die Formel gilt für große Werte von N.
d ln N !
≈ ln N
dN
Mit den Verteilungsgesetzen und der Stirlingschen Formel mit ihrer Ableitung ergeben sich
folgende Ableitungen der Verteilungen nach Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein und Fermi-Dirac:
d ln PMB
= ln zi − ln N i
dN i
d ln PBE
= ln(zi + Ni - 1) - ln Ni
dNi
d ln PFD
= ln( zi − N i + 1) − ln N i
dN i
Allgemein kann mit Ni >> 1 gesetzt werden
d ln P
= ln(zi - Nid) - ln Ni .
dNi
d=0
(Maxwell-Boltzmann)
d=-1
(Bose-Einstein)
d=1
(Fermi-Dirac)
Aus den Gleichungen
dS
dN i
d ln P
dS
= k
dN i
dN i
Wi − WF = T
d ln P
= ln(zi - Nid) - ln Ni
dNi
folgt die Beziehung
16.5.2004
Wahrscheinlichkeit.doc
Entropie
10
Wi − WF
z − Nid
= ln i
.
kT
Ni
Verteilungsfunktion
Unter der Verteilungsfunktion f ( Wi ) versteht man gemäß des Kasten-Kugel-Modells die Anzahl
der Kugeln N i je Fach bezogen auf die Anzahl der Teilfächer zi . Bei kontinuierlicher Verteilung
der Energie in konkreten Systemen gibt die Verteilungsfunktion an, welchen Teil N i der
verfügbaren und für die Energie Wi reservierten Plätze zi von Teilchen mit der Energie Wi
eingenommen wird. Die Verteilungsfunktion ist eine Funktion der Energie Wi und wird auch mit
Besetzungswahrscheinlichkeit bezeichnet, obwohl sie die relative Häufigkeit darstellt, die im
strengeren Sinne keine Wahrscheinlichkeit ist.
N
f (Wi ) = i
zi
Die an sich diskreten Energiewerte Wi durchlaufen einen zusammenhängenden Bereich und
können als stetige Variable angesehen werden. Das kommt bei den weiteren Gleichungen dadurch
zum Ausdruck, dass die Schreibweise geändert und Wi durch W ersetzt wird. Mit der
abkürzenden Schreibweise
DW = W - WF
erhält man die Verteilungsfunktion
1
f (W ) = DW
e kT + d
Die Verteilungsfunktionen gelten bei
bei d=0
(Maxwell-Boltzmann) für nicht entartetes, verdünntes Elektronengas
1
fMB (W ) = DW ,
bei d=-1
e kT
(Bose-Einstein) für Phononen, Photonen, a-Teilchen, Teilchen ohne Spin
1
fBE (W ) = DW
,
e kT - 1
bei d=1
(Fermi-Dirac) für entartetes, dichtes Elektronengas, Elektronen in Metallen, Ersatz
durch Maxwell-Boltzmann (d=0) bei W - WF >> 3kT
1
fFD (W ) = DW
d=0
d=-1
d=1
e kT + 1
(Maxwell-Boltzmann) für nicht entartetes, verdünntes Elektronengas,
(Bose-Einstein) für Phononen, Photonen, a-Teilchen, Teilchen ohne Spin,
(Fermi-Dirac) für entartetes, dichtes Elektronengas, Elektronen in Metallen, Ersatz durch
Maxwell-Boltzmann (d=0) bei W - WF >> 3kT
2,0
f (W)
BE
1,5
1,0
MB
FD
0,5
0
0
1
2
DW
kT
16.5.2004
3
Verteilungsfunktionen
Wahrscheinlichkeit.doc