E.14
Werbung
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Inhalt dieses Vorlesungsteils - ROADMAP MECHANISCHE SCHWINGUNGEN AKUSTISCHE WELLEN ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 1.4 E Elemente E11 Mechanische Schwingungen WECHSELSTROM KREISE E12 Akustische Schwingungen E13 Wechselstromkreise E14 Elektromagnetische Wellen FOLIE 1 GMBU 1.4 Elektromagnetische Wellen ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Elektromagnetische Strahlung oder Wellen bezeichnet die Kopplung von elektrischen und magnetischen Feldern. Die verschiedenen Arten (Radiowellen, Mikrowellen, Infrarotstrahlung, sichtbares Licht, UV-Strahlung, Röntgen- und Gammastrahlung) unterscheiden sich nur durch ihre Frequenz bzw. Wellenlänge f= c und somit ihrer Energie (E = h *f). Die Einteilung in die oben genannten Typen beruht auf den sich mit der Frequenz kontinuierlich ändernden Eigenschaften der Strahlung.) Elektromagnetisches Spektrum GAMMA RÖNTGEN UV LICHT IR MIKROWELLEN RADIOWELLEN FOLIE 2 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Elektromagnetische Wellen Frequenz [Hz] Wellenlänge [m] 'QUELLE: Wikipedia FOLIE 3 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Eigenschaften elektromagnetischer Wellen Elektromagnetische Wellen benötigen kein Medium, um sich auszubreiten. Sie pflanzen sich im Vakuum unabhängig von ihrer Frequenz mit Lichtgeschwindigkeit c0 als Transversalwellen fort. Die Quantenfeldtheorie betrachtet die elektromagnetische Energie als Fluss von Photonen der Energie E=h*f Planck´sches Wirkungsquantum: h = 4.14 10-15 eV mit der Frequenz f und der Planck´schen Konstante h. Aus der Sicht der Elektrodynamik sind elektromagnetische Wellen sich ausbreitende Schwingungen des elektromagnetischen Feldes. Hierbei stehen elektrisches und magnetisches Feld senkrecht aufeinander und haben ein festes Größenverhältnis. Dieses ist gerade durch die Wellenimpedanz gegeben. FOLIE 4 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Eigenschaften elektromagnetischer Wellen In einem Medium verringert sich die Geschwindigkeit abhängig von der Permittivität und der Permeabilität (magnetische Leitfähigkeit) des Stoffes. Es gilt dann: c= 1 µ Zudem wird sie abhängig von der Frequenz f der Welle (Dispersion) sowie (je nach Medium) abhängig von ihrer Polarisation und ihrer Ausbreitungsrichtung gebrochen. Eine direkte Krafteinwirkung (z.B. Richtungsänderung) auf eine sich ausbreitende elektromagnetische Welle kann nur durch das Ausbreitungsmedium oder die Gravitationskraft erfolgen. FOLIE 5 GMBU 1.4 Elemente der Elektrodynamik ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Das elektrische Feld U d elektrostatisches Feld: E konstante Feldichte zwischen den Platten, Krümmung an den Rändern elektrische Feldintensität (V/m) U E= d Das magnetische Feld H statisches Magnetfeld: magnetische Feldintensität (A/m) r I I H H= IC 2r FOLIE 6 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Elemente der Elektrodynamik Ampere´sches Gesetz: Das Ampere´sches Gesetz verknüpft das Integral der TangentialU~ D komponente des Magnetfeldes entlang einer geschlossenen Kurve C mit dem Strom IC, der durch die von dieser Kurve begrenzten Fläche hindurchtritt. 2 A: Fläche [m ] ε0: Permittivität im Vakuum e´:relative Permittivität =I enc ∮ H⋅dI Maxwell´scher Verschiebungsstrom: Das Konzept des Max´wellschen Verschiebungstroms erklärt den Stromfluß durch einen Kondensator bei Anlegen von Wechselstrom ohne Vorhandensein einer Leitenden Verbindung. Maxwell postulierte einen sogenannten Verschiebungsstrom IV , der einem magnetischen Feld entspricht, welches durch einen zeitverländerliches elektrisches Feld induziert wird. D wird dabei als die Verschiebungsdichte bezeichnet. D=´ 0 E Sie ist analog zur Stromdichte in einem konventionellen Stromkreis. Wie beim einem Leiter ist mit dem Stromfluß ein diesen umgebendes Magnetfeld verbunden . FOLIE 7 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Elemente der Elektrodynamik Wenn der Plattenabstand der Wellenlänge der Abstrahlung entspricht, dominiert der Verschiebungsstrom über dem Leitungsstrom. Dies führt zu einer Abstrahlung von elektromagnetischer Strahlung (Dipolantenne) Die elektromagnetische Induktion (Faraday´sches Gesetz) Bei Änderung des magnetischen Feldes durch eine Leiterschleife wird eine E E U =∫ E dS =µ 0 µ´ A j H E Spannung U induziert s E dH dt µ0: Permeabilität imVakuum µ´: relative Permeabilität FOLIE 8 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Magnet. Feldstärke 1. Maxwell´sche Gleichung Stromdichte J rot H H J Ohm´sches Gesetz J E B H Kopplungsstärke frequenzabhängig Elektr. Feldstärke E 2. Maxwell´sche Gleichung rot E Magnet. Induktion B t B Bild Elektromagnetische Wirkungszusammenhänge FOLIE 9 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Elemente der Elektrodynamik Analogie zwischen elektrischen und magnetischen Feldern Elektrisch Coulomb´sches Gesetz F= Magnetisch Q 1 Q2 4 2 r ar B= µ 0 I d I ×a R 4 R Gauss´sches Gesetz ∮ D⋅d S=Qenc ∮ H⋅d I =I enc Kraftgesetze F=Q E F=Q u×B Quellenterm dQ Q u= I d I Feldintensität E= Flußdichte D= Zusammenhang zw. Feldern D= E B=µ H Potentiale (Faraday´sches Gesetz) E=−∇ U H =−∇ U m J =0 U V / m l I H = A/ m l C / m 2 S B= U =∫ Flüsse L d l 4 r A=∫ µI d I 4R =∫ B⋅d S =Q=C U =L I dU dt U =L dI dt Energiedichte 1 w E = D⋅E 2 1 w m= B⋅H 2 Poisson Gleichung V ∇ U =− ∇ 2 A=−µ J 2 Ampere´sches Gesetz Wb / m2 S =∫ D⋅d S I =C Biot-Savat´sches Gesetz 2 FOLIE 10 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN MAXWELL-GLEICHUNGEN Geschichtlicher Hintergrund Die grundlegenden Säulen der Elektrodynamik bilden das elektrische (EFeld), das magnetische Feld (H-Feld) und das Prinzip der Induktion. James Clark Maxwell (1831-1879) J.C. Maxwell legte die erste geschlossene theoretische Beschreibung aller elektrischen und magnetischen Phänomene („Treatise on electricity and magnetism“ 1865-73) vor und sagte auch die Existenz von elektromagnetischen Wellen voraus. Heinrich Hertz gelang 1888 der experimentelle Nachweis dieser. Heinrich Hertz (1847-1894) FOLIE 11 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Maxwell´sche Gleichungen Verallgemeinerte Maxwell-Gleichungen Differentielle Form ∇⋅D= v Integrale Form ∮ D⋅d S=∫ ⋅dv Gauss´scher Satz ∮ B⋅d S=0 Nichtexistenz magnetischer Monopole ∮ E⋅d l=− ∂∂t ∫ B⋅d S Faraday´sches Gesetz S ∇⋅B=0 V S ∇× E=− ∂B ∂t ∇× H =J ∂D ∂t L S ∂D ∮ H⋅d l =∫ J ∂ t L d S Ampere´sches Gesetz S Zeitharmonische Maxwell-Gleichungen Differentielle Form Integrale Form ∇⋅D S =VS ∮ D S⋅d S =∫ VS⋅dv Gauss´scher Satz ∇⋅B S =0 ∮ B S⋅d S =0 Nichtexistenz magnetischer Monopole ∇× E S =− j B S ∮ E S⋅dl=− j ∫ BS⋅d S Faraday´sches Gesetz ∇× H S =J S j DS ∮ H S⋅dl =∫ J S j D S d S Ampere´sches Gesetz FOLIE 12 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Elektromagnetische Wellengleichung Die Entstehung elektromagnetischer Wellen erklärt sich aus den Maxwell ´schen Gleichungen: Die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes ist stets ∂2 1 ∂2 E= 2 2 E 2 ∂x c ∂t mit einer räumlichen Änderung des magnetischen Feldes verknüpft. Ebenso ist wiederum die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes mit einer räumlichen Änderung des elektrischen Feldes verknüpft. Für harmonisch ∂2 1 ∂2 H= 2 2 H ∂ x2 c ∂t c= (sinusförmig) wechselnde Felder ergeben diese Effekte zusammen eine fortschreitende Welle (s. Bild) 1 µ x E = E0 cos (-βz) ax z y H = H0 cos (-βz) ay Bild: Ausbreitung einer ebenen elektromagnetischen Welle im Vakuum (vektorielle Darstellung) FOLIE 13 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Mathematischer Exkurs Periodische Schwingungen in reeller und komplexer Darstellung At=A0 cos t Überführung von sin in cos: cos=sin / 2 Komplexe Zahlen: z:= x + j y imaginäre Einheit j: j2 = -1 (j in der Elektrotechnik, sonst i) Realteil Re(z) := x Imaginärteil Im(z):=y Darstellungformen komplexer Zahlen: z= x j y kartesische Darstellung: z=r cos jsin Polarkoordinaten: Eulergleichung/Zeigerdarstellung : z :=r e 2 mit i 3 4 j j j j e =1 j ... 2! 3! 4! n! i Betrag: ∣z∣=r= x 2 y 2 Argument: n −1 =tan FOLIE 14 y x GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Mathematischer Exkurs Rechenregeln für komplexe Zahlen Addition z 1z 2 = x 1x 2 j y1 y 2 Subtraktion z 1−z 2 = x 1−x 2 j y1 − y 2 Multiplikation z 1 z 2=r 1 r 2 e Division z 1 r 1 j − = e z2 r2 Wurzel z = r konjugiert komplexe z =x− jy=r e 1 * j 12 2 e0,5 j − j FOLIE 15 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Mathematischer Exkurs Phasoren Komplexe Darstellung einer (co)sinusförmigen zeitabhängigen Funktion At= A0 cos t Beispiel: A= A0 cos t− xa y = Re A0 e− j x a y e j t AS = A0 e− j x a y j A0 e = A0 e j e jt =A s e =t jt Phasoren sind Skalare At = Re AS e j t = A0 cos t oder Vektoren jt A = Re Ae Differentiation Integration A j t jt = Re AS e = Re j AS e t t A j AS t ∫ A d t AS j FOLIE 16 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Allgemeine Lösung der Wellengleichung 1-dimensionale Wellengleichung: 2 Wellengeschwindigkeit u u= f 2 = 2 ∂ E 2∂ E −u =0 2 2 ∂t ∂z Allgemeine Lösung: E x , t= f x−utg z ut Harmonisches E-Feld (Zeitabhängigkeit ejωt) d 2 ES d z2 2 E S =0 Es folgt die allgemeine Lösung E S = Ae j t− z j t z B e FOLIE 17 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Ausbreitung EM-Wellen Ausbreitungsmedien Vakuum Verlustloses Dielektrikum Verlustbehaftetes Dielektrikum Perfekter Leiter Leitfähigkeit Permittivität Permeabilität κ=0 v k << ω ε κ=0 ε = ε0 µ = µ0 ε = εr ε0 µ = µr µ0 κ≠0 ε = εr ε0 µ = µr µ0 κ≈∞ ε = ε0 µ = µr µ0 v κ >> ω ε LEMMA: Herleitung der Ausbreitungsgleichung für eine ε0 = 8.854 * 10-12 F/m µ0 = 12.6 * 10-7 H/m ebene EM-Welle in einem linearen, isotropen, verlustbehafteten aber ladungsfreien Medium FOLIE 18 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Helmholtz Gleichungen (vektorielle Form) Ausbreitung EM-Wellen ∇ 2 E S −2 E S =0 ∇ 2 H S −2 H S =0 Ausbreitungskonstante = j Dämpfungskonstante = 2 1 = 2 1 Phasenverschiebungskonstante [ [ [ ] ]−1 2 [ ] ]1 2 FOLIE 19 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Ausbreitung EM-Wellen Ebene Welle im verlustbehafteten Medium Betrachtung des E-Feldes bei Ausbreitung in z-Richtung (kartesische Koordinaten) E S =E XS z a x E0´= 0 (keine zurücklaufende Welle) Einführung des Zeitfaktor e jωt − z E XS z =E 0 e ´ E 0 e E z ,t =Re[ E XS z e z jt − z a x ]=Re E 0 e e j t− z a x E z ,t =E 0 e− z cos t− z a x FOLIE 20 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Ausbreitung EM-Wellen Analog gilt für das H-Feld: H 0= − z H z , t=H 0 e E0 cos t− z a y wobei η die intrinsische Impedanz (Ω) des Mediums bezeichnet: = mit ∣∣= jµ j =∣∣e j µ / [ ] 1 Ids = jωεEs H z , t = Is = σEs Bild: Vektoren Verschiebungsstrom E0 ∣∣ − z e 2 1/ 4 tan 2 = cos t− z− a y E- und H-Feld sind nicht in Phase. Daraus resultiert ein Verschiebungsstrom Js ∣J S∣ ∣ E S∣ = = =tan ∣J dS∣ ∣ j E S∣ FOLIE 21 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Ausbreitung EM-Wellen Ebene Welle im Vakuum E- und H-Feld schwingen in Phase =0 =0 µ=µ 0 =0 x = µ0 = E = E0 cos (-βz) ax u= z y H = H0 cos (-βz) ay c 1 =c0 µ 0 0 (3 * 10-8 m/s) µ0 = =120 =377 Ohm 0 FOLIE 22 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Ausbreitung EM-Wellen Ebene Welle in einem verlustlosen Dielektrikum E- und H-Feld schwingen in Phase ≈0 oder ≪ x bei t = 0 bei t = Δt Δt z =0 r =0 = µ v= Bild: Ebenes E-Feld EX bei Ausbreitung in halbunendlichem verlustbehaftetem Medium µ=µ 0 µ r = µ 1 Np = 20 log_10e = 8.686 dB FOLIE 23 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Ausbreitung EM-Wellen Ebene Welle in guten Leitern x E0 0,37 E0 z µ = f µ 2 2 u= = µ == = δ ≈∞ =0 oder ≪ µ j45 ° e E-Feld eilt H-Feld um 45° voraus − z E z ,t =E 0 e H z , t= Abschwächung der Amplitude mit Faktor e-α Penetrationstiefe µ=µ 0 µ r = E0 µ − z e − E0e cos t− z a x cos t− z − a y −1 =E 0 e 1 FOLIE 24 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Leistung und Poynting Vektor Dissipation elektromagnetischer Strahlung (Poynting-Vektor) Die in einem beliebigen Medium dissipierte Mikrowellenleistung kann durch Power out den Poynting Vektor P [W/m2] aus dem Kreuzprodukt P =E x H Ohmic losses berechnet werden. Praktisch relevant ist die zeitliche Mittelung der Leistung T ⟨ P ⟩=lim ∫ ∮ P dA dt T ∞ −T Stored electrical energy Stored magnetic energy ´´ 2 ⟨ P ⟩= ⟨ E ⟩ V bzw. die pro Zeit dissipierte Wärmestromdichte ´´ Power in q̊=2 f ⟨E ⟩ 2 bei zusätzlich frei beweglichen Ladungsträgern gilt q̊=2 f ´´ 2 ⟨ E ⟩ 2 FOLIE 25 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Wellen an Grenzflächen Reflexion einer ebenen Welle bei senkrechtem Einfall - ebene Welle: EiS, ErS, EtS, analog H-Feld - senkrechter Einfall an der Grenze zwischen zwei Medien (z=0) - konstitutive Parameter: (κ, µ, ε)i Reflexionskoeffizient: medium 1 x Et Ei Hi incident wave Ht ak Hr reflected wave ak y Z=0 Ero = Eio Transmissionskoeffizient: transmitted wave Er ak Ero 2−1 = = Eio 21 medium 2 z Eto 2 2 T= = Eio 21 Eto =T Eio 1=T FOLIE 26 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Wellen an Grenzflächen Reflexion einer ebenen Welle bei senkrechtem Einfall x κ1=0 κ2= 2Ei0 (A) Stehende Welle bei Reflexion an einem perfekten Leiter -2Ei0 -3λ/2 -λ 0 -λ/2 z x κ1=0 κ2=0 2Ei0 (1+Γ) (B) Stehende Welle bei Reflexion an der Grenzfläche zwischen zwei verlustlosen Medien 2Ei0 (1-Γ) -3λ/4 -λ/2 -λ/4 0 z FOLIE 27 GMBU 1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Literatur [1] Sadiku, M.N.O. Elements of Electromagentics, 3rd Ed., Oxford University Press 2001 FOLIE 28 GMBU
