Die gleichförmige Drehbewegung

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Die gleichförmige Drehbewegung
a) Wie kann man die Bewegung eines Punktes z.B. am Umfang einer Riemenscheibe beschreiben?
b) Wieso treten dort („Flieh“-)Kräfte z.B. auf den Riemenverbinder auf?
Eine Riemenscheibe mit Φ 100 mm dreht sich 25 mal pro s.
Wie groß ist die Riemengeschwindigkeit und Umdrehungszeit?
n =f =
a)
Anzahl der Umdrehungen N
=
= Drehfrequenz
t
Zeit
V = ∆s = N ⋅ d ⋅ π ⇒
∆t
t
v = d ⋅ π ⋅f
f =N ⇒
t
für 1 Umdrehung : T = 1
f
t =N
f
⇒ v = 0,1 m ⋅ π ⋅ 25 1 = 7,85 m
s
s
⇒T =
1 = 0, 04 s
25 1
s
alternative Schreibweise: v = r ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f
ω = 2⋅π⋅f
v = r⋅ω
b)
= Winkelgeschwindigkeit
Winkel (in Rad) pro Zeit ∆ϕ/∆t
2 ⋅ π 360o
Damit ein Körper auf der Kreisbahn bleibt (und nicht geradlinig weiterfliegt), ist eine ständig wirkende
Kraft notwendig.
Diese Kraft kann nur senkrecht zur momentanen Richtung der Umfangsgeschwindigkeit wirken, weil
sonst die Geschwindigkeit vergrößert oder verkleinert würde:
∆v = v ⋅ ∆ϕ = v ⋅ ω ⋅ ∆t
∧
v = r ⋅ω
a r = ∆v
ar = ∆v = v ⋅ ω ⋅ ∆t = v ⋅ ω = r ⋅ ω ⋅ ω
∆t
∆t
∆t
a = r ⋅ ω2
Radialbeschleunigung
aus v = r ⋅ ω ⇒ ω = v
r
(r )
⇒a =r ⋅ v
2
2
a =v
r
Die erforderliche Kraft, um die Masse auf der Kreisbahn zu halten ist laut Newton
F = m ⋅ a = m ⋅ r ⋅ ω2
FP = m ⋅ r ⋅ ω 2
FP = m ⋅
v2
r
Zentripetalkraft
Die Zentripedalkraft steigt quadratisch mit der (Winkel-)Geschwindigkeit und zeigt immer
auf den Kreismittelpunkt.
Die Reaktionskraft nennt man Zentrifugalkraft.
Wie groß ist die Zentripetalkraft am Riemenverbinder, der 30 g wiegt?
geg.: d = 0,1 m
f = 25 1/s
m = 0,03 kg
ges.: (v in m/s)
F in N
v = d ⋅ π ⋅f
= 0,1 m ⋅ π ⋅ 25
1
s
= 7,85
2
F = m ⋅a = m ⋅
v2
r
m
s
 7,85 m 


s  = 370 kg ⋅ m = 370 N
= 0,3 kg ⋅ 
0, 05 m
s2
Die gleichförmige Drehbewegung
Die Schwungscheibe eines Ottomotors dreht sich mit
n = 4500 1/min. Der Zündzeitpunkt wird auf 31o vor OT
eingestellt.
Auf welche Zündverzugzeit ist die Zündung eingestellt?
1.
ϕ = 31o
geg.: f = 75 1/s
ϕ = 31 o
ges.: (ω in 1/s)
∆t in s
π
180
= 0,541
ω = 2 ⋅ π ⋅f
= 2 ⋅ π ⋅ 75
∆ϕ
=
∆t
Winkel
ω=
Zeit
1
= 471,2
s
⇒ ∆t =
∆ϕ
1
s
=
ω
0,541
= 0, 00115 s
1
471,2
s
2.
a) Berechne die Winkelgeschwindigkeit der Erde.
b) Wie groß ist die Umfangsgeschwindigkeit der Erde
am Äquator, wenn dort der Erddurchmesser
12.735 km beträgt?
geg.: T = 24 ⋅ 3600 s
r = 6367,5 km
ges.: ω in 1/s
v in m/s
ω = 2 ⋅ π ⋅f
∧
f = 1T
2⋅π
2⋅π
ω=
=
= 7,27 ⋅ 10 −5 1 s
T
86 400 s
= 6367,5 km ⋅ 7,27 ⋅ 10 −5
v = r ⋅ω
1
s
= 0, 462
km
km
= 1666
s
h
Auf einer Drehmaschine wird bei einer Dreh“zahl“ von 300 1/min ein Werkstück von
φ180 mm gespant. Ein spez. Schnittkraftmesser am Meißel misst dabei eine Kraft
von 2000 N.
Welche Leistung muss dabei von der Hauptspindel übertragen werden?
3.
geg.: f = 5 1/s
r = 0,09 m
F = 2 kN
ges.: (v in m/s)
P in kW
ω = 2 ⋅ π ⋅f
∧
v = ω ⋅r
∧
P =v ⋅F
P ⇒ ω ⋅F ⋅r
⇒ P = 2 ⋅ π ⋅f ⋅ r ⋅ F = 2 ⋅ π ⋅ 5
1
s
oder P = ω ⋅ M
⋅ 0, 09 m ⋅ 2 kN = 5, 65 kW
4. Wieso kann man bei einer Kreisbewegung, bei der die Bahngeschwindigkeit zeitlich konstant ist, von einer Radialbeschleunigung reden?
Motor
Drehzahl variabel
Der Betrag der Geschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn ist zwar
konstant, jedoch ändert sich ständig ihre Richtung.
Ändert sich also der Geschwindigkeitsvektor, so muss eine (Radial-)Beschleu
nigung ar = ∆v vorhanden sein.
∆t
5.
Warum eignet sich der Kettentrieb nicht für große Drehfrequenzen?
Durch die große Masse der Kettenglieder entstehen große „Fliehkräfte“
(F=m⋅ar); die Kette „wandert“ über den Zahn.
Besser ist der Riementrieb (leicht, schwingungsdämpfend, leise,
wartungsarm, ...), falls Schlupf kein Problem ist.
Die gleichförmige Drehbewegung
Wie funktioniert eine Wäscheschleuder?
(physikalisches Prinzip und wichtige Einflussfaktoren beschreiben)
6.
Bei hohen Drehzahlen sind große Zentripetalkräfte nötig, um die Schleudermassen auf
der Kreisbahn zu halten. Die Wassertropfen werden nicht umgelenkt, sondern
entweichen durch das Sieb am Umfang.
Albert Zweistein beobachtet das Treiben an einem Kettenkarussell. Er stellt fest,
dass sich alle Passagiere auf der Außenreihe auf einer Kreisbahn von 14 m
o
bewegen und ihre Ketten einen Winkel von 30 zur Senkrechten bilden.
a) Erkläre, warum die Ketten auf der Innenbahn einen kleineren Ausschlagwinkel
haben.
b) Ermittle aus den spärlichen Angaben die Umdrehungsdauer des Karussells.
7.
a) Da an der Innenbahn der Radius geringer ist als an der Außenbahn, so ist –bei gleicher Drehfrequenz- die
Radialbeschleunigung dort geringer.
2
a = r ⋅ω
o
geg.: α = 30
r=7m
ges.: (ar in m/s2)
T in s
m ⋅ ar
tan α =
⇒ ar = g ⋅ tan α
m⋅g
2
ar = r ⋅ ω 2 = r ⋅ 2 ⋅ π
⇒
T
( )
2⋅π =
T
g ⋅ tan α
r
⇒T =
2⋅π
2 ⋅π
=
= 6,91 s
g ⋅ tan α
10 m 2 ⋅ tan30o
s
r
7m
α
125 mm Hub
8. Hobbybauer Huber will die Flächenleistung seines alten
Balkenmähers erhöhen, in dem er die Antriebsdrehzahl von
540 1/min auf 810 1/min erhöht.
Mähmesser
Mähbalken
a) Erkläre dem Huber, warum sich dabei die Pleulbelastung mehr als verdoppelt hat.
b) In welcher Kurbelstellung ist diese Belastung am größten, wenn von den Reibkräften abgesehen
werden kann?
c) Welche Kraft muss dort die Pleulstange übertragen, wenn das Messer 3,6 kg schwer?
a) Die Radialbeschleunigung steigt quadratisch mit der Drehfrequenz.
Das Drehzahlverhältnis ist 1 : 1,5; das Verhältnis der Massenkräfte
ist (1 : 1,5)2, also 1 : 2,25 .
In der Mittelstellung „1“ ist die Radialbeschleunigung mit der Beschleunigung des Pleuls
identisch. (Dort ist zwar die Momentangeschwindigkeit Null, aber die Beschleunigung ist
maximal.)
b)
c)
a = r ⋅ ω2
geg.: f = 13,5 1/s
r = 0,0625 m
m = 3,6 kg
ges.: F in N
ω = 2 ⋅ π ⋅f
ar = ω 2 ⋅ r
∧
∧
F = m ⋅a
F = m ⋅ (2 ⋅ π ⋅ f )2 ⋅ r = 3, 6 kg ⋅ (2 ⋅ π ⋅ 13,5 1 s )2 ⋅ 0, 0625 m = 1619 N
Von welcher Höhe „A“ muss ein 800 kg schwerer AchterbahnWagon starten, damit er unbeschadet einen Looping von
R = 20 m durchfahren kann; er darf am höchsten Punkt „B“ nicht
abheben.
9.
geg.: ar = g
r = 20 m
(m = 800 kg)
ges.: h in m
g = ar =
v2
r
v 2 = g ⋅r
∧
Wkin =
∧
v2 =
g ⋅r = 2 ⋅ g ⋅h
r 20 m
= 10 m
h= =
2
2
m
2
v 2 = m ⋅ g ⋅h
2 ⋅m ⋅ g ⋅h
m
Die gleichförmige Drehbewegung
10. Die Neigung des Pendolino ist bei der Geschwindigkeit von 180 km/h gerade 8°.
Bei welchem Kurvenradius tritt dann im Zug keine „Seitenbeschleunigung“ auf?
geg.: α = 8 o
v = 50 m/s
ges.: r in m
tan α =
⇒
m ⋅ ar
m⋅g
⇒ ar = g ⋅ tan α
v2
g ⋅ tan α =
r
∧
ar =
v2
r
(50 m / s )2
⇒r =
=
= 1779 m
g ⋅ tan α 10 m / s2 ⋅ tan α
v2
α
Für Mathe-Freaks: ist die Wasseroberfläche parabelförmig?
11.
Die Wasseroberfläche steht senkrecht zur resultierenden
Kraft:
α(r) = ArcTan(FP/FG) bzw.
α
tan α =
FP m ⋅ ar
=
FG m ⋅ g
∆h ar r ⋅ ω 2
=
=
g
g
∆r
Funktion der Steigung = Ableitung der Stammfunktion
h ´(r ) =
ω2
⋅r ⇒
g
h( r ) =
ω2
⋅r2
2⋅ g
Die Höhe der Wasseroberfläche steigt quadratisch mit dem Radius. Der Verlauf ist also parabelförmig.
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