Lösungen 14

Lösungen 14
14.1
Das Licht einer weißen Glühlampe wird mit Hilfe eines Gitterspektroskops zerlegt. Das
verwendete Gitter habe 580 Striche (Spalte) pro mm.
a) Wie groß ist die Gitterkonstante g ?
g=
1 ⋅ 10 −3 m
= 1,724 ⋅ 10 −6 m = 1,724 µ m = d
580
b) Unter welchem Winkel erscheint gelbes Licht (590 nm) in der 1. Ordnung?
sin α = n ⋅
λ
d
= 1⋅
λ
d
=
0,590 µm
= 0,3422
1,724 µm
→
α = arcsin(0,3422) = 20°
c) Wie groß ist die Aufspaltung (Winkelbereich) des gesamten sichtbaren Spektrums
(violett: 420 nm - rot: 700 nm) in der 1., und der 2. (der 6.?) Ordnung?
1.Ordnung:
2.Ordnung:
6.Ordnung:
α (420 nm, n = 1) = 14,1°
α (700 nm, n = 1) = 24,0°
→∆α = 9,9°
α (420 nm, n = 2) = 28,2°
α (700 nm, n = 2) = 54,3°
→∆α =26,1°
nicht sichtbar
14.2
Eine Vorrichtung erlaube die Herstellung von optischen Gittern mit Spaltbreiten von
b = 1 µm, und Spaltabständen von d = 0,5 µm, 1 µm, sowie 2 µm.
Welches Gitter würden Sie herstellen, um ein möglichst gutes Gitterspektrometer aufbauen zu
können? Begründen Sie ihre Wahl!
Für ein gutes Spektrometer sollten die Maxima des Gitters ( in möglichst hoher Ordnung) gut
sichtbar sein. Da sich die Interferenzbedingungen von Spalt und Gitter überlagern, müssen beide
berechnet und ein Zusammenfallen von Maxima und Minima vermieden werden:
Minima Spalt für
Maxima Gitter für
b⋅ sinα = nS ⋅ λ
d⋅ sinα = nG ⋅ λ
nS = 1, 2, 3, ...
nG = 0, 1, 2, 3, ...
sin α
λ
=
n S nG
=
b
d
?
1) Für d = 1 µm gilt b = d. Daher fallen die Maxima des Gitters mit den Minima der Spalte
zusammen. Daher ist außer dem 0. Maximum nichts zu sehen und eine Aufspaltung des Lichts in
verschiedenen Wellenlängen nicht möglich!
2) Für d = 0,5 µm, also b = 2d, ist die Situation nicht besser: Hier fallen das erste (zweite)
Maximum des Gitters mit dem zweiten (vierten) Minimum des Spaltes zusammen!
3) Für d = 2 µm ist immerhin das 1. und 3. Maximum des Gitters zu sehen. Das erste Minimum des
Spaltes fällt auf das zweite Maximum des Gitters. Ein Betrieb des Gitters in der 3. oder 5. Ordnung
ist aber nicht sinnvoll, da die Intensität durch den Spalt schon stark verringert ist.
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Beispiele für λ = 500 nm:
1) b = d = 1 µm
1
Spalt( α )
Gitter( α )
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
sin( α )
2) b = 1 µm; d = 0,5 µm:
1
Spalt( α )
Gitter( α )
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
3) b = 1 µm; d = 2 µm:
1
Spalt( α )
Gitter( α )
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
sin( α )
Wie man hier sieht, muss ein Gitter sorgsam hergestellt werden, idealer Weise gilt b << d so dass
die Gittermaxima in höherer Ordnung gut sichtbar sind. Häufig werden aber keine
Transmissionsgitter verwendet, sondern Reflexionsgitter. Man stellt sie z.B. durch mechanisches
Ritzen von spiegelnden Metalloberflächen her. Durch „Tricks“ lässt sich sogar die Intensität von
höheren Ordnungen verstärken und somit eine hohe spektrale Auflösung bei geringer Intensität
erzielen. (Stichworte: Blazing, Echelettegitter)
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14.3
Röntgen-Strahlen verhalten sich im Gegensatz zu sichtbaren Licht eher wie Teilchenstrahlen.
a) Unter welchem Winkel erscheint das 1. Beugungsmaximum wenn man Röntgenstrahlung mit
einer Wellenlänge von 2 Å auf ein Gitter wie unter 5.1 beschrieben fallen lässt?
d ⋅ sin α = 1 ⋅ λ = 2 ⋅ 10 −10 m
→
⎛ 2 ⋅ 10 −10 m ⎞
⎟⎟ = arcsin(1,16 ⋅ 10 − 4 ) = 6,65 ⋅ 10 −3 °
−6
m
1
,
724
10
⋅
⎠
⎝
α = arcsin⎜⎜
Sicher ein unbrauchbar kleiner Winkel, d.h. eine Beugung dürfte kaum sichtbar sein.
b) Welche Gitterkonstante ist nötig, wenn man das 1. Beugungsmaximum unter einem
„vernünftigen“ Winkel von 20° beobachten möchte?
d=
λ
sin α
=
2 ⋅ 10 −10 m
2
=
⋅ 10 −10 m = 5,85 Å
sin( 20°)
0,342
c) Wie würden Sie ein geeignetes Gitter herstellen?
Man züchte einen möglichst reinen Einkristall mit entsprechender Gitterkonstante.
14.4
Bei der Strukturierung von Mikrochips werden optische Masken in Verbindung mit Photolacken
eingesetzt. Warum verwendet man heute eher UV Licht als sichtbares Licht?
Die Strukturen sind Mikrochips sind heute so klein, dass Beugungsphänomene nicht
vernachlässigbar sind. Sie führen u.a. zu unsauberen Kanten und limitieren daher den Grad der
Miniaturisierung. Bei UV-Licht mit einer Wellenlänge von ca. 200 nm sind daher um den Faktor 2
bis 3 kleinere Strukturen möglich als mit sichtbarem Licht mit Wellenlängen von ca. 400 bis
700 nm.
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