Parabeln quadratische Gleichungen Extremwerte

Normalparabel
13
1.
12
2.0
2.1
11
3.0
3.1
10
y
9
4.0
4.1
8
5.1
5.2
7
6
6.1
6.2
5
4
3
2
1
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
-2
Aufgabe:
a) Zeichne eine Normalparabel p: y= x² - erstelle hierzu
eine Wertetabelle für x [-3;3] mit x=0,5.
b) Zeichne eine Normalparabel mit einer Parabelschablone.
6
7
8
9
Öffnungsfaktor a --> p: y = a x²
8 y
7
6
5
p: y = a x²
4
p: y = 1x²
3
2
1
0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Anmerkung:
Eine Parabel mit Öffnungsfaktor a = ____ nennt man ________________
Nur hierfür kann die Parabelschablone verwendet werden!
Merke:
Aussehen der Parabeln mit Öffnungsfaktor a
im Vergleich zur Normalparabel p: y = x²
a < -1
-1 = a
-1 < a < +1
+1 = a
+1 < a
8
!∀∀
#∃∃#%
#∃∃
%&
#∃
∋∋
()
#∃∗
#
∃#+(%∃∃
#
)##,∗#∗−∗
#
∃#∃∃
.∀%
∃∃∀
%&
#
#
∃#∋∋
Parabelgleichung: die Scheitelform
6
5
4
3
p1
S1
1.
2
1.
1
p2
p: y = a x²
0
-4
-3
-2
-1
0
p1
p2
-1
-2
-3
a=1
p3
-4
1
2
S2 3
4
5
Verschiebe S1 von p 1 entlang de y-Ache.
Wie lautet die neue Parabelgleichung?
6
7
_______________
Verschiebe S2 von p 2 entlang der x-Achse.
Wie lautet die neue Parabelgleichung?
(Tipp: Wie muss mit der x-Koord. gerechnet werden
damit die gleiche y-Koord. wie bei p herauskommt?)
_______________
__________________________________________________
|
|
|
|
___________________________________________________
Aufgabe:
Stell die zugehörige Parabelgleichungen auf und zeichne die Parabeln in ein Koordinatensystem!!
a) Ein nach unten geöffnete Normalparabel verläuft durch den Scheitel S(-1|2,5).
b) a = 0,5 S(2|3)
c) a = -2 S(-3|-1)
Gib den Scheitel an und ob die Parabel nach unten oder oben geöffnet ist
d) p: y = -0,5(x-5)² + 9
e) p: y = (x+8)² - 10
f) p: y = -2(x-6)²
g) p: y = x² + 9
h) p: y = -x²
Der zugehörige Scheitel S hat die Koordinaten S(2|1)
!
∀#∃%&∋()
∗+∀
∗+∀
∗+∀
!∀
,−.
∗
%&∋#)
/0
∗+∀1#212
#
#∃
∀%%
3
0
!
!
∀45#650!0%#∋()7%(∋8)
0
9−
0
!∀
0
.
∗
5
0!%#∋:4)
%4∋()
!∀#∃%
(Lösung: p: y = x² - 4x -1)
(Lösung p : y = 0,25x² − 0,5x + 5,25)
(Lösung: y = -0, 25x² + 3x - 2)
Scheitelberechnung
Berechne den Scheitel
der Parabel:
Scheitelpunkts-Formel:
Berechne den Scheitel mit der Formel
Berechne jeweils den Scheitel der folgenden Parabeln:
p1: y= -4x² + 2x -7
p2: y = -x² + x -1
p3: y = x² + 6
p4: y = 7x² - 4x
Scheitelberechnung zur Extremwertberechung
Der Scheitel ist der
h____________ oder n_____________ Punkt einer Parabel.
Er ist also das
M____________ oder M_____________ = E _______________.
--> Man kann die Scheitelpunktformel auch zur
Extremwert-Berechnung anwenden.
Aufgabe:
Bestimme rechnerisch mit der Scheitelpunktsformel das
minimale Volumen Vmin des Volumens
V(x) = (4x² + 2x - 10)cm³
und den zugehörigen Wert für x.
!
∀#∃∃
%&∋
()
∗+
(,
−
./01
./01
./01
./
2(3
./01
(4(3,(
56
78
79∃∃
∋
:
79
((;
<7
/9
6
==
79∃∃
3>
?
?;
?
/9∋
ax2
2x2
--> a=
?≅
+
-
bx
6x
b=
+
-
c = 0
34 = 0
c=
!∀#∃% !&!∋%∃!&!()#((∋ ∀∗+
,−./! !&0!(∀#∃%)∀∗!(!(+
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
y
a) Wieviele gemeinsame Punkte besitzt die Parabel
mit der y-Achse?
14
b) Wieviele gemeinsame Punkte kann die Parabel mit
der x-Achse haben?
12
Antwort
10
8
6
4
2
p: y = (0.5)x² + (3)x + (1)
Q1
-12
-10
-8
-6
0
-4
-2
T
Q2
0
2
-2
p1
Aufgabe:
a) Gib den Schnittpunkt T der Parabel p mit der y-Achse an.
b) Berechne die Schnittpunkte Q1 und Q2 der Parabel p mit der x-Achse.
4
Parabel - Gerade
6
y
a = 0.5
g2
b = 0.5
5
C(-3.4 | 5.08)
c=1
4
D(2 | 4)
3
g1
p:y=0.5x² +0.5x + 1
2
g1: y = -0.2x + 4.4
B(0.7 | 1.6)
g3
g2: y = 1.2x + 0.76
1
g3: y = -0.5x + -0.8
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
Aufgabe:
a) Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte von g1 mit p
b) Zeige, dass g2 Tangente an p ist.
Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Berührpunktes B.
c) Zeige rechnerisch, dass g3 an p vorbeiläuft (= Passante ist)
9
10
11
12
Parabel - Parabel
y
Wieviele gemeinsame Punkte können zwei
Parabeln miteinander haben?
14
A.1
12
10
p: y = ax² + bx + c
p1
p1: y = (-0.4)x² + (-2.5)x + (6)
p2: y = (0.5)x² + (3.5)x + (7.2)
Bestimme die Koordinaten der
Schnittpunkte T1 und T2
8
6
T2
T1
Ergebnis: T (-6.46, 5.46)
1
T2(-0.21, 6.5)
4
2
p2
0
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
!!!!!!!!!!!!!WICHTIG!!!!!!!!!!!!
Standardaufgaben zu
quadratischen Gleichungen - Parabeln
2007a
(Lösung: x = 2,4)
2007b
1.
1.1.
1.
(Lösung: x = 3,75; V = 625 cm²)
(Lösung: x = 8,26)
2009n
1.
Volumen ABCS = 160 cm³)
(Lösung: x = 2,64)
2008n
1.
(Lösung: minimale Streckenlänge = 4,37 cm; x = 7,35 ]
2005a
1.
(Lösung: es gibt kein Dreieck)
2004c
1.
[MnCn] ist die Höhe im Dreieck, [AnBn] ist die Basis.
(Lösung: größtmöglicher Flächeninhalt = 10,13 FE)
1.die
x-
(Lösung: x = 3,97 oder x = 9,03)
2004b
1.
1.
(Lösung: kleinster Flächeninhalt = 8 FE)
(Lösung: x = -1,08 oder x = -6,92)
2007n
1.
1.
1.Volumen ABCS = 180 cm³
(Lösung: x = 9,79)
2007c
1.
1.
1.
Volumen ABCDS = 52 cm³
(Lösung: x = 1,46)
2004a1
1.
(Lösung: minimaler Flächeninhalt = 16,5 FE)
2006c
1.
(Lösung: x = 3,19)
2006a
1.
1.
1.
Volumen ABCDS = 130 cm³
(Lösung: Determinante ist neg. --> keine Lösung)
2004n3
D 3.2 ... Pyramide Q1BDP1 mit x = 4 ...
1.
1.
1.
Volumen ABCDS = 90 cm³
1.
2004a3
1.
(Lösung: 16,89%)
A 3.0 Höhe der Pyramide: h = 10 cm
1.
1.
Volumen ABCS = 180cm³
1.
(Lösung: x = 3,07)
2004n1
(Lösung: x = -0,57 oder x = 5,24)
(Lösung: kleinstmögliche Länge = 1,67 LE)
!!
!
!∀
#∃%&&∋∀( !!)∗∗+,&∃−
#.−/∋0111
! 2 /
∗
0∃11
3/4∋
∋
%
!!∀∀
#!
∋∋%
5∗∗+6∗
30∗∗+7∗
!&33
&307!
!∃
7∗3
!∃
6∗3)
3/4∋
∋
%))388
∃∀
∀3!9
38:;9307
∋
!
∋
3!<= )
!37∀3!9 3
&7)
>∀
&7
∋
%
!20∃)∀
#∃
%
3∋
%
!37∀3!9 !
0
.
%
?0))
&
04≅∃1
!&9Α:Α%
!
3!&∋)
Typische
(einfache) Abschlussprüfungsaufgabe
1.
Haupttermin 2007
Aufgabe P 2
P 2.0 Eine nach unten geöffnete Normalparabel p verläuft durch den Ursprung. Ihre
I = IR × IR .
Symmetrieachse s hat die Gleichung x = 1,5 ; G
P 2.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitels S der Parabel p und zeigen Sie anschließend, dass die Gleichung y = − x 2 + 3x die Funktionsgleichung von p ist.
3P
P 2.2 Zeichnen Sie die Parabel p im Bereich für x ∈ [−0,5; 3,5] in das Koordinatensystem ein.
1P
y
1
O
1.
1.
1
x
Mathematik II
Haupttermin
Aufgabe P 2
P 2.3 Die Parabel p schneidet die x-Achse in den Punkten A(0 | 0) und B(3 | 0) . Diese
Punkte legen zusammen mit Punkten Cn, die auf dem Parabelbogen zwischen A
und B liegen, Dreiecke ABCn fest.
Im Dreieck ABC1 hat der Winkel BAC1 das Maß 42°.
Zeichnen Sie das Dreieck ABC1 in die Zeichnung zu 2.2 ein und berechnen Sie
sodann die Koordinaten von C1.
3P
P 2.4 Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Dreieck ABC0 mit C0 (1,5 | 2, 25) gleichseitig
ist.
2P
1.
Abschlussprüfung 2007
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Haupttermin
Aufgaben P 1 – 3
Lösungsmuster und Bewertung
P1
Die geschmolzene Eiscreme passt in den Eisbecher, wenn gilt: VEiscreme < VEisbecher
3
4
VEiscreme = 0, 42 ⋅ ⋅ CM ⋅ π
3
4
VEiscreme = 112, 6 cm3
VEiscreme = 0, 42 ⋅ ⋅ 4, 03 ⋅ π cm3
3
2
1
VEisbecher = ⋅ CN ⋅ π ⋅ AN
3
CM
4, 0
tan 20° =
AC =
cm
AC = 11, 0 cm
tan 20°
AC
AN
cos 20° =
AN = 11, 0 ⋅ cos 20° cm
AN = 10,3 cm
AC
CN
sin 20° =
CN = 11, 0 ⋅ sin 20° cm
CN = 3,8 cm
AC
1
VEisbecher = ⋅ 3,82 ⋅ π ⋅10,3 cm3
VEisbecher = 155,8 cm3
3
Die geschmolzene Eiscreme passt in den Eisbecher, da 112, 6 cm3 < 155,8 cm3 .
5
P 2.1
p : y = −(x − 1,5) 2 + yS
O(0 | 0) ∈ p :
⇔
G
I = IR × IR ; yS ∈ IR
0 = −(0 − 1,5) + yS
yS = 2, 25
yS ∈ IR
IL = {2, 25}
2
S(1,5 | 2, 25)
p : y = −(x − 1,5) + 2, 25
p : y = −(x 2 − 3x + 2, 25) + 2, 25
p : y = − x 2 + 3x
2
3
P 2.2
y
S
C1
1
B
A
O
1
x
1
1.
P 2.3 Einzeichnen des Dreiecks ABC1
AC1 : y = tan 42° ⋅ x
I = IR × IR
G
y = 0,9x
I = IR × IR
G
∧ y = − x 2 + 3x
…
x = 2,1
∧ y = 1,9
⇔
IL = {(2,1|1,9)}
C1 (2,1|1,9)
3
P 2.4 Das Dreieck ABC0 ist gleichseitig, wenn gilt: HBAC0 = 60°
tan HBAC0 = m AC0
2, 25
HBAC0 = 56,3°
1,5
Das Dreieck ABC0 ist nicht gleichseitig, da HBAC0 = 56,3°
tan HBAC0 =
oder
Das Dreieck ABC0 ist gleichseitig, wenn gilt: AB = AC0
AB = 3 LE
AC0 = 2, 7 LE
AC0 = 1,52 + 2, 252 LE
Das Dreieck ABC0 ist nicht gleichseitig, da AC0 = 2, 7 LE
2
=
−
°
=
⋅
=
°+
°
=
°
°
=
°−
°
⋅
=
=
°−
°
°
−
°+
°
=
=
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Abschlussprüfung 2010
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Aufgabe B 1
Nachtermin
I = IR × IR
B 1.0 Die Parabel p hat eine Gleichung der Form y = 0, 25x 2 + bx + c mit G
und b, c ∈ IR . Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel p mit der x-Achse
sind 2 und 6. Die Gerade g hat die Gleichung y = 0, 25x − 4 mit G
I = IR × IR .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung y = 0, 25x 2 − 2x + 3 hat.
Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g für x ∈ [−2; 10 ] in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; −3 < x < 11 ; −5 < y < 9 .
5P
B 1.2 Punkte Bn (x | 0, 25x 2 − 2x + 3) auf der Parabel p und Punkte C n (x | 0, 25x − 4) auf
der Geraden g haben dieselbe Abszisse x und sind zusammen mit Punkten An und
Dn die Eckpunkte von Parallelogrammen AnBnCnDn. Die x-Koordinate der Punkte
Dn, die ebenfalls auf der Geraden g liegen, ist um 3 größer als die Abszisse x der
Punkte Cn.
Zeichnen Sie das Parallelogramm A1B1C1D1 für x = −1 und das Parallelogramm
A2B2C2D2 für x = 6 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
2P
B 1.3 Unter den Parallelogrammen AnBnCnDn hat das Parallelogramm A0B0C0D0 den
minimalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms A0B0C0D0.
[Teilergebnis: Bn Cn (x) = ( 0, 25x 2 − 2, 25x + 7) LE ]
4P
B 1.4 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Winkel DnCnBn stets das Maß 75,96° besitzen.
2P
B 1.5 Punkte En, die wie die Punkte Dn auf der Geraden g liegen, sind zusammen mit den
Punkten An und Dn die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken AnDnEn mit den
Hypotenusen [AnDn].
Zeichnen Sie das Dreieck A1D1E1 für x = −1 und das Dreieck A2D2E2 für x = 6 in
das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1P
B 1.6 Für die Dreiecke A3D3E3 und A4D4E4 gilt: D3 E 3 = D 4 E 4 = 1, 00 LE .
Berechnen Sie die zugehörigen Werte für x.
3P
Bitte wenden!
Abschlussprüfung 2010
Lösungsmuster
und Bewertung
1
an den Realschulen in Bayern
Minuten
Mathematik II
Aufgabe B 1
Nachtermin
FUNKTIONEN
L4
K5
B 1.1 Die beiden Schnittpunkte der Parabel p mit der x-Achse haben die y-Koordinate 0:
0 = 0, 25 × 2 2 + b × 2 c
Û
b, c ∈ IR
0 = 0, 25 × 6 2 + b × 6 c
Ù
b = −2
IL(b | c) = (−2 | 3
c3
Ù
p: y = 0, 25x 2 − 2x + 3
G
I = IR × IR
L4
K4
y
1
B1
1
2
B2
1
–
2
2
2
–
1
1
1
g
5
B 1.2 Einzeichnen der Parallelogramme A1B1C1D1 und A2B2C2D2
2
L3
K4
B 1.3 Bn C n (x) = [0, 25x 2 − 2x + 3 − (0, 25x − 4)] LE
L4
K2
K5
x ∈ IR
Bn Cn (x) = ( 0, 25x 2 − 2, 25x + 7) LE
A Parallelog ramme An Bn Cn Dn
=
Bn C n (3 LE)
A Parallelog ramme An Bn Cn Dn (x) = ( 0, 25x 2 − 2, 25x + 7) 3 FE
x ∈ IR
A Parallelog ramme An Bn Cn Dn (x) = ( 0, 75x 2 − 6, 75x + 21) FE
Der minimale Flächeninhalt beträgt 5,81 FE (für x = 4,5 ).
A Parallelog ramm A0B0C0D0 = 5,81 FE
4
B 1.4 tan j = m g
L2
K2
K5
j ∈[0°;180°[ \{90°}
tan j = 0, 25
j = 14, 04°
∢ D n C n Bn = 90° - 14, 04°
∢ D n C n Bn = 75,96°
2
B 1.5 Einzeichnen der Dreiecke A1D1E1 und A2D2E2
1
DE
B 1.6 cos ∢ E n D n A n = n n
A n Dn
A n Dn
=
∢ E n D n A n = ∢ D n C n Bn
0, 25x 2 − 2, 25x + 7 =
1, 00
cos 75,96°
L3
K4
L4
K2
K5
Dn E n
cos ∢ E n D n A n
A n D n = Bn C n
x ∈ IR
...
x = 1,54
Ú
x = 7, 46
IL = {1,54; 7, 46}
3
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Prüfungsdauer:
150 Minuten
A
hu
prüfung 2010
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Aufgabe B 1
aupttermin
B 1.0 Die Parabel p hat den Scheitel S (2 |
und verläuft durch den Punkt C (4 | 7) . Sie
2
I = IR × IR und a ∈ IR \{0} ;
hat eine Gleichung der Form y = ax + bx + c mit G
b, c ∈ IR .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel p die Gleichung y = −0, 25x 2 + x + 7
hat.
Zeichnen Sie die Parabel p für x ∈ [−2; 8] in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; −3 < x < 9 ; −2 < y < 9 .
4P
B 1.2 Punkte Bn (x | −0, 25x 2 + x + 7) auf der Parabel p sind für x > 4 zusammen mit dem
Punkt C und Punkten An die Eckpunkte von Dreiecken AnBnC mit A n Bn = 6 LE .
Die Punkte An und Bn haben dieselbe Ordinate y.
Zeichnen Sie das Dreieck A1B1C für x = 7 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
Begründen Sie sodann, dass das Dreieck A1B1C nicht gleichseitig ist.
4P
B 1.3 Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke AnBnC
in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn gilt:
A(x) = (0,75x 2 − 3x) FE .
2P
B 1.4 Der Flächeninhalt des Dreiecks A2B2C beträgt 12 FE.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B2.
3P
B 1.5 Im Dreieck A3B3C ist der Punkt F3 ∈ [A 3 B3 ] der Fußpunkt der Höhe [F3C]. Der
Winkel F3CB3 hat das Maß 32°.
Zeichnen Sie das Dreieck A3B3C in das Koordinatensystem zu 1.1 ein und
berechnen Sie sodann die x-Koordinate des Punktes B3.
4P
Bitte wenden!
A
sungsuster
und Beertung
1
hlu
prüfung 2010
an den Realschulen in Bayern
Minuten
Mathematik II
Aufgabe B 1
aupttermin
FUNKTIONEN
L4
K5
B 1.1 S (2 | ) ∈ p und C (4 | 7) ∈ p :
!
7 = a (4 − 2 2 +
a ∈ IR
a = −0, 25
IL = −0, 2
p: y = −0, 25 (x − 2 2 +
I = IR × IR
G
p2: y = −0, 25 (x 2 − 4x + 4 +
p2: y = −0, 25x 2 + x + 7
L4
K4
y
–
3
3
1
B3
B1
1
1
4
B 1.2 Einzeichnen des Dreiecks A1B1C
L3
K4
Wenn das Dreieck A1B1C gleichseitig wäre, dann wäre die Länge der Höhe
h c1 = 3 3 LE (da A1B1 = 6 LE ).
Im Dreieck A1B1C gilt jedoch:
B1 (7 | −0, 25 7 2 + 7 + 7)
Þ
L3
K#
K5
B1 (7 |1, 75)
h c1 " 5, 25 LE
Das Dreieck A1B1C ist somit nicht gleichseitig.
4
B 1.3 A =
L4
K2
K5
1
⋅ A n Bn ⋅ (y C − y Bn ) LE 
2
A(x) =
1
⋅ 6 ⋅ 7 − (−0, 25x 2 + x + 7)  FE
2
x > 4 ; x ∈ IR
A(x) = (0,75x 2 − 3x) FE
2
B 1.4
0, 75x 2 − 3x = 12
x > 4 ; x ∈ IR
L4
K5
...
⇔ (x = −2, 47
∨)
x = 6, 47
IL = 6, 4
B2 (6, 47 | 3, 00)
3
L3
K4
B 1.5 Einzeichnen des Dreiecks A3B3C
mCB3 = tan(1 0° − (90° − 32°))
mCB3 = −1, 60
CB3: y = −1, 60 ⋅ (x − 4) + 7
I = IR × IR
G
L4
K2
K5
CB3: y = −1, 6x + 13, 4
− 0, 25x 2 + x + 7 = −1, 6x + 13, 4
x > 4 ; x ∈ IR
...
⇔ (x = 4
∨)
x = 6, 4
IL = 6,
4
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
üfungsdauer:
150 Minuten
bschlussprüfung
Mathematik II
B 1.0 Die nach oben geöffnete
2009
an den Realschulen in Bayern
Nachtermin
Aufgabe B 1
ormalparabel p verläuft durch die Punkte P (−1| 4) und
(3 | −4) . Sie hat eine Gleichung der Form y = ax 2 + bx + c mit G
I = IR × IR und
1
a ∈ IR \{0} ; b, c ∈ IR . Die Gerade g hat die Gleichung y = x + 3 mit G
I = IR × IR .
5
B 1.1 Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel p.
Zeichnen Sie sodann die Parabel p und die Gerade g in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; −5 < x < 6 ; −6 < y < 9 .
[Ergebnis: p: y = x 2 − 4x − 1 ]
4P
B 1.2 Punkte Bn (x | x 2 − 4x − 1) auf der Parabel p und Punkte Cn auf der Geraden g haben
dieselbe Abszisse x. Sie sind für x ∈] − 0,8; 5[ zusammen mit Punkten An und Dn
die Eckpunkte von Parallelogrammen AnBnCnDn.
¾¾¾$
æ −4 %
Es gilt: Bn A n = ç & .
è 4'
Zeichnen Sie die Parallelogramme A1B1C1D1 für x = 0,5 und A2B2C2D2 für
x = 4,5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
2P
B 1.3 Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A1.
2P
B 1.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Parallelogramme AnBnCnDn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn.
berprüfen Sie sodann rechnerisch, ob es unter den Parallelogrammen AnBnCnDn
ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt 40 FE gibt.
[Ergebnis: A(x) = (− 4x 2 + 16,8x + 16) FE ]
4P
B 1.5 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Winkel CnBnAn stets das Maß 45° besitzen.
2P
B 1.6 Im Parallelogramm A3B3C3D3 gilt: ∢ B3A 3C3 = 30° .
Berechnen Sie die Länge der Seite [B3C3]. Runden Sie auf zwei Stellen nach
dem Komma.
3P
Abschlussprüfung
2009
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Nachtermin
Aufgabe B 1
Lösungsmuster und Bewertung
FUNKTIONEN
L4
K5
B 1.1 a = 1
P (−1| 4) ∈ p und
(3 | −4) ∈ p :
4 = (−1) 2 + b ( (−1) + c
)
,
b, c ∈ IR
− 4 = 32 + b ( 3 * c
b = −4
)
IL(b | c) = (−4 | −1
c = −1
p: y = x 2 − 4x − 1
G
I = IR × IR
L4
K4
y
.
1
.
.
g
1
1
1
B.
1
B1
4
-2-
B 1.2 Einzeichnen der Parallelogramme A1B1C1D1 und A2B2C2D2
2
B 1.3 B1 (0,5 | 0,52 − 4 / 0,5 0 1)
A1 (0,5 − 4 | −2, 75 + 4)
L3
K4
L4
K2
K5
B1 (0,5 | −2, 75)
A1 (−3,5 |1, 25)
2
L4
K2
K5
B 1.4 A 1 Bn C n / d(A n ; Bn C n )
1

A(x) =  x + 3 − (x 2 − 4x − 1)  ⋅ 4 FE
5

−0, < x < 5 ; x ∈ IR
L4
K1
K5
A(x) = (− 4x 2 + 16, x + 16) FE
− 4x 2 + 16, x + 16 = 40
−0, < x < 5 ; x ∈ IR
⇔ − 4x 2 + 16, x − 24 = 0
D<0
D<0
⇒ Unter den Parallelogrammen AnBnCnDn gibt es kein Parallelogramm
⇒ mit dem Flächeninhalt 40 FE.
4
B 1.5 tan ϕ = m A n Bn
m A n Bn =
ϕ ∈[0°;180°[ \{90°}
y Bn − y An
x Bn − x An
L4
K2
K5
m A n B n = −1
ϕ = 135°
Die Geraden BnCn verlaufen senkrecht zur x-Achse:
∢ C n Bn A n = 135° − 90°
∢ C n Bn A n = 45°
2
L2
K2
K5
B3C3
A 3 B3
B 1.6
=
sin ∢ B3A 3C3 sin ∢ A 3C3 B3
A3 B3 = (−4)2 + 42 LE
A 3B3 = 5, 66 LE
∢ A3C3 B3 = 180° − (45° + 30°)
∢ A 3C3 B3 = 105°
B3C3
5, 66 LE
=
sin 30° sin105°
B3C3 = 2,93 LE
3
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Absch u
rüfung
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
upttermin
2009
Aufgabe B 1
B 1.0 Die Parabel p1 mit der Gleichung y = x 2 − 8x + 14 hat den Scheitel S1 (4 | −2) . Die
Parabel p2 besitzt den Scheitel S2 (6 | 7) und verläuft durch den Punkt P (9 | 4, 75) .
Sie hat eine Gleichung der Form y = ax 2 + bx + c mit a ∈ IR \{0} ; b, c ∈ IR .
I = IR × IR .)
(G
B 1.1 Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel p2 in der Scheitelform und
bringen Sie die Gleichung in die Form y = ax 2 + bx + c mit a ∈ IR \{0} ; b, c ∈ IR .
Erstellen Sie sodann für die Parabel p2 eine Wertetabelle für x ∈ [0;10] mit Dx 4 1
und zeichnen Sie die Parabeln p1 und p2 in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; −2 < x < 11 ; −3 < y < 8 .
[Ergebnis: p2: y = −0, 25x 2 + 3x − 2 ]
5P
B 1.2 Punkte A n (x | x 2 − 8x + 14) auf der Parabel p1 und Punkte Bn (x | −0, 25x 2 + 3x − 2)
auf der Parabel p2 haben dieselbe Abszisse x. Sie sind zusammen mit Punkten Cn
die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken AnBnCn mit der Basis [AnBn],
wobei gilt: y An < y Bn . Die x-Koordinate der Punkte Cn ist um 4 kleiner als die Abszisse x der Punkte An.
Zeichnen Sie die Dreiecke A1B1C1 für x = 3 und A2B2C2 für x = 6,5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
2P
B 1.3 Ermitteln Sie durch Rechnung, für welche Belegungen von x es Dreiecke AnBnCn
gibt. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
2P
B 1.4 Unter den Dreiecken AnBnCn besitzt das Dreieck A0B0C0 den maximalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks A0B0C0 und geben Sie die Koordinaten des Punktes C0 an.
[Teilergebnis: A n Bn (x) = (−1, 25x 2 + 11x − 16) LE ]
5P
B 1.5 Für x = 4 ergibt sich das Dreieck A3B3C3.
Zeichnen Sie das Dreieck A3B3C3 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein und begründen Sie, dass das Dreieck A3B3C3 rechtwinklig ist.
3P
Absch u
rüfung
2009
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Haupttermin
Aufgabe B 1
Lösungsmuster und Bewertung
FUNKTIONEN
L4
K5
B 1.1 S2 (6 | 7) ∈ p 2 und P (9 | 4, 75) ∈ p 2 :
4, 75 = a 5 (9 − 6)2 + 7
a ∈ IR \{0}
a = −0, 25
IL = {−0, 25}
p2: y = −0, 25 5 (x − 6) 2 + 7
I = IR × IR
G
6
p2: y = −0, 25 5 (x 2 − 12x + 36) + 7
p2: y = −0, 25x 2 + 3x − 2
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−0, 25x 2 + 3x − 2
−2
0,75
3
4,75
6
6,75
7
6,75
6
4, 75
3
L4
K4
y
1
B7
B8
7
B1
7
1
8
7
1
1
1
8
5
B 1.2 Einzeichnen der Dreiecke A1B1C1 und A2B2C2
2
L3
K4
-2-
x 2 − 8x + 14 = −0, 25x 2 + 3x − 2
B 1.3
L4
K2
K5
x ∈ IR
...
x = 1,84
9
x ; 6,96
:
IL = {1,84; 6,96}
1,84 ? x ? 6,96 (x ∈ IR)
2
B 1.4 A @An Bn Cn =
L4
K2
K5
1
A A n Bn A (4 LE)
2
A n Bn (x) = [−0, 25x 2 + 3x − 2 − (x 2 − 8x + 14) LE
1,84 ? x ? 6,96 ; x ∈ IR
A n Bn (x) = (−1, 25x 2 + 11x − 16) LE
A @An Bn Cn (x) =
1
2
A ( −1, 25x + 11x B 16) A 4 FE
2
1,84 ? x ? 6,96 ; x ∈ IR
A @An Bn Cn (x) = (−2,5x 2 + 22x − 32) FE
...
Der maximale Flächeninhalt beträgt 16,4 FE (für x = 4, 4 ).
A @A0 B0C0 = 16, 4 FE
C
C0 G x A0 − 4
G

y A0 E y B0
2
F
H
H

C
C 0 G 4, 4 − 4

−1,84 E 6,36 F
H
2

C 0 (0, 4 | 2, 26)
5
L3
K4
B 1.5 Einzeichnen des Dreiecks A3B3C3
A 3B3 = (−1, 25 A 4 2 + 11A 4 B 16) LE
L3
K1
K5
A3 B3 = 8 LE
Es sei der Punkt M3 der Mittelpunkt der Strecke [A3B3].
Da die Dreiecke AnBnCn gleichschenklig sind, gilt: M 3C3 = 4 LE .
Aus M 3C3 = M 3 A 3 = M 3 B3 folgt, dass der Punkt C3 auf einer Kreislinie um den
Mittelpunkt M3 mit dem Durchmesser A3 B3 liegt, womit das Dreieck A3B3C3
rechtwinklig ist („Thaleskreis“).
3
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Mathematik II
Abschlussprüfung 2008
an den Realschulen in Bayern
Nachtermin
R4/R6
Aufgabe D 1
D 1.0 Die Parabel p besitzt den Scheitel S(4 | −3) und hat eine Gleichung der Form
y = 0, 25x 2 + bx + c mit G
I = IR × IR und b, c ∈ IR .
D 1.1 Zeigen Sie, dass die Parabel p die Gleichung y = 0, 25x 2 − 2x + 1 hat.
Erstellen Sie eine Wertetabelle für x ∈ [−2;10] mit ∆x = 1 und zeichnen Sie sodann
die Parabel p in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; −3 < x < 11 ; −4 < y < 7 .
4P
D 1.2 Punkte Bn (x | 0, 25x 2 − 2x + 1) und Dn haben dieselbe Ordinate y und liegen auf der
Parabel p. Sie sind für x ∈ ]6;10[ zusammen mit den Punkten A (2 | −2) und
C (10 | 6) die Eckpunkte von Vierecken ABnCDn.
Zeichnen Sie für x = 8 das Viereck AB1CD1 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein
und überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob das Viereck AB1CD1 ein Trapez ist.
3P
D 1.3 Zeigen Sie, dass für die x-Koordinate der Punkte Dn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn gilt: x Dn = 8 − x .
1P
D 1.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Vierecke ABnCDn in Abhängigkeit von der
Abszisse x der Punkte Bn.
4P
D 1.5 Im Viereck AB2CD2 hat der Winkel B2AC das Maß 30°.
Zeichnen Sie das Viereck AB2CD2 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein und berechnen Sie sodann die x-Koordinate des Punktes B2. Runden Sie auf zwei Stellen
nach dem Komma.
[Teilergebnis: m AB2 = 0, 27 ]
5P
Abschlussprüfung 2008
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Nachtermin
Aufgabe D 1
Lösungsmuster und Bewertung
FUNKTIONEN
D 1.1 S (4 | −3) ∈ p : y = 0, 25 ⋅ (x − 4)2 − 3
G
I = IR × IR
L4
K5
y = 0, 25x 2 − 2x + 1
p: y = 0, 25x 2 − 2x + 1
x
G
I = IR × IR
−2 −1
0
1
4
1
0, 25x 2 − 2x + 1 6
3
1
−
3
4
2
3
−2 −2
4
3
4
5
−3 −2
6
3
4
7
−2 −
3
4
8
1
9
10
1
4
6
3
L4
K4
p
y
C
D1
1
O
B1
1
B2
D2
x
30°
A
4
D 1.2 Einzeichnen des Vierecks AB1CD1
Aus der Wertetabelle folgt:
m AB1 =
L3
K4
L3
K1
K5
B1 (8 |1) ; D1 (0 |1)
1 − (−2)
; m AB1 = 0,5
8−2
m D1C =
6 −1
; m D1C = 0,5
10 − 0
AB1 || D1C ⇒ Das Viereck AB1CD1 ist ein Trapez.
3
-2D 1.3 x-Koordinate des Scheitels S: x S = 4
x Dn + x
2
⇔
=4
L4
K5
x ∈ IR
x Dn = 8 − x
1
D 1.4 A = A ∆ABn C + A ∆ACDn
→
x−2


ABn (x) = 

2
 0, 25x − 2x + 3 
→
6− x


AD n (x) = 

2
 0, 25x − 2x + 3 
A(x) =
x−2
1
⋅
2 0, 25x 2 − 2x + 3
8
1 8
FE + ⋅
8
2 8
1
⋅ [ (x − 2) ⋅ 8 − 8 ⋅ (6 − x)] FE
2
A(x) = (8x − 32) FE
L4
K2
K5
8
AC =  
8
→
x ∈ ]6;10[ ; x ∈ IR
6− x
FE
0, 25x 2 − 2x + 3
A(x) =
x ∈ ]6;10[ ; x ∈ IR
4
D 1.5 Einzeichnen des Vierecks AB2CD2
L3
K4
6 − (−2)
10 − 2
tan ϕ = m AC
m AC =
ϕ = 45°
ϕ∈]0°;90°[
m AB2 = tan(45° − 30°)
m AB2 = 0, 27
AB2: y = 0, 27 ⋅ (x − 2) − 2
G
I = IR × IR
0, 27x − 2,54 = 0, 25x 2 − 2x + 1
L4
K2
K5
x ∈ ]6;10[ ; x ∈ IR
...
⇔ (x = 2
∨)
x = 7, 08
IL = {7, 08}
5
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der
Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Mathematik II
Abschlussprüfung 2008
R4
an den Realschulen in Bayern
Haupttermin
Aufgabe C 1
C 1.0 Gegeben sind die Parabel p1 mit der Gleichung y = −0,3x 2 + 2,1x + 1, 2 und die
nach unten geöffnete Normalparabel p2 mit der Gleichung y = − x 2 + 8x − 6 .
(G
I = IR × IR .)
C 1.1 Zeigen Sie, dass die Parabel p1 den Scheitel S1 (3,5 | 4,875) hat.
Erstellen Sie sodann für die Parabel p1 eine Wertetabelle für x ∈ [0; 7] mit ∆x = 1
und zeichnen Sie die Parabeln p1 und p2 in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; −1 < x < 9 ; −3 < y < 11 .
4P
C 1.2 Punkte A n (x | −0,3x 2 + 2,1x + 1, 2)
auf der Parabel p1 und Punkte
C n (x | − x 2 + 8x − 6) auf der Parabel p2 sind zusammen mit Punkten Bn und Dn die
Eckpunkte von Rauten AnBnCnDn mit Bn D n = 2 LE . Die Punkte An und Cn haben
dieselbe Abszisse x und es gilt: y An < yCn .
Zeichnen Sie die Rauten A1B1C1D1 für x = 2 und A2B2C2D2 für x = 5 in das
Koordinatensystem zu 1.1 ein.
2P
C 1.3 Ermitteln Sie durch Rechnung, für welche Belegungen von x es Rauten AnBnCnDn
gibt. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
3P
C 1.4 Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Gerade B2C2 eine Tangente an die Parabel p2
ist.
[Teilergebnis: B2 (6 | 6, 6) ]
4P
C 1.5 Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Länge der Diagonalen [A n Cn ] der
Rauten AnBnCnDn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An wie folgt darstellen lässt:
A n C n (x) = (−0, 7x 2 + 5,9x − 7, 2) LE .
1P
C 1.6 Unter den Rauten AnBnCnDn hat die Raute A0B0C0D0 den maximalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von x und den Flächeninhalt der Raute A0B0C0D0. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
3P
Abschlussprüfung 2008
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Haupttermin
Aufgabe C 1
Lösungsmuster und Bewertung
FUNKTIONEN

2,1
2,12 
C 1.1 S1  −
1, 2 −

4 ⋅ (−0,3) 
 2 ⋅ (−0,3)
L4
K5
S1 (3,5 | 4,875)
x
0
1
2
3
4
5
6
7
−0,3x 2 + 2,1x + 1, 2
1, 2
3
4, 2
4,8
4,8
4, 2
3
1, 2
L4
K4
y
C2
C1
D1
D2
B2
B1
A1
A2
1
O
1
x
p1
p2
4
C 1.2 Einzeichnen der Rauten A1B1C1D1 und A2B2C2D2
2
L3
K4
-2− 0,3x 2 + 2,1x + 1, 2 = − x 2 + 8x − 6
C 1.3
x ∈ IR
L4
K2
K5
...
⇔ x = 1, 48
∨
x = 6,95
IL = {1, 48; 6, 95}
1, 48 < x < 6,95 (x ∈ IR)
3

9 − 4, 2 
C 1.4 B2  5 + 1 4, 2 +

2 

C 2 (5 | 9)
9 − 6, 6
B2C2: y =
⋅ (x − 6) + 6, 6
5−6
L4
K1
K5
B2 (6 | 6, 6)
G
I = IR × IR
B2C2: y = −2, 4x + 21
− 2, 4x + 21 = − x 2 + 8x − 6
1, 48 < x < 6,95 ; x ∈ IR
⇔ x 2 − 10, 4x + 27 = 0
D≠0
⇒ Die Gerade B2C2 ist keine Tangente an p2.
4
C 1.5 A n C n (x) = [− x 2 + 8x − 6 − (−0,3x 2 + 2,1x + 1, 2)] LE
1, 48 < x < 6,95 ; x ∈ IR
L4
K5
A n C n (x) = (−0, 7x 2 + 5,9x − 7, 2) LE
1
1
C 1.6 A = ⋅ A n C n ⋅ Bn D n
2
1
A(x) = ⋅ (−0, 7x 2 + 5,9x − 7, 2) ⋅ 2 FE
2
A(x) = (−0, 7x 2 + 5,9x − 7, 2) FE
L4
K2
K5
1, 48 < x < 6,95 ; x ∈ IR
...
Für x = 4, 21 gilt: A Raute A0 B0 C0 D0 = 5, 23 FE .
3
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der
Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Mathematik II
Abschlussprüfung 2008
R4/R6
an den Realschulen in Bayern
Haupttermin
Aufgabe B 1
B 1.0 Die Parabel p verläuft durch die Punkte A (−2 | −3) und C (5 | 0,5) . Sie hat eine
Gleichung der Form y = ax 2 + 2x + c mit G
I = IR × IR und a ∈ IR \ {0} ; c ∈ IR .
B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und c, dass die Parabel p die Gleichung y = −0,5x 2 + 2x + 3 hat und zeichnen Sie die Parabel p für x ∈ [−3; 7] in ein
Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; −4 < x < 8 ; −8 < y < 6 .
3P
B 1.2 Punkte Dn (x | −0,5x 2 + 2x + 3) auf der Parabel p sind für x ∈ ] − 2;5[ zusammen
mit den Punkten A und C und Punkten Bn die Eckpunkte von Parallelogrammen ABnCDn.
Zeichnen Sie das Parallelogramm AB1CD1 für x = −0,5 in das Koordinatensystem
zu 1.1 ein und überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob das Parallelogramm AB1CD1
ein Rechteck ist.
4P
B 1.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Parallelogramme ABnCDn in Abhängigkeit
von der Abszisse x der Punkte Dn.
[Ergebnis: A(x) = (−3,5x 2 + 10,5x + 35) FE ]
3P
B 1.4 Unter den Parallelogrammen ABnCDn besitzt das Parallelogramm AB0CD0 den
maximalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D0.
2P
B 1.5 Im Parallelogramm AB2CD2 hat der Winkel CAD2 das Maß 25°.
Zeichnen Sie das Parallelogramm AB2CD2 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein
und berechnen Sie sodann die x-Koordinate des Punktes D2. Runden Sie auf zwei
Stellen nach dem Komma.
[Teilergebnis: m AD2 = 1, 26 ]
5P
Abschlussprüfung 2008
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Haupttermin
Aufgabe B 1
Lösungsmuster und Bewertung
FUNKTIONEN
B 1.1 A (−2 | −3) ∈ p und C (5 | 0,5) ∈ p :
L4
K5
− 3 = a ⋅ (−2)2 + 2 ⋅ (−2) + c
⇔
∧
0,5 = a ⋅ 52 + 2 ⋅ 5 + c
∧
a = −0,5
c=3
a ∈ IR \ {0} ; c ∈ IR
IL(a | c) = {(−0,5 | 3)}
p: y = −0,5x 2 + 2x + 3
G
I = IR × IR
L4
K4
y
D2
D1
1
O
C
1
x
25°
A
B1
B2
p
3
-2B 1.2 Einzeichnen des Parallelogramms AB1CD1
L3
K4
D1 (−0,5 |1,875)
→
 1,5 
AD1 = 

 4,875 
→
 −5,5 
CD1 = 
 ⇒ mCD1 = −0, 25
 1,375 
⇒ m AD1 = 3, 25
m AD1 ⋅ m CD1 = −0,8125
L3
K1
K5
⇒ Das Parallelogramm AB1CD1 ist kein Rechteck.
4
B 1.3 A = 2 ⋅ A ∆ACDn
→
x+2


AD n = 

2
 −0,5x + 2x + 6 
 7 
AC =  
 3,5 
→
x+2
1 7
A(x) = 2 ⋅ ⋅
2 3,5
− 0,5x 2 + 2x + 6
FE
L4
K2
K5
x ∈ ] − 2;5[ ; x ∈ IR
x ∈ ] − 2;5[ ; x ∈ IR
A(x) =  7 ⋅ (−0,5x 2 + 2x + 6) − 3,5 ⋅ (x + 2)  FE
A(x) = (−3,5x 2 + 10,5x + 35) FE
3
B 1.4 A(x) = (−3,5x 2 + 10,5x + 35) FE
x ∈ ] − 2;5[ ; x ∈ IR
L4
K5
...
A max für x = 1,5
D0 (1,5 | 4,875)
2
B 1.5 Einzeichnen des Parallelogramms AB2CD2
L3
K4
ϕ = 26,57°
−3 − 0,5
−2 − 5
ϕ∈]0°;90°[
m AD2 = tan(26,57° + 25°)
m AD2 = 1, 26
AD2: y = 1, 26 ⋅ (x + 2) − 3
AD2: y = 1, 26x − 0, 48
G
I = IR × IR
tan ϕ = m AC
L4
K2
K5
m AC =
1, 26x − 0, 48 = −0,5x 2 + 2x + 3
x ∈ ] − 2;5[ ; x ∈ IR
...
⇔ (x = −2
∨)
x = 3, 48
IL = {3, 48}
5
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der
Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Mathematik II
Abschlussprüfung 2008
an den Realschulen in Bayern
Haupttermin
R4/R6
Aufgabe A 1
A 1.0 Die Parabel p verläuft durch die Punkte A (−2 | 3) und C (6 | 3) . Sie hat eine Gleichung der Form y = 0, 5x 2 + bx + c mit G
I = IR × IR und b, c ∈ IR . Die Gerade g
hat die Gleichung y = −0, 25x + 5,5 mit G
I = IR × IR .
A 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung y = 0, 5x 2 − 2x − 3 hat und zeichnen Sie die Parabel p sowie die Gerade g für
x ∈ [−3; 7] in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; −4 < x < 8 ; −6 < y < 8 .
4P
A 1.2 Punkte Bn (x | 0,5x 2 − 2x − 3) auf der Parabel p und Punkte Dn (x | −0, 25x + 5, 5)
auf der Geraden g haben dieselbe Abszisse x und sind für x ∈] − 2; 6[ zusammen
mit den Punkten A und C die Eckpunkte von Vierecken ABnCDn.
Zeichnen Sie das Viereck AB1CD1 für x = −1 und das Viereck AB2CD2 für x = 3
in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
2P
A 1.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Vierecke ABnCDn in Abhängigkeit von der
Abszisse x der Punkte Bn.
[Ergebnis: A(x) = (−2x 2 + 7x + 34) FE ]
4P
A 1.4 Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von x die zugehörigen Vierecke
einen Flächeninhalt von 38,5 FE haben. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem
Komma.
2P
A 1.5 Die Vierecke AB3CD3 und AB4CD4 sind Drachenvierecke mit der Geraden AC als
Symmetrieachse.
Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte B3 und B4 auf zwei Stellen nach dem
Komma gerundet.
4P
A 1.6 Das Viereck AB5CD5 ist ebenfalls ein Drachenviereck.
Zeichnen Sie das Drachenviereck AB5CD5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1P
Abschlussprüfung 2008
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II
Haupttermin
Aufgabe A 1
Lösungsmuster und Bewertung
FUNKTIONEN
A 1.1 A (−2 | 3) ∈ p und C (6 | 3) ∈ p :
L4
K5
3 = 0,5 ⋅ (−2) 2 + b ⋅ (−2) + c
⇔
∧
3 = 0,5 ⋅ 62 + b ⋅ 6 + c
∧
b = −2
c = −3
b, c ∈ IR
IL(b | c) = {(−2 | −3)}
p: y = 0, 5x 2 − 2x − 3
G
I = IR × IR
p
y
L4
K4
D1
D5
D2
A
C
g
1
B1
O
1
x
B2
B5
4
-2A 1.2 Einzeichnen der Vierecke AB1CD1 und AB2CD2
2
A 1.3 A = A ∆ABn C + A ∆ACDn
→
x+2


ABn (x) = 

2
 0, 5x − 2x − 6 
x+2
1
⋅
2 0,5x 2 − 2x − 6
L4
K2
K5
8
AC =  
 0
→
→
x+2


AD n (x) = 

 −0, 25x + 2,5 
A(x) =
L3
K4
x ∈] − 2; 6[ ; x ∈ IR
8
1 8
FE + ⋅
0
2 0
x+2
FE
− 0, 25x + 2,5
1
⋅  −(0,5x 2 − 2x − 6) ⋅ 8 + 8 ⋅ (−0, 25x + 2,5)  FE
2
A(x) = (−2x 2 + 7x + 34) FE
A(x) =
x ∈] − 2; 6[ ; x ∈ IR
4
A 1.4
− 2x 2 + 7x + 34 = 38,5
x ∈] − 2; 6[ ; x ∈ IR
L4
K5
...
⇔ x = 0,85
∨
x = 2, 65
IL = {0,85; 2, 65}
2
A 1.5 Da die Gerade AC die Symmetrieachse der Drachenvierecke AB3CD3 und
AB4CD4 ist, muss gelten:
A ∆ABn C = A ∆ACDn
x+2
1
A ∆ABn C (x) = ⋅
2 0,5x 2 − 2x − 6
1 8
A ∆ACDn (x) = ⋅
2 0
L4
K2
K5
8
FE
0
x+2
FE
− 0, 25x + 2, 5
− 2x 2 + 8x + 24 = − x + 10
x ∈] − 2; 6[ ; x ∈ IR
x ∈] − 2; 6[ ; x ∈ IR
...
⇔ x = −1, 22
∨
x = 5, 72
IL = {−1, 22; 5, 72}
4
A 1.6 Einzeichnen des Drachenvierecks AB5CD5
1
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der
Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
L3
K2
Mathematik II
Nachtermin
Aufgabe P 2
B
P 2.0 Eine konstant ansteigende
B
Straße wird über ein Gebirgstal geführt. Sie wird
durch vertikale Stützpfeiler
A
und eine parabelförmige Unterkonstruktion
abgestützt.
A
100 m
Die parabelförmige Unterkonstruktion liegt in den
Punkten A1 und A2 an den
Berghängen auf (siehe Skizze). Dabei liegt A1 20 m höher als A2 und der
horizontale Abstand dieser beiden Punkte beträgt 100 m. In den Punkten B1 und B2
liegt die Straße auf den Stützpfeilern [A1B1 ] mit A1B1 = 20 m und [A 2 B2 ] auf. Der
Punkt B2 liegt um 4 m höher als der Punkt B1.
1
2
1
2
P 2.1 Zeichnen Sie die Straße mit den Punkten B1 und B2 in das Koordinatensystem, sodass B1 im Ursprung liegt.
Für die Zeichnung gilt: Auf der x-Achse: 1 cm für 10 m;
Auf der y-Achse: 1 cm für 10 m
1P
y
10
O
10
P 2.2 Geben Sie die Gleichung der Geraden B1B2 an.
Seite – 2 –
x
1P
Mathematik II
Nachtermin
Aufgabe P 2
P 2.3 Bestätigen Sie, dass die Parabel p mit der Gleichung y = −0, 01x 2 + 0,8x − 20 einen
Parabelbogen der Unterkonstruktion gemäß den obigen Vorgaben beschreibt.
Zeichnen Sie die Parabel p in das Koordinatensystem zu 2.2 ein.
4P
P 2.4 Zwischen den Stützpfeilern [A1B1] und [A2B2] gibt es weitere Stützpfeiler, wodurch die Straße auf dem Parabelbogen abgestützt wird.
Berechnen Sie die kürzeste Stützpfeilerlänge A 0 B0 .
3P
Seite – 3 –
=
+
⎛
=⎜ ⋅
⎝
⎛
=⎜ ⋅
⎝
+
⎞
⎟⋅π⋅
⎠
⋅
⎛
+ ⋅⎜ ⋅
⎝
+
+
⎞
⎟⋅π⋅
⎠
⋅
=
H
⎛
=⎜ ⋅
⋅
⎝
=
⋅π
⋅
+
+
⎛
+ ⋅⎜ ⋅
⎝
⎞
+ ⋅
⎟⋅π
⎠
=
⋅
+
⋅
⎞
⎟⋅π⋅
⎠
⋅
⎛
+⎜ ⋅
⎝
⎞
⎟ ⋅π
⎠
=
°
⎞
⎟⋅π
⎠
+ ⋅
=
5
P 2.1
y
10
O
B2
s
B1
x
10
p
A1
A2
1
P 2.2
B1B2 : y = 0, 04x
I = IR × IR
G
1
-2-
P 2.3
A1 (0 | y1 ) ∈ p : y1 = −0, 01⋅ 02 + 0,8 ⋅ 0 − 20
Der Punkt A1 liegt somit 20 m tiefer als der Punkt B1.
A 2 (100 | y 2 ) ∈ p : y 2 = −0, 01⋅1002 + 0,8 ⋅100 − 20
Der Punkt A1 liegt somit 20 m höher als der Punkt A2.
y1 = −20
y 2 = −40
Einzeichnen der Parabel p
4
P 2.4
A n Bn (x) = (0, 04x − (−0, 01x 2 + 0,8x − 20)) m
A n Bn (x) = (0, 01x 2 − 0, 76x + 20) m
A 0 B0 = 5,56 m für x = 38
3
P 3.1
⎛ 1 360° ⎞ 0,5 ⋅ 20 cm
sin ⎜ ⋅
⎟=
r
⎝ 2 10 ⎠
r=
0,5 ⋅ 20 cm
sin18°
r = 32, 4 cm
2
P 3.2
AK = r2 ⋅ π
A = 10 ⋅ A Δ
A K = 32, 42 ⋅ π cm 2
1
A Δ = ⋅ r ⋅ r ⋅ sin 36°
2
1
A = 10 ⋅ ⋅ 32, 42 ⋅ sin 36° cm 2
2
A 3085, 2 cm 2
=
A K 3297,9 cm 2
Der prozentuale Anteil beträgt 93,6%.
A K = 3297,9 cm 2
A = 3085, 2 cm 2
A = 0,936 ⋅ A K
3
19
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei
der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der
Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.