ω ω ω ω ω ω ω ω ω

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5 Polarisation elektromagnetischer Wellen und Doppelbrechung
1) Linear polarisiertes Licht
Aus den Maxwellgleichungen folgt: elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen.
 Die Schwingung des elektrischen Feldes erfolgt in einer Ebene senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung.
 Verbindet man für eine feste Zeit t = t0 die räumliche Erregung, ergibt sich ein Sinus,
der ebenfalls in einer Ebene liegt.
Überlagerung von zwei linear polarisierten Wellen
E x ( z , t )  Eˆ 0 x sin(t  kz )
z
t = t0 = T/2
E y ( z , t )  Eˆ 0 y sin(t  kz )
y
 E x   Eˆ 0 x sin(t  kz ) 

 
E ( z , t )   E y    Eˆ 0 y sin(t  kz ) 

 0  
0
  

ˆ sin(t  kz )
E( z , t )  E
Schwingungsvektor
x
0
 Die Richtung des elektrischen Feldes wird durch einen konstanten Vektor E0 bestimmt.
 Die Überlagerung von zwei senkrecht zueinander stehenden, linear polarisierten Wellen mit
gleicher Ausbreitungsrichtung, Wellenlänge und Phasenlage ergibt wieder eine linear
polarisierte Welle.
 Umkehrung: Eine Welle lasst sich wie ein Vektor in eine x- und eine y- Komponente zerlegen.
2) Zirkular polarisiertes Licht
Die Überlagerung von zwei zueinander senkrecht stehenden, linear polarisierten Wellen mit gleicher
Amplitude, Ausbreitungsrichtung und Frequenz, aber mit einer Phasendifferenz  = /2 ergibt eine
zirkular polarisierte Welle.
E x ( z , t )  Eˆ 0 cos(t  kz )
E y ( z , t )   Eˆ 0 sin(t  kz )
 E x   Eˆ 0 cos(t  kz ) 
 
E( z , t )   E y     Eˆ 0 sin(t  kz ) 

 0  
0
  

2
E( z , t )  E x2  E y2  Eˆ 02  const
(Gleichung eines Kreises)
t = t0 = 0
z
y
x
Für t = t0 beschreibt der
Schwingungsvektor eine
Schraubenlinie.
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 Das Ende des Feldvektors E beschreibt an einem festen Ort in der x,y-Ebene eine Kreisbahn.
 Der Betrag der Feldstärke bleibt dabei konstant.
t = t0
z
z = z0
y
Für z = z0 beschreibt
der Schwingungsvektor
eine Kreisbahn.
x
rechtszirkular polarisierte Welle1
Drehsinn des Feldstärkevektors
 Erfolgt die Drehung für einen Beobachter, der die Welle auf sich zukommen sieht,
im Uhrzeigersinn, spricht man von einer rechtszirkular polarisierten Welle.
 Bei einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn heißt die Welle linkszirkular.2
 Jede linear polarisierte Welle kann auch als Summe von einer rechts- und einer
linkszirkular polarisierten Welle dargestellt werden. ( zirkulare Doppelbrechung)
 Bei der Absorption von zirkular polarisiertem Licht tritt nicht nur der Strahlungsdruck auf,
es erfolgt auch eine Übertragung eines Drehimpulses.
3) Elliptisch polarisiertes Licht
Die Überlagerung zweier senkrecht zueinander stehender, linear polarisierter Wellen mit unterschiedlichen
Amplituden und unterschiedlichen Phasen ergibt elliptisch polarisiertes Licht.
 Für  = /4 beschreibt der Schwingungsvektor eine Schraubenlinie um einen
elliptischen Zylinder.
 Elliptisch polarisiertes Licht lässt sich auch aus zwei zirkular pol. Wellen zusammensetzen.
4) Natürliches Licht
Natürliches Licht ist i.A. nicht polarisiert.
Regellos im Raum verteilte Atome senden unkorreliert Wellenzüge von ca. 10-8 s Dauer aus. Im Mittel ändert
sich damit alle 10-8 s die Schwingungsrichtung und Phase (z.B. auch durch Stöße). Das emittierte Licht weist
keine definierte Polarisationsrichtung auf. Im zeitlichen Mittel kommen alle Richtungen gleich häufig vor:
 Unpolarisiertes Licht.
Eine perfekte monochromatische ebene Welle besitzt einen unendlich langen Wellenzug, bei dem der
Polarisationszustand genau definiert ist. Eine monochromatische ebene Welle kann also nicht
unpolarisiert sein.
Im allgemeinen Fall kann Licht aus unpolarisierten und polarisierten Anteilen zusammengesetzt sein:
 Teilweise polarisiertes Licht.
1 Zur räumlichen Darstellung der rechtszirkular polarisierten Welle:
Die Endpunkte des E-Vektors liegen auf einer Rechtsschraube. Bei der Lichtausbreitung wird die Schraube
als Ganzes nach rechts verschoben. Dabei verschiebt sich eine konstante Phase in +z-Richtung.
2
Das ist die in der Optik gebräuchliche Konvention. In der Quantenmechanik wird die mit dem Spin des Photons
verknüpfte Zirkularpolarisation jedoch gerade umgekehrt definiert.
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5.1 Die Fresnelgleichungen
(Reflexionsgesetze bei schrägem Einfall)
5.1.1 Der Brewsterwinkel
Beobachtung: Unpolarisiertes Licht wird in Abhängigkeit vom Einfallswinkel verschieden stark
reflektiert. Es existiert dabei genau ein Winkel, für den der reflektierte Anteil senkrecht zur
Einfallsebene polarisiert ist. Der transmittierte Strahl ist teilweise polarisiert.
Diesen Winkel nennt man Brewsterwinkel B.
Beim Brewsterwinkel αB stehen gebrochener
und reflektierter Strahl aufeinander senkrecht,
es gilt :  B    90
n1 sin  B  n2 sin 
 n2 sin(90   B )
 n2 cos  B
tan  B 
n2
n1
Brewsterwinkel
Beispiel: n1 = 1 (Luft); n2 = 1,5 (Glas)  B = 57°
Erklärung:
Einfallender Strahl kann formal in parallel und senkrecht zur Einfallsebene schwingende Komponenten zerlegt werden. Das elektrische Feld der Lichtwelle regt die Ladungsträger im Dielekrikum
zum Schwingen an. Die schwingenden Elektronen strahlen wie schwingende Dipole.
 In Reflexionsrichtung (Dipolachse) keine Abstrahlung, wenn das einfallende Licht parallel
zur Einfallsebene polarisiert ist.
Anwendung:
Polarisation durch Reflexion:
Fällt unpolarisiertes Licht unter dem Brewsterwinkel auf eine Glasplatte, ist der reflektierte
Teil senkrecht zur Einfallsebene linear polarisiert.
Der transmittierte Anteil ist nur teilweise
polarisiert. Lässt man dieses Licht jedoch durch
mehrere Platten unter dem Brewsterwinkel
laufen, bleibt am Ende parallel zur Einfallsebene
polarisiertes Licht übrig. Die senkrechten
Komponenten sind nach oben herausreflektiert.
Brewsterfenster in Lasern:
Brewsterfenster vermeiden Reflexionsverluse
für die parallele Polarisation.
 Das austretende Laserlicht ist linear polarisiert.
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2) Die Fresnelgleichungen
Die Fresnelgleichungen folgen aus den Maxwellgleichungen und den Stetigkeitsbedingungen der
Felder D und H an Grenzflächen von Dielektrika.
(Die Tangentialkomponenten von D und H müssen stetig übergehen - ein Sprung von D bzw. H
würde eine Ladung bzw. einen Strom bedeuten.)
Einfallsebene:
Ebene, die vom Lot und
der Einfallsrichtung
aufgespannt wird.
Richtungssinn:
Richtung der Pfeile
definieren positive
Größen.
n1 sin  e  n2 sin  t
r 
r|| 
t 
t|| 
Er

Ee
Er||
||
Ee

Et
Ee
Et||
Ee||
sin(  e  t )
sin(  e   t )
tan( e   t )
tan( e   t )


Snelliussches Brechungsgesetz
2 sin  t  cos  e
sin(  e  t )
(1)
R||  r|| 2
(2)
T  1  R 
sin t  cos  e
sin( e  t )  cos( e   t )
wobei:
e = Einfallswinkel
t = Ausfallswinkel
r = Reflexionswinkel
R  r 2
T||  1  R|| 
 = senkrecht pol.
|| = parallel pol.
n1 cos  t
t
n2 cos  e
n1 cos  t 2
t||
n2 cos  e
2
(3)
(4)
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Diskussion
1) Reflexions- und Transmissionskoeffizienten (für Übergang dünn - dicht; n1 < n2)
a) r 
Er
Ee
r , r||
(Gleichung 1)
e > t (wegen Snellius)
 r negativ
immer Phasensprung von Er
Er||
b) r|| 
Ee||
(Gleichung 2)
Verhalten von Er||
(e + t) < /2
Einfallswinkel klein
(e + t) > /2
Einfallswinkel groß
tan(e + t) > 0
 r || > 0
tan(e + t) < 0
 r || < 0
Er|| und Ee|| haben gleiches Vorzeichen.
Dies entspricht nach üblicher Konvention
jedoch einem Phasensprung von  für
Er|| bei fast senkrechtem Einfall.
Er|| und Ee|| haben verschiedene
Vorzeichen.
Phasensprung !
Frage: Was passiert bei (e + t) = /2 ?
c) t  
Et
Ee
und t|| 
Et||
Ee||
(Gleichung 3 und 4)
t  und t || sind immer positiv
 kein Phasensprung für die transmittierten Anteile an der Grenzfläche.
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2) Reflexionsgrad und Transmissionsgrad
R  r 2
T  1  R 
R||  r|| 2
T||  1  R|| 
n1 cos  t
t
n2 cos  e
2
n1 cos  t 2
t||
n2 cos  e
a) Reflexionsgrad R  r 2 und R||  r|| 2 für Übergang dünn - dicht
(äußere Reflexion)
a) Reflexionsgrad R  r 2 und R||  r|| 2 für Übergang dicht - dünn
(innere Reflexion)
 Totalreflexion ist ein stetiger Übergang.
 Bei der Totalreflexion treten außerdem Phasenänderungen von Er und Ee , bzw. Er|| und Ee||
zwischen 0 und  auf. Da diese unterschiedlich sind, ist das totalreflektierte Licht elliptisch
polarisiert.
Anwendung: Ellipsometrie (Schichtdickenbestimmung in der Halbleiterindustrie ( 1 nm).
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5.2 Doppelbrechung
Optische Isotropie:
In Gasen, Flüssigkeiten und amorphen Festkörpern (z.B. Glas) ist die Lichtgeschwindigkeit
unabhängig von der Ausbreitungsrichtung und von der Polarisation des Lichtes.
Diese Stoffe heißen optisch isotrop.
Ursache: Linearer, richtungsunabhängiger Zusammenhang zwischen E und D.
D   0 r E   0E  P wegen E || P
Die Brechzahl n =  r und c = c0/n sind damit richtungsunabhängig.
Elementarwellen sind Kugelwellen.
Optische Anisotropie:
Sind die optischen Eigenschaften eines Stoffes richtungsabhängig, heißt er optisch anisotrop.
Ursache: Kein linearer Zusammenhang zwischen E und D.
Tensorieller Zusammenhang zwischen E und D.

D   0 r E   0 E  P oder
3
Di   0   ik Ek
k 1
 Di   0 i Ei (nach Hauptachsentransformation)
Das Anlegen eines Feldes führt zu einer Polarisation, die in eine andere Richtung zeigt.
Wenn die i unterschiedlich sind, müssen die Brechzahlen ebenfalls unterschiedlich sein.
Oszillatormodell zur Doppelbrechung
Die meisten Kristalle sind optisch anisotrop.
Kristalle mit geringerer Symmetrie haben zwei Achsen, längs denen eine polarisationsabhängige
Lichtausbreitung stattfindet. (x  y  z  x ).
Optisch einachsige Kristalle
Lichtausbreitung längs der Symmetrierichtung (= optische Achse) zeigt keine
Polarisationsabhängigkeit. Die Lichtausbreitung in anderen Richtungen kann Abweichungen vom
Snelliusschen Brechungsgesetz aufweisen.
(daher die Bezeichnung Doppelbrechung ; x = y , z ).
Die Lichtgeschwindigkeit hängt von der
Ausbreitungsrichtung und Polarisation
in Bezug auf die optische Achse ab.
Optisch einachsige Kristalle besitzen eine hexagonale,
tetragonale oder rhomboedrische Symmetrie.
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Beobachtung:
Einstrahlung nicht parallel zur optischen Achse:
 Aufspaltung in zwei Teilstrahlen
a) ordentlicher Strahl (o.)
- Brechungsgesetz gilt.
- Polarisation senkrecht zum Hauptschnitt 3
(Einfallsebene)
opt. A chse
a.o.
o.
b) außerordentlicher Strahl (a.o.)
- Brechungsgesetz gilt nicht.
- Polarisation parallel zum Hauptschnitt
(Einfallsebene).
= P ol || zum Ha uptsc hni tt
= P ol  zum Ha uptsc hnitt
Abb.: Doppelbrechung im Kalkspatkristall
Erklärung mit Huygenschen Elementarwellen:
ordentlicher Strahl :
Wellenfronten sind Kugeln (c = const).
außerordentlicher Strahl:
Wellenfronten sind Rotationsellipsoide (c richtungsabhängig)
opt. A.
opt. A. opt. A.
a) b)
a)
(o)
b)
(o)
c
c
c(ao)
a) negativer Kristall (z.B. Kalkspat)
Einfallender Lichtstrahl mit Wellenfronten
parallel zur Oberfläche des Kristalls.
 Einhüllende der Elementarwellen
ergeben Wellenfront (Phasenfront )
der Welle.
 Die Ausbreitungsrichtung
(= Strahlrichtung - Richtung von S)
des a.o.-Strahls steht nicht senkrecht
auf den Phasenflächen.
Berührpunkt der Phasenfläche mit
Ausbreitungsellipsoid = Richtung von S.
opt. A.
c(o)
c(o)
(ao)
c(ao)
c
(ao)
c
b) positiver Kristall (z.B. Quarz)
Zeichenebene ist
Zeichenebene ist
Hauptschnitt
S(ao)
a.o.
o.
k(ao)
a.o.
o.
optische Achse
3
Die durch optische Achse und Lichteinfallsrichtung definierte Ebene heißt optischer Hauptschnitt .
(Jede Ebene, die die optische Achse enthält, bezeichnet man als Hauptschnitt. Nur wenn die Einfallsebene mit dem
Hauptschnitt zusammenfällt (wie hier angenommen), liegen nach der Brechung die beiden Lichtbündel in der Ebene des
Hauptschnittes. Andernfalls wird der außerordentliche Strahl aus der Einfallsebene herausgebrochen.)
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Hinweis zur Orientierung der Felder *
 

Es gilt: divD

0

k
D


 0
divB  0  k  B  0
Dk
Bk
 1  
S
EB  E  S ; B  S
0
Die Vektoren S, E, B und k, D, B bilden je ein Dreibein.
(D,B senkrecht zur Wellenfront)
(E,B senkrecht zum Strahl)
Mikroskopisches Modell
(am Beispiel für doppelbrechende Kunststoffe, wie gestreckte Folien)

Langgezogene (eiförmig) oder gestauchte (diskusförmig) Moleküle zeigen alle
in eine Vorzugsrichtung (= optische Achse).
 Diskusförmige Moleküle haben dann quer zur opt. Achse eine größere
Polarisierbarkeit  als längs dazu.
2
 Da die Polarisierbarkeit  die Brechzahl der Substanz bestimmt (n - 1 ~ P),
ist n für E senkrecht zur Molekülachse größer als parallel dazu.
Entlang der größeren Ausdehnung des
Moleküls ist die Polarisierbarkeit
höher.
a) Für E senkrecht zur Einfallsebene
ist  unabhängig von der Einfallsrichtung.
 n ist unabhängig von der Richtung.
Polarisierbarkeits-Ellipsoid
b) Für E parallel zur Einfallsebene
ist  von der Einfallsrichtung
abhängig.
 n ist richtungsabhängig.
c) Bei Ausbreitung in Richtung der
optischen Achse gibt es keine
Doppelbrechung.
Die sog. Hauptbrechzahlen werden über die Ausbreitungsgeschwindigkeiten
des ordentlichen Strahles c ( o ) (parallel zur optischen Achse) und
des außerordentlichen Strahles (senkrecht zur optischen Achse) c ( ao ) definiert:
c
c
no.  0
na.o.  0
co.
ca.o.
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Standardorientierungen
a) Strahl parallel zur optischen Achse
opt. Achse
y
x
z


Keine Doppelbrechung
keine Änderung der Polarisationseigenschaften
b) Strahl senkrecht zur optischen Achse
opt. Achse
y
x
z
Drei Fälle: 1) E || opt Achse  Doppelbrechung aber ohne Richtungsänderung (a.o.- Strahl)
2) E  opt Achse  keine Doppelbrechung (o.-Strahl)
3) E mit E und E || Komponente: Phasenunterschied nach dem Kristall ergibt
lineare, zirkulare oder elliptische Polarisation ( /4- ; /2-Plättchen)
c) Strahl schräg zur optischen Achse
opt. Achse
y
z
Räumliche Trennung in senkrecht zueinander polarisierte Strahlen.
x
x
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5.2.1 Doppelbrechende Polarisatoren
Prinzipien:
a) Trennung der beiden linear polarisierten Strahlanteile E und E || durch Totalreflexion.
b) Strahlversatz bei der Doppelbrechung
Hohe Transmission und extreme Unterdrückung der anderen Polarisation bis zu 10-4
sin  g (o.) 
opt.. Achse  Bildebene
1

no.
sin  g (a.o.) 
1
na.o.

Für g(o.) <  < g(a.o.) wird der
o. Strahl total reflektiert.
 transmittierter Strahl ist vollkommen
linear polarisiert.
 reflektierter Strahl ist teilweise
linear polarisiert.
Polarisatortypen
a) Glan-Thomson-Prisma
Zwei Kalzitprismen mit Kitt
(Kanadabalsam) verbunden
o. A.  Bildebene
no.  1,6583
na.o.  1,486 ( = 589,3 nm)
a) Glan-Foucault-Prisma
Luftspalt zwischen Kalzitprismen
o. A. || Bildebene
Reflektiert wird der Strahl mit dem
kleineren Grenzwinkel, d.h. mit
der größeren Brechzahl n.
a) Wollaston-Prisma
opt. Achse 1  opt. Achse 2
Polarisationsprismen haben einen begrenzten Öffnungswinkel: ca. 10° - 15°
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5.3 Dichroismus
Unterschiedliche Absorption der senkrecht zueinander polarisierten o. und a.o. Strahlen.
Eine Resonanzfrequenz liegt dabei im Sichtbaren.
Beispiel: Turmalinkristall 1 mm dick
Polariod-Folien
Langgestreckte Kohlenwasserstoffmoleküle (Polyvinylalkohol)
 Jodatome werden eingelagert - liefern Leitungselektronen als Absorber
 Leitungselektronen frei beweglich längs des Moleküls.
Absorption in Längsrichtung größer als quer dazu.
-3
 Diskriminierung: 10
 Problem: Starke Absorption - ungeeignet für Laser.
Polarisatoren
Definition Polarisator: Ein Polarisator ist ein optisches Element, das aus dem eingestrahltem Licht
einen definierten Polarisationszustand selektiert.
Linearpolarisator, Zirkularpolarisator, elliptischer Polarisator, Depolarisator.
Wir haben bisher schon einige Methoden kennengelernt, um aus unpolarisiertem Licht linear
polarisiertes Licht zu erzeugen.
Methoden:
Reflexion, Streuung, Dichroismus (richtungsselektive Absorption),
Doppelbrechung
Analysatoren
Optische Elemente, die umgekehrt zur Bestimmung des Polarisationszustandes des Lichts eingesetzt
werden. Oft werden dabei Polarisatoren auch als Analysatoren benutzt.
Im nächsten Kapitel werden einige dieser Polarisator-Analysator-Anordnungen gezeigt.