3. Lösung

Grundlagen der
Rechnertechnologie
Sommersemester 2010
Wolfgang Heenes
3. Aufgabenblatt mit Lösungsvorschlag
04.05.2010
Themen: Superpositionsverfahren, Netzwerkanalyse
Aufgabe 1:
Folgende Werte des untenstehenden Netzwerkes sind gegeben:
U
U1 = 1V
U2 = 4V
R 1 = 5Ω
R 2 = 10Ω
R 3 = 2Ω
2
A
R
U
1
R
2
R
3
1
B
Berechnen Sie die Leerlaufspannung, den Kurzschlußstrom und den Innenwiderstand bezüglich der Klemmen A und B.
Lösungsvorschlag:
Berechnen des Innenwiderstandes R i durch Kurzschließen der Spannungsquellen:
A
R
R
1
R
2
R
3
i
B
R i = R1 k R2 k R3 =
Ri =
1
2+1+5
10Ω
=
1
8
10Ω
=
1
1
+ 1 + 1
R1 R2 R3
10
Ω
8
= 45 Ω
Berechnung des Kurzschlußstromes I K′ der von U1 hervorgerufen wird:
Grundlagen der Rechnertechnologie - Sommersemester 2010
1
R
U
R
1
1
R
I K′ =
U1
R1
=
1V
5Ω
R
2
I ´K
U
3
1
I ´K
1
= 15 A
Berechnung des Kurzschlußstromes I K′′ der von U2 hervorgerufen wird:
U
U
2
I
R
R
1
U2
I K′′ = − R
ges
2
R
´ K´
R
3
mit R ges = R 1 k R 2 =
R1 R2
R1 +R2
= −U2
R1 +R2
R1 R2
I
R
1
= −4V ·
2
´ K´
2
15
50Ω
= − 60
A = − 65 A
50
Berechnung des resultierenden Gesamtstromes I K :
I K = I K′ + I K′′ = ( 15 − 65 )A = −1A
Berechnung der Gesamtleerlaufspannung U L :
U L = I K R i = −1A · 45 Ω = − 54 V
Aufgabe 2:
Für untenstehende Schaltung soll die klemmenäquivalente Ersatzstromquelle durch Superposition errechnet werden.
Gegeben sind:
I 0 , U0
R 1 = 3R
R 2 = R 3 = R/2
R4 = R
I
R
0
U
3
0
R
R
1
R
4
2
a) Berechnen Sie den Innenwiderstand des Netzwerkes.
b) Errechnen Sie den Kurzschlußstrom I K ′ , der von der Stromquelle hervorgerufen wird.
c) Errechnen Sie den Kurzschlußstrom I K ′′ , der von der Spannungsquelle erzeugt wird.
d) Geben Sie den resultierenden Gesamtkurzschlußstrom I K an.
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2
Lösungsvorschlag:
a) Berechnung des Innenwiderstandes R i durch Kurzschließen der Spannungsquelle und Entfernen der Stromquelle
R3
R4
Ri
R2
R4 (R2 +R3 )
R4 +R3 +R2
R i = R 4 k (R 3 + R 2 ) =
=
R( R2 + R2 )
R+ R2 + R2
=
R2
2R
=
R
2
= 0, 5R
b) Berechnung von I K′
´K
I
I
U
R
o
U
2
R
3
R
4
3
I
´K
g e s
R
1
Lösung mit Stromteiler:
I K′ =
R2
I
R2 +R3 0
I0
2
=
Lösung mit Spannungsberechnung:
R R
U3 = I 0 (R 2 k R 3 ) = I 0 R 2+R3
2
I K′ =
U3
R3
=
R2 R3
I
(R2 +R3 )R3 0
=
3
I0
2
c) Berechnung von I K′′
U
3
R
4
R
2
o
R
I K′′ =
U0
R2 +R3
=
I ´K´
U0
R
d) Berechnung des Gesamtkurzschlußtromes I K
I K = I K′ + I K′′ =
I0
2
+
U0
R
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3
Aufgabe 3:
Gegeben sei das untenstehende Netzwerk mit den folgenden Größen:
R 1 = R 2 = 5kΩ
R 3 = 20kΩ
R 4 = 10kΩ
U0 = 4V
U1 = 6V
I 0 = 4mA
U
I
0
R
0
I
I
0
R
1
I
R
1
R
3
4
3
U
I
3
2
2
U
1
Berechnen Sie die Spannung U3 und den Strom I 3 mit Hilfe des Maschenstromverfahrens.
Lösungsvorschlag:
U0 -
r
j
R4
r
I
?3
6
I0
j
R1
R3
U3
?
R2
r
r
j
U1
Umwandeln der Stromquelle I 0 und R 1 in eine Ersatzspannungsquelle.
U L = R1 I0
R i = R1
U0 -
j
I
R1
UL
R4
r
I1 R3
6
j ?
R2
?3
U3
?
I2
6
r
j
U1
Aufstellen der Machengleichung
R1 + R2 + R3
−R 3
I1
R 1 I 0 − U0
=
−R 3
R3 + R4
I2
U1
Berechnen der Maschenströme
Grundlagen der Rechnertechnologie - Sommersemester 2010
4
30kΩ
−20kΩ
60kΩ
−60kΩ
60kΩ
0
−20kΩ
30kΩ
I1
I2
=
16V
6V
(·2)
(·3)
−40kΩ
I1
32V
=
90kΩ
I2
18V
+ 1. Zeile
−40kΩ
I1
32V
=
50kΩ
I2
50V
50kΩ I 2 = 50V
⇒ I2 =
50V
50kΩ
= 1mA
60kΩ I 1 − 40kΩ I 2 = 32V
⇒ 60kΩ I 1 = 32V + 40kΩ I 2
⇒ I1 =
32
mA + 23 mA
60
⇒ I1 =
8
mA + 10
mA = 18
mA = 65 mA
15
15
15
Aus den Maschenströmen I 1 und I 2 ergibt sich für I 3 :
I 3 = I 1 − I 2 = 56 mA − 55 mA = 15 mA = 0, 2mA
U3 = I 3 R 3 = 0, 2mA · 20kΩ = 4V
Aufgabe 4:
Gegeben sei das untenstehende Netzwerk mit den folgenden Größen:
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R
U1 = 2U0
U2 = U0
U3 = 3U0
I
R 6
I
I
5
R 5
U 2
1
I
4
R 4
U
6
U 3
I
1
R 1
R 2
2
I
R 3
3
a) Berechnen Sie nach dem Maschenstromverfahren sämtliche Zweigströme im nebenstehenden Netzwerk.
b) Geben Sie auch die entsprechenden Zweigspannungen des Netzwerkes an.
Lösungsvorschlag:
Grundlagen der Rechnertechnologie - Sommersemester 2010
5
a) Aufstellen der Maschengleichung
I
c
I
R 6
I
6
I
4
R 4
U
R 5
U 2
1
I
U 3
I
1
R 1
I
5
R 2
a

R + R2 + R4
 1
−R 2

−R 4
I
2
I
R 3
3
b
−R 2
R2 + R3 + R5
−R 5

 

U1 − U2
Ia
−R 4

 

−R 5
  I b  =  U2 − U3 
0
Ic
R4 + R5 + R6
Berechnen der Maschenströme


 

U0
3R −R −R
Ia


 

 −R 3R −R   I b  =  −2U0  (·3) + 1. Zeile
0
(·3) + 1. Zeile
−R −R 3R
Ic


 

U0
3R −R
−R
I


 a  
8R −4R   I b  =  −5U0 
 0
(·2) + 2. Zeile
U0
0 −4R 8R
Ic

 


U0
3R −R −R
I


 a  
 0 8R −4R   I b  =  −5U0 
−3U0
0
0
12R
Ic
Daraus erhält man für die einzelnen Maschenströme
12R I c = −3U0
U
⇒ I c = − 4R0
U
8R I b − 4R(− 4R0 ) = −5U0
⇒ 8R I b + U0 = −5U0
⇒ 8R I b = −6U0
⇒ Ib = −
6U0
8R
3R I a − R(−
=−
3U0
4R
3U0
U
) − R(− 4R0 )
4R
= U0
⇒ 3R I a + 43 U0 + 14 U0 = U0
⇒ 3R I a + U0 = U0
⇒ Ia = 0
Berechnen der einzelnen Zweigströme
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6
I 1 =I a
=0
3U
I 2 =I b − I a =− 4R0
3U
I 3 =−I b = 4R0
U
I 4 =I a − I c = 4R0
U
I 5 =I b − I c =− 2R0
U
I 6 =I c
=− 4R0
b) Berechnung der resultierenden Zweigspannungen
U Z1 =I 1 R 1 = 0
U Z2 =− 43 U0
U Z3 = 34 U0
U Z4 = 41 U0
U Z5 =− 21 U0
U Z6 =− 14 U0
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