§ 2 Mechanik

§ 2 Mechanik
1.
Kinematik: Die Beschreibung von Bewegungen
•
•
Idealisiere ausgedehnte Körper zu Massenpunkten, indem Masse im
„Schwerpunkt“ (s. später) vereint angenommen wird.
Beschreibe die Bewegung des Massenpunktes in kartesischen Koordinaten
durch drei Funktionen x(t), y(t), z(t) der Zeit.
Später:
1.)
 x(t ) 


 y (t )  bilden Ortsvektor r ( t )
 z (t ) 


2.) (Endpunkte der) Ortsvektoren r ( t ) bilden Bahnkurve im
Raum.
3.) Bahnkurven r ( t ) werden durch Kräfte beeinflusst
(Dynamik).
Zunächst:
Bewegung/Betrachtung der Bewegung eingeschränkt auf eine
Dimension;
x ( t ) vorzeichenbehaftet
Beachte:
Nicht immer ist x bei der Verwendung von Funktionen die
Variable. Bei dieser Beschreibung ist t die Variable und x der
Funktionswert!
11
1.1.
Bewegungsdiagramme
Graphische Auftragung der Bewegungsgrößen „Position“, „Geschwindigkeit“ (s.u.)
und „Beschleunigung“(s.u.) als Funktion der Zeit:
12
1.2.
Mittlere und momentane Geschwindigkeit
(A)
vt
 1, t 2 
=
x ( t 2 ) − x ( t1 )
t 2 − t1
heißt mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t1 , t2 ]
und entspricht der Steigung der Geraden durch die Punkte t1 / x ( t1 )  und t2 / x ( t2 ) 
im Orts-Zeit-Diagramm.
(B)
v ( t ) = lim v[ t,t +∆t ] = lim
∆t → o
x ( t + ∆t ) − x ( t )
∆t
∆t → o
=
dx
( t ) = xɺ ( t )
dt
heißt (momentane) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t und entspricht der
Steigung der Kurve x(t) im Punkte t , x ( t )  im O-Z-D (bzw. ihrer Tangente).
v(t) = v t1, t 2 , wenn t in einem „geraden Abschnitt“ [t1,t2] des O-Z-D
Beachte:
liegt.
•
1.3.
Über Symbol heißt stets Ableitung nach der Zeit.
Mittlere und momentane Beschleunigung
Ganz analog gilt:
(A)
(B)
v(t 2 ) − v(t1 )
heißt mittlere Beschleunigung im Zeitintervall [ t1 , t 2 ]
t 2 − t1
und entspricht der Steigung ………..
a t
 1, t 2 
=
a ( t ) = lim a[ t ,t +∆t ] = lim
∆t → o
∆t → o
v ( t + ∆t ) − v ( t )
∆t
=
dv
( t ) = vɺ ( t )
dt
heißt (momentane) Beschleunigung zum Zeitpunkt t und entspricht der
Steigung der Kurve v(t) im Punkte  t, v ( t )  im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
(bzw. ihrer Tangente)
Experiment: Luftkissenwagen, beschleunigt durch Fallgewicht in Luft und in Wasser.
13
1.4.
Spezielle Bewegungen
Ausgangssituation:
t0 = 0
x0 = x ( t0 )
Beginn der Beobachtung
Startposition
v0 = v ( t 0 )
Startgeschwindigkeit (positiv oder negativ!)
t Ende
Ende der Beobachtung
a ( t ) soll als Ursache der Bewegungsänderung im Zeitintervall [ 0, t Ende ] bekannt ein.
Frage: Wie sind v ( t ) und x ( t ) für t ∈ [ 0, t Ende ] aus a ( t ) ableitbar?
Dazu Zwei-Schritte Strategie:
1.)
v ( t Ende ) = v 0 +
v( t Ende )
∫
v( 0 )
dv = v 0 +
t Ende
∫ a ( t ) dt .
0
Da t Ende beliebig ist, nennen wir jetzt im Ergebnis t Ende wieder t.
→
2.)
v ( t ) gefunden für alle t ∈ [ 0, t Ende ]
Analog für x ( t ) aus v ( t )
x ( t Ende ) = x 0 +
x ( t Ende )
∫
x (0)
dx = x 0 +
t Ende
∫ v ( t ) dt
0
Umbenennung t Ende → t liefert x ( t ) .
Beachte:
Die in einem Zeitintervall zurückgelegte Strecke s ist anders zu berechnen:
s[0,t ENDE ] =
t ENDE
∫ v ( t ) dt .
0
Sie ist i.a. nicht gleich x ( t ENDE ) − x ( 0 ) , und zwar dann nicht, wenn v(t) während
der Bewegung die Richtung ändert. Das bleibt auch für 3-dimensionale
Bewegungen richtig, die durch Vektorfunktionen x ( t ) und v ( t ) beschrieben
werden. Allerdings ist die Berechung des Geschwindigkeitsbetrages in dem
Falle komplizierter zu bewerkstelligen als schlichtweg dadurch, das Vorzeichen
stets positiv zu setzen (siehe später ‚Vektorrechnung’).
14
Mathematischer Einschub: Integrale
In der Physik sind Integrale stets:
SUMME
funktions-
differentieller
Argumentbereiche
gewichteter
(„Zahlen“-) Intervall
Skalar
(„Zahlengöße“)
„Normales“ („Zahlen“-)
Produkt
Fläche
Skalarprodukt
(inneres Vektorprodukt)
Volumen
Vektorprodukt
(äußeres Produkt)
Vektor
Vektor
VIELE Kombinationen möglich (siehe später); jetzt einfachster Fall:
x
∑ f ( t ) ⋅ dt
x
→
a
„Treppenprofilfläche“
∫ f ( t ) dt = F ( x )
a
a
→
wahre Fläche unter f von a bis x
im Grenzfall dt → 0
15
Beachte:
1.) Funktion, Wegrichtung (a→x oder x→a) und damit F sind
vorzeichenbehaftet !
2.) Integrationsbereiche sind kombinierbar:
b
x
x
a
b
a
∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t )dt = ∫ f ( t )dt
Insbesondere für x=a folgt:
b
a
a
b
∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t )dt = Fa ( a ) = 0
Also auch:
b
a
a
b
∫ f ( t ) dt = −∫ f ( t )dt
VZ hängt i.a. von Integrationsrichtung ab !
Betrachte nun a fest und x als Variable:
Fa ( x ) , heißt (eine) „Stammfunktion“ oder „unbestimmtes Integral“ von f(t)
(Konstante a oft als Index weggelassen.)
Wie steigt die „Flächenfunktion“ F(x) bei Verschiebung der variablen oberen
Bereichsgrenze x? Antwort: Bilde die Ableitung!
dF F ( x + dx) − F ( x) f ( x) ⋅ dx
=
=
= f ( x)
dx
dx
dx
und daraus:
„Hauptsatz der Integralrechnung“ als Rezeptur:
→
Finde Stammfunktion von f durch „erraten“ von F so dass F’=f ist!
a
→
∫ f ( t ) dt = F ( a ) − F ( b )
für (konkrete=) bestimmte Integrale.
b
Beachte schließlich:
Integrationen stets lineare Operationen !
x
∫  k
1
x
x
a
a
⋅ f1 ( t ) + k 2 f 2 ( t ) dt = k1 ∫ f1 ( t ) dt + k 2 ∫ f 2 ( t ) dt
a
Bei allen Arten von Integralen!
Ende des mathematischen Einschubes
16
Anwendung auf spezielle Bewegungen:
(A)
a ( t ) = a = konst.
Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
1.)
v ( t Ende ) = v0 +
t Ende
∫
a ⋅ dt = v0 + a ⋅ t Ende
0
v ( t ) = v0 + a ⋅ t
→ Umbenennung:
2.)
x ( t Ende ) = x 0 +
t Ende
∫ v ( t ) dt = x
0
+
0
= x0 +
t Ende
∫
v 0 dt +
0
t Ende
∫
0
+ a ⋅ t ) dt
a ⋅ t dt
0
t Ende
∫
0
speziell:
∫ (v
0
= x 0 + v 0 ⋅ t Ende + a ⋅
→
t Ende
1 2
t ⋅ dt = x 0 + v 0 ⋅ t Ende + a t Ende
2
1
Umbenennung: x ( t ) = x 0 + v 0 t + at 2
2
gleichmäßige beschleunigte Bewegungen aus der Ruhe heraus: v 0 = 0
v(t) = a ⋅ t
1
x ( t ) = x 0 + at 2 ; setze, falls möglich, x0 = 0 zur Vereinfachung:
2
1
x ( t ) = at 2
2
Beachte hierfür:
(B)
1 2
at
1
2
v[0,t ] =
= v(t)
t
2
Die mittlere Geschwindigkeit für eine gleichmäßig
beschleunigte Bewegung aus der Ruhe heraus ist gerade halb so
groß wie die Endgeschwindigkeit. Das ist auch unmittelbar aus
der linearen und von 0 aus startenden Funktion v(t) im
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ersichtlich.
Die gleichförmige Bewegung:
Spezialfall von (A):
a ( t ) = konst. = 0
v ( t ) = v0
x ( t ) = x 0 + v 0 ⋅ t ; setze, falls möglich,
x 0 = 0 zur Vereinfachung:
x ( t ) = v0 ⋅ t .
17
Beachte stets die Vorzeichen von x 0 , v 0 , a !
z.B.:
v (1s ) = −5m / s, v ( 5s ) = 0
0m / s − ( −5m / s )
m
, also positive
4s
s2
Beschleunigung, obwohl das Objekt aus der Bewegung zur Ruhe kommt!
a[1s,5s] =
= +1, 25
18
1.5.
Der freie Fall
Freier Fall = gleichmäßig beschleunigte Bewegung auf vertikaler
Positionskoordinate x;
Startzeitpunkt t0=0
a(t) = konst. = -g
19
Beachte:
1.) Alle Diagramme sind symmetrisch bzgl. des Umkehrzeitpunktes:
v ( t ) = −g ⋅ ( t − t u )
ungerade Funktion
1
2
x ( t ) − x ( t u ) = − g ( t − t u ) gerade Funktion
2
2.)
Obige Bewegungsdiagramme gelten je nach Wahl des Startzeitpunkts
für alle Anfangsbedingungen!
t 0 = t u → freier Fall aus der Ruhe heraus
t 0 > t u → „Wurf“ nach unten
3.)
für gegebenes v1 ↔ v 2 -Intervall: Bremszeit = Beschleunigungszeit
für gegebene Postitionsveränderung x1 ↔ x2 :
1.6.
Steigzeit = Fallzeit
Bewegungen im 3- dimensionalen Raum
Das Überlagungsprinzip:
Bewegungen in zueinander senkrechten Raumrichtungen überlagern sich
unabhängig!
Also:
ax (t) =
dv x
dt
→
vx ( t ) =
dx
dt
→
x (t)
usw., aber nicht:
ax (t)
→
vy ( t )
→
z(t) !
Zur mathematischen Beschreibung:
Bilde „Zahlentripel“ aus den Zeitfunktionen
 v x ( t )   xɺ ( t ) 
 a x ( t )   ɺɺ
 x (t)
x (t)

 






r ( t ) =  y ( t )  ; v ( t ) =  v y ( t )  = yɺ ( t )  ; a ( t ) =  a y ( t )  =  ɺɺ
y(t)


 

 




ɺ
z
t
z
t
z(t) 
v
t
a z ( t )   ɺɺ
(
)
(
)
(
)


 z
 


Die Zahlentripel (Funktionen) heißen Vektoren (Vektorfunktionen) mit besonderen
Verknüpfungsregeln! (Beachte: hier als ‚Spaltenvektor’ statt als ‚Zeilenvektor’
geschrieben; beide Konventionen sind üblich!)
Deswegen noch einmal ein
20
Mathematischer Einschub:Vektorrechnung
(Lese dazu z.B.: Halliday, Giancoli, jeweils Kapitel 3)
Vektoren beschreiben physikalische Größen mit Richtungscharakter:
„Pfeile“ (Verschiebungen) mit physikalischer Größe (Zahl und Einheit) als Betrag („Länge“)
Beispiel: Ortsvektor r =
Verschiebung vom O-Punkt eines KKS zu einem bestimmten
Punkt im Raum.
y/m
6
8
x/m
z-Achse
nach oben
Komponentenschreibweise:
r = ( rx , ry , rz ) = ( 8m, 6m, 0 ) = 2m ⋅ ( 4,3, 0 )
↑
skalare Komponenten
von r
↑
gemeinsamer Faktor
ausklammerbar
Beachte: im Folgenden wieder „Zeilenschreibweise“ (statt „Spaltenschreibweise“) für die
Komponentendarstellung benutzt!
Der Betrag von Vektoren:
V = (Vx , Vy , Vz ) ; mit Pythagoras:
z.B.:
V = Vx2 + Vy2 + Vz2
r = 2m ⋅ 4 2 + 32 + 02 = 5 ⋅ 2m = 10m
21
Einheitensvektoren:
Ein Vektor in Richtung V , aber mit betrag 1; er erlaubt die Trennung von Betrag und
Richtung in Rechnungen.
1
eV =
⋅V
V
1
⋅ ( 8m, 6m, 0m ) = ( 0,8; 0, 6; 0 )
10m
z.B.:
er =
speziell sind die
Einheitsvektoren längs Koordinatenachsen
ex = (1, 0, 0 ) ,
ey = (0,1, 0),
ez = (0, 0,1)
wichtig !!
Die Vektoraddition:
Rechnerisch:
A + B = (A x , A y , A z ) + (Bx , By , Bz )
= ( A x + Bx , A y + B y , A z + Bz ) komponentenweise.
Geometrisch: „Hintereinander hängen“ oder „Parallelogrammregel“.
A
A+B
B
Damit folgt z.B. für den Ortsvektor die Darstellung
r = rx ex + ry ey + rz ez
↑
↑
als Summe seiner
↑
„Vektorkomponenten“
− A = A ⋅ e− A
Beachte:
( )
A − B = A + −B
Kommutativgesetz:
A +B = B+ A
Das Skalarprodukt oder innere Produkt von Verktoren:
A iB macht aus zwei Vektoren einen Skalar
22
A i B = A x ⋅ B x + A y ⋅ B y + A z ⋅ Bz
Rechnerisch:
„Summe der
Komponentenprodukte“
Geometrisch:
B
AiB = A ⋅ B ⋅ cos ( θ )
θ
A
Regeln:
A iB = BiA
Kommutativgesetz
( aA + bB) ⋅ cC = ac AiC + bcBiC
AiA = A
Beachte:
Distributivgesetz
2
AiB = 0
AiB = A ⋅ B
AiB =
für A ⊥ B
für A B und A iB = − A ⋅ B oder A − B
eA iB
A
Pr ojektion von
B auf A − Richtung
=
eB i A
B
, also
Pr ojektion von
A auf B− Richtung
„Das Skalarprodukt ist der Betrag des einen Vektors mal die Projektion des anderen
auf die Richtung des einen“ (Beachte: kann negativ sein!)
Das Kreuzprodukt oder äußere Produkt von Vektoren:
A×B
Rechnerisch:
macht aus zwei Vektoren wieder einen Vektor
A × B = ( A y Bz − A z B y , A z B x − A x Bz , A x B y − A y B x )
oder mit einer formalen „Determinantenregel“:
Ax
Ay
Az
A × B = Bx
ex
By
ey
Bz = A x B y ez − A y Bx ez + .........ex + ............e y
ez
23
Geometrisch:
1.) eA×B steht senkrecht auf A und B mit Richtung
gemäß „Schraubenregel“ oder „rechter-Hand-Regel“
für Drehung von A (erster Vektor) auf B (zweiter
Vektor)!
B
2.) A × B = A ⋅ B ⋅ sin ( θ ) eA×B , wobei θ der bei der
θ
A x B
Regeln:
Drehung von A auf B überstrichene Winkel ist
A
Beachte: θ < 180° oder θ > 180° ist dabei frei wählbar,
weil gleichzeitig mit Wechsel der
Schraubenrichtung sin ( 360° − θ ) = − sin ( θ ) .
A × B = − B× A
anti-kommutativ
A×B = 0
für A B oder A − B , insbesondere A × A = 0
A×B = A ⋅ B
für A ⊥ B
( A × B) × C ≠ A × ( B × C )
in A,B − Ebene
Aber immer:
(
kein Assoziativgesetz.
in B,C − Ebene
)
A× B+ C = A×B+ A×C
Distributivgesetz, wobei
stets die Reihenfolge der
Kreuzproduktbildung
beibehalten werden muss!
Differentiation und Integration von Vektorfunktionen:
Beide Operationen sind einfach komponentenweise zu verstehen:
z.B.
 dvdtx ( t ) 
 ax (t)
 vɺ x ( t ) 




 dv  dv y
a ( t ) =  a y ( t )  = vɺ ( t ) =  vɺ y ( t )  =
=  dt ( t ) 
 a (t)
 vɺ ( t )  dt  dvz ( t ) 
 z 
 z 
 dt

und umgekehrt
t

 ∫ a x ( τ ) dτ 
0

 v 0,x   t
 vx ( t ) 
t





v ( t ) =  v y ( t )  = v 0 + ∫ a ( τ ) dτ =  v 0,y  +  ∫ a y ( τ ) dτ 

0
 v (t)
v  0
0,z


 z 


t
 a ( τ ) dτ 
∫ z

0

24
Beachte: Name der Integrationsvariable (hier τ) ist beliebig, sollte aber nicht gleich der
oberen Grenze gewählt werden!
Ende des mathematischen Einschubes
1.7.
Der schräge Wurf
a ( t ) = g = − g ez ,
senkrecht nach unten, zeitlich konstant (s.u.)
v0 = v ( t = 0 ) = v0,x ex + v0,z ez ,
r0 = r ( t = 0 ) = x 0 ex + z 0 ez ,
o.B.d.A. v 0,y = 0
o.B.d.A. y 0 = 0
Bewegung kann komponentenweise unabhängig integriert werden:
v ( t ) = v0 + g ⋅ t = v0 − g ⋅ t ez und daraus
r ( t ) = r0 + v0 ⋅ t + 12 g ⋅ t 2 = r0 + v0 ⋅ t − 12 g ⋅ t 2 ⋅ ez
Konstruktion der Bewegungsdiagramme:
Ggf. zunächst v 0,x und v 0,z aus Betrag und Richtung von v0 ermitteln,
.
z.B.
für Winkel α von v0 gegen die Horizontale:
z
v0,x = v0 ⋅ cos ( α )
v0
α
v0,z = v0 ⋅ sin ( α )
x
Damit dann Bewegungsdiagramme für x- und z-Richtung unabhängig konstruieren:
(siehe nächste Seite)
25
 0
 
1.) a ( t ) =  0  = konst (trivial)
 −g 
 
2.) und 3.) v ( t ) und r ( t ) :
vx
vz
v0,x
v0,z
t
0
x
0
z
zmax=zu
x0
t
tu
z0
0
t
0
tu
x0
x0+ v0,x tu
t
x
z(t)-Diagramm leicht mit x(t) kombinierbar zur Bahnkurve z(x):
t-Achse kann unmittelbar mit x ( t ) = x 0 + v 0,x ⋅ t in eine x-Achse übersetzt werden (s.o. grün)!
Wurfparabel
Beachte: Für v 0,x = 0 ist die x-Achse ∞ gestreckt
Wurfparabel entartet zu vertikaler Halbgeraden!
Experiment: Der Affenschuss
26
2.
Dynamik von Massenpunkten
2.1.
Kräfte
•
•
•
sind vektorielle Größen F und addieren sich ggf. vektoriell
wirken stets wechselseitig zwischen materiellen Körpern und heißen deswegen
auch
„Wechselwirkungen“
bewirken Beschleunigungen a .
Die vier fundamentalen Kräfte („Wechselwirkungen“) in der Natur
1.)
Die Schwerkraft (Gravitationskraft)
Gravitationskraft und Gravitationsgesetz
Quelle:
(schwere) Masse M
[M] = kg
Gravitationsgesetz: für Kraft F1,2 von 1 ausgehend auf 2 wirkend
F1,2 = − γ
M 1M 2
r1,2
2
⋅ er1,2
3
kgm
Nm 2
−11 m
 F  = N = 2 ; γ = 6, 67 ⋅ 10−11
Gravitationskonstante
=
6,
67
⋅
10
s
kg 2
kg s 2
später
Beachte:
„Merkregel“
F1,2 − r1,2
stets anziehend
F1,2 = − F2,1
stets wechselseitig
Fγ = γ
M 1M 2
für den Betrag der Gravitationskraft zwischen
r2
zwei Punktmassen im Abstand r voneinander.
27
Der Feldbegriff:
Oft ist eine Separation der WW nützlich:
1.) Externe, unbewegte Objekte erzeugen an jedem Ort Kräfte auf „Systemobjekte“:
„Kraftfeld“
2.) Kraftfeld bewirkt Dynamik der Systemobjekte
3.) Rückwirkung auf externe Objekte wird vernachlässigt!
Beispiel:
Sonne erzeugt Kraftfeld für Planeten
Bewegung auf elliptischen Bahnen (Keppler’sche Gesetze)
Rückwirkung auf Bewegung der Sonne wird vernachlässigt!
Das Gravitationsfeld
Betrachte M 1 = M als feste Punktmasse am Orte
„Probemasse“ bei r .
Definition:
r′ ,
M 2 als (verschiebbare)
Das Vektorfeld
GM , r ′ ( r ) =
1
γ M1
⋅ F1,2 ( r ) = −
e
2 ( r − r ′)
M2
r − r′
heißt das Gravitationsfeld der Punktmasse M
Beachte:
1.)
N m
G  =
  kg = s 2
2.)
GM , r ′ ( r ) beschreibt nur die Masse M = M 1 bei r ′ .
Bei mehreren felderzeugenden Punktmassen:
Addition der Gravitationskräfte ⇔ Addition der Gravitationsfelder vektoriell!
Dazu bei ausgedehnten Massenverteilungen:
Definition: Der Differentialquotient
△M ( r ′ ) dM ( r ′ )
=
△V ′→ 0
△V ′
dV ′
ρ ( r ′ ) = lim
heißt (ortsabhängige) Dichte einer Massenverteilung.
28
Damit:
G (r ) =
∑ −γ
ρ ( r ′ ) ⋅ △V ′
△V '
r − r′
G (r ) = − γ ∫
Grenzübergang
2
⋅ er − r ′
ρ ( r′)
r − r′
2
oder nach
⋅ er − r ′ dV ′
ist das Gravitationsfeld der Massenverteilung mit Dichte ρ ( r ′ ) .
Wichtiges Beispiel: isotrope Dichteverteilung (um r ′ = 0 ),
also ρ ( r ′ ) = ρ ( r ′ ) richtungsunabhängig (Kugelsymmetrie).
Wegen Symmetrie
1.) Horizontalkomponenten in Vektorsummation zu G heben sich auf
(trivial, schon Zylindersymmetrie dazu ausreichend).
1
2.) nicht trivial, wegen Fγ ∼ 2 kann man zeigen, dass :
r
G (r ) = −
γ
r
2
∫
er ⋅
ρ ( r ′ ) dV ′ = −
Kugel mit
r ′< r
γ M <r
r
2
er
Fazit:
Für das Gravitationsfeld einer isotropen Massenverteilung in einem (beliebigen)
Aufpunkt r gilt das Rezept:
Gesamte zentrumsnähere Masse im Zentrum vereinigen.
(und zentrumsfernere Masse ignorieren!)
Speziell natürlich:
(
)
G r =0 =0
G ( r ) − r , d.h. G ( r ) ist ein so genanntes „Zentralfeld“
29
Anwendung: Das Gravitationsfeld der Erde
R = 6370 km
(Pole: 6356 km)
(Äquator 6378 km, + 0,3%)
M E = M < R = 5, 97 ⋅1024 kg
G ( R) =
γ ME
R2
=
6, 67 ⋅10−11 Nm 2 kg −2 ⋅ 5,97 ⋅1024 kg
6,37 2 ⋅ (106 m )
2
= 9,81
N
m
= 9,81 2 = g !
kg
s
in Meereshöhe!
1
G ( R + h) ( R + h)
1
  h 
 R 
=
=
=
=

2
1 +  R  
1
G ( R)
 R+h 
h
  
1
+
2


R
 R
2
2
−2
h
≈ 1− 2 
R
siehe mathematischer Einschub:
Taylor-Entwicklung
−2
h
h


G ( R + h ) = G ( R ) 1 +  ≈ g ⋅ 1 − 2 
R
 R

h
= 1, 6 ⋅10−3 = 0,16%
R
⇒ G ( R + 10 km ) = g (1 − 0,32% ) = g ⋅ 0,9968
z.B. Flugzeug, h = 10 km ⇒
Aber:
Wettersatellit ( h = 35800 km )
h
= 5, 6 > 1 , Taylor-Entwicklung gilt nicht !!!
R
30
Mathematischer Einschub: Taylor-Entwicklung
Entwicklung von Funktionen für kleine Argumentabweichungen:
x0
x0 + δ
f ( x0 + δ ) ≈ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) ⋅ δ
„lineare Approximation“
durch Tangente
Falls bei x0 Extremum, also f ′ ( x0 ) = 0
f ( x0 + δ ) ≈ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) ⋅ δ +
0
1
f ′′ ( x0 ) ⋅ δ 2
2
„quadratische
Approximation“ durch
Parabel
Hinweis: Beginn der Taylor’schen Reihenentwicklung
f ( x0 + δ ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) ⋅ δ +
1
1
f ′′ ( x0 ) ⋅ δ 2 + f ′′′ ( x0 ) ⋅ δ 3 + ...
2!
3!
Beispiele
1.)
f ( x ) = (1 + x ) um x0 = 0 herum:
m
f ( x0 ) = 1
f ′ ( x0 ) = m (1 + x )
m −1
⇒ f ( x) ≈ 1+ m ⋅ x
x0
=m
für x ≪ 1
31
2.)
f ( x ) = sin ( x ) mit x Winkel im Bogenmaß (180° ≙ π ) um x0 = 0 herum :
f ( 0) = 0
f ′ ( 0) =
d sin ( x )
= cos ( x ) 0 = 1
dx x
0
also:
sin ( x ) ≈ x
3.)
x ≪1
für
f ( x ) = cos ( x ) mit x Winkel im Bogenmaß (180° ≙ π ) um x0 = 0 herum :
f ( 0) = 1
f ′ ( 0 ) = − sin ( x ) 0 = 0
1
also cos ( x ) = 1 − x 2 für x<<1.
2
f ′′ ( 0 ) = − cos ( x ) 0 = −1
Ende mathematischer Einschub
2.)
Elektrische Kraft (Coulomb-Kraft)
Quelle:elektrische Ladung Q
[Q ] = A ⋅ s = C " Coulomb "
bipolar!
Punktladung Q1 bei r1
Punktladung Q2 bei r2
r1,2
Coulomb-Gesetz:
Für F1,2 (von 1 auf 2 wirkend) gilt:
F1,2 = +
1
4πε 0
⋅
mit ε 0 = 8,854 ⋅10 −12
Beachte:
Q1 ⋅ Q2
r1,2
2
⋅ er1,2
As
elektrische Feldkostante.
Vm
abstoßend für Q1 ⋅ Q2 > 0 (gleichnamige Ladung)
anziehend für Q1 ⋅ Q2 < 0
Merkregel:
F =
1
4πε 0
⋅
Q1 ⋅ Q2
r2
für den Betrag der C.K.
Zwischen zwei Punktladungen im Abstand r.
32
Analog zum Gravitationsfeld:
Q1 = Q , r1 = r ′ , r2 = r :
EQ ,r ′ =
1
Q
F1,2 ( r ) =
e
2 ( r − r ′)
Q2
4πε 0 r − r ′
heißt elektrisches Feld der Punktladung Q bei r ′ .
N V
E  =
  As = m
siehe später
Mit elektrischer Ladungsdichte ρ el . einer ausgedehnten Ladungsverteilung folgt
wieder durch Vektoraddition (wie für G ( r ) , s.o.) :
E (r ) =
1
4πε 0
ρ el . ( r ′ )
∫ r − r′
2
er − r ′ dV ′
für das von ihr erzeugte elektrische Feld.
Beachte:
3.)
Analoge Regeln wie für G , insbesondere für isotrope
Ladungsverteilungen!
Schwache und 4.) starke Kernkraft
nur zwischen Elementarteilchen im inneren von Atomkernen
nicht explizit behandelt
Für alle Kräfte gilt:
1.)
2.)
wechselseitig
zwischen Punktquellen zentral, also F ∆r
33
2.2.
Die Grundgleichung der Mechanik und die Newtonschen Axiome
(II. Newtonsches Axiom)
Kräfte F auf materielle Körper mit (träger) Masse m bewirken zur Kraft proportionale
Beschleunigungen a :
a=
1
⋅F
m
Wirkung
oder
Ursache
F = m⋅a
F  =
 
kg ⋅ m
s2
Beachte:
Bei mehreren angreifenden Kräften Vektorsumme Fges bilden
a=
1
⋅ Fges !
m
Beispiel: freier Fall im K.S. (erdnah)
Fγ = − M ⋅ g ⋅ ez
( M ist schwere Masse)
⇒a=
1
M
Fγ = − g ⋅ ez
m
m
endgültig seit Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie: m = M gilt universell, d.h.
Quelle der Schwerkraft und Trägheit sind wesensgleich!
⇒ a = −g
Folgerung:
für alle Körper im erdnahen Gravitationsfeld.
F = 0 ⇒ a = 0 ⇒ v ( t ) = const.
Ohne (von außen) angreifende Kraft bewegen sich alle Körper
gleichförmig!
(I. Newtonsches Axiom)
Und, da Kräfte wechselseitig:
Mit jeder Kraft F1,2 von Körper 1 auf 2 ist die Gegenkraft F2,1 = − F1,2 von 2 auf 1
verbunden (s.o.).
(III. Newtonsches Axiom)
34
2.3.
Impuls und Impulserhaltung
Grundgleichung der Mechanik auch schreibbar als
d
F = m ⋅ vɺ = ( m ⋅ v ) = pɺ weil m (fast immer) konstant.
dt
m ⋅ v(t) = p(t)
Definition
[ p] =
heißt Impuls
kg ⋅ m
s
Damit kann die Grundgleichung alternativ geschrieben werden:
dp
F = pɺ =
dt
„Kraft(vektor) ist zeitliche Änderung des Impuls(vektors)“ !
ohne Kraft auf Körper bleibt Impuls konstant.
Betrachte damit beliebige Wechselwirkung zwischen Körper mit m1 und m2 über
Zeitspanne [ 0,T ] . So eine Wechselwirkung heißt ein Stoß.
t = 0 (vor der WW)
p1 ( 0 ) , p2 ( 0 ) Impulse vor der WW
lasse F1,2 irgendwie wirken von 1 auf 2 :
T
dp2
( t ) = F1,2 ( t )
dt
und damit
p2 (T ) = p2 ( 0 ) + ∫ F1,2 ( t ) dt
( ∗)
0
Wegen Newton III (Wechselwirkung) muss dann Gegenkraft
F2,1 ( t ) = − F1,2 ( t ) auf 1 wirken!
⇒
dp1
( t ) = F2,1 ( t ) = − F1,2 ( t ) dt
dt
und damit
T
T
0
0
p1 (T ) = p1 ( 0 ) + ∫ F2,1 ( t ) dt = p1 ( 0 ) − ∫ F1,2 ( t ) dt
(**)
35
(*) + (**)
⇒ p1 (T ) + p2 (T ) = p1 ( 0 ) + p2 ( 0 )
Gesamtimpuls p1 + p2 ist zeitlich konstant!
weil T allgemein:
Verallgemeinerung auf beliebig viele Körper durch „Induktionsschritt“
(trivial). Damit folgt der ganz wichtige
Impulserhaltungssatz:
In einem System von Massen mi mit Geschwindigkeiten vi ( t ) bleibt ohne äußere
Kräfte der Gesamtimpuls
P = ∑ p i ( t ) = ∑ mi vi ( t )
i
Beispiel:
konstant!
i
Newton’s berühmter Apfel, während seines Falls auf des Meisters
Kopf:
Perspektive 1:
System = Apfel; Erde erzeugt als äußeres Objekt
äußere Kraft F = m ⋅ g
p ( t ) = m ⋅ g ⋅ t nicht konstant.
Perspektive 2:
Apfel 1 und Erde 2 bilden zusammen ein
abgeschlossenes System:
p1 ( t ) = m1 ⋅ g ⋅ t ⇒ v1 ( t ) = g ⋅ t
für Apfel
p 2 ( t ) = −m1 ⋅ g ⋅ t ⇒ v 2 ( t ) = −
∑
2.4.
=0
m1
⋅ g ⋅ t für Erde
m2
≈ 10 −25
Schwerpunkt und Schwerpunktsystem
Vorteil:
Anwendung von Impulserhaltungssatz (und Energieerhaltungssatz, s.u.)
besonders einfach.
System von Massen mi bei ri ( t )
Betrachte:
∑ m ⋅ r (t ) 1
S (t ) =
=
⋅ ∑ m ⋅ r (t )
m
M
∑
i
i
i
i
i
i
i
i
heißt Schwerpunkt(vektor) des Systems.
36
Beachte:
1.)
zeigt immer bei Wechsel des K.S. zur Auswertung noch zum gleichen
Raumpunkt:
S− A =
∑ m ⋅( A + r ) ∑ m ⋅ A ∑ m ⋅ r
i
i
i
M
=
i
i
+
i
M
i
i
M
= A ⋅1 + S
K.S. um
− A verschoben
2.)
Die SP-Berechnung ist iterierbar bzw. separierbar:
n
M1 = ∑ mi und S1 =
System 1, Massen 1…n:
i =1
System 2, Massen n+1…N:
M2 =
N
∑m
j= n +1
j
1
M1
und S2 =
n
∑m r
i i
i =1
1
M2
N
∑mr
j= n +1
j j
SP Gesamtsystem ist dann auch berechenbar durch
M S + M 2S 2
M = M1 + M 2 und S = 1 1
, wie man durch Einsetzen leicht bestätigt.
M1 + M 2
3.)
Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massenverteilung ρ ( r ) („Starre
Körper“) einfach:
dm
r ⋅ ρ ( r ) dV
∫
S=
∫ ρ ( r ) dV
Betrachte:
=
1
⋅ ρ ( r ) ⋅ rdV
M ∫
Bewegung des Schwerpunktes ohne äußere Kräfte:
dS d  1
 1
vs ( t ) =
=  ⋅ ∑ mi ⋅ ri ( t )  = ⋅ ∑ m i ⋅ rɺi ( t ) =
dt dt  M i
 M i
∑ m ⋅ v (t)
i
i
M
i
=
P (t)
M
ist konstant weil Gesamtimpuls P konstant ist!
Koordinatensystem mit Ursprung in S ( t ) bewegt sich gleichförmig (Inertialsystem)
und heißt Schwerpunktsystem.
Experimente: Luftkissenfahrbahn und Kugelpendelreihe
37
2.5.
Gekrümmte Bahnkurven
Da Grundgleichung F = m ⋅
dv
vektoriell kann F ∼ a ≠ 0 sein, obwohl v = konst. !
dt
Für Zeitintervall [t , t + dt ] Beschreibung der Bewegung im lokalen K.S. mit
0-Punkt im Zentrum des Krümmungskreises:
r ( t ) ≈ r ( t + dt ) = K
Fall 1: v ( t ) = v ( t + dt ) konstant
r ( t + dt ) − r ( t ) = dr = v dt und
v ( t + dt ) − v ( t ) = dv (Vektordifferenz; gleichen Anfangspunkt wählen)
 r ( t + dt ) / r ( t ) / dr  und
 v ( t + dt ) / v ( t ) / dv  bilden ähnliche Dreiecke!
dv
=
dr
=
dr
=
v dt
und dv ⊥ v .
v
r
K
K
Also gilt für diese Radialkomponente von dv :
⇒
dv r v 2
⇒
= ⋅ e− K =: a r , heißt Radialbeschleunigung oder
dt
K
Zentripetalbeschleunigung
(Richtung: zum Mittelpunkt des Krümmungskreises)
38
Fall 2: Zusätzlich ändert die Geschwindkigkeit um d v t = a t dt ihre Komponente in
Geschwindigkeitsrichtung.
zusätzliche Vektorkomponente für die Änderung von v .
Für diese Tangentialkomponente dv t der Geschwindigkeitsänderung
gilt:
⇒
dv t
= a t ⋅ e v =: a t ;
dt
sie heißt Tangentialbeschleunigung
Und ist parallel oder antiparallel zum
Geschwindigkeitsvektor gerichtet.
Allgemeiner Fall also:
v2
dv
a = a r + a t = ⋅ e− K + ⋅ e v
K
dt
speziell:
dv
⋅ ev
dt
1.)
geradlinige Bewegung: a r = 0, a =
2.)
gekrümmte Bahn mit v = konst.
(„gleichförmige Drehbewegung“; Kurvenfahrt):
v2
a t = 0, a = ⋅ e− K
K
Grundgleichung vektoriell:
F = m ⋅ a = m ⋅ a r + m ⋅ a t = Fr + Ft
Zentripetalkraft
Tangentialkraft
bewirkt Bahnkrümmung
bewirkt „Bahnbeschleunigung“
dv
dt
In beschleunigten Bezugssystemen erscheinen unter Vernachlässigung der
Systembeschleunigung die Gegenkräfte zu Fr , Ft (bedenke immer F1,2 = −F2,1 )
als wirkende Kräfte („Trägheitskräfte“ = Scheinkräfte ohne eigene Gegenkraft
im System).
− Fr heißt auch Fliehkraft oder Zentrifugalkraft
Beispiele für Trägheitskräfte:
1.)
2.)
Karussell, Kurvenfahrt
anfahrender Fahrstuhl!
39
2.6.
Energie und Arbeit
Energie:
• zentraler Begriff der Naturbeschreibung (historisch: „Lebendige Kraft“)
• umwandelbar zwischen verschiedenen Energieformen:
materiegebunden
-
(makroskopisch) mechanisch: „potentielle“ und „kinetische“ Energie
mikroskopisch mechanisch: Wärme
elektrisch (und magnetisch)
mikroskopisch elektrisch: chemische Energie
Kernenergie
elektromagnetisch (Licht und Strahlung)
Gesamtenergie in abgeschlossenen Systemen erhalten (s.u.)
Arbeit:
Größe, die Energieänderung an einem Objekt durch die Wirkung von
Kräften beschreibt:
• makroskopisch („sichtbar“): mechanische Arbeit
• mikroskopisch („unsichtbar“): chemisch, elektrisch, Wärme !
Mechanische Arbeit, kinetische und potentielle Energie
Definition:
Beispiel:
An einem Objekt geleistete Arbeit ist das Produkt aus
Objektverschiebung und Kraftkomponente in
Verschiebungsrichtung.
gleichmäßige Beschleunigung mit F ( t ) = F ( r ( t ) ) = const.
W[ r1 , r2 ] = Fx ⋅ ( x 2 − x1 ) = F cos ( α ) ⋅ r2 − r1 = F ⋅ ∆ r
Beachte:
1.) <0, falls 90° < α < 270° !
40
2.) Falls längs Bahn F , α nicht konstant ist, muss
portionsweise über infinitesimale Verschiebungen summiert
werden:
r2
W[ r1 , r2 ] = ∫ F ( r ) i dr
Skalarprodukt
„Kurvenintegral“ oder „Pfadintegral“
r1
[ W ] = F ⋅ [ ∆ r ] = Nm = J
A
s.u.
"Joule"
für Beschleunigung aus Ruhe heraus ( t 0 = 0; x 0 = 0 ) :
v(t) = a ⋅ t =
Fx
m
⋅ t ⇒ t ( v) = ⋅ v
m
Fx
und
x=
1 2 1 Fx m 2 2 1 1
at =
⋅ 2 ⋅ v = ⋅ mv 2 ,
2
2 m Fx
Fx 2
also
W[0,x ] = Fx ⋅ x = Fx ⋅ ∆x = F ⋅ ∆ r =
1
mv 2
2
zu jeder Zeit!
am Objekt geleistete Arbeit steckt in kinetischer Energie
K=
1
mv 2
2
(für v 0 ≠ 0 in Zunahme ∆K !)
B
Verschiebung in einem Kraftfeld F ( r )
1.) von außen (von mir) gegen Feldkraft F ( r ) geleistete Arbeit
r
W[ r0 ,r ] = − ∫ F ( r′ )idr ′
r0
41
Arbeit meistens (außer in „Wirbelfeldern“) unabhängig vom
Verschiebungsweg (z.B. Gravitation, Elektrostatik, Federkräfte). Dann ist
W[ r0 ,r ] = U r0 ( r )
die potentielle Energie des Objektes am Ort r mit Bezugspunkt r0 .
gegen Feldkraft geleistete Arbeit steckt in (Änderung) potentieller
Energie
Beachte:
1.)
W[ r ,r0 ] = − W[ r0 ,r ]
2.)
W[ r0 ,r1 ] + W[ r1 ,r2 ] = W[ r0 , r2 ] , also W[ r1 ,r2 ] = W[ r0 ,r2 ] − W[ r0 ,r1 ]
⇒
W[ r1 ,r2 ] = U r0 ( r2 ) − U r0 ( r1 ) = ∆U
unabhängig von gewähltem Bezugspunkt für U:
Arbeit gegen/durch Feldkraft = Erhöhung/Reduktion der potentiellen Energie
Physikalisch nur Differenzen ∆U relevant; Absolutwerte von U vom
(beliebig wählbaren) Bezugspunkt r0 abhängig !
Beispiel:
Masse m im Gravitationsfeld der Erde
Fγ ( r ) = −γ ⋅ M Erde ⋅
1
m ⋅ ez
z2
r
r
r0
r0
W[ r0 ,r ] = − ∫ Fγ ( r′ ) ⋅ dr′ = + ∫ γ ⋅ M Erde ⋅ m ⋅
1
⋅ dz
z2
γ ⋅ M Erde ⋅ m γ ⋅ M Erde ⋅ m
 1
= γ ⋅ M Erde ⋅ m ⋅  −  = −
+
r
r0
 z  r0
r
= U r0 ( r )
Besonders einfach für r0 → ∞ :
U ∞ ( r ) = −m ⋅
γ ⋅ M Erde
r
42
Betrachte m nun als Probemasse. Dann charakterisiert
Φ r0 ( r ) =
1
⋅ Ur ( r )
m 0
nur noch das Gravitationsfeld und heißt
Gravitationspotential(feld).
Beachte:
• keine Änderung längs Wegen ⊥ Fγ ( r )
bilden Äquipotentialflächen
− Fγ ( r )
•
stärkster Anstieg
•
im erdnahen Gravitationsfeld U ∞ = − m ⋅
γ ⋅ M Erde
, und mit linearer
R+h
Entwicklung (vgl. S. 28)
γ ⋅ M Erde
1
 h
⋅R ⋅
≈ −m ⋅ g ⋅ R 1 −  = −m ⋅ g ⋅ R + m ⋅ g ⋅ h
2
h
R
 R
1+
g
R
mit Höhenprofil h ( ϑ, ϕ ) über dem Meeresspiegel, so lange h ( ϑ, ϕ ) << R .
= −m ⋅
( ϑ, ϕ Polar- und Azimuthwinkel in Kugelkoordinaten, entspr. Breiten- und
Längengrad)
Mit Bezugspunkt in Meereshöhe, also bei r=R, auch direkt auswertbar mit
konstanter Gravitationskraft:
h
h
0
0
U R ( R + h ) = − ∫ − Fγ ,z ( z ) dz ≈ ∫ m ⋅ g ⋅ dz = m ⋅ g ⋅ h
F ( r ) aus U r0 ( r ) zurück gewinnbar:
F ( r ) = F ( x, y, z ) = −
∂U r0
∂x
⋅ ex −
∂U r0
∂y
⋅ ey −
∂U r0
∂z
⋅ ez = −
grad
U r0 = −∇U r0
"Gradient von U"
Beachte:
• hängt nicht von Bezugspunkt r0 ab
dU
• eindimensional: F ( z ) = −
, z.B. Kraftfeld einer Federauslenkung
dz
•
2.)
gleicher Zusammenhang G ( r ) ↔ Φ r0 ( r )
vom Kraftfeld geleistete Arbeit am Objekt
r
W[ r0 , r ] = + ∫ F ( r ) ⋅ dr = − U r0 ( r )
r0
führt ohne äußere Gegenkraft zu Beschleunigung mit
∆K = W[ r0 ,r ] , s.o.
Energieerhaltungssatz beim „freien Fall“ von r0 nach r
∆K = − U r0 ( r ) oder auch
∆K = − ( U ( r ) − U ( r0 ) ) = −∆U , wieder bezugspunktunabhängig !
43
Der Energieerhaltungssatz (der Mechanik)
Für von außen am System geleistete Arbeit W
(ohne Wärmebilanz = mikroskopische Energie = „innere Energie“, siehe später) gilt:
W = ∆U + ∆K
oder, für W = 0 :
U + K = E gesamt = const.
Ohne „äußere Arbeit“ ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie zeitlich
konstant !
2.7.
Leistung
•
•
Arbeit
=
Energieumsatz (Energieumwandlung)
Leistung P =
Energieumsatzrate =
Energieumsatz / Zeit
beschreibt Schnelligkeit der Arbeitsverrichtung.
P ( t ) = lim
∆t → 0
P(t) =
W[ t,t +∆t ]
∆t
=
dW
und wegen Energieerhaltungssatz
dt
dE ( t ) ɺ
= E ( t ) , wobei E die zu definierende Energieform ist. [ E ] = J = W
dt
s
Beispiel 1:
gleichmäßige Beschleunigung von PKW mit m = 103 kg von v = 0 auf
km
m
v = 72
= 20 in 10s auf horizontaler Ebene, also mit
h
s
−1
m⋅s
m
= 2, 0 2 .
a = 20
10s
s
Energieumwandlung:
Chemische Energie des Treibstoffs
Wärme + kinet. Energie K
mechanische Leistung des Motors
ɺ = d  1 ⋅ m ⋅ v 2  = 1 ⋅ m ⋅ [ a ⋅ t ]2 = 1 ⋅ m ⋅ a 2 ⋅ 2t = m ⋅ a 2 ⋅ t
P(t) = K


dt  2
2
 2
anfangs 0, maximal am Ende !
m2
kgm 2
4
P (10s ) = 103 kg ⋅ 4, 0 4 ⋅10s = 40 ⋅103 3 = 40kW ≈ 40 ⋅ PS = 53PS
s
s
3
Verallgemeinerung: Auch für nicht-gleichmäßige Beschleunigung, also durch Kraft
F ( t ) ⋅ ≠ k o nst. bewirkt, ist
Beachte:
ɺ ( t ) = d  1 ⋅ m ⋅ v ( t )2  = 1 ⋅ m ⋅ 2 ⋅ v ( t ) ⋅ vɺ ( t ) = m ⋅ a ( t ) ⋅ v ( t ) = F ( t ) ⋅ v ( t )
K


dt  2
 2
Das gilt, wenn konsequent vektoriell geschrieben, in gleicher Form für 3dimensionale Bewegungen:
44


ɺ (t) = d  1 m v(t) i v(t)
K
Skalar −

dt  2
produkt


=
Pr oduktregel
Differentiation
(
)
1
m vɺ ( t ) ⋅ v ( t ) + v ( t ) ⋅ vɺ ( t ) = m ⋅ a ( t ) ⋅ v ( t ) = F ( t ) ⋅ v ( t )
2
Also allgemein für Beschleunigungsleistung
P ( t ) = F ( t ) ⋅ v ( t ) Beachte: =0 für
Kurvenfahrt mit v(t)=konstant, weil dafür stets F = Fr ~ a r ⊥ v
Beispiel 2:
Hubarbeit
Mensch (80 kg) trägt 60 Säcke a 50 kg in 1h 4m hoch ( g = 10
P=
∆U
=
∆t
m
)
s2
m
⋅ 4m
120000
s2
=
W = 33, 3W
3600s
3600
60 ⋅ 50kg ⋅10
Bedenke:
• helle Glühbirne 100W !
• Mensch selber: ∆U = 0 , aber da Energieumsatz bergab so nicht
genutzt wird ist aufzubringende mittlere Leistung sogar um
Faktor (80 + 50) / 50 = 2,6 höher !
Energieumwandlung hier:
chemische Energie (ATP
ADP)
Beispiel 3:
Wärme + potentielle Energie U
Kernkraftwerk
Energieumwandlung:
Kern(bindungs)energie E N
Wärme + elektrische Energie E el
typisch:
∆E el
Pel =
≈ 1, 0 GW = 109 W "elektrisch "
∆t
∆E N
Pth =
≈ 3, 0 GW = 3 ⋅109 W "thermisch "
∆t
(vor der Turbine). Pel/Pth. Ist der „Wirkungsgrad“ des Kraftwerks.
2.8.
Die Stoßgesetze
Betrachte zentralen Stoß, ∆U = 0
v1 = v1 ⋅ ex
v1′ = v1′ ⋅ ex
v 2 = v 2 ⋅ ex
v′2 = v′2 ⋅ ex
vor dem Stoß = WW.
nach dem Stoß
und nur innere Kräfte ex ; ≠ 0 nur für begrenzte Zeit.
45
A
Betrachte Stoß im Schwerpunktsystem (S.P.-System). Darin gilt (mit gleicher
Bezeichnung der Geschwindigkeiten):
m1 ⋅ v1 + m 2 ⋅ v 2 = p ges = 0 .
Immer gilt Impulserhaltungssatz, also auch
m1 ⋅ v1′ + m 2 ⋅ v′2 = p′ges = 0 (´ hier „nach Stoß“, nicht d oder d !)
dx
dt
Fall 1:
total inelastischer Stoß, Objekte nach Stoß vereinigt:
v1′ = v′2 =: v′
⇒ p′ges = v′ ( m1 + m 2 ) = 0 ⇒ v′ = 0
Fall 2:
elastischer Stoß
zusätzlich ∆K = 0 , kinetische Energie erhalten
Zwei Bedingungen für zwei Unbekannte v1′ , v′2
⇒ Lösung durch Raten:
v1′ = − v1 , v′2 = − v 2
Beweis: Impulssatz und Energiesatz sind beide erfüllt:
p′ges = m1v1′ + m 2 v′2 = − ( m1v1 + m 2 v 2 ) = − pges , weil p ges = 0 sowieso
K ′ges =
1
1
1
1
2
2
m1v1′2 + m 2 v′2 2 = m1 ( − v1 ) + m 2 ( − v 2 ) = K ges
2
2
2
2
FAZIT: im S.P.-System gilt also für die beiden Extremformen des zentralen Stoßes:
total inelastisch
elastisch:
(gemeinsame) Geschwindigkeit nach Stoß = 0
beide Geschwindigkeiten drehen ihr Vorzeichen um.
B
Im allgemeinen Bezugssystem:
Mit dem Ergebenis aus A ganz einfach:
total inelastisch:
addiere zur Lösung v′ = 0 einfach die Geschwindigkeit
m v + m2 v2
vs = 1 1
des Schwerpunktsystemsselbst dazu:
m1 + m 2
m1v1 + m 2 v 2
nach dem Stoß ist die (durch den
m1 + m 2
Stoß unveränderte) Schwerpunktgeschwindigkeit vs der beiden Körper (vgl. S.34)
Die gemeinsame Geschwindigkeit v′ =
46
elastisch:
v1′ = −
( v1 − vs )
+ vs = 2 ⋅ vs − v1 (*)
1.) WechselinsS.P.S.
2.) Vorzeichenumkehr
=
3.) Wechsel zurück aus S.P.S.
2m1v1 + 2m 2 v 2 − ( m1 + m 2 ) v1
=
( m1 − m 2 ) v1 + 2m 2 v 2
m1 + m 2
m − m2
m2
= 1
v1 + 2
v 2 (**)
m1 + m 2
m1 + m 2
v′2 analog mit 1 ↔ 2 vertauscht
m1 + m 2
Beachte speziell:
• m1 = m 2 : v1 ' = v 2 ; v 2 ' = v1 , d.h. Geschwindigkeiten werden ‚ausgetauscht’.
Damit verbunden ist ein maximaler Energieübertrag
“massmatching“ bei Ionenstößen !
• Stoß gegen schwere Masse ( m 2 ≫ m1 ) . Dafür ist vS = v 2 und deswegen
⇒ v1′ = − v1 + 2v 2 = − ( v1 − 2v 2 )
(**)
Fall 1: langsam zurück gleitende schwere Masse, 0 < v 2 < v1 / 2 :
v1 ' = v1 − 2v2 , Geschwindigkeit nach Stoß um doppelte
Geschwindigkeit der schweren Masse geringer!
Beachte: gerade =0 für v 2 = v1 / 2
Fall 2: entgegen kommende schwere Masse, v 2 < 0 :
v1 ' = v1 + 2v 2 , Geschwindigkeit nach Stoß um doppelte
Geschwindigkeit der schweren Masse höher!
Beides später wichtig in Wärmelehre !
Anwendung: Versuch „Bällestapel“
Abfolge dreier elastischer zentraler Stöße !
47
v′A = − v klar für Stoß von A
Für Stoß von B: nähert sich mit v und stößt gegen mit -v entgegenkommende
schwere Masse!
⇒ v′B = − v − 2v = −3v
nach (**)
Für Stoß von C: nähert sich mit v und stößt gegen mit -3v entgegenkommende
schwere Masse!
⇒ v′C = − v − 2 ⋅ 3v = −7v
; allgemein für n-ten Ball: = − ( 2 n − 1) v
1.)
2.)
3.)
2.9.
Drehimpuls und Drehmoment
Der Drehimpuls
Objekte i = 1...N in ruhendem K.S. (Laborsystem LS) mit mi , vi
Definition:
ℓi = ri × pi = mi ( ri × vi )
Drehimpuls von i im LS.
L = ∑ ℓi
i
Gesamtdrehimpuls im LS.
Drücke ri , vi durch die entsprechenden Vektoren ri S , vsi im Schwerpunktsystem
(SPS) und die Schwerpunktpsotion S ( t ) und -geschwindigkeit vS
∑m ⋅v
=
∑m
i
vs
i
i
i
=
1
M gesamt
⋅ Pgesamt
aus:
vi = vis + vS
i
⇒ L = ∑ mi ⋅ ri × ( vsi + vS ) ,
wobei ri ( t ) = riS ( t ) + S ( t ) = riS ( t ) + S0 + vS t
i
ist wieder der Gesamtdrehimpuls i, LS
∑i mi


 ∑ mi ⋅ ri  × vS ⋅ m
 i

∑ i
⇒ L = ∑ mi ⋅ ri × vis +
i
Ls
i
∑ mi ⋅ ri
i
M gesamt
× VS ⋅M gesamt =S× Pgesamt =:LS.P. Drehimpuls des Schwerpunkts
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(
)
LS = ∑ m i ri S + S × viS = ∑ mi ri S × vSi + ∑ miS × vSi =
i
i
∑r
S
i
i
× pSi
+ S × ∑ m i vSi
i
Gesamtdrehimipuls im SPS
i
S
Pgesamt
=0
Folglich kann Gesamtdrehimpuls eines Systems stets aufgeteilt werden:
L = ∑ ris × pis
+
i
S × Pgesamt
LS.P. =S×M gesamt ⋅VS. P.
s
L
Drehimpuls der
Objekte im S.P.S
„innerer
Drehimpuls“
Drehimpuls des S.P. (= aller Massen im S.P vereint )
im Laborsystem
„äußerer Drehimpuls“
Beachte: Eine analoge Aufteilung ergibt sich für die kinetische Energie K eines Systems:
2K = ∑ mi vi i vi = ∑ mi ( vsi + vS )i( vsi + vS ) = ∑ mi ( vsi i vsi + 2vsi i vS + vS i vS )
i
i
i


= ∑ mi vis i vis + 2 ⋅ vS i∑ mi vsi +  ∑ mi  vS i vS
i
i
 i

s
=0
Pgesamt
2K s
M gesamt ⋅vS2 = 2KS.P.
Daraus folgt offensichtlich, dass das SPS u.a. das Bezugssystem ist, indem die
kinetische Gesamtenergie der Objekte minimal ist
Das Drehmoment
Wodurch ändert sich ℓi ?
(
) (
d
d
ℓi = ( ri × pi ) = rɺi × pi + ri × pɺ i
dt
dt
)
Produktregel
Fi = m ⋅ a i
(Beweis: komponentenweise und normale Produktregel)
= vi × pi + ri × Fi
= 0, da vi pi
Also:
ɺ
ℓi = ri × Fi ;
[M] = N ⋅ m
Mi
M i ist das Drehmoment auf das Objekt i (wirkend).
Folglich:
ɺ
M i = li
Drehmoment bewirkt eine Änderung des Drehimpulses.
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Analogie: F = pɺ
Grundgleichung der Mechanik: Kraft bewirkt Änderung des Impulses!


Damit auch  ∑  :
 i 
ɺ ɺ
M gesamt = ∑ Mi = ∑ li = L
i
i
Folglich kann der Gesamtdrehimpuls L nur dann geändert werden, wenn M gesamt ≠ 0 ,
also wenn die auf die Objekte einzeln wirkenden Drehmomente M i sich nicht zu
0 addieren !
Betrachte:
Abgeschlossenes System, nur innere Kräfte
z
m1
v1
Insgesamt
N ( N − 1) Kräfte
S x vS
y
x
Betrachte stellvertretend das Kräftepaar F1,2 = − F ⋅ e r1,2 und F2,1 = + F ⋅ e r1,2
und dazu
M 2 = r2 × F1,2 = r2 × e r2 ,1 ⋅ F = − r2 × e r1,2 ⋅ F
M1 = r1 × F2,1 = − r1 × e r2 ,1 ⋅ F = + r1 × e r1,2 ⋅ F
⇒ M1 + M 2 = ( r1 − r2 ) × e r1,2 ⋅ F = 0
(anti − )parallel
Der Drehimpuls-Erhaltungssatz
In einem abgeschlossenem System (keine äußeren Kräfte) ist die Summe aller
Drehmomente = 0 . Dann gilt
Der Gesamtdrehimpuls ist zeitlich konstant.
Beachte: Mit allen drei Komponenten !
Versuch: „Drehschemel“
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